Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn
Trong thời gian học tập tại khoa Toán - Trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2, được sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo, em đã tiếp
thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới,
bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học.
Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy, các cô
trong khoa Toán – những người đã luôn chăm lo, dìu dắt cho chúng em
trưởng thành như hôm nay.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy NCS. Nguyễn Huy Hưng,
người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong
thời gian em thực hiện khoá luận này.

Sinh viên
Đào Xuân Tiềm

4


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

Lời cam đoan
Khoá luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy NCS.
Nguyễn Huy Hưng cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên
cứu, em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài
liệu tham khảo).

Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận là kết quả nghiên cứu
của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Sinh viên
Đào Xuân Tiềm

5


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

Mục lục
Trang
Mở đầu……………………………………………………………………..

4

Chương 1. những Kiến thức bổ trợ ………………………………

5

1.1. Đa thức…………………………………………………………

5

1.2. Hàm hữu tỉ……………………………………………………...


9

1.3. Số đại số………………………………………………………..

9

Chương 2. Định lí siêu việt Hermite - Lindemann…………..

13

2.1. Một số bổ đề…………………………………………………...

13

2.2. Định lí siêu việt Hermite - Lindemann………………………..

17

2.3. Một số hệ quả …………………………………………………

28

Kết luận…………………………………………………………………..

31

Tài liệu tham khảo……………………………………………………

32


6


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

Mở đầu
Vào khoảng 287 - 212 trước CN, nhà toán học cổ Hi Lạp Archimède đã
tìm ra số  , dựa vào những công trình hình học của ông là nhằm tìm ra tương
quan giữa độ dài đường tròn và đường kính của nó. Đến cuối thế kỉ XVII đầu
thế kỉ XVIII, Euler nhà toán học người Thụy Sĩ đã đưa ra số e.
Khi số  và số e ra đời, nó có vai trò quan trọng trong Toán học, Vật lý
học và cả trong một số lĩnh vực kĩ thuật. Ta đã biết số  và số e là những số
siêu việt, nhưng thực sự để chỉ ra tính siêu việt của hai số này không phải đơn
giản. Vào năm 1882, nhà Toán học người Đức Lindemann đã chứng minh
định lí siêu việt Hermite – Lindemann và kết quả thật đáng ngạc nhiên trong
việc chỉ ra số  và số e là số siêu việt thật dễ dàng khi dựa vào định lí này.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn tính siêu việt của
số  và số e, bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em đã
chọn đề tài “ Định lí siêu việt Hermite – Lindemann ”.
Nội dung của luận văn gồm hai chương:
Chương 1. Những kiến thức bổ trợ
Chương 2. Định lí siêu việt Hermite – Lindemann
Trong chương 1, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về đa thức,
nghiệm của đa thức; hàm hữu tỉ và đặc biệt là khái niệm số đại số, số siêu
việt.
Trong chương 2, tôi đưa ra các bổ đề để sử dụng trong việc chứng minh định
lí siêu việt Hermite-Lindemann và đưa ra một số hệ quả của nó.
Phương pháp nghiên cứu của đề tài là đọc tài liệu và trao đổi nghiên

cứu.

7


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

8


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

Chương 1. Những kiến thức bổ trợ
1.1. Đa thức
Định nghĩa 1.1.1. Một hàm số dạng f(x) = axn gọi là một đơn thức, với a  0
là một số bất kì (trường hợp chung nhất là số phức), x là biến độc lập và n là
một số nguyên không âm, a được gọi là hệ số của đơn thức, n được gọi là bậc
của đơn thức.
Định nghĩa 1.1.2. Một hàm số P  x  gọi là một đa thức, nếu có thể biểu diễn
như tổng hữu hạn những đơn thức, nghĩa là:
P  x   a1 x n1  a2 x n2  ...  ak x nk ,

trong đó các a1, a2 ,..., ak là những số bất kỳ, còn n1, n2,…,nk là những số
nguyên không âm.
Định nghĩa 1.1.3. Nếu đa thức P(x) viết dưới dạng:
P(x) = a0 xn + a1xn-1 + …+an-1x + an,

trong đó a0  0, thì ta nói rằng nó được viết theo bậc của x hoặc là biểu diễn
dưới dạng chuẩn tắc. Các số a0, a1,…, an gọi là các hệ số của đa thức. Số a0 là
hệ số bậc cao nhất còn số an gọi là hệ số tự do. Số n gọi là bậc của đa thức và
kí hiệu là: deg P(x) = n.
Ví dụ 1.1.1. Hãy viết dạng chuẩn tắc của các đa thức sau:
a, P(x) = (x - 1)4 - x3,
b, P(x) = (x - 2) (x2 + 1),
c, P(x) = (2 - ix2)2+ (2 + i 3 )x3 + i x2.
Lời giải.
a, P(x) = x4 - 4x3 + 6x2 - 4x + 1 - x3
= x4 - 5x3 + 6x2 - 4x +1,
b, P(x) = x3+ x - 2x2 - 2

9


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

= x3 - 2x2 + x - 2,
c, P(x) = 4 - 4 i x2 - x4 + (2 + i 3 ) x3 + ix2
= - x4 + (2 + i 3 )x3 - 3ix2 + 0.x + 4.
Một số tính chất
Cho P(x) và Q(x) là những đa thức. Khi đó, ta có một số tính chất sau:
1, Tính của hai đa thức P(x) và Q(x) là một đa thức R(x), và ta có: degR(x)=
degP(x) + degQ(x).
2, Tổng (hiệu) của hai đa thức P(x) và Q(x) là một đa thức R(x), và ta có:
degR(x) = Max{degP(x); degQ(x)}.
Định nghĩa1.1.4. Cho đa thức P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 1. Khi đó, một

số  gọi là nghiệm của đa thức nếu P(  ) = 0.
Ví dụ 1.1.2. Hãy tìm nghiệm của đa thức trên  và  :
a, P(x) = x3 - 3x + 2,
b, P(x) = x2 - 2x + 2.
Lời giải.
a,Ta có P(x) = x3 -3x + 2
= (x - 1)2 (x + 2)
x 1
 P(x) = 0  
 x  2

Vậy nghiệm của đa thức này trên  và  là trùng nhau, đó là những giá trị :
x = 1 và x = -2.
b, Ta có P(x) = x2 – 2x +2
 ' = 1 - 2 = -1 < 0
2

 Đa thức này không có nghiệm thực. Nhưng ta lại có -1 = i nên đa

thức này có hai nghiệm phức đó là: x= 1 + i và x = 1 – i.
Định lí 1.1.1. Mọi đa thức P(x) = a0xn +a1xn-1 + …+an-1x+an có thể biểu diễn
dưới dạng :

10


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp


P(x) = a0 (x -  1 ) (x -  2 ) … (x -  n ),
trong đó  1 ,  2 , …,  n là những nghiệm của đa thức.
Định lí 1.1.2. Mọi đa thức bậc n ( n   * ) đều có không quá n nghiệm.
Định lí 1.1.3. Mọi đa thức bậc n ( n   * ) đều có n nghiệm phức.
Công thức Viéte
Cho P( x)  a0 xn  a1 xn1  ...  an1 x  an là một đa thức bất kỳ và
P( x)  a0  x  1  x   2  ... x   n  , trong đó 1 , 2 ,..., n là những nghiệm của

đa thức. Khi đó, ta có công thức Viéte:

1 +  2 + … + n = -

a1
a0

 1  2 +  1  3 + … +  1  n +  2  3 + … +  n 1  n =
 1  2 …  k + …+  n  k 1  nk  2 …  n = (-1)k

a2
a0

ak
a0

………………………

 1  2 …  n = (-1)n

an
.

a0

Định nghĩa 1.1.5. Một hàm số dạng   x1 , x2 ,..., xk   ax1n x2n ...xkn , trong đó
1

2

k

a  0 là một số ( trường hợp chung nhất là một số phức), x1 , x2 ,..., xk là những

biến số, còn n1, n2 ,…,nk là những số nguyên không âm, được gọi là một đơn
thức của những biến x1 , x2 ,..., xk . Số a gọi là hệ số của đơn thức, còn số
n = n1+n2 + …+ nk gọi là bậc của đơn thức.
Kí hiệu : deg   x1 , x2 ,..., xk   n1  n2  ...  nk .
Những số n1, n2,…, nk gọi là bậc của đơn thức ứng với những biến
x1 , x2 ,..., xk .

Định nghĩa 1.1.6. Hai đơn thức gọi là đồng dạng, nếu chúng chỉ khác nhau
về hệ số.

11


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.1.7. Một hàm số P  x1 , x2 ,..., xk  gọi là một đa thức nhiều biến,
nếu nó có thể biểu diễn như tổng của hữu hạn những đơn thức, nghĩa là:

P  x1 , x2 ,..., xk  = a1 x1n x2n … xkn + … + an x1l x2l … xkl ,
1

2

k

1

2

k

trong đó a1 x1n x2n … xkn ,…, an x1l x2l … xkl là các đơn thức của những biến
1

k

2

1

k

2

x1, x2,…, xk.
Định nghĩa 1.1.8. Cho một đa thức nhiều biến P  x1 , x2 ,..., xk  . Đa thức này
gọi là đa thức đối xứng, nếu với mọi hoán vị các số i1, i2, … ik của các số 1,2,
…, k đều thoả mãn đẳng thức sau:






P xi1 , xi2 ,..., xik  P  x1 , x2 ,..., xk  .

Nói cách khác, một đa thức là đối xứng nếu nó không thay đổi khi thay đổi
vai trò của các biến cho nhau trong dạng khai triển của nó.
Ví dụ 1.1.3. Đa thức sau đây là đối xứng
P(x1,x2,x3) = x12 + x12 + x32 - x1x2x3
vì dễ dàng kiểm tra những đẳng thức sau là đúng:
P(x1,x2,x3) = P(x1,x2,x3) = P(x2,x1,x3) = P(x2,x3,x1)
= P(x3,x1,x2) = P(x3,x2,x1).
Định nghĩa 1.1.9. Những đa thức sau đây gọi là những đa thức đối xứng cơ
sở:

1 = x1 + x2 + … + xk,

 2 = x1x2 + x1x3 + … + x1xk + … + xk-1xk,
………….

 m = x1x2…xm +…+ xk-m+1 xk-m+2…xk,

 k = x1x2…xk.
Định lí 1.1.4. (Định lí cơ bản cho những đa thức đối xứng)
Mọi đa thức đối xứng có thể biểu diễn như đa thức của những đa thức đối
xứng cơ sở và sự biểu diễn này là duy nhất.

12



Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

Hệ quả 1.1.1. Nếu 1 ,  2 ,…,  k là k nghiệm của đa thức với hệ số hữu tỉ và
P(x1,x2,…,xk) là một đa thức đối xứng với hệ số là các số hữu tỉ, thì ta có:
P( 1 ,  2 ,…,  k ) là một số hữu tỉ.
1.2. Hàm hữu tỉ
Định nghĩa 1.2.1. Hàm hữu tỉ là hàm dạng R  x  =

P( x)
, trong đó P( x) và
Q( x)

Q ( x) là những đa thức:
P( x) = a0 xn  a1xn1  ...an1x  an

Q( x)  b0 xm  b1x m1  ...  bm1x  bm ,
với a 0 , a1 ,…, an ; b0 , b1 ,…, bm là những hằng số (trường hợp chung nhất là số
phức), gọi là các hệ số của hàm hữu tỉ, a0  0 , b0  0 , n và m là những số
nguyên không âm.
Hàm hữu tỉ R( x) xác định với mọi x mà làm cho Q( x)  0 .
Định nghĩa 1.2.2. Hàm hữu tỉ gọi là hàm hữu tỉ chuẩn nếu bậc của đa thức tử
nhỏ hơn bậc của đa thức mẫu.
Ví dụ 1.2.1. Các hàm sau là các hàm hữu tỉ
a) R ( x) 

2 x3  4 x  1

,
3x 2  4 x  1

b) R ( x) 

x 1
.
x  2x  2
2

Định nghĩa 1.2.3. Hàm hữu tỉ nguyên là tên gọi khác của đa thức.
Ta thấy hàm hữu tỉ nguyên là trường hợp riêng của hàm hữu tỉ (với đa thức
mẫu là đa thức bậc 0).

13


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

1.3. Số đại số
1.3.1. Một số định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 1.3.1. Một số  gọi là số đại số, nếu nó là nghiệm của một đa
thức hệ số hữu tỉ.
Ví dụ 1.3.1. Những số

3,  3 2,

1

1
 3i, (1  3i) đều là những số đại số.
2
2

Thật vậy, ta thấy:
+)

3 là nghiệm của đa thức x 2  3   x  ,

+)  3 2 là nghiệm của đa thức x3  2   x  ,
+)

1
 3i là nghiệm của đa thức
2

1
1



 x  ( 2  3i)   x  ( 2  3i) 




1
1
1

1
 x 2  (  3i) x  (  3i) x  (  3i)(  3i)
2
2
2
2
1
1
1
 x 2  x  3ix  x  3ix   i 2 32 )
2
2
4
 x2  x 
+)

37
  x ,
4

1
(1  3i) là nghiệm của đa thức x 2  x  1  x  .
2

Định nghĩa 1.3.2. Cho  là một số đại số. Khi đó, đa thức m(x) với hệ số
hữu tỉ gọi là đa thức tối tiểu của số  nếu m(x) là đa thức có hệ số bậc cao
nhất bằng 1 và m(x) là đa thức bậc thấp nhất mà nhận  làm nghiệm.
Ví dụ 1.3.2. Đa thức tối tiểu của số đại số 1+2i là: x 2  2 x  5.
( Ta có thể dễ dàng chỉ ra không có đa thức bậc nhất nào mà nhận 1  2i làm
nghiệm. )

Định nghĩa 1.3.3. Một số không phải là số đại số được gọi là số siêu việt.
Ví dụ 1.3.3. Số  và số e là những số siêu việt (tính siêu việt của  , e ta
thấy ở phần sau).

14


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.3.4. Một số  gọi là số đại số nguyên nếu nó là nghiệm của đa
thức hệ số nguyên.
Định nghĩa 1.3.5. Số nguyên Cyclotomic là số có dạng :

 0  1  ...   p 1 p 1 ,
trong đó   e

2 i

p

là số Moivre, p là số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 23 và

0 ,1,..., p1 là các số nguyên.
Ví dụ 1.3.4. Ta xét trường hợp p = 2 ta có   e i  1 , suy ra các số nguyên
Cyclotomic có dạng  0  1   0  1 . Do đó, mọi số nguyên đều là số
nguyên Cyclotomic.
Ví dụ 1.3.5. Ta xét trường hợp p = 3, ta có:


 e

2 i

3











1
1
1  3 i ,  2  1  3 i .
2
2

Suy ra số nguyên Cyclotomic có dạng:
 1

0  1   
 2

 1
3 

3 
i    2   
i 
2 
2
2



  0 

1  2   1 3  2 3 

   0 

1  2    1   2  3



2



2








2   2

2 

i
2 

2

i

Bây giờ, ta lấy các giá trị cụ thể của  0 ,1 , 2 ta được các số nguyên
Cyclotomic:

1  2

0  2  2


  1   2  3
i

2


0

1


2

2

0

0

2

2

0

1

3
3

i
2 2

15


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

1


4

2

2

3

1

…

…

…

-2+ 3 i

3i
…

Định nghĩa 1.3.6. Số nguyên Eisenstein là số có dạng a + b  , trong đó a và
b là các số nguyên,  =

1
(1  i 3) .
2

Từ định nghĩa, ta có thể dễ dàng chỉ ra: tổng, hiệu, tích hai số nguyên

Eisenstein là một số nguyên Eisenstein.
2 i
1
Do   (1  i 3)  e 3 , nên mọi số nguyên Eisenstein đều là số nguyên
2

Cyclotomic. Điều ngược lại không đúng.
Định nghĩa 1.3.7. Số nguyên Gaussian là số phức a + bi, trong đó a và b là
các số nguyên.
Từ định nghĩa, ta có thể dễ dàng chỉ ra: tổng, hiệu, tích hai số nguyên
Gaussian là một số nguyên Gaussian.
Đinh nghĩa 1.3.8. Số nguyên Hamiltonian là tổ hợp tuyến tính của các
Quaternion.
Định nghĩa 1.3.9. Số nguyên hữu tỉ là tên gọi chung của các số sau:
số nguyên Cyclotomic, số nguyên Eisenstein, số nguyên Gaussian, số nguyên
Hamiltonian.
1.3.2. Một số tính chất
1, Mọi số hữu tỉ đều là số đại số.
2, Mọi số phức dạng a + bi trong đó a, b   đều là các số đại số.
3, Số  là số đại số khi và chỉ khi nó là nghiệm của đa thức hệ số nguyên.
4, Nếu  là một số đại số, thì a  cũng là một số đại số (với a là một số hữu
tỉ).
5, Nếu  ,  là 2 số đại số, thì    ,  .  cũng là các số đại số.

16


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp


(Vì tập các phần tử của trường K là đại số trên trường A lập thành một
trường con của K trong đó A là một mở rộng của K. Ta có      suy ra
các phần tử của  hoặc  là đại số trên trường  lập thành một trường con
của  hoặc  ).

Chương 2. Định lí siêu việt Hermite - lindemann
2.1. Một số bổ đề
Bổ đề 2.1.1. Cho 1 ,...,  là các số đại số đôi một khác nhau; A1 ,..., AL là các
số đại số khác với số 0 (  , L   * , L   ). Khi đó, tích của tất cả các biểu thức

Ar e  ...  As e (với Ar ,..., As là  thành phần bất kì của A1 ,..., AL ) sau khi kết
1



hợp mỗi phần tử với cùng hệ số mũ e luôn có dạng:

   ...  Am e ,
  Ae
1
1

m

trong đó các hệ số A1,..., Am là các số khác số 0.
Chứng minh.
Ta gọi một trong hai số phức x + iy và X + iY là số “nhỏ hơn” khi: x < X
hoặc x = X và đồng thời có y < Y. Kí hiệu: x + iy < X + iY.
Khi đó, không mất tính tổng quát, ta có thể coi 1   2  ....   (vì nếu

không như vậy ta sẽ sắp xếp lại và đánh chỉ số lại).
Để thuận lợi, ta kí hiệu các biểu thức A r e1  ....  A se (với Ar ,..., As là 
thành phần bất kì của A1 ,…, AL ) là:

Fj  A jr e1  ...  A jse ,
trong đó Ajr ,..., Ajs là  thành phần bất kì của các A1,..., AL . Nhờ vậy tích 
là tích của tất cả các Fj và ta có số hạng đầu tiên đã thu được lúc đó là số nhỏ

17


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

nhất trong tất cả các số mũ đã thu được, có hệ số là tích của hữu hạn các Ajr ,
do các Ajr  0  hệ số ứng với số mũ nhỏ nhất xuất hiện chỉ một lần và
khác 0. Bởi vậy, ít nhất số hạng đầu tiên của tích đã nhân ra khác 0. Còn việc

 có dạng A'1 e1  ...  Am em là hiển nhiên. Suy ra Bổ đề 2.1.1. được chứng
minh.
Bổ đề 2.1.2. Nếu có A1 ,..., A là  số đại số khác với số 0 và có  số đại số
1
đôi một khác nhau 1,....,  sao cho Ae
 ...  Ae  0 , thì tồn tại m số đại
1

số đôi một khác nhau 1,..., m và m số B1,..., Bm là những số nguyên khác 0
sao cho:


B1e1  ...  Bmem  0
Chứng minh.
Giả sử đã có A1,…, A là  số đại số khác với số 0 và  số đại số đôi một
1
khác nhau 1 ,...,  sao cho: Ae
 ...  Ae  0.
1

Do A1,..., A là các số đại số nên ta xét các hệ số A1,..., A như các nghiệm
của một phương trình đa thức P  x   0 có các hệ số hữu tỷ mà bậc của nó là
L và L   (thường sẽ như vậy). Gọi các nghiệm của phương trình này là

A1, A2 ,..., A ,..., AL .
Ta lập tất cả các biểu thức được gọi là  có thể Ar e1  ...  Ase , trong đó
Ar,…,As là  thành phần bất kì của A1,..., AL và ta nhân các biểu thức này với
nhau, luôn luôn kết hợp mỗi phần tử với cùng hệ số mũ e*.
Khi đó, áp dụng Bổ đề 2.1.1 thì tích thu được có dạng:

 1  ...  Am e m ,
  Ae
1
trong đó A1,..., Am là các số khác 0 và 1,..., m là các số đại số đôi một khác
nhau.

18


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp


Nhận thấy các hệ số A1,..., Am không bị thay đổi khi ta hoán chuyển các đại
lượng A1,…,AL; nói cách khác, đó là một đa thức đối xứng với các biến
A1,…,AL. Do A1,…,AL là nghiệm của phương trình đa thức P(x) = 0 có hệ số
hữu tỉ, nên áp dụng Hệ quả 1.1.1 ta chỉ ra được các hệ số A1,..., Am là các số
hữu tỉ.
Do m là các số hữu hạn, nên gọi M mẫu số chung nhỏ nhất của m số

A1, A2 ,..., Am . Khi đó, ta có:

 1  ...  MAm e m .
M   MAe
1
Đặt:

MA1  B1  B1  * ,
MA2  B2  B2  * ,
……………………..

MAm  Bm  Bm  * .
Khi đó, ta có: M   B11  ...  Bmem .
1
Do biểu thức Ae
 ...  Ae cũng nằm trong các biểu thức  có thể và theo
1
1
giả thiết ta có: Ae
 ...  Ae  0 , nên ta có 0  B1e1  ...  Bmem .
1


Vậy tồn tại m số đại số đại số đôi một khác nhau 1 ,…,  m và m số B1,…,Bm
là những số nguyên khác với số 0 sao cho:

B1e1  ...  Bmem  0
Suy ra Bổ đề 2.1.2 được chứng minh.
Bổ đề 2.1.3. Cho 1,..., n là các số đôi một khác nhau, P(x) là đa thức và
P(  j )  0,  j = 1,2, … , n. Khi đó, nếu có n số khác 0 là C1,…,Cn sao cho:
C1P( 1 ) + C2P(  2 )+ …+ CnP(  n ) = 0, thì luôn tồn tại một số nguyên dương
m ( m
19


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

C1 1m P( 1 ) + C2  2m P(  2 + …+ Cn  nm P(  n )  0
Chứng minh.
Giả sử có đa thức P(x), 1 , …,  n là các số đôi một khác nhau, P(  j )  0 ,
 j = 1,2, …, n, có C1, … , Cn là n số khác với số 0 sao cho:

C1P( 1 ) + C2P(  2 ) + …+ CnP(  n ) = 0, nhưng không tồn tại số nguyên
dương m ( m < n ) để sao cho:
C1 1m P( 1 ) + C2  2m P(  2 )+ …+ Cn  nm P(  n )  0
Khi đó, ta sẽ có:
C1 1m P( 1 ) + C2  2m P(  2 )+ …+Cn  nm P(  n ) = 0,  m = 1,2,…, n-1.
Ta xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
1. x1  1. x2  ....  1. xn  0
 x   x  ...   x  0

2 2
n n
 1 1
 2
2
2
1 x1  1 x2  ...   n xn  0
.........................

1n1 x1   2n1 x2  ...   nn1 xn  0
Hệ phương trình này luôn có nghiệm tầm thường
 x1  0

 x2  0

.........

 xn  0

Ngoài ra, ta còn thấy hệ phương trình này còn có nghiệm khác nghiệm tầm
thường cụ thể là :
 x1  C1 P(1 )

 x2  C2 P( 2 )

.....................
 x  C P( ).
n
n
 n

( Dễ dàng chỉ ra C1P( 1 ), …, CnP(  n ) không đồng thời bằng 0 )

20


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

Như vậy ta phải có

1 1

... 1
1  2 ...  n
12  22 ...  n2  0
... ...
... ...
n 1
n 1
1  2 ...  nn1

Định thức trên như ta đã biết đó là định thức Vandermonde và có kết quả sau:

1 1

... 1
1  2 ...  n
12  22 ...  n2  

( i   j )  0
i j
... ... ... ...
1n1  2n1 ...  nn1

Mâu thuẫn này dẫn đến, phải tồn tại nguyên dương m ( mC1 1m P( 1 ) + C2  2m P(  2 )+ …+ Cn  nm P(  n )  0
Suy ra Bổ đề 2.1.3. được chứng minh.
2.2. Định lí siêu việt Hermite - Lindemann
Biểu thức
A1 e1 +A2 e 2 + A3 e 3 + …,
trong đó các hệ A1, A2, A3 ,… là các số đại số khác 0 và các số mũ 1 ,  2 , 3 ,
… là các số đại số đôi một khác nhau không thể bằng 0.
Chứng minh. (phản chứng)
+ Giả sử có  số đại số A1, A2,…,A  , các số Aj  0,  j = 1, 2, …,  và có 
số đại số 1 ,  2 ,…,   đôi một khác nhau sao cho:
A1 e1 +A2 e 2 + …+A  e  = 0
Bây giờ ta cần chỉ ra giả định này dẫn đến mâu thuẫn. Thật vậy:
+ áp dụng Bổ đề 2.1.2. ta có:

21

(1)


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

B1 e 1 + B2 e  2 +…+ Bm e m = 0,

(2)

trong đó B1, B2,...,Bm là những số nguyên khác 0; 1 ,  2 ,...,  m là m số đại số
đôi một khác nhau.
+ Do các số mũ 1 ,  2 ,…,  m là các số đại số đôi một khác nhau, nên ta xem
các số mũ 1 ,  2 ,...,  m với tư cách là nghiệm của đa thức có các hệ số hữu tỉ
bậc M ( M  m ) và đa thức này không có nghiệm bội. Gọi đa thức này là P(x).
Khi đó phương trình P(x) =0 sẽ có M nghiệm (nghiệm phức) giả sử là:

1 ,  2 ,…, m ,...,  M . Ta tạo ra M(M- 1) … (M- m+1) biểu thức dạng:
B1 e  r + …+ Bm e  s ,

(3)

trong đó  là một biến,  r ,…,  s là m số bất kì trong M số: 1 ,…,  M .
Nhân các biểu thức dạng (3) với nhau, kết hợp lại một lần nữa các số hạng với
cùng hệ số mũ e* . Khi đó, tích thu được có dạng:

  C1e1  C2e 2  ....  Cne n ,

(4)

trong đó các hệ số C1, C2,…,Cn là các số nguyên khác 0 và  1 ,  2 ,…,  n biểu
diễn các số đại số khác nhau.
Do hàm e x có thể khai triển được thành chuỗi C.Maclaurin, cụ thể là:
x2
x2
e =1+ x +
+ …+ +…,

2!
!
x

nên  có thể viết lại dưới dạng sau:
  (C1 + C2 + …+Cn) +



 k .
v 1

v

v

,

(5)

trong đó k = (C1  1v + C2  2v + …+Cn  nv )/ !
Do tích  có được ở dạng (4) hoặc dạng (5) đều như nhau khi ta hoán
chuyển các số 1 ,  2 ,…,  M ( là M nghiệm của đa thức P  x  ).
Suy ra các hệ số k là những đa thức đối xứng với các biến là: 1 ,  2 ,…,  M .

 = 1, 2 …

22

Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

áp dụng Hệ quả 1.1.1. Ta suy ra k là những số hữu tỉ  = 1, 2, …
Theo đó, nếu g(x) là một hàm hữu tỉ của x có các hệ số là các số nguyên hữu
tỉ, thì tổng C1g(  1 ) + C2g(  2 ) +….+ Cng(  n ) bao gồm các hệ số k và do đó
là một số hữu tỉ.
ứng với   1 thì (3) trở thành: B1e  ...  Bme ,
s

r

trong đó  r ,...,  s là m thành phần bất kì trong 1 ,…,  M . Khi đó, trong biểu
thức này có chứa biểu thức:
B1 e 1 + …+ BM e m ,
do (2) nên ta có tích  ứng với   1 bằng 0, hay ta có:
C1 e 1 + C2 e 2 + …+Cn e n = 0

(6)

Hơn nữa, với mỗi hàm hữu tỉ nguyên g(x) có các hệ số là các số nguyên hữu
tỉ, thì ta luôn có:
 C1g( 1 ) + C2g( 2 )+ ...+ C ng(  n )  là một số hữu tỉ

(7)

+ Do các số  1 ,…,  n là các số đại số đôi một khác nhau nên ta có thể xem
các số này như là các nghiệm của phương trình:
xN + r1xN-1 + r2xN-2+…+ rN-1x + rN = 0,

(8)

trong đó các hệ số r1, r2,…,rN-1, rN là các số hữu tỉ, N  n và không có nghiệm
bội.
Ta nhân phương trình này với HN , trong đó H là mẫu số chung nhỏ nhất của
các hệ số r1,…,rN và thu được phương trình mới tương đương:
(Hx)N + Hr1(Hx)N-1 + …+ HN-1rN-1(Hx) + HNrN = 0
Thay vì Hx ta viết X và gọi các số nguyên Hr1, H2r2,…,HNrN là g1, g2,…,gN thì
ta được phương trình:
XN + g1 XN-1 + g2XN-2 + …+ gN-1X + gN = 0.
Đặt f  X  = XN + g1XN-1 + g 2 XN-2 +…+ gN-1X + gN. Khi đó ta có f  X  là đa
thức với hệ số nguyên.

23


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

Nếu 1 , 2 ,...,  N là các nghiệm của phương trình f  X   0 , thì lúc đó theo
Định lí 1.1.1. Ta có :
f ( X )   X  1  ( X  2 )...( X   N ).

Do  1 ,  2 ,…,  n là các nghiệm của phương trình (8) nên H  1 , H  2 ,…,H  n là
các nghiệm của phương trình f  X  = 0. Không mất tính tổng quát ta có thể
coi 1 = H  1 ,  2 =H  2 ,…,  n = H  n .
Vì 1 ,  2 ,…,  n là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên, nên 1, 2 ,..., n
biểu diễn các số đại số nguyên. Khi đó áp dụng kết quả của (7), ta có:

 C1g(1 ) + C2g(2 ) + . . . + C ng( n )  là một số nguyên hữu tỉ

(9)

Ngoài f  X  ra, ta sẽ xem xét hàm:

(X ) 

f (X )
f (X )
f (X )

 ... 
X  1 X   2
X  N

 ( X   2 )( X  3 )...( X   N )  ( X  1 )( X  3 )...( X   N )
 ...  ( X  1 )( X   2 )...( X   N 1 )

 NX N 1  N1 X N 2  N2 X N 3  ...N N 2 X  N N 1.
Khi đó, ta có  (1 )  0 ,  (2 )  0 ,...,  ( N )  0 và các hệ số N , N1, N2 ,... ,

N N 2 , N N 1 là các đa thức đối xứng của các biến 1 ,  2 ,…,  N .
áp dụng Hệ quả 1.1.1 ta suy ra N , N1 , N 2 ,..., N N 2 , N N 1 là các số hữu tỉ.
Xét tổng: C1 (1 )  C2 (2 )  ...  Cn (n ) , nếu tổng này bằng 0 thì áp dụng
Bổ đề 2.1.3. Ta chọn được số nguyên dương h (h
C11h (1 )  C22h (2 )  ...  C1nh (n )  0 .
Đặt G = C11h (1 )  C2h2 (2 )  ...  C1hn (n )
 G  0.

Tiếp tục dựa vào khai triển:

24


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

ex  1  x 

x2
xv
 ...   ...
2!
v!

Chúng ta nhân H  ! vào hai vế của khai triển trên ta có:

e x H  !  H  !  H  1 (  1)!Hx 

 (  1)
2!

H  2 (  2)!( Hx) 2

 x

x2

 ...  ( Hx)  ( Hx) 

 ... ,
  1 (  1)(  2)





tiếp tục thay Hx bởi X ta được:

e x H  !  H  !  H  1 (  1)! X 

 (  1)

H  2 (  2)! X 2

2!

x2

  x
 ...  X  X 

 ... .
  1 (  1)(  2)


Để viết công thức này thuận lợi hơn, chúng ta đưa ra kí hiệu  mà sẽ được
xác định theo hướng sau: Theo giả định  là một số, thường biến đổi thành

chuỗi luỹ thừa của  và   được thay bằng v!H  ở cuối sự khai triển.
Tiếp đó, công thức của ta có thể viết theo dạng đơn giản:

 x

x2
e   (  X )  X 

 ... .
 v  1 (v  1)(v  2)

x







Tiếp đó, nếu ta kí hiệu   x thì ta có đánh giá sau:
2

x
x
 x

x2


...



 v  1 (v  1)(v  2)
 v  1 (v  1)(v  2)  ...







2


 ...
v  1 (v  1)(v  2)

 

2
2!

1  

 ...

2
2!

25

 ...


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

 e
Nếu  là phân số và   1 mà  .e gần đúng với

 x

x2

 v  1 (v  1)(v  2)  ... nhất, khi đó ta thu được phương trình:



ex   ( X   )  e . .X 

(10)

Chúng ta sẽ khai triển tiếp điều này tới mức độ có phần xa hơn cho hàm:

V ( X )  X k  K1 X k 1  K2 X k 2  ...  Kk
Biểu diễn một hàm hữu tỉ nguyên của X với các hệ số K1, K2,…,Kk là các số
nguyên hữu tỉ. Chúng ta thiết lập (10) với   k , k 1,...,1,0 và nhân các
phương trình kết quả với 1, K1, K2,…,Kk ta được:

ex k  ( X   )k  e  0 X k ,
K1ex k 1  K1 ( X   )k 1  K1e 1 X k 1,
K2ex k 2  K2 ( X   )k 2  K2e  2 X k 2 ,
............................

Kk ex  Kk  Kk e  k ,
trong đó  0 , 1 ,...,  k có vai trò như  mà ta xác định từ trước, nhưng chúng
ứng với trường hợp cụ thể của   k ,  k 1,...,  0.
Cộng vế với vế của k+1 phương trình này lại với nhau ta được:
e x ( k  K1 k 1  K 2 k 2  ...  K k )
  X     K1  X     K 2  X   
k

k 1

k 2

 ...  K k 

 e .  0 X k  K11 X k 1  K 2 2 X k 2  ...  K k  k  ,

hay:

exV    V  X     e V ( X ) ,

(11)

trong đó

V  X    0 X k  K11 X k 1  K2 2 X k 2  ...  Kk k .

26

(12)


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

Ta thấy với mỗi giá trị X cụ thể thì V  X   V  X  .
Nếu 1 ,  2 ,...,  k là nghiệm của phương trình V(X) = 0, thì khi đó áp dụng
Định lí 1.1.1 ta có: V  X    X  1  X   2  ... X   k  .
Gọi d = Max  X   j  . Khi đó, ta có:
j 1,2,..., k

V  X   X  1 . X   2 ... X   k
  X  1  X   2  ... X   k



 dk

Suy ra:
V X   dk

(13)

Chúng ta áp dụng các kết quả (11), (12), (13) vào hàm:
V  X    F  X     X  ,

q

trong đó F  X   X h f  X  ,   X   X h  X  , q = p–1, và p là một số nguyên
tố chọn bất kì.
Ta có: deg f  X   N  deg F  X   N  h ,
deg   X   N 1  deg   X   N  h 1 ,
degV  X   k   N  h  q  N  h 1.

Bây giờ, phương trình (11) được chuyển thành:
e xV    V  X      e d k ,

trong đó d  Max  X   j  , với 1 ,  2 ,...,  k là k nghiệm của phương trình
j 1,2,..., k





V  X   0, V  X    F  X     X  và  là một phân số và   1 mà  d k
q

gần đúng với V  X  nhất.

27


Đào Xuân Tiềm

Khoá luận tốt nghiệp

Bây giờ, ta cho x các giá trị   và X các giá trị  ( là số bất kì từ 1 tới n),

   ứng với   và d  d là giá trị lớn nhất của k tổng:    j , j  1, k .
Khi đó, nếu D biểu thị giá trị lớn nhất của 2n số d N h và   d 2( N h)1 , thì phân


số

D
d N  h

 e d N  h 1.


Thật vậy:


e d 2( N  h )1
D
D

2( N  h ) 1
D

e
d


 N  h  e .d N  h 1 



N h
N h
d
d
d





D
d N  h

1
q

 D 
  N  h   e .d N  h1
 d

q

 D 
  N h   e d N h1
 d


hay Dq  e d k ,   1,2,..., n.


Khi đó, ta thu được công thức phần nào đơn giản hơn:
e V    V       D q ,


(14)

trong đó   1,2,..., n,   1 (  là phân số ).
Sự khai triển V      theo luỹ thừa của  cho ta:
V       0    q     q 1  ... ,

(15)

trong đó các hệ số  0    , 1    ,... là các hàm hữu tỉ nguyên của biến  có
các hệ số là các số nguyên hữu tỉ.
Đặc biệt:

 0          ,   1,2,..., n.
p

Thật vậy, chẳng hạn với   1 , ta có:
h
F  1      1      1   2  1   3  ...

28