Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

LI CM N
Trong thi gian nghiờn cứu và hồn thành khóa luận, em đã nhận được
sự giúp đỡ, quan tâm, tạo điều kiện về vật chất, tinh thần của các thầy cơ
trong tổ Giải Tích và sự hỗ trợ, động viên của các bạn sinh viên. Em xin
chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu này.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Tiến Sĩ:
Bùi Kiên Cường đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời
gian qua để em có thể hồn thành khóa luận.
Do thời gian và trình độ nhận thức cịn hạn chế, mặc dù đã cố gắng
nhưng những vấn đề em trình bày trong khóa luận khơng tránh khỏi những
thiếu sót. Vì vậy em kính mong được sự chỉ bảo tận tình của các thầy giáo,
cơ giáo, sự đóng góp ý kiến của các bạn sinh viên để khóa luận của em có
thể hồn thiện hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Xuõn

Nguyễn Thị Thanh Xuân

Lớp K35C SP Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

LI CAM OAN
Khúa lun tt nghip này là kết quả nghiên cứu của em trong thời gian
qua, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Tiến Sĩ: Bùi Kiên Cường.
Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Giải Tích Fourier
Hữu Hạn” khơng trùng với bất kì khóa luận tốt nghiệp nào khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Xn

Ngun ThÞ Thanh Xuân

Lớp K35C SP Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

MC LC

M U
1. Lớ do chn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
3. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
4. Phương pháp nghiên cứu

5. Cấu trúc
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Chuỗi Fourier…………………………………………….…… 3
1.1.1. Định nghĩa………………………………………………3
1.1.2.Sự hội tụ…………………………………………………4
1.1.3. Sự hội tụ đều……………………………………………8
1.1.4. Sự hội tụ trong L2  L2   ,   ……………………….13
1.1.5. Chuỗi Fourier dưới dạng phức, đẳng thức Parseval..

16

1.2. Nhóm hữu hạn…………………………… ………………….18
1.2.1. Định nghĩa nhóm………………………………………18
1.2.2. Tính chất cơ bản của nhóm…………………….............19
1.2.3. Nhóm

 N  …………………………………………..20

CHƯƠNG 2: CHUỖI FOURIER HỮU HẠN
2.1. Chuỗi Fourier trên

 N  …………………………………….28

2.1.1. Định nghĩa chuỗi Fourier……………………………….29
2.1.2. Cơng thức Fourier ngược……………………………….30

Ngun ThÞ Thanh Xuân

Lớp K35C SP Toán



Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

2.1.3. Bin i Fourier nhanh...31
2.2. Cỏc đặc trưng của nhóm Aben hữu hạn……………………….32
2.2.1. Đặc trưng………………………………………………..32
2.2.2. Các quan hệ trực giao…………………………………...33
2.2.3. Các đặc trưng như là một hệ đầy đủ…………………….35
2.3. Chuỗi Fourier trên nhóm hữu hạn tổng quát…………………...38
2.3.1. Định nghĩa……………………………………………….38
2.3.2. Công thức ngược………………………………………...38
2.3.3. Đẳng thức Plancherel……………………………………39
2.4. Một số bài tập……………………………………………….….39
Kết luận chung………………………………………………………....46
Tài liệu tham khảo……………………………………………………..47

Ngun ThÞ Thanh Xuân

Lớp K35C SP Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

M U
1. Lớ do chn tài

Lý thuyết về biến đổi Fourier là một vấn đề lí thú của tốn học, có rất
nhiều ứng dụng trong vật lí, hóa học, lí thuyết đạo hàm riêng phục vụ cho
nghiên cứu rất nhiều vần đề.
Trong quá trình học tập một số môn học và bài giảng chuyên đề em đã
được tiếp thu rất nhiều kiến thức về chuỗi Fourier, bất đẳng thức Bessel,
đẳng thức Parseval, tích phân Fourier….Những kiến thức đó đã tạo cho em
niềm say mê, hứng thú với mơn tốn, đặc biệt là ngành Giải Tích. Hơn nữa
em muốn có thêm kiến thức về chuỗi Fourier và biến đổi Fourier.
Chính vì lí do trên em đã chọn đề tài: “ Giải Tích Fourier Hữu Hạn” ,
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Bùi Kiên Cường để nghiên cứu làm
khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy
logic, đặc thù mơn học.
Khắc sâu, tìm hiểu những kiến thức về Giải tích Fourier hữu hạn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về chuỗi Fourier, nhóm hữu hạn.
Bước đầu tìm hiểu về chuỗi Fourier hữu hạn.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
+) Đối tượng: Chuỗi Fourier và các nhóm hữu hạn
+) Phạm vi nghiên cứu: Giải tích Fourier hữu hạn
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương phỏp nghiờn cu lý lun

Nguyễn Thị Thanh Xuân

1

Lớp K35C SP To¸n



Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

Phng phỏp ỏnh giỏ tng hp
Phng pháp so sánh, phân tích.
6. Cấu trúc khóa luận
Ngồi phần mở đầu, lời cảm ơn, lời cam đoan khóa luận còn gồm hai
chương là:
+) Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
+) Chương 2: Chuỗi Fourier hữu hạn.
Chương 1: trình bày các vấn đề cơ bản về chuỗi Fourier trong trường hợp
tổng quát và một số yếu tố liên quan đến nhóm, nhóm

N .

Chương 2: trình bày về chuỗi Fourier trên nhóm hữu hạn
Từ đó, ta thấy được sự giống v khỏc nhau trong hai trng hp.

Nguyễn Thị Thanh Xuân

2

Lớp K35C – SP To¸n


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2


NI DUNG
CHNG 1. MT S KIN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. CHUỖI FOURIER
1.1.1. Định nghĩa
Với hàm f  L1   ,  , f khả tích Lesbesgue trên   ,   , ta định nghĩa
chuỗi Fourier của f là chuỗi hàm lượng giác như sau:

(1.1)

a0 
   an cos nx  bn sin nx 
2 n 1
Trong đó
an 

(1.2)
bn 

1


1








f ( x)cos nx dx , n  0, 1, 2....





 f  x  sin nx dx ,

n  1, 2, 3....



Mối liên hệ (1.1) – (1.2) cũng được kí hiệu là:

f ( x) ~


a0
   an cos nx  bn sin nx 
2 n 1

và lưu ý rằng kí hiệu “ ~” khơng mang ý nghĩa gì về sự hội tụ của chuỗi
trên, đơn giản nó chỉ mối liên hệ (1.1) – (1.2) mà thơi. Nếu f là hàm tuần
hồn chu kì 2 , ta có định nghĩa chuỗi Fourier của f tương tự như trên,
trong đó các hệ số an , bn được tính trên một đoạn tùy ý  a, a 2 . Nu f

Nguyễn Thị Thanh Xuân

3


Lớp K35C – SP To¸n


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

l hm tun hon chu kỡ 2l , bằng phép đổi biến t 

x
l

, ta đưa về trường

hợp tuần hồn chu kì 2 .
1.1.2. Sự hội tụ
Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên  a, b  , mỗi phân hoạch P của

 a, b
P   a  x0  x1      xn  b  ( n 



)

thành n phần tùy ý. Ta kí hiệu xi  xi  xi  1 ,




f  f  xi   f  xi  1  : là



giao độ của hàm i  1, n .
Biến phân của hàm f trên  a, b  kí hiệu V  f   V  f , a, b  xác định
bởi:
n

V  f   sup 
P

fi

i 1

Nếu V  f  hữu hạn thì ta nói hàm f có biến phân bị chặn.
Bổ đề Tích phân Dirichlet) Cho f là hàm số thực hoặc phức xác định
trên khoảng  a, b  và thỏa mãn một trong hai điều kiện Dirichlet dưới
đây:
(i) Tồn tại các giá trị f  a  , f  b   và f có biến phân bị chặn trên

 a, b (

ta coi hàm f xác định trên  a, b  với giá trị biên

f  a   f  a   và f  b   f b ).

Nguyễn Thị Thanh Xuân


4

Lớp K35C SP To¸n


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

(ii) Cú hu hn im thuc  a, b  sao cho khi bỏ đi các lân cận bé tùy ý
của những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần cịn
lại của  a, b  , hơn nữa f  L1  a, b 
Khi đó:
b

a) Nếu 0  a  b thì lim  f  x 
 
a

sin  x
dx  0 .
x

b) Nếu a  0, a  b , tồn tại f  0   và f có biến phân bị chặn trên


f x
 0,     a, b với   0 thì lim
 0 
0


sin  x

dx  f  0   .
x
2

Định lí 1.1. Cho f  L1    ,   . Nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet
trong    , 



x  , 

mà tại đó hàm f liên tục, hội tụ về



thì chuỗi Fourier của f sẽ hội tụ về f  x  tại các điểm

x là điểm gián đoạn thông thường, hội tụ về

1
 f  x    f  x    nếu
2

1
 f      f     tại
2


x    nếu các giới hạn f     và f    tồn tại.
Chứng minh
Đặt
a
Sn  x   0 
2

n

 a

k

cos kx  bk sin kx  .

k 1

Ta có:
Sn 

1
2







1 2  cos x cos x  sin x sin x 


f  x  
 dx
 ....  2  cos nx cos nx sin nx 'sin nx

Nguyễn Thị Thanh Xuân

5

Lớp K35C – SP To¸n


Khoá luận tốt nghiệp





1
2

=

Trường ĐHSPHN2

f x 1  2cos  x  x   ..  2cos n  x '  x   dx



1

2

sin



 f  x '



1
 2n 1 x  x 
2
dx
1
sin  x  x 
2

do công thức:

sin

n

1  2 cos ku 
k 1

1
 2n  1 u
2

1
sin u
2

Suy ra
1
 2n  1 x  x 
1
2
Sn 
dx
 f  x
1
2 
sin  x  x 
2
1
sin
 2n  1 x  x 

1
2

dx
 f  x
1
2 x
sin  x  x 
2
sin


x

Đổi biến  

x  x
x  x
và  
lần lượt trong tích phân thứ nhất và
2
2

tích phân thứ hai của đẳng thức trên, ta được:

Sn 
(1.3)

1  x   / 2

 

f  x  2 

0



NguyÔn Thị Thanh Xuân

1




sin 2n 1
d
sin

x / 2


0

f  x  2 

sin  2n 1
d
sin 

6

Líp K35C – SP To¸n


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

Vi x ,   cố định, ta có các hàm theo biến  là f  x  2  ( theo
biến  ) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong các khoảng tương ứng
   x

   x


 0,
 và  0,
 . Do đó, nếu f  x  và f  x  tồn tại, theo bổ đề
2 
2 



tích phân Dirichlet, ta có:
1 



f
x

f  x 



2
2

1
  f  x    f  x   
2


lim
Sn  x  
n 

 Nếu f liên tục tại x thì f  x    f  x    f  x  . Khi đó chuỗi Fourier
của f hội tụ về f  x  .
 Với x   , do (1.3) ta có:
Sn  x  

1

f 


 2 

0

1  

f 
 



sin  2n  1
d
sin 

 2 


0






1

   

1  

f   2 

f 
 

 2 

0



1



sin  2n  1

d
sin 



f  2 x   

0

sin  2n  1
d
sin 

sin  2n  1
d
sin 

sin  2n  1 x
dx
sin x

trong đó, ta đổi biến x     ở tích phân thứ hai, áp dụng bổ đề về tích
phân Dirichlet, ta suy ra:

1
lim Sn  x    f     f  
n
2

Nguyễn Thị Thanh Xuân


7

Lớp K35C SP Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

Vi x , chứng minh tương tự. Ta cũng có

1
lim Sn  x    f     f    
n
2
Vậy định lí đã được chứng minh.
1.1.3. Sự hội tụ đều
Định lí 1.2. Cho f  L1    ,   . Giả sử rằng f bị chặn, thỏa mãn điều
kiện Dirichlet trên   ,   . Giả sử f liên tục trên khoảng

 u, v 

   ,   . Khi đó, chuỗi Fourier của f hội tụ đều về f trên một

đoạn bất kì  a, b    u , v  .
Chứng minh
Trước hết, ta thác triển f thành một hàm xác định trên

, tuần hoàn chu kì


2 bằng cơng thức
f  x  2   f  x  .

Khi đó, trong bất kì đoạn nào, ví dụ đoạn   ,   , f được biểu diễn dưới
dạng
f  F  G,

với F và G là các hàm bị chặn, không âm, đơn điệu tăng. Ngoài ra, F và
G liên tục tại các điểm mà f liên tục.

Để chứng minh sự hội tụ đều, cho trước số   0 bất kì, ta sẽ tìm
được số n0  N sao cho với mỗi n  n0 , bất đẳng thức

" Sn  x   f  x    " đúng cho  x   a, b . Thật vậy, với mỗi x   a, b  ,
ta cú

Nguyễn Thị Thanh Xuân

8

Lớp K35C SP Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

1
2n 1 x x 

1
2
Sn  x  
dx
 f  x
1
2 
sin  x  x 
2
  x  / 2
sin  2n 1
1

f  x  2 
d

    x  /2
sin 
sin





 /2

1

f  x  2 
 

 /2

sin  2n  1
d
sin 

trong đó, ta đã sử dụng phép đổi biến x  x  2 trong tích phân thứ hai
và tính tuần hồn chu kì 2 của f trong tích phân thứ ba.
Do f  F  G , tách cận tích phân và biến đổi ta được
Sn  x  

F  x  2 

sin  2n 1
d
sin 

G  x  2 
 

sin  2n 1
d
sin 

 /2

1

 


 /2



 /2

1

 /2




1  /2





F  x  2 

0

sin  2n 1
d
sin 

1  /2

F  x  2 

 
0



1

 /2

G  x  2 
 
0



1

 /2

G  x  2 
 
0

sin  2n 1
d
sin 
sin  2n 1
d
sin 
sin  2n 1

d
sin 

từ đây suy ra:

Ngun ThÞ Thanh Xuân

9

Lớp K35C SP Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

Sn x f  x   Sn  x   F  x   G  x 


1  /2

F  x  2 
 
0



(1.4)

1  /2


F  x  2 
 
0




1  /2




0

1  /2



G  x  2 



sin  2n 1
1
d  F  x 
sin 
2

sin  2n  1

1
d  G  x 
sin 
2

G  x  2 

0

y

Vì các hàm F và G bị chặn, hàm y 

sin  2n 1
1
d  F  x 
sin 
2

sin  2n 1
1
d  G  x 
sin 
2

sin 

 

d là liên tục và


0

y

lim
y  
0

sin 



d 


2

( ta thừa nhận điều này), do đó tồn tại hằng số C  0 sao cho:
y

F  x   C, G  x   C,

sin 

d  C.

 
0


với mọi x   2 , 2  và mọi y  0 . Tiếp theo, ta chọn hai số c, d cố định
thỏa mãn:
u  c  a  b  d  v.

Do F và G liên tục đều trên  c, d  nên ta có    0,  / 2  sao cho:



F  x  2   F  x  

8C

(1.5)

G  x  2   G  x  


8C

đúng với mọi x a, b .

Nguyễn Thị Thanh Xuân

10

Lớp K35C – SP To¸n


Khoá luận tốt nghiệp


Trường ĐHSPHN2

Sau õy, ta xột s hng đầu tiên bên vế phải của (1.4). Ta có
 /2


0

 /2
n
sin 2n 1



d    1  2  cos 2k  d 
sin 
k 1
2

0 

Do đó, ta đánh giá các số hạng đầu tiên bên vế phải của (1.4) như sau:
(1.6)
1  /2

F  x  2 
 
0




1  /2

 

sin  2n 1
1
d  F  x 
sin 
2

[ F  x  2   F  x  ]

0




1

 F  x  2   F  x  
 0 
1  /2





sin  2n  1
d

sin 

sin  2n 1
d
sin 

 F  x  2   F  x  

sin  2n 1
d
sin 

Ta lại có hàm   F  x  2   F  x  là hàm bị chặn, dương và đơn điệu
tăng trên một đoạn tùy ý; hàm    / sin  cũng bị chặn, dương, đơn
điệu tăng trên (0,  / 2] . Do đó, theo định lí về giá trị trung bình của tích
phân, tồn tại    0,   sao cho:

1

 F  x  2   F  x  
 0 




sin  2n  1
d
sin 

1


sin 

1



.
 F  x  2   F  x  







sin  2n 1
d
sin 

 2 n  1 

.
 F  x  2   F  x  

sin 



 2 n  1


sin 



d

 /2
. 2C ,
 F  x  2   F  x 

sin / 2
1

Nguyễn Thị Thanh Xuân

11

Lớp K35C SP To¸n


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

Kt hp vi (1.5), ta cú

1

F  x  2 

 

(1.7)

0

 F  x  

sin  2n 1

d  .
sin 
8

 
Cũng từ định lí giá trị trung bình thứ hai, ta có      ,  sao cho
 2
1  /2

 


(1.8)

 F  x  2   F  x  

 F  x  2    F  x   




 /2

1

 F  x     F  x  
 

2C 


 





sin  2 n  1

sin 

Mặt khác, với 0  p  q 


p

sin  2 n  1
d
sin 




1



q

sin  2 n  1
d
sin 


2






 /2






sin  2 n  1 
d
sin 


sin  2 n  1
d 
sin 


, áp dụng định lí trung bình thứ hai, ta được:

sin  2n 1
d
sin 
1 r
1 q

 sin  2n 1 d  sin q r sin  2n 1 d
sin p p
q

1 r
sin
2
n

1

d


sin  2n 1 d 

 


sin p  p
r

4

 2n 1 sin p



ở đây p  r  q ; ( tính tốn trực tiếp ta có bất đẳng thức sau cùng). Áp
dụng điều này vào (1.8) và chú ý rằng sin    sin  , suy ra:

Ngun ThÞ Thanh Xuân

12

Lớp K35C SP Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

(1.9)

1 /2

F x  2   F  x  
  


sin  2n 1
16C
d 
sin 
 2n 1 sin 

Từ (1.6) đến (1.9) dẫn đến đánh giá sau cùng cho số hạng thứ nhất bên vế
phải của (1.4)

1  /2

F  x  2 
 
0

sin  2n 1
1

16C
d  F  x   
.
sin 
2
8  2n 1  sin 

Ta cũng có kết quả đánh giá hồn tồn tương tự cho các số hạng cịn lại bên
vế phải của (1.4), từ đó suy ra
Sn  x   f  x  



2



64C
.
 2n  1 sin 

Bây giờ ta chọn n0  N sao cho:
64C


 2n  1 sin  2

cách chọn này không phụ thuộc vào x   a, b  .
Vậy định lí đã được chứng minh.
1.1.4. Sự hội tụ trong L2  L2   ,  
 L2   ,   là không gian các hàm f xác định trên   ,   , f

2

khả

tích Lebesgue trên   ,   .


L   ,   
2




f xác định trên   ,   sao cho



2

f  t  dt    





Công thức

f, g 

 f  t  g  t  dt

xác định một tích vơ hướng trên



L2   ,   , với mọi f , g  L2 , .

Nguyễn Thị Thanh Xuân

13


Lớp K35C – SP To¸n


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

Chun tng ng vi tớch vụ hướng là: f



f, f .

Bất đẳng thức Schwarzt. Với mọi f , g  L2   ,   ta có

 f . g .

f, g

 Trong L2 , dãy hàm  n n  N  được gọi là một hệ trực giao nếu:


   x    x  dx  0,  m  n,
m

n



và nếu hệ này có thêm tích chất:



   x  dx
2
n

 1, n



thì ta nói hệ   n  là trực chuẩn.
Cho hàm f  L2 , với hệ trực chuẩn   n  , ta đặt


cn 

 f  x  .  x  dx;  n  N ,
n





thì ta gọi

c 
n

n


là chuỗi Fourier của hàm f (ứng với hệ trực chuẩn   n 

n0



c 

) và kí hiệu là f

n

n

.

n0



Bất đẳng thức Bessel: Giả sử

c 
k

k

là chuỗi Fourier của hàm f ứng

k 0


với hệ trực chuẩn   n  . Khi đó




f 2  x  dx 




2
k

c

k 0

Định nghĩa: Hệ trực chuẩn   n  được gọi là y trong L2 ngha l:

Nguyễn Thị Thanh Xuân

14

Lớp K35C – SP To¸n


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2






ck2

k 0



f 2 x  dx



Định lí 1.3 ( Parseval ) Trong L2   ,   hệ vecto:
cos x sin x
cos nx sin nx 
 1
,
,
, .....,
,
,...





 2



là cơ sở trực chuẩn. Hơn nữa với bất kì hàm f  L2   ,   ta có
f x 

(1.10)
Và:

1









a0

2



 a

n

cos nx  bn sin nx 


n 1


a02
f  x  dx 
   ak2  bk2  ( Đẳng thức Parseval )
2
k 1
2

Ngoài ra chuỗi (1.10) hội tụ trong L2 về hàm f , tức là:







 a0
f   2 



2


 ak cos kx  bk sin kx   dx  0, n   .


Chứng minh

Cho f là hàm số bất kì liên tục trên   ,   và cho trước   0 , khi đó f
bị chặn bởi M  0 . Đặt

  min   2 / 32 M 2 ,    0 .
Đặt g là hàm số liên tục trên   ,   sao cho g bằng f trên đoạn

 

  ,     , g     g   

1
 f     f    và g tuyến tính
2

trên hai đoạn   ,      và    ,   . Suy ra g cũng bị chặn bởi M
và f  g  2M . Ngoài ra, ta xem g như hàm tuần hồn chu kì 2 và

Ngun ThÞ Thanh Xuân

15

Lớp K35C SP Toán


Khoá luận tốt nghiệp

liờn tc trờn

Trường ĐHSPHN2


, nờn ta cú một đa thức lượng giác (tổng Fejer – Cesaro của

g )  n thỏa mãn:
g  x   n  x 

sup
x    , 




1/ 2
 8 

và dĩ nhiên  n có dạng tổ hợp tuyến tính của hữu hạn các hàm trong họ trực
chuẩn đang xét. Vậy
f  n

2

f g



2

 g  n

2
1/ 2




2

f  x   g  x  dx 

   x 

1/ 2

2


   g  x    n  x  dx 
 






2




2

 ,


Như vậy hệ đã cho là một cơ sở trực chuẩn.
Định lí 1.4. Chuỗi Fourier của hàm f  L2   ,   sẽ hội tụ trung bình về
hàm f theo nghĩa:


lim
n 






 a0 n

f
x



    ak cos kx  bk sin kx    dx  0 .

 2 k1



1.1.5. Chuỗi Fourier dưới dạng phức, đẳng thức Parseval.
Cho f  L2   ,   , ta đã biết hệ


  2 

1/2

e inx



là một hệ trực

n

chuẩn đầy đủ trong không gian L2  , . t
cn

Nguyễn Thị Thanh Xuân

1
2



f  x e

 inx

dx , n 




16

Líp K35C – SP To¸n


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

einx
Ta núi chui cn
l chui Fourier của f ứng với hệ trực chuẩn
n
2

  2 

1/2

einx n 

,

và mối quan hệ này được kí hiệu bởi:

f  x

einx
.
2


 cn

n

Nếu giới hạn sau đây tồn tại
eikx
,
lim
 ck
n 
n  k  n
2

thì ta nói chuỗi Fourier của f ứng với hệ trực chuẩn

  2 

2

e inx n 



einx
là hội tụ và giá trị hội tụ cũng được kí hiệu là  cn
.
n
2
Trong trường hợp chuỗi Fourier của f (ứng với hệ trực chuẩn đã cho)

hội tụ, ta có thể viết chuỗi đó dưới dạng sau:
einx
1 

c

f  x  ein x  x  dx


n

n
n  2  
2

1






f
x
cos
n
x

x
dx


i
f  x  sin n  x  x  dx 







2 n    





1
2





f  x  dx 



1








  f  x cos n  x  x dx

n  1 



Do

 f  x  cos n  x  x  dx

là

hàm

chẵn

theo n ,

đồng

thời






 f  x  sin n  x  x dx là hàm lẻ theo n , t ú suy ra:



Nguyễn Thị Thanh Xuân

17

Lớp K35C SP To¸n


Khoá luận tốt nghiệp

cn

n

Trường ĐHSPHN2

e inx
a
1
0    f  x  cos nx cos nx  sin nx sin nx  dx
2  n  1 
2

a
 0    an cos nx  bn sin nx 
2 n 1


Trong đó:
an 
bn 

1


1





 f  x cos nx dx





 f  x sin nx dx



Điều này có nghĩa là chuỗi Fourier của f ứng với hệ trực chuẩn

  2 

2


 trùng với chuỗi Fourier đã được định nghĩa ở trên.

e inx n 

 Nếu f  L2   ,   thì ta có đẳng thức Parseval sau đây:



n

2

cn  lim
n 



2

ck

n  k  n





 f  x 

2


dx



hay

c 

n n  1, 2,...

l2

 f

2

Vậy ta có thể xem phép biến đổi Fourier biến f thành dãy  cn n  1, 2, ... là một
phép đẳng cự từ L2   ,   vào l 2 .
1.2. NHÓM HỮU HẠN
1.2.1. Định nghĩa
1.2.1.1. Định nghĩa nhóm
Cho tập hợp X   , . là một phép tốn hai ngơi trên X ,  X , . là một
nhóm nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Tính kết hợp:  x, y, z  X :  x . y  . z  x . y . z

Nguyễn Thị Thanh Xuân

18


Lớp K35C SP Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

(ii) Phn t n v: e  X ,  x  X : e . x  x . e  x ;
e : là phần tử đơn vị của nhóm

(iii) Phần tử nghịch đảo:  x  X ,  x  X : x . x  x . x  e ;

x : là phần tử nghịch đảo của nhóm.


X là một nhóm giao hốn ( nhóm Aben) nếu:

(i) X là một nhóm
(ii) Có tính chất giao hốn:  x, y  X : x . y  y . x .
1.2.1.2. Định nghĩa nhóm hữu hạn
Cấp của một nhóm X , kí hiệu X , là số phần tử của X nếu X có hữu hạn
phần tử, bằng vơ cùng nếu X có vơ hạn các phần tử.
+) X là nhóm hữu hạn nếu X là hữu hạn.
1.2.2. Tính chất cơ bản của nhóm.
Tính chất 1 ( Luật giản ước ): Cho X là một nhóm, thì:
 x, y , z  X : x y  x z  y  z
yx  zx  y  z

Chứng minh
x y  x z  x 1  x y   x 1  x z 

  x 1 x  y   x 1 x  z
 e y  ez
 yz

Tương tự: y x  z x .
Tính chất 2: Cho X là một nhóm. Phương trình a x  b ( y a  b) , với mọi
a, b  X có nghiệm duy nhất x  a 1 b ( y  b a 1 ) .

Tính chất 3: Cho X là một nhúm, thỡ:

Nguyễn Thị Thanh Xuân

19

Lớp K35C SP Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

1

x1 , x2 ,....., xn  X :  x1 x2 .....xn   x11. x21.....xn1

N

1.2.3. Nhóm

Cho N là một số nguyên dương. Một số phức z là căn bậc N của đơn vị

nếu z N  1 . Tập hợp các căn bậc N của đơn vị là:

 1, e

2 i / N

, e2 i 2/ N ,....., e2 i N  1/ N 

Thật vậy, giả sử rằng z N  1 với z  r ei . Thì chúng ta phải có r N . eiN 1,
và lấy giá trị tuyệt đối r  1. Do đó eiN  1 và điều này chỉ ra rằng
N  2 k , ở đây k  . Vì vậy nếu   e2 i / N thì chúng ta tìm được  k là

nhóm đầy đủ tất cả các căn bậc N của đơn vị. Tuy nhiên, chú ý rằng

 N  1 , do đó nếu n và m khác nhau bởi một bội số nguyên của N thì
 n   m . Trong thực tế dễ dàng thấy:
 n   m , nếu và chỉ nếu n  m chia hết cho N .
Chúng ta kí hiệu tập hợp tất cả các căn bậc N của đơn vị bởi
Chú ý rằng tập hợp
(i) Nếu z ,  
(ii) 1 

 N  thỏa mãn các tính chất sau:

 N  thì z    N  và z    z .

N .

(iii) Nếu z 
Suy ra


N.

 N  , thì

z 1  1 / z 

N

và ln có z z 1  1 .

 N  là một nhóm Aben với phép nhân các số phức.

Định nghĩa: Nhóm

 N  là tập hợp tất cả các căn bc N

ca n v

trờn ng trũn.

Nguyễn Thị Thanh Xuân

20

Lớp K35C – SP To¸n


Khoá luận tốt nghiệp


Trường ĐHSPHN2

Chỳ ý: T n  m , với m và n khác nhau bởi một bội số nguyên của N
ta thấy việc lựa chọn lũy thừa với số mũ nguyên của  để xác định các căn
của đơn vị không phải là duy nhất. Thực tế, ta có thể lựa chọn các số
nguyên thỏa mãn 0  n  N  1 .
Sự lựa chọn này là hồn tồn hợp lí trong các số hạng của tập hợp,
chúng ta hỏi rằng điều gì sẽ xảy ra khi chúng ta nhân các căn của đơn vị. Rõ
ràng chúng ta phải cộng các số mũ một cách tương ứng.Từ đó  n  m   n  m
nhưng khơng có gì chắc chắn rằng 0  n  m  N 1 . Trong thực tế, nếu

 n  m   k , 0  k  N  1 thì n  m và k khác nhau bởi một bội số nguyên
của N . Để tìm được số nguyên trong  0, N  1 tương ứng với tìm căn của
đơn vị  n  m . Chúng ta nhìn thấy rằng sau khi cộng các số nguyên n và m
chúng ta quy về modun N , để mà tìm được duy nhất số nguyên
0  k  N  1 thỏa mãn ( n  m ) - k là một bội số nguyên của N . Một cơ

sở tương đương để tiến tới vô cùng là sự kết hợp mỗi căn của đơn vị w với
một lớp tương đương của n để mà  n   . Để cộng hai lớp này, chọn bất
kì một số ngun trong mỗi nhóm của chúng, ta lấy lần lượt là n và m , và
xác định tổng của hai lớp này là lớp với số mũ là số nguyên m  n .
Chúng ta hình thức hóa các khái niệm trên. Hai số nguyên x, y cùng
modun N nếu hiệu x  y chia hết cho N , và chúng ta viết x  y mod N .
Nói một cách khác, điều này nghĩa là x và y khác nhau bởi một bội số
nguyên của N . Dễ dàng kiểm tra được ba tích chất dưới đây:
 x  x mod N , với mọi số nguyên x .
 Nếu x  y mod N , thì y  x mod N .

Ngun Thị Thanh Xuân


21

Lớp K35C SP Toán