trường đại học sư phạm hà nội 2
khoa toán
----------o0o----------

NGUYỄN THỊ THU HÀ

PHÂN TÍCH THỐNG KÊ QUÁ TRÌNH
ĐIỂM POISSON

khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Người hướng dẫn khoa học
Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội – 2008

-1-


Mục lục
Trang
Mở đầu……………………………………………………………….

1

Bảng kí hiệu…………………………………………………………

3

Chương 1: Quá trình điểm Poisson………………………………..

4

1.1. Các định nghĩa…………………………………………….

4

1.2. Một số tính chất cơ bản của quá trình điểm Poisson……...

11

1.3. Mômen và độ đo mômen của quá trình điểm
Poisson…….

15

1.4. Phân phối khoảng cách lân cận gần nhất đối với quá trình
điểm Poisson………………………………………………………….

18

1.5. Phân phối khoảng cách giữa các biến cố………………….

20

1.6. Phân phối khoảng cách từ điểm tới biến cố gần nhất……

20

Chương 2: Phân tích thống kê quá trình điểm Poisson…………..


21

2.1. ước lượng cường độ………………………………………

21

2.2. Kiểm định giả thuyết……………………………………...

23

2.2.1. Kiểm định giả thuyết về tính dừng của quá trình điểm
Poisson………………………………………………………………..

23

2.2.2. Kiểm định giả thuyết về quá trình Poisson……………...

24

Kết luận……………………………………………………………...

34

Tài liệu tham khảo………………………………………………...

35

-2-



mở đầu
Xác suất thống kê là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện
tượng ngẫu nhiên. Nói một cách khác thì hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng
không thể nói trước được nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần
quan sát. Tuy nhiên nếu thực hiện quan sát nhiều lần một hiện tượng ngẫu
nhiên trong những hoàn cảnh như nhau thì trong nhiều trường hợp ta có thể
rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này.
Trong thời đại khoa học kĩ thuật ngày nay, Xác suất thống kê là lĩnh vực
toán học có cơ sở lý thuyết chặt chẽ và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
hoạt động khác nhau của con người từ âm nhạc tới vật lý, từ văn học tới thống
kê xã hội, từ cơ học tới thị trường chứng khoán, từ dự báo thời tiết tới kinh tế,
từ nông học tới y học.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bộ môn toán ứng dụng, dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Trung Dũng, em đã chọn đề tài: “Phân tích
thống kê quá trình điểm Poisson”.
Nội dung của khoá luận gồm 2 chương:
Chương 1: Quá trình điểm Poisson.
Trong chương này, trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản của quá
trình điểm Poisson như mômen và độ đo mômen, các phân phối đối với quá
trình Poisson...
Chương 2: Phân tích thống kê quá trình điểm Poisson.
Trong chương này, trình bày tổng quan về thống kê quá trình điểm
Poisson như ước lượng cường độ, kiểm định giả thuyết…
Trước những khó khăn khi nghiên cứu đề tài, em đã nhận được sự giúp
đỡ, động viên của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên trong khoa. Đặc biệt,

-3-


em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Trung Dũng đã giúp đỡ

và hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khoá luận này.
Do hạn chế về thời gian, kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi
những thiếu xót. Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý
báu của các thầy cô và bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2008
Sinh viên
Nguyễn Thị Thu Hà

-4-


Bảng kí hiệu
d

: Không gian Ơclít d chiều

Ax

:  {y  x y  A}

b(a,r)

:  {x   d : x  a  r}

d

: Thể tích hình cầu đơn vị trong  d

( , A, P) : Không gian xác suất cơ bản


Bd

:  - đại số Borel trên  d

d

: Độ đo Lebesgue trên  d

1B

: Hàm chỉ tiêu của tập B

-5-


Chương 1. Quá trình điểm Poisson
1.1. các Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Một quá trình điểm trên  d là một ánh xạ đo được  từ
không gian xác suất ( , A, P) vào không gian đo được [N, N], trong đó N là
họ tất cả các tập hợp con  của  d và N là  - đại số trên N thoả mãn các
điều kiện:
  là đơn giản nếu ( xi ,x j  thì x i  x j , nếu i  j ).
  là hữu hạn địa phương (mỗi tập con giới nội của  d chỉ chứa một số
hữu hạn các điểm của  )
 N là  - đại số nhỏ nhất trên N sao cho tất cả các ánh xạ   (B) là
đo được với mọi tập Borel B.
Định nghĩa 1.2. Phân phối P của quá trình điểm  được xác định bởi
P(B)  P (  B)  P ( : ()  B), B 


N

(1.1)
Định nghĩa 1.3. Quá trình điểm  hoặc phân phối P của nó được gọi là:
 dừng (hay thuần nhất) nếu các đặc trưng của nó là bất biến dưới phép
dịch chuyển, tức là   x n  và x  x n  x có cùng phân phối với
x   d .

 đẳng hướng nếu các đặc trưng của nó là bất biến dưới phép quay, tức là
 và r  có cùng phân phối với mọi phép quay r quanh gốc.

Một quá trình điểm vừa dừng vừa đẳng hướng được gọi là bất biến
chuyển động (motion – invarriance).

-6-


Định nghĩa 1.4. Cho không gian xác suất ( , A, P) và X là không gian tôpô
Hausdorff compact địa phương. Một độ đo ngẫu nhiên trên X là ánh xạ đo
được  : ( , A, P)  (M, M )
Trong đó: M = M( X ) là tập hợp tất cả các độ đo  hữu hạn địa phương trên
( X , B) và M là  - đại số nhỏ nhất trên M sao cho tất cả các ánh xạ
  (B) đo được với mọi B B.

Chú ý 1.1. Quá trình điểm có thể được xem như tập ngẫu nhiên của các điểm
rời rạc hoặc như một độ đo ngẫu nhiên đếm số điểm rơi vào trong những miền
không gian. Tương ứng với đó ta có kí hiệu sau:
 x  khẳng định điểm x thuộc dãy ngẫu nhiên và trong trường hợp
này ta kí hiệu   x n  .
 (B)  n khẳng định tập B chứa n điểm của  .

 Từ Định nghĩa 1.1 và Định nghĩa 1.4 ta thấy rằng nếu  là một quá
trình điểm trên  d thì  là độ đo ngẫu nhiên trên  d do đó các kết quả của
độ đo ngẫu nhiên cũng được áp dụng vào lý thuyết quá trình điểm.
Định nghĩa 1.5. Hệ thống xác suất
P ((B1)  n1, (B2 )  n 2 ,..., (Bk )  n k )

(1.2)

trong đó B1,B2 ,...,Bk là các tập Borel giới nội và n1,n 2 ,...,n k  0 được gọi là
phân phối hữu hạn chiều của  .
Chú ý 1.2. Theo lý thuyết quá trình điểm thì phân phối của  trên [N, N]
được xác định duy nhất bởi tập các phân phối hữu hạn chiều của nó, k = 1, 2,
3, ...
Định nghĩa 1.6. Xác suất trống (void - probabilities) của quá trình điểm 
được xác định bởi

-7-


B  P( N : (B)  0)  P ((B)  0) , B là tập Borel.
Định lý sau của Olav Kallenberg cho thấy vai trò của tập xác suất trống.
Định lý 1.1. Cho S là không gian tôpô Hausdorff compact địa phương. S là
 - đại số Borel trên S . Kí hiệu S* là vành của các tập compact tương đối

trong S. Khi đó ta có:
1. Giả sử 1 và  2 là hai quá trình điểm đơn giản trên S . Khi đó 1
và  2 có cùng phân phối nếu và chỉ nếu P (1(B)  0)  P (2 (B)  0) ,
B  S* .

2. Giả sử 1 và  2 là hai quá trình điểm đơn giản hoặc là các độ đo

ngẫu nhiên khuếch tán trên S và với c > 0 cố định bất kì. Khi đó 1 và  2 có
cùng phân phối nếu và chỉ nếu E ec1 (B)  E ec2 (B) , B  S* .
3. Giả sử 1 là quá trình điểm đơn giản hoặc là độ đo ngẫu nhiên
khuếch tán trên S và  2 là một độ đo ngẫu nhiên bất kì trên S . Khi đó 1
và  2 có cùng phân phối nếu và chỉ nếu 1(B)  2 (B) , B  S* .
Nhận xét 1.1. Từ định lý trên nếu  là quá trình điểm đơn giản thì phân phối
P của nó được xác định duy nhất bởi các giá trị của k , K K - là họ tất cả
các tập compact trong  d .
Định nghĩa 1.7. Quá trình điểm  được gọi là quá trình điểm Poisson với
cường độ  ( 0     ) trên  d nếu thoả mãn các điều kiện sau:
d

 Nếu B1,B2,...,Bn  B và Bi  Bj   với i  j thì các biến ngẫu
nhiên   B1  ,   B2  ,...,   Bn  là độc lập.
 Với mọi B B giới nội thì   B có phân phối Poisson với trung bình
d

.d  B .

-8-


Tính chất 1.1. Quá trình điểm Poisson định nghĩa như trên là bất biến chuyển
động.
Thật vậy, với mọi B B giới nội thì   B có phân phối Poisson với
d

trung bình .d  B . Mặt khác, x   d thì x  B    Bx  có phân phối
Poisson với trung bình .d  Bx   .d  B (vì d là độ đo Lebesgue bất
biến đối với phép dịch chuyển). Do đó  là dừng. Hơn nữa, từ tính bất biến

của độ đo Lebesgue đối với phép quay quanh gốc nên  là đẳng hướng. Như
vậy,  là bất biến chuyển động.
Tính chất 1.2. Nếu B B và d  B đủ nhỏ thì ta có
d

P    B  0 =1 -  d  B  o 1  B 
P    B  1 =  d  B  o 1  B 

(1.3)

P    B  1 = o d  B
Chứng minh
Với B B giới nội thì   B có phân phối Poisson với trung bình
d

 d  B

d  B . Theo khai triển Taylor ta có P    B  0 = e
 d  B  o  d  B  khi với d  B đủ nhỏ.
 d  B

P    B  1 =  d  B e

  d  B 1  d  B  o  d  B 

=  d  B  o  d  B  khi d  B đủ nhỏ.
Suy ra
P    B  1 =1- P    B  0 - P    B  1
= 0  d  B 


-9-

 1-


khi d  B đủ nhỏ.
Nhận xét 1.2. Giả sử B là tập Borel với d  B =1. Khi đó E   B   . Như
vậy  chính là số điểm trung bình của  trong tập có thể tích đơn vị.
Định nghĩa 1.7. Độ đo cường độ  của quá trình điểm  được xác định bởi
 (B)  E (B)   (B)P(d), B Bd

(1.4)

Tính chất 1.3. Nếu  là quá trình điểm dừng thì độ đo cường độ  thoả
mãn (B)  .d (B),   0 .
Chứng minh
Vì  là dừng nên x   d và B Bd ta có:
 (B)  E (B)  E  x (B)  E (Bx )  (Bx ) .

Suy ra  là bất biến dịch chuyển. Do vậy, theo tính chất của độ đo tồn tại
hằng số   0 sao cho (B)  .d (B), B Bd.



Hằng số  được gọi là cường độ của  . Nếu ta chọn B sao cho

d (B)  1 thì  được hiểu là số điểm trung bình của  trên một đơn vị thể
tích. Ta luôn giả thiết 0     .
Định nghĩa 1.9. Hàm phân phối tiếp xúc HB (đối với tập tiêu chuẩn B ) của
quá trình điểm  được xác định bởi


HB (r)  1  P  (rB)  0 , với r  0 ,
d

trong đó B B với 0  B và d (B)  0 .
Chú ý 1.3. Giả sử f là hàm đo được trên ( d , Bd).
 Tổng của f(x) với x  có thể được viết theo những cách sau:

f (x1)  f (x1)  ...,

 f (x) hoặc

x

-10-


 f (x)p(x)dx

trong đó p(x) 

 (x  y)

với  là hàm Dirac, hoặc

y

 f (x)(dx).
 Giá trị trung bình của tổng ở trên được viết như sau:
E


 f (x),   f (x)P(d) hoặc  f (x)(dx)P(d) .

x

x

 Số điểm của  rơi vào B được viết như sau:

(B) 

 1B (x) và trung bình của nó là

x

E (B)   (B)P(d)  E

 1B (x) =   1B (x)P(d)
x

x

 1B (x)(dx)P(d) .
Định nghĩa 1.10. Độ đo mômen cấp n của quá trình điểm  kí hiệu là

(n) xác định trên B

nd

 f (x1, x 2 ,..., x n )


bởi

(n)

(d(x1, x 2 ,..., x n ))  



x1,x 2 ,...,x n 

=E



f (x1, x 2 ,..., x n )Pd()

x1,x 2 ,...,x n 

f (x1, x 2 ,..., x n ).

trong đó f là một hàm đo được không âm trên R ndn
 Với B1,B2 ,...,Bn  Bd thì ta có
(n) (B1  B2  ...  Bn )  E ((B1)...(Bn ))

Nếu B1  B2  ...  Bn  B thì (n) (Bn )  E (B)n . Như vậy, (n) cho
mômen cấp n của biến ngẫu nhiên (B) .
Trường hợp đặc biệt:

-11-



+ Với n = 1:
(1) (B)  E (B)  (B), B  Bd.

+ Với n = 2:
(2) (B1  B2 )  E ((B1).(B2 )), B1,B2 Bd.

Var ((B))  (2) (B  B)  ((B))2 , B  Bd.
Cov ((B1), (B2 ))  E ((B1).(B2 ))  E (B1). E (B2 )
= (2) (B1  B2 )  (B1).(B2 ), B1,B 2 Bd.
 Nếu  là quá trình điểm dừng thì (n) là bất biến dịch chuyển, tức là
(n) (B1  B2  ...  Bn )  (n) (B1  x)  ...  (Bn  x), x   d .

Định nghĩa 1.11. Độ đo mômen giai thừa cấp n (factorial moment measure)
của quá trình điểm  kí hiệu là (n) xác định trên Bnd bởi

 f (x1, x 2 ,..., x n ) 

(n)

(d(x1,..., x n ))  

#



x1,x 2 ,...,x n 

f (x1, x 2 ,..., x n )Pd().


trong đó f là một hàm đo được không âm bất kì trên 

nd

#

. Kí hiệu



lấy

trên tất cả các điểm (x1,x 2 ,...,x n ) , xi  và x i khác nhau.
 Nếu B1,B2 ,...,Bn  Bd đôi một rời nhau thì
(n) (B1  B2  ...  Bn )  (n) (B1  B2  ...  Bn )

 Với n = 2 thì (2) (B1  B2 )  (B1  B2 )  (2) (B1  B2 ), B1,B2  Bd.
Điều này được chỉ ra từ định nghĩa của (2) , , (2) và quan hệ sau:



1B1 (x1)1B2 (x 2 ) 

x1,x 2



1B1 B2 (x1) 


x1

-12-

#



1B1 (x1)1B2 (x 2 ).

x1,x 2


 Nếu B1  B2  ...  Bn thì (n) (Bn )  E (B)n ,
còn (n) (Bn ) =E (B)((B)  1)...((B)  n  1).
Đại lượng trong ngoặc của kì vọng là giai thừa cấp n của biến ngẫu nhiên
(B) , vì vậy, người ta dùng thuật ngữ “độ đo mômen giai thừa”.
1.2. Một số tính chất cơ bản của quá trình điểm Poisson

Tính chất 1.4. Nếu B1,B2,...,Bk là các tập Borel giới nội rời nhau thì ta có
P    B  n1,   B2   n2,...,   Bk   nk 


1
i 1ni 1 B1  ...d  Bk 
n

k

n1 ! n2 !...nk !


nk

 k

exp    i  d  Bi  
 i 1


trong đó n1,n2,...,nk  0.
Chứng minh
Vì B1,B2,...,Bk là các tập Borel rời nhau cho nên từ điều kiện thứ nhất
của định nghĩa của quá trình Poisson ta có   B1  ,...,   Bk  là các biến ngẫu
nhiên độc lập do đó với n1,n2,...,nk  0 thì
k

P    B1   n1,   B2   n2,...,   Bk   nk    P   Bi   ni  .
i 1

Mặt khác, từ điều kiện thứ hai của Định nghĩa 1.7 ta có   Bi  ,i  1,k
là các biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số d  Bi  .
Do đó ta có
P    B1   n1,   B2   n2,...,   Bk   nk 
n
 d  Bi  exp  d  Bi  


k

i 1


i

ni !

-13-


k
1  B1  1 ... d  Bk  k
n
 k


i
 i 1
exp    i  d  Bi  
n

n



n1 ! n2 !...nk !



i 1

(1.5)


Tính chất 1.5. Xác suất trống (void - probabilities) của quá trình điểm
Poisson  đối với tập tiêu chuẩn B là
B  exp  d  B 

(1.6)

Chứng minh
Dễ dàng suy ra từ định nghĩa của quá trình điểm Poisson.
Theo Định nghĩa 1.9, với B = b(0,1) ta có phân phối tiếp xúc cầu, kí hiệu là

HS  r  .
Tính chất 1.6. Hàm phân phối tiếp xúc cầu HS r  của quá trình điểm
Poisson  cho bởi





HS r   1  exp .dr d , r  0

(1.7)

Đây chính là hàm phân phối của khoảng cách từ 0 đến điểm gần nhất của  .
Định nghĩa 1.12. Cho W là tập compact trong  d . Điểm ngẫu nhiên  được
gọi là có phân phối đều trong W nếu

 A 
P   A   d
d  W 


(1.8)

với mọi tập con Borel A trong W.
Định nghĩa 1.13. Quá trình điểm   1, 2,..., n được gọi là quá trình
điểm nhị thức của n điểm trên tập compact W   d nếu thoả mãn:
 1, 2,..., n là độc lập
 1, 2,..., n có phân phối đều trong W, nghĩa là với mỗi i 1  i  n thì

-14-


 A 
P  i  A   d
d  W 

(1.9)

Ta kí hiệu quá trình điểm nhị thức của n điểm trong tập compact W là

 n

 n

 n

 W . Với mỗi tập con Borel A của W ta đặt  W  A  là số điểm của  W
rơi vào A.

 n


Nhận xét 1.3. Từ định nghĩa của  W ta có

 n

 n

 W     0,  W  W   n
và

 n

 n

 n

 W  A1  A 2    W  A1    W  A 2 
với A1, A 2 là các tập Borel rời nhau trong W.

 n

Rõ ràng tính chất này đúng với phép toán đếm được. Vì vậy  W là một
độ đo ngẫu nhiên.
Từ định nghĩa của quá trình điểm nhị thức ta có tính chất sau
Tính chất 1.7

 n

1. Với mỗi tập con Borel A của W thì  W  A  có phân phối nhị thức


 A 
 n
với tham số n   W  W  và p  d
.
d  W 
2. Xác suất trống

 d  W   d  K 
 n
k  P   W  K   0  


   W  n
d

K là tập con compact của W.

-15-

n

(1.10)


3. Nếu A1, A 2,..., A k là các tập Borel rời nhau và A1  A 2  ...  A k =
W và n  n1  n2  ...  nk thì

 n
 n
P   W  A1   n1,...,  W  A k   nk 



 d  A1   1 ...  d  A k  

n!
=
n1!....nk !
  d  W  n
n

nk

(1.11)

Định lí 1.2. Giải sử  là một quá trình điểm Poisson và W là tập compact của
 d . Khi đó quá trình  trên W với điều kiện   W   n là một quá trình nhị

thức của n điểm trên W.
Chứng minh
Từ Tính chất 1.7 và Nhận xét 1.1 để chứng minh định lý ta đã chỉ ra hệ
thống xác suất trống k , K là tập compact của W, của quá trình  trên W
với điều kiện   W   n có dạng (1.10). Thật vậy, với mỗi tập con compact
K của W ta có



P   K   0,   W   n
  P    W   n 

P   K   0   W  n =




=



P   K   0 . P   W K   n



P    W   n
d  W    d  K 

 d  W 

n

n

.

Định lí 1.3. Cho W là tập đo được giới nội trong  d . Giả sử N là biến ngẫu
nhiên có phân phối Poisson có trung bình là .d  W  với 0     và

-16-


X1, X 2,... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối đều trong W. Khi
đó tập ngẫu nhiên


  X i ,1  i  N
là một quá trình Poisson với cường độ  .
Chứng minh
d

Giả sử B1,B2,...,Bn  B là các tập con rời nhau của W. Ta đặt
n

Bn1  W \  Bi .
i 1

Chú ý rằng với N = k thì    B1  ,   B2  ,...,   Bn1   trong đó   Bi  là số
điểm của  rơi vào Bi có phân phối đa thức với các tham số (k, p1,p2,...,

 B 
pn1) , pi  d i , i  1,n  1, k=k1 + k2 + …+kn. Vì vậy với k1,k 2,... ,
d  W 
k n1    và k xác định như trên ta có

P    B1   k1,   B2   k 2,...,   Bn1   k n1 
= P  N  k  . P    B1   k1,   B2   k 2,...,   Bn1   k n1 N  k

k
. d  W  . d  W   

=e

.


k!

k

l
   d  B1   1   d  Bn1  
 ... 



k
,k
,...,k

W


 1 2
n1   d

 d  W  

n1

   d  Bi     B  k1    B  k n1
d
1
d
n1
 e i 1

.
...
k1 !
k n1 !

 d  Bi  
  exp  d  Bi  
i 1
ki !
n1



ki

-17-

k n1


Theo Định nghĩa 1.7 ta có điều phải chứng minh.
1.3. Mômen và độ đo mômen của quá trình điểm poisson

Định lí 1.4. Cho  là một quá trình điểm Poisson có cường độ  trên  d .
Khi đó ta có

  B   E   B , B  B

d


và
d
2
   B1  B2   E   B1  .  B2  , B1, B2  B
d

d

d

lần lượt là các độ đo trên (  d ,B ) và (  d x  d , B xB ) tương ứng.
Chứng minh
d

Theo định nghĩa quá trình điểm Poisson thì với mỗi B  B thì

  B  E   B = .d  B

(1.12)

Như vậy,  . là tích của hằng số  với độ đo Lebesgue d do đó  . là
d

d

một độ đo trên (  d ,B ) . Mặt khác, với B1,B2  B thì ta có

B1   B1  B2    B1 \ B2  ,
B2   B1  B2    B2 \ B1 
Sử dụng tính chất  như một độ đo ta có

2
   B1  B2   E   B1  .  B2 

=E   B1 \ B2  E   B2 \ B1  +E   B1  B2  .E   B2 \ B1 
+ E   B1 \ B2  .E   B1  B2  +E    B1  B2  

2

= E   B1  .E   B2  +E    B1  B2   -  E  B1  B2  
2

-18-

2


Ta có   B1  B2  có phân phối Poisson với trung bình .d  B1  B2  và vì
vậy
2
   B1  B2   .d  B1  B2  +   B1  .  B2 

= 2 d  B1   d  B2  + d  B1  B2 

(1.13)

2
Từ biểu thức (1.13) suy ra   là một độ đo trên  d x  d .
2
Độ đo  và   lần lượt được gọi là độ đo cường độ và độ đo mômen cấp 2.


Nhận xét 1.4. Nếu  được xem như một độ đo ngẫu nhiên đếm số điểm rơi
2
vào miền con của không gian thì khi đó   được biểu diễn như kỳ vọng của

tổng
2
   B1  B2   E   x,y  : x   B1,y   B2

= E  1B  x  .1B  y 
1
2
x,y

Đặt
2
   B1  B2   E   x,y  : x   B1,y   B2,x  y



= E  1B  x  .1B  y 
1
2
x,y



ở đây  là kí hiệu của tổng lấy trên tất cả (x,y) với x  y . Từ đó ta có
2
2
   B1  B2      B1  B2   E



x,y:x  y

1B  x  .1B  y  = E  1B B  x 
1 2
1
2

2
2
Do đó    B1  B2      B1 x B2     B1  B2  .

Trong trường hợp  là quá trình điểm Poisson dừng thì

-19-

x


2
   2 d  B1   d  B2     B1    B1 

2
(   được gọi là độ đo mômen giai thừa cấp 2). Trong trường hợp này, mật
2
2
độ   đối với độ đo Lebesgue được gọi là mật độ tích cấp 2, kí hiệu là  

và ta có

2
   x1,x 2    2 với x1,x 2   d .

2
ý nghĩa của   : Nếu B1,B2 là hai tập Borel rời nhau có thể tích vô hướng

cùng bé dV1, dV2 và nếu x1  B1, x2  B2 thì
2
   x1,x 2  dV1dV2   2.dV1.dV2

là xác suất để  có một điểm trong mỗi tập B1 và B2 .
n
Đối với quá trình điểm Poisson dừng, độ đo mômen cấp n   cũng được

n
xác định như trong Định nghĩa 1.10 và độ đo mômen giai thừa cấp n  

n
cũng được xác định như trong Định nghĩa 1.11. Hơn nữa   có dạng
n
   B1  B2  ...Bn    n d  B1  ... d  Bn 

(1.14)

n
n
Với n lớn thì mỗi liên hệ giữa   và   là phức tạp. Ví dụ n = 3 thì
3
    B1  B2  B3   3 d  B1   d  B2   d  B3    2 d  B1   d  B2  B3 


+ 2vd  B2   d  B1  B3    2 d  B3   d  B1  B2 
+ d  B1  B2  B3  , B1, B2, B3 B .
d

n
Đối với quá trình Poisson dừng thì mật độ tích của   đối với độ đo

Lebegues cho bởi công thức
n
   x1,x 2,...,x n    n

-20-

(1.15)


1.4 phân phối khoảng cách lân cận gần nhất đối với quá trình điểm poisson

Định nghĩa 1.14. Hàm phân phối khoảng cách lân cận gần nhất D đối với quá
trình điểm Poisson dừng  cho bởi:

D(r)  P ((b(0,r))  1  0)  1  P ((b(0,r))  1  0),r  0
trong đó P ((b(0,r))  1  0)  P ((b(0,r))  1 0 ) .
Định lý 1.5. Đối với quá trình điểm Poisson dừng thì
D(r)  HS  r   1  exp{ dr d} , r  0

(1.16)

trong đó d là thể tích của hình cầu đơn vị trong  d và HS r  là hàm phân
phối tiếp xúc cầu .

Chứng minh
Vì biến cố  0   có xác suất 0 nếu  là dừng, do đó cần thận trọng
khi tính xác suất có điều kiện theo Định nghĩa 1.14. Ta xẽ tính xác suất có
điều kiện này bằng cách tính giới hạn. Với   0 đủ bé nhỏ hơn r thì





D  r   P   b 0,r  \ b 0,     0   b 0,     1
là hoàn toàn xác định vì









P   b 0,r    1  dd.exp dd  0
Sử dụng định nghĩa xác suất có điều kiện và tính chất của quá trình
điểm Poisson ta có

D  r   1-






P   b  0,r  \ b  0,     0 P(  b  0,     1)





P   b  0,     1





= 1- P   b 0,r  \ b 0,     0

 



= 1- exp   d  b 0,r     d  b  0,    .
Cho   0 ta thu được hàm phân phối của khoảng cách lân cận gần nhất

-21-




Dr  1  exp  d  b 0,r  




 1  exp(dr d ), r  0

So sánh kết quả trên với (1.16) ta có D(r)  HS r  , r  0 .
Trong trường hợp d = 2 thì trung bình và phương sai của D cho bởi
1
2 
1
1
2D 

. 4
mD 

1.5. Phân phối khoảng cách giữa các biến cố

Giả sử có mẫu điểm gồm n vị trí của n biến cố được quan sát trong
miền W. Gọi T là khoảng cách giữa hai biến cố bất kỳ. Kí hiệu H là hàm phân
phối khoảng cách giữa các biến cố. Nếu mẫu quan sát về quá trình Poisson
dừng  thì n biến cố trong W sẽ độc lập, có phân phối đều. Trong trường
hợp này phân phối của T đã được Bartlett (1964) chỉ ra khi W là hình vuông
hoặc hình tròn.
 Nếu W là hình vuông đơn vị, phân phối của T là

 2 8t 3 t 4
 , 0 t 1
t 

3
2
H(t)  

4
2t 2  1
1
2 t
2

2t


4
(t

1)
 2t 2 sin1(2t 2  1), 1  t  2
 3
2
3
 Nếu W là hình tròn đơn vị thì
H(t)  1  1{2(t 2  1)} cos1(t 2)  t(1  t 2 2) (1  t 2 4), 0  t  2
1.6. Phân phối khoảng cách từ điểm tới biến cố gần nhất

Giả sử có mẫu điểm gồm n vị trí của n biến cố được quan sát trong
miền W. Ngoài ra trong W ta chọn m điểm, kí hiệu B là tập hợp các điểm này.

-22-


Gọi x là các khoảng cách từ các điểm của B đến các biến cố gần nhất trong
mẫu W. Kí hiệu F(x),x  0 là hàm phân phối khoảng cách của các điểm tới
biến cố gần nhất trong W. Đối với quá trình Poisson thì hàm này trùng với

hàm phân phối lân cận gần nhất D  x  , tức là F(x)  1  exp{ x2} , x  0 .

Chương 2
Phân tích thống kê quá trình điểm poisson
Trong chương này, ta xét bài toán đó là dựa trên mẫu quan sát về quá
trình điểm Poisson từ đó ước lượng các đặc trưng và nhận dạng quá trình.
2.1. ước lượng cường độ

Bài toán: Cho  là quá trình điểm Poisson trong  2 với tham số
cường độ  (chưa biết). Giả sử  được quan sát qua cửa sổ W. Vấn đề đặt ra
là dựa trên các quan sát đó tìm ước lượng  cho tham số  .
 Dựa vào tính chất của quá trình điểm Poisson với mỗi tập Borel giới
nội B thì (B) có phân phối Poisson với trung bình .2 (B) . Khi đó ta có
một ước lượng cho  là

(W)
 
 2 (W)
Ta có  là ước lượng không chệch cho  . Thật vậy,
E  = E

 (W)
(W)
1
. E (W)  2

 .
 2 (W)  2 (W)
2 (W)


Kết quả trên vẫn còn đúng với quá trình điểm Poisson dừng trong  d .
Ví dụ 2.1. Cho mẫu điểm như Hình 2.1

-23-

(2.1)


Vị trí của các hạt  trên máy dò trong hình vuông 60 x 60 với 1 đơn vị

117
= 2 m . Ta có ước lượng cho cường độ  là   2
60

-24-


Hình 2.1: Vị trí của hạt  trên máy dò 60 x 60 (Stoyan,1995)

 Dựa vào sác xuất trống (void – probabilities): Đối với tập Borel B thì
xác suất trống d  P ((B)  0)  ed (B) . Với giả thiết quá trình  được
quan sát qua cửa sổ W và W được chia thành một số lớn các miền vuông có
diện tích bằng nhau và bằng a2 . Gọi p0 là tỉ lệ số miền vuông trống trên tổng
số miền vuông trong cửa số W. Khi đó ta có

p0  exp(.a2 )

(2.2)

Dựa vào (2.2) ta có ước lượng cho  .


 (W) có phân phối
 Khoảng tin cậy cho tham số  : Vì (W)  
2
Poisson. Nếu (W) lớn, dựa trên (2.1) với độ tin cậy 100(1 - ) % khoảng
tin cậy cho  là
2

  2

  2



(W)


(W)



(W)

1




2
 2


 2


2

(2.3)

ở đây  2 là phân vị mức  2 của phân phối chuẩn tắc,  2 = 1.65, 1.96 và
2.58 với  = 0.10, 0.05 và 0.01 tương ứng.
Khoảng tin cậy (2.3) được sử dụng để ước lượng diện tích cửa sổ W.
Giả sử  là độ rộng mong muốn của ước lượng khoảng,  là độ tin cậy yêu
cầu, khi đó ta có

-25-