TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
****************

TRỊNH THỊ HỒNG NHUNG

DẠNG JORDAN PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

TÓM TẮT
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

Phạm Thanh Tâm

Hà Nội - 2013


LỜI MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Đại số tuyến tính là một môn học cơ bản của Toán cao cấp, được
ứng dụng vào hàng loạt các lĩnh vực khác nhau, từ Giải tích tới Hình
học vi phân, từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ thuật. Những kiến thức cơ bản của
Đại số tuyến tính như ánh xạ tuyến tính, cấu trúc của tự đồng cấu là
những kiến thức quan trọng, không thể thiếu. Hơn nữa, việc tìm cho mỗi
tự đồng cấu (trong trường hợp có thể) một cơ sở của không gian sao cho
trong cơ sở đó tự đồng cấu có ma trận đơn giản, cụ thể là càng gần ma
trận chéo càng tốt chính là tìm dạng Jordan của ma trận là một bước
cơ bản trong các bài toán. Thấy được tầm quan trọng của nó nên khi

ta nghiên cứu các vấn đề này ta không dừng lại nghiên cứu trên trường
số thực mà còn mở rộng trên trường số phức thông qua việc phức hóa
không gian vectơ và tìm hiểu ứng dụng của nó.
Thấy được tầm quan trọng của vấn đề, cùng với sự hướng dẫn
nhiệt tình của thầy Phạm Thanh Tâm tôi đã chọn đề tài ” Dạng
Jordan phức và ứng dụng ”.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài.
Nghiên cứu về dạng Jordan phức và ứng dụng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài.
Dạng Jordan phức và những ứng dụng quan trọng của nó.
4. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài.
Nghiên cứu về dạng Jordan phức và ứng dụng của nó trong phạm vi của
môn đại số tuyến tính.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài.

1


Nghiên cứu một số kiến thức chuẩn bị liên quan đến dạng Jordan phức .
6. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp : hệ thống lại các kiến
thức có liên quan, phân tích, tổng hợp.
7. Kết cấu của khóa luận .
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận
gồm 2 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở.
Chương 2: Dạng Jordan phức và ứng dụng.
Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn
chế nên khi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót.
Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý

thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm
2013
Sinh viên
Trịnh Thị Hồng Nhung

2


Chương 1
Kiến thức cơ sở.
1.1.

Ánh xạ tuyến tính.

1.1.1.

Định nghĩa, tính chất của ánh xạ tuyến tính.

Định nghĩa 1.1. Cho V, W là hai không gian vectơ trên trường K. Ánh
xạ f : V → W được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu:
→
−
→
−
−
−
f (→
α + β ) = f (→

α ) + f( β )
−
−
f (k →
α)
= kf (→
α)
→
−
−
với mọi →
α , β ∈ V và mọi k ∈ K. Ánh xạ tuyến tính còn được gọi là
đồng cấu tuyến tính, hay một cách vắn tắt là đồng cấu.
Kí hiệu: Hom(V, W) là tập các ánh xạ tuyến tính từ V vào W.
Tính chất 1.1. Ánh xạ tuyến tính có một số tính chất cơ bản:
Giả sử f : V → W là ánh xạ tuyến tính.Khi đó:
→
−
→
−
1) f ( 0 ) = 0
−
−
−
2) f (−→
α ) = −f (→
α ), ∀→
α ∈V
→) + λ −
→

−
→
−
→
−
→
−
→
3) f (λ1 −
α
1
2 α2 + · · · + λm αm ) = λ1 f (α1 ) + λ2 f (α2 ) + · · · + λm f (αm )

3


Ví dụ 1.1. 1) Ánh xạ đạo hàm

d
dx

: R [x] → R [x]; trong đó R[x] là không

gian các đa thức một ẩn x cho bởi:
d
(an xn + · · · + a1 x + a0 ) = nan xn−1 + · · · + a1
dx
ánh xạ tuyến tính .
2) Coi C là một R - không gian vectơ. Phép lấy liên hợp:
ϕ: C →C

z →z
là ánh xạ tuyến tính.
3) Cho A = (aij )m×n ∈ M ath(m × n, K). Ánh xạ f : Kn → Kn cho bởi:
 
 
x1
x1
.
.
 ..  → A  .. 
 
 
xn
xn
n
là một ánh
 xạ
 tuyến tính nếu coi mỗi vectơ (x1 , . . . , xn ) ∈ K là một ánh
x1
.
.
xạ cột: 
 . .
xn

Định nghĩa 1.2. Giả sử V, W là các K không gian vectơ và f, g : V → W
là hai ánh xạ tuyến tính. Ta gọi tổng của f và g là một ánh xạ, kí hiệu
là f + g, xác định bởi:
f +g : V →W
→

−
−
−
−
α → (f + g)(→
α ) = f (→
α ) + g(→
α ).
Với λ ∈ K và f : V → W là ánh xạ tuyến tính, ta gọi là tích của ánh xạ
f với vô hướng λ là một ánh xạ, ký hiệu là λ.f , xác định bởi:
λ.f : V → W
→
−
−
−
α → (λ.f )(→
α ) = λ.f (→
α)

4


Nhận xét 1.1. Các ánh xạ f + g và λ.f là những ánh xạ tuyến tính từ
V vào W.
Định lý 1.1. Giả sử V là một không gian vectơ n - chiều. Khi đó, mỗi
ánh xạ tuyến tính từ V đến W được hoàn toàn xác định bởi ảnh của nó
−
−
−
trên một cơ sở. Tức là, nếu (ε) = {→

ε1 , →
ε2 , . . . , →
εn } là một cơ sở của V
→
− →
−
−
→
còn β1 , β2 , . . . , βn là n vectơ nào đó của W. Khi đó có một và chỉ một
→
−
−
ánh xạ tuyến tính f : V → W sao cho f (→
ε ) = β , i = 1, n.
i

i

−
−
−
−
Chứng minh. a) Sự tồn tại: Với mỗi →
α = x1 →
ε1 +x2 →
ε2 +· · ·+xn →
εn ∈
V, ta đặt:

→

−
→
−
−
→
−
f (→
α ) = x1 β1 + x2 β2 + . . . xn βn ∈ W.

→
−
−
Khi đó f : V → W là một ánh xạ tuyến tính thỏa mãn f (→
εi ) = βi , 1, n.
b) Sự duy nhất: Giả sử g : V → W là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn định
−
−
−
lý và f (→
εi ) = g(→
εi ), i = 1, n thì với mỗi →
α =

n

−
xi (→
εi ) ∈ V ta đều có:

i=1

n

−
f (→
α ) = f(
n

−
xi →
εi ) =

i=1

=

n

−
xi f (→
εi )

i=1

−
xi g(→
εi ) = g(

i=1

n


−
−
xi →
εi ) = g(→
α ).

i=1

⇒ g = f . Vậy tồn tại của f là duy nhất.
Định nghĩa 1.3. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính trên trường K.
Khi đó:
a) f là một đơn cấu nếu f đơn ánh.
b) f là một toàn cấu nếu f toàn ánh.
c) f là một đẳng cấu nếu f song ánh.
Nếu có một đẳng cấu f : V → W thì ta nói rằng V đẳng cấu với
W và viết V ∼
= W.
5


Nhận xét 1.2. Quan hệ đẳng cấu giữa những không gian vectơ là một
quan hệ tương đương.
Định lý 1.2. Cho V và W là hai không gian vectơ hữu hạn chiều trên
trường K. Khi đó V đẳng cấu với W khi và chỉ khi dim V =dim W .
Chứng minh:
Điều kiện cần: Giả sử V đẳng cấu với W, khi đó có một đẳng cấu
−
−
−

f : V → W. Tức là, nếu {→
ε1 , →
ε2 , . . . , →
εn } là một cơ sở của V thì hệ
−
−
−
{f (→
ε ), f (→
ε ), . . . , f (→
ε )} là một cơ sở của W. Thật vậy:
1

2

n

→
−
−
Giả sử β là một vectơ bất kì trong W, khi đó tồn tại →
α ∈ W để
n
→
−
−
−
−
(ai →
εi ) thì:

β = f (→
α ). Tức là, nếu có →
α =
i=1

→
−
−
β = f (→
α ) = f(

n

−
(ai →
εi ) =

i=1

n

−
ai f (→
εi ).

i=1

→
−
−

−
−
Khi đó β biểu thị tuyến tính qua hệ {f (→
ε1 ), f (→
ε2 ), . . . , f (→
εn )}.
n
→
−
→
−
−
Nếu β còn biểu thị tuyến tính β =
bi f (→
εi ) thì:
i=1

→
−
→
−
→ + ··· + b −
→
α = f −1 ( β ) = b1 −
α
1
n αn .
→, . . . , −
→) là một cơ sở của V cho nên a = b , . . . , a = b .
Vì (−

α
α
1
n
1
1
n
n
→
−
−
Như vậy mỗi vectơ β biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ {f (→
ε1 ),
−
−
f (→
ε ), . . . , f (→
ε )} nên hệ này là một cơ sở của W. Nói cách khác dimV =
2

n

dimW.
Điều kiện đủ: Giả sử dimV = dimW = n. Chọn các cơ sở
−
−
→
→, . . . , −
→} của V và {→
{−

α
α
β1 , . . . , βn } của W. Ánh xạ tuyến tính duy nhất
1
n
−
→
→) = →
→) = −
ϕ : V → W được xác định bởi ϕ(−
α
β1 , . . . , ϕ(−
α
βn là một đẳng
1
n
cấu tuyến tính.
6


Thật vậy, nghịch đảo của ϕ là ánh xạ tuyến tính ψ : W → V được
→
−
→
→, . . . , ψ(−
→.
xác định bởi điều kiện ψ( β1 ) = −
α
βn ) = −
α

1
n

1.1.2.

Ma trận của ánh xạ tuyến tính.

Định nghĩa 1.4. Giả sử V, W là những K - Không gian vectơ hữu hạn
−
−
−
chiều,(e) = {→
e ,...,→
e } là một cơ sở của V, (ε) = {→
ε ,...,−
ε→} là một cơ
1

n

1

m

sở của W. Theo định lý (1.1), mỗi ánh xạ tuyến tính f : V → W được xác
−
−
−
định duy nhất bởi hệ vectơ (f (e)) = {f (→
e ), . . . , f (→

e }. Các vectơ f (→
e )
1

n

j

−
lại biểu thị tuyến tính một cách duy nhất qua cơ sở (ε) = {→
ε1 , . . . , −
ε→
m}
của W:
−
f (→
ej ) =

n

−
aij →
εi , j = 1, n.

i=1

trong đó các aij đều thuộc trường K.
Đặt A là ma trận xác

a11


a
 21
A=
. . .

am1

định bởi:
a12 . . . a1n




a22 . . . a2n 

 = (aij )m×n
... ... ...

am2 . . . amn

Khi đó A được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V → W đối với
cặp cơ sở (e) và (ε).
Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính.
Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính có ma trận A = (aij )m×n
−
đối với cặp cơ sở (e) và ε. Mọi vectơ →
α ∈
V có tọa độ (x1 , . . . , xn ) trong


x1

.. 
−

cơ sở (e), viết dưới dạng cột: →
α = 
 .  . Khi đó, tọa độ của vectơ
xn
7


−
f (→
α) ∈ W
 trong
 cơ sở ε là (y1 , . . . , yn ), viết dưới dạng cột:
y1

.. 
−

f (→
α) = 
 .  cho bởi công thức:
yn
y = Ax.
(1)




y1 = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn





y2 = a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn


..............................................





y = a x + a x + · · · + a x
m
m1 1
m2 2
mn n
hay là:

n




 yi =


aij xj
(2)

j=1



i = 1, 2, . . . , m
Ta gọi công thức trên là biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f đối
với cặp cơ sở (e) và (ε) đã cho.
Thật vậy, ta có:
n

n

−
−
yi →
ε1 = f (→
α ) = f(

i=1

−
xj →
εj ) =

j=1
n


=

m

xj
j=1

−
aij →
εj

n

j=1
m

n

aij xj

=
i=1

i=1

−
xj f (→
εj ).
→
−

εj .

j=1

Dạng (1) được gọi là dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính f ; dạng (2)
được gọi là dạng tường minh của f .
Định lý 1.3. Nếu f : V → W và g : W → U là những ánh xạ tuyến
tính thì ánh xạ tích g ◦ f : W → U cũng là ánh xạ tuyến tính.

8


→
−
−
Chứng minh. Thật vậy, với ∀→
α , β ∈ W; ∀λ, β ∈ K ta có:
→
−
→
−
−
−
(g ◦ f )(λ→
α + µ β ) = g(λf (→
α ) + µf ( β ))
→
−
−
= λg(f (→

α )) + µg(f ( β ))
→
−
−
= λ(g ◦ f )(→
α ) + µ(g ◦ f )( β )
Vậy gf là ánh xạ tuyến tính trên K
1.1.3.

Hạt nhân, ảnh của ánh xạ tuyến tính.

Định lý 1.4. Giả sử f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó:
a) Nếu T là một không gian vectơ con của V thì ảnh f (T) của nó qua f
là một không gian vectơ con của W.
b) Nếu U là một không gian vectơ con của W thì nghịch ảnh f −1 (U) của
U là một không gian vectơ con của V.
→
−
→
−
→
−
→
−
−
Chứng minh. a) Vì f ( 0 ) = 0 nên 0 ∈ f (T). Hơn nữa, nếu →
α ,β
→
−
→

−
−
−
là những vectơ thuộc f (T) thì chúng có dạng →
α = f (→
α ), β = f ( β )
→
−
−
trong đó →
α , β ∈ T. Lúc đó, với vô hướng λ bất kì thuộc K, do T là không
→
−
→
−
−
−
−
gian vectơ con của V, →
α + β ∈ T và λ→
α ∈ T. Do đó f (→
α + β ) ∈ f (T)
−
và f (λ→
α ) ∈ f (T).
Nhưng f tuyến tính nên
→
−
→
−

→
−
−
−
−
f (→
α + β ) = f (→
α ) + f( β ) = →
α + β .
−
−
−
f (λ→
α)
= λf (→
α ) = λ→
α .
→
−
−
Vậy →
α + β ∈ f (T) và do đó f (T) là một không gian vectơ con
của W.

→
−
→
−
→
−

b) Vì f ( 0 ) = 0 nên 0 ∈ f −1 (U).
→
−
→
−
−
−
Nếu →
α , β ∈ f −1 (U) thì f (→
α ), f ( β ) ∈ U. Vì f là ánh xạ tuyến tính

9


nên:

→
−
→
−
−
−
f (→
α + β ) = f (→
α ) + f( β ) ∈ U
−
−
f (λ→
α)
= λf (→

α ) ∈ U,
∀λ ∈ K.

→
−
−
−
Vì thế →
α + β và λ→
α đều thuộc f −1 (U).
Vậy f −1 (U) là một không gian con của V.
Định nghĩa 1.5. Giả sử f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Ta gọi:
→
−
→
−
−
−
a) Không gian vectơ con f −1 ( 0 ) = {→
x ∈ V | f (→
x ) = 0 } của V là hạt
nhân (hay hạch) của f và ký hiệu là Kerf . Số chiều của Kerf gọi là
khuyết của f .
b) Không gian vectơ con f (V) của W là ảnh của f và ký hiệu là Imf .
Số chiều của Imf gọi là hạng của f và ký hiệu là rankf .
Tính chất 1.2.
a) Đồng cấu f : V → W là một toàn cấu khi và chỉ khi rank(f ) = dimW.
b) Cho đồng cấu f : V → W khi đó các mệnh đề sau tương đương:
(i) f là đơn cấu.
→

−
(ii) Ker(f ) = { 0 }.
(iii) Ảnh bởi f của một hệ vectơ độc lập tuyến tính là một hệ
vectơ độc lập tuyến tính.
(iv) Ảnh bởi f của mỗi cơ sở của V là một hệ vectơ độc lập tuyến
tính trong W.
(v) Ảnh của một cơ sở nào đó của V là một hệ độc lập tuyên tính
trong W.
(vi) Rank(f ) = dimV.
c) Giả sử f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó ánh xạ
−
−
α ]) = f (→
α ) là một đơn cấu, lúc này nó
f : V/Ker(f ) → W cho bởi f ([→

10


gây nên một đẳng cấu từ V/Ker(f ) lên Im(f ).
d) Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính của không gian vectơ hữu
hạn chiều V. Khi đó:
dimV = dimKer(f ) + dimIm(f ).
e) Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, với mọi không
gian vectơ con U của V ta có:
dimf (U) ≤ dimf (U)
f) Giả sử f : V → W là một tự đồng cấu của không gian vectơ hữu hạn
chiều V. Khi đó mệnh đề sau tương đương:
(i) f là một đẳng cấu.
(ii) f là một đơn cấu.

(iii) f là một toàn cấu.
Định nghĩa 1.6. Ta gọi mỗi ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ V
vào chính nó là một tự đồng cấu của V. Một tự đồng cấu của V đồng
thời là một đẳng cấu được gọi là một tự đẳng cấu của V. Không gian
vectơ tất cả các tự đồng cấu của V được ký hiệu là End(V).
Tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của V được ký hiệu là GL(V).
Khi f ∈ End(V), ta sẽ gọi ma trận của f trong cặp cơ sở
−
−
−
−
(e) = {→
e1 , . . . , →
en }, {→
e1 , . . . , →
en } là ma trận của f trong cơ sở (e).
−
−
−
−
Mệnh đề 1.1. Giả sử (e) = {→
e1 , . . . , →
en } và (ε) = {→
ε1 , . . . , →
εn } là hai
cơ sở của không gian vectơ V, C là ma trận chuyển từ cơ sở (e) sang cơ
sở (ε) và f : V → W là một tự đồng cấu của V. Khi đó, nếu f có ma
trận là A trong cơ sở (e), có ma trận là B trong cơ sở (ε) thì ma trận A
đồng dạng với ma trận B. Cụ thể là ta có B = C −1 AC.
11



Chứng minh. Giả sử C = (ckj ), A = (ajk ), B = (bli ) thì ta có tương
ứng các đẳng thức:
n

→
−
εj =

−
(ckj →
ek ),

k=1

n

−
f (→
ek ) =
−
f (→
εi ) =

j=1
n

j = 1, . . . , n


−
ajk →
ej ,

k = 1, . . . , n

−
bli →
εl ,

i = 1, . . . , n

l=1

Thế thì ta có :
n

−
f (→
εi ) = f

−
cki →
ek

k=1

n

=


n

cki

n

k=1

−
ajk →
ej

n

n

=

ajk ckj
j=1

j=1

k=1

−
cki f (→
ek )


=

→
−
ej .

k=1

Mặt khác:
−
f (→
εi ) =

n

−
bli →
εl =

l=1

n

n

bli
l=1

−
cjl →

ej

n

n

j=1

l=1

=

j=1

−
cjl bli →
ej .

Suy ra từ hai đẳng thức trên:
n

n

ajk cki =
k=1

cjl bli

i = 1, . . . , n,


j = 1, . . . , n

l=1

Vậy có A.C = C.B. Do đó C khả nghịch nên ta có B = C −1 AC.
Hệ quả 1.1. . a) Hai ma trận đồng dạng với nhau khi và chỉ khi chúng
là ma trận của cùng một tự đồng cấu, của một không gian vectơ trong
cơ sở tương ứng nào đó của không gian này.
b) Định thức của ma trận của một tự đồng cấu tuyến tính trong những
cơ sở khác nhau của không gian là như nhau.

12


Định nghĩa 1.7. Cho f ∈ End(V). Gọi A = (aij )m×n là ma trận của f
trong một cơ sở nào đó của V. Ta gọi:
a) det A là định thức của tự đồng cấu f và ký hiệu là det f .
b) Tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A là vết
của f , ký hiệu là tr(f ):
n

tr(f ) =

aii .
i=1

Ta cũng gọi số này là vết của ma trận A, ký hiệu là tr A.
Tính chất 1. 3.
a) Tuyến tính. Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp và c là hằng số,
khi đó:

tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
tr(c.A) = c.tr(A).
b) Giao hoán. Cho A là ma trận m hàng n cột, còn B là ma trận n hàng
và m cột, thì:
tr(AB) = tr(BA).
c) Vết của ma trận liên hợp. Cho A là ma trận vuông cấp n bất kì, cho P
là ma trận vuông cấp n và khả nghịch. Liên hợp của A theo P là P AP −1 ,
khi đó:
tr(A) = tr(P AP −1 ).
Như vậy khi lấy liên hợp thì vết của nó không thay đổi.
d) Vết của ma trận chuyển vị. Cho A là ma trận vuông cấp n bất kì, At
là ma trận chuyển vị của nó. Ta có:
tr(A) = tr(At ).

13


1.2.

Cấu trúc của tự đồng cấu tuyến tính thực.

1.2.1.

Giá trị riêng và vectơ riêng, đa thức đặc trưng.

Cố định một không gian vectơ thực V có chiều ít nhất bằng 1 và
một tự đồng cấu tuyến tính f : V → V.
Định nghĩa 1.8. Số thực λ được gọi là giá trị riêng của f nếu tồn tại
→
−

−
một vectơ →
v = 0 sao cho:
−
−
f (→
v ) = λ→
v.
−
Khi đó →
v được gọi là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ.
Định nghĩa 1.9. Số thực λ được gọi là giá trị riêng của ma trận vuông
→
−
−
A cấp n nếu tồn tại một vectơ →
v = 0 sao cho:
−
−
A→
v = λ→
v.
−
Khi đó →
v được gọi là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ.
→
−
Ví dụ 1.2. a) Mọi vectơ khác 0 đều là vectơ riêng của ánh xạ tuyến
tính thuần nhất hoặc ánh xạ 0. Với ánh xạ tuyến tính đồng nhất giá trị
riêng là 1, còn ánh xạ 0 giá trị riêng là 0.


b) Nếu f là phép quay trên mặt phẳng quanh gốc tọa độ một góc
0 ≤ α ≤ 2π, thì phép quay này không có giá trị riêng nếu α = π. Nếu
→
−
α = π thì nó có giá trị riêng là -1 và mọi vectơ khác 0 đều là vectơ
riêng.
Định nghĩa 1.10. Đa thức đặc trưng của f , ký hiệu là Pf (t), được định
nghĩa là định thức của ánh xạ f − t.id, trong đó id là ánh xạ tuyến tính
đồng nhất.
14


Để đơn giản ký hiệu, từ nay trở đi phép vị tự λ.id sẽ được ký hiệu
là λ.
Định lý 1.5. Số thực λ là giá trị riêng của f khi và chỉ khi nó là nghiệm
của đa thức đặc trưng Pf (t).
Chứng minh. Giả thiết Pf (t) = 0. Cố định một cơ sở
−
−
(e) = {→
e1 , . . . , →
en } của V và ký hiệu A là ma trận của f , [x] là tọa độ
−
của →
x theo cơ sở này. Khi đó det(A − λ) = 0. Từ đó hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất:
(A − λIn ) [x] = 0
có nghiệm không tầm thường. Nghiệm của hệ này chính là vectơ riêng
của f ứng với giá trị riêng λ.

→
−
−
Ngược lại, giả sử →
v = 0 là nghiệm của hệ (A − λIn ) [x] = 0 ta có:
(A − λIn ) [v] = 0 ↔ A[v] − λ[v] = 0 ↔ A[v] = λ[v]
Suy ra λ chính là giá trị riêng của f .
Để đơn giản bài toán, ta chỉ xét tự đồng cấu f mà đa thức đặc
trưng của f có đủ các nghiệm thực. Khó khăn duy nhất mà chúng ta
phải đối mặt là đa thức này có thể có nghiệm bội.
Định lý 1.6. Giả thiết Pf (t) có đủ n nghiệm thực khác nhau λi . Khi đó
tồn tại một cơ sở mà ma trận của f là ma trận đường chéo với các phần
tử trên đường chéo là các số λi .
−
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh các vectơ →
vi độc lập tuyến
tính. Giả sử trái lại, khi đó không mất tính tổng quát có thể giả thiết
tồn tại các số a1 , . . . , an , với a1 = 0, thỏa mãn:
−
−
a1 →
v1 + · · · + an →
vn = 0
15

(1)


Khi đó:
−

−
f (a1 →
v1 + · · · + an →
vn ) = f (0)
−
−
⇒ a1 λ1 →
v1 + · · · + an λn →
vn = 0.

(2)

Nhân (1) với −λn rồi cộng vào đẳng thức (2) ta được:
−
→
a1 (−λn + λ1 )→
v1 + · · · + an−1 (−λn + λn−1 )−
v−
n−1 = 0.
Tiếp tục quá trình này ta thu được:
−
(λ1 − λi )→
v1 = 0

a1
i>1

−
mâu thuẫn với các giả thiết. Vậy các vectơ →
vi độc lập tuyến tính.

Định nghĩa 1.11. Ánh xạ f được gọi là chéo hóa được, nếu tồn tại một
cơ sở mà ứng với nó ma trận biểu diễn của ánh xạ là ma trận đường
chéo, nói cách khác f chéo hóa được nếu có một cơ sở của V gồm toàn
những vectơ riêng của f .
Đa số các ánh xạ là chéo hóa được.
Định nghĩa 1.12. Biệt thức ∆(P ) của một đa thức P được xác định
như sau:
(λi − λj )2 trong đó (λi ) là tập các nghiệm kể cả bội của đa

∆(P ) =
i=j

thức P .
Ví dụ 1.3. a) Nếu P = ax2 + bx + c thì:
∆(P ) = b2 − 4ac
b) Nếu P = ax3 + bx2 + cx + d thì:
∆(P ) = b2 c2 − 4ac3 − 4b3 d − 27a2 d2 + 18abcd
16


Mệnh đề 1.2. Đa thức P có nghiệm bội khi và chỉ khi đa thức ∆(P )
triệt tiêu.
Định nghĩa 1.13. Ma trận A = M ath(n × n, K) đồng dạng với một ma
trận chéo được gọi là ma trận chéo hóa được(trên K).
Như vậy, nếu A chéo hóa được thì mọi ma trận đồng dạng với nó
cũng chéo hóa được.Việc tìm một ma trận khả nghịch C(nếu có) sao cho
C −1 AC được gọi là việc chéo hóa ma trận A.
Định lý 1.7. Tự đồng cấu f chéo hóa được khi và chỉ khi hai điều kiện
sau đây được thỏa mãn:
(i) Đa thức Pf (t) có đủ các nghiệm thực. Tức là đa thức đặc Pf (t) phân

tích được thành:
Pf (t) = (−1)n (t − λ1 )s1 ...(t − λn )sn .
Trong đó λ1 , . . . , λn là các số đôi một khác nhau.
(ii) Mỗi λi là nghiệm với bội si thì hệ phương trình (f − λi )(x) = 0 có
si nghiệm độc lập tuyến tính. Tức là không gian vectơ (f − λi )(x) = 0
có số chiều là si .
Chứng minh. Giả sử f chéo hóa được. Cụ thể hơn, giả sử ma trận
của f trong một cơ sở nào đó của V là một ma trận chéo D với s1 phần
tử trên đường chéo bằng λ1 , . . . , sm phần tử trên đường chéo bằng λm ,
trong đó λ1 , . . . , λm đôi một khác nhau và n = s1 + . . . , sm . Khi đó:
Pf (t) = PD (t) = (λ1 − t)s1 . . . (λn − t)sn
= (−1)n (t − λ1 )s1 . . . (t − λn )sn .
Ta thấy ma trận (D − λi En ) là ma trận chéo, với si phần tử trên
đường chéo bằng λi − λi = 0, các phần tử còn lại bằng λj − λi = 0 (với
17


j = i nào đó). Vì thế không gian vectơ (f − λi )(x) = 0 có số chiều là si
với i = 1, m.
Ngược lại, giả sử các điều kiện (i), (ii) được thỏa mãn. Xét các
không gian con riêng ứng với giá trị riêng λi : V = Ker(f − λi idV )
(i = 1, m). Ta có :
dimVi = dimKer(f − λi idV ) = n − rank(f − λi idV ) = si .
Mà ta luôn có tổng V1 + · · · + Vm là một tổng trực tiếp, với số
chiều bằng s1 + · · · + sm = n. Vậy tổng đó bằng toàn bộ không gian V:
V=

Vλ i .
i


−
−
Lấy một cơ sở bất kì {→
e i1 , . . . , →
e isi } của Vi (với i = 1, m).
−
−
−
−
Khi đó {→
e 11 , . . . , →
e 1si , . . . , →
e m1 , . . . , →
e msm } là cơ sở của V gồm
toàn bộ những vectơ riêng của f .
Vậy f chéo hóa được.
Không gian nghiệm của (f − λi )(x) = 0 được gọi là không gian riêng của
f ứng với giá trị riêng λi , ký hiệu là Vλi . Như vậy, nếu ánh xạ f chéo
hóa được thì V được khai triển một cách duy nhất thành tổng trực tiếp:
V =

Vλ i
i

sao cho khi hạn chế lên mỗi không gian Vλi , f là một phép vị tự.
Hệ quả 1.2. Cho f là một tự đồng cấu của không gian vectơ V chiều
n. Khi đó:
(i) f chéo hóa được khi và chỉ khi V có cơ sở gồm các vectơ riêng.
(ii) Nếu f có n giá trị riêng khác nhau thì f chéo hóa được.
18



1.2.2.

Không gian con bất biến.

Định nghĩa 1.14. Không gian con U ⊂ V được gọi là bất biến đối với
f (hoặc ổn định đối với f ) nếu f (U) ⊂ U.
Ví dụ 1.4. a) Không gian 0 và toàn bộ V là các không gian con bất biến
tầm thường.
b) Giả sử λ là một giá trị riêng của f . Khi đó không gian riêng ứng với
giá trị riêng λ là một không gian con bất biến đối với f . c) Ta xét một
đa thức theo f :
A(f ) := a0 f k + a1 f

k−1

+ · · · + ak idU

ai là các hệ số thực. A(f ) được gọi là một ánh xạ đa thức theo f . Hạch
và ảnh của A(f ) là các không gian con bất biến đối với f .
Mệnh đề 1.3. Giả thiết U là không gian con bất biến đối với ánh xạ f .
Khi đó ta có các mệnh đề sau:
(i) Tồn tại một cơ sở của V để ma trận của ánh xạ f có dạng
đường chéo khối :


A B



0 D
với A, B, D là các ma trận khối trong đó A, D là các ma trận vuông và
A có kích thước bằng số chiều của U.
(ii) Ký hiệu W là không gian thương của V theo U. Khi đó f cảm
sinh một ánh xạ fW trên W bởi công thức:
fW (¯
v ) := f (v)
ở đây v¯ ký hiệu lớp ghép v + U trong W.

19


(iii) Ký hiệu fU là hạn chế của f lên U. Khi đó đa thức đa thức
đặc trưng của f là tích các đa thức đặc trưng của fU và W:
Pf (t) = PfU (t)PfW (t).
Chứng minh.
−
−
−
(i) Chọn một cơ sở (u) = (→
u1 , →
u2 , . . . , →
ur ) của U và mở rộng thành
→, −
→
−
→
một cơ sở của V bằng cách bổ sung các phần tử (w) = (−
w
1 w2 , . . . , ws ).

−
−
Theo giả thiết f (→
u ) ∈ U nên có thể biểu diễn được theo các vectơ →
u
i

j

−
→
bởi một ma trận A. Vì (u, w) là một cơ sở của V nên
 các
 vectơ f (wk ) có
B
thể biểu diễn theo cơ sở đó bởi một ma trận dạng   .Vậy theo cơ sở
D
(u, w)f có ma trận với dạng đã khẳng định.
(ii) Trước hết ta chứng minh rằng ánh xạ fW được định nghĩa
−
−
đúng. Thật vậy, nếu →
v1 và →
v2 có hiệu thuộc U, nghĩa là cũng xác định
−
−
−
−
một phần tử trong W, thì theo giả thiết f (→
v ) − f (→

v ) = f (→
v −→
v ) cũng
1

2

1

2

−
−
thuộc U, do đó f (→
v1 và f (→
v2 ) cũng xác định một phần tử trong W.
(iii) Xét cơ sở của V như trong (i). Khi đó ma trận của fU theo cơ
sở (u) là A và:
PfU (t) = det(A − t).
Mặt khác,(w)
¯ = (w¯1 , w¯2 , . . . , w¯s ) là cơ sở của W. Từ (i) dễ thấy
ma trận của fU theo cơ sở này là D. Do đó :
PfU (t) = det(D − t).
Theo công thức đã biết về định thức ma trận ta có :



A B
 − t = det(A − t)det(D − t) = PfU (t)PfW (t)
det 

0 D
20


Vế trái chính là Pf (t).
−
Định nghĩa 1.15. Giả thiết λ là một giá trị riêng của f . Vectơ →
v ∈V
được gọi là vectơ nghiệm (vectơ riêng suy rộng) của f nếu tồn tại r > 0
−
sao cho (f − λ)r (→
v ) = 0. Tập hợp các vectơ nghiệm lập thành một không
gian con của V, gọi là không gian nghiệm ứng với giá trị riêng λ, ký hiệu
là V(λ).
Định lý 1.8. Giả thiết đa thức đặc trưng của tự đồng cấu tuyến tính f
có đủ nghiệm thực λi (có thể có nghiệm bội). Với mỗi λi , ký hiệu V(λi )
là không gian nghiệm của f ứng với λi . Khi đó V là tổng trực tiếp của
các không gian con V(λi ):
V=

V(λi ).
i

Chứng minh. Giả sử:
→
−
−
vi , →
vi ∈ V(λi )


0=

(1)

i

−
Ta sẽ suy ra →
vi = 0 với mọi i.Thật vậy, nếu j = i, ta có:
−
−
(f − λj )(→
vi ) = (λi − λj )→
vi = 0
là một phần tử của V(λi ). Khi đó, bằng cách tác động liên tục (f − λ1 )
lên hai vế của 0 ở (1) ta thu được một khai triển có độ dài ngắn hơn suy
ra tổng các không gian V(λi ) là một tổng trực tiếp.
Giả sử U là tổng các không gian V(λi ) suy ra U là không gian con
bất biến. W là không gian thương của V U. Theo mệnh đề 1.3 (iii), đa
thức đặc trưng của ánh xạ cảm sinh fW là ước của đa thức Pf (t) và do
đó cũng có các nghiệm là λi với một số i nào đó. Giả sử λ1 là nghiệm

21


−
của fW (t) và w là vectơ riêng của fW ứng với λ1 , w ∈ W, →
w ∈ V. Vì
−
w = 0 nên →

w ∈
/ U. Mặt khác theo giả thiết:
(fW − λ1 )(w) = 0.

(2)

−
Nghĩa là (f − λ1 )(→
w ) ∈ U. Theo giả thiết về U:
−
(f − λ1 )(→
w) =

→
−
−
vi , →
vi ∈ V(λi )

(3)

Bằng cách tác động liên tiếp di lần ánh xạ f − λi , i = 1, lên hai vế
của đẳng thức trên ta thu được(với các di đủ lớn):


−
(f − λi )di (→
w ) =

(f − λ1 ) 

i=1

−
(f − λi )di (→
v1 )

(4)

i=1

→ :=
Ta thấy phần tử −
w
1

−
(f − λi )di (→
w ) không nằm trong U vì
i=1

(fW − λi )di (w) = 0, theo (2). Tuy nhiên điều này mâu thuẫn

phần tử
i=1

→ cũng nằm trong V(λ )
vì vế phải của (4) nằm trong V(λ1 ) dẫn tới −
w
1
1

theo định nghĩa của V(λ1 ).
Suy ra W = 0 nghĩa là U = V.

Như vậy bằng cách chọn một

cơ sở của V bao gồm các cơ sở của các không gian nghiệm V(λi ) ta thu
được một ma trận biểu diễn của f có dạng đường chéo khối:


A1




A2




...




Ar
Với Ai là ma trận của fV(λi ) trên V(λi ).
Nhận xét 1.3. Từ đẳng thức:
Pf (t) =

(PfV(λi ) )(t)

i

22


(theo Mệnh đề 1.3 (iii)), ta thấy rằng đa thức đặc trưng của fV(λi ) có
dạng:
PfV(λi ) (t) = (λi − t)si
với si là bội của λi trong đa thức Pf (t). Từ đó ta cũng có ngay tính chất:
dimV(λi ) = si
Bài tập
Bài tập 1. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính giữa các không gian
vectơ. Chứng minh rằng:
−
−
−
−
a) Nếu hệ {f (→
α 1 ), . . . , f (→
α n )} độc lập tuyến tính, thì hệ {→
α 1, . . . , →
α n }.
−
−
−
−
b)rank (→
α ,...,→
α ) rank (f (→
α ), . . . , f (→

α ))
1

n

1

n

Bài tập 2. Với số nguyên dương n, xét cơ sở εn = (1, x, . . . , xn ) của R
không gian vectơ Vn các đa thức một biến x với hệ số hữu tỷ bậc nhỏ n.
a) Chứng minh rằng phép lấy đạo hàm:
a0 + a1 x + · · · + an xn → a1 + 2a2 x + · · · + nan xn−1
là một tự đồng cấu từ Vn đến Vn−1 . Hãy viết ma trận của nó trong các
−
−
cơ sở →
ε ,→
ε
n

n−1

b) Chứng minh rằng phép lấy nguyên hàm:
a0 + a1 x + · · · + an xn → a0 +

a1 x 2
an xn−1
+ ··· +
2

n+1

là một tự đồng cấu từ Vn đến Vn+1 . Hãy viết ma trận của nó trong các
cơ sở εn , εn+1 tương ứng.
Bài tập 3. Cho ma trận A ∈ mat(n, K), chứng minh:
a) Có ma trận B ∈ mat(n, K) để A.B.A = A.
b) Ma trận B là duy nhất khi và chỉ khi A khả nghịch.
Bài tập 4. Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận:

23





1 1 0



a) A = 
−1 2 1
1 0 1


1 −3 4



b) B = 
4

−7
8


6 −7 7
Bài tập 5. Giả sử ϕ khả nghịch. Chứng tỏ rằng nếu λ là giá trị riêng của
−
ϕ thì 1/λ là giá trị riêng của ϕ−1 . Hơn nữa nếu →
v là vectơ riêng của ϕ
ứng với λ thì nó cũng là vectơ riêng của ϕ−1 ứng với 1/λ.
Bài tập 6. a) Cho U ⊆ V là không gian con bất biến của ϕ và W ⊆ U.
Chứng tỏ rằng W là không gian con bất biến củaϕ/U khi và chỉ khi nó
là không gian con bất biến của ϕ.
b) ϕ(U), ϕ−1 (U) là các không gian con bất biến của ϕ.
Bài tập 7. Cho vi1 , . . . , vimi là các vectơ độc lập tuyến tính và là các vectơ
riêng của tự đồng cấu ϕ ứng với giá trị riêng λi , i = 1, r. Giả sử λ1 , . . . , λr
r

đôi một khác nhau. Chứng minh rằng hệ vectơ

{vi1 , . . . , vimi } độc lập
i=1

tuyến tính. Từ đó hãy suy ra điều kiện cần và đủ để ϕ chéo hóa được là
m1 + · · · + mr = n(n = dimV).
Bài tập 8. Cho f là tự đồng cấu của không gian vectơ hữu hạn chiều
chéo hóa được và U là không gian con bất biến. Chứng minh rằng f |U
chéo hóa được.

24