TRNG I HC S PHM H NI 2
KHOA TON

LI CM N
----------------


Trong thi gian thc hin khúa lun tt nghip, di s ch bo
tntỡnhcathyhngdnvcphớanhtrngtoiukinthun
li,emócúmtquỏtrỡnhnghiờncu,tỡmhiuvhctpnghiờmtỳc
honthnhkhúalun.Ktquthuckhụngchdonlccabn
thõnmcũncúsgiỳpcaquýthycụ,giaỡnhvcỏcbn.
Em xin by t lũng bit
n chõn
ti cỏc thy cụ trong t
HONG
TH thnh
HI Lí
hỡnhhc,cỏcthycụvcỏcbnsinhviờntrongkhoaónhittỡnhch
dn,gúpý,cngtỏc,giỳpemtrongsutthigianhctp,nghiờncu
hon thnh khúa lun. c bit l thy Trn Vn Ngh, thy ó tn
tỡnhhngdn,chbo,htremhonthnhkhúalunny.

H Ni, thỏng 5 nm 2013

CUNG PHNG, CUNG HèNH
Sinhviờn HC,
A TP MT CHIU V
DNG
HongNG
Th Hi Lý

khóa luận tốt nghiệp đại học

Chuyờn ngnh: Hỡnh hc


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận được hoàn thành dưới sự tìm hiểu, nghiên cứu của bản 
thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Trần Văn Nghị. 
Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiên cứu của một số 
nhà  khoa  học.  Em  xin  khẳng  định kết  quả  của khóa luận  này  là không 
sao chép từ bất kì đề tài nào. Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời 
cam đoan của mình. 

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên 

Hoàng Thị Hải Lý


MỤC LỤC
 
MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1 
Chương 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................................... 3 
0.1. Cung tham số ................................................................................... 3 
0.2. Cung chính quy ............................................................................... 4 
0.3. Cung chính quy và mặt phẳng mật tiếp ............................................ 8 
0.4. Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong  3  ................................ 11 
Chương 1. CUNG PHẲNG (CUNG TRONG   2 ) ............................... 12 

1.1. Công thức Frénet của cung song chính quy định hướng trong   2 12 
1.2. Định lý cơ bản về lý thuyết đường trong   2  ............................... 19 
1.3. Một số dạng bài tập .................................................................... 22 
Chương 2. CUNG HÌNH HỌC VÀ ĐA TẠP MỘT CHIỀU ................. 38 
2.1 Cung hình học ............................................................................. 39 
2.2. Đa tạp một chiều ........................................................................ 42 
2.3 Đường xác định bởi phương trình ẩn ........................................... 45 
2.4 Một số dạng bài tập ..................................................................... 51 
KẾT LUẬN .......................................................................................... 78 


MỞ ĐẦU
 
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là môn khoa học đi nghiên cứu về tính chất định tính và 
định  lượng  của  các  hình.  Tùy  vào  các  phương  pháp  nghiên  cứu  khác 
nhau mà có những ngành hình học khác nhau như Hình học Afin, Hình 
học  Xạ ảnh,  Hình học  Vi phân,  Hình học  giải tích,  Hình học đại số,… 
Hình học Vi phân là ngành hình học ứng dựng phép tính vi phân vào giải 
quyết các  bài toán hình học,  ở đó các khái  niệm  về cung chính quy  và 
cung song chính quy là những khái niệm ban đầu để tiếp cận lý thuyết 
đường trong  3 . 
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về cung phẳng, cung hình học, 
đa tạp một chiều cũng như ứng dụng của các đối tượng này và được sự 
hướng  dẫn  của  thầy  hướng  dẫn,  em  đã  quyết  định  chọn  đề  tài  “Cung 
phẳng, cung hình học, đa tạp một chiều và ứng dụng” để trình bày trong 
khóa luận tốt nghiệp đại học. Hy vọng, khóa luận này sẽ là một lài liệu 
cho các bạn sinh viên khóa sau trong việc học tập và nghiên cứu. 
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của đề tài là hệ thống lại những lý thuyết cơ bản 

và  phân  dạng  các  bài  tập  một  cách  chi  tiết  về  cung  cung  phẳng,  cung 
hình học và đa tạp một chiều. 
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Kiến thức về cung phẳng, cung hình học và đa tạp một chiều. 
3.2. Phạm vi nghiêm cứu
Lý thuyết và bài tập về cung phẳng, cung hình học và đa tạp một 
chiều. 

1


4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống lại những lý thuyết cơ bản; 
Phân loại, hệ thống các dạng bài tập về cung phẳng, cung hình học 
và đa tạp một chiều. 
5. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích, tổng hợp, hệ thống kiến thức. 
Nghiên cứu tài liệu. 
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 3 chương: 
Chương 0: Kiến thức chuẩn bị 
Chương 1: Cung phẳng (cung trong   2 ) 
Chương 2: Cung hình học và đa tạp một chiều 

2


Chương 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ


0.1. Cung tham số
0.1.1. Định nghĩa
. Mỗi ánh xạ   : J  E n  gọi là một 

Cho  J  là một khoảng trong 

cung tham số  trong   n .  Tập  điểm    J    gọi  là  ảnh của  cung đó  và  J  
được gọi là miền tham số của   . 
Lấy điểm    cố định trong   n , ta gọi hàm vectơ 



 : J   n , t    t     t   
là hàm bán kính vectơ của    ứng với gốc   . 
0.1.2. Ví dụ
1) Cung hằng:    t   M 0 , ở đây  M 0  là một điểm cố định của   n . 

2) Cung  thẳng:    t   M 0  tv   ( M 0   là  điểm  cố  định  của   n   và 

 
v  0  là một vectơ không đổi của  n ). 


3) Cung  tròn    t     r cos te1  sin te2   ( r   là  hằng  số  dương 





 

và  , e1 , e2  là một mục tiêu trực chuẩn của   2 ). 





 
4) , e1 , e2  là một mục tiêu trực chuẩn của   2 , cung Elip: 









  t     a cos te1  b sin te2 ,  a, b  0 . 


 
5) Cung  hypebol:  r  t     achte1  bshte2 ,  ( , a, b  0 , , e1 , e2  





là một mục tiêu trực chuẩn của   2 . Tùy theo  a  0  hay  a  0  mà ảnh của 

x2 y 2

nó là nhánh phải hay nhánh trái của hypebol  2  2  1 ). 
a
b

3


 t 
 
6) Cung  parabol:    t     te1 
e2 ,  (  0 , , e1 , e2   là  một 
2





mục tiêu trực chuẩn của   2 ). 
7) Cung  đinh  ốc  nón:    t   a  cos t , t sin t , t  ,  a  0    (tọa  độ  ở 
đây  là  tọa  độ  Descartes  vuông  góc  trong  3 ).  Ảnh  của  cung  nằm  trên 
mặt nón tròn xoay  x 2  y 2  z 2  0 . 
0.2. Cung chính quy
0.2.1. Cung, cung định hướng


Cho hai cung tham số   : J  E n ,   : I  E n . Nếu có một vi phôi 

 : J  I   (tức  là     là  song  ánh  khả  vi  mà   1   cũng  khả  vi)  sao  cho 

      thì ta nói    tương đương với    và viết    . Quan hệ cùng 

hướng  ở  đây  là  quan  hệ  tương  đương  theo  lí  thuyết  tập  hợp.  Mỗi  lớp 
tương đương theo quan hệ đó được gọi là một cung. 


Cho hai cung tham số tương đương   : J   n ,  : I   n . Giả sử 

 : J  I   là  phép  đổi  tham  số  từ     sang     thì     đơn  điệu  tăng  hoặc 
đơn điệu giảm (vì    là vi phôi). Suy ra hoặc   ' t   0   t  J   t  hoặc 

' t 0  t  J . 
Nếu   '  t   0  ta nói    là phép đổi tham số bảo tồn hướng hay    
và    cùng hướng.  Nếu   '  t   0   thì ta nói    là phép đổi tham số đảo
hướng hay    và    ngược hướng. Quan hệ tương đương ở đây là quan 
hệ tương đương theo lí thuyết tập hợp. Mỗi lớp tương đương theo quan 
hệ đó gọi là một cung định hướng. 
Vậy  cung  định  hướng  là  tập  hợp  tất  cả  các  cung  tham  số  tương 


đương cùng hướng với một cung tham số   : J   n . Ta gọi   : J   n  
là một đại diện hay một tham số hóa của cung định hướng đó. 

4


0.2.2. Điểm chính quy, điểm kì dị
Cho cung    có tham số hóa   : J  n . Điểm    t0   gọi là điểm

chính quy  của     nếu   '  t0   0 .  Nếu  điểm    t0    không  là  điểm  chính 
quy thì    t0   được gọi là điểm kì dị. 
0.2.3. Cung chính quy, tiếp tuyến, pháp tuyến, pháp diện

Một cung mà mọi điểm của nó đều là điểm chính quy được gọi là 
cung chính quy. 
Giả sử    t0   là điểm chính quy của cung   . 
Tiếp tuyến của    tại    t0   là đường thẳng đi qua    t0   có vectơ 
chỉ phương là   '  t0  . 
Pháp tuyến của    tại    t0   là đường thẳng đi qua    t0   và vuông 
góc với tiếp tuyến.
Pháp diện của    tại    t0   siêu phẳng đi qua    t0   và vuông góc 
với tiếp tuyến tại    t0  .
0.2.4. Độ dài và tham số hóa tự nhiên của cung chính quy
a) Độ dài cung
Cho  cung   :  a, b    n   (cung đoạn).  Chia   a, b    thành  những 


k 
đoạn  bởi  dãy  điểm  a  t0  t1  ...  tk  b   rồi  lập  tổng     t j 1    t j   
j 1

(tổng này gọi là độ dài đường gấp khúc “nội tiếp” ảnh của   ). 
Nếu tăng số điểm chia lên thì tổng đó tăng lên (tính chất bất đẳng 
thức trong tam giác). 

5


 k  
Xét tất cả các phép chia như trên và xét tập số     t j 1    t j   . 
 j 1



Nếu tập số này có cận trên đúng (tức là supremum). Ta gọi cận trên đúng 
này là độ dài của cung đã cho và kí hiệu là      . 
Định lí. Nếu  cung   :[a, b]  E n   khả  vi  tới  lớp  C 1   (tồn  tại  đạo 
hàm   '  t   liên tục) thì nó có độ dài cung và độ dài cung là  
b

        t  dt . 
'

a

b) Tham số hóa tự nhiên
Định nghĩa. Tham  số  hóa  r : J   n ,  s  r  s    của  một  cung 
chính quy được gọi là một tham số hóa tự nhiên nếu  r '  s   1  với mọi 

s  J . 
Tính chất.
a) Nếu  r : J   n ,  s  r  s   là một tham số hóa tự nhiên của một 
cung chính quy thì   r s1 ,s2   s2  s1 . 





b)  Nếu  r : J   n ,  s  r1  s    và  r2 : J 2   n ,  u  r2  u    là  hai 
tham số hóa tự nhiên của cùng một cung chính quy thì  u   s  C  ( C  là 
một hằng số). 
c)  Nếu  r1 : J1   n , t    t    là  một  tham  số  hóa  bất  kì  của  một 
cung chính quy thì có thể đổi tham số  t  sang tham số  s  theo công thức 
t


s    '  t  dt  t0  J   
t0

để  s   là tham  số tự nhiên  của  cung.  (Do  công thức  này nên tham số  tự 
nhiên còn được gọi là tham số độ dài cung).

6


0.2.5. Độ cong của cung chính quy và ý nghĩa hình học của độ
cong
a) Công thức tính độ cong
Cho cung chính quy với tham số hóa tự nhiên  r : J   3 , t  r  t  . 
Đặt    t   r '  t   thì    t   1 . Số  k  t     t   được gọi là độ cong của 
cung tại điểm  r  t  . 
Công thức tính độ cong của cung chính quy trong  3 . 
Cho cung chính quy với tham số hóa bất kì   : J   3 , t  p  t  . 
Lấy một tham số hóa tự nhiên của nó  r : I   3 , s  r  s   mà   : J  I  
là phép đổi tham số từ  t  sang  s  thì   : r   ,  s    t  . Ta có: 

   t    r    t 

 
  '  t   r '  s  . '  t 

  ''  t   r '  s  . ''  t   r ''  s  . '  t  .
Suy ra   '  t   r '  s  .  '  t    '  t   (do  r  s   1) và  

 '  t    ''  t    r '  s   r ''  s   . '3  t  . 

Vì  r  s   1 nên  r ''  s   r '  s  . Do đó, 
3

 '  t    ''  t    r '  s   r ''  s   .  '  t   
3

 r '  s  . r ''  s  . sin  r '  s  , r ''  s   .  '  t   
3

 r ' s  .  ' t   T ' s  .  ' t   
3

3

 k  s .  't   k  t .  ' t   
Vậy 
k t  

 '  t    " t 
 ' t 

7

3

. 


b) Ý nghĩa hình học của độ cong
 


Đặt    T  s , T  s  s   ta chứng minh rằng  k  s   lim 
. 
s 0
s





Thật vậy, áp dụng định nghĩa đạo hàm ta có 
  2
 2  2 
T
 s  s   T  s    
k 2  s   T '  s   T '  s    lim

 s  0


s


 
2  2T  s .T  s  s 
2 1  cos 
 
 lim
 lim
s 0

s 0
s
s 2
 







2
sin


2  lim
2 .     lim      vì lim
2  1 . 
 lim
 

2
2 
s 0
s 0

 
    2   s0 s   s0   
 



 
 
2


2
2

4sin 2

 



sin 2

Do đó,  k  s   lim 
s  0


s



2

2

,    được đo bằng rađian. 


0.3. Cung song chính quy và mặt phẳng mật tiếp
0.3.1. Cung song chính quy
Cho  cung     có  tham  số  hóa   : J  E n , t    t  .  Điểm    t0   
được  gọi  là  điểm song chính quy  nếu   '  t0    và   " t0    độc  lập  tuyến 
tính. 
Nếu mọi điểm của cung đều là điểm song chính quy thì cung đó 
đuợc gọi là cung song chính quy. 
0.3.2. Mặt phẳng mật tiếp
Cho cung   : J   n    n  2   và    t0   là điểm song chính quy của 
cung.  Mặt phẳng      đi qua    t0    có  không  gian  chỉ  phương  sinh  bởi 
 
 '  t0 ,  " t0   được gọi là mặt phẳng mật tiếp của cung tại điểm    t0  . 





Điểm    t0   được gọi là tiếp điểm của     với   . 

8


0.3.3. Pháp diện và mặt phẳng trực đạc tại điểm song chính quy
của cung trong 3
Cho cung   : J  3  có điểm song chính quy    t0  . Gọi    là tiếp 
tuyến của    tại    t0  , gọi  p  là pháp tuyến chính của    tại    t0  . Khi 
đó, đường thẳng  b  đi qua    t0   vuông góc với cả    và  p  gọi là trùng
pháp tuyến của cung tại    t0   (“trùng” là hai lần vuông góc). 
Mặt phẳng chứa  p  và  b  được gọi là mặt phẳng pháp diện. 

Mặt phẳng chứa    và  p  được gọi là mặt phẳng mật tiếp. 
Mặt phẳng chứa    và  b  được gọi là mặt phẳng trực đạc. 
0.3.4. Mục tiêu Frénet và công thức tính độ cong và độ xoắn của
cung song chính quy đối với một tham số hóa bất kỳ
Trong  3 , cho cung song chính quy định hướng    (có hướng) xác 
định bởi một tham số hóa   : J  3 ,  t    t  . Lấy một tham số hóa tự 
nhiên  r : I  3 ,  s  r  s   của    thì có phép đổi tham số   : J  I  để 

  r    (   0 ). 
Gọi  T , N , B  là trường mục tiêu Frénet dọc   ; coi nó là trường 
mục tiêu dọc theo cung tham số  r  và coi độ cong, độ xoắn của    là hàm 
dọc theo  r  (tức hàm số trên  I ) thì công thức Frénet cho: 

T  r ' , 

DT Dr '
DN
DB

 kN , 
 kT   B , 
  N .  
ds
ds
ds
ds

Ta có:  

 '   '  r      ' T     (nên   '   ' ), 

 DT

  
 ds


 ''   '' T      '2 
 

  '' T      '2  K    N    . 

9


Từ đó, ta có 

 '  ''   '3  k   T      N     
 '

 
nên   K   

3

 k    B     

 '  ''
'

3


 hay  k  t  

 '  t    ''  t 
 ' t 

3

. 

Để  tính  độ  xoắn   ,  ta  hãy  tính    '  '' . ''' .  Do   '  ''   cùng 

 

phương với  B    nên để tính    '  ''  . ''' , chỉ cần xét thành phần chứa 
B     trong  khai  triển   '''   theo  T   , N   , B   .  Cụ  thể  từ 

''  ''T    '2  k   N   .  Suy  ra  thành  phần  chứa  B     của   '''   là 
 '3  k       B    . Vậy    '  '' . '''   '

  

6

2

 k        . Do đó, 

  '  "  '''  hay 
 '  "


2

 t  

  ' t    " t    ''' t  . 
 '  t    " t 

2

0.3.5. Ý nghĩa hình học của độ xoắn
Ta  đã  biết  B  t    là  vectơ  pháp  tuyến  của  mặt  phẳng  mật  tiếp  tại 

  t   của cung   . Gọi    là góc giữa hai mặt phẳng mật tiếp của cung tại 
  t    và    t  t    thì     bằng  góc  giữa  hai  trùng  pháp  tuyến  tại  các 
điểm tương ứng ( 0   


2

). Ta chứng minh rằng    t   lim

t  0


t

. 

Thật vậy, 

2

2

 B  t  t   B  t  

B  t  t   B  t  
  t   B '  t    lim
 lim 
 

t
t 2
 t 0
 t 0
2

2

10


 lim

t 0

 2  2cos 
t 2

 lim


t  0

Suy ra    t   lim

 

2
sin


2  lim
2 .    lim    
 
 

t 0
t 2
t   t 0 t 

 2


4sin 2

2

t  0



t



. 

0.4. Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong 3  
Cho  hai  hàm  số  k   và     (khả  vi  tới  lớp  C n ,  n  0 )  trên  khoảng 
J

 và  k  có giá trị dương. Khi đó: 
1) Có tham số hóa tự nhiên  r : J  3  (khả vi lớp  C n 2 ) của một 

cung song chính quy định hướng trong  3  (có hướng) nhận  k  và    làm 
độ cong và độ xoắn. 
2)  Nếu  có  hai  tham  số  hóa  r   và     của  hai  cung  như  thế  thì  có 
đẳng cấu afin trực giao bảo tồn hướng tức một phép dời hình  f  của  3  
mà  r  f. .  

11


Chương 1. CUNG PHẲNG (CUNG TRONG  2 )
1.1. Công thức Frénet của cung song chính quy định hướng trong 2
1.1.1. Định nghĩa

 
  Trong   2  cho một hướng xác định bởi một cơ sở vectơ  (e1 , e2 )  của 
 2
không gian vectơ Euclide liên kết    và một cung chính quy định hướng 


 có tham số hóa tự nhiên  r : J   2 . Kí hiệu:  
T  s   r '  s   T  s   1, T '  s   T  s  ; 
N  s   là vectơ đơn vị vuông góc với  T  s   sao cho   N  s  , T  s    

tạo  thành  cơ  sở  của  không  gian  tiếp  xúc  với   2   tại  r  s    cùng 
 
hướng với  (e1 , e2 ) .  




T '( s )
  Vậy  nếu  T '  s   0   thì  N ( s)  
,  dấu  cộng  hay  dấu  trừ  tùy 
T '( s )

 
theo  (T ( s), T '( s))   và  (e1 , e2 )   cùng  hướng  hay  ngược  hướng.  Hệ 
(T ( s ), N ( s)) là một trường mục tiêu trực chuẩn dọc  r , ta gọi nó là trường 

mục tiêu Frénet của cung định hướng   . Gọi  N ( s)   là pháp vectơ chính, 
còn  T ( s)  là tiếp vectơ đơn vị tại mỗi điểm. 
 Vì  N ( s)  và  T ( s )  cùng phương nên có thể viết 
T '( s)  k ( s).N ( s) . 

  Số  k ( s)   gọi  là  độ cong đại số  của  cung  định  hướng   tại  điểm 
 
r ( s ) ,  ứng  với  hướng  (e1 , e2 )   của   2 .  Rõ  ràng  rằng  | k ( s) |   là  độ  cong 
k ( s) , do đó  | k ( s) |  gọi là độ cong tuyệt đối của    tại  r ( s) . 


12


  Từ  T ( s ).N ( s )  0   ta  có  T '.N  T .N '  0 .  Từ  N 2  1   ta có  N '  N  
tức là  N '  T . Vậy có thể viết  N '  x.T . Do đó,  0  ( kN ).N  T ( xT )  k  x  
suy ra  x  k . Vậy  N '  kT . Tóm lại, ta có công thức  
T '( s )  k ( s ) N ( s ),
 
N '( s )  k ( s )T ( s ).

  Công  thức  này  gọi  là  công thức Frénet của  cung  định  hướng    
 
ứng với hướng  (e1 , e2 )  của   2 . 
1.1.2. Công thức tính độ cong đại số của cung định hướng trong  2
 
  Trong   2   cho  một  hướng  xác  định  bởi  cơ  sở  trực  chuẩn  (e1 , e2 )  
 2
của không gian vectơ liên kết    và một cung chính quy định hướng có 
tham số hóa bất kỳ   : J   2 ,  t   (t ) . Giả sử  r : I   2 ,  s  r ( s)  là 
một tham  số  hóa tự nhiên của  cung đã cho.  Gọi  T ( s), N (t )  là trường 
 
mục tiêu Frénet dọc  r  ứng với hướng  (e1 , e2 )  của   2  thì độ cong đại số 

k  của  r  xác định bởi  T '( s)  k ( s).N ( s) . 
  Gọi  s : J  I , t  s (t )   là  phép  biến đổi  tham  số  (bảo  tồn hướng) 
từ    sang  r  thì    r  s  với  s '(t )  0 . Khi đó, 

 '(t )  r '( s).s '(t )  T ( s).s '(t )   '(t )  s '(t ).
 "(t )  r "(t ).s '2 (t )  r '(t ).s "(t )  T '( s).s '2 (t )  T ( s).s "(t )

 k ( s ).N ( s ).s '2 (t )  T ( s ).s "(t )

  

2

 k ( s ).  '(t ) .N ( s )  s "(t ).T ( s ).

 
 

2

Suy ra   "(t ).N ( s )  k ( s)  '(t )  (do  N 2 ( s )  1, T ( s ).N ( s )  0 ). 

  Vậy 
k (t ) 

 "(t ). N  s  (t )
 '(t )

13

2

. 


 
  Với gốc    chọn tùy ý, xét mục tiêu trực chuẩn  (, e1 , e2 ) , phương 


trình tham số của    có dạng   (t )  ( x(t ), y (t )) . Do đó, 

 '(t )   x '(t ), y '(t )  ,   "(t )   x "(t ), y "(t )  , 
T (t ) 

 '(t )
 x '(t ), y '(t )  .  

 '(t )
x '2 (t )  y '2 (t )

  Để lấy được vectơ đơn vị  N (t )  T (t )  mà  (T , N )  cùng hướng với 
 
(e1 , e2 )  ta phải chọn  N (t ) 

  y '(t ), x '(t ) 
2

2

 để  

x ' (t )  y ' (t )

det(T , N ) 

x' y'
1
 1  0 . 

 y ' x ' x '2  y '2

  Thay vào công thức trên ta được  k (t ) 

x' y'
x" y "
2 3

(t ) . 

x'  y' 
2

1.1.3. Đường tròn mật tiếp, cung túc bế, cung thân khai
a) Đường tròn mật tiếp
 
  Trong   2  cho một hướng xác định bởi một cơ sở trực chuẩn  (e1 , e2 )  

của  r : J  E 2 ,  s  r (s) . Gọi  (T , N )  là trường mục tiêu Frénet của  r  ứng 
với hướng đã chọn của   2  và  k  là độ cong đại số của  r  thì  k  0  (vì  r song 
chính quy). 
  Với mỗi điểm  M 0  r ( s0 )  r ( J )  ta lấy được điểm  M  trong   2 sao 


cho  M 0 M   cùng  hướng  với  T '( s0 )   và  có  độ  dài  M 0 M 

T '( s0 )  k ( s0 ).N ( s0 )   mà  k ( s0 ) N ( s0 )   cùng  hướng  với 


suy ra  M 0 M 


1 
N ( s0 ) . 
k ( s0 )

14

1
.  Vì 
k ( s0 )

1
N ( s0 )   nên 
k ( s0 )


  Điểm  M gọi là tâm chính khúc hay tâm cong của cung  r  tại điểm 

r ( s0 ) .  Đường  tròn  S   tâm  M ,  bán  kính  M 0 M 

1
  gọi  là  đường
k ( s0 )

tròn mật tiếp cung  r  tại điểm  r ( s0 ) .  
  Bán kính 

1
 của  S  gọi là bán kính chính khúc hay bán kính
k ( s0 )


cong của cung  r  tại điểm  r ( s0 ) . 
  Nhận xét 
1. Khi  thay  đổi  hướng  của  đường  tham  số  thì  r '   đổi  hướng,  r "  
không đổi hướng,  N  đổi hướng và  k  đổi dấu. Từ đây suy ra tâm đường 
tròn mật tiếp không phụ thuộc vào hướng của đường tham số. 
2. Giả  sử  r : J  E 2 , s  r ( s )   là  đường  tham  số  với  tham  số  bất 
kỳ. Gọi   X ( s ), Y ( s )   là tọa độ của tâm đường tròn mật tiếp tại  s .Ta có  
( x ')2  ( y ')2 
 X , Y    x, y  
  y ', x ' . 
x ' y " x " y '

  Do đó, 

( x ') 2  ( y ') 2 
y'
X  x 
x ' y " x " y '

 

2
2


(
x
')


(
y
')



Y  y  x ' y " x " y ' x '.


b) Cung túc bế, cung thân khai
Trong   2  cho hai cung song chính quy xác định bởi hai tham số 
hóa   : J   2 ,  t   (t )   và   : J   2 ,  t   (t ) .  Nếu  với  mỗi  t  J  
pháp tuyến của    tại   (t )  là tiếp tuyến của    tại   (t )  thì ta nói    là 
cung túc bế của    và cũng nói    là cung thân khai của   . 
 
15


c) Cách tìm cung túc bế
Cho  cung  song  chính  quy  của   2 có  tham  số  hóa  tự  nhiên 

 : J   2 ,  s   ( s) .  Lấy  một  hướng  của   2   xác  định  bởi  một  cơ  sở 
 
trực  chuẩn  (e1 , e2 )   nào  đó.  Giả  sử  cung  định  hướng  xác  định  bởi  cung 

tham số   : J   2  có độ cong đại số  k ( s)  và có trường mục tiêu Frénet 
 
(T , N )  ứng với hướng  (e1 , e2 )  đã cho của   2 . Ta chứng minh rằng cung 

 : J   2   có phương trình tham số   ( s)   ( s ) 


1 
N  s   là cung túc 
k ( s)

bế của   . 
  Thật vậy, vì    song chính quy nên  k ( s )  0 . 
'

 1 
1
  Khi đó,   '( s )   '( s ) 
N '( s)  
 N ( s) . Suy ra
k ( s)
 k ( s) 
'

'

 1 
 1  
1
 '( s )  T ( s) 
N
(
s
)



'(
s
)

 k ( s)T ( s)   


 N ( s)  
k ( s)
 k (s) 
 k ( s) 

  Điều này có nghĩa là vectơ của    tại   ( s )  cùng phương với pháp 
vectơ  chính  của     tại   ( s ) .  Do  đó,  tiếp  tuyến  của     tại   ( s )   là pháp 
vectơ của    tại   ( s ) .Vậy    là cung túc bế của   . 
  Tiếp theo, ta chứng minh rằng cung túc bế của    là duy nhất. Thật 
vậy,  nếu   : J   2   cũng  là  một  cung  túc  bế  của     thì  phương  trình 

tham  số  của     phải  có  dạng   ( s )   ( s )  a( s ).N ( s )   với  a( s)   là  một 
hàm số khả vi nào đó và phải thỏa mãn điều kiện   '( s )  N ( s ) . 
  Ta có 

 '( s)   '( s)  a( s).N '( s)  a '( s) N ( s)
 T ( s )  a( s )  k ( s)T ( s )   a '( s) N ( s )
 1  k ( s) a( s)  T ( s )  a '( s) N ( s )  N ( s)

16

 



Suy ra  1  k ( s).a( s)  0 . 
1
. Vậy  
k ( s)

 ( s)   ( s)  a( s ).N ( s )   ( s ) . 

 Vì  k ( s )  0  nên suy ra  a( s ) 

Nhận xét: 
 

Đặt  M o   ( s), M   ( s) , từ phương trình cung túc bế ta có 
 
1 
M 0 M   ( s)  ( s) 
N ( s ) . 
k (s)

Điều  này  chứng  tỏ  rằng   ( s)   là  tâm  chính  khúc  của     tại   ( s ) , 
ngược lại mỗi tâm chính khúc của    đều là một điểm của   . Vậy cung 
túc bế    của    có ảnh là tập hợp các tâm chính khúc của   . 
 
Lấy mục tiêu trực chuẩn  (, e1 , e2 )  của   2  với gốc    nào đó, và giả 
sử   (t )   x (t ), y (t )  ,  (t )   X (t ), Y (t )  .Từ  công  thức  tính  độ  cong  đại 
số  của     (trong  mục  2)  ta  được  phương  trình  của     theo  tọa  độ  trực 
chuẩn là 

x '2  y '2

X
(
t
)

x
(
t
)

y
'(
t
)
(t )

x' y'

x" y "

 

2
2
x
'

y
'
Y (t )  y (t )  x '(t )

(t ).

x' y'

x" y "


d) Cách tìm cung thân khai
Cho  cung  song  chính  quy  của   2   có  tham  số  hóa  tự  nhiên 

 : J   2 .  Chứng  minh  rằng  với  mỗi  hằng  số  C  cung   : J   2 có 
phương trình tham số là một cung thân khai của   . 
 

17


Thật vậy, 

 '( s )   '( s)  (C  s )'  '( s )  (C  s )  "( s)  (C  s )  "( s) . 
Vì   '( s )  1 nên  "(s)   '(s) .  
Do  đó,   '( s). '(s)  (C  s)  "(s)  '(s)  0   tức  là   '( s)   '(s) .  Suy 
ra  tiếp  tuyến  của     tại   (s)   vuông  góc  với  tiếp  tuyến  của     tại   ( s)  
trùng với tiếp tuyến của    tại   ( s ) . Vậy    là cung thân khai của   . 
  Tiếp theo  ta chứng minh rằng  mỗi cung thân khai của    đều có 
phương  trình  tham  số  dạng  như  trên.  Thật  vậy,  giả  sử   : J   2 , 
s   ( s )  là một cung thân khai của    thì phương trình tham số của    

phải có dạng   ( s )   ( s )  b( s )  '( s ) , với  b( s )  là một hàm số khả vi nào 
đó và phải thỏa mãn điều kiện   ( s )   '( s ) . Từ   "( s )   '( s)  và  


 '( s)   '( s)  b '( s)  '( s)  b( s)  "( s)  1  b '( s)   '( s)  b( s)  "( s)  
ta có  

 

0   '( s )  '( s )  1  b '( s )  b '( s )  1  b( s )   ds   s  C  C  s.
Suy ra   ( s )   ( s )  (C  s )  '( s ) . 

Chú ý. Nếu  cung   : J   2   cho  bởi  một  tham  số  hóa  bất  kỳ 
t   (t )   thì  ta  thay   '(t ) 

t
 '(t )
,  s    '(t ) dt .  Như  thế,  phương 
 '(t )
t
0

trình tham số của cung thân khai của    theo tham số  t  là  
t

  '(t )
. 
 (t )   (t )   C    '(t ) dt 

  '(t )
t
0




Ví dụ 1. Trong tọa độ Descartes vuông góc trong   2  tìm cung túc 
bế của cung Elip có tham số hóa  t   (t )  ( a cos t , b sin t )   ( a  b  0) . 

18


Giải

 (t )   x(t ), y (t )  , x(t )  a cos t , y (t )a sin t
 x '(t )  a sin t , y (t )  b cos t

 x "(t )  a cos t , y "(t )  b sin t



x '(t )

y '(t )

x "(t )

y "(t )

 ab . 

  Vậy cung túc bế của    có phương trình 

a 2 sin 2 t  b 2 cos 2 t a 2  b 2


cos 3t
 X (t )  a cos t  b cos t
ab
a
 

2
2
2
2
2
2
a
sin
t

b
cos
t
b

a
3
Y (t )  b sin t  a sin t

sin t.

ab
b


Ví dụ 2.  Tìm  cung  thân  khai  của  cung  tròn  trong   2 có  tham  số 
hóa  t   (t )  (a cos t , a sin t )   ( a  0)   (trong  tọa  độ  Descartes  vuông 
góc). 
Giải
t

 '(t )  (a sin t , a cos t ),  '(t )  a, s   adt  at . 
0

  Do đó cung thân khai    của    có phương trình tham số 

 (t )   (t )  (C  at )

 '(t )
a

 ( a cos t , a sin t )  (C  at )( sin t , cost )  

 x (t )  a cos t  (C  at )sin t
  Tức là   (t )   x(t ), y (t )   với  
. 
y
(
t
)

a
sin
t


(
C

at
)cos
t


1.2. Định lý cơ bản về lý thuyết đường trong  2
1.2.1. Định lý
  Cho  hàm  số  k : J  R ,  s  k ( s)   khả  vi  lớp  C ,    0   thì  có 
tham số hóa tự nhiên  r : J   2  khả vi lớp  C 2  của một cung chính quy 

19


định hướng trong   2 , mà với một hướng cho trước của   2 thì  k  là hàm 
độ cong đại số của  r . Nếu có hai cung định hướng  r  và    như thế thì 
có một phép dời hình  f :  2   2  sao cho  r  f    (nói tắt biến ảnh của 

  thành ảnh của  r ). 
1.2.2. Phương trình tự hàm
a) Định nghĩa
  Phương  trình  k  k ( s )   được  gọi  là  phương trình tự hàm  (hay 
phương trình tự nhiên) của các cung nói trên. Giải phương trình tự hàm 
có nghĩa là tìm các cung thỏa mãn định lý. 
b) Giải phương trình tự hàm
  Giả sử  r : J   2 ,  s  r ( s )   x( s ), y ( s )   là tham số hóa tự nhiên 
của cung chính quy định hướng, nhận làm  k ( s)  độ cong. 


  Khi đó,  T ( s )   x '( s ), y '( s )   với  x '( s ) 2  y '( s ) 2  1 . Do đó có hàm 
khả vi   ( s)  sao cho  x '( s )  cos ( s ), y '( s)  sin  ( s) .  


  Vậy  T ( s)   cos  ( s),sin  ( s )  , N ( s )    sin  ( s ),cos  ( s )  , 


T '( s )   '( s ).  sin  ( s ),cos  ( s )   k ( s).N ( s ) . 
 
 Suy  ra   '( s)  k ( s) .  Gọi  0 ( s)   là  một  nguyên  hàm  của  k ( s)   thì 

 ( s )   k ( s )ds  0 ( s )  C  (1),với  C  là một hằng số nào đó. Từ đó, 
x ( s )   cos  ( s )ds ,  y ( s )   sin  ( s) ds . (2) 

  Chú ý rằng các cung định hướng (có cùng hàm độ cong  k ( s)  thì 

 ( s )  xác định bởi  hệ thức  (1) với các hằng số  C   bất  kì) sai khác  một 
phép dời hình. 
  Các  đường  cong  xác  định  bởi   ( s)   khác  nhau  sai  khác  một  phép 
quay trong mặt phẳng. 

20


 Thật vậy, xét hàm  0 ( s ) và   ( s )  0 ( s )  C , khi đó 
cos  ( s )  cos 0 ( s )  C   cos C.cos 0 ( s )  sin C.sin 0 ( s )
sin  ( s )  sin 0 ( s )  C   cos C.sin 0 ( s )  sin C.cos 0 ( s )
 x( s )   cos  ( s )ds  cos C. cos 0 ( s ) ds  sin C. sin 0 ( s) ds


  

   x( s )  cos C.x0 ( s)  sin C. y0 ( s).  3
  Tương tự,  y ( s )  sin C.x0 ( s)  cos C. y0 ( s) . (4) 
  Từ  hệ  thức  (3)  và  (4)  ta  nhận  thấy  cung  r ( s)   x( s), y ( s)    nhận 
được từ cung   ( s)   x0 ( s), y0 ( s)   bằng phép quay có ma trận 
 cos C
  sin C


 sin C 
. 
cos C 

  Dễ  thấy  các  hằng  số  xuất  hiện  trong  hệ  thức  (2)  tương  ứng  với 
phép  tịnh  tiến.  Do  vậy,  các  cung  có  cùng  độ  cong  sai  khác  nhau  một 
phép dời hình trong mặt phẳng. 
Ví dụ. Giải phương trình tự hàm  k ( s )  a  const . 
Giải
  Trước hết tính   ( s)   k ( s) ds   ads  as . 
  Nếu  a  0   thì  r ( s ) 

  ds,  0ds   (s, s )    s
0

0

 const  .  Vậy  r   là 

cung thẳng có ảnh trên đường thẳng  y  s0 . 

  Nếu  a  0  thì 
r ( s) 

  cos(as)ds,  sin(as)ds    1a sin(as),  1a cos(as) 

1
  sin(as ),  cos(as )  .
a

  Suy ra  r  có ảnh nằm trên đường tròn tâm   , bán kính 

21

 

1
. 
a


1.3. Một số dạng bài tập
1.3.1. Tính độ cong đại số của cung phẳng
Bài 1.Tính độ cong đại số của mỗi cung phẳng cho bởi biểu thức 
sau: 
a)   t        t ,  at  (đường thẳng),
b)    t        t ,  at 2  bt  c     a  0   (parabol), 
c)    t        sinat ,    cosat     a  0   (đường tròn), 
d)    t    acost , bsint     a, b  0   (đường elip) tại các đỉnh của nó, 
e)   (t )   2t ,ln t  ,  t  0 .
Giải

a) Ta có 

  t    x  t  , y  t     t , at  ,
x '  t   1, y '  t   a,

 

x " t   0, y " t   0.

  Theo công thức tính độ cong  

k (t ) 

x' y'
x" y "
2 3

x'  y' 
2

(t )

  

ta có 
1 a

  k (t ) 

0 0


1

2

a

(cung phẳng có độ cong đại số bằng 0). 
 
 

22

2 3



 0.