TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

BÙI THỊ NHUNG

ĐA TẠP HAI CHIỀU TRONG E 3
VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: HÌNH HỌC

Người hướng dẫn khoa học
NGUYỄN NĂNG TÂM

Hà Nội - 2013


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học, các
thầy cô và các bạn sinh viên trong khoa Toán Trường Đại Học Sư
Phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em
hoàn thành tốt khóa luận này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm,
thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành
khoá luận này.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Bùi Thị Nhung

LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học
tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, em được sự quan tâm của các thầy
cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy
Nguyễn Năng Tâm.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khoá luận này em đã tham
khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Đa tạp hai chiều trong
E 3 và ứng dụng” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài
khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Bùi Thị Nhung


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Không gian Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6


1.2. Hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1. Hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2. Một số phép toán đại số về hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.3. Giới hạn của hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.4. Đạo hàm của hàm vectơ một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3. Trường vectơ trên không gian Euclide E n . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1. Vectơ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2. Trường vectơ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


11

1.3.3. Trường mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4. Cung tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5. Cung và cung định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5.1. Cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5.2. Cung định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.6. Cung chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6.1. Điểm chính quy, điểm kì dị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16


1.6.2. Cung chính quy, một dìm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16


1.7. Cung song chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.8. Cung hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.8.1. Cung hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.8.2. Cung tham số kiểu đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.9. Đường hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.9.1. Đường hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.9.2. Dấu hiệu nhận biết một tập điểm là đường hình học . . . . . . . . . . . . . . . .


21

1.10. Đường xác định bởi phương trình ẩn . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.10.1. Đường xác định bởi phương trình ẩn trong E 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.10.2. Đường xác định bởi phương trình ẩn trong E 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.11. Mảnh tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.11.1. Mảnh tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.11.2. Điểm chính quy, điểm kì dị, mảnh chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.12. Mảnh hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24


1.12.1. Mảnh hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.12.2. Mảnh tham số kiểu đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Chương 2. Đa tạp hai chiều trong E 3 . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.1. Đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2. Đa tạp hai chiều trong E 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.3. Dấu hiệu nhận biết một tập điểm là đa tạp hai chiều trong
E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 3. Ứng dụng của đa tạp hai chiều trong E 3 .
3.1. Bài tập áp dụng dấu hiệu nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
36
36


3.1.1. Áp dụng dấu hiệu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.1.2. Áp dụng dấu hiệu 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2


3.1.3. Áp dụng dấu hiệu 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.2. Bài tập áp dụng mảnh hình học là đa tạp hai chiều . .

64

3.3. Một số bài tập khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81


3


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Đa tạp hai chiều trong E 3 là một mảng kiến thức trong môn
hình học vi phân, đóng vai trò quan trọng trong toán học.
Sau khi học xong chương trình toán dành cho cử nhân sư phạm,
đặc biệt là sau khi học xong môn hình học vi phân, em mong muốn
học hỏi và tìm hiểu sâu thêm về đa tạp hai chiều trong E 3 và ứng
dụng của nó. Từ đó, xây dựng một hệ thống bài tập về đa tạp hai
chiều trong E 3 đầy đủ nhất cho bản thân theo từng dạng. Đồng
thời rèn luyện tư duy logic, tính chính xác và cẩn thận cho mình.
Dưới góc độ một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán và trong
khuôn khổ của bài khoá luận tốt nghiệp, đồng thời được sự hướng
dẫn tận tình của thầy Nguyễn Năng Tâm em đã chọn đề tài “Đa
tạp hai chiều trong E 3 và ứng dụng”. Hy vọng, đề tài này giúp em
có cơ hội học tập tốt hơn.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
Mục đích chính của đề tài là hệ thống lại những lý thuyết cơ bản
và phân dạng các bài tập một cách chi tiết nhất về đa tạp hai chiều
trong E 3 .

4


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là đa tạp hai chiều trong E 3 .

Phạm vi nghiên cứu là lý thuyết và bài tập về đa tạp hai chiều
trong E 3 .
6. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Hệ thống lại những lý thuyết cơ bản về đa tạp hai chiều trong
E 3.
Hệ thống các dạng bài tập về đa tạp hai chiều trong E 3 .
7. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại các khái niệm, tính chất.
8. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Đa tạp hai chiều trong E 3 .
Chương 3. Ứng dụng của đa tạp hai chiều trong E 3 .

5


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số định nghĩa và định lý: không gian
Euclide, hàm vectơ, trường vectơ trên không gian Euclide E n , cung
tham số, cung và cung định hướng, cung chính quy, cung song chính
quy, cung hình học, đường hình học, đường xác định bởi phương
trình ẩn, mảnh tham số, mảnh hình học.

1.1. Không gian Euclide
Định nghĩa 1.1. Không gian vectơ n−chiều trên trường số thực
→
−
gọi là không gian vectơ Euclide n−chiều, kí hiệu là E n nếu với mỗi

→
−
→
−
→
−
−
cặp có thứ tự →
a , b thuộc E n × E n xác định một số thực gọi là
→
−
→
−
→
−
−
−
−
tích vô hướng của hai vectơ →
a , b . Kí hiệu là →
a . b hoặc →
a, b
thỏa mãn tiên đề sau:
→
− − →
−
−
Với mọi →
a, b, →
c ∈ E n , ∀λ ∈ R ta có:

→
−
→
− −
−
(i) →
a . b = b .→
a,
→
− −
→
− − →
−
−
(ii) →
a. b +→
c =→
a. b +→
a .−c ,

6


→
−
→
− −
−
(iii) (λ→
a ). b = λ( b .→

a ),
−
−
−
(iv) →
a .→
a ≥ 0, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi →
a là vectơ không.
Định nghĩa 1.2. Không gian Euclide n−chiều E n là không gian
→
−
afin liên kết với không gian vectơ Euclide n−chiều E n .
→
−
−
Nhận xét 1.1. Với mọi điểm M thuộc E n , mọi vectơ →
x thuộc
→
−n
→
−
−−→ −
E ta luôn tìm được duy nhất điểm N của E n sao cho M N = →
x.
−−→ −
−
Nếu M N = →
x thì viết N = M + →
x.
→

−
Định nghĩa 1.3. Cho không gian vectơ Euclide n−chiều E n ,
√
→
−
−
α ∈ E n , ta gọi số α2 là độ dài (chuẩn/mođun) của vectơ →
α.
−−→
Khoảng cách giữa hai điểm M , N ∈ E n là giá trị M N . Kí hiệu
d(M, N ) là khoảng cách giữa hai điểm M , N . Khi đó
−−→
d(M, N ) = M N .
−
Định nghĩa 1.4. Hệ {→
ei }i=1,n được gọi là hệ vectơ trực chuẩn nếu


0 khi i = j
→
−
→
−
e i. e j =

1 khi i = j.
−
−
Mục tiêu (0, →
ei )n1 , trong đó {→

ei }i=1,n là cơ sở trực chuẩn của
→
−
không gian E n được gọi là mục tiêu trực chuẩn của không gian
Euclide E n và thường gọi là hệ tọa độ Descartes vuông góc.

7


1.2. Hàm vectơ
1.2.1. Hàm vectơ
Định nghĩa 1.5. Cho tập mở U ⊂ Rm , (m ≥ 1). Mỗi ánh xạ
→
−
→
−
ϕ : U → E n còn gọi là một hàm vectơ trên U . Ở đây Rm được xét
→
−
với tôpô thông thường và E n là không gian vectơ Euclide n−chiều.
→
−
−
−
Định nghĩa 1.6. Nếu trong E n cho cơ sở (→
e1 , ..., →
en ) thì với
−
p ∈ U , vectơ →
ϕ (p) có các tọa độ phụ thuộc p, kí hiệu là

→
−
ϕ (p) = (ϕ (p), ..., ϕ (p)).
1

n

Ta gọi ϕi : U → R, p → ϕi (p) là hàm tọa độ i của ϕ. Vì p
có m tọa độ trong Rm nên ϕi là một hàm số m biến ϕi (t1 , ..., tm ),
p = (t1 , ..., tm ).
1.2.2. Một số phép toán đại số về hàm vectơ
→
−
→
−
−
Định nghĩa 1.7. Cho →
ϕ , ψ : U → E n , f : U → R thì có các hàm
vectơ và hàm số sau đây:
→
−
→
−
→
−
→
−
−
ϕ + ψ : U → E n, p → →
ϕ (p) + ψ (p),

→
−
−
−
f→
ϕ
: U → E n , p → f (p).→
ϕ (p),
→
−
→
−
→
−
−
ϕ , ψ : U → R, p → →
ϕ (p), ψ (p) là tích vô hướng của hai
→
−
→
−
→
−
−
−
−
vectơ →
ϕ (p) và ψ (p) (còn viết →
ϕ , ψ là →
ϕ . ψ ),

→
−
ϕ

−
:U →R, p→ →
ϕ (p) .

→
−
Với n = 3 ta lấy một hướng của E 3 và có phép tích có hướng
→
−
trong E 3 .

8


Khi đó có thể xác định thêm tích có hướng của hai hàm vectơ
→
−
→
−
→
−
→
−
−
ϕ ∧ ψ : U → E 3, p → →
ϕ (p) ∧ ψ (p),

→
−
→
−
−
−
ở đó →
ϕ (p) ∧ ψ (p) là tích có hướng của hai vectơ →
ϕ (p) và ψ (p).
1.2.3. Giới hạn của hàm vectơ
→
−
−
Định nghĩa 1.8. Cho hàm vectơ →
ϕ : U → E n , điểm p ∈ U . Nói
→
−n
−
−
rằng vectơ →
v ∈ E là giới hạn của →
ϕ khi x tiến đến p trên U nếu
−
−
cho ε > 0, có δ > 0 để khi d (x, p) < δ thì →
ϕ (x) − →
v < ε, kí hiệu
−
−
lim →

ϕ (x) = →
v.

x→p,x∈U

−
−
Nhận xét 1.2. Nếu lim→
ϕ (x) = →
ϕ (p) thì nói ϕ liên tục tại p. Khi
x→p
→
−
−
ϕ liên tục tại mọi p ∈ U thì nói →
ϕ liên tục trên U .
→
−
−
Nếu đã cho một hệ tọa độ trong E n thì với →
v = (v1 , ..., vn ) ta
−
−
−
−
thấy: Tồn tại lim→
ϕ (x) = →
v khi và chỉ khi tồn tại lim→
ϕi (x) = →
vi ,

x→p
x→p
−
(i = 1, ..., n) và do đó →
ϕ liên tục tại p khi và chỉ khi ϕ liên tục tại
i

p.
1.2.4. Đạo hàm của hàm vectơ một biến
Định nghĩa 1.9. Kí hiệu J là khoảng, đoạn, nửa khoảng của R
(kể cả trường hợp J có mút ∞ hay −∞) và gọi là khoảng tổng quát
→
−
−
của R. Xét hàm vectơ →
ϕ : J → E n . Cho t ∈ J. Nếu tồn tại
o

→
−
−
ϕ (t) − →
ϕ (to ) →
lim
=−
v,
t→to
t − to

→

−
−
thì giới hạn →
v này gọi là đạo hàm của ϕ tại to và kí hiệu là ϕ (to )
−
d→
ϕ
(to ).
hay
dt
9


Thường viết ∆t = t − to và giới hạn trên được viết thành
→
−
−
ϕ (to + ∆t) − →
ϕ (to ) →
lim
=−
v.
∆t→0
∆t
→
−
→
−
Nếu cho hệ tọa độ trong E n thì ϕ (to ) (nếu tồn tại) là
→

−
ϕ (to ) = (ϕ1 (to ), ..., ϕn (to ))
Định nghĩa 1.10. Định nghĩa đạo hàm cấp cao theo quy nạp: Giả
sử ϕ(k) xác định tại lân cận to thì ϕ(k) là một hàm vectơ tại lân cận
đó và giả sử hàm này có đạo hàm tại to , kí hiệu là ϕ(k+1) (to ) thì
ϕ(k+1) (to ) = ϕ(k)

(to ).

Ta nói ϕ khả vi lớp C k tại to nếu tồn tại các đạo hàm cấp 1, 2, . . . , k
tại lân cận của to và ϕ(k) liên tục tại to .
→
− −
→
−
−
Định lý 1.1. Cho các hàm vectơ khả vi →
ϕ, ψ, →
γ : J → E n và
hàm khả vi f : J → R thì có các đẳng thức sau (khi đạo hàm ở vế
phải tồn tại thì đạo hàm ở vế trái tồn tại):
→
−
→
−
−
−
(→
ϕ + ψ) = →
ϕ +ψ ,

−
(f.→
ϕ)
→
−
→
−
ϕ, ψ

−
−
= f.→
ϕ + f .→
ϕ,
→
−
→
−
−
−
= →
ϕ, ψ + →
ϕ ,ψ ,
→
−
→
−
−
ϕ (t) = 0 , ∀t ∈ V khi và chỉ khi →
ϕ là hằng trên V , ở đó V là

lân cận liên thôn nào đó nằm trong J.
Nói riêng khi n = 3, ta có
→
−
→
−
ϕ ∧ψ

→
−
→
−
−
−
=→
ϕ ∧ ψ +→
ϕ ∧ ψ.

10


−
→
−
Định lý 1.2. Cho →
ϕ : J → E n , t → ϕ(t) và λ : I → J,
s → t = λ(s) là những ánh xạ khả vi thì
−
−
(→

ϕ ◦ λ) (s) = λ (s).→
ϕ (t).

1.3. Trường vectơ trên không gian Euclide E n
1.3.1. Vectơ tiếp xúc
−
→
Định nghĩa 1.11. Giả sử E n là không gian Euclide và E n là không
−
→
−
gian vectơ Euclide liên kết với nó. Với mỗi p ∈ E n và →
α ∈ E n,
−
cặp (p, →
α ) được gọi là một vectơ tiếp xúc với E n tại p, còn viết
→
−
−
(p, →
α ) = αp . Kí hiệu Tp E n = {p} × E n và được gọi là không gian
tiếp xúc với E n tại p. Tp E n có cấu trúc không gian vectơ Euclide
−→
một cách tự nhiên chuyển từ E n .
1.3.2. Trường vectơ tiếp xúc
→
−
Định nghĩa 1.12. Nếu U là tập mở trong E n , đặt T U = U × E n
và gọi là không gian các vectơ tiếp xúc của U , hay phân thớ tiếp
xúc trên U.

Một trường vectơ trên mở U ⊂ E n là ánh xạ
→
−
X : U → T U = U × E n,
p → X(p) ∈ Tp E n .
Như vậy, một trường vectơ X trên U là ánh xạ
→
−
X : U → T U = U × E n,
−−−→
p → X(p) = (p, X(p)).
11


−−−→
Nếu hàm X(p) là hàm vectơ hằng thì trường vectơ X được gọi
là trường vectơ song song.
1.3.3. Trường mục tiêu
Định nghĩa 1.13. Giả sử U là tập mở trong E n . Họ n trường vectơ
{X1 , ..., Xn } trên U được gọi là một trường mục tiêu nếu với mỗi
p ∈ U, {X1 (p), ..., Xn (p)} là cơ sở của không gian vectơ Tp E n . Khi
mỗi Xi là trường vectơ song song, thì trường mục tiêu {X1 , ..., Xn }
được gọi là trường mục tiêu song song.
→
−
−
−
−
Nếu {→
e 1 , ..., →

e n } là cơ sở trực chuẩn trong E n , Ei (p) = (p, →
e i ),
∀i = 1, ..., n và ∀p ∈ U , thì trường mục tiêu {E1 , ..., En } được gọi là
trường mục tiêu chính tắc trên U (ứng với cơ sở đó).

1.4. Cung tham số
Định nghĩa 1.14. Cho J là một khoảng tổng quát của R. Mỗi ánh
xạ ρ : J → E n gọi là một cung tham số trong E n . Tập điểm ρ(J)
gọi là ảnh của cung đó, còn J gọi là miền tham số của ρ.
Định nghĩa 1.15. Lấy điểm O cố định của E n ta lập được hàm
−−−→
→
−
−
−
−
vectơ →
ρ : J → E n, t → →
ρ (t) = Oρ(t). Khi đó →
ρ được gọi là hàm
bán kính vectơ của ρ ứng với gốc O.
→
−
−
Nhận xét 1.3. Giả sử →
γ : J → E n cũng là một hàm bán kính
vectơ của ρ ứng với gốc Q nào đó.
−−−→ −→ −−−→ −→ −
−
−

Vì →
ρ (t) = Oρ(t) = OQ + Oρ(t) = OQ + →
γ (t) nên →
ρ khả vi khi và
→
−
→
−
−→
−
−
chỉ khi →
γ khả vi và →
ρ (t) = (OQ) + γ (t) = γ (t).
12


Vậy tính khả vi và đạo hàm của hàm bán kính vectơ không phụ
−
thuộc vào cách chọn gốc. Vì thế người ta nói ρ khả vi khi →
ρ khả vi
−
và gọi đạo hàm →
ρ là đạo hàm của ρ. Ánh xạ ρ được gọi là khả vi
−−−→
−
lớp C k nếu hàm vectơ →
ρ (t) = Oρ(t) khả vi lớp C k .
Định nghĩa 1.16. Giả sử ρ : J → E n là một cung tham số.
Khi đó ánh xạ X : J → T E n sao cho với mỗi t ∈ J,

→
−
X(t) = ρ(t), X to ∈ Tp(t) E n được gọi là trường vectơ dọc ρ. Khi
→
−
−
−
X (t) = →
ρ (t) thì trường vectơ ρ (t) = ρ(t), →
ρ (t) được gọi là
trường vectơ tiếp xúc dọc ρ.
−−→
−
Nhận xét 1.4. Trong không gian afin nếu có →
v = OM người ta
−
còn dùng cách viết khác là M = O + →
v . Do đó biểu thức xác định
−
−
ρ còn có thể viết là ρ(t) = O + →
ρ (t) (trong đó →
ρ là một hàm vectơ
cho trước).
Nếu trong E n cho một hệ tọa độ afin (thường dùng tọa độ
trực chuẩn) (x1 , x2 , ..., xn ) thì biểu thức ρ(t) được viết dưới dạng
ρ(t) = (x1 (t), ..., xn (t)) . Ta gọi biểu thức này là biểu thức tọa độ
của ρ (hay phương trình của ρ) đối với hệ tọa độ đã cho.
Ví dụ 1.1.
1) Cung hằng: ρ(t) = Mo , ở đây Mo là một điểm cố định của E n .

−
2) Cung thẳng: ρ(t) = Mo + t→
v , (Mo là một điểm cố định của
→
−
→
−
−
E n còn →
v = 0 là một vectơ không đổi của E n ).
−
−
3) Cung tròn: ρ(t) = O + r(cost→
e1 + sint→
e2 ), (r là một hằng số
−
−
dương, (O, →
e ,→
e ) là một mục tiêu trực chuẩn của E 2 ).
1

2

13


−
−
−

−
4) Cung elip: ρ(t) = O + acost→
e1 + bsint→
e2 , (a, b > 0, (O, →
e1 , →
e 2)
là một mục tiêu trực chuẩn của E 2 ).
−
−
5) Cung hypebol: r(t) = O + acht→
e 1 + bsht→
e 2 , (a = 0,
−
−
b = 0, (O, →
e1 , →
e 2 ) là một mục tiêu trực chuẩn của E 2 . Tùy theo
a > 0 hay a < 0 mà ảnh của nó là nhánh phải hay nhánh trái của
x2 y 2
hypebol 2 − 2 = 1).
a
b
t2 →
→
−
−
−
6) Cung parabol: ρ(t) = O + t e 1 + −
e2 , (η = 0, (O, →
e1 , →

e 2 ) là
2η
một mục tiêu trực chuẩn của E 2 ).
7) Cung đinh ốc tròn (đinh ốc trụ): ρ(t) = (acost, asint, bt),
(a > 0, b = 0) (tọa độ ở đây là tọa độ Descartes vuông góc trong
E 3 ). Ảnh của cung nằm trên mặt trụ tròn xoay x2 + y 2 = a2 .
8) Cung đinh ốc nón: ρ(t) = a(tcost, tsint, t), (a = 0) (tọa độ ở
đây là tọa độ Descartes vuông góc trong E 3 ). Ảnh của cung nằm
trên mặt nón tròn xoay x2 + y 2 − z 2 = 0.
9) Cung Strophoid:
ρ(t) =

t2 − 1 t(1 − t2 )
,a 2
,a > 0
a 2
t +1
t +1

(tọa độ ở đây là tọa độ Descartes vuông góc trong E 2 ). Ta khảo sát
ảnh của cung này.
Miền xác định của ρ là J = R
Với t = ±1 suy ra x = 0, y = 0, do đó ρ(J) đi qua gốc tọa độ;
Với t = 0 suy ra x = −a, y = 0 do đó ρ(J) cắt trục hoành tại
A(−a, 0), ρ(J) nhận trục hoành làm trục đối xứng vì ρ(t) và ρ(−t)
đối xứng với nhau qua trục hoành.
14


Với x = a không có t tương ứng với x. Do đó dễ thấy ρ(J) có

tiệm cận đứng x = a và nằm trong giải −a

x

a.

1.5. Cung và cung định hướng
1.5.1. Cung
Định nghĩa 1.17. Cho hai cung tham số ρ : J → E n , γ : I → E n .
Nếu có một vi phôi λ : J → I (tức λ là song ánh khả vi mà λ−1
cũng khả vi) sao cho ρ = γ ◦ λ thì ta nói ρ tương đương với γ và
viết ρ ∼ γ. Rõ ràng quan hệ tương đương này là tương đương theo
lí thuyết tập hợp. Mỗi lớp tương đương theo quan hệ đó được gọi
là một cung.
Vi phôi λ gọi là phép đổi tham số từ ρ sang γ.
Mỗi cung tham số đại diện cho cung gọi là một tham số hóa của
cung đó.
1.5.2. Cung định hướng
Định nghĩa 1.18. Cho hai cung tham số tương đương ρ : J → E n ,
γ : I → E n . Giả sử λ : J → I là phép đổi tham số từ ρ sang γ thì
λ đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm (vì λ là vi phôi). Suy ra hoặc
λ (t) > 0 với ∀t ∈ J hoặc λ (t) < 0 với ∀t ∈ J. Nếu λ (t) > 0 ta
nói λ là phép đổi tham số bảo tồn hướng và nói ρ và γ cùng hướng.
Nếu λ (t) < 0 ta nói λ là phép đổi tham số đảo hướng và nói ρ và
γ ngược hướng. Rõ ràng quan hệ cùng hướng là một quan hệ tương

15


đương theo lí thuyết tập hợp. Mỗi lớp tương đương theo quan hệ

này gọi là một cung định hướng.
Vậy cung định hướng là tập hợp tất cả các cung tham số tương
đương cùng hướng với một cung tham số ρ : J → E n . Ta gọi
ρ : J → E n là một đại diện hay một tham số hóa của cung định
hướng đó.
Nhận xét 1.5. Hai cung định hướng được gọi là ngược hướng nếu
có hai tham số hóa ngược hướng.
Từ đây trở đi ta nói cho cung (hay cho cung định hướng) ρ(Γ)
cũng có nghĩa là cho một tham số hóa ρ : J → E n của nó.

1.6. Cung chính quy
1.6.1. Điểm chính quy, điểm kì dị
Định nghĩa 1.19. Cho cung Γ có tham số hóa ρ : J → E n . Điểm
ρ(to ) (nói tắt là điểm to ) được gọi là điểm chính quy của ρ nếu
→
−
ρ (to ) = 0 . Nếu điểm ρ(to ) mà không chính quy thì được gọi là
điểm kì dị.
1.6.2. Cung chính quy, một dìm
Định nghĩa 1.20. Một cung mà mọi điểm của nó đều là điểm chính
quy được gọi là cung chính quy.
→
−
Định nghĩa 1.21. Khi ρ (to ) = 0 , ánh xạ ρ được gọi là một dìm
tại to . Ánh xạ ρ được gọi là một dìm nếu nó là dìm tại mọi điểm.
16


1.7. Cung song chính quy
Định nghĩa 1.22. Cho cung Γ có tham số hóa ρ : J → E n ,

t → ρ(t). Điểm ρ(to ) (nói tắt là điểm to ) được gọi là điểm song
chính quy của cung nếu ρ (to ) và ρ (to ) độc lập tuyến tính. Nếu mọi
điểm của cung đều song chính quy thì cung gọi là cung song chính
quy.

1.8. Cung hình học
1.8.1. Cung hình học
Định nghĩa 1.23. Cho cung tham số chính quy ρ : J → E n . Nếu
ρ : J → ρ(J) ⊂ E n là một dìm và là một đồng phôi lên ρ(J) (đồng
phôi là một song ánh liên tục và ánh xạ ngược cũng liên tục) thì
tập điểm ρ(J) gọi là một cung hình học còn ρ gọi là một tham số
hóa của cung hình học đó.
Nếu ρ : J → ρ(J) là một đồng phôi thì người ta còn nói
ρ : J → E n là một đồng phôi lên ảnh.
Ở đây ρ(J) được xét với tôpô cảm sinh từ tôpô trong E n .
Ví dụ 1.2.
1) Đường thẳng, đường parabol, một nhánh của hypebol, đường
đinh ốc tròn, đường đinh ốc nón là những cunh hình học.
2) Đường tròn, đường elip, đường hypebol không phải là cung
hình học mà chỉ là ảnh của cung tham số.

17


1.8.2. Cung tham số kiểu đồ thị
Định nghĩa 1.24. Trong E n cho một hệ tọa độ afin (x1 , ..., xn ).
Cung tham số ρ : J → E n mà tham số là một tọa độ nào đó, chẳng
hạn ρ(x1 ) = (x1 , x2 (x1 ), ..., xn (x1 )), gọi là cung tham số kiểu đồ thị.
Ảnh ρ(J) còn gọi là đồ thị của ánh xạ ρ.
Định lý 1.3. Ảnh của một cung tham số kiểu đồ thị là một cung

hình học.
Chứng minh. Cho cung ρ(t) = (t, x2 (t), ..., xn (t)) đối với hệ tọa độ
→
−
afin của E n . Vì ρ (t) = (1, x2 (t), ..., xn (t)) = 0 nên ρ là cung chính
quy.
Ta thấy ρ là đơn ánh. Thật vậy, nếu ρ(t1 ) = ρ(t2 ), tức là
(t1 , x2 (t1 ), ..., xn (t1 )) = (t2 , x2 (t2 ), ..., xn (t2 )) thì t1 = t2 . Do ρ khả
vi nên nó liên tục.
Xét ρ−1 : ρ(J) → J, (t, x1 (t), ..., xn (t)) → t.
Lấy điểm Mo = (to , x2 (to ), ..., xn (to )) ta chứng minh ρ−1 liên tục tại
Mo . Cho ε > 0 lấy σ = ε thì với mọi điểm M = (t, x2 (t), ..., xn (t))
sao cho d(M, Mo ) < σ = ε đều có
d ρ−1 (M ), ρ−1 (Mo ) = |t − to | ≤

(t − to )2 + ... + (xn (t) − xn (to ))2

= d(M, Mo ) < ε
Vậy ρ−1 liên tục tại Mo .
Vì ρ là đơn ánh liên tục và ρ−1 : ρ(J) → J liên tục nên ρ là đồng
phôi lên ảnh.
Vậy ρ(J) là một cung hình học.
18


Định lý 1.4. Cho cung hình học có tham số hóa ρ : J → E n . Với
mỗi to ∈ J có lân cận I của to , I ⊂ J và một cung tham số kiểu đồ
thị ρ˜ : I → E n tương đương với ρ hạn chế trên I. (Nói tắt: tại một
điểm bất kì của cung hình học đều có một lân cận được xác định
bởi một tham số hóa kiểu đồ thị).

Chứng minh. Lấy một hệ tọa độ afin của E n và giả sử
→
−
ρ(t) = (x1 (t), ..., xn (t)). Vì ρ (to ) = 0 nên có thể giả sử x1 (to ) = 0.
Theo định lý hàm ngược, có lân cận A của x1 (to ) để với mọi X1 ∈ A
đều có thể tìm được t sao cho x1 (t) = X1 , ta viết t = g(X1 ), trong
đó g là một hàm khả vi và g : A → g(A) là một vi phôi.
Do đó ρ(t) = ρ (g(X1 )) = (X1 , X2 .g(X1 ), ..., Xn .g(X1 )) là một
cung tham số kiểu đồ thị, có miền tham số A. Đặt I = g(A) thì hệ
thức ρ˜ = ρ ◦ g chứng tỏ rằng ρ˜ và ρ hạn chế trên I là tương đương
bởi phép đổi tham số g : A → I = g(A).
Định lý 1.5. Hai tham số hóa bất kì của một cung hình học luôn
luôn tương đương.
Chứng minh. Cho hai tham số hóa ρ : J → E n , t → ρ(t) và
r : I → E n , u → r(u) của cùng một cung hình học Γ ⊂ E n thì
ρ(J) = r(I) = Γ. Vì ρ và r là những đồng phôi nên có thể lập ánh
xạ λ = ρ−1 ◦ r : I → J, λ(u) = t và λ là một đồng phôi. Chỉ cần
chứng minh rằng λ và λ−1 khả vi thì λ là một vi phôi và do đó ρ
tương đương với r.

19


Muốn vậy lấy một hệ tọa độ afin của E n . Giả sử cung r có phương
trình tham số r(u) = (x1 (u), ..., xn (u)). Với uo ∈ I, to = λ(uo ) có lân
cận V (to ) để có thể xem ρ là cung tham số kiểu đồ thị tại lân cận đó
(xem định lý 1.5); nghĩa là tại lân cận V , cung ρ có phương trình
tham số dạng ρ(t) = (t, y2 (t), ..., yn (t)). Vì r = ρ ◦ λ nên tại λ−1 (V )
ta có
r(u) = ρ ◦ λ(u) = (λ(u), y2 (λ(u)), ..., yn (λ(u)))

= (x1 (u), x2 (u), ..., xn (u)) .
Suy ra λ(u) = x1 (u). Vì x1 , ..., xn là những hàm khả vi nên λ = x1
là hàm khả vi tại uo ∈ λ−1 (V ).
Một cách tương tự ta cũng chứng minh được λ−1 là hàm khả vi
tại to ∈ V .

1.9. Đường hình học
1.9.1. Đường hình học
Định nghĩa 1.25. Tập điểm γ của E n được gọi là một đường hình
học hay một đa tạp một chiều (sau này gọi tắt là đường hay là đa
tạp một chiều) nếu với mỗi điểm M ∈ γ có một tập mở U của E n
chứa M sao cho U ∩ γ là một cung hình học. Mỗi tham số hóa của
cung hình học này gọi là một tham số hóa địa phương tại M của γ.
Ví dụ 1.3.
1) Mỗi cung hình học là một đường hình học.

20


2) Đường tròn, đường elip, đường hypebol là những đường hình
học.
3) Đường gấp khúc, hai đường tròn tiếp xúc nhau không phải là
đường hình học.
1.9.2. Dấu hiệu nhận biết một tập điểm là đường hình học
a. Dấu hiệu trong E 2
Cho hệ tọa độ afin (x, y) của E 2 . Tập điểm γ của E 2 là một
đường hình học khi và chỉ khi tại mỗi điểm Mo của γ có một tập
mở U của E 2 chứa Mo và một hàm khả vi F : U → R sao cho tại
mỗi điểm M (x, y) ∈ U ta có:
∂F

∂x

2

+

∂F
∂y

2

= 0 và U ∩ γ = {M (x, y) ∈ U : F (x, y) = 0}.

b. Dấu hiệu trong E 3
Cho hệ tọa độ afin (x, y, z) của E 3 . Tập điểm γ của E 3 là một
đường hình học khi và chỉ khi tại mỗi điểm Mo của γ có một tập
mở U của E 3 chứa Mo và hai hàm khả vi F : U → R, G : U → R
sao cho tại mỗi điểm M (x, y, z) ∈ U

∂F ∂F
 ∂x ∂y
rank  ∂G
∂G
∂x ∂y

ta có:

∂F
∂z  = 2
∂G 

∂z

và
U ∩ γ = {M (x, y, z) ∈ U : F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0} .

21


1.10. Đường xác định bởi phương trình ẩn
1.10.1. Đường xác định bởi phương trình ẩn trong E 2
Định nghĩa 1.26. Trong E 2 cho mục tiêu tọa độ afin Oxy, tập
mở U và hàm khả vi F : U → R, M (x, y) → F (x, y). Tập hợp γ
các điểm M (x, y) có tọa độ thỏa mãn phương trình F (x, y) = 0
được gọi là đường phẳng xác định bởi phương trình ẩn F (x, y) = 0.
Điểm Mo (xo , yo ) ∈ γ gọi là điểm chính quy hay điểm kì dị tùy theo
2
2
∂F
∂F
+
khác 0 hay bằng 0.
∂x Mo
∂y Mo
1.10.2. Đường xác định bởi phương trình ẩn trong E 3
Định nghĩa 1.27. Trong E 3 cho hệ tọa độ afin Oxyz, tập mở
U ⊂ E 3 và hai hàm số khả vi
F : U → R, M (x, y, z) → F (x, y, z)
G : U → R, M (x, y, z) → G(x, y, z).
Tập hợp γ các điểm M (x, y, z) thỏa mãn hệ phương trình



F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0
được gọi là đường xác định bởi phương trình ẩn {F = 0, G = 0}.
Điểm M (x, y, z) ∈ γ được gọi lần lượt là điểm chính quy hoặc


∂F ∂F ∂F
 ∂x ∂y ∂z 
điểm kì dị tùy theo ma trận  ∂G
∂G ∂G  có hạng bằng 2 hay
∂x ∂y ∂z
nhỏ hơn 2.
22