Khoá luận tốt nghiệp

Định lí không thể có được của Abel

Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa Toán
=====o0o=====

Bùi Vũ Ngọc Nương

Định lý không thể có được của ABEL
Khoá Luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Đại số

Hà Nội - 2008

Bùi Vũ Ngọc Nương

1

K30G – Toán


Định lí không thể có được của Abel

Khoá luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể các thầy cô trong khoa Toán, các
thầy cô trong tổ Đại số, những người đã tận tình dạy dỗ, giúp đỡ em trong bốn năm học
vừa qua cũng như đã tạo điều kiện cho em trong quá trình hoàn thành khoá luận.

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Huy Hưng, người đã
trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quí báu trong thời gian em thực
hiện khoá luận này.
Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2008
Sinh viên
Bùi Vũ Ngọc Nương

Bùi Vũ Ngọc Nương

2

K30G – Toán


Định lí không thể có được của Abel

Khoá luận tốt nghiệp

Lời cam đoan
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Bên cạnh đó, em được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa
Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Huy Hưng.
Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận, em có tham khảo một số tài
liệu đã ghi trong phần Tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan kết quả của đề tài “ Định lí không thể có được của Abel ”
không có sự trùng lặp cũng như sao chép kết quả của các đề tài khác.
Nếu sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Người cam đoan
Sinh viên


Bùi Vũ Ngọc Nương

Bùi Vũ Ngọc Nương

3

K30G – Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Định lí không thể có được của Abel

Mục lục
Trang

Lời nói đầu………………………………………………......1
Chương 1: Những kiến thức bổ trợ……………………….......4
1.1. Nhóm- Vành- Miền nguyên- Trường…………………........4
1.2. Đa thức.

………………………………………………..6

1.3. Nhóm số………………………………………………..9

1.4. Một số khái niệm bổ trợ khác…………………………....12
Chương 2: Định lí không thể có được của Abel…………….14
2.1. Một số định lí bổ trợ……………………………………..14
2.1.1. Bổ đề Abel………………………………………….14

2.1.2. Định lí Gauss………………………………………..15
2.1.3. Định lí Schoenemann………………………………...17
2.1.4. Định lí Sturm………………………………………..18
2.1.5. Định lí Waring………………………………………19
2.1.6. Định lí bất khả qui của Abel………………………….19
2.1.7. Định lí 2.1.7………………………………………...21
2.1.8. Định lí 2.1.8………………………………………...23
2.2. Định lí bất khả qui của Abel……………………………...25
2.2.1. Bổ đề ……………………………………………...26
2.2.2. Định lí Kronecker…………………………………..28

Kết luận……………………………………………………...33
Tài liệu tham khảo…………………………………………...34
Bùi Vũ Ngọc Nương

4

K30G – Toán


Định lí không thể có được của Abel

Khoá luận tốt nghiệp

Lời nói đầu
Bộ môn đại số có một vị trí quan trọng trong Toán học. Trước đây,
nói đến đại số là nói đến việc giải phương trình. Loài người đã biết giải
phương trình bậc một từ trước Công nguyên và đến thời kì Phục hưng,
khoảng thế kỉ 16 sau Công nguyên, cùng với sự ra đời của số phức người
ta đã đưa ra được công thức nghiệm của các phương trình đại số tổng quát

có bậc không vượt quá bốn. Các kết quả trên đã tạo ra động lực thôi thúc
các nhà toán học của nhiều thế kỉ đi tìm công thức nghiệm tổng quát của
các phương trình đại số bậc năm.
Trong công cuộc tìm kiếm đó phải kể đến nhà Vật lý người ý Paolo
Ruffini (1765 – 1822) , ông đã nhìn nhận vấn đề theo chiều hướng ngược
lại và nhận ra rằng việc đi tìm các công thức nghiệm của các phương
trình tổng quát có bậc lớn hơn hoặc bằng năm là không thể, theo ông: “
Những phương trình cao hơn bậc bốn nói chung không có phép giải đại
số ”. Ruffini đã đưa ra định lí này lần đầu tiên trong cuốn sách Teoria
generale delle equazioni của mình, được xuất bản ở Bologna vào năm
1798. Tuy nhiên, chứng minh của ông không đầy đủ.
Phải đến năm 1826 chứng minh đầy đủ đầu tiên của định lí này mới
được đưa ra trong tập một của cuốn Crelle’s Journal fur Mathematik bởi
nhà toán học trẻ người Na Uy Niels Henrik Abel (1802 – 1829). Chứng
minh tiếp theo của định lí không thể có được của Abel dựa trên một định
lí của Kronecker được xuất bản vào năm 1856 trong cuốn Monatsberichte
der Berliner Akademie.
Sau này, dựa trên kết quả đó, E.Galois (1811 – 1832) đã chỉ ra điều
kiện để đối với một phương trình bất kì cho trước, tồn tại công thức tính

Bùi Vũ Ngọc Nương

5

K30G – Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Định lí không thể có được của Abel


nghiệm của nó. Cũng từ đó trở đi, lý thuyết phương trình không còn đóng
vai trò chủ đạo trong bộ môn Đại số nữa mà đối tượng của phân môn này
là nhóm, vành, trường,...
Có thể nói, định lí không thể có được của Abel là một định lí quan
trọng, đánh dấu bước ngoặt lớn trong lịch sử phát triển Đại số.
Tuy nhiên cho đến nay, ở Việt Nam, tài liệu về định lí trên chưa
nhiều, chứng minh của định lí này cũng mới chỉ là bản dịch dạng “thô”,
chưa được trình bày một cách rõ ràng, hệ thống hoá đầy đủ và ngôn ngữ
chưa thật trong sáng.
Với những lí do trên, em đã mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Định lí
không thể có được của Abel ” nhằm trình bày lại một cách tường minh và
có hệ thống, cơ sở chặt chẽ nội dung chứng minh của định lí quan trọng
này.
Nội dung khoá luận gồm 2 chương lớn:
Chương 1 : Những kiến thức bổ trợ
Chương 2 : Định lí không thể có được của Abel
Trong đó, Chương 1 dành cho việc trình bày lý thuyết bổ trợ liên
quan về lý thuyết trường, về đa thức, về nhóm số và những khái niệm
phục vụ cho các chứng minh phía sau,
Chương 2 dành để đưa ra các định lí bổ trợ làm tiền đề,
căn cứ cơ sở cho việc chứng minh định lí Kronecker, định lí Kronecker
được chứng minh thì đồng thời định lí không thể có được của Abel cũng
được chứng minh.
Phương pháp nghiên cứu của đề tài là đọc tài liệu và trao đổi kinh
nghiệm.

Bùi Vũ Ngọc Nương

6


K30G – Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Định lí không thể có được của Abel

Mặc dù rất cố gắng, nhưng do thời gian nghiên cứu cũng như vốn
kiến thức và kinh nghiệm còn hạn chế nên trong luận văn của em không
tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên để khoá luận này được
hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 5, năm 2008
Sinh viên
Bùi Vũ Ngọc Nương

Bùi Vũ Ngọc Nương

7

K30G – Toán


Định lí không thể có được của Abel

Khoá luận tốt nghiệp

Chương 1


những kiến thức bổ trợ
1.1. Nhóm- Vành- Miền nguyên- Trường
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi là phép toán hai ngôi (hay còn gọi tắt là
phép toán) trong một tập hợp X một ánh xạ f từ X  X đến X.
Một phép toán hai ngôi “ * ” trong một tập hợp X
được gọi là kết hợp nếu và chỉ nếu (x*y)*z = x*(y*z) ,  x, y, z  X; là
giao hoán nếu và chỉ nếu ta có x*y = y*x ,  x, y X.
Một bộ phận A của X gọi là ổn định (đối với phép
toán “ * ” trong X ) nếu và chỉ nếu x*y  A,  x, y  A. Khi đó, phép
toán “ ** ” xác định trong bộ phận ổn định A bởi quan hệ x**y = x*y,
 x, y  A gọi là phép toán cảm sinh trên A bởi phép toán “ * ” của X.

Người ta thường kí hiệu phép toán cảm sinh như phép toán của X.
Định nghĩa 1.1.2. Cho “ * ” là một phép toán hai ngôi trên tập hợp
X. Một phần tử e của X gọi là một đơn vị trái của phép toán “ * ” nếu và
chỉ nếu e*x = x ,  x  X; là một đơn vị phải của phép toán “ * ” nếu và
chỉ nếu x*e = x ,  x  X.
Nếu phần tử e của X vừa là một đơn vị trái, vừa là
một đơn vị phải, thì e gọi là một đơn vị , hoặc một phần tử trung lập của
phép toán “ * ”. Một phép toán hai ngôi có nhiều nhất một phần tử trung
lập.
Định nghĩa 1.1.3. Cho X là một tập hợp khác  , “ * ” là phép toán hai
ngôi trên X. ( X, *) được gọi là nhóm nếu
i)  x, y, z  X : (x*y)*z = x*(y*z) ,
ii)  e  X,  x X: e*x = x*e = x ,
iii)  x X,  x’ X: x*x’ = x’*x = e .

Bùi Vũ Ngọc Nương

8


K30G – Toán


Định lí không thể có được của Abel

Khoá luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.1.4. Cho X là một tập hợp khác  . Trên X, ta xác định
hai phép toán +,  . X là một vành nếu
i) (X, +) là một nhóm giao hoán ,
ii) Phép  có tính chất kết hợp ,
iii) Phép  phân phối với phép + .
Nếu phép  có thêm tính chất:  x, y  X, x  y = y  x thì (X, +,  )
là một vành giao hoán.
Nếu phép  có thêm tính chất :  e  X sao cho  x  X đều có:

xe=ex=x
thì ( X, +,  ) được gọi là vành có đơn vị.
Định nghĩa 1.1.5. Cho X là một vành. a  X\{0} được gọi là một
ước của không nếu  b  X\{0} sao cho a  b = 0.
Một vành giao hoán có đơn vị, không có ước của
không được gọi là một miền nguyên.
Định nghĩa 1.1.6. Cho X là một tập hợp khác  . (X, +,  ) được gọi
là một trường nếu
i) (X, +) là một nhóm giao hoán,
ii) (X\{0},  ) là nhóm giao hoán ,
iii) Phép  phân phối với phép +.
Nói một cách ngắn gọn: trường là một miền nguyên mà trong đó
mọi phần tử khác không đều có phần tử khả nghịch .

Cho X là một trường, A là một bộ phận của X ổn
định đối với hai phép toán trong X. A là một trường con của trường X nếu
A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một trường, và khi đó X được
gọi là một mở rộng của trường A. Kí hiệu X A hoặc X  A. Mọi trường đều
có ít nhất một trường con là chính nó.

Bùi Vũ Ngọc Nương

9

K30G – Toán


Định lí không thể có được của Abel

Khoá luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.1.7. Một trường không có trường con nào khác ngoài chính
nó được gọi là một trường nguyên tố.
Định nghĩa 1.1.8. Cho trường K bất kì với phần tử đơn vị là e. Nếu n là
số tự nhiên bé nhất, n ≠ 0, sao cho bội ne bằng 0 thì n được gọi là đặc số của
trường K, kí hiệu là Char(K). Trái lại, ta nói K có đặc số 0.
Có thể thấy rằng nếu trường K có đặc số n ≠ 0 thì n
là một số nguyên tố p nào đó.

1.2.Đa thức
Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một vành giao hoán có đơn vị 1. Kí hiệu tập
A={( a0 , a1 ,..., an ,... ) | ai  A ( i  0,1, 2,... ) trong đó ai  0 hầu
hết, chỉ có một số các thành phần hữu hạn không bằng 0}. Trên A, ta xác định
hai qui tắc sau:

Với  ,   A,  (a0 , a1 ,..., an ,...),   (b0 , b1,..., bn ,...) thì

    (a0  b0 , a1  b1 ,..., an  bn ,...) ,

 .  (c0 , c1,..., cn ,...) ,
trong đó

c0  ao .b0
c1  a0 .b1  a1.b2
c2  a2 .b0  a1.b1  a0 .b2
............

cn  an .b0  an 1.b1  ....  a1.bn 1  a0 .bn



 a .b

i  j n

i

j

.

Tập A cùng hai qui tắc + và  ở trên lập thành một vành giao hoán có
đơn vị, và được gọi là vành đa thức. Các phần tử của nó được gọi là các đa
thức.


Bùi Vũ Ngọc Nương

10

K30G – Toán


Định lí không thể có được của Abel

Khoá luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.2.2 : Cho vành đa thức A. Kí hiệu

x = ( 0, 1, 0,…, 0,…)  A , (1 X)

x2  (0,0,1,0,...,0,...)
x3  (0,0,0,1,0,...,0,...)
......

x n  ( 0,0,...,0,

 1,0,…,0,…)

n
Ta gọi x là ẩn. ẩn là một đa thức đặc biệt.

Định nghĩa 1.2.3: Cho vành đa thức A.

  A , giả sử


  (a0 , a1 ,..., an ,...) . Do ai  0 hầu hết nên ta có thể giả thiết
an1  an 2  ...  0
Khi đó

  (a0 , a1 ,..., an ,0,0,...)
 (a0 ,0,0,...)  (0, a1,0,0,...)  (0,0, a2,0,...) ....  (0,...,0, an ,0,...)
 (a0 ,0,0,...)  (a1,0,0,...)(0,1,0,0,...)  (a2 ,0,0,...)(0,0,1,0,...)

....  (an ,0,0,...)( 0,0,...,0,

 1,0,…,0,…)

 a0  a1 x  a2 x  ....  an x ,
2

n

n

đây là dạng viết chính tắc của đa thức  .


a0  a1x  a 2x2  ....  an xn gọi là đa thức của ẩn x, kí

hiệu là: f(x), g(x), h(x),…, P(x), Q(x), R(x),…


A kí hiệu là X[x] và còn gọi là vành đa thức của ẩn x

 Cho đa thức P(x) =


a0  a1 x  a2 x2  ....  an xn ( an  0 ).

Các số a0 , a1 ,..., an gọi là các hệ số của đa thức. Số an  0 là hệ số bậc cao

Bùi Vũ Ngọc Nương

11

K30G – Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Định lí không thể có được của Abel

nhất còn số a0 gọi là hệ số tự do. Số n gọi là bậc của đa thức và kí hiệu là
degP(x) = n.
Một số tính chất: Cho P(x) và R(x) là những đa thức. Khi đó ta có
các tính chất sau:
1. Tích của hai đa thức P(x) và R(x) là một đa thức Q(x) và
degQ(x)  degP(x) + degR(x).
2. Tổng (hiệu) của hai đa thức P(x) và R(x) là một đa thức Q(x)
và
degQ(x)  Max[degP(x); degR(x)].
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử A là vành con của vành X và P(x) A[x]
có dạng:

P( x)  an .xn  an1.x n1  ...  a1.x  a0 (n  1).
Khi đó, một số c  X được gọi là nghiệm của đa thức P(x) nếu


P(c)  an.cn  an1.cn1  ...  a1.c  a0  0 .
n
n 1
Định lí 1.2.1. Mọi đa thức P( x)  an .x  an1.x  ...  a1.x  a0 có

thể biểu diễn dưới dạng:
P( x)  an .( x  1 ).( x   2 )...( x   n ) ,

trong đó  0 ,1 ,..., n là những nghiệm của đa thức.
Định lí 1.2.2. Mọi đa thức bậc n (n   *) đều có không quá n nghiệm.
n
n 1
Định nghĩa 1.2.5. Cho đa thức f ( x)  an .x  an1.x  ...  a1.x  a0

( ai  trường K, n   ). Đa thức f(x)  K[x] được gọi là đa thức khả qui
trong K[x] hay trên K nếu tồn tại hai đa thức g(x), h(x)  K[x] sao cho:
i) 1 ≤ deg g(x), deg h(x) ≤ deg f(x)
ii) f(x) = g(x).h(x) .
Một đa thức không khả qui được gọi là một đa thức bất khả qui.

Bùi Vũ Ngọc Nương

12

K30G – Toán


Định lí không thể có được của Abel


Khoá luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.2.6 : Cho P là trường nguyên tố , n   *, n không chia
hết cho Char(P). Ta gọi là căn đơn vị, nghiệm của đa thức

f ( x)  x n  1

trong một mở rộng nào đó của trường P.

1.3. Nhóm số
Định nghĩa 1.3.1: Một hệ

R

các số được gọi là một nhóm số hay

miền hữu tỉ khi cộng, trừ, nhân và chia hai số của hệ cũng sẽ thu được
một số của hệ đó. Để ngắn gọn, ta sẽ gọi các số của hệ đó là

R _số

.

Hai nhóm được gọi là bằng nhau khi mỗi số của
nhóm này cũng thuộc nhóm kia.
Ví dụ 1.3.1 : Nhóm đơn giản nhất bao gồm tất cả các số hữu tỷ,
nhóm

R các số hữu tỷ hay miền hữu tỷ tự nhiên.


Định nghĩa 1.3.2 : Một hàm f(x) hay một phương trình f(x) = 0 trong
một nhóm là một hàm hay phương trình mà các hệ số của nó là các số

R

thuộc nhóm đó. Một đa thức trong
của biến x mà các hệ số của nó là

được hiểu là hàm hữu tỷ nguyên

R _ số.

Một đa thức:
F ( x)  A.x n  B.x n 1  ...

hay một phương trình :

F ( x)  0
trong một nhóm

R

được gọi là bất khả qui trong nhóm này tùy theo F(x) có

chia hết cho một tích của các đa thức bậc thấp hơn trong

R

hay không.


Ví dụ 1.3.2 :
Hàm F(x) = x 2  10.x  7 là bất khả qui trong nhóm
khả qui trong nhóm

R (

R nhưng lại là

2 ). Do

2
F(x) = x  10.x  7

Bùi Vũ Ngọc Nương

13

K30G – Toán


Định lí không thể có được của Abel

Khoá luận tốt nghiệp

= ( x  5  3 2)( x  5  3 2) .
Định nghĩa 1.3.3 : Cho X là một tập hợp khác  . Ta gọi là một phép
thế trên tập X, một song ánh trên tập X. Tập các phép thế trên X được kí
hiệu là S(X).
Giả sử X = { x1, x2,..., xn } là tập có n phần tử thì
khi đó S(X) có n! phần tử. Các phần tử của S(X) có thể viết dưới dạng:



x1
x2 ... xi ... xn 
.
 f ( x1 ) f ( x2 ) ... f ( xi ) ... f ( xn ) 

f 

Ví dụ 1.3.3: Xét phép thế trên tập X = {1, 2, 3}. Khi đó, tập S(X) có
3! = 6 phần tử, đó là :
 1
 1

3
 là ánh xạ đồng nhất trên và
3

2
2

e 

 1
 1

2
3

3

 1
f

,

2

2
 3

2
2

3 
,
1 

 1
 2

2
1

3 
 1
f

,



4
3 
 2

2
3

3 
,
1 

 1
 3

2
1

3 
.
2 

f1  

f3  

f5  

Đặc biệt, một nhóm

R ’ = R (  ,  ,  ... )


ra bởi phép thế của các đại lượng  ,  ,  ... trong nhóm

được tạo

R

được

hiểu là tổng của tất cả các hàm hữu tỷ  ,  ,  ... mà các hệ số của
nó là

R _ số.
Trường hợp chung nhất của phép thế trong một

nhóm

R

bao gồm phép thế của một nghiệm  của một phương trình bất

khả qui bậc n :

Bùi Vũ Ngọc Nương

14

K30G – Toán



Định lí không thể có được của Abel

Khoá luận tốt nghiệp

f ( x)  xn  a1.xn1  ...  an  0
vào trong R . Một số  của nhóm

R ’ = R (  ) được xác định bởi phép

thế này là một hàm hữu tỷ của  với các hệ số từ

R

và có thể được viết

là  =  (  )/  (  ) , trong đó  và  là các đa thức với hệ số trong

R.

Vì  n  a1. n1  a2 n2  ...  an nên mỗi luỹ thừa  có số mũ n hay với
số mũ lớn hơn n đều có thể được biểu thị bằng các luỹ thừa  n1 ,

 n  2 ,…,  sao cho ta có thể viết   ( ) /  ( ) , trong đó  và  là các
đa thức trong

R

có bậc không lớn hơn (n-1).

Định nghĩa 1.3.4: Một phương trình f(x) = 0 bậc n trong nhóm


R

được gọi là có thể giải được một cách đại số khi nó giải được bằng một
loạt căn thức, nghĩa là, khi một nghiệm w có thể xác định theo phương
pháp sau:
1. Xác định  = a R là căn bậc a của một
không là luỹ thừa a của một

R _số R, tuy nhiên đó

R _số, và phép thế  vào trong R ,

sao cho nhóm A = R (  ) được tạo ra;
2. Xác định  =

b

A là căn bậc b của một A _số A, tuy nhiên đó

không là luỹ thừa b của một A _số , và phép thế  vào trong A ,
sao cho nhóm  = A (  ) = R (  ,  ) được tạo ra;
3. Xác định   c B là căn bậc c của một  _số B, tuy nhiên đó
không là luỹ thừa c của một  _số , và phép thế 

vào trong  ,

sao cho nhóm M =  (  ) = R (  ,  ,  ) được tạo ra; ..v.v… cho
đến khi các phép thế liên tiếp này của các căn thức  ,  ,  … cuối
cùng dẫn đến một nhóm mà w, là căn tìm được, thuộc vào nhóm

đó và trong đó f(x) trở thành khả qui ( vì f(x) có ước số (x-w)). ở

Bùi Vũ Ngọc Nương

15

K30G – Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Định lí không thể có được của Abel

đây giả định rằng tất cả các số mũ căn a,b,c… là các số nguyên tố.
Điều này không thể hiện sự hạn chế vì bất kì sự khai căn nào với
các số mũ là hợp số đều có thể được thu gọn tới khai căn liên tiếp
với các số mũ nguyên tố. ( Ví dụ,

15

u  5 v với v  3 u ).

1.4. Một số khái niệm bổ trợ khác :
Định nghĩa 1.4.1: (Chuỗi Sturm)
Nhà toán học người Pháp Charles Sturm (1803 - 1855) đã đưa ra
phương pháp giải bài toán đại số quan trọng : “Tìm số nghiệm thực của
một phương trình đại số với các hệ số thực trên một khoảng đã cho” bằng
một cách giải đơn giản đáng ngạc nhiên, mà trong đó, có liên quan tới
khái niệm “Chuỗi Sturm”.
Cho f(x) = 0 là một phương trình đại số mà tất cả các nghiệm của

nó là đơn. Khi đó, đạo hàm f ' ( x) của f(x) không triệt tiêu tại các nghiệm
này và ước số chung lớn nhất của hàm f(x) và f ' ( x) là một hằng số K
khác 0. Ta dùng thuật toán chia để tìm ước số chung lớn nhất của f(x) và

f ' ( x) .
Để thuận tiện, ta đặt :

f 0 ( x)  f ( x) ,

f1( x)  f ' ( x) ,
và gọi các thương số là kết quả của các phép chia kế tiếp là:

q0 ( x), q1 ( x), q2 ( x).... và các hàm dư là:  f 2 ( x),  f 3 ( x),.... v.v...
Ta thu được :

f 0  q0 . f1  f 2
f1  q1. f 2  f 3
Bùi Vũ Ngọc Nương

16

K30G – Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Định lí không thể có được của Abel

f 2  q2 . f 3  f 4
………..

Cuối cùng, qui trình kết thúc, ta thu được số dư K, là một hàm dư

 f s ( x) , không triệt tiêu tại bất cứ điểm nào trong khoảng đã cho và bởi vậy
có cùng dấu trên toàn bộ khoảng đó.
Khi đó, các hàm f 0 , f1 , f 2 ,..., f s tạo thành một “chuỗi Sturm” và được
gọi là các hàm Sturm .
Các hàm Sturm có ba thuộc tính sau :
1. Hai hàm cạnh nhau không đồng thời triệt tiêu tại một điểm nào đó
thuộc khoảng đang xét.
2. Tại một điểm bằng không của hàm Sturm (tức là tại điểm đó, hàm
Sturm bị triệt tiêu), hai hàm bên cạnh nó có dấu khác nhau.
3. Trong một lân cận đủ nhỏ của điểm bằng không của hàm f 0 ( x) thì

f1 ( x)

luôn lớn hơn không (hoặc luôn nhỏ hơn không).

Định nghĩa 1.4.2: (Chuỗi dấu Sturm)
Chọn điểm x bất kì trong khoảng cần xét, lưu ý dấu của những giá trị

f 0 ( x), f1 ( x), f 2 ( x),..., f s ( x) ta thu được một chuỗi dấu Sturm. (Tuy nhiên,
để thu được một dấu rõ ràng, ta phải giả định rằng không một trong (s +1
) giá trị hàm nào đã kí hiệu là bằng không).
Chuỗi dấu này sẽ chứa dãy dấu ( + + và - - ) cùng những thay đổi dấu
( + - và - +).
Ta sẽ xem xét số Z(x) những thay đổi dấu trong chuỗi dấu và những
thay đổi mà Z(x) trải qua khi x chạy trên khoảng đang xét. Sự thay đổi chỉ
xảy ra khi x đi qua một điểm bằng không của f(x), và khi đó chuỗi có
đúng một sự thay đổi dấu.


Bùi Vũ Ngọc Nương

17

K30G – Toán


Định lí không thể có được của Abel

Khoá luận tốt nghiệp

Chương 2
định lý không thể có được của abel
Chứng minh của định lí không thể có được của Abel được đưa ra dựa
trên khá nhiều các định lí, bổ đề khác. Do đó, để thuận tiện, trước tiên, ta
sẽ dành một phần để trình bày một số kết quả quan trọng bổ trợ cho việc
chứng minh định lí này.

2.1. Một số định lí bổ trợ
2.1.1. Bổ đề Abel
“Cho p là số nguyên tố. Phương trình thuần tuý x p  C là bất khả qui
trong một nhóm

R

khi C là một số của nhóm

của một số của nhóm

R


nhưng không là luỹ thừa p

R ”.

Chứng minh: (Chứng minh bằng phản chứng)
Giả sử ngược lại phương trình

x p  C khả qui trong R , tức là

 ( x), ( x)  R [x], deg  ( x) , deg  ( x) < p , sao cho:

x p  C  ( x). ( x)
và các hạng tử tự do A và B của chúng là các số thuộc

Bùi Vũ Ngọc Nương

18

R _số.

K30G – Toán


Định lí không thể có được của Abel

Khoá luận tốt nghiệp

Khi đó


 ( x)0
x p  C  0  [ ( x)0 .

Vì các nghiệm của phương trình

x p  C là r, r , r 2 ,..., r p1 (trong

đó r là một nghiệm của phương trình ,



là căn đơn vị phức bậc p) và các

số hạng tự do của phương trình  ( x)  0 hoặc  ( x)  0 độc lập về dấu
nên ta có thể biểu thị:

A  r  M

B  r v N

trong đó   v  p .

Do   v  p và p là số nguyên tố

 ( , v)  1 ,

 h, k nguyên sao cho h.  k.v  1.
Đặt

K  Ah .Bk  r h. k .v h.M k .N  r h.M  k .N ,


 K p  r p ( h.M k .N ). p  r p .1  C .
Rõ ràng K là một số thuộc R _số. Mà theo giả thiết C không là luỹ
thừa p của một số thuộc R _số. Điều này dẫn tới mâu thuẫn.
Mâu thuẫn này chứng tỏ giả sử sai hay phương trình x p  C là bất
khả qui trong

R .

2.1.2. Định lí Gauss
“Cho đa thức

f ( x)  x N  c1.x N 1  ...  cN 1.x  cN , trong đó

ci  Z , i  1, N , N   * . Nếu f(x) được phân tích thành tích hai đa thức:
 ( x)  xm  1.xm1  ...  m1.x  m
và

 ( x)  xn  1.xn1  ...  n1.x  n ,

Bùi Vũ Ngọc Nương

19

K30G – Toán


Định lí không thể có được của Abel

Khoá luận tốt nghiệp




với các i ,  j hữu tỉ i  1, m, j  1, n ; m, n * thì có thể khẳng định
được i ,  j là các số nguyên.
Chứng minh:
Do

i ,  j





hữu tỉ i  1, m, j  1, n nên ta có thể đặt

mẫu số chung lớn nhất của các

i ,  j

sao cho

i 

a0 , b0 lần lượt là

b
ai
,j  j
a0

b0

a ,b
i

j

là



những số nguyên, (ai , bj )  1, i  1, m, j  1, n .

F ( x)  a0 .b0 . f ( x)

Đặt:

 a0 . ( x).b0 . ( x)
 (a0.xm  a1.xm1  ...  am1.x  am ).(b0.xn  b1.xn1  ...  bn1.x  bn )

 ( x).( x) ,
( trong đó ( x)  (a0 .xm  a1.xm1  ...  am1.x  am )
còn

( x)  (b0.xn  b1.xn1  ...  bn1.x  bn ) ).

Đặt p là ước nguyên tố của

a0 .b0 . Do F  a0 .b0 . f nên suy ra mọi


hệ số của F đều chia hết cho p. Ta biểu diễn ( x) và  ( x) dưới dạng:

 ( x)  U  u
 ( x)  V  v
trong đó :
+) U, V lần lượt là các đa thức được kết hợp từ tất cả các số
hạng của ,  mà hệ số của chúng đều chia hết cho p.
+) u, v lần lượt là các đa thức được kết hợp từ tất cả các số
hạng của ,  mà hệ số của chúng đều không chia hết cho p.

Bùi Vũ Ngọc Nương

20

K30G – Toán


Định lí không thể có được của Abel

Khoá luận tốt nghiệp
Do

F  .  (U  u).(V  v)

 u.v  F U.V  uV
. U.v

.

Vì vế phải là một đa thức mà tất cả các hệ số của nó đều chia hết cho

p, trong khi vế trái là một đa thức mà tất cả các hệ số của nó đều không
chia hết cho p , nên điều này dẫn tới mâu thuẫn.
Mâu thuẫn đó chứng tỏ

a0 .b0 không có ước nguyên tố nào, mà a0 , b0

là các số nguyên

 a0  b0  0
 i ,  j là các số nguyên. 

2.1.3. Định lí Schoeneman
“Cho đa thức f ( x)  C0  C1.x  C2 .x2  ...  CN 1.x N 1  x N

( Ci nguyên,

i  1, N  1 , N   * ). Nếu tồn tại số nguyên tố p sao cho :



Ci  p, i 1, N 1
C0  p 2

thì f(x) là đa thức bất khả qui trong miền hữu tỉ tự nhiên.
Chứng minh: (Chứng minh bằng phản chứng )
Giả sử ngược lại f(x) là khả qui trong miền hữu tỉ tự nhiên

R tức là

 ( x), ( x) R [x] :


 ( x)  a0  a1.x  ...  am1.xm1  xm
 ( x)  b0  b1.x  ...  bn1.xn1  xn

( ai , b j hữu tỉ , i  1, m, j  1, n , m, n   * ) sao cho f ( x)  ( x). ( x) .
Bùi Vũ Ngọc Nương

21

K30G – Toán


Định lí không thể có được của Abel

Khoá luận tốt nghiệp

Theo định lí Gauss, ai , b j là các số nguyên .
Nhân các biểu thức  ( x) và

 ( x) với nhau, và đối chiếu với f(x) ta thu

được :

C0  a0 .b0
C1  a0 .b1  a1.b0
C2  a0 .b2  a1.b1  a2 .b0
...............
Theo giả thiết

C0  p 2 nên không giảm tính tổng quát giả sử a0  p thì


suy ra b0  p .
Vì

C1  p ; a0  p ; b0  p ; C1  a0 .b1  a1.b0 nên suy ra a1  p .

Vì

C2  p ; a0  p ; a1  p ; b0  p ; C2  a0 .b2  a1.b1  a2.b0 nên suy ra

a2  p
…………..
Cứ thế, tiếp tục lập luận , cuối cùng ta thu được

am  1 p . (vô lí ).

Điều đó chứng tỏ giả sử sai hay f(x) bất khả qui trong miền hữu tỉ tự
nhiên  .
2.1.4. Định lí Sturm
“Cho phương trình f(x) = 0 , với các hệ số thực, thoả mãn điều kiện:
các nghiệm thực của phương trình này là đơn trên khoảng [a,b] sao cho
f(a).f(b) ≠ 0. Khi đó số nghiệm thực của phương trình f(x) = 0 bằng hiệu
số giữa số lượng những thay đổi dấu của các chuỗi dấu Sturm đã hình
thành cho những đầu mút của khoảng đó.”
ứng dụng: Xác định số nghiệm thực của phương trình

Bùi Vũ Ngọc Nương

22


K30G – Toán


Định lí không thể có được của Abel

Khoá luận tốt nghiệp

x5  a.x  b  0
với a và b là hai số dương thoả mãn 44 a5  55 b4 .
Bài giải:
Chuỗi Sturm là :

f 0 ( x)  x5  a.x  b

f1( x)  5x4  a
f 2 ( x)  4a.x  5b
f3 ( x)  44 a5  55 b4

x

f0

_

f1
+

f2
_


f3
+




+

+

+

+

Hiệu số giữa số lượng những thay đổi dấu của các chuỗi Sturm đã hình
thành cho hai đầu mút  và  là 3 , do đó phương tình này có ba ngiệm
thực, và hai nghiệm còn lại là hai nghiệm phức.



2.1.5. Định lí Waring
Trong lý thuyết số, định lí Waring được đề xướng vào năm 1770 bởi
Edward Waring. Ông đã chỉ ra rằng: với mỗi số tự nhiên k, luôn tồn tại số
nguyên dương s sao cho mỗi số tự nhiên đều là tổng của nhiều nhất s số
hạng luỹ thừa k,
m

x   aik
i 1


Bùi Vũ Ngọc Nương

( m  s ).

23

K30G – Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Định lí không thể có được của Abel

Ví dụ, mỗi số tự nhiên đều là tổng của nhiều nhất 4 số bình phương,
hoặc 9 số lập phương hoặc 19 số hạng luỹ thừa bốn.
Định lí này được chứng minh đầy đủ bởi Hilbert vào năm 1909, và
sau này được biết đến với tên gọi là định lí Hilbert- Waring.
2.1.6. Định lí bất khả qui của Abel
Đa thức khả qui và bất khả qui khi đặt trong mối quan hệ giữa các đa
thức thì chúng đóng cùng một vai trò giống như các hợp số và các số nguyên
tố đóng vai trò giữa các số nguyên. Vì vậy, mỗi đa thức khả qui có thể được
phân tích thành tích của hữu hạn các đa thức bất khả qui. Tất cả các định lí có
liên quan được trình bày ở đây đều dựa trên định lí bất khả qui của Abel hay
còn gọi là định lí cơ bản của các hàm bất khả qui sau:
“Cho phương trình f ( x)  a0  a1.x  ...  an1.xn1  xn (1) bất khả
qui trong R . Nếu một nghiệm của phương trình bất khả qui (1) cũng là một
nghiệm của phương trình F(x) = 0 trong

R


thì tất cả các nghiệm của phương

trình (1) cũng là nghiệm của phương trình F(x) = 0. Đồng thời F(x) có thể
chia hết cho f(x) không có hàm dư, tức là: F ( x)  f ( x).F1 ( x) ( F1 ( x) 

R

[x]).
Chứng minh:
Ta chứng minh định lí này dựa trên thuật toán Ơclit _ thuật toán quen
thuộc tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức. Giả sử gọi g(x) là ước chung
lớn nhất của hai đa thức F(x) và f(x) trong

R:

F ( x)  F1 ( x).g ( x)
f ( x)  f1 ( x).g ( x)
Thuật toán này dẫn đến một chuỗi các phép chia để cuối cùng rút ra
được :

Bùi Vũ Ngọc Nương

24

K30G – Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Định lí không thể có được của Abel


g(x) = V(x).F(x) + v(x).f(x) ,
trong đó tất cả các hàm được chỉ ra đều là các đa thức trong

R.

Nếu các hàm F(x) và f(x) không có ước số chung nào thì g(x) là một
hằng số, mà ở đây ta đặt hằng số đó là 1.
Tuy nhiên, theo giả thiết, f(x) là bất khả qui và một nghiệm  của
phương trình f(x) = 0 cũng là nghiệm của phương trình F(x) = 0 nên thực sự
có một ước số chung, ít nhất là bậc một ( x-  ), của F(x) và f(x).
Khi đó, do f bất khả qui ,





f  f1.g

f1 ( x) 1
f ( x)  g ( x)

Thay vào phương trình F ( x)  F1 ( x).g ( x) ta được F ( x)  F1 ( x). f ( x)
.
Do vậy, F ( x) f ( x) và mọi nghiệm của f(x) đều là nghiệm của F(x).



Định lí cơ bản này trực tiếp dẫn đến hai hệ luận quan trọng sau :
I/ Cho phương trình f(x) = 0 là bất khả qui trong


R . Nếu một nghiệm

của phương trình f(x) = 0 cũng là nghiệm của phương trình F(x) = 0 trong

R , có bậc thấp hơn bậc của f,

thì tất cả các hệ số của F đều bằng không.

II/ Nếu f(x ) = 0 là một phương trình bất khả qui trong một nhóm

R

thì

không có phương trình bất khả qui nào khác trong R có một nghiệm chung
với phương trình f(x) = 0.
2.1.7. Định lí 2.1.7
“Cho phương trình f ( x)  xn  a1.xn1  ...  an1.x  an  0 (1) là bất
khả qui bậc n trong R . Gọi  là một nghiệm của phương trình (1). Khi

Bùi Vũ Ngọc Nương

25

K30G – Toán