Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian miệt mài vào nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của thầy
cô giáo và các bạn sinh viên của trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đến nay
khoá luận của em đã được hoàn thành.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Ts. Nguyễn Văn Hùng
đã giúp đỡ và hướng dẫn em tận tình trong quá trình chuẩn bị và hoàn thành
khoá luận.
Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện
cho em có cơ hội để tập được với việc nghiên cứu khoa học. Đồng thời em
cũng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong tổ giải
tích trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, sự động viên giúp đỡ đóng góp ý kiến
của bạn bè đã dành cho em trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận tốt
nghiệp.
Vì đây là lần đầu tiên em được làm quen với công việc nghiên cứu và
kiến thức của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiết sót. Em
rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khoá luận
của em được hoàn thành.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Phạm Thị Quỳnh Nga

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận Đa thức nội suy là kết
quả nghiên cứu và bản thân không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác
giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Sinh viên
Phạm Thị Quỳnh Nga

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .........................................................................................
LỜI CAM ĐOAN ...................................................................................
MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1
1.1. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE .................................................. 2
1.1.1. Đa thức nội suy. ........................................................................... 2
1.1.2. Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kì...................................... 3

1.1.3. Đa thức nội suy với mốc cách đều. ............................................... 4
1.1.4. Ví dụ. ........................................................................................... 5
1.1.5. Sử dụng lập trình Pascal để tính giá trị của hàm số f  x  tại x bất
kì theo đa thức nội suy Lagrange. ........................................................... 7
BÀI TẬP VẬN DỤNG .......................................................................... 9
HƯỚNG DẪN ..................................................................................... 10
1.2.SAI SỐ CỦA PHÉP NỘI SUY. CHỌN MỐC NỘI SUY TỐI ƯU. 13
1.2.1. Sai số phương pháp. ................................................................... 13
1.2.2. Sai số tính toán. .......................................................................... 14
1.2.3. Chọn mốc nội suy tối ưu. ............................................................ 15
BÀI TẬP VẬN DỤNG ........................................................................ 17
HƯỚNG DẪN ..................................................................................... 17
1.3. ĐA THỨC NỘI SUY VỚI MỐC NỘI SUY CÁCH ĐỀU. ............. 18
1.3.1.Sai phân....................................................................................... 18
1.3.2. Đa thức nội suy Newton tiến, lùi. ............................................... 21
1.3.3. Đa thức nội suy Gauss " tiến, lùi " và " lùi, tiến ". ....................... 23
1.3.4. Ví dụ. ......................................................................................... 25
BÀI TẬP VẬN DỤNG ........................................................................ 29
HƯỚNG DẪN ..................................................................................... 30
1.4. ĐA THỨC NỘI SUY VỚI MỐC NỘI SUY KHÔNG CÁCH ĐỀU.
................................................................................................................. 33
1.4.1. Tỷ sai phân. ................................................................................ 33
1.4.2. Đa thức nội suy Newton với mốc không cách đều. ..................... 36
1.4.3. Tính toán trên máy tính .............................................................. 38
1.4.4. Bài toán nội suy ngược. .............................................................. 39
BÀI TẬP VẬN DỤNG ........................................................................ 41
HƯỚNG DẪN ..................................................................................... 41

CHƯƠNG 2: MỞ RỘNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY ..................... 43
2.1. ĐA THỨC NỘI SUY HERMITTE. ................................................ 43

2.1.1. Bài toán: ..................................................................................... 43
2.1.2. Đa thức nội suy Hermitte. ........................................................... 43
2.2. NỘI SUY BẰNG HÀM GHÉP TRƠN( SPLINE ĐA THỨC). ...... 44
BÀI TẬP VẬN DỤNG ........................................................................ 47

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

HƯỚNG DẪN ..................................................................................... 48

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY ................... 50
3.1. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM. ..................................................... 50
3.1.1. Tính gần đúng đạo hàm trong trường hợp sử dụng đa thức nội suy
Lagrange. ............................................................................................. 50
3.1.2. Tính gần đúng đạo hàm trong trường hợp sử dụng đa thức nội suy
với mốc cách đều. ................................................................................ 51
3.1.3. Tính gần đúng đạo hàm trong trường hợp sử dụng hàm nội suy
Spline bậc ba. ....................................................................................... 53
BÀI TẬP VẬN DỤNG ........................................................................ 55
HƯỚNG DẪN ..................................................................................... 55
3.2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN. .................................................. 57
3.2.1. Công thức hình thang. ................................................................ 57
3.2.2. Công thức Simpson. ................................................................... 58
3.2.3. Công thức Newton – cotes. ......................................................... 60

BÀI TẬP VẬN DỤNG ........................................................................ 62
HƯỚNG DẪN ..................................................................................... 62

KẾT LUẬN ......................................................................................... 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài.
Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số, phương pháp tính, Toán học
tin học, là một khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu là giải số, các
phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu. Từ những năm
50 trở lại đây, nhất là từ những năm 80, Giải tích số đặc biệt phát triển cùng
với sự phát triển của Tin học. Ngày nay, với sự xuất hiện của các siêu máy
tính khả năng song song hoá các quá trình tính toán được rộng mở. Nhiều
thuật toán song song đã được đề xuất và áp dụng giải các bài toán thực tế.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc về bộ môn này và
bước đầu tiếp cận với công nghệ nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài " Đa
thức nội suy".
2.Mục đích nghiên cứu.
Bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm

hiểu sâu hơn về Giải tích số đặc biệt là Đa thức nội suy.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nghiên cứu về đa thức nội suy và các ứng dụng của nó.
4.Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu lí luận, tổng hợp, đánh giá.
5.Cấu trúc của khoá luận.
Gồm 3 phần
Phần 1: Mở đầu.
Phần 2: Nội dung.
Chương 1: Đa thức nội suy.
Chương 2: Mở rộng của đa thức nội suy.
Chương 3: Ứng dụng của đa thức nội suy.
Phần 3: Kết luận.

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

1

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

CHƯƠNG 1: ĐA THỨC NỘI SUY
Trong thực tế tính toán, ta thường phải tính giá trị của hàm số y  f  x  với x bất kì
trên đoạn  a, b  , trong khi chỉ biết các giá trị yi  f  x i  , x i   a, b  , i  0, n . Ở một
số trường hợp khác, biểu thức giải tích của f  x  là đã biết nhưng quá phức tạp. Với
những trường hợp như vậy, người ta thường xây dựng một hàm số P  x  đơn giản và

thoả mãn điều kiện P  x i   f  x i  i  0, n và x i  x j , i  j , x i   a, b  i ;
ngoài ra tại x   a, b  , x  x i thì P  x  xấp xỉ y  f  x  theo một độ chính xác nào



đó. Hàm số P  x  như vậy được gọi là hàm nội suy của f  x  , còn các x i i  0, n



gọi là các mốc nội suy. Bài toán xây dựng hàm số P  x  như vậy được gọi là bài toán
nội suy.
Dùng hàm nội suy P  x  , ta có thể dễ dàng tính được các giá trị f  x  tại
x bất kì thuộc  a, b  tương đối chính xác. Từ đó có thể tính gần đúng đạo hàm

hoặc tích phân của f  x  trên  a, b  . Vì các đa thức đại số là đơn giản nên
trước tiên ta nghĩ đến việc xây dựng P  x  ở dạng đa thức đại số.
1.1. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE
1.1.1. Đa thức nội suy.
Giả sử hàm số f  x  xác định trên đoạn  a, b ta không biết biểu thức giải
tích của nó, ta chỉ biết giá trị của nó là y0 , y1 ,..., y n tương ứng với các

x 0 , x1 ,..., x n   a, b  và a  x 0  x1  ...  x n  b .
n

Ta tìm đa thức bậc n: P  x    a i x i sao cho Pn  x i   yi ,i  0, n và sai
i 0

số của Pn  x  và f  x  nhỏ nhất.
Khi đó đa thức Pn  x  gọi là đa thức nội suy.


GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

2

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

1.1.2. Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kì.
Bài toán: Cho x i   a, b  , i  0, n , x i  x j , i  j và yi  f  x i  , i  0, n .
Hãy xây dựng đa thức nội suy Pn  x  thoả mãn:
deg Pn  x   n , Pn  x i   yi , i  0, n
Trước hết ta xét hàm số sau:
n

x  x 
i

j x 

i 0
i j
n

x

j


 xi 

i 0
i j

Rõ ràng deg  j  x   n , j  0, n

nê' u
nê' u

0
Và  j  x   
1
Do  j  x i  

j xj  

x
x

j

i j
ij

 x i  x 0  . x i  x1  ...(x i  x i )... x i  x n   0, i  j

x


j

 x 0  .  x j  x1  ...(x j  x i )...  x j  x n 

 x 0  .  x j  x1  ...(x j  x i )...  x j  x n 

j  x 0  .  x j  x1  ...(x j  x i )...  x j  x n 

 1, i  j

n

x  x 
i

i 0
i j
n

n

Đặt Pn  x    y j   j  x  với  j  x  
j 0

x

(1.1)
j

 xi 


i 0
i j

Ta có : deg Pn  x   n và
n

Pn  x    y j   j  x i    y j   j  x i   y j   j  x j 
j 0

i j

 0  y j  y j (i  j)
Vậy Pn  x  thoả mãn yêu cầu bài toán đặt ra, Pn  x  xây dựng như vậy
được gọi là đa thức nội suy Lagrange.

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

3

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

n

Đặt   x     x  x i 

i0

n

Ta có: Pn  x    y j
j 0

 x 
 x  x i    x j 

(1.2)

 Tính duy nhất của đa thức nội suy Lagrange.
Giả sử ngoài ra còn có đa thức P n  x  thoả mãn điều kiện trên, khi đó gọi

  x   [Pn  x   P n  x  ] thì deg   x   n và nhận ít nhất (n  1) nghiệm x 0 , x1 ,..., x n
(Do   x i   Pn  x i   P n  x i   yi  yi  0 , i  0, n ). Suy ra đa thức   x  phải là
đa thức không, do đó P n  x   Pn  x  .
Vậy tồn tại duy nhất đa thức thoả mãn các điều kiện trên.
1.1.3. Đa thức nội suy với mốc cách đều.
Giả sử x i 1  x i  h , i  0, n  1 , x 0  a , x n  b
Khi đó dùng phép đổi biến x  x 0  th , x j  x 0  jh với j  0, n  1 và
thay vào biểu thức của  j  x  ta được:

j x 




 x  x 0   x  x1  ... x  x j1  x  x j1  ... x  x n 


x

j

 x 0  x j  x1  ...  x j  x j1  x j  x j1  ...  x j  x n 

 x 0  th  x 0  x 0  th  x 0  h  ...  x 0  th  x 0   j  1 h 
 x 0  jh  x 0  x 0  jh  x 0  h  ...  x 0  jh  x 0   j  1 h 
 x 0  th  x 0   j  1 h  ...  x 0  th  x 0  nh 
 x 0  jh  x 0   j  1 h  ...  x 0  jh  x 0  nh 
t  t  1 ...  t   j  1   t   j  1  ...  t  n 
j  j  1 ...  j   j  1   j   j  1  ...  j  n 
n j

t  t  1 ... t  n   1


tj
j! n  j!
n

Mà Pn  x    y j   j  x 
j 0

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

4

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga



Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

Suy ra
n j

t  t 1 ... t  n   1  n!
Pn  x   Pn  x0  th    y j 

tj
j! n  j!n!
j0
n

 Pn  x0  th  

j
t  t 1 ... t  n  n
n j C
  1  n  y j
n!
tj
j0

Chú ý rằng trong công thức (1.3) các hệ số  1

n j


(1.3)

C nj là không phụ thuộc

vào hàm số f  x  , mốc nội suy, bước h nên có thể tính sẵn và lập bảng để sử
dụng trong quá trình tính toán.

 Nhận xét:
 Nội suy bậc nhất hay còn gọi là nội suy tuyến tính khi n  1 ta có đa
thức nội suy Lagrange bậc nhất:

P1  x   y 0 

x  x1
x  x0
 y1 
x 0  x1
x1  x 0

Khi n  2 ta có đa thức nội suy Lagrange bậc hai:

 x  x1  x  x 2   y   x  x 0   x  x 2 
 x 0  x1  x 0  x 2  1  x1  x 0   x1  x 2 
 x  x 0   x  x1 
 y2 
 x 2  x 0   x 2  x1 

P2  x   y 0 


Tổng quát, nếu hàm số f  x  có (n  1) mốc nội suy x 0 , x1 ,..., x n thì đa
thức nội suy Lagrange của hàm số f  x  là đa thức bậc n.
 Đa thức nội suy Lagrange có ưu điểm là đơn giản, dễ tính, tuy nhiên
nhược điểm là nếu thêm mốc nội suy thì phải tính lại từ đầu.
1.1.4. Ví dụ.

 Ví dụ 1.1. Hãy tìm đa thức nội suy Lagrange của hàm số y  sin x trên
1
1
1
[0, ] với x 0  0, x1  , x 2 
2
6
2
Giải:

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

5

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

1
Ta có: y 0  0, y1  , y 2  1
2

Suy ra đa thức nội suy Lagrange của hàm số y  sin x là:

1
1


xx  
x x  
1
2
6
P2  x   0   
 1 
11 1
2 11 1
  
  
66 2
2 2 6
7
Rút gọn ta có: P2  x   3x 2  x
2

 Ví dụ 1.2. Sử dụng công thức nội suy Lagrange để phân tích phân thức hữu
tỷ sau thành tổng các phân thức tối giản.

f x 

3x 2  x  1
 x  1 x  2  x  3


Giải:
Đặt g  x   3x 2  x  1
Lập bảng giá trị của g  x  tại x  1, 2,3
x

1

2

3

gx

5

15

31

Khi đó:

gx  5


 x  2  x  3  15   x  1 x  3  31   x  1 x  2 
1  2 1  3
 2  1 2  3
 3  1 3  2 


5
31
 x  2  x  3  15  x  1 x  3   x  1 x  2 
2
2

Từ đây suy ra

f x 

5
15
31


2  x  1 x  2 2  x  3

 Ví dụ 1.3. Hàm số f  x  được cho bởi bảng sau:

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

6

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy


x

-3

-1

1

3

y

-87

-6

3

36

Tìm đa thức nội suy Lagrange của hàm số f  x  và tính giá trị gần đúng
của f 1,6 
Giải:

 x 1 x 1 x  3  6  x  3 x 1 x  3
 3 1 3 1 3  3  1 3 11 1 3
 x  3 x 1 x  3  36  x  3 x 1 x 1
3
1 3111 3
 3  3 3 1 3 1


P x  87 

87 2
16
3
36
x 1  x  3   x2  9  x 1   x2  9  x 1   x2 1  x  3

48
6
16
48
5 3
 2x3  3x2  x 
2 2


Giá trị gần đúng của f 1,6  là: P 1,6   6,012
1.1.5. Sử dụng lập trình Pascal để tính giá trị của hàm số f  x  tại x bất kì
theo đa thức nội suy Lagrange.
Ta có chương trình:
Var

n, i, j, k, l, m, t: interger; P, G: real;
x, y: array [0..100] of real;
a: array [1..100] of real;

Begin
write (' nhap n = '); readln (n);

for l: = 0 to n do
begin
write (' moc noi suy thu ', l, ' la: ');readln (x[l]);
end;
for j: = 0 to n do
begin

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

7

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

write(' gia tri cua ham so tai moc noi suy thu ', j, ' la: ');
readln (y[j]);
end;
write (' nhap so diem can tinh m =' ); readln (m);
for t:=1 to m do
begin
write (' Tai diem thu ', t,': '); readln (a[t]);
end;
for t:= 1 to m do
begin
P:= 0;
for k:= 0 to n do

begin
G:= 1;
for i:= 0 to n do if <>k then G:= G*(a[t]-x[i]/(x[k]-x[i]);
P:= P+y[k]*G;
end;
writeln (' gia tri cua ham so tai diem thu ', t, 'la: ', P:2:9);
end;
readln;
End.

 Ví dụ 1.4. Hàm số f  x  cho bởi bảng:
X

-3

-1

1

3

Y

39

8

5

54


Tính f  0,123 ,f 1,023 ,f  2,143
Sử dụng lập trình Pascal ta có màn hình kết quả sau:
Nhập n = 3
Mốc nội suy thứ 0 là: -3

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

8

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

Mốc nội suy thứ 1 là: -1.
Mốc nội suy thứ 2 là: 1.
Mốc nội suy thứ 3 là: 3.
Giá trị của hàm số tại mốc nội suy thứ 0 là: -39
Giá trị của hàm số tại mốc nội suy thứ 1 là: 8
Giá trị của hàm số tại mốc nội suy thứ 2 là: 5
Giá trị của hàm số tại mốc nội suy thứ 3 là: 54
Nhập số giá trị cần tính m = 3
Giá trị thứ 1 là: 0,123
Giá trị thứ 2 là: 1,023
Giá trị thứ 3 là: 2,143
Giá trị của hàm số tại điểm thứ 1 là: 1,330575434
Giá trị của hàm số tại điểm thứ 2 là: 5,221944584

Giá trị của hàm số tại điểm thứ 3 là: 25,0970541
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Tìm đa thức bậc thấp nhất nhận giá trị cho bởi bảng sau:
(1)
x

-3

-2

1

3

y

58

19

4

-11

x

-2

-1


1

3

y

-36

-7

3

34

(2)

Bài 2. Cho bảng các giá trị của hàm số f  x  :
x

0

0,5

1

1,8

2

2,4


f x

1,5

2,6

2,4

3,9

4,4

5,5

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

9

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

Sử dụng công thức nội suy Lagrange tính giá trị của hàm số f  x  tại các
điểm sau:
(1): 1,23


(2): 1,43

(3): 2,76

(4): 3,56

Bài 3. Sử dụng đa thức nội suy Lagrange tìm giá trị của hàm số cho bởi bảng
dưới đây:
(1)
x

-4

-3

1

3

f x

-165

-77

4

23

x


1,0

1,5

2,0

2,5

f x

1,41

2,51

2,62

2,92

Tìm f  2 
(2)

Tính f  2, 2 

x 2  3x  5
Bài 4. Biểu diễn hàm f  x  
 x  1 x  1 x  2  x  3
Thành tổng phân thức tối giản.

HƯỚNG DẪN


Bài 1.
(1) Gọi đa thức bậc thấp nhất nhận giá trị trong bảng trên là f  x  , áp
dụng công thức (1.1) ta có:

 x  2  x  1 x  3  19   x  3 x  1 x  3
 3  2  3  1 3  3
 2  3 2  1 2  3
 x  3 x  2  x  3  11   x  3 x  2  x  1
4 
1  31  2 1  3
 3  3 3  2  3  1

f  x   58 

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

10

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

58 3
19
4
  x  2x 2  5x  6    x 3  x 2  9x  9     x 3  2x 2  9x  18

24
15
24
11 3
   x  4x 2  x  6 
60
3
5
  x 3  x 2  2x  1
2
2


(2) Gọi đa thức bậc thấp nhất nhận giá trị trong bảng trên là f  x  , áp dụng
công thức (1.1) ta có:

 x  1 x  1 x  3  7   x  2  x  1 x  3
 2  1 2  1 2  3
 1  2  1  1 1  3
 x  2  x  1 x  3  34   x  2  x  1 x  1
3 
1  2 1  11  3
 3  2  3  1 3  1

f  x   36 

36 3
7
3
x  3x 2  x  3   x 3  2x 2  5x  6    x 3  7x  6 


15
8
12
34
  x 3  2x 2  x  2 
40
17
15
23
7
 x3  x 2  x 
8
4
8
4


Bài 2.
(1) Áp dụng công thức nội suy Lagrange (1.1) ta có:

f  x  1,5

 x  0,5 x 1 x 1,8 x  2 x  2,4  2,6 x  x 1 x 1,8 x  2 x  2,4
4,32

0,92625

2,4


x  x  0,5 x 1,8 x  2 x  2,4
x  x  0,5 x 1 x  2 x  2,4
 3,9
0,56
0,22464

4,4

x  x  0,5 x 1 x 1,8 x  2,4
x  x  0,5 x 1 x 1,8 x  2
 5,5
0,24
1,53216

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

11

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

1,5
2,6
2, 4
 0,086218832 
 0,145272827 

 0, 461083322
4,32
0,92625
0,56
3,9
4,4
5,5

 0,186051165 
 0,137726187 
 0,090640311
0, 22464
0, 24
1,53216

 f 1,23  

 2,568797599
(2) f 1, 43  3,000726722
(3) f  2,76   7,538162501
(4) f  3,56   31, 29874847
Bài 3.
(1) Áp dụng công thức nội suy Lagrange (1.1) ta có:

f  x  165

 x  3 x 1 x  3  77   x  4 x 1 x  3  4  x  4 x  3 x  3

35
 x  4 x  3 x 1

23
84

 f  2  

24

40

165
77
4
23
 5   6   30   30  6,892857143
35
24
40
84

(2) Áp dụng công thức nội suy Lagrange (1.3) ta có:

h  0,5; t 
f  2, 2  

x  x 0 2, 2  1

 2, 4
h
0,5


2, 4  2, 4  1 2, 4  2  2, 4  3 n
C3j
3 j
   1 
 yj
3!
2, 4  j
j0



C0
C13
C32
C33
 0,1344   1  3 1, 41 
 2,51  1 
 2,62 
 2,92 
2, 4
2, 4  1
2, 4  2
2, 4  3


 2,65112
Bài 4.
Đặt g  x   x 2  3x  5

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng


12

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

Lập bảng giá trị của g  x  tại x  1,1, 2,3
x

-1

1

2

3

gx

-7

-1

5

13


g  x   7 

 x 1 x  2 x  3   x 1 x  2 x  3  5   x  1 x 1 x  3

 f x 

7
1
5
13



24  x  1 4  x  1 3  x  2  8  x  3

24
 x  1 x 1 x  2
13 
8

4

3

1.2.SAI SỐ CỦA PHÉP NỘI SUY. CHỌN MỐC NỘI SUY TỐI ƯU.
1.2.1. Sai số phương pháp.
Giả sử Pn  x  là đa thức nội suy bậc n của hàm số f  x  , tức là P  x i   f  x i 
với i  0, n . Ta cố định giá trị x   a, b tuỳ ý và tìm cách ước lượng sai số










R  x   f  x   P  x  với x  x i i  0, n vì R  x i   0 i  0, n .
Xét F  z   R  z   k  z 
n

Với   z     z  x i  ,
i 0

k là hằng số được chọn từ điều kiện F  x   0 ,
nghĩa là k 

f x  Px
 x 



(1.4)



Mặt khác F  x i   0 i  0, n do đó F  z  có (n+2) nghiệm phân biệt x, x 0 , x1 ,..., x n .
n 1
Theo định lý Rolle F  z  có (n+1) nghiệm phân biệt ... F   z  có nghiệm    a, b  :


 n 1

0F

   f

 n 1

f  n 1   
k
    k  n  1! , hay
 n  1!

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

13

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

Từ (1.4) suy ra

f  n 1   
R x 
 x 

 n  1!

(1.5)

Gọi M  sup f  n 1  x  , từ (1.5) suy ra:
a  x b

f x  Px 

M
 x  x 0   x  x1  ... x  x n 
 n  1!

 Ví dụ 1.5. Giả sử tính gần đúng sin

(1.6)


1
 P2   , P2  x  là đa thức nội suy
7
7

Lagrange ở ví dụ 1.1. Hãy ước lượng sai số.
Giải: vì f  x   sin x  f 

3

 x   3cosx  M 


sup f 
1
0 x 
2

3

 x   3

Áp dụng công thức (1.6) ta được:
3
3

5
1  1
 1 1  1 1  
sin  P   
 0,006277590841
  0       
7
 7  3!  7
 7 6  7 2  6 4116

 Nhận xét:
 Sai số phương pháp Pn  x  rất lớn ngoài đoạn  x 0 , x n  do đó khi dùng
công thức nội suy để thực hiện phép ngoại suy sẽ mắc phải sai số lớn.
 Phép nội suy có độ chính xác cao đối với các đoạn  x i , x i1  ở trung
tâm và độ chính xác thấp đối với các đoạn ngoài rìa.
1.2.2. Sai số tính toán.
Giả sử thay vì viết các giá tri đúng y i  f  x i  ,ta chỉ biết các giá trị gần

n

đúng yi . Khi đó thay vì đa thức nội suy P  x    y i 
i 0

n

P  x    yi 
i 0

 x 
, ta có:
 x  x i    x i 

 x 
 x  x i    x i 

Giả sử yi  y i  yi , khi đó sai số tính toán

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

14

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

n


P  P  P   yi 
i 0

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

 x 
 x  x i    x i 

(1.7)





Nếu mốc nội suy cách đều và yi   i  0, n thì

P   

t  t  1 ...  t  n 
n!

n


i 0

Cin
t i

(1.8)


1.2.3. Chọn mốc nội suy tối ưu.
Nếu hàm f  x  đã cho thì M  sup f  n   x  hoàn toàn xác định. Từ công
a  xb

thức (1.6) suy ra sai số tuyệt đối của phép nội suy chỉ còn phụ thuộc vào

  x    x  x 0   x  x1  ...  x  x n  ... Vấn đề đặt ra là phải chọn mốc nội suy
a  x 0  x1  ...  x n  b như thế nào để max   x  nhỏ nhất ?
a  x b

Ta đi đến bài toán min-max sau:

max   x  
a  x b

min

a  x 0  x1 ... x n  b

1.2.3.1. Đa thức Chebysev.
Xét hàm số Tn  x   cos  n.arccos x 

 x  1

(1.9)

Đặt   arccos x và để ý rằng cos  n  1   cos cos n  sin  sin n , ta được
cos  n  1   cos  n  1   2 cos n hay


Tn 1  x   2xTn  x   Tn 1  x 

(2.1)

Ngoài ra:

T0  x   1,T1  x   x,T2  x   2x 2  1,...
Do đó, Tn  x  là đa thức đại số với bậc n và hệ số cao nhất là 2n 1 . Đa
thức Tn  x  được gọi là đa thức Chebysev.

 Nhận xét:
 Tn  x  có đúng n nghiệm và các nghiệm là:

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

15

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

x i  cos

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

2i  1
 ,i  0, n  1
2n


 max Tn  x   1 khi x  x i  cos
x 1

i
,i  0, n . Hơn nữa Tn  x  =1 với i chẵn
n

và Tn  x  =-1 với i lẻ.
1.2.3.2. Chọn mốc nội suy tối ưu.
Định lý 1.1
Trong tất cả các đa thức bậc n với hệ số đầu bằng 1, đa thức Chebysev

Tn  x 
có độ lệch (so với 0) nhỏ nhất trên đoạn [-1,1]. Nghĩa là, nếu
2n 1

P  x   x n  a n 1 x n 1  ...  a 0
thì

max P  x   max
x 1

x 1

Tn  x 
2

n 1




1
2n 1

(2.2)

Chọn mốc nội suy tối ưu
 Trong trường hợp a= 1 , b=1 ta lấy mốc nội suy x i là nghiệm của đa
thức Chebysev Tn 1  x  , nghĩa là: x i  cos

  x    x  x 0   x  x1  ...  x  x n  

2i  1

2  n  1

 i  0, n  . Khi đó

Tn 1  x 
có độ lệch nhỏ nhất, và ước lượng
2n

tốt nhất của phép nội suy là:

Px  f x 

M
M
  x   n
2  n  1!

 n  1!

 Trong trường hợp a < b bất kì, ta dùng phép thế biến t 

(2.3)

2x  b  a
ba

đưa đoạn [a,b] về đoạn [-1,1]. Các mốc nội suy tối ưu là nghiệm của đa thức
Chebysev:

xi 


1 
2i  1
   b  a 
 b  a  cos
2 
2  n  1


GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

 i  0, n 
16

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga



Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

Ước lượng tốt nhất của phép nội suy trong trường hợp này là:
n 1

Mb  a
Px  f x 
 n  1!22n 1

(2.4)

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Tìm đa thức nội suy bậc hai P  x  của hàm số y  cosx trên đoạn

1
[0,1] tại các mốc nội suy x 0  0, x1  , x 2  1 . Hãy tìm ước lượng sai số của
3
1
1
phép nội suy. Tính f    P  
5
5
Bài 2. Ước lượng sai số của phép nội suy bằng đa thức bậc ba. Tính sin 6 với
các mốc nội suy:

x0 



7

11
, x1 
, x 2  , x3 
36
180
20
180

HƯỚNG DẪN

Bài 1. Ta có bảng giá trị của hàm số y  cosx trên đoạn [0,1]

x

0

1
3

1

y

1

1
2


-1

Gọi đa thức nội suy Lagrange của hàm số y  cosx là P  x  , theo công
thức (1.1) ta có:

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

17

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

1
1


xx  
 x    x  1 1 x  x  1
3
5
3
3
P  x   1 
 
 1 

  x2  x 1
1
2
2
2
4
4
3
9
3
Ta có y  cosx  y3  3 sin x  M  sup 3 sin x  3
0 x 1

Áp dụng công thức (1.6) ta được:
3

3

1  1
 1 1  1   8
cos  P   
 0,110244539
  0     1  
5
 5  3!  5
 5 3  5  6 375

Bài 2. Ta có f  x   s inx  f 4  x   sinx

 M  sup s inx  sin


11
 x
36
180

11
 0,190808995
180

Áp dụng công thức ta được:

sin6 P 6 

0,190808995      7      11 
8
         1,106594053.10
4!
 30 36  30 180  30 20  30 180 

1.3. ĐA THỨC NỘI SUY VỚI MỐC NỘI SUY CÁCH ĐỀU.
1.3.1.Sai phân.
1.3.1.1.Định nghĩa.
Giả sử hàm số f  x  xác định trên tập X, h  const , h  0
Biểu thức f  x   f  x  h   f  x 

(2.5)

Được gọi là sai phân cấp một của f  x  tại điểm x .


 2f  x    f  x    f  x  2h   f  x  h    f  x  h   f  x  
 f  x  2h   2f  x  h   f  x 
được gọi là sai phân cấp 2 của f  x  tại x.
Tương tự, ta có  n f  x      n 1f  x   được gọi là sai phân cấp n của f  x 
tại x .
1.3.1.2. Tính chất.

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

18

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

(1)  là toán tử tuyến tính, nghĩa là:

,   ; f,g   f  g   f  g .
(2) Nếu c  const thì c  0 .
(3)  n  x n   n!h;  m  x n   0

m  n

n

Thậy vậy,   x n    x  h   x n  nhx n 1  ...


 2  x n     nx n 1h   ...  nh  x n 1   ...
 n  n  1 h 2 x n 2  ...
................................
 2  x n   n!h
Từ tính chất (2) suy ra  m  x n   0 với mọi m  n
(3) Nếu P  x  là đa thức bậc n thì theo công thức Taylor
n

P  P  x  h   P  x   
i 1

h i i 
P x
i!

(2.6)

n

(5) f  x  nh    Cin  i f  x 

(2.7)

i0

Thật vậy :

f  x  nh   f  x   f  x   1    f  x 

(ở đây 1 là toán tử đơn vị).


Áp dụng nhiều lần, ta được:

f  x  nh   1    f  x   n  1 h   .... 
n

n

 1    f  x    Cin  i f  x 
i0
i

n
n

(6)  f  x     1 Cin f  x   n  i  h 

(2.8)

i 0

Ta có:
n

 n f  x   1     1 f  x 
n

i

   1 Cin 1   


n i

i 0

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

n

f  x     1 Cin f  x   n  i  h 
i 0

19

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

(7) Giả sử

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

f  Cn  a, b  và  x, x  nh    a, b  . Khi đó:

nf  x 
 f n  x  nh  ,
hn

   0,1


(2.9)

Ta chứng minh (2.9) bằng quy nạp.
Với n=1, ta có công thức số gia hữu hạn

f x  h  f x
 f   x  h  .
h

Giả sử (2.9) đúng với mọi k  n . Ta chứng minh cho k  n  1 .
n
Thật vậy:  n 1f  x      n f  x      h n f    x  nh  

n
trong đó    0,1 . Áp dụng công thức số gia hữu hạn cho f    x  nh  , ta

được:

 n 1f  x   h n f  n   x  nh 
 h n f  n   x  nh  h   f  n   x  nh  


 h n 1 f  n 1  x  nh  h 
trong đó ,    0,1 . Đặt  

 n 1f  x   f 

n 1


n  
  0,1 , ta được :
n 1

 x    n  1 h 

Hệ quả:

f  Cn  a, b  thì khi h đủ nhỏ ta có f  n   x  

nf  x 
hn

(3.1)

1.3.1.3. Bảng sai phân.
Giả sử hàm y  f  x  cho dưới dạng bảng yi  f  x i  tại các mốc x i cách
đều: x i 1  x i  h  const

i  0 .

Khi đó sai phân của dãy yi được xác định như sau:

yi  yi 1  yi
 2 yi    yi   yi 1  yi ,...
 n yi     n 1 yi    n 1 yi 1   n 1yi
Ta lập bảng:
GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

20


SV: Phạm Thị Quỳnh Nga


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy

xi

yi

y

2y

3 y

4y

...

...

...

...

...


...

...

...

x i 2

yi 2

 4 yi 2

...

...

...

yi 2
x i 1

 2 yi 2

yi 1

 3 yi  2

yi 1
xi


 2 yi 1

yi

 3 yi 1

yi
x i 1

 2 yi

yi1
yi 1

x i2

yi  2

...

...

...

...

...

1.3.2. Đa thức nội suy Newton tiến, lùi.
Giả sử hàm số f  x  ta chỉ biết một số giá trị của nó là y0 , y1 ,..., y n tại

các điểm tương ứng là x 0 , x1 ,..., x n và giả thiết x i  x 0  ih

 i  0, n 

1.3.2.1. Đa thức nội suy Newton tiến.
Mốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự x 0  x1  ...  x n .Ta tìm đa thức
nội suy P  x  có dạng:

P  x   a 0  a1  x  x 0   a 2  x  x 0   x  x 1 
 ...  a n  x  x 0  ...  x  x n 1 

(3.2)

Với giả thiết P  x i   f  x i   yi với i  0, n
Cho x  x 0 , ta được: P  x 0   y0  a 0
Cho x  x1 , ta được: P  x1   y1  a 0  a1  x1  x 0   a1 

y1  y 0 y 0

x1  x 0
h

Cho x  x 2 , ta có:

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

21

SV: Phạm Thị Quỳnh Nga