Khóa luận tốt nghiệp

Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa toán
**********

đinh thị quỳnh liên

phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Hình học

Hà nội – 2009

1


Khóa luận tốt nghiệp

Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa toán
**********

đinh thị quỳnh liên

phép nghịch đảo
và bài toán quỹ tích

Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Hình học

người hướng dẫn khoa học
GV. đinh văn thủy

Hà nội – 2009

2


Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Khóa luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em đã nhận được
sự quan tâm, giúp đỡ về vật chất, tinh thần của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Hình
học nói riêng và trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 nói chung cùng
với sự hỗ trợ và giúp đỡ của các bạn sinh viên.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo Đinh Văn Thuỷ, người
đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành được khóa luận
này.
Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà em
trình bày trong khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu xót. Em kính mong nhận
được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo, các bạn sinh viên để
khoá luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Đinh Thị Quỳnh Liên.

3


Khóa luận tốt nghiệp

Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Lời cam đoan
Em xin cam đoan các vấn đề em trình bày trong khoá luận này là kết quả
nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy Đinh Văn Thuỷ,
không trùng với tác giả khác.
Nếu sai em hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Sinh viên
Đinh Thị Quỳnh Liên

4


Khóa luận tốt nghiệp

Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Mục lục
Phần 1:Mở đầu ............................................................................................................6
1. Lý do chọn đề tài .....................................................................................................6
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu ..............................................................................6
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ..............................................................................7

4. Phương pháp nghiên cứu.........................................................................................7
Phần 2: Nội dung .........................................................................................................8
Chương 1:Phép nghịch đảo .........................................................................................8
1.1. Các định nghĩa......................................................................................................8
1.1.1. Không gian bảo giác..........................................................................................8
1.1.2. Phép nghịch đảo ................................................................................................8
1.2. Các tính chất .........................................................................................................8
1.3. Các định lý ...........................................................................................................9
1.4. Phép nghịch đảo trong hệ toạ độ Đềcác vuông góc ...........................................15
Chương 2:Phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích ......................................................17
2.1. Bài toán quỹ tích. ...............................................................................................17
2.2. Giải bài toán quỹ tích nhờ phép nghịch đảo ......................................................17
2.2.1. Phương pháp chung .........................................................................................17
2.2.2 Các ví dụ minh hoạ ..........................................................................................17
2.2.3.Bài tập tự luyện ................................................................................................31
2.2.4. Hướng dẫn .......................................................................................................34
Kết luận .....................................................................................................................50
Tài liệu tham khảo .....................................................................................................51
5


Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Khóa luận tốt nghiệp

Phần 1:

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

Hình học là môn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh yêu toán. Việc giải các
bài tập, tìm ra nhiều cách giải, trong đó có những cách giải hay, độc đáo sẽ phát huy
tính sáng tạo và niềm say mê đối với môn học. Mỗi bài tập hình học có thể giải
bằng nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ,
phương pháp vectơ và phương pháp biến hình.
Trong nhiều trường hợp, phép biến hình là công cụ hữu hiệu cho phép giải
hợp lý và ngắn gọn các bài toán của hình học như bài toán chứng minh, bài toán quỹ
tích, bài toán dựng hình và bài toán tính toán.
Trong chương trình toán phổ thông, học sinh được học các phép biến hình:
phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến, phép vị tự. Phép
nghịch đảo là phép biến hình không đưa vào chương trình phổ thông, chỉ được đề
xuất khi luyện học sinh chuyên, bồi dưỡng học sinh giỏi. Phép nghịch đảo với
những tính chất khác biệt của nó đưa đến hướng giải quyết mới trong một số lớp bài
toán của hình học.
Để góp phần làm rõ tính ưu việt của việc sử dụng phép biến hình vào giải các
bài toán của hình học, tôi đi sâu nghiên cứu về lý thuyết phép biến hình và ứng
dụng của phép biến hình để giải quyết các bài toán hình học.
Trong khuôn khổ một khoá luận tốt nghiệp, do thời gian nghiên cứu có hạn
nên tôi chỉ tập trung khai thác ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc giải các bài
toán quỹ tích.
Đó chính là lý do tôi lựa chọn đề tài: phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép nghịch đảo và ứng dụng của nó
trong việc giải bài toán quỹ tích.

6


Khóa luận tốt nghiệp


Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

- Xây dựng hệ thống ví dụ minh hoạ và bài tập tự luyện thể hiện việc sử dụng
phương pháp biến hình vào giải bài toán quỹ tích.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo
- Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng phép nghịch đảo trong việc giải bài toán quỹ
tích trong mặt phẳng và không gian.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề và các tài liệu tham khảo có
liên quan.

7


Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Khóa luận tốt nghiệp

Phần 2:

Nội dung
Phép nghịch đảo

Chương 1:
1.1. Các định nghĩa

1.1.1. Không gian bảo giác
Không gian E n  n  2,3 bổ sung phần tử  (điểm vô cực) gọi là không gian
bảo giác Bn .

Trong không gian bảo giác Bn, mỗi đường thẳng hay mặt phẳng đều đi qua
điểm  .
1.1.2. Phép nghịch đảo
Trong không gian bảo giác Bn cho điểm O cố định và số thực k  0 . Phép
biến hình

n : B  Bn

sao cho:

M a M '  n M 

Nếu M  O thì M '  
Nếu M   thì M '  O

O,M,M ' th¼ng hµng

Nếu M  O,  thì 

OM.OM '  k

thì n được gọi là phép nghịch đảo cực O , phương tích k .
Kí hiệu n

k
O

hoặc n  O,k  .

Nhận xét:


n  O,k   X Oon  O, k  , trong đó X O là phép đối xứng tâm O .
1.2. Các tính chất
1.2.1. Tính chất 1
Phép nghịch đảo là phép biến hình đối hợp : n

2

là phép đồng nhất .

1.2.2. Tính chất 2
Nếu M ' là ảnh của qua n  O,k  thì O, M, M ' thẳng hàng .
8


Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Khóa luận tốt nghiệp

Nếu M,O,N không thẳng hàng M ', N ' lần lượt là ảnh của M, N qua

n  O,k  thì tứ giác MM ' N' N là tứ giác nội tiếp.
1.2.3. Tính chất 3
Nếu phương tích nghịch đảo k  0 thì phép nghịch đảo n  O,k  có tập các
điểm bất động là siêu cầu tâm O , bán kính

k (gọi là siêu cầu nghịch đảo).

Nếu phương tích nghịch đảo k < 0 thì phép nghịch đảo n  O,k  không có
điểm bất động.

1.3. Các định lý
1.3.1.Định lý 1
Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo thành siêu cầu
đi qua cực nghịch đảo và biến siêu cầu đi qua cực nghịch đảo thành siêu phẳng
không đi qua cực nghịch đảo.
Chứng minh:
Ta chứng minh trong E 2 .Việc chứng minh trong E 3 hoàn toàn tương tự.
+ Phép nghịch đảo biến đường thẳng
không đi qua cực nghịch đảo thành
đường tròn đi qua cực nghịch đảo.
Giả sử trong E 2 cho phép nghịch đảo

n  O,k  và d là đường thẳng nào đó không
đi qua O.
Hạ OH  d, H  d, H'  n  H  .
Xét

M

bất

kì

thuộc

d

và

M '  n  M  . Khi đó: OM.OM '  OH.OH'  k


Hình 1.1

 Tứ giác MM ' N'H là tứ giác nội tiếp.
  H'M ',MM '    H'H,MH   90o .
9


Khóa luận tốt nghiệp

Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Do OH' cố định  M ' nằm trên đường tròn đường kính OH' .
Ngược lại lấy điểm N ' bất kỳ trên đường tròn đường kính OH' ,

N  n  N'  , tương tự như trên ta có:

 N'H',NN'    NH,HH'   90

o

 OH  HN

 N d
Vậy n  d   OH' .
+ Do tính chất: phép nghịch đảo là phép biến hình đối hợp nên phép nghịch
đảo biến đường tròn đi qua cực nghịch đảo đường thẳng không đi qua cực nghịch
đảo.
1.3.2. Định lý 2
Phép nghịch đảo biến siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo thành siêu cầu

không đi qua cực
nghịch đảo.
Chứng minh:
Ta

chứng

minh trong E 2 .
Giả sử cho
phép nghịch đảo

n (O,k) và  C là đường tròn

Hình 1.2

không đi qua O .  C có tâm I , OI cắt  C tại A, B .
Gọi A ', B' thứ tự là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo n (O,k) và  C' 
là đường tròn đường kính A 'B' . Ta chứng minh  C'   n  C .
• M   C , M '  n (M) .
Nếu M  A hoặc B thì M ' trùng A ' hoặc B' , tức M '   A 'B'  .
Nếu M A,B thì ta có tứ giác AMM 'A ' là tứ giác nội tiếp

10


Khóa luận tốt nghiệp

Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

·

· 'M '
 AMO
 AA
·'B' M '  BMM
·
'
Tứ giác BMM 'B' nội tiếp  A
·
·' M 'B'  90o tức M '   C'  . (1)
 90o  A
Do M   C  AMB
• N'   C'  đều có A, B là ảnh của A ', B' qua phép nghịch đảo

n

 N  n (N') nằm trên đường tròn đường kính AB .
Vậy N'  C'  đều có N   C sao cho n (N)  N' . (2)
Từ (1) và (2) suy ra  C'   n  C .
Hệ quả:
Các siêu cầu có tính chất: Phương tích của cực nghịch đảo đối với nó bằng
phương tích nghịch đảo là hình kép.
1.3.3. Định lý 3
Phép nghịch đảo biến siêu phẳng đi qua cực nghịch đảo thành chính nó.
Định lý này được suy ra ngay từ định nghĩa và tính chất.
1.3.4. Định lý 4
Điều kiện cần và đủ để 2 điểm M, N tương ứng với nhau trong phép nghịch
đảo n (O,k)  k  0 là có n siêu cầu đi qua M và N , trực giao với siêu cầu
nghịch đảo.
Chứng minh:
Ta chứng minh trong E 2 :

• Điều kiện cần:
Giả sử cho phép nghịch đảo n (O,k)  k  0 ,  C là đường tròn nghịch đảo
và M, M ' là 2 điểm tương ứng với nhau trong phép nghịch đảo trên. Ta phải chứng
minh có hai đường tròn  C1  ,  C2  trực giao với  C .
Gọi  C'  là đường tròn bất kỳ qua M và M ' .

11


Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Khóa luận tốt nghiệp

OM.OM '  k  p O

 C'   k   C   C' 

Do qua M, M ' có vô số đường tròn nên có hai đường tròn qua M, M ' trực
giao với  C .
• Điều kiện đủ
Giả sử có hai đường tròn  C1  ,  C2  qua M, M ' và trực giao với  C .

p OC 

Khi đó:

 k 

1


p O  C   OM.OM '  k
2

 O thuộc trục đẳng phương MM ' của  C1  và  C2  và OM.OM '  k .
 M, M ' là hai điểm tương ứng với nhau qua phép nghịch đảo N (O,k) .
Dễ thấy k  0 vì O là điểm nằm ngoài hai đường tròn  C1  vµ  C2  .
1.3.5. Định lý 5
Nếu A ', B' thứ tự là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo

A 'B'  k .

N (O,k) thì ta có:

AB
OA.OB

Chứng minh:
• Nếu A, B, O thẳng hàng, ta có:

OA ' 

k
k
, OB' 
OA
OB
(a)

k
k

 A 'B'  OB'  OA ' 

OB OA
OA  OB
BA
k
k
OA.OB
OA.OB
AB
 A 'B'  k
OA.OB
• Nếu A, B, O không thẳng
hàng. Khi đó ta có:

(b)

ABB'A ' là tứ giác nội tiếp  D OAB : D OB'A '
Hình 1.3

12


Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Khóa luận tốt nghiệp

A 'B' OA '

AB

OB
OA '.AB OA.OA '.AB
AB
 A 'B' 

k
.
OB
OA.OB
OA.OB


Nhận xét:
Nếu qua phép nghịch đảo

N (O,k) ,

siêu cầu  C1    O1,R1  biến thành

siêu cầu  C2    O2 ,R2  thì:

R2  k

R1
k
OO12  R12

R1

.


p C 
O

1

Chứng minh:
Gọi AB là đường kính của  C1  mà O  AB và A ', B' thứ tự là ảnh của

A, B qua N (O,k)

  C2    A 'B'  và A 'B'  k
 R2  k

AB
OA.OB

R1
k
 OO1  R OO1  R

R1

.

p C 
O

1


1.3.6. Định lý 6
Phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa hai đường cong nhưng làm ngược hướng
của hình.
Chứng minh:
Để chứng minh định lý này, trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề:
Cho phép nghịch đảo

 C'  .

N (O,k)

biến đường cong  C thành đường cong

Nếu hai điểm A, A ' là hai

điểm tương ứng trên

 C ,  C' 

và

13


Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Khóa luận tốt nghiệp

tại đó chúng có tiếp tuyến thì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua trung trực

của đoạn thẳng AA ' .
Chứng minh bổ đề:

' khá gần
Ta lấy trên  C và  C'  hai điểm tương ứng M, MHình
1.4A và A ' sao
cho khoảng cách OM không bị triệt tiêu khi M tiến dần tới A . Khi đó bốn điểm

A, A ', M, M ' luôn thuộc một đường tròn.
Theo hệ thức:

M 'A ' 

k MA
OA.OM

thì khi M dần tới A thì M ' tiến dần tới A ' . Do đó các cát tuyến MA, M 'A ' của
các đường cong  C ,  C'  đến trùng với các tiếp tuyến At, A 't ' của chúng ở

A, A ' .
Gọi  K  là đường tròn ngoại tiếp tứ giác AA ' M ' M , ở vị trí A, A ' ,  K 
lần lượt tiếp xúc với  C ,  C'  . Khi đó các tiếp tuyến At, A 't ' đồng thời là tiếp
tuyến của

 K  tại A, A ' nên các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua trung trực

của đoạn thẳng AA ' .
• Chứng minh định lý:
Giả sử có hai đường
cong  C và  S cắt nhau

ở A qua phép nghịch đảo

N (O,k) biến thành  C' 
và  S'  cắt nhau ở

A '  N A  .

Hình 1.5

14


Khóa luận tốt nghiệp

Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Theo bổ đề trên, các tiếp tuyến At của  C và A 't ' của  C'  đối xứng
nhau qua trung trực của AA ' , các tiếp tuyến Au của  S và A 'u' của  S'  đối
xứng nhau qua trung trực của AA ' .
Vậy

 At,Au    A 't ',A 'u'  .

1.3.7. Định lý 7
Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực
tâm O , tỉ số

N (O,k) và N '(O,k ') là phép vị tự

k'

.
k

Chứng minh:
Xét điểm M '  E n  n  2,3 bất kỳ.
Gọi M'  N (M), M"  N '(M') . Khi đó ta có:

OM.OM '  k, OM '.OM "  k '
uuuur k ' uuur
k'
 OM "  OM hay M ''  V  O,   M 
k
 k
Do M bất kì trong không gian E n  n ' on  V  O,



k' 
k

.


1.4. Phép nghịch đảo trong hệ toạ độ Đềcác vuông góc
1.4.1 Trong E 2
Xét phép nghịch đảo N (O, k) trong hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy có gốc
toạ độ trùng với cực của phép nghịch đảo.

M(x, y) là điểm bất kỳ và M '(x ', y ') là ảnh của M qua phép nghịch đảo đó.
Khi đó, theo định nghĩa ta có:

O,M,M' th¼ng hµng O,M,M' th¼ng hµng
   

OM.OM'  k
OM.OM'  k
 x.x' + y.y' = k (* )

Công thức (*) xác định toạ độ của điểm M' đối với hệ toạ độ đã chọn.
15


Khóa luận tốt nghiệp

Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

1.4.2. Trong E 3
Xét phép nghịch đảo N (O, k) trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz có gốc
toạ độ trùng với cực của phép nghịch đảo.
Điểm M = (x, y,z) bất kỳ. Ta kí hiệu M' = (x', y',z') là ảnh của M qua phép
nghịch đảo

N (O,k) . Theo định nghĩa, ta có:

O, M, M' th¼ng hµng O, M, M' th¼ng hµng
   

OM.OM'  k
OM .OM'  k
 x' y' z'
 = =

 x y z
(**)
 xx' + yy' + zz' = k


Hệ phương trình (**) xác định một phép nghịch đảo trong hệ toạ độ Đềcác
vuông góc, có cực trùng với gốc toạ độ và phương tích là k(k  0) .

16


Khóa luận tốt nghiệp

Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Chương 2:Phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích
2.1. Bài toán quỹ tích
Bài toán quỹ tích là bài toán tìm quỹ tích (hay tập hợp) những điểm có tính
chất α cho trước. Quỹ tích này rất đa dạng: có thể là tập rỗng, tập hữu hạn điểm
hoặc vô hạn điểm.
Thông thường, để giải bài toán quỹ tích ta cần tiến hành theo 2 bước sau:
Bước 1 (phần thuận): Chứng minh những điểm có tính chất α thuộc hình (H) .
Bước 2 (phần đảo): Chứng minh mọi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất α .
2.2. Giải bài toán quỹ tích nhờ phép nghịch đảo
2.2.1. Phương pháp chung
Để tìm tập hợp những điểm M có tính chất α ta chọn phép nghịch đảo thích
hợp biến mỗi điểm M có tính chất α thành điểm M' có tính chất α' và quỹ tích
những điểm M' phải tìm được dễ dàng. Từ đó suy ra quỹ tích của những điểm M có
tính chất α là ảnh của quỹ tích những điểm M' có tính chất α' qua phép nghịch đảo
đã chọn ở trên (Do tính chất đối hợp của phép nghịch đảo).

2.2.2. Các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1:
Cho đường tròn (O) . Hai dây cung AA', BB' vuông góc với nhau tại P cố
định trong vòng tròn. (C) là đường tròn qua P tiếp xúc với (O) tại A . (C') là
đường tròn qua P tiếp xúc với (O) tại A' . Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của

(C) và (C') .
Giải
Cách 1: Dùng phép biến hình
Gọi I là giao điểm thứ hai của (C) và (C') , Ax, A'y lần lượt là tiếp tuyến
tại A, A' của (O) .

17


Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Khóa luận tốt nghiệp
Xét phép nghịch đảo

N

cực P , phương tích k  P P

 O  . Khi đó ta có:

N (P,k) biến (C) thành A'y , (C') thành Ax .

 N biến giao điểm I của (C) và (C') thành M là giao điểm của Ax và A'y .
Mà M là cực của đường thẳng AA' đối với đường tròn (O) , P  AA' .

 M nằm trên đường thẳng đối cực p của điểm P đối với (O) .

Suy ra tập hợp điểm I là ảnh của đường thẳng p qua phép nghịch đảo cực P ,

P P (O) .

phương tích k =

 Xác định quỹ tích I
Gọi r là bán kính của (O), OP  p tại
K
Ta có: OP.OK=r 2



(1).



2

OP.OK = OP OP+PK = OP +OP.OK
= PP

(O)

+r 2 +OP.PK.

 2


Từ (1) và (2) suy ra

P P (O) +OP.PK=0
Đặt K ' là ảnh của K qua phép
nghịch đảo đã chọn, ta có:
PK.PK'  P P

(O)

 K ' trùng với O.

Hình 2.1

Vậy, tập hợp điểm I là đường tròn đường kính OP.
Cách 2: Không dùng phép biến hình
Thuận:
Gọi I là giao điểm thứ hai của (C) và (C’), M là giao điểm của các tiếp tuyến
Ax, A’y của (O), K  OP sao cho PO.PK=PA.PA' .
 Ta có: I, P, M thẳng hàng.
Thật vậy: PI là trục đẳng phương của (C) và (C’),
18


Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Khóa luận tốt nghiệp

pM

 C


=MA 2 , p M

 C' 

Mà MA  MA '  p M

 MA '2 .

 C  p  C'   M  PI .
M

Vậy P, I, M thẳng hàng.
 Ta chứng minh OK  KM .
Thật vậy: Theo cách lấy điểm K thì: PO.PK  PA.PA '

PO PA '

PA PK
 A
'KP
 POA ~ PA 'K  OAP
 PO.PK  PA.PA ' 


Mà  OAA'  là đường tròn đường kính OM  MKO
 90 hay MK  OK .
 Ta chứng minh I   OM 
Xét tứ giác OAA'I có :






 'A'
 '  AIP
  PIA
 '  1 AO
 P  1 PO
AIA
1
1
2
2
1
1
 '
= AOA
' AOA
'  AOA
2
2
 I   AOA '    OM 
  90  PIO
  90.
 MOI
P, O là điểm cố định  I thuộc đường tròn đường kính OP.
Đảo lại:
Với I bất kỳ thuộc đường tròn đường kính OP. Ta chứng minh tồn tại hai
đường tròn qua P và tiếp xúc với (O) tại hai điểm A , A' sao cho A , P, A' thẳng

hàng.
Thật vậy:
Trên đường thẳng IP lấy điểm M sao cho PI.PM  p P
Bằng cách:

 O

+ Kẻ qua P dây cung BB' ,
+ Dựng  IBB'  ,
19


Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Khóa luận tốt nghiệp

+ Đường thẳng IP cắt  IBB'  tại giao điểm thứ 2 là M
thì M là điểm cần dựng.
Dựng đường tròn đường kính OM, đường tròn này cắt (O) tại hai điểm A , A' .
(C) là đường tròn (API),  C'  là đường tròn  A'PI  .
Ta chứng minh A , P, A' thẳng hàng.
Ta có: AA' là trục đẳng phương của (O) và (OM).

p P O  PB.PB'
p P OM   PI.PM






(Do OIP=90
 OIM=90
 I  (OM))

Theo cách dựng điểm M thì PI.PM  PB.PB'

 P thuộc trục đẳng phương AA' của (O) và (OM). Hay A , P, A' thẳng hàng.
Vậy quỹ tích giao điểm thứ hai của (C) và  C'  là đường tròn đường kính OP.
Nhận xét:
Ta thấy bài toán vẫn được giải nếu ta không sử dụng phép biến hình. Tuy
nhiên, ta sẽ gặp nhiều khó khăn trong quá trình giải bài toán nếu như ta không dự
đoán trước được quỹ tích các cần tìm. Khó khăn này sẽ được khắc phục nếu ta dùng
phép nghịch đảo để tìm quỹ tích đó.
Như vậy mặc dù phép nghịch đảo không được đưa vào chương trình toán
phổ thông nhưng nếu ta có một số hiểu biết về nó thì cũng có tác dụng tốt trong việc
giải toán hình học, chẳng hạn, ta có thêm một cách dự đoán quỹ tích cần tìm góp
phần giải quyết một khâu quan trọng trong việc giải bài toán quỹ tích.
Ví dụ 2:
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và d là trung trực của AB . Một đường
tròn thay đổi qua A, B cắt d tại D, E . Các đường thẳng CD, CE cắt (O) tại
điểm thứ hai lần lượt là D', E' . Tìm quỹ tích D', E' .
Nhận xét:

20


Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Khóa luận tốt nghiệp
Ta thấy


P C  O  = CD.CD' = CE.CE' = CA.CB

C là điểm cố định cho trước.
CA.CB là số không đổi và khác 0.
Quỹ tích D, E là trung trực của đoạn thẳng AB .
Do đó nếu ta chọn phép nghịch đảo

N (C,k) với k = CA.CB thì D', E' lần

lượt là ảnh của D, E qua phép nghịch đảo
đó tức là quỹ tích các điểm D', E' là ảnh
của đường thẳng d qua phép nghịch đảo đã
chọn.
Giải:
Ta có:

CA.CB = CD.CD' = CE.CE' = k = PC  O .
Xét phép nghịch đảo

N (C,k) . Khi đó,

N  D = D', N  E  = E' .
Hình 2.2

Quỹ tích D, E là đường thẳng d
 Quỹ tích D', E' là ảnh của đường thẳng d qua

N (C,k) .


Ta thấy (O) là đường tròn bất động đối với N (C,k) , góc giữa đường thẳng
d và (O) bằng 90o . Do tính chất bảo tồn góc của hai đường cong của phép nghịch

đảo nên N (d)  N (O) tức

N (d)  (O),C  d  C  N (d) .

Vậy, ảnh của đường thẳng d qua phép nghịch đảo trên đường tròn đi qua  C  và
trực giao với (O) .
Gọi J là giao điểm của AC với (CD'E') thì (ABJC)=  1 .
Vậy, quỹ tích D', E' là đường tròn đường kính CJ , với J là điểm trên AC sao
cho (ABJC)  1 .
Ví dụ 3
21


Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Khóa luận tốt nghiệp

Cho (O) và điểm A cố định nằm ngoài (O). Các cát tuyến thay đổi AMN và
APQ cắt (O) tại M, N, P, Q. Giả sử giao điểm thứ hai của các cặp đường tròn
(AMP) và (ANQ), (AMQ) và (ANP) thứ
tự là B, C.
Tìm quỹ tích điểm B, C.
Giải
Xét phép nghịch đảo cực A, phương
tích k  PA (O) thì M và N, P và Q là hai
cặp điểm tương ứng với nhau.
Khi đó:

(AMP) và (ANQ) lần lượt biến thành các đường thẳng NQ và MP.
Gọi I là giao điểm của MP và NQ thì I và B là hai điểm tương
với nhau
Hìnhứng
2.3
trong phép nghịch đảo đã chọn.
Mặt khác, ta có A và I là hai điểm liên hợp với nhau đối với đường tròn (O).
 Tập hợp điểm I là đường đối cực d của điểm A đối với đường tròn (O)
 Tập hợp điểm B là ảnh của d qua phép nghịch đảo

(AMQ) ,(ANP) qua phép nghịch đảo

n

n

(A,k).

(A,k) lần lượt biến thành các đường thẳng

NP, MQ.
Gọi J là giao điểm của NP và MQ thì J và C là hai điểm tương ứng với nhau
trong phép nghịch đảo

n

(A,k).

Mặt khác, A và J là hai điểm liên hợp đối với đường tròn (O).
 Tập hợp J là đường đối cực của điểm A đối với đường tròn (O).

 Tập hợp C là ảnh của đường thẳng d qua

n

(A,k) là đường tròn đường kính

OA.
Ví dụ 4:
Cho (O), gọi  C  ,  C' là hai đường tròn đi qua tâm O và trực giao với
nhau và cùng tiếp xúc với (O), cắt nhau tại giao điểm thứ hai là I.Tìm quỹ tích I khi

 C ,  C'

thay đổi.
22


Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Khóa luận tốt nghiệp
Giải
Nhận xét:

Do hình vẽ có nhiều đường tròn nên ta có thể sử dụng phép nghịch đảo để
đưa về hình vẽ đơn giản hơn.
Gọi R là bán kính của (O). Chọn phép
nghịch đảo cực là O, phương tích k = -R2, khi
đó (O) có ảnh là chính nó,  C ,  C'
lần lượt biến thành các đường thẳng t1, t2 . Do
tính chất bảo tồn góc giữa hai đường cong của

phép nghịch đảo  t1, t2 là hai tiếp tuyến của
(O) và
Hình 2.4

t1  t2.

Gọi K là giao điểm của t1 và t2 thì I và K là hai điểm tương ứng với nhau trong

n

(O,-R2).

Ta có : OK=R 2  tập hợp K là đường tròn (O, R 2 ).
OI.OK=-R2  OI=

R
2

 Tập hợp I là đường tròn (O,

R
).
2

Ví dụ 5.
Cho ba điểm P, A, B thẳng hàng theo thứ tự, đường thẳng d quay quanh P.
Gọi (C1), (C2) là các đường tròn qua A, B và tiếp xúc với d tại M1, M2.
a. Tìm tập hợp các điểm N1, N2 lần lượt là giao điểm của (AM1M2) với các
đường thẳng BM1, BM2.
b. Tìm tập hợp các điểm Q là giao điểm

thứ hai của M1M2 và N1N2.
Giải
a, Ta có:

23


Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Khóa luận tốt nghiệp
PM 12 =PM 22 =PA.PB





 Tập hợp các điểm M1, M2 là đường tròn  C = P, PA.PB và P là trung điểm

của M1M2.
Hiển nhiên: PM 1.PM 2 =  PA.PB  k (k là số thực không đổi).
Xét phép nghịch đảo
Giả sử A' =

N 1  N 1  P,k .

Hình 2.5

PA.PA'   PA.PB

N 1 (A) thì:


 A' là điểm đối xứng của B qua P.

Mặt khác, tứ giác AA ' M1M 2 là tứ giác nội tiếp  A '   AM 1M 2  .


P

B
AM M
1 2

 BA.BA'  k' là số không đổi.

Xét phép nghịch đảo

N 2 = N 2 ( B,BA.BA' ) thì ta có:

N 2  AM1M2    AM1M2 

nên

N 2  M1   N1, N 2  M2   N2.

 Tập hợp các điểm N1, N2 là ảnh của đường tròn (C)=( P, PA.PB ) qua phép

nghịch đảo

N 2 ( Ký hiệu ( C ' )= N 2 [(C)]).


b, Q là giao điểm của M1M 2 và N1N 2 , ta có

PQ (AM M )  QM .QM
1

1

2

 QN1.QN 2

(1)

2

PQ (C)  QM .QM
1

PQ (C')  QN .QN
1

Từ (1), (2), (3) suy ra

2

(2)

2

(3)


PQ (C) = PQ (C') .

Vậy, tập hợp các điểm Q là trục đẳng phương của hai đường tròn (C) và ( C ' ).
Ví dụ 6
Cho (O) và hai điểm A,B cố định trên nó. Giả sử điểm M di động trên (O).
Gọi (C1), (C2) thứ tự là các đường tròn qua M tiếp xúc với AB lần lượt tại A và B.
Gọi M ' là giao điểm thứ hai của (C1) và (C2).
24


Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Khóa luận tốt nghiệp
Tìm quĩ tích M '
Giải
Gọi I là trung điểm của AB, ta có:

2

P I  C  =P I  C  = AB
1

4

2

 I thuộc trục đẳng phương của (C1) và (C2)

AB2

 I, M, M ' thẳng hàng và: IM.IM'=
.
4

Xét phép nghịch đảo

N  I, AB


4

2


 thì :


M ' và M là hai điểm tương ứng với nhau.
Theo đề bài, tập hợp các điểm M là
đường tròn (O)
 Tập hợp các điểm M ' là ảnh của (O)

qua phép nghịch đảo cực I phương tích
AB2
.
4

Xác định N  O   :

Hình 2.6


Gọi R là bán kính của (O),  O'  N  O   , R ' là bán kính của ( O ' ) thì
AB2
AB2
R.
4 
4 R
R' 
2
AB
I
R
(O)
4
R.

 AB2 

 4 

Mặt khác A, B cũng là hai điểm tương ứng trong phép nghịch đảo N  I,
 A, B  ( O ' )
 ( O ' ) là đường tròn đối xứng với (O) qua đường thẳng AB.

Ví dụ 7
Cho hai đường tròn (O) và ( O ' ) tiếp xúc ngoài tại A, d là trục đẳng phương
của (O) và ( O ' ). Chứng minh rằng có hai đường tròn (I) và ( I ' ) cùng đi qua một

25