SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK
TRƯỜNG THPT TRẦN QUANG KHẢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC

Người viết: Bùi Đình Tùng

CưM’gar, tháng 01 năm 2015


SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Trong chương trình Toán học phổ thông hiện nay, bất đẳng thức là một
nội dung được đề cập rất ít, chỉ một bài nằm trong chương IV, Sách giáo
khoa Đại số 10, Ban cơ bản. Và cách chứng minh bất đẳng thức mà sách giáo
khoa đề cập tới cũng chỉ dừng lại ở việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si và biến
đổi tương đương. Vì vậy, học sinh gặp không ít khó khăn khi gặp bài toán
chứng minh bất đẳng thức trong các phân môn Số học, Hình học, Lượng giác
và Giải tích ở trường THPT. Vì thế, học sinh thường lúng túng, không mấy
hứng thú khi chứng minh bất đẳng thức.
Từ thực trạng đó, người dạy học phải biết tìm cách khơi dậy niềm đam
mê, kích thích sự tìm tòi, bằng cách cho học sinh làm quen với những
phương pháp khác nhau để chứng minh bất đẳng thức. Từ đó, giúp các em
tìm được cách giải những bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm thấy vẻ
đẹp, sự hấp dẫn và độc đáo trong lời giải bài toán này.
Trong chương I Sách giáo khoa, Hình học 10, Ban cơ bản các em học
sinh được tìm hiểu về nội dung Vectơ. Đây là một công cụ tốt để giải quyết
một số bài toán về chứng minh bất đẳng thức một cách hiệu quả. Tuy vậy,

phần lớn học sinh không nghĩ đến và không biết cách sử dụng công cụ vectơ
để chứng minh bất đẳng thức.
Với mong muốn giảm bớt những khó khăn cho học sinh, đem lại cho
học sinh cách nhìn mới về chứng minh bất đẳng thức, đồng thời nâng cao
hiệu quả dạy và học bất đẳng thức, tôi chọn và nghiên cứu đề tài: “Sử dụng
vectơ trong chứng minh bất đẳng thức”.
2. Mục đích nghiên cứu:
2


SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Nghiên cứu mối quan hệ giữa kiến thức vectơ (cụ thể là 3 tính chất của
vectơ ) với dạng toán về bất đẳng thức, từ đó đưa ra cách thức vận dụng
những tính chất đó để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức, nhằm
mở rộng khả năng nhìn nhận vấn đề trong giải toán nói chung và chứng minh
bất đẳng thức nói riêng. Qua đó, giúp cho người dạy và học có thêm một cách
để giải quyết tốt những bài toán về bất đẳng thức, góp phần nâng cao hiệu
quả dạy và học bất đẳng thức.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu một số kiến thức cơ bản về vectơ,
đặc biệt là những tính chất của vectơ có thể sử dụng trong chứng minh bất
đẳng thức.
Từ đó, đưa ra một số bài toán bất đẳng thức có thể sử dụng tính chất
của vectơ để giải.
4. Phương pháp nghiên cứu:
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, sách tham
khảo, đề tài có liên quan đến vấn đề sử dụng vectơ trong chứng minh bất
đẳng thức; tìm hiểu chương trình, sách giáo khoa Toán THPT.
+ Phương pháp nghiên cứu thực tế: Trải nghiệm thực tế thông qua việc
dạy và học chương IV SGK Đại số 10 Ban cơ bản cụ thể bài Bất Đẳng Thức;

tìm hiểu vấn đề thông qua việc ôn thi học sinh giỏi chuyên đề Bất đẳng thức
và Bất phương trình.
+ Phương pháp kiểm chứng sư phạm: Tiến hành dạy và kiểm tra khả
năng ứng dụng của học sinh nhằm minh chứng bước đầu cho việc dạy các em
sử dụng kiến thức vectơ trong chứng minh bất đẳng thức.
5. Đóng góp của đề tài:
- Về lý luận:
+ Góp phần làm rõ thêm mối quan hệ biện chứng giữa các đơn vị kiến
thức của chương trình Toán học.
- Về thực tiễn:

3


SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
+ Giúp cho học sinh có thêm một cách nhìn nhận và phương pháp
chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng vectơ.
+ Góp phần rèn luyện và phát triển tư duy khái quát, tư duy biện chứng
cho học sinh qua giải toán chứng minh bất đẳng thức.

B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
4


SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
1. Chứng minh toán học.
Chứng minh trong Toán học là: Phép chứng minh một mệnh đề (B) là một dãy
hữu hạn các mệnh đề A1, A2, ..., An, B trong đó mỗi Ai hoặc là tiên đề, giả thiết,
định nghĩa, định lí ..., hoặc là kết luận lôgíc của một số mệnh đề trong dãy

đứng trước nó, (B) đứng cuối dãy và là kết luận lôgíc của một số mệnh đề
trong dãy đứng trước nó.
Như vậy, chứng minh (B) là tìm ra một dãy hữu hạn A 1, A2, ..., An thỏa
mãn:
Mỗi Ai (i = 1, 2, ..., n) của dãy đó hoặc là tiên đề, hoặc định nghĩa, hoặc suy
từ một số trong các A1, A2, ..., Ai

– 1

nhờ những quy tắc kết luận lôgíc; An chính

là (B);
Mỗi một chứng minh đều gồm 3 thành phần: luận cứ (gồm các tiền đề),
luận chứng (lập luận), luận đề (mệnh đề cần chứng minh).
Theo Nguyễn Anh Tuấn (giáo trình Lôgíc toán và Lịch sử Toán học,
NXB ĐHSP, 2012)
Như vậy, để chứng minh một bất đẳng thức (coi là một mệnh đề B)
được hiểu là quá trình suy luận diễn dịch: Từ giả thiết và những điều đã được
thừa nhận → A1 → A2 → ... → An → B.
2. Phương pháp vectơ
• Cơ sở toán học:
Phương pháp vectơ xuất phát từ kiến thức và phương pháp về không
gian vectơ trong hình học giải tích; mà thực chất là việc dùng công cụ đại số
để nghiên cứu hình học (đại số hóa hình học).
Trong đó dựa trên hệ tiên đề Weill (với những khái niệm cơ bản là
vectơ, điểm) dựa trên hai nhóm tiên đề.
Trong nghiên cứu hình học, PP vectơ tương tự như phương pháp tọa
độ, chỉ khác là gần với phương pháp tổng hợp (còn gọi là phương pháp tiên
đề - Hình học Ơclit) hơn vì có thông qua yếu tố vectơ (đoạn thẳng - phương 5



SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
chiều - độ dài). Mặt khác cũng cần thấy rằng: Phương pháp vectơ ứng với
quan điểm biến hình, mang màu sắc của cấu trúc đại số, thoát ly trực giác ít
hơn so với phương pháp tọa độ.
• Một số kiến thức về vectơ:
a. Độ dài của vectơ
r

r

Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ a = (a1 ; a2 ); b = (b1 ; b2 ) . Độ dài của vectơ
r
r
2
2
a là: a = a1 + a2

b. Tích vô hướng của hai vectơ
rr r r
r r
a.b = a . b cos(a, b)

c. Các tính chất của vectơ (sử dụng để chứng minh bất đẳng thức)
Trong phạm vi đề tài này, tôi nêu ra 3 tính chất của vectơ được sử
dụng trong chứng minh bất đẳng thức.
Tính chất 1:

r
r2

(a )2 = a ≥ 0 .

r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0
Tính chất 2:

r r r r
a + b ≥ a+b .
r

r

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng chiều.

r r r r r r
r r r
Mở rộng: Với 3 vectơ a, b, c. Ta có: a + b + c ≥ a + b + c
r r

r

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a , b và c cùng chiều.
Tính chất 3:

rr r r
a.b ≤ a . b .
6


SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

r

r

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng phương.
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁCH
SỬ DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI BÀI TOÁN
1. Những bài toán sử dụng tính chất 1
r
r2
(a) 2 = a ≥ 0

Gợi ý sử dụng: Ta thường sử dụng tính chất 1 khi trong bài toán
xuất hiện tổng các bình phương hoặc bình phương của một tổng. Nhưng
cũng có những bài toán người ta cố tình dấu sự xuất hiện của tổng các
bình phương hoặc bình phương của một tổng. Đối những bài toán dạng
này đòi hỏi người học phải phát hiện nhanh, có thể dùng tính chất 1 để
biến đổi về bài toán đã cho.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, chứng minh rằng : cos2A + cos2B + cos2C ≥ −

3
2

.
Phân tích bài toán: Chúng ta chú ý trong bài toán có cos2A, cos2B, cos2C.
Bây giờ, gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đó:
uuu
r uuur
uuur uuur
uuu

r uuur
cos OA, OB = cos2C , cos OB, OC = cos2 A , cos OA, OC = cos2 B . Từ đây, ta nghĩ

(

)

(

)

(

)

tới tích vô hướng của hai vectơ:
uuu
r uuu
r uuu
r uuur
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur
uuu
r uuur
OA.OB = OA OB cos OA, OB , OB.OC = OB OC cos OB, OC

(

)


uuu
r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur
OA.OC = OA OC cos OA, OC

(

(

)

)

và khi đó nếu ta gọi R là bán kính của đường
uuu
r

uuur

uuur

tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì R = OA = OB = OC . Từ đó, ta nghĩ tới việc
dùng tính chất 1 để chứng minh. Cụ thể như sau:
Giải:

7



SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Gọi O và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.
Ta có:
uuu
r uuur uuur
uuu
r 2 uuur2 uuur 2
uuu
r uuur uuur uuur uuur uuu
r
(OA + OB + OC ) 2 = OA + OB + OC + 2(OA.OB + OB.OC + OC .OA) ≥ 0
⇔ 3R 2 + 2 R 2 (cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ) ≥ 0 ⇔ cos2 A + cos2 B + cos2C ≥ −

3R 2
3
=−
2
2R
2

Suy ra, điều phải chứng minh.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
6cosA.cosB.cosC ≤ cos2A + cos2B + cos2C (1).
Phân tích bài toán: Ta thấy trong biểu thức cần chứng minh xuất hện tổng
các bình phương. Vì thế, có thể sử dụng được tính chất 1. Nhưng ở bài toán
này chúng ta cần lưu ý, phải xét các trường hợp của tam giác ABC. Vì ở bài
toán này không nói đó là tam giác như thế nào. Cụ thể, ta làm bài toán này
như sau:

Giải
Nếu tam giác ABC là tam giác tù (có một góc tù) thì (1) hiển nhiên
đúng. Vì khi đó vế trái của (1) âm, còn vế phải dương.
Nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù thì trên mặt phẳng ta đặt
uuuu
r uuur uuur

các vectơ OM , ON , OP sao cho:
uuuu
r
 OM = cos A
 uuur

 ON = cos B
 uuur
 OP = cos C


và

uuuu
r uuur
(OM , ON ) = π − Cˆ
 uuur uuu
r
(ON , OP) = π − Aˆ
r
 uuur uuuu
(
OP

,
OM
) = π − Bˆ


Áp dụng tính chất (1), ta có:
8


SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
uuuu
r uuur uuur
(OM + ON + OP ) 2 ≥ 0
uuuu
r 2 uuur 2 uuu
r2
uuuu
r uuur uuur uuu
r uuu
r uuuu
r
⇔ OM + ON + OP + 2OM .ON + 2ON .OP + 2OP.OM ≥ 0
⇔ cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C − 2(cos A. cos B. cos C + cos A. cos B. cos C + cos A. cos B. cos C ) ≥ 0
⇔ cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ≥ 6 cos A cos B cos C . Điều phải chứng minh.

2. Những bài toán sử dụng tính chất 2

r r r r
r
r

* a + b ≥ a + b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng chiều
r r r r r r
r r r
* a + b + c ≥ a + b + c . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a , b , c cùng
chiều.
Gợi ý sử dụng: Ta thường sử dụng phương pháp này khi gặp các
bài toán chứng minh bất đẳng thức có chứa tổng của các căn bậc hai mà
biểu thức trong dấu căn bậc hai có thể đưa về tổng của các bình phương.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng ∀x, y ∈ R , ta có:
4 cos 2 x cos 2 y + sin 2 ( x − y ) + 4sin 2 x sin 2 y + sin 2 ( x − y ) ≥ 2

Phân tích bài toán: Vế trái của bài toán là tổng của hai căn bậc hai, phía
trong căn lại là tổng của các bình phương, sẻ rất thuận lợi nếu chúng ta dùng

r r r r
vectơ để giải quyết bài toán, cụ thể ta sử dụng tính chất a + b ≥ a + b . Vậy
ta nên chọn vectơ có tọa độ như thế nào cho phù hợp với bài toán?
Giải:

r
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đặt 2 vectơ u = (2cos x cos y;sin( x − y ));
r
v = (2sin x sin y;sin( x − y ))

9


SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
r r
2

2
2
2
2
2
Ta có: u + v = 4 cos x cos y + sin ( x − y ) + 4 sin x sin y + sin ( x − y )

r r
u + v = 4(cos 2 ( x − y ) + sin 2 ( x − y )) = 2

r r r r
Áp dụng tính chất: u + v ≥ u + v , ta được:
4 cos 2 x cos 2 y + sin 2 ( x − y ) + 4sin 2 x sin 2 y + sin 2 ( x − y ) ≥ 2 ⇒ điều phải chứng

minh

Ví dụ 2: Chứng minh rằng
a 2 + a + 1 + a 2 − a + 1 ≥ 2 (1) với mọi a thuộc R.

Phân tích bài toán: Hai biểu thức trong căn bậc hai có thể biến đổi thành
2

2

2
2
1  3

1
  3

2
tổng các bình phương. a + a + 1 =  a + ÷ +  ÷÷ và a − a + 1 =  − a ÷ +  ÷÷ .
2  2 

2
  2 
2

r



1

3 r

1

3

Từ đó, ta có thể đặt: u =  a + ; ÷÷; v =  − a; ÷÷, đến đây sử dụng tính chất
2 2 
2 

2
2, ta được điều phải chứng minh. Cụ thể như sau:
Giải:
BĐT (1) ⇔ (a + 1 ) 2 + ( 3 ) 2 + ( 1 − a) 2 + ( 3 ) 2 ≥ 2. Trong mặt phẳng
2


2



 1
1 3
3
) ; v = ( − a; ) .
2 2
2
2

tọa độ Oxy đặt vectơ: u = (a + ;

2

2

Áp dụng tính chất

r r r r
u + v ≥ u + v , ta có:
10


SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
2

2


2
2
r r
r r
1  3

1
  3
u + v =  a + ÷ + 
+
−
a
+
≥
u
+v = 2.
÷

÷

÷
 2 ÷
2  2 ÷
2








Điều phải chứng minh.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng :
x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ≥ 3 ( x + y + z ) với x, y, z > 0.

Phân tích bài toán: Bài toán này về cơ bản không khác gì nhiều so với bài
toán trước. Giáo viên chỉ cần gợi ý cho học sinh trong bài toán này phải sử
dụng ba vectơ, vì vế trái của bài toán là tổng của ba căn bậc hai. Cụ thể, ta
làm như sau:
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đặt vectơ:



y 3
z 3
x 3
u = (x + ;
y ); v = ( y + ;
z ); w = ( z + ;
x);
2 2
2 2
2 2







 



Áp dụng tính chất: u + v + w ≥ u + v + w , ta có:
r r uu
r
y
3 2
z
3 2
x
3 2
u + v + w = ( x + )2 + (
y) + ( y + )2 + (
z) + ( z + )2 + (
x) ≥
2
2
2
2
2
2
r r uu
r
9
3
u+v+w =
( x + y + z ) 2 + ( x + y + z ) 2 = 3( x + y + z ) ⇒ điều phải chứng minh
4

4

Ví dụ 4: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:
b 2 + 2a 2 + c 2 + 2b 2 + a 2 + 2c 2
≥ 3
ab
bc
ca

11


SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phân tích bài toán: Chúng ta để ý điều kiện của bài toán a, b, c > 0. Và ở
vế trái của bất đẳng thức, phía trong các căn có a, b (b, c, c, a) thì dưới mẫu
số của biểu thức đó có tích a.b ( b.c, c.a). Vì vậy, ta nghĩ tới việc đưa các tích
a.b, b.c, c.a vào trong dấu căn. Khi đó, ta được bài toán quen thuộc. Cụ thể,
như sau:
1 2
1 2
1 2
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 . Trong mặt phẳng tọa độ
2
a b
b c
c a

Giải: Ta có: VT =
r


1
a

Oxy, đặt ba vectơ: u = ( ;




r 1 2
2 r 1 2 uu
); v = ( ;
); w = ( ;
)
b
b c
c a


 



Áp dụng tính chất: u + v + w ≥ u + v + w , ta có:
r r r
u+v +w=

1 2
1 2
1 2
1 1 1

1 1 1
r r r
+
+
+
+
+
≥
u
+ v + w = ( + + ) 2 + 2( + + ) 2 = 3
2
2
2
2
2
2
a b
b c
c a
a b c
a b c

Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 5: Cho x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng:
x2 +

1
1
1
+ y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82

2
x
y
z

Phân tích bài toán: Dễ thấy vế trái của bất đẳng thức là tổng của 3 căn bậc
hai và phía trong mỗi căn bậc hai là tổng của các bình phương. Vì vậy, bài
toán này sử dụng được tính chất 2. Cụ thể, như sau:
Giải:
r
r
1 uu
1 r
1
u
=
(
x
;
); v = ( y; ); w = ( z; ) .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đặt ba vectơ:
y
x
z







 



Khi đó, áp dụng tính chất: u + v + w ≥ u + v + w , ta có:

12


SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
r
1
1
1
1 1 1
r r r
r r uu
u + v + w = x 2 + 2 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ u + v + w = ( x + y + z )2 + ( + + )2
x
y
z
x y z
1

1

1

2
2

Ta cần chứng minh ( x + y + z ) + ( x + y + x ) ≥ 82

1 1

1

1

3

Ta có: 1 ≥ x + y + z ≥ 3 3 xyz ⇒ 3 xyz ≤ 3 ; x + y + z ≥ 3 xyz . Đặt t = 3 ( xyz )2 , với
0
1
9
1

1

1

9

9

2
2
2
3
= 9t + . Ta đi chứng minh

Khi đó: ( x + y + z ) + ( x + y + x ) ≥ 9 ( xyz ) + 3
t
( xyz ) 2

9t +

9
1
≥ 82 ( 0 < t ≤ ) ⇔ 9t 2 − 82t + 9 ≥ 0 ⇔ (9t − 1)(t − 9) ≥ 0 . Bất đẳng thức
t
9

đúng, do 9t − 1 ≤ 0; t − 9 < 0 . Suy ra, bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.
3. Những bài toán sử dụng tính chất 3

rr r r
a.b ≤ a . b .
Gợi ý sử dụng: Ta thường sử dụng phương pháp này khi gặp các
bài toán chứng minh bất đẳng thức mà khi một vế của bài toán có chứa
tổng các biểu thức thì vế còn lại có chứa tích các căn bậc hai hoặc một số.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi a, b, c, ta có:
ab + cd ≤ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 )

(3)

Phân tích bài toán: Ta thấy biểu thức trong căn ở vế phải của bất đẳng thức
là tích của hai biểu thức không âm. Do đó, ta có thể biến đổi:

13

SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
(a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) = a 2 + c 2 . b 2 + d 2 . Và đây chính là tích độ dài của hai

vectơ có tọa độ lần lượt là (a; c) và (b; d). Cộng với chiều của bất đẳng thức
cần chứng minh, ta nghĩ tới tính chất:

rr r r
a.b ≤ a . b . Từ đó, ta giải quyết bài

toán như sau:
Giải:




Đặt u = (a, c) ; v = (b, d ) . Áp dụng tính chất 3, ta có:
rr
r r
u.v = ab + cd ≤ u v = a 2 + c 2 . b 2 + d 2 = (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) ⇒ Điều

phải

chứng

minh.
 x 2 + xy + y 2 = 3
Ví dụ 2. Giả sử hệ phương trình  2
có nghiệm. CMR:
 y + yz + z 2 = 16

xy + yz + zx ≤ 8 .
Phân tích bài toán:
2
 x
 3 2
+
y

÷ + x =3
2
2
 x + xy + y = 3
 2
 4
⇔
Từ giả thiết bài toán  2
. Từ đó, giúp ta
2
2
 3 2
 y + yz + z = 16
 z
+ z = 16
 2 + y ÷
 4


r

x
2

nghĩ tới việc đặt u = ( + y;

3
3
z
r
x) , v = (
z; y + ) . Sau đó, dựa vào yêu cầu
2
2
2

chứng minh của bài toán để chúng ta thêm bớt một lượng cho phù hợp. Cụ
thể, ta làm như sau:
Giải

14


SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
r
r
r  3
3
z
3 
r

x
3
r
v
=
(
z
;
y
+
)
⇒
u
=
3;
v
=
4;
3
u
= 
x + 3 y; x ÷
Đặt u = ( + y; x) ,
và
2
2
2 ÷
2
2
 2


rr 3
r r
2
3u.v = ( xy + yz + zx) ≤ 3 u . v ⇒ xy + yz + zx ≤ . 3. 3.4 = 8 . Điều phải chứng
2
3

minh.
Ví dụ 3. Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
x + y + x ≤ x + y + z. 3

Phân tích bài toán:
Chúng ta viết bài toán đã cho dưới dạng

x .1 + y .1 + x .1 ≤ x + y + z . 3 ,

lúc này bài toán trở nên dễ nhận ra hơn nhiều. Cụ thể, VT của bài toán chính
ur

u
r

là tích vô hướng của hai vectơ u = ( x; y; z ); v = (1;1;1) , còn VP là tích độ dài

của hai vectơ đó. Từ đó, ta giải quyết bài toán này như sau:
Giải:
Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz cho các vectơ:
ur

u = ( x; y; z )
u
r

v = (1;1;1)

ur r

r r

Ta có: u.v ≤ u . v

⇔

x + y + x ≤ x + y + z . 3 là đpcm.

Ví dụ 4. Cho ba số thực a, b, c. Chứng minh rằng
a + b + c ≤ 3(a 2 + b2 + c 2 )
Phân tích bài toán:

15


SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Chúng ta viết bài toán đã cho dưới dạng a.1+ b.1 + c.1 ≤ 3. (a 2 + b2 + c 2 )
Khi đó, ta nghỉ ngay tới VT của bài toán chính là tích vô hướng của hai
ur

u
r

vectơ u = (a;b;c); v = (1;1;1) , còn VP là tích độ dài của hai vectơ đó. Từ đó,

ta giải quyết bài toán này như sau:
Giải:
Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz cho các vectơ:
ur

u = (a;b;c)
u
r

v = (1;1;1)
ur r

r r

Ta có: u.v ≤ u . v

⇔ a + b + c ≤ 3( x + y + z ) là đpcm

16


SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

C. KẾT LUẬN
Việc sử dụng vectơ để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức
không những giúp học sinh khắc sâu hơn kiến thức về vectơ, mà nó còn giúp
học sinh bớt đi những khó khăn trong chứng minh bất đẳng thức. Qua đó,

phần nào giúp cho người học năng động hơn, hấp dẫn hơn và say mê hơn đối
với môn Toán nói chung, bất đẳng thức nói riêng.
Từ góc độ một giáo viên THPT, xuất phát từ nhu cầu cải tiến và nâng
cao chất lượng dạy học môn Toán, tôi đã nghiên cứu vấn đề trên trong phạm
vi một SKKN, với nội dung dạy học là “Bất đẳng thức” ở lớp 10. Đóng góp
chủ yếu của đề tài ở chỗ đã giúp cho người dạy và học có thêm một cách để
giải quyết tốt những bài toán về bất đẳng thức.
Với một thời gian tìm hiểu và thực nghiệm tại các lớp giảng dạy (lớp
10A1 năm học 2011-2012, lớp 10A2, 10A7 năm học 2012-2013, lớp 10A1,
10A9 năm học 2014 - 2015) tôi đã trình bày đề tài “Sử dụng vectơ trong
chứng minh bất đẳng thức”. Nội dung chủ yếu là sử dụng các tính chất của
vectơ vào chứng minh bất đẳng thức.
Với thời gian nghiên cứu có hạn, cũng như kinh nghiệm giảng dạy còn
ít, rất mong các thầy cô là anh, chị đi trước góp ý thêm để đề tài có giá trị
thực tiễn cao hơn nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn Toán nói
chung, giảng dạy chủ đề bất đẳng thức nói riêng.
Tôi xin chân thành cám ơn!

17


SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK Đại số 10 - Ban cơ bản
2. Nguyễn Anh Tuấn (2012), Giáo trình Lôgic toán và Lịch sử Toán học,
NXB ĐHSP, Hà Nội.
3. Nguyễn Anh Tuấn (2014), Tài liệu tập huấn chuyên đề "Một số vấn đề
về sáng kiến kinh nghiệm trong dạy học Toán", Đak Lak.
4. Nguyễn Mộng Hy. Các bài toán về phương pháp vectơ và phương

pháp tọa độ. Nhà xuất bản giáo dục

MỤC LỤC
Trang
A. MỞ ĐẦU……………………………………………………………….....2
1. Lý do chọn đề tài:…………………………………………………….2
2. Mục đích nghiên cứu:………………………………………………...2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu: ……………………………………………….3
4. Phương pháp nghiên cứu: …………………………………………..3
5. Đóng góp của đề tài: …………………………………………………3
B. NỘI DUNG……………………………………………………………….5
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN…………………………………………………….5
1. Chứng minh toán học:……………………………………………..5
2. Phương pháp vectơ:………………………………………………..5
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ
CÁCH SỬ DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI BÀI TOÁN...................................7
1. Những bài toán sử dụng tính chất 1:.............................................7
2. Những bài toán sử dụng tính chất 2:.............................................9
3. Những bài toán sử dụng tính chất 3:...........................................13
C. KẾT LUẬN..............................................................................................17

18