Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đại số tuyến tính là một bộ môn toán nghiên cứu về không gian vectơ,
hệ phương trình tuyến tính, và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng,
là một trong những môn học có vai trò quan trọng cho sự phát triển của
toán học, là môn học cơ sở trong chương trình toán học cao cấp ngày
nay. Đại số tuyến tính được sử dụng nhiều trong toán học như trong đại
số đại cương, giải tích hàm, hình học giải tích…Nó cũng có vô vàn ứng
dụng trong khoa học tự nhiên (vật lí, công nghệ,...) và khoa học xã hội.
Định thức là một trong những công cụ rất quan trọng trong Đại số tuyến
tính và có nhiều ứng dụng trong toán học. Phương pháp định thức cho
phép tiếp cận những kiến thức toán học một cách gọn gàng sáng sủa,
đồng thời sử dụng định thức còn là phương pháp giải toán rất hiệu quả.
Nó có tác dụng tích cực trong việc phát triển tư duy cho người học toán.
Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về mảng kiến thức
này,tôi lựa chọn đề tài “ Định thức và ứng dụng ” để thực hiện khóa luận
tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiêm cứu
Trình bày lí thuyết cơ bản về định thức và ứng dụng của định thức.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đưa ra kiến thức liên quan về định thức và ứng dụng của định thức.
Nghiên cứu về định nghĩa, tính chất,các phương pháp định thức của
ma trận đồng thời đưa ra các ví dụ minh họa cho các phương pháp đó.

Bùi Thị Hoa

1

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

Xây dựng hệ thống bài tập qua các lớp bài toán về ứng dụng của định
thức.
4. Đối tượng nghiên cứu
Xây dựng xung quanh vấn đề định thức và ứng dụng của định thức
trong toán học.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách và nghiên cứu các tài liệu tham khảo
Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu.

Bùi Thị Hoa

2

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

NỘI DUNG
Chương 1: MA TRẬN VÀ CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1.1 Ma trận
1.1.1 Định nghĩa ma trận
Cho K là một trường tùy ý. Một bảng gồm m.n phần tử a ij  K có dạng:

 a11

 a 21
 

 a m1

a12



a 22

am2





a1n 

a2n 
 

amn 


(1)

được gọi ma trận kiểu  m , n  . Mỗi aij được gọi là một thành phần của
ma trận.
Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ A , B ,.... Ma trận (1) có thể
được kí hiệu đơn giản bởi A  ( a ij ) m  n , trong đó i  1, m chỉ số dòng và
j  1, n chỉ số cột của phần tử.

Tập hợp tất cả các ma trận kiểu  m , n  với các phần tử thuộc trường
K được kí hiệu là M at  m  n , K  .

● Khi m  n thì ma trận A  ( a ij ) m  n được gọi là ma trận vuông
cấp n và kí hiệu là A  ( a ij ) n .
● Khi m  1 thì ma trận chỉ có một dòng và n cột, được gọi là ma
trận dòng.

Bùi Thị Hoa

3

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

● Khi n  1 thì ma trận chỉ có một cột và m dòng, được gọi là ma
trận cột.
1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt:

1.2.1 Ma trận chéo
Ma trận vuông có các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0
được gọi là ma trận chéo (hay ma trận đường chéo). Ma trận chéo cấp n
có dạng:
 a11
 0
A
 

 0

0 ... 0 
a22 ... 0 
   

0 ... ann 

Nhận xét: Ma trận đường chéo thường được ký hiệu bởi
diag( a1 , a2 ,..., an ) với các phần tử trên đường chéo chính là a1 , a2 ,..., an

1.2.2 Ma trận đơn vị:
Một ma trận chéo cấp n, có tất cả các phần tử trên đường chéo chính
đều bằng 1, được gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu I n
1.2.3 Ma trận tam giác
Ma trận vuông có các phần tử ở trên (hoặc dưới) đường chéo chính
bằng 0 được gọi là ma trận tam giác.
Ma trận tam giác trên có dạng:
 a11
 0
A

 

 0

Bùi Thị Hoa

a12
a22

0

a1n 
... a2 n 
( aij  0 khi i  j )
  

... ann 
...

4

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1
0
Ví dụ: A  
0


0

2
4
0
0

3
3
1
0

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

4
2 
là ma trận tam giác trên
2

5

Ma trận tam giác dưới có dạng:
 a11
a
A   21
 

 an1


0
a22

an 2

...

0 
... 0 
( a  0 khi i  j )
   ij

... ann 

3 0 0
Ví dụ: B   1 2 0  là ma trận tam giác dưới.
0 1 1



Nhận xét: Ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới được gọi
chung là ma trận tam giác.
1.2.4 Ma trận chuyển vị
a) Định nghĩa:
Cho ma trận A  Mat  m  n, K  . Ma trận chuyển vị của ma trận A,
( ký hiệu AT ) là ma trận mà trong đó vai trò của dòng và cột hoán
chuyển cho nhau nhưng vẫn giữ nguyên chỉ số của chúng.

Bùi Thị Hoa


5

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

 a11
a
Giả sử ta có ma trận A   21
 

 am1

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

a12 ... a1n 
a22 ... a2 n 
thì khi đó ma trận
   

am 2 ... amn 

 a11
a
T
chuyển vị của ma trận A là A   12
 

 a1n


a21
a22

a2 n

am1 
... am 2 
  

... amn 
...

Nếu ma trận A có cấp là m n thì ma trận AT có cấp là n  m.
Trường hợp đặc biệt chuyển vị của ma trận cột là ma trận dòng và
ngược lại chuyển vị của ma trận dòng là ma trận cột.
Ví dụ:
1 2 3 4
Ma trận A   5 6 7 8  thì ma trận chuyển vị của A là
9 1 2 3


1
2
AT  
3

4

5

6
7
8

9
1 
2

3

b) Định lý: Cho các ma trận A, B  Mat (m  n, K) . Khi đó ta có các
khẳng định sau:
T T

A 

 A.

AT  B T  A  B

Bùi Thị Hoa

6

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy


1.2.5 Ma trận nghịch đảo.
Ma trận vuông A  Mat (n  n, K) là một ma trận khả nghịch nếu có
một ma trận vuông B  Mat (n  n, K) thỏa mãn : AB  BA  I n . Khi đó,
B được gọi là ma trận nghịch đảo của A , kí hiệu là : B  A1

1.2.6 Ma trận đối xứng – Ma trận phản đối xứng:
Nếu ma trận vuông A thỏa mãn: AT  A thì ta nói A là ma trận đối
xứng.
 1 2 3
Ví dụ: Ma trận A   2 1 0  là một ma trận đối xứng cấp 3.
3 0 1



Nếu ma trận vuông A thỏa mãn: AT   A thì A là ma trận phản đối
xứng.
Ví dụ:
 0
 2
Ma trận B  
 3

 4

2 3 4 
0 5 1 
là ma trận phản đối xứng.
5 0 3


1 3 0 

Định lý: Nếu A là ma trận đối xứng thì aij  a ji , i, j  1, n
Nếu A là ma trận phản xứng thì aij  a ji , i, j  1, n , từ đây suy ra
aii  0 (các phần tử trên đường chéo chính bằng 0).

1.3 Phép nhân hai ma trận:
Cho hai ma trận A  ( aij ) m  r và B  ( bij ) r  n , khi đó tích của hai ma trận
A và B, ký hiệu là AB là một ma trận C  ( cij ) m  n với các phần tử cij

Bùi Thị Hoa

7

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

( là tổng của các tích các phần tử tương ứng dòng i của ma trận A với
cột j của ma trận B ) cho bởi:
r

cij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  air brj   aik bkj
k 1

Chú ý:
Tích của ma trận A và ma trận B chỉ được xác định khi số dòng của

ma trận B bằng đúng số cột của ma trận A. Tức là nếu A là ma trận cấp

m  r và B là ma trận cấp r  n thì AB là ma trận cấp m  n . Do đó, với
A và B là hai ma trận bất kỳ thì nếu có tích của AB, ta cũng không hẳn
suy ra được tích của hai ma trận BA, nói cách khác, tích của hai ma trận
không giao hoán.
Ngoài ra, có những ma trận khác 0 nhưng tích của chúng lại là ma
trận 0.
1.4 Hạng của ma trận
 Hạng của một hệ vec tơ:

Cho một hệ gồm một số hữu hạn vectơ của không gian vectơ V . Ta
gọi số vectơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ là hạng của hệ
vectơ đã cho.
Kí hiệu hạng của hệ vec tơ 1 ,  2 , ,  n  là rank 1 ,  2 , ,  n 
 Hạng của ma trận

Cho A  M at  m  n , K  . Coi mỗi cột ( hay dòng) của A là một vectơ
ta được hệ n vectơ (tương ứng m vectơ) của không gian vectơ
Kn (tương ứng K m ). Ta gọi hạng của hệ n (tương ứng m ) vectơ này là

hạng của ma trận A và kí hiệu là rank A.

Bùi Thị Hoa

8

K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

Như vậy hạng của ma trận được định nghĩa là hạng của hệ vectơ cột
( hạng hệ vectơ dòng ) của nó.
1.5 Phép thế và dấu của phép thế
1.5.1 Phép thế
 Ta gọi mỗi song ánh từ tập 1, 2,  n lên chính nó là một phép thế

bậc n. Tập hợp tất cả các phép thế bậc n với phép lấy tích ánh xạ lập
thành một nhóm kí hiệu là Sn và Sn có n! phần tử.
Với mỗi   S n ta thường viết như sau:
 1

2



n 

 

  1   2     n  
Như vậy  1 ,  2 ,,  n   là cách sắp xếp thứ tự của 1, 2, n .
Tổng quát : song ánh của một tập hợp A gồm n phần tử vào chính nó
cũng gọi là một phép thế của tập A vì nếu ta liệt kê các phần tử của A
dưới dạng A= a1 , a 2 , , a n  thì phép thế  của A sẽ có dạng:

 a1




a2

an 

 

 a j1 a j 2  a jn 
Trong đó  j1 ,

j2 ,

j3 , 

j n   1, 2, 3,  , n . Như vậy có thể

đồng nhất phép thế này với phép thế:
1

 
 j1

Bùi Thị Hoa

2 
j2 

9


n
jn 

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

 Phép thế   S n mà   i   j ,  j   i ;   k   k , k  i, j được

gọi là một phép chuyển trí, được kí hiệu là  i , j  .
Nghĩa là phép thế  đổi chỗ hai phần tử i, j  1, 2, n cho nhau và
giữ nguyên các phần tử còn lại.
1.5.2 Nghịch thế, dấu của phép thế.
 Với n  1 ta gọi cặp số {i,j}  {1,2,…,n} là một nghịch thế của

phép thế  nếu   i     j  trái dấu với i-j nghĩa là:

 i     j 
i j

0 .

 Phép thế với số nghịch thế chẵn (tương ứng lẻ) được gọi là phép thế

chẵn ( tương ứng lẻ).
 Dấu của phép thế là một số được kí hiệu là sgn   cho bởi:


1
sgn    
1

Bùi Thị Hoa

nếu  là phép thế chẵn
nếu  là phép thế lẻ

10

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

Chương 2: ĐỊNH THỨC

2.1 Định nghĩa
2.1.1 Định nghĩa: Định thức của ma trận A, ký hiệu là detA hay |A|
được tính bằng:
det A 

 sgn   a 

a


1 (1) 2 (2)

...an ( n ) , trong đó Sn là tập tất cả các phép

 S n

thế của tập hợp gồm n số tự nhiên đầu tiên {1, 2,…, n}.
Nhận xét: Định thức của một ma trận vuông cấp n trên trường K thường
được gọi là một định thức cấp n.
Ví dụ:
Khi n = 2 ta có định thức cấp hai:
a
det  11
 a21

a12  a11

a22  a21

a12
a22



 sgn  a    a   
1 1

2

2


 S2

1 2   1 2  
Ta có số các phép thế bậc hai: S2  
;

1 2   2 1  
1 2 
1 2
trong đó: 1  
là phép thế chẵn,  2  

 là phép thế lẻ.
1 2 
2 1

Suy ra biểu thức tính định thức cấp hai là:

a11
a21

a12
 a11a22  a12 a21 .
a22

2.1.2 Các tính chất
2.1.2.1 Tính chất 1: Cho A là ma trận vuông cấp n. Giả sử dòng thứ i
'
''

của ma trận A có thể biểu diễn dưới dạng aij  aij  aij với j = 1, 2, …,n.

Khi đó ta có:

Bùi Thị Hoa

11

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

...
det A  ai1'  ai1''
...
...
 ai1'
...

...
ai2'
...

...
ai2'  ai2''
...


...
...
... ain'  ain''
...
...

... ...
...
'
... ain  ai1''
... ...
...

...
ai2''
...

... ...
... ain''
... ...

Trong đó các dòng còn lại của 2 định thức ở hai vế là hoàn toàn như
nhau và chính là các dòng còn lại của ma trận A.
1 2 3 1 2 3 1 2 3
Ví dụ: 4 5 6  6 5 4  2 0 2
7 8 9 7 8 9
7 8 9

2.1.2.2 Tính chất 2: Nếu tất cả các phần tử của một dòng (hoặc một
cột) của định thức được nhân với  thì định thức mới bằng định thức ban

đầu nhân với  .
1 2 3
1 2 3
Ví dụ: 4 2 6  2. 2 1 3
9 8 6
9 8 6

Nhận xét: Từ tính chất này suy ra nếu A là ma trận vuông cấp n thì
det(  A )   n det( A ).

2.1.2.3 Tính chất 3: Định thức không đổi qua phép chuyển vị, tức là

det A  det AT .
Ví dụ:

2 0
1 3



2 1
0 3

6

2.1.2.4 Tính chất 4: Nếu ta đổi chỗ hai dòng ( i  j ) (hoặc hai cột khác
nhau) bất kỳ của định thức thì định thức đổi dấu.

Bùi Thị Hoa


12

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1 3 5

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

3 1 7

Ví dụ: 2 7 9   2 7 9
3 1 7
1 3 5
Chú ý: Các tính chất 1, 2, 4 trên chính là tính đa tuyến tính thay phiên
của định thức. Từ các tính chất trên ta có các kết quả sau:
2.1.2.5 Tính chất 5: Định thức của ma trận A sẽ bằng 0 nếu thỏa một
trong các điều kiện sau:


Có một dòng mà tất cả các phần tử của dòng đó đều bằng 0.



Có hai dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau.




Có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác. Tức là tồn tại

dòng d i mà d i  a1 d1  a2 d 2  ...  ai 1d i 1  ai 1 d i 1  ...  ak d k  ... với
ai  K .

2.1.2.6 Tính chất 6: Định thức sẽ không thay đổi nếu ta cộng vào một
dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác.
2.1.2.7 Tính chất 7: Nếu A là ma trận tam giác trên (ma trận tam giác
dưới) thì định thức của ma trận A bằng tích của tất cả các phần tử trên
đường chéo chính. Tức là nếu:
 a11
 0
A
 

 0

a12
a22

0

a1n 
 a11

a
... a2 n 
21
hoặc A  
 

  


... ann 
 an1
...

0
a22

an 2

...

0 
... 0 
  

... ann 

Khi đó ta có: det A  a11 .a22 ...ann . Đặc biệt định thức của ma trận đơn vị
bằng 1.
2.1.2.8 Tính chất 8: Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n thì:
det  A. B   detA . det B .

Bùi Thị Hoa

13

K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

Nhận xét:
Nếu thay từ dòng bằng từ cột thì các tính chất trên vẫn đúng.
Đối với các ma trận A có cấp n (với n là một số rất lớn), khi đó việc
tính detA bằng định nghĩa ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Do đó, ngoài
cách vận dụng các tính chất trên của định thức, ta còn rất hay sử dụng
định lý Laplace sau đây.
2.2 Định lý Laplace:
2.2.1 Định thức con và phần bù đại số:
Cho A là ma trận vuông cấp n và k là một số tự nhiên thỏa
mãn 1  k  n . Nếu chọn k dòng và k cột của A thì định thức M của ma
trận vuông cấp k gồm các thành phần nằm ở giao của k dòng và k cột này
được gọi là một định thức con cấp k của ma trận A.
Định thức M' của ma trận vuông cấp n-k nhận được sau khi xóa đi k
dòng và k cột đó được gọi là một định thức con bù của định thức con M
Nếu k dòng đã chọn là i1 , , ik và k cột đã chọn là j1 , , jk thì ta gọi
k

 iq  jq 
.M '
 1
q 1

là phần bù đại số của định thức con M.
Khi k =1 thì phần bù đại số của định thức con cấp một

M  det  aij   aij cũng được gọi là phần bù đại số của phần tử aij . Nó

bằng  1

i j

M ij với M ij là định thức của ma trận vuông cấp  n  1 có

được bằng cách xóa đi dòng i, cột j của ma trận A. Ta kí hiệu phần bù đại
số của phần tử a ij là Aij . Khi đó ta có: Aij =  1

Bùi Thị Hoa

14

i j

M ij

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ: Xét ma trận

D2 

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy


1
0
A
1

0

2
2
5
5

3
4
1
2

2
1 
khi đó. Định thức
4

1

1 2
 2 được gọi là định thức con cấp 2 của A. Định thức con bù
0 2

2 4 1
 7 . Ta có M11  5 1 4 khi đó phần bù đại số

của D2 là D 
2 1
5 2 1

1 4

'
2

của phần tử a11  1 của ma trận A là:
2 4 1
A11  (  1) M 11 = 5 1 4  51
5 2 1
1 1

Nhận xét:
Nếu M là định thức con của A tạo bởi các dòng i1 , i2 ,..., ik và các cột
j1 , j2 ,..., jk thì phần bù đại số của M. Ký hiệu là M ' được xác định như

sau:
M '  (  1) i1  i2  ... ik  j1  .... jk det( K ) với K là ma trận có được từ ma trận A

khi bỏ đi các dòng i1 , i2 ,..., ik và các cột j1 , j2 ,..., jk .
Ví dụ: Đối với ma trận A cho trên, xét M 

1 2
là định thức con của A
1 5

 4 1

tạo bởi dòng 1 và dòng 3; cột 1 và cột 2. Khi đó, K  
 là ma trận
 2 1
có được từ ma trận A sau khi bỏ đi dòng 1, dòng 3 cột 1 và cột 2. Vậy

M '  (1)1312

Bùi Thị Hoa

4 1
 2 .
2 1

15

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

2.2.2 Định lý Laplace: Cho A là ma trận vuông cấp n
 a11
a
 21
 
A
 ai1
 


 an1

a12
a22


... a1 j
... a2 j



ai2 ... aij



an 2 ... anj

... a1n 
... a2 n 

 
.
... ain 

 

... ann 

Khi đó:

 Nếu khai triển định thức A theo dòng thứ i thì detA được biểu diễn
dưới dạng:
n

det A  ai1 Ai1  ai2 Ai2  ...  ain Ain   aik Aik
k 1

 Nếu khai triển định thức A theo cột thứ j thì detA được biểu diễn
dưới dạng:
n

det A  a1 j A1 j  a2 j A2 j  ...  anj Anj   akj Akj
k 1

Ví dụ: Tính định thức:
0
2
D
1
0

3
3
1
4

0
1
3
0


5
1
0
5

Lời giải
Khai triển định thức theo dòng 1, ta có:
2 1 1
1 2

2 3 1
1 4

D  (1) 3 1 3 0  (1) 5 1 1 3
0 0 5
0 4 0

Bùi Thị Hoa

16

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

Khai triển theo dòng cuối của 2 định thức trên có:


D  (1)12 .3.5.(1)33

2 1
1 3

 (1)14 4.(1)23 .5

2 1

 25

1 3

2.2.3 Định lý Laplace (tổng quát):
Cho A  Mat (n  n, K) , chọn trong A các dòng i1  i2  ...  ik . Khi đó,



det( A) 

MM ' , với M là các định thức con cấp k của A sinh bởi

j1  j2 ... jk

các dòng i1 , i2 ,..., ik và các cột j1 , j2 ,..., jk và M’ là phần bù đại số của M.
Ví dụ: Tính định thức sau:
0 3 0 5
D' 


2 3 1 1
1 1 3 0
0 4 0 5

Chọn M là ma trận vuông cấp 2 tạo bởi các phần tử trên dòng 1và dòng4.
Khi đó ta có:
D '  (1)1424

3 5 2 1
0 3 1 1
.
 (1)1412
.
4 5 1 3
0 4 3 0

 (1)1 4 2 4

3 0 2 1
0 0 3 1
.
 (1)1 413
.
4 0 1 0
0 0 1 3

 (1)1 41 4

0 5 2 1
0 5 2 3

.
 (1)1 4 41
.
0 5 1 3
0 5 1 1

 (1)(5)5  25

Nhận xét:
Nhờ có định lý Laplace, để tính một định thức cấp cao (n > 3) ta có
thể khai triển định thức theo một dòng và một cột bất kỳ để đưa về tính
các định thức cấp bé hơn. Cứ như vậy, sau một số lần ta sẽ đưa việc tính
định thức cấp cao về dạng tính định thức cấp 2, 3. Tuy nhiên, trên thực tế

Bùi Thị Hoa

17

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

thì nếu làm như vậy thì số lượng phép tính sẽ khá lớn. Bởi vậy, ta thực
hiện theo các bước sau sẽ làm giảm đi số phép tính cần thực hiện:
 Bước 1: Chọn dòng hoặc cột có nhiều số 0 nhất để khai triển định
thức theo dòng (cột) đó.
 Bước 2: Sử dụng tính chất 6 để đưa định thức về dạng có dòng

(cột) đã chọn thành dòng (cột) chỉ có một số khác 0.
 Bước 3: Khai triển định thức theo dòng (cột) đó. Khi đó, việc tính
một định thức cấp n quy về việc tính định thức cấp n-1. Tiếp tục lặp lại
các bước 1, 2 cho định thức cấp n-1, cuối cùng ta sẽ dẫn về việc tính
định thức cấp 2, 3.
 Ví dụ 1: Chứng minh rằng các định thức sau bằng 0:

ab a 2  b 2

a) bc

b2  c2

ac

c2  a2

2

a  b
2
b  c 
2
c  a
2

  1
2
   1
2

  1
2
  1
2
  1

1 
1 

b) 1 
1 
1 

2

2

  2 
2
   2
2
  2 
2
  2
2
  2 

  3 
2
   3

2
  3
2
   3
2
  3

Lời giải
ab a 2  b 2

a) D  bc b2  c 2
ac

c2  b2

2

a  b
2
b  c 
2
c  a

ab a 2  b 2

= bc b 2  c 2
ac c 2  a 2

a 2  b 2  2ab
b 2  c 2  2bc  D1  D2

c 2  a 2  2ac

trong đó:

Bùi Thị Hoa

18

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

ab a 2  b 2
D1  bc

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

a 2  b2

b2  c2

b 2  c 2 =0 vì định thức D1 có cột 2 bằng cột 3

ac c 2  a 2

c2  a2

ab a 2  b 2


2ab

D2  bc
ac

b2  c2
2

c a

2bc =0 vì định thức D2 có cột 1 và cột 3 tỉ lệ với

2

2ca

nhau
Vậy D  D1  D2  0 .
b)
2

1 

  1
2
   1
2
  1
2
  1

2
  1

1 

 2  2  1

1 

 2  2  1

= 1 

 2  2  1

1 

 2  2  1

1 

 2  2  1

1 
1 

D= 1 
1 

Bùi Thị Hoa


2

  2 
2
   2
2
  2 
2
  2
2
  2 

2

  3 
2
   3
2
  3
2
   3
2
  3
2

  2 
2
   2
2

  2 
2
  2 
2
  2 

2

  3 
2
   3
2
  3
2
   3
2
  3

19

(2)

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1 

2


1 

2

= 1 

2

1 

2

1 

2

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

2

  2 
2
   2
2
  2 
2
  2 
2
  2 


2

  3 
2
   3
2
  3 
2
   3
2
  3

(3)

( vì định thức (2) có được từ định thức (3) cộng vào cột 3 một tổ hợp
tuyến tính của 2 cột đầu)
1 

 2  2  4  4

1 

2

 2  4  4

1 

2


 2  4  4

1 

2

 2  4  4

1 

2

 2  4  4

1 

2 2

1 

2

2

D1  1 

2

2


1 

2

2

1 

2

2

2

  3 
2
   3
2
  3 
2
   3
2
  3

= D1  D2  D3 trong đó:

2

  3 

2
   3
2
  3
2
   3
2
  3

=0 vì định thức D1 có cột 3 và cột 4 bằng

nhau. Tương tự ta cũng có:
1 

2

4

1 

2

4

D2  1 

2

4


1 

2

4

1 

2

4

Bùi Thị Hoa

2

  3
2
   3
2
  3
2
   3
2
  3

1 

2


4

1 

2

4

=0 , D3  1 

2

4

1 

2

4

1 

2

4

20

2


  3 
2
   3
2
   3
2
   3
2
  3

0

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

Vậy D  D1  D2  D3  0 .
ab a 2  b 2

b) D  bc b 2  c 2
c2  b2

ac

ab a 2  b 2
bc
ac


b2  c 2
c2  a 2

b 2  c 2  2bc  D1  D2 trong đó:
c 2  a 2  2ac

D1  bc b 2  c 2
ac c 2  a 2
ab a 2  b 2
ac

=

a 2  b 2  2ab

ab a 2  b 2

D2  bc

2

a  b
2
b  c 
2
c  a

2


b c

2

c2  a2

a 2  b2
b 2  c 2 =0 vì định thức D1 có cột 2 bằng cột 3
c2  a2
2ab
2bc =0 vì định thức D2 có cột 1 và cột 3 tỉ lệ với
2ca

nhau
Vậy D  D1  D2  0 .
 Ví dụ 2: Sử dụng các tính chất của định thức chứng minh rằng:

a1  b1

b1  c1

c1  a1

a1

b1

c1

a2  b2

a3  b3

b2  c2
b3  c3

c2  a2 =2 a2
c3  a3
a3

b2
b3

c2
c3

Lời giải
Cách 1: Ta có

Bùi Thị Hoa

21

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

a1  b1


b1  c1

c1  a1

a1

b1  c1

c1  a1

VT= a2  b2
a3  b3

b2  c2
b3  c3

c2  a2 = a2
c3  a3
a3

b2  c2
b3  c3

c2  a2 +
c3  a3

b1

b1  c1


c1  a1

a1

b1

c1  a1

a1

c1

c1  a1

b2
b3

b2  c2
b3  c3

c2  a2 = a2
c3  a3 a3

b2
b3

c2  a2 + a2
c3  a3 a3


c2
c3

c2  a2 +
c3  a3

b1

b1

c1  a1

b1

c1

c1  a1

a1

b1

c1

a1

b1

a1


b2
b3

b2
b3

c2  a2 + b2
c3  a3 b3

c2
c3

c2  a2 = a2
c3  a3 a3

b2
b3

c2 + a2
c3 a3

b2
b3

a2 +
a3

a1
a2


c1
c2

c1 a1
c2 + a2

c1
c2

a1 b1
a2 + b2

c1
c2

c1 b1
c2 + b2

c1
c2

a1
a2

a3

c3

c3


c3

a3

c3

c3

c3

a3

a1
= a2
a3

b1
b2
b3

a3

c1 b1
c2 + b2
c3 b3

c1
c2
c3


b3

a1 a1
a2 = a2
a3 a3

b1
b2
b3

b3

c1 a1
c2 + a2
c3 a3

b1
b2
b3

c1
a1
c2 =2 a2
c3
a3

b1
b2
b3


c1
c2
c3

=VP
Vậy ta có : VP=VT đẳng thức được chứng minh.
Cách 2
Đưa 2 vào trong định thức vế phải ta được
a1  b1

b1  c1

c1  a1

2a1

b1

c1

a2  b2
a3  b3

b2  c2
b3  c3

c2  a2 = 2a2
c3  a3 2a3

b2

b3

c2
c3

Ở vế phải ta lấy cột 2 cộng cột 3 ta được:

Bùi Thị Hoa

22

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

2a1

b1  c1

c1  a1

2a1

b1  c1

c1


2a2
2a3

b2  c2
b3  c3

c2  a2 = 2a2
c3  a3 2a3

b2  c2
b3  c3

c2
c3

Ở vế trái ta lấy cột 3 trừ đi

1
lần cột 1 ta được:
2

2a1
2a2

b1  c1
b2  c2

c1 2a1
c2 = 2a2


b1  c1
b2  c2

c1
c2

2a3

b3  c3

c3

b3  c3

c3

2a3

Vậy đẳng thức là đúng.
2.3 Các phương pháp tính định thức.
2.3.1 Phương pháp dùng định nghĩa
Định thức của ma trận vuông A   aij nn  Mat  n  n, K  được tính theo
công thức:
det A 

 sgn  a    .a    ...a   
1

1


2

2

n

n

 S n

Trong đó Sn là tập hợp tất cả các phép thế bậc n
Ví dụ:Xét định thức cấp 3
 a11
det  a21
a
 31

a12
a22
a32

a13  a11
a23  = a21
a33  a31

a12
a22

a13
a23 =  sgn  a1 1 .a2  2  .a3 3


a32

a33

 s3

Số các phép thế bậc 3:

Bùi Thị Hoa

23

K35A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

1 2 3 
 1 2 3
 1 2 3
;
;




3

 2  2 3 1
 3 2 1 .
1 2 3 





1  

1 2 3

1 2 3 

 1 2 3

4  
 ;  5  1 3 2  ;  6   2 1 3  .
3 1 2




Trong đó : 1 ,  2 ,  4 là những phép thế chẵn ,  3 ,  5 ,  6 là những phép
thế lẻ. Do đó ta có:
a11
a21
a31

a12

a22
a32

a13
a23  a11a22 a33  a12 a23 a31  a13 a21a32  a13 a22 a31  a12 a21a33
a33
 a11a23 a32

 Nhận xét : Việc tính định thức theo định nghĩa là rất khó khăn vì số

phép thế bằng n! là một số khổng lồ khi n tăng.Trên thực tế nó chỉ được
áp dụng để tính khi n  2,3 ; hoặc khi ma trận A có dạng rất đặc biệt.
Sau đây là một số phương pháp thông dụng.
2.3.2 Phương pháp khai triển
Cơ sở của phương pháp này là định lý khai triển Laplace
Ví dụ: Tính các định thức sau:
0 3 0 5

a) D 

2 3 1 1
1 1 3 0
0 4 0 5

Bùi Thị Hoa

24

K35A – SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

1 x x 1 x  2
0 0 x2  1
0

b) D ' 

x 1

x

x2

5

0 0 x 1

x100

Lời giải
a) Khai triển định thức theo dòng 1 và dòng 4 ta được:
3 5 2 1
3 1 1
1 4 1 2 0
.
  1

.
4 5 1 3
0 4 3 0

1 4  2 4

D   1

1 4 2 4

3 0

1 41 4

4 0
0 5

  1

  1

0 5

.
.

2 1
1 0
2 1
1 3


1 4 13

0 0

1 4 4 1

0 0
0 5

  1
  1

0 5

.
.

3 1
1 3
2 3
1 1

  1 . 5  .5
 25

Vậy D  25 .
b) Khai triển theo dòng 2 ta được:

1 x x2

D '   1

2 3

x

2

 1 x 1 x  2
0 0 x100

Tiếp tục khai triển theo dòng 3 ta được:
2
1 x
 1  x 2  .x100
x 1

D '  1  x 2  .x100
2

Vậy D '  1  x 2  .x100 .

Bùi Thị Hoa

25

K35A – SP Toán