Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa toán
**********

Cấn thị nga

Đại số tenxơ và đại số ngoài
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Đại số

Họ tên người hướng dẫn khoa học
Th.S. Nguyễn huy hưng

Hà nội – 2009

1


Lời cảm ơn
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa
Toán, các thầy cô trong tổ Đại số, những người tận tình dạy dỗ, giúp đỡ em trong
bốn năm học vừa qua cũng như đã tạo điều kiện cho em trong quá trình hoàn thành
khoá luận.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Huy Hưng,
người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời
gian em thực hiện khoá luận này.

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2009
Sinh viên

Cấn Thị Nga

2


Lời cam đoan
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên
cứu. Bên cạnh đó, được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa
Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Huy Hưng.
Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận em có tham khảo một
số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan kết quả của đề tài “Đại số tenxơ và đại số ngoài” không
có sự trùng lặp cũng như sao chép kết quả của các đề tài khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Người cam đoan
Sinh viên

Cấn Thị Nga

3


Mục lục
Mở đầu

.................................................................................................................... 5

Chương 1. Kiến thức bổ trợ
Chương 2. đại số tenxơ


………………………………………………….6
................................................................................. 13

2.1. Định nghĩa .......................................................................................................... 13
2.2. Đại số tenxơ ....................................................................................................... 14
2.3. Tính chất phổ dụng của  E .............................................................................. 15
2.4. Cặp phổ dụng .................................................................................................... 17
2.5. Đồng cấu ............................................................................................................ 19
2.6. Định nghĩa .......................................................................................................... 20
2.7. Đồng cấu ............................................................................................................ 21
2.8. Định nghĩa .......................................................................................................... 22
2.9. Đại số tenxơ hỗn hợp ......................................................................................... 23
2.10. ánh xạ thu hẹp ……………………………………………………………….23
2.11. ánh xạ tenxơ …………………………………………………………………25
2.12. Tích trong ......................................................................................................... 26
2.13. Đẳng cấu   .................................................................................................... 26
2.14. Tenxơ mêtric .................................................................................................... 27
2.15. Đại số T  ( E ) .................................................................................................... 28
2.16. Phép thế ............................................................................................................ 29


2.17. Đẳng cấu  p E  T p ( E ) ................................................................................... 30
2.18. Đại số T ( E ) .................................................................................................... 32
2.19. Tính đối ngẫu giữa T p ( E ) và Tp ( E ) ................................................................ 32
2.20. Đại số T ( E ) ...................................................................................................... 33

4


Chương 3. Đại số tenxơ phản đối xứng

Đại số tenxơ đối xứng

................................................................ 35

3.1. Không gian N p ( E ) ............................................................................................ 35
3.2. Toán tử thay phiên ............................................................................................ 36
3.3. Không gian đối ngẫu ......................................................................................... 38
3.4. Phần tử phản đối xứng của một tích................................................................... 39
3.5. Iđêan N ( E ) ....................................................................................................... 40
3.6. Đại số  E / N ( E ) ............................................................................................... 40
3.7. Các tenxơ phản đối xứng ................................................................................... 41
3.8. Tích vô hướng .................................................................................................... 41
3.9. Không gian M p ( E ) ............................................................................................ 42
3.10. Toán tử đối xứng hoá ...................................................................................... 42
3.11. Không gian đối ngẫu ...................................................................................... 44
3.12. Phần tử đối xứng của một tích ......................................................................... 45
3.13. Iđêan M ( E ) .................................................................................................... 46
3.14. Đại số E / M ( E ) ............................................................................................. 46
3.15. Các tenxơ đối xứng .......................................................................................... 47
3.16. Tích vô hướng .................................................................................................. 48
Kết luận

………………………………………………………………………..49

Tài liệu tham khảo

...................................................................................... 50

5



Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, những tư tưởng, phương pháp và kết quả của Đại số đã thâm nhập
vào hầu hết các lĩnh vực của toán học, từ tô pô và hình học tới giải tích và xác suất,
cũng như một số lĩnh vực cơ học, vật lý lý thuyết, hoá học lượng tử ... Trong đó, đại
số đa tuyến tính, cụ thể là ba đại số đa tuyến tính trên một trường tuỳ ý, đó là: đại số
tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài đóng vai trò khá quan trọng. Hơn nữa, việc
nghiên cứu vấn đề còn giúp người học phát triển tư duy, có tầm nhìn sâu rộng hơn
về toán học.
Từ niềm yêu thích của bản thân với bộ môn này, cùng với sự giúp đỡ tận tình
của thầy giáo Nguyễn Huy Hưng em mạnh dạn thực hiện khoá luận tốt nghiệp với
tiêu đề: " Đại số tenxơ và đại số ngoài".
2. Mục đích nghiên cứu
Cung cấp những kiến thức cơ bản về ba đại số đa tuyến tính trên một trường
tuỳ ý, đó là: đại số tenxơ, đại số đối xứng và đại số ngoài.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng: Các kiến thức cơ bản về đại số tenxơ và đại số ngoài.
+ Phạm vi: Nội dung kiến thức trong phạm vi của đại số tuyến tính và đại số
đa tuyến tính.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về lý thuyết đại số tenxơ và đại số ngoài.
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Phân tích tài liệu có liên quan.
+ Tổng hợp kinh nghiệm bản thân.

6


Chương 1. kiến thức bổ trợ

1.1. ánh xạ đa tuyến tính
Cho p+1 không gian véctơ Ei (i= 1,…,p), G. Một ánh xạ  : E1  ...  E p  G
được gọi là p – tuyến tính nếu i 1  i  p 

  x1 ,..., xi 1 ,  xi   yi , xi 1 ,..., x p 

   x1 ,..., xi 1 , xi ,..., x p     x1 ,..., yi ,..., x p 
xi , yi  Ei ;  ,   .

* Với p=2 thì  được gọi là ánh xạ song tuyến tính.
* Với G   thì  được gọi là p – hàm số tuyến tính.

1.2. Tích tenxơ
* Tính chất phổ dụng:
Cho E và F là các không gian véctơ và  là ánh xạ song tuyến tính từ

E  F vào không gian véctơ T. Ta nói rằng  có tính chất phổ dụng nếu nó thỏa
mãn các điều kiện sau:

1 : Các véctơ x  y  x  E, y  F  sinh ra T, hoặc tương đương Im   T .

2 : Nếu  là ánh xạ song tuyến tính từ E  F vào không gian véctơ bất kỳ
H, khi đó tồn tại ánh xạ tuyến tính f : T  H sao cho biểu đồ sau giao hoán:

EF


H




f
T
(1.1)

Hai điều kiện trên tương đương với điều kiện sau:

7


 : Với mọi ánh xạ song tuyến tính  : E  F  H thì tồn tại duy nhất một ánh xạ
tuyến tính f : T  H sao cho biểu đồ (1.1) giao hoán.
* Định nghĩa tích tenxơ
Tích tenxơ của hai không gian véctơ E và F là một cặp T ,  , trong đó

 : E  F  T là ánh xạ song tuyến tính có tính chất phổ dụng.
T cũng được gọi là tích tenxơ của E và F.
Kí hiệu: E  F .
Tích tenxơ là giao hoán với nghĩa là E  F  F  E .

1.3. Không gian con và không gian thương
* Tích tenxơ của không gian con:
Cho ánh xạ song tuyến tính  : E  F  T có tính chất phổ dụng và hai không gian
con E1  E vµ F1  F .
Cho ' là kí hiệu của ánh xạ thu hẹp của  lên E1  F1 và T1  Im' . Khi đó,

T ,   là tích tenxơ của
'

1


E1 vµ F1 .

* Tích tenxơ của không gian thương:
Cho E1  E vµ F1  F là các không gian con và

T  E1, F1   E1  F  E  F1
ánh xạ song tuyến tính  : E  F   E  F  / T  E1, F1  được định nghĩa

  x, y     x  y  trong đó  là phép chiếu chính tắc.

 cảm sinh ánh xạ tuyến tính:
 : E / E1  F / F1   E  F  / T  E1, F1 
sao cho

 

 x, y    x, y  ,

x  E / E1, y  F / F1

Từ đó, ta có đẳng cấu sau:

E / E1  F / F1 
  E  F  /( E1  F  E  F1 )

8


1.4. Tích tenxơ của các véctơ cơ sở


 

Cho  a I vµ b



và F. Khi đó tích a  b

lần lượt là cơ sở của các không gian gian véctơ E

 J



I ,  J

là một cơ sở của E  F .

Đặc biệt, nếu E và F hữu hạn chiều thì E  F cũng hữu hạn chiều và

dim  E  F   dim E.dim F .

1.5. Tích tenxơ của các ánh xạ tuyến tính
Cho bốn không gian véctơ E , E ' , F , F ' và hai ánh xạ tuyến tính:

 : E  E'

, : F  F '


Khi đó, ánh xạ tuyến tính E  F  E '  F ' được xác định bởi:

 x, y    x  y
Do đó, tồn tại ánh xạ tuyến tính:

 : E  F  E'  F '
sao cho

  x  y    x  y



 





ánh xạ tuyến tính  : L E; E '  L F ; F '  L E  F ; E '  F '



được cho như

sau:  ,   

1.6. Tích tenxơ của nhiều không gian véctơ
* Tính chất phổ dụng:






Ei i  1, p là p không gian véctơ bất kỳ và
 : E1  ...  E p  T
là p - ánh xạ tuyến tính. Ta nói  có tính chất phổ dụng nếu nó thỏa mãn các điều
kiện sau:

1 : Các véctơ x1  ...  x p ,  xi  Ei  sinh ra T.

9


2 : Với mọi p - ánh xạ tuyến tính  : E1  ...  E p  H (H là không gian véctơ bất
kì) có thể viết:

  x1,..., x p   f  x1  ...  x p 
trong đó f : T  H là ánh xạ tuyến tính.
* Định nghĩa:





Tích tenxơ của các không gian véctơ Ei i  1, p là cặp T ,  trong đó

 : E1  ...  E p  T là p - ánh xạ tuyến tính có tính chất phổ dụng.
Kí hiệu E1  ...  E p .

1.7. Không gian tích trong

* Một tích trong trong không gian véctơ E là hàm số song tuyến tính đối
xứng (,) không suy biến trong E.
* Không gian tích trong E  F được gọi là tích tenxơ của hai không gian
tích trong E và F.

1.8. Các không gian đối ngẫu
* ánh xạ song tuyến tính:
Cho hai hệ ba không gian véctơ E , E ' , E '' vµ F , F ' , F '' và hai ánh xạ song tuyến
tính:

 : E  E '  E '' vµ  : F  F '  F ''
Khi đó, tồn tại duy nhất ánh xạ song tuyến tính:

 :  E  F    E '  F '   E ''  F ''
sao cho

  x  y, x'  y '     x, x'    y, y '  ; x  E , x'  E ' , y  F , y '  F '
* Hàm số song tuyến tính:

Với mỗi cặp hàm số song tuyến tính  vµ  trong E  E ' và F  F ' cảm sinh một





hàm số song tuyến tính   trong  E  F   E '  F ' sao cho:

10



    x  y, x'  y'     x, x' .  y, y ' 
Ta có   không suy biến khi và chỉ khi  vµ  đều không suy biến.
Cho E * , E và F * , F là hai cặp không gian đối ngẫu và các tích vô hướng
được kí hiệu là <, >. Khi đó, tồn tại duy nhất một hàm số song tuyến tính <, > trong

E *  F * , E  F sao cho:
x*  y* , x  y  x* , x y* , y
Do đó, hàm số song tuyến tính này cũng không suy biến và có tính chất đối xứng.





Giả sử Ei* , Ei i  1, p là cặp các không gian đối ngẫu và tất cả các tích vô
hướng đều kí hiệu là <, > ta có tích vô hướng giữa E1*    E p* và E1  ...  E p
là:

x*1  ...  x* p , x1  ...  x p  x*1, x1 ... x* p , x p
* Các ánh xạ đối ngẫu:
Cho Ei , Ei* vµ Fi , Fi*  i  1,2  là bốn cặp không gian véctơ đối ngẫu và

 : E1  E2 ,

 * : E2*  E1*

 : F1  F2 ,

 * : F2*  F1*

là hai cặp ánh xạ đối ngẫu.

Khi đó, các ánh xạ:

  : E1  F1  E2  F2
vµ  *  * : E2*  F2*  E1*  F1*
đối ngẫu với quan hệ là các tích vô hướng.
Ta có:      *  * .
*

1.9. Định nghĩa đại số
Một đại số trên trường K là một tập hợp khác rỗng A cùng với 3 phép toán
gồm:

11


(a) Phép cộng:

 : A A  A

 x, y   x  y
(b) Phép nhân:

: A A  A

 x, y   xy
(c) Phép nhân với vô hướng (trong K)

: K  A  A

 , x    x

các phép toán này thỏa mãn các điều kiện sau:
(A1) A cùng với hai phép toán cộng và nhân lập thành một vành.
(A2) A cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng lập thành một không gian véctơ
trên K.
(A3) Hai cấu trúc vành và không gian véctơ trên A ràng buộc nhau bởi điều kiện:

  xy    x  y  x  y  ;   K ; x, y  A
1.10. Đại số con
Giả sử A là một đại số trên K. Một tập con của A được gọi là đại số con nếu
nó vừa là một vành con vừa là một không gian véctơ con của A.
Tập con S  A . Giao của tất cả các đại số con của A chứa S là đại số con của
A sinh bởi S. Đó là đại số con nhỏ nhất của A chứa S.

1.11. Đại số thương
Tập con B  A được gọi là một iđêan của đại số A nếu nó vừa là một iđêan
của vành A vừa là không gian véctơ con của A.
Đại số thương A

B

với 3 phép toán sau trên tập các lớp kề của B trong A

 x  B   y  B   x  y  B
 x  B . y  B    xy   B
  x  B    x   B

12

trong đó x, y  A;  K .



1.12. Đồng cấu đại số
Giả sử A, A' là các đại số trên K, ánh xạ  : A  A' được gọi là đồng cấu
đại số nếu nó vừa là một đồng cấu vành vừa là một đồng cấu K – không gian véctơ.

1.13. Đại số phân bậc
*Vành phân bậc:
Vành phân bậc A là vành có thể phân tích được thành tổng trực tiếp các nhóm cộng
tính

A   An
n

sao cho phép nhân thỏa mãn:

As  Ar  Asr

x  As , y  Ar

tức là:

 xy  Asr .

As . Ar  Asr .

Do đó
*Đại số phân bậc:

Đại số phân bậc trên vành phân bậc A là một A-đại số E sao cho E   Ei thỏa mãn
i


(1). Ai .E j  Ei  j .
(2). Ei .E j  Ei  j .

Chương 2. Đại số Tenxơ
Các tenxơ

13


2.1. Định nghĩa
Cho E là không gian véctơ trên trường  và p  2 cho cặp   p E ,  p  ở đó
 p E  
E  ......  E
P

Trường hợp p=0 và p=1 ta có 1 E  E vµ 0 E   . Cặp   p E ,  p  được gọi là p –
lũy thừa tenxơ của E. Không gian  p E cũng được gọi là p – lũy thừa tenxơ của E
và các phần tử của nó gọi là các tenxơ bậc p.
Tenxơ có dạng x1  ...  x p , p  1 và các tenxơ bậc không được gọi là phân tích
được.
Với mỗi cặp (p,q) thì tồn tại duy nhất một ánh xạ song tuyến tính:
 :  p E  q E   p  q E

sao cho:
  x1  ...  x p , x p 1  ...  x p  q   x1  ...  x p  q ; xi  E

(2.1)

Hơn nữa, cặp   p  q E ,   là tích tenxơ của  p E và q E . Do đó, ta có thể viết u  v

thay cho   u , v  với u   p E vµ v  q E . Khi đó, từ (2.1) ta có:

 x  ...  x    x
1

p

p 1

 ...  x p  q   x1  ...  x p  q

(2.2)

Tenxơ u  v được gọi là tích của các tenxơ u vµ v . Tích (2.2) có tính chất kết hợp
(điều này được suy ra từ định nghĩa).
Tuy nhiên, tích trên không giao hoán trừ trường hợp dim E  1 (Thật vậy, nếu
x  E vµ y  E là các véctơ độc lập tuyến tính thì các tích x  y vµ y  x cũng độc lập

tuyến tính và do đó x  y  y  x ).
Cuối cùng, ta chú ý rằng tích   z (  0 E  , z   p E ) là tích trong  p E ,
được kết hợp bởi phép nhân véctơ z với vô hướng  . Đặc biệt, nếu   1 thì tích trên
là ánh xạ đồng nhất.
Cho ev vI là một cơ sở của E. Khi đó, các tích ev  ...  ev , (vi  I ) là một cơ
1

p

sở của  p E . Đặc biệt, nếu E hữu hạn chiều và ev (v  1,..., n) là một cơ sở của E thì

14



các tích ev  ...  ev , (vi  1,..., n) là một cơ sở của  p E và dim p E  n p (n  dim E ) .
1

p

Mỗi tenxơ z   p E được viết dưới dạng tổng:

z  

v1 ...v p

ev1  ... ev p

(v)

Hệ số 

v1 ...v p

được gọi là thành phần của z với cơ sở ev .

2.2. Đại số tenxơ



 p E, 
p
Giả sử rằng 



 là p – lũy thừa tenxơ của E(p=0,1,…) và cho tổng

 E.
trực tiếp:  E   
p

p 0

Các phần tử của E là:

 z0 , z1,... ,

 p E  p  0,1,...
z p 

sao cho trong mỗi phần tử chỉ có hữu hạn các z p là khác không.

 E  E là phép nhúng thì ta có thể viết:
Nếu i p : 
p



 E
E   i p 
p

p 0




 E, i 

Vì cặp i p 
p
p

p

 cũng là p – lũy thừa tenxơ của E. Ta kí hiệu p - ánh xạ tuyến

 bởi  p và không gian véctơ i 
 E bởi  p E . Khi đó, từ hệ thức trên ta
tính i p 
p
p

p

có:


E    p E
p 0

Bằng cách gán cho các phần tử của  p E bậc p ta thu được sự phân bậc dương
trong E .
Bây giờ, ta định nghĩa ánh xạ song tuyến tính:


u, v   uv,

u, v, uv E

15


như sau:

uv   u p  vq ,
p ,q

u   u p , v   vq
p

q

Phép nhân này làm cho E trở thành một đại số kết hợp (không giao hoán nếu

dim E  2 ) với phần tử đơn vị là (1,0,…). Rõ ràng, từ định nghĩa trên ta thấy E
là đại số phân bậc dương. E được gọi là đại số tenxơ trên không gian véctơ E. Từ
bây giờ ta ký hiệu 0 E  , 1 E  E . Khi đó,  vµ E là các không gian véctơ
con của E , các phần tử của E cùng với vô hướng 1 sinh ra đại số E .
Nhận xét: Ta thấy rằng nếu E  0 thì ánh xạ tuyến tính

 :  E    E   E được định nghĩa bởi phép nhân trên không là một tích
tenxơ.
Thật vậy, giả sử  là tích tenxơ.




 



Gọi  pq là ánh xạ thu hẹp của  lên  p E  q E ta có:

Im  pq  Im qp   pq E
Đặt E1   p E, F1  q E, p  q khi đó:

E1  F1  0
Mà   E1  F1     F1  E 
Suy ra E1  0 hoÆ
c F1  0 (v× lµ tÝch tenx¬)
Do đó E=0 (mâu thuẫn giả thiết)

 Điều giả sử là sai hay  không là một tích tenxơ.
2.3. Tính chất phổ dụng của  E
Giả sử A là đại số kết hợp bất kỳ, với phần tử đơn vị e và một ánh xạ tuyến
tính  : E  A . Khi đó, tồn tại duy nhất một đồng cấu h : E  A sao cho

h(1)  e vµ h.i   ; tức là biểu đồ sau giao hoán:



E E A
i
h
E


E

E

E

16


trong đó i là phép nhúng của E vào E .
Chứng minh
* Sự tồn tại:
Để định nghĩa h, giả sử p - ánh xạ tuyến tính

E  E...  E  A
được cho bởi

 x ,..., x   x ... x
1

p

1

p

Theo tính chất phổ dụng thì  ánh xạ tuyến tính hp :  p E  A sao cho

hp  x1  ...  x p    x1... x p

Trường hợp p=1 và p=0 ta có:

h1   vµ h0     e,  
Khi đó, đồng cấu h : E  A được xác định bởi:

hu   hpu p

,

p

u p  p E , u   u p
p

Thật vậy, nếu u, v E là phân tích được, rõ ràng ta có:

h  uv   hu.hv
Vì mỗi phần tử của E là tổng của các tenxơ phân tích được và h là tuyến tính,
suy ra h bảo toàn các tích  h vừa là đồng cấu vành vừa là đồng cấu trên không
gian véctơ E  h là đồng cấu đại số.
Với x  E ta có:

hi  x   h1  x     x   h.i  
*Tính duy nhất: Giả sử còn tồn tại h’ thỏa mãn các điều kiện trên. Ta có:
h  x1    x p   h  x1  h  x p    x1  x p

Suy ra h hạn chế trên  p E là hp nên h  h .

17



 h là duy nhất. Định lý được chứng minh.
2.4. Cặp phổ dụng
Cho U là đại số bất kỳ với phần tử đơn vị là 1 và  : E  U là ánh xạ tuyến
tính. Ta nói rằng cặp   ,U  là đại số tenxơ có tính chất phổ dụng trên E nếu nó
thỏa mãn các điều kiện sau:
T1: Không gian Im cùng với phần tử 1 sinh ra U.
T2: Nếu  là ánh xạ tuyến tính từ E vào đại số A với phần tử đơn vị là e thì tồn tại
một đồng cấu h : U  A sao cho h(1)=e và biểu đồ sau giao hoán:



E E A

(2.3)



i

E
U

h

E

Các tính chất T1 và T2 tương đương với tính chất sau:
T: Nếu  là ánh xạ tuyến tính từ E vào đại số A với phần tử đơn vị là e thì tồn tại
duy nhất đồng cấu h : U  A sao cho biểu đồ (2.3) giao hoán.

Chứng minh
T1 + T2  T
Theo T2  sự tồn tại của đồng cấu h : U  A
Theo T1  Im  U   là toàn ánh.
Nếu gọi h ' là đồng cấu thỏa mãn các điều kiện trên thì:

u U  x  E :   x   u
Khi đó h '  u   h '.  x     x   h.  x   h  u 
* Chứng minh:

 h là duy nhất.

T  T1+T2

Dễ thấy T  T2
Để chứng minh tính chất T1, ta giả sử không gian véctơ con V của U là sinh
bởi Im và phần tử đơn vị. Khi đó, gọi  v là ánh xạ tuyến tính từ E vào V.
Do đó, tồn tại đồng cấu h : U  V sao cho h(1)=1 và h.   v . NÕu j : V  U là
phép nhúng, ta có   j. v . Từ đó suy ra   ( j.h). .

18


Ta có biểu đồ
U

j




E

i
v
E
E

V



i

h


UE

E

Và do đó biểu đồ sau giao hoán
E



U


i


j.
h

E
U
Mà ta có biểu đồ giao hoán sau:
E



E
U


i

E
U

i

E

trong đó i là ánh xạ đồng nhất của U. Vì j.h là tự đồng cấu của đại số U, theo tính
chất duy nhất của T ta có j.h=i.
Mà j là ánh xạ lên nên U=V. Điều kiện T1 được chứng minh.
*Bây giờ ta sẽ đi chứng minh định lý sau:
Định lý về tính chất duy nhất: Cho  ,U  vµ  ',U ' là hai cặp phổ dụng của E.
Khi đó tồn tại duy nhất một đẳng cấu f : U  U ' sao cho: f .   '
Chứng minh

Theo T thì tồn tại duy nhất đồng cấu f : U  U ' và g : U '  U sao cho:

f .   ' vµ g. '=
Do đó, g f là tự đồng cấu của U mà ánh xạ thu hẹp trên Im là ánh xạ đồng nhất.
Vì không gian Im sinh ra U nên g. f  i .

19


Hoàn toàn tương tự ta chỉ ra được f .g  i ' , i ' là ánh xạ đồng nhất của U ' .
Do đó, f là đẳng cấu từ U vào U ' , g  f 1 . Định lý được chứng minh.
Vì  i, E  là cặp phổ dụng trong E nên theo định lý về sự tồn tại duy nhất
một đẳng cấu

f :  E  U sao cho f .i   . Vì E là đại số phân bậc, sự phân

bậc được sinh ra trong U bởi đẳng cấu f. Với sự phân bậc đó đại số U đã cho là đại
số phân bậc và f :  E  U là đẳng cấu thuần nhất bậc không. Theo định lý về
tính duy nhất, đại số phổ dụng U cũng được gọi là đại số tenxơ trên E và được ký
hiệu là E .

2.5. Đồng cấu
Cho  : E  F là ánh xạ tuyến tính từ không gian véctơ E vào không gian
véctơ F. Khi đó,  xác định duy nhất một đồng cấu  : E  F sao cho:

 1  1.
Thật vậy, giả sử ánh xạ tuyến tính  : E  F được cho bởi   j. (trong
đó j là phép nhúng từ F vào F ).
Khi đó, theo phần 2.3 thì tồn tại duy nhất đồng cấu  , ta có biểu đồ:
F

j




F
E
i



E
E
E cấu  là thuần nhất bậc không. Suy ra từ định nghĩa của  :
Rõ ràng, đồng



  x1  ...  x p    x1  ...   x p ; xi  E
Cho G là không gian véctơ thứ ba, G là đại số tenxơ trên G và  : F  G
là ánh xạ tuyến tính.
Từ các định nghĩa ta suy ra  .     .

20

(2.4)


Nếu F=E và i là ánh xạ đồng nhất thì i là ánh xạ đồng nhất của E , ta có:


i  i

(2.5)

Từ (2.4) và (2.5) suy ra  là đơn ánh (toàn ánh) nếu  là đơn ánh (toàn ánh).
Thật vậy, nếu  là đơn ánh thì  một ánh xạ tuyến tính  : F  E sao cho

 .  i . Theo (2.4) và (2.5) ta có:  .  i  i . Do đó,  là đơn ánh.
Dễ thấy:

Im  (Im )
Do đó,  là toàn ánh với  là toàn ánh.
Tenxơ trên cặp không gian đối ngẫu

2.6. Định nghĩa
Giả sử E và E* là các không gian véctơ đối ngẫu với tích vô hướng <, >, và cho

E    p E vµ  E*   p E* lần lượt là các đại số tenxơ trên E và E * . Ta
có giữa  p E và  p E *  p  1 sinh ra duy nhất tích vô hướng sao cho:

x*1  ...  x* p , x1  ...  x p  x*1, x1 ... x* p , x p

(2.6)

Trong trường hợp p=0 ta có:

 ,    ;  , 0 E  
Các tích vô hướng giữa  p E và  p E * có thể được mở rộng một cách duy
nhất tới tích vô hướng <, > giữa các không gian E và  E * và tích vô hướng này
được xác định bởi:


u* , v   u* p , v p ,

u*   u* p , v   v p

p

p

p

Bây giờ, giả sử E là hữu hạn chiều và cho ev , e*v là cặp cơ sở đối ngẫu của E
* p

và E*. Khi đó, tích vô hướng giữa các véctơ cơ sở ev    ev , e*1  ...  e
1

p

được xác định như sau:
* p

e*1  ...  e

, ev1  ...  ev p



  v11  v pp


21

(2.7)


* p

Công thức trên chứng tỏ các cơ sở ev1  ...  ev p vµ e*1  ...  e

là đối ngẫu. Từ

(2.7) suy ra tích vô hướng của hai tenxơ

u  

v1 ...v p

p

là: u * , u   



ev1  ...  ev p vµ u*   1 ... p e*1  ...  e

* p

v1 ..v p

v .. v p

1

v

2.7. Đồng cấu
Giả sử F, F* là cặp không gian đối ngẫu thứ hai với tích vô hướng được ký
hiệu <, >. Cho  : E  F , * : F *  E * là cặp ánh xạ tuyến tính đối ngẫu. Đồng

 

cấu  *



:  F *   E * sinh bởi  * , ký hiệu   . Khi đó ta có:

   y*1  ...  y* p    * y*1  ...   * y* p ,

y*i  F *

(2.8)

Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng các đồng cấu

 : E  F vµ   : F *  E*
là cặp đối ngẫu, tức là:

    

*


*



(2.9)



Cho u  E vµ v*  F * là các phần tử bất kỳ. Ta chứng minh rằng:

v* ,u   v* , u
Vì  vµ   đều là thuần nhất bậc không, ta có thể giả sử u vµ v* là các
phần tử thuần nhất cùng bậc p. Hơn nữa, giả sử u vµ v* là phân tích được:

u  x1  ...  x p vµ v*  y*1  ...  y* p
Từ công thức (2.8) và (2.6) ta có:

22


 v* , u     y*1  ...  y* p  , x1  ...  x p
=  * y*1  ...   * y* p , x1  ...  x p

=  * y*1, x1 ...  * y* p , x p
= y*1 , x1 ... y* p , x p
= y*1  ...  y* p , x1  ...   x p
= v * ,  u
Do đó v* ,u   v* , u
Nếu G, G ' là cặp không gian đối ngẫu thứ ba và  : F  G,  * : G*  F *

là cặp ánh xạ đối ngẫu thứ hai, theo (2.9) và (2.4) ta có:

 . 



*
  .     *. *    *  . *     






Do vậy  .    *. *
*

Tenxơ hỗn hợp

2.8. Định nghĩa
Cho E*, E là cặp không gian véctơ đối ngẫu và giả sử với mỗi (p, q),

p  1, q  1 không gian

  E , E   
p

*

p


q

E*    q E 

Trường hợp q = 0 và p = 0 ta có:

 E , E  
p

*

0

Các phần tử của

p

E* vµ q  E* , E   q E
0

  E , E  được gọi là tenxơ hỗn hợp trên cặp  E , E  và gọi là
p

*

*

q


thuần nhất với cặp bậc (p,q). Tổng p + q được gọi là tổng bậc.
Một tenxơ có dạng:

w  x1*  ...  x p*  x1  ...  xq ,

23

xi*  E* , x j  E


được gọi là phân tích được.
Tích vô hướng giữa E* và E sinh ra tích vô hướng giữa

  E , E  và
q

*

p

  E , E  được xác định bởi:
p

*

q

u*  v, v*  u  u* , u v* , v
Do đó, hai không gian bất kỳ
biệt, không gian


(2.10)

  E , E  và   E , E  là đối ngẫu nhau. Đặc
q

p

*

p

*

q

  E , E  là tự đối ngẫu. Cuối cùng, ta chú ý rằng:
p

*

q

z1, z2  z2 , z1 , z1  q  E * , E  , z2   p  E * , E 
p

q

Hệ thức trên được suy ra từ định nghĩa.


2.9. Đại số tenxơ hỗn hợp
Đại số tenxơ hỗn hợp trên cặp E*, E là tích tenxơ của các đại số  E * vµ  E .



Kí hiệu  E * , E


  E * , E    E *    E 





Do đó  E * , E là đại số kết hợp (không giao hoán) với phần tử đơn vị là 1 1 .
Nó được sinh bởi các phần tử 1 1 , x*  1 và 1  x với x*  E * vµ x  E .
Cho

i p :  p E *  E * ,

iq :  q E   E

vµ iqp :   p E*    q E     E* , E 





là các phép nhúng và đồng nhất các không gian  p E * , q E và qp E* , E với
ảnh của chúng với các ánh xạ trên. Khi đó, ta có tổng trực tiếp


  E * , E      p E *    q E  .
p ,q

24


2.10. ánh xạ thu hẹp
Giả sử p  1 vµ q  1 . Mỗi cặp (i, j) với 1  i  p vµ 1  j  q cho (p+q) ánh xạ tuyến tính

 ij : 
E * 
...  
E * 
E

... 
E  qp11  E * , E 
p

q

được xác định bởi:



 ij x1 ,...., x*p , x1 ,..., xq
*




*
*
*
= xi , x j x1  ...  xi  ...  x*p  x1  ...  xj  ...  xq

Theo tính chất phổ dụng,  ij xác định ánh xạ tuyến tính

C ij : qp  E* , E   qp11  E* , E 

C ij là ánh xạ hạ chỉ số với cặp (i, j) và tenxơ  ij  w được gọi là thu hẹp của w với
cặp (i, j).





Đặc biệt C11 x*  x  x* , x ,

x*  E* , x  E .

 

Giả sử E hữu hạn chiều và cho e*v ,ev  là cặp cơ sở đối ngẫu của E* và E.
Khi đó, các tích:

e11...pq  e*v1  ...  e
v ...v

*v p




 e1  ...  eq


 E , E  có thể viết dưới dạng:

là một cơ sở của qp E* , E .
Do vậy, mỗi tenxơ w qp

*

w  v11...v p q e11 ...pq ,
 ... 

v ...v

v ,

1 ...q

v ...v 
1

p

Hệ số v11...v p q được gọi là các thành phần của w với cơ sở ev  .
 ... 


v ...v ...v p

Vì C ij e11 ...pq   vij e1 ...i
v ...v

1

j ...  q

Suy ra các thành phần của sự thu hẹp C ij w là:

25