Trường ĐHSPHà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn
Trong thời gian học tập khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
được sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo em đã tiếp thu được
nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu
làm quen với việc nghiên cứu khoa học.
Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy các cô
trong khoa Toán - những người đã dạy dỗ chúng em trưởng thành như ngày
hôm nay.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo ThS Nguyễn Huy Hưng
người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình và đóng góp nhiều ý kiến quý
báu trong thời gian thực hiện khoá luận này.
Với điều kiện hạn chế về thời gian cũng như kiến thức bản thân nên
khoá luận khó tránh khỏi thiếu sót, kính mong sự chỉ bảo của thầy cô cũng
như các bạn sinh viên.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2010
Sinh viên

Vũ Thị Huyền

Vũ Thị Huyền

1

K32B - SP Toán

Trường ĐHSPHà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Lời cam đoan
Khoá luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
Nguyễn Huy Hưng cùng sự cố gắng của bản thân .Trong quá trình nghiên cứu
và thực hiện khoá luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu
trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận là kết quả nghiên cứu
của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác. Nếu sai em xin
hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2010
Sinh viên

Vũ Thị Huyền

Vũ Thị Huyền

2

K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Mục lục

Mở đầu
Chương 1:Các kiến thức chuẩn bị ........................................................... 2
1.1: Vành và một số tính chất cơ bản .......................................................... 2
1.2: Miền nguyên và trường ........................................................................ 3
1.3 Iđêan ...................................................................................................... 4
1.4 Một số lớp vành đặc biệt ....................................................................... 6
1.5 Vành đa thức.......................................................................................... 9
1.6 Tập đại số

10

Chương 2: Tập bất khả quy ..................................................................... 11
2.1 Tập bất khả quy ................................................................................... 11
2.2 Vành nhân tử hoá .................................................................................. 14
2.3 Tiêu chuẩn để một siêu mặt bất khả quy .............................................. 19
Chương 3 :Định lý cơ sở của Hilbert ...................................................... 21
3.1 Iđêan hữu hạn sinh, iđêan nguyên sơ, iđêan bất khả quy ...................... 21
3.2 Vành Noether ........................................................................................ 22
Kết luận ...................................................................................................... 34
Tài liệu tham khảo .................................................................................... 35

Vũ Thị Huyền

3

K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Mở Đầu
Ngày nay những tư tưởng, phương pháp và kết quả đại số đã thâm nhập
vào hầu hết các lĩnh vực của toán học. Đề tài Định lý cơ sở của Hilbert là
một đề tài hay có nhiều ứng dụng trong đại số hiện đại. Hơn nữa, việc nghiên
cứu đề tài này còn giúp cho người học phát triển tư duy có tầm nhìn sâu rộng
hơn về toán học.
Thấy được tầm quan trọng của đề tài cùng sự giúp đỡ tận tình của thầy
Nguyễn Huy Hưng em mạnh dạn thực hiện khoá luận tốt nghiệp với đề tài
Định lý cơ sở của Hilbert.
Đề tài này nghiên cứu tính chất đặc biệt của vành đa thức đó là tính
Noether và tính nhân tử hoá. Dùng tính Noether của vành đa thức để nghiên
cứu các tập đại số.
Nội dung của khoá luận gồm 3 chương :
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Tập bất khả quy
Chương 3. Định lý cơ sở của Hilbert
Do khuôn khổ thời gian và trình độ của bản thân còn hạn chế nên khoá
luận không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong được sự đóng góp ý
kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài được hoàn thiện và
phát triển hơn .

Vũ Thị Huyền

4

K32B - SP Toán



Trường ĐHSPHà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị

1.1. Vành và một số tính chất cơ bản
1.1.1. Định nghĩa
Cho X , X là tập hợp tuỳ ý. Trên X , ta trang bị 2 phép toán hai ngôi là
(+) và (.) . X , , . được gọi là vành nếu
+

X , là nhóm Abel

+ Phép . có tính chất kết hợp tức là x, y, z X :

xy z x yz

+ Phép nhân phân phối đối với phép cộng:
x, y, z X : x y z xy xz

x y z xz yz
Nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì X được gọi là vành giao hoán.
Nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì X được gọi là vành có đơn vị.
Nếu phép nhân có tính chất giao hoán và có đơn vị thì X được gọi là vành
giao hoán có đơn vị.
Phần tử đơn vị của phép cộng trong vành được gọi là phần tử 0.
Phần tử đơn vị của phép nhân trong vành thường kí hiệu là 1.
1.1.2. Ví dụ
a.


, , ,

là vành giao hoán có đơn vị với phép cộng và phép nhân các số

thông thường.
b. Cho X là một vành giao hoán, có đơn vị và n 2 là một số tự nhiên.
c. Tập các ma trận vuông cấp n với các phần tử thuộc X và phép (+), (.) ma
trận lập thành một vành có đơn vị nhưng không giao hoán.

Vũ Thị Huyền

5

K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2
d. Tập hợp

/n

Khóa luận tốt nghiệp

các số nguyên mod n cùng với hai phép toán (+),(.) các số

nguyên mod n được xác định bởi:

x n y n x y n


x n y n xy n
x, y

là vành giao hoán, có đơn vị và gọi là vành các số nguyên mod n .

1.1.3. Tính chất của vành
Cho X là vành. Khi đó:
i/ x.0 0.x 0

x X

ii/ x y z xy xz

x, y , z X

iii/ n xy nx y x ny

x, y X , n

iv/ Nếu X có đơn vị có ít nhất 2 phần tử thì 0 1
v/ Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh

y

1

... yn x y1 x ... yn x

( y1 ... yn )( x1 ...xn )




yi x j

i 1, n
j 1, m

1.1.4. Khái niệm ước của phần tử
Cho X là vành giao hoán, a, b X . Ta nói a là một ước của b nếu tồn tại
phần tử c X : a.c b . Kí hiệu a | b .
Khi đó, b cũng gọi là bội của a .
1.1.5. Một số tính chất số học trên miền nguyên
- a|a

, a X , a 0

- a | b , b | c thì a | c
- u |1 u | a a X
x, x / X nếu x x / u , u khả nghịch thì 2 phần tử x, x / gọi là liên kết với

nhau.

Vũ Thị Huyền

6

K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

1.2. Miền nguyên và trường
1.2.1. Ước của không
X là vành giao hoán, a X , a 0 .Ta gọi a là ước của không nếu tồn tại phần

tử b X , b 0 : ab 0 .
Khi đó, b cũng gọi là ước của không.
Nhận xét: Vành giao hoán X được gọi là không có ước của không khi và chỉ
a, b 0 ; a, b X : a.b 0

a, b X ; a.b 0 a 0
b 0



khi

Ví dụ : +
+

, , ,
8

không có ước của không.

có các ước của không: 2, 4, 6

1.2.2. Miền nguyên

a. Khái niệm : Miền nguyên là vành giao hoán, có đơn vị, có ít nhất 2 phần tử
và không có ước của không.
b. Ví dụ :
+
+

, , ,
p

là miền nguyên.

là miền nguyên p là số nguyên tố.

+ Vành ma trận Matn X không là miền nguyên với n 1 .
1.2.3. Trường
+ Trường là một miền nguyên mà mọi phần tử khác 0 đều tồn tại phần tử
nghịch đảo.
+ Hoặc: Một vành X có ít nhất 2 phần tử là trường khi và chỉ khi
X * X \ 0 là một nhóm giao hoán với phép nhân.

1.2.4. Mệnh đề
Một vành giao hoán X có đơn vị 1 0 là miền nguyên khi và chỉ khi phép
nhân ở trong X có luật giản ước tức là :

Vũ Thị Huyền

7

K32B - SP Toán



Trường ĐHSPHà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

xa xb, x 0 a b
ax bx , x 0 a b


1.3. Iđêan
1.3.1. Định nghĩa : Cho X là một vành.
+ Một iđêan trái A của X là vành con A của X thoả mãn
x X , a A : xa A

( XA A) .

+ Một iđêan phải A của X là vành con A của X thoả mãn :
x X , a A : ax A

( AX A) .

+ Một iđêan của X là một vành con A của X vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải
của X .
Ví dụ : + Mọi vành X đều có 2 iđêan tầm thường là 0 và X .
+n

( n là số tự nhiên ) là các iđêan của vành

.


+Tập các hàm số liên tục trên đoạn a, b triệt tiêu tại x0 a, b
là một iđêan của vành Ca ,b .
1.3.2. Điều kiện tương đương
Cho X là vành , A , A X . Các điều kiện sau tương đương
a/ A là iđêan của X .
b/ x, y A: x y A , x X , a A : xa A, ax A .
1.3.3. Tính chất
a/ Giao của một họ bất kì các vành con của X là vành con của X .
b/ Cho X là vành U X . Khi đó giao của tất cả các vành con của X chứa

U cũng là vành con của X chứa U . Đó là vành con bé nhất của X chứa U
gọi là vành con sinh bởi U .
Kí hiệu U hoặc U .

Vũ Thị Huyền

8

K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

1.3.4. Iđêan sinh bởi n phần tử
Định nghĩa : Cho X là vành giao hoán có đơn vị 1 và U a1 ,.., an . Iđêan
sinh bởi n phần tử a1 ,..., an là iđêan

a x | x X

n

A a1 ,..., an

i

i

i

i 1

Đặc biệt : Nếu A a thì A gọi là iđêan chính.
Iđêan chính

a ax | x X aX Xa .

1.4. Một số lớp vành đặc biệt
1.4.1. Một số khái niệm
a. Phần tử bất khả quy và phần tử nguyên tố
+ Ước thực sự : Cho X là miền nguyên, a, b X , a gọi là ước thực sự của
b a | b, a khác khả nghịch, a không liên kết với b .

Ví dụ : Trong vành

thì 12 có các ước thực sự 2, 3, 4, 6

+ Phần tử bất khả quy: X là miền nguyên p X , p gọi là bất khả quy khi và
chỉ khi p không có ước thực sự.
Ví dụ : Trong


các phần tử bất khả quy là các số nguyên tố p ( p là số

nguyên tố).
+ Phần tử nguyên tố: X là miền nguyên, p X , p 0 , p khác khả nghịch,
p là phần tử nguyên tố nếu p | ab thì p | a hoặc p | b .

* Nhận xét: Mọi phần tử nguyên tố đều là phần tử bất khả quy điều ngược lại
chưa chắc đúng. Trong vành chính thì phần tử bất khả quy chính là phần tử
nguyên tố và ngược lại.
b. Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất
Cho X - miền nguyên

Vũ Thị Huyền

9

K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

+Ước chung lớn nhất: Phần tử d được gọi là ước chung lớn nhất của
d | ai , i 1, n
m|d
a1 , a2 ,...an khi và chỉ khi

m

|
a
,
i

1,
n

i

Nhận xét : Có thể tồn tại nhiều ước chung lớn nhất của a1 , a2 ,..., an và các ước
chung lớn nhất này liên kết với nhau.
+ Bội chung nhỏ nhất: Phần tử m được gọi là bội chung nhỏ nhất của
m ai i 1, n
a1 , a2 ,..., an
k ai i 1, n

k m

1.4.2. Vành chính
a. Định nghĩa:
Một miền nguyên trong đó mọi iđêan của nó đều là iđêan chính thì được gọi là
vành chính.
b. Ví dụ
+

là vành chính.

+ Trường bất kì là vành chính.
c. Định lý

Cho A - vành chính , a1 ,..., an A , n 2
i/

a1 ,..., an có ước chung lớn nhất.

ii/ a1 ,..., an có bội chung nhỏ nhất.
Hệ quả:
+ Nếu a và b lần lượt là ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của
n

a1 ,..., an thì

a1 ,..., an aA và

a A bA .
i

i 1

+ Các phần tử a1 ,...an A gọi là nguyên tố cùng nhau nếu nó nhận 1 làm ước
chung lớn nhất.

Vũ Thị Huyền

10

K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

d. Định lý
Trong vành chính mọi phần tử khác 0 và khác khả nghịch đều phân tích được
thành tích hữu hạn các nhân tử bất khả quy. Sự phân tích này là duy nhất nếu
không kể đến thứ tự và sự sai khác các nhân tử khả nghịch.
e. Định lý: Nếu m, n, p, q là các nhân tử của vành chính thoả mãn m np q
thì

m, n n, q .

1.4.3. Vành sắp thứ tự
a. Định nghĩa: Một vành giao hoán A có đơn vị 1 khác 0 được gọi là vành
sắp thứ tự nếu trên A có quan hệ thứ tự toàn phần, kí hiệu " " thoả mãn các
điều kiện sau:
i/ Nếu a b thì a c b c

với a, b, c A

ii/ Nếu a 0, b 0 thì a.b 0 .
Quy ước : Viết a b có nghĩa a b và a b .
Phần tử a gọi là dương nếu a 0 và gọi là âm nếu a 0 . Ta có:

abba
Ví dụ 1 : Các vành

, ,

với quan hệ thứ tự toàn phần là quan hệ giữa


các số thông thường là các vành sắp thứ tự.
Ví dụ 2: f x x 3 , g x 0 hai hàm này không so sánh được với nhau nên
không sắp thứ tự toàn phần.
b. Các tính chất trong vành sắp thứ tự
(a)

a b ab0

(b) a b , c 0 thì a.c b.c
(c)

a 0 a 0

(d) a 2 0
(e) 1 0
(f)

Nếu một vành sắp thứ tự X

là miền nguyên thì ab 0 với

a 0 , b 0

Vũ Thị Huyền

11

K32B - SP Toán



Trường ĐHSPHà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

(h) Một vành sắp thứ tự X có tính chất ab 0 với a 0, b 0 thì X là
miền nguyên.
* Nhận xét : Không thể xây dựng một quan hệ thứ tự trong vành số phức (kế
thừa từ

) để vành số phức

là vành sắp thứ tự vì nếu làm được như vậy thì

phần tử i có tính chất i 2 1 (không thoả mãn tính chất (d)) của vành sắp thứ
tự.
c. Bổ đề Zorn
* Xích: Cho X là tập hợp được sắp thứ tự ( X có một quan hệ thứ tự). Một
tập A của X được gọi là một xích của X nếu A cùng với quan hệ thứ tự bộ phận
của X lập thành một tập hợp sắp thứ tự toàn phần (với 2 phần tử a, b A đều
so sánh được với nhau với quan hệ thứ tự đã cho).
Ví dụ : Cho

trang bị quan hệ S như sau : a, b

, aSb a | b . Khi đó

là tập sắp thứ tự với quan hệ thứ tự chia hết.
Ví dụ : A 2,4,8,16 , A là xích của N .
* Khái niệm cận trên : Cho X là tập sắp thứ tự , A là một xích của X ,

x X được gọi là cận trên của A nếu a x , a A .

* Bổ đề Kuratowski-Zorn
Nếu mỗi xích của tập hợp được sắp thứ tự X đều có cận trên thì X chứa ít
nhất một phần tử cực đại.
1.5. Vành đa thức
1.5.1. Định nghĩa
Cho R là vành giao hoán, có đơn vị và x1 ,...xn

n 1

là các biến. Ta

gọi là đơn thức một biểu thức có dạng x1 ...xn trong đó 1 ,..., n
1

n

n

được

gọi là một bộ số mũ của đơn thức.
Nếu 1 ... n 0 thì đơn thức được kí hiệu là l .
Phép nhân trên tập các đơn thức được định nghĩa :

Vũ Thị Huyền

12


K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2

x

1

1

...xn

n

x

1

1

...xn n x1 ...xn
1

n

1

f x a xa , g x


Hai đa thức

a

a a

Khóa luận tốt nghiệp

n

n


a

n

a

x a được gọi là bằng nhau nếu

n

a

Trên tập các đa thức, ta định nghĩa phép cộng hai đa thức
f x a x a , g x a x a như sau:
a

n


a

n

f x g x a x a a x a a a x a
a
a
a
n

n

n

Nhận xét : Biểu thức ở vế phải là một đa thức vì f x , g x là các đa thức
nên chỉ có hữu hạn hệ tử a , a 0 của f x , g x lần lượt là a, b . Thế thì
f x g x có không quá a b hệ tử khác không.

* Ta định nghĩa phép nhân hai đa thức :
a
a
f x g x a x a
a x a x , trong đó a b c .
b , c
a
a
a
n


n

n

n

b c a

Nhận xét : Biểu thức ở vế phải là một đa thức . Vì f x , g x là các đa thức
nên chỉ có

hữu hạn

hệ tử

a , a 0 . Giả sử số hệ tử khác 0 của

f x , g x lần lượt là a, b . Thế thì f x , g x có không quá a, b hệ tử
khác 0.
* Có thể dễ dàng kiểm tra tập các đa thức n biến cùng với 2 phép toán cộng
2 đa thức và nhân 2 đa thức định nghĩa ở trên lập thành một vành giao hoán
với phần tử đơn vị là đơn thức 1 . Tập này được kí hiệu là R x1 ,..., xn hay viết
gọn là R x . Và R x1 ,..., xn được gọi là vành đa thức n biến trong đó R
được gọi là vành cơ sở.
Nhận xét : Có một cách xây dựng vành đa thức nhiều biến đó là xây dựng
vành nhiều biến từ vành một biến theo quy nạp, ban đầu người ta xây dựng

Vũ Thị Huyền

13


K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

vành đa thức một biến sau đó coi vành đa thức một biến là cơ sở.
1.5.2 Mệnh đề: Nếu R là miền nguyên thì vành đa thức R x cũng là miền
nguyên.
1.6 Tập đại số
a. Định nghĩa: Cho

K

là một trường và

S K x1 ,..., xn . Đặt

V S 1 ,..., n K n | f 1 ,..., n 0 f S . Khi đó V S được

gọi là một tập đại số.
b. Ví dụ :
i/ Cho S K x . Khi đó V S vì phương trình 1 0 vô nghiệm.
ii/ Cho S . Khi đó V S K .

Vũ Thị Huyền

14


K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Chương 2. Tập bất khả quy

2.1. Tập bất khả quy
2.1.1. Khái niệm
Một tập đại số V được gọi là tập bất khả quy nếu V không thể phân tích
được thành hợp của 2 tập đại số nhỏ hơn.
2.1.2 Ví dụ
Tập chỉ gồm một điểm là tập bất khả quy.
2.1.3 Khái niệm đại số tương ứng với tập bất khả quy
a. Khái niệm iđêan nguyên tố:
Cho I là iđêan thực sự của vành A .Ta gọi I là iđêan nguyên tố nếu từ điều
kiện fg I ta suy ra được f I hay g I .
Ví dụ: Iđêan 0 trong k X là iđêan nguyên tố vì tích hai đa thức f , g 0
không thể là 0.
+ Ta cũng có thể định nghĩa cách khác:
Ta gọi I là iđêan nguyên tố nếu từ điều kiện J1 J 2 I ta suy ra được J1 I
hay J 2 I .
b. Khái niệm iđêan cực đại
Iđêan thực sự A của X được gọi là iđêan cực đại nếu tồn tại iđêan B của X mà
A B thì B X .

Nhận xét : Trong một trường thì iđêan nguyên tố cũng là iđêan cực đại.

Ví dụ : Iđêan nZ của Z (với n là nguyên tố) vừa là iđêan nguyên tố vừa là
iđêan cực đại.
c. Khái niệm iđêan căn: Cho A là iđêan của X tập Rad ( A) là tập hợp

x X | n : x n A được gọi là căn của A ( RadA là iđêan của X ).
Vũ Thị Huyền

15

K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2

Đặc biệt căn của iđêan

0 được

Khóa luận tốt nghiệp

gọi là căn luỹ linh của X và kí hiệu

Rad X .

Rad X x X | n : x n 0

Một phần tử của Rad X được gọi là phần tử luỹ linh của X .
Ví dụ: Phần tử 0 là luỹ linh của X vì 0 Rad X .
2.1.4 Tiêu chuẩn để iđêan căn là iđêan nguyên tố
Ta thấy rằng : Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan căn. Ta có tiêu chuẩn sau để

iđêan căn là iđêan nguyên tố.
a. Định lý:
Cho I là iđêan căn I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I không phân tích được
thành giao của 2 iđêan căn lớn thực sự hơn I .
Chứng minh
J I
Giả sử I là iđêan nguyên tố. Nếu I J1 J 2 thì J1 J 2 I do đó 1
J2 I

Đảo lại giả sử I không phải là iđêan nguyên tố. Khi đó f , g I sao cho
fg I .

Đặt J1

I, f

và J 2

I , g . Rõ ràng

tuỳ ý. Ta có h m I , f I , g

I J1 J 2 (1). Cho h J1 J 2

với m 0

nào đó .Từ đó ta suy ra

h 2 m I , f I , g I 2 I f I g fg I h I . Vì vậy J1 J 2 I
(2)

Từ (1) ,(2) I J1 J 2 với J1 , J 2 là những iđêan căn lớn thực sự hơn I .
Nhận xét: Từ định lý cho thấy mọi iđêan lớn nhất trong tập các iđêan thực sự
của A đều là iđêan nguyên tố và các iđêan này là các iđêan cực đại của A .
Từ đó ta có thể phát biểu thành định lý sau:

Vũ Thị Huyền

16

K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

b. Định lý :
Trong vành giao hoán X luôn tồn tại ít nhất một iđêan cực đại.
Chứng minh
Đặt B { A | A là iđêan của X , A X } thì B là tập sắp thứ tự với quan hệ thứ
tự bao hàm B vì 0 là iđêan của X ,

0 X 0 B . Giả sử

B/

là một xích của B , B / Ai | i 1,2,...
A1 A2 A3 .... , Ai B

( tức là Ai là iđêan của X , Ai X ).



Đặt A/ Ai thì A/ là iđêan của X ( quan hệ

" " là quan hệ bao hàm).

i 1


A/ X vì nếu A/ X A/ chứa 1 hay 1 A/ Ai i 1,... để
i 1

1 Ai Ai X ( mâu thuẫn với cách định nghĩa tập hợp B ). A/ là chặn


( vì Ai Ai ). Vậy mọi xích bất kì của B đều có cận trên.

trên của xích B

i 1

Vì vậy theo bổ đề Zorn trong B tồn tại ít nhất một phần tử cực đại. Suy
ra X có ít nhất một iđêan cực đại M .
c. Hệ quả :
Cho X là vành giao hoán, mọi iđêan thực sự của X đều nằm trong một iđêan
cực đại.
Chứng minh
Giả

sử


A

là

iđêan

của

X,

A X .

Tồn

tại

vành

thương

X / A x A | x X
X / A là vành giao hoán ( do A là vành giao hoán)

X / A tồn tại ít nhất một iđêan cực đại I .
A là iđêan của X / A ( A là phần tử không của X / A mà iđêan không là

iđêan của X / A )
Vũ Thị Huyền


A I
17

K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

d. Định lý
Tập đại số V là bất khả quy khi và chỉ khi IV là iđêan nguyên tố.
Chứng minh
Giả sử V là tập đại số bất khả quy. Nếu IV không phải là iđêan nguyên tố thì
IV I1 I 2 với I1 , I 2 là những iđêan lớn thực sự hơn IV

V Z I1 Z I 2

V Z I1 I1 IV I1 IV
Vì vậy
V Z I 2 I 2 IV I 2 IV

( Mâu thuẫn giả thiết ).
Đảo lại, giả sử IV là iđêan nguyên tố. Nếu V không là tập bất khả quy thì
V V1 V2 với V1 ,V2 là những tập đại số con thực sự của V . Gọi các iđêan của

V1 và V2 lần lượt là I1 và I 2 .
I1 I V
I V I1
V V1

Ta có IV I1 I 2 I1 I 2 IV


I 2 IV
IV I 2 V V2

( mâu thuẫn với giả thiết).
Ví dụ: k n là tập bất khả quy vì I k 0 là iđêan nguyên tố.
n

Nhận xét: Như ta đã thấy, mọi iđêan vô nghiệm đều không là iđêan của một
tập đại số. Từ đây suy ra mọi iđêan nguyên tố vô nghiệm đều không thể là
iđêan của tập bất khả quy.
Bây giờ ta sẽ xét xem khi nào một siêu mặt Z f là tập bất khả quy.
Điều này liên quan chặt chẽ đến vấn đề khi nào

f

là iđêan nguyên tố. Để

giải quyết vấn đề này ta cần đến những khái niệm sau

Vũ Thị Huyền

18

K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

2.2. Vành nhân tử hoá
2.2.1. Khái niệm
Miền nguyên A được gọi là vành nhân tử hóa nếu mọi phần tử thuộc A
đều là tích của những phần tử bất khả quy và nếu
f g 1...g r h1...hs

(1)

là hai tích như vậy thì r s và sau một phép hoán vị các chỉ số ta có g i ci hi
với ci khả nghịch i 1,..., r .
2.2.2. Ví dụ
a. Vành đa thức một biến K x là vành nhân tử hoá. Xét hai phân tích
của một đa thức f K x thành tích các đa thức bất khả quy như trên. Giả sử
gi không chia hết cho hi

i 1,...r . Do h1 bất khả quy nên gi và h1 không

có ước chung. Suy ra tồn tại các đa thức ui , vi sao cho

1 ui gi vi h1 . Do g1

bất khả quy nên c K . Suy ra (1) trở thành cg 2 ...g r h2 ...hs .
Dùng quy nạp theo s ta có thể giả thiết r s và gi ci hi với
ci K

, i 2,..., r .


b.

là vành nhân tử hóa.

c.

3 là miền nguyên nhưng không là vành nhân tử hoá.



2.2.3 Bổ đề
Cho A là vành nhân tử hoá và f A tuỳ ý. Iđêan f là iđêan nguyên tố khi
và chỉ khi f là phần tử bất khả quy.
Chứng minh
Giả sử f là phần tử bất khả quy. Nếu gh f thì từ tính duy nhất của
sự phân tích gh thành tích các phần tử bất khả quy ta suy ra được f là ước
g f g f
bất khả quy của gh
h f h f

Vũ Thị Huyền

19

K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp


Vậy f là iđêan nguyên tố.
Đảo lại, giả sử f không phải là phần tử bất khả quy. Khi đó f gh là tích
g f
hai phần tử không khả nghịch. Nếu f là iđêan nguyên tố thì
h f

Giả sử h f nghĩa là h fu f gh gfu . Do A là miền nguyên nên ta có
thể giản ước f ở hai vế của đẳng thức trên và nhận được 1 ug ( mâu thuẫn
với tính không khả nghịch của g ).
2.2.4. Hệ quả
Cho A là vành nhân tử hoá và I là iđêan nguyên tố. Nếu giữa I và 0 không
còn một iđêan nguyên tố nào khác thì I là iđêan chính.
Chứng minh
Cho f I tuỳ ý. Ta thấy f phải có một ước bất khả quy g I . Theo bổ đề
trên thì g là iđêan nguyên tố. Do 0 g I nên ta phải có I g .
Vậy I là iđêan chính.
2.2.5. Bổ đề
Cho u là một phần tử của A . Nếu u là iđêan nguyên tố trong A thì uA x
cũng là iđêan nguyên tố.
Chứng minh:
Cho g , h A x sao cho gh uA x . Nếu g , h uA x ta có thể giả thiết
g x i g1 và h x j h1 với g1 , h1 là những đa thức có hệ số tự do không thuộc

vào u . Khi đó x i j g1h1 uA x g1h1 uA x g1h1 u (điều này mâu
thuẫn với tính nguyên tố của u ).
2.2.6. Tính chất của vành nhân tử hoá
a. Định lý
Trong vành nhân tử hoá luôn tồn tại ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ
nhất của hai phần tử ( không đồng thời bằng 0 ).

Vũ Thị Huyền

20

K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Chứng minh
a, b X

+ Nếu a, b U thì ước chung lớn nhất của a, b là phần tử khả nghịch bất
kì.
+ Nếu a, b U . Giả sử
b p1m . p2m ... pkm
1

k

2

a p1n . p2n ... pkn
1

k

2


, ai bất khả quy trên X và

, b j bất khả quy trên X . Bằng cách bổ xung vào hai sự

phân tích trên những phần tử thiếu với mũ 0 . Khi đó

chọn

d p1minn ,m ... pkminn ,m ta có d có ước chung lớn nhất của a, b .
1

*

1

k

k

ý nghĩa : Trong vành nhân tử hoá mỗi phần tử khác không đều phân tích

được một cách duy nhất thành tích của những phần tử bất khả quy. Đề tài đa
thức bất khả quy liên quan chặt chẽ đến vấn đề nghiệm của đa thức và nhu cầu
mở rộng trường cơ sở đề tìm nghiệm cho đa thức. Trước hết ta đi đến khái
niệm trường các thương.
Giả sử A là một miền nguyên. Ký hiệu Q A là tập các iđêan thương
f | g ( f , g A, g 0) với quan hệ tương đương

f1 f 2


g1 g 2

nếu

f1 g 2 f 2 g1 .

Ta có thể định nghĩa các phép cộng và nhân trong Q A như sau :
f1 f 2 f1 g 2 f 2 g1


;
g1 g 2
g1 g 2

f1 f 2
f f
. 1 2
g1 g 2 g1 g 2

Có thể kiểm tra thấy Q A là một trường. Trường này được gọi là trường các
thương của A . Ta có thể đồng nhất A với vành các thương dạng f / 1 trong
Q A . Điều này cho phép ta sử dụng tính nhân tử hoá của vành đa thức

Q A x để nghiên cứu tính nhân tử hoá của A x .

Vũ Thị Huyền

21


K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

b. Định lý
Nếu A là vành nhân tử hoá thì A x là vành nhân tử hoá.
Chứng minh
Cho f là một đa thức tuỳ ý trong A x . Ta xét 2 trường hợp sau:
+ Nếu deg f 0 f A . Do A là miền nguyên nên tích hai đa thức bậc
dương là một đa thức bậc dương. Suy ra mọi phần tử trong A chỉ phân tích
được thành tích các phần tử trong A .
Phân tích của f thành tích các phần tử bất khả quy trong A là phân tích

duy nhất của f thành tích các phần tử bất khả quy trong A x .
+ Nếu deg f 0 trước hết ta xét f như một phần tử của vành K x với

K Q A . Do K x là vành nhân tử hoá nên f có sự phân tích duy nhất
thành tích những phần tử bất khả quy f g1...g s trong K x . Ta có thể viết
gi

ui hi
với ui , vi A và hi A x là một đa thức bậc dương mà các hệ số
vi

không có ước chung không khả nghịch. Suy ra gi cũng là đa thức bất khả quy
trong A x . Xét đẳng thức:
v1....vs f u1...us h1...hs


Theo bổ đề trên, các ước bất khả quy của v1 ,..vs sinh ra các iđêan nguyên tố
trong A x . Do các hệ số của h i không có ước chung nên h i không chia hết
cho các ước này. Vì vậy

u1...us không chia hết v1...vs và do đó ta có đẳng

thức dạng:
f uh1...hs , u A .

Các đa thức h1 ,..., hs được xác định một cách duy nhất từ g1 ,..., g s . Vì vậy u
cũng được xác định một cách duy nhất. Từ sự phân tích duy nhất u thành tích

Vũ Thị Huyền

22

K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

các phần tử bất khả quy trong A ta suy ra f cũng có sự phân tích duy nhất
thành tích các phần tử bất khả quy trong A x .
+ Hệ quả: K X là vành nhân tử hoá.
2.3. Tiêu chuẩn để một siêu mặt bất khả quy
Việc mọi đa thức f K X đều là tích các đa thức bất khả quy cho phép
ta quy việc nghiên cứu các siêu mặt Z f về trường hợp f là đa thức bất khả

quy. Khi đó, f là iđêan nguyên tố. Vì vậy ta có tiêu chuẩn sau cho một siêu
mặt bất khả quy.
2.3.1. Định lý
Cho f là một đa thức bất khả quy trong K X . Nếu I Z f f thì Z f là
tập bất khả quy.
2.3.2. Ví dụ:
Dễ thấy rằng các đa thức x 2 y, x3 y 2 là các đa thức bất khả quy trong
K x, y . Do I Z x y x 2 y


2



và

I Z x y x 3 y 2 nên Z x 2 y


3

2



và

Z x 3 y 2 là các tập bất khả quy.

Nhận xét: Điều kiện I Z f f không phải lúc nào cũng thoả mãn với mọi

đa thức bất khả quy f .Chẳng hạn: Đa thức f x12 1 bất khả quy trong

R X nhưng I Z f I R X .
Ví dụ trên chỉ là trường hợp đặc biệt của tính chất mọi iđêan nguyên tố
vô nghiệm không thể là iđêan của tập bất khả quy.

Vũ Thị Huyền

23

K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Bài tập



Bài 1: Kiểm tra vành A = Z 3 a b 3 | a, b



có là vành

nhân tử hoá không ?








Ta có 4 2.2 1 3 1 3 trong đó 2, 1 3 bất khả quy.Suy
ra 4 có hai sự phân tích thành tích các nhân tử bất khả quy. Vậy A không là
vành nhân tử hoá.
Bài 2 : Chứng minh rằng mọi iđêan căn đều là giao của các iđêan nguyên tố
chứa nó
Gọi S là tập các iđêan căn không phải là giao của các iđêan nguyên tố
chứa nó . Ta chỉ cần chứng minh S .
Giả sử S . Cho I1 ... I j ... là chuỗi các iđêan trong S . Ta thấy
ngay

I

j

cũng là một iđêan căn. Theo bổ đề Zorn thì tập S phải có những

iđêan lớn nhất. Cho I S là một iđêan như vậy . Do I không phải là iđêan
nguyên tố nên tồn tại các phần tử

I , f I , g I
Từ đây suy ra I
cũng phải chứa

2


f , g I thoả mãn điều kiện fg I . Ta có

If Ig fg I .

I, f I, g .

I, f

hay

Vì vậy, mọi iđêan nguyên tố chứa I

I , g . Do I , f và I , g

là những iđêan

căn lớn hơn I nên chúng là giao của các iđêan nguyên tố chứa chúng. Từ đây,
ta suy ra I là giao của các iđêan nguyên tố chứa I (mâu thuẫn với cách chọn

I S ).

Vũ Thị Huyền

24

K32B - SP Toán


Trường ĐHSPHà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Chương 3. Định lý cơ sở của Hilbert

Theo định nghĩa thì tập đại số là tập nghiệm của một hệ phương trình đa
thức. Một hệ như vậy có thể gồm một số vô hạn các phương trình. Tuy nhiên,
ta sẽ thấy mọi tập đại số đều được xác định bởi một hệ hữu hạn các phương
trình đa thức.
Cho S là một hệ đa thức trong K X . Nếu S T với một hệ đa thức
T khác thì Z S Z T . Vì vậy ta chỉ ra rằng mọi iđêan S của K X đều

sinh bởi một hệ hữu hạn T . Điều này dẫn ta đến các khái niệm đại số sau
3.1. Iđêan hữu hạn sinh , iđêan nguyên sơ, iđêan bất khả quy
3.1.1. Iđêan hữu hạn sinh
a. Định nghĩa :
Cho I là một iđêan tuỳ ý trong vành A. Tập S A được gọi là hệ sinh của I
nếu I S . Iđêan I được gọi là hữu hạn sinh nếu I có hệ sinh hữu hạn.
b. Định lý :
Cho X là vành giao hoán có đơn vị 1. Khi đó:

I a1 ,..., an a1 x1 ... an xn | xi X
3.1.2. Iđêan nguyên sơ, iđêan bất khả quy
a. Iđêan nguyên sơ
Định nghĩa : Cho X là vành giao hoán. Iđêan thực sự A của X
được gọi là iđêan nguyên sơ nếu xy A, y A thì n

A X

để x n A .


b. Iđêan bất khả quy.
Định nghĩa: Một iđêan được gọi là bất khả quy nếu iđêan đó không là giao của
hai iđêan lớn hơn thực sự.
Vũ Thị Huyền

25

K32B - SP Toán