Chương 1:

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

§1
SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
A. Tóm tắt lí thuyết:
1. Đònh nghóa: Cho hàm số f(x) xác đònh trên (a;b)
- f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) ⇔ ∀x1 , x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )
- f(x) nghòch biến (giảm) trên khoảng (a;b) ⇔ ∀x1 , x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )
Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu.
Một cách khác,
f ( x + ∆x ) − f ( x )
> 0, ∀∆x ≠ 0, x + ∆x ∈ (a; b)
f(x) tăng trên (a;b) khi và chỉ khi ∀x ∈ (a; b) ta có
∆x
f ( x + ∆x ) − f ( x )
< 0, ∀∆x ≠ 0, x + ∆x ∈ (a; b)
f(x) giảm trên (a;b) khi và chỉ khi ∀x ∈ (a; b) ta có
∆x
2. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:
Đònh lí 1: Cho f(x) có đạo hàm trên (a;b) thì
- Nếu f'(x) >0,∀x ∈ (a;b) thì f(x) tăng trên (a;b)
- Nếu f'(x) <0,∀x ∈ (a;b) thì f(x) giảm trên (a;b)
Để chứng minh đlí trên ta thừa nhận đlí sau
Đònh lí 2: ( ĐL Lagrange) Nếu f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) thì tồn tại c ∈ (a; b)
sao cho: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)
f (b) − f (a)
Hay: f '(c) =
b−a
3

Vd1: Hàm số y = x2 +3x tăng hay giảm trên ( ; +∞) ?
2
1 3
2
Vd2: Xét tính đơn điệu của ham số y = x − x − 3 x .
3
Chú ý: Nếu f(x) có đạo hàm trên (a;b) và f’(x) ≥ o ( hoặc f’(x) ≤ o ) và dấu bằng chỉ xảy ra tại 1 số
hữu hạn điểm trên (a;b) thì f(x) tăng (hoặc giảm ) trên khoảng ấy.
1 3
2
Vd3: Xét tính đơn điệu của hàm số y = x − x + x
3
1
Vd4: Xét tính đơn điệu của hàm số y =
x
3. Điểm tới hạn:
- Cho hàm số f(x) xđ trên (a;b) và x0 ∈ (a; b). x0 đgl điểm tới hạn của hàm số f(x) nếu f’( x0 ) = 0
hoặc f’( x0 ) không tồn tại.
Vd: Tìm các điểm tới hạn của các hàm số sau:
3
a) y = 3x + + 5
b) y = x
x
Chú ý:
- Điểm tới hạn của hàm số phải nằm trong TXĐ của nó
- Nếu f(x) liên tục trên khoảng xác đònh của nó thì giữa hai điểm tới hạn kề nhau f’(x) giữ
nguyên một dấu.
4. Các bước xét sự biến thiên của hàm số:
B1: Tìm TXĐ, tính đạo hàm và tìm các điểm tới hạn
B2 : Xđ dấu của đạo hàm trên các khoảng xác đònh bởi các điểm tới hạn

B3 : Lập BBT, suy ra chiều biến thiên của hàm số.
B. Bài tập:
1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
WWW.ToancapBa.Net

Trang 1


a) y =

3x + 1
1− x

b) y =

x
x +4
2

c) y = x + sin x

d) y =

1
x

2. CMR hàm số y = 2 x − x 2 tăng trên (0;1) và giảm trên (1;2)
π π
3. CMR hàm số f(x) = x – sinx tăng trên ( − ; ) . Từ đó suy ra ∀x > 0, ta có x > sinx
2 2

2
2
x +m x+m−2
4.CMR ∀m ∈ ¡ , hàm số y =
luôn tăng trên từng khoảng xác đònh của nó
x +1
5. Xác đònh m để hàm số
x 2 − 2mx + m + 2
a) y =
đồng biến trên từng khoảng xác đònh của nó
x−m
mx 2 − (2m + 1) x + 1 − m 2
b) y =
nghòch biến trên từng khoảng xác đònh của nó
x −1
1 3
2
6. Xác đònh m để hàm số y = x − 2 x + mx − 2 đồng biến trên
3
a) ¡
b) (−∞;1)
x 2 − 2mx + m + 2
giảm trên từng khoảng xác đònh của nó
x −1
8. CMR ∀x > 0 và tanx có nghóa ta luôn có x< tanx
9. Xác đònh m để hàm số
a) y = x2 +mx + 1 tăng trên (1; +∞)
b) y = mx2 – (m+6)x + 3 giảm trên (-1; +∞)
7. Xác đònh m để hàm số y =


C. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số:
Có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các dạng toán sau:
1/ CM bất đẳng thức
2/ So sánh hai số vô tỉ
3/ CM tính duy nhất nghiệm của pt, hệ pt; giải pt và hệ pt
4/ Tìm cực trò của hàm số
π
x x
Vd5: CMR ∀x ∈ (0; ) ta có tan >
2
2 2
x x
π
Giải: Xét hàm số f(x) = tan − , x ∈ (0; )
2 2
2
1
x
1
1
π
2
2 x
Ta có f’(x) = (1 + tan ) - = tan
> 0, ∀x ∈ (0; )
2
2
2
2
2

2
π
x x
Do đó f(x) tăng trên (0; ) nên ∀x > 0 ta có f(x) > f(0) hay tan > .
2
2 2
Vd6: Giải pt x + 1 + x + 3 + 2 x − 1 = 3 + 2
NX: Nếu biến đổi đại số thì rất phức tạp!!!
1
Xét f(x) = x + 1 + x + 3 + 2 x − 1 liên tục và có đạo hàm trên [ ; +∞) và ta có
2
1
1
1
1
f '( x ) =
+
+
> 0, ∀x >
2
2 x +1 2 x + 3
2x −1
1
⇒ f(x) tăng trên ( ; +∞)
2
Do đó ∀x > 1 ⇒ f ( x ) > f (1) hay f(x) > 3 + 2
∀x < 1 ⇒ f ( x ) < f (1) hay f(x) < 3 + 2
Hơn nữa f(1) = 3 + 2 . Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x =1.
Bài tập:
WWW.ToancapBa.Net


Trang 2


10. CMR ∀x > 0 ta có sin x > x −

x3
6

π
x2
11. CMR ∀x ∈ [0; ] ta có cos x ≥ 1 −
2
2
2− n
π
12. CMR ∀x ∈ (0; ), ∀n ∈ ¥ ta có sin n x + cos n x ≥ 2 2
2
1
13. CMR ∀x > 1 ta có x − 1 > ln x > 1 −
x
x +1
x
14. Giải pt 2 − 4 = x − 1
15. CMR pt x 2 + 15 = 3 x + 2 + x 2 + 8 co nghiệm duy nhất
2− n
π
16. Giải pt sin n x + cos n x = 2 2 , n ∈ ¥ , 0 < x <
2
x

−x
2
e +e
x
= 1+
17. CMR pt
với x ≥ 0 có nghiệm duy nhất.
2
2
18. So sánh các số sau đây:
a) eπ và π e
ln x
, ( x > 0) )
b) 2007 2008 và 20082007 (HD: Xét hàm f(x) =
x
2
101
2x
,x ≥0)
c)
và ln
( HD: Xét hàm số f(x) = ln( x + 1) −
201
100
x+2
D.

ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG

Đònh lí Lagrange: Nếu f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho

y
f (b) − f (a )
f’(c) =
b−a
B
f (b)

Ý nghóa hình học: Trên cung trơn AB bkỳ, luôn tồn tại
điểm C thuộc cung AB (C ≠ A;B) sao cho tiếp
tuyến tại C song song với cát tuyến AB.

C
f (a)

A
x

O

a

c

b

Hệ quả1: (Đlí Rolle)
Nếu f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) và f(a) = f(b) thì ∃c ∈ (a; b) : f '(c) = 0
f (b) − f (a ) f (a ) − f (a )
=
=0

CM: Theo đlí Lagrange thì tồn tại c ∈ (a; b) : f '(c ) =
b−a
b−a
Hệ quả 2:
Nếu f(x) liên tục trên [a;b] và f’(x) = 0 ∀x ∈ ( a; b) thì f ( x) ≡ const , ∀x ∈  a; b ]

CM: Với bất kì x ∈ [ a; b) vì f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) nên f(x) liên tục trên
[x;b] và có đạo hàm trên (x;b), do đó áp dụng Đlí Lagrange trên [x;b]
ta có : ∃c ∈ ( x; b) : f (b) − f ( x ) = f '(c)(b − x)
Vì ∃c ∈ ( x; b) nên f '(c) = 0 . Do đó f(b) – f(x) = 0. Hay f(x) = f(b) , ∀x ∈ [ a; b)
Vậy: f ( x) ≡ const , ∀x ∈  a; b ] .

Hệ quả 3:
Nếu f(x) có đạo hàm trên [a;b] và pt f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên đoạn ấy thì trên [a;b] pt
f(x) =0 không thể có quá 2 nghiệm
CM: Vì f(x) có đạo hàm trên [a;b] nên liên tục trên đoạn ấy. Giả sử x0 ∈ [a;b] là nghiệm duy nhất
của pt f’(x) = 0
WWW.ToancapBa.Net
Trang 3


- Nếu x0 = a hoặc x0 =b thì khi đó f’(x) không đổi dấu trên [a;b] nên f(x) tăng hoặc giảm trên [a;b]
do đó pt f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm
- Nếu x0 ∈ (a; b) khi đó x0 chia đoạn [a;b] thành 2 nữa đoạn [a;x0) và (x0;b]. Trong mỗi nữa đoạn
này f’(x) giữ nguyên một dấu nên pt f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm thuộc [a;x 0) và không quá 1
nghiệm thuộc (x0;b]. Như vậy pt f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm trên [a;b]
Ứng dụng đònh lí Lagrange: Có thể chứng minh một số dạng toán sau đây:
1/ Chứng minh bất đẳng thức:
α −β
α −β

π
< tan α − tan β <
Vd1: CMR :
với 0 < β < α <
2
2
cos β
cos α
2
β
;
α
Giải: Đặt f(x) = tanx. Rõ ràng f(x) liên tục trên [
] và có đạo hàm trên ( β ; α ) và f’(x) =
1
cos 2 x
p dụng đònh lí Lagrange cho hàm f(x) trên đoạn [ β ; α ] thì tồn tại c ∈ ( β ; α ) sao cho
α −β
f (α ) − f ( β ) = f '(c)(α − β ) hay tan α − tan β =
(1)
cos 2 c
α −β α −β α −β
π
<
<
Vì 0 < β < α < nên
(2)
cos 2 β cos 2 c cos 2 α
2
α −β

α −β
< tan α − tan β <
Từ (1) và (2) suy ra
2
cos β
cos 2 α
Vd2: Cho a < b < c.
CMR 3a < a + b + c − a 2 + b2 + c 2 − ab − ac − bc < a + b + c + a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc < 3c
3
2
Giải: Xét hàm số f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)=x − (a + b + c) x + (ab + bc + ca ) x − abc
Ta có f(a) = f(b) = f(c).
Theo đònh lí Lagrange tồn tại a < x1 < b < x2 < c sao cho f(b) – f(a) = f’(x1)(b-a);
f(c) – f(c) = f’(x2)(c-b)
Từ đó suy ra f’(x1) = f’(x2) = 0
Mặt khác f’(x) = 3x2 – 2x(a+b+c) + ab+bc+ca

a + b + c − a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca
 x1 =
3

Suy ra 
2
2
2
 x = a + b + c + a + b + c − ab − bc − ca
 2
3
Do đó a< x1 < x2 < c.
Nên ta có 3a < a + b + c − a 2 + b2 + c 2 − ab − ac − bc < a + b + c + a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc < 3c

Bài tập:
1
1
1
< arctan 2
< 2 , n ∈ ¥ (HD: Xét hsố f(x) = arctanx )
19. CMR: 2
n + 2n + 2
n + n +1 n +1
a −b
a a −b
< ln <
20. CMR: Với 0 < b < a thì
( HD: Xét hàm số f(x) = lnx với x > 0 )
a
b
b
1 1 1
1
1 1
1
21. Cho n ∈ ¥ , n > 1 . CMR + + + ... + < ln n < 1 + + + ... +
(HD: Xét f(x) = lnx )
2 3 4
n
2 3
n −1

§2


CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A. Tóm tắt lí thuyết:
1. Đònh nghóa: Cho hàm số f xác đònh trên D, x0 ∈ D

WWW.ToancapBa.Net

Trang 4


x0 đgl điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa x0 sao cho (a;b) ⊂ D và thoã
mãn f(x) < f(x0), ∀x ∈ (a; b) \ { x0 } . Khi đó f(x0) đgl giá trò cực đại của hàm số f
x0 đgl điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa x0 sao cho (a;b) ⊂ D và thoã
mãn f(x) > f(x0), ∀x ∈ (a; b) \ { x0 } . Khi đó f(x0) đgl giá trò cực tiểu của hàm số f
Điểm cực đại và điểm cực tiểu đg chung là điểm cực trò, GTCĐ, GTCT đg chung là cực trò.
Chú ý:
1/ GTCĐ, GTCT f(x0) của một hàm số không phải là GTLN, GTNN của nó trên D, mà chỉ
là GTLN, GTNN của hàm số đó trên một khoảng nào đó chứa x0
2/ Một hàm số có thể đạt cực đại, cực tiểu tại nhiều điểm trên D, nhưng chỉ có duy nhất một
GTLN và một GTNN.
2. Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trò:
a) Điều kiện cần: (Đònh lí Fecma)
Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trò tại đó thì f’(x0) = 0. Như vậy mọi điểm cực trò đều
là điểm tới hạn của hàm số. Từ đó ta thấy muốn tìm các điểm cực trò của hàm số ta chỉ cần tìm các
điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
b) Điều kiện đủ:
Dấu hiệu I: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trong (a;b) và f’(x0) = 0 với x0 ∈ (a; b)
- Nếu f’(x) < 0 khi x < x0 và f’(x) > 0 khi x > x0 thì x0 là điểm cực tiểu của của hàm số
- Nếu f’(x) > 0 khi x < x0 và f’(x) < 0 khi x > x0 thì x0 là điểm cực đại của của hàm số
Chú ý1:

* Đònh lí vẫn đúng khi f không có đạo hàm tại x0 nhưng liên tục tại x0
* Nói một cách dễ hiểu, nếu f’(x) đổi từ + sang – khi x qua x0 thì x0 là điểm cực đại
nếu f’(x) đổi từ – sang + khi x qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu
Quy tắc1: Muốn tìm các điểm cực trò của hàm số ta làm như sau:
B1: Tính f’(x), giải pt f’(x) = 0
B2: Xét dấu đạo hàm f’(x)
B3: Lập BBT suy ra các điểm cực trò
Dấu hiệu II: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục tại x0 và f’(x0) = 0
- Nếu f’’(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu
- Nếu f’’(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại
Quy tắc2: Muốn tìm các điểm cực trò của hàm số ta làm như sau:
B1: Tính f’(x) và giải pt f’(x) = 0 tìm các nghiệm xi của nó
B2: Tính f’’(x) và f’’(xi)
B3: Từ dấu của f’’(xi) suy ra các điểm cực trò
Chú ý2: Kết hợp đk cần và đk đủ ta có kết quả sau:
 f '( x0 ) = 0
- x0 là điểm cực đại của f(x) ⇔ 
 f ''( x0 ) < 0
 f '( x0 ) = 0
- x0 là điểm cực tiểu của f(x) ⇔ 
 f ''( x0 ) > 0
Vd1: Tìm các điểm cực trò của hàm số: y = x +

1
x

Giải: D = R
Ta có y’ = 1 −

1

, y’ = 0 ⇔ x = ±1
x2

BBT
x
y’

−∞

-1
1
+
0
0
CĐ
WWW.ToancapBa.Net

+∞
+
Trang 5


y
CT
Từ BBT suy ra x = -1 là điểm cực đại; x = 1 là điểm cực tiểu
Cách khác: Tính f’’(-1) = -2 < 0 nên x = -1 là điểm cực đại
Tính f’’(1) = 2 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu
B. Bài tập:
Có các dạng bài tập sau đây:
1/ Tìm các điểm cực trò của hàm số. Cách giải: Áp dụng dấu hiệu I và II

2/ Tìm tham số m để hàm số nhận x0 là điểm cực đại; cực tiểu. Cách giải: Dựa vào chú ý 2
3/ Cm hàm số luôn có cực trò( hoặc c/m hàm số có 1,2,3,… cực trò).
Cách giải: Ta c/m pt y’ = 0 có 1,2,3,… nghiệm
4/ Tìm tham số m để hàm số có 1,2,3,… cực trò
Cách giải: Dựa vào tam thức bậc 2 để đònh tham số để pt y’ = 0 có 1,2,3,… nghiệm
5/ Tìm tham số m để hàm số có cực trò và các điểm cực trò thoã mãn 1 đẳng thức nào đó.
Cách giải: Dựa vào tam thức bậc 2 và đònh lí Vi-et cho pt bậc 2
Đề bài tập:
22. Tìm các điểm cực trò của hàm số bằng đạo hàm cấp 1:
3

a) y = x3.

b) y = 3x + x + 5. c) y = x.e−x. d) y =
23. Tìm các điểm cực trò của hàm số bằng đạo hàm cấp 2:
a) y = sin2x với x∈[0; π ]
24. Tìm cực trò của các hàm số :
1

a) y = x + x .

b) y = x2lnx.

ln x
x

.

c) y =


ex
x

.

x4
+ 2x 2 + 6 .
c) y = 3 x − 1 + 2
4
x3
=
−mx2+(m+3)x−5m+1 đạt cực đại tại
3

b) y = −

25. Đònh m để hàm số : y = f(x)

x=1

Kết quả: m = 4

26. Xác đònh tham số m để hàm số y=x3−3mx2+(m2−1)x+2 đạt cực đại tại x=2.
( Đề thi TNTHPT 2004−2005)
Kết quả : m=11
3
2
27. Đònh m để hàm số y = f(x) = x −3x +3mx+3m+4
a.Không có cực trò.
Kết quả : m ≥1

b.Có cực đại và cực tiểu.
Kết quả : m <1
c. Có đồ thò (Cm) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trò (đạt cực trò 4 khi x = 0).
Hd: M(a;b) là điểm cực trò của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:
f ' (a) = 0

f ' ' (a) ≠ 0
f (a) = b


Kết quả : m=0

d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O.
Kq : d:y = 2(m−1)x+4m+4 và m= −1
28. Đònh m để hàm số y = f(x) =
a. Có cực đại và cực tiểu.
b.Đạt cực trò tại x = 2.
c.Đạt cực tiểu khi x = −1

x 2 − 4x + m
1− x

29. Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y =

x 2 + m(m 2 − 1)x − m 4 + 1
x−m

Kết quả : m>3
Kết quả : m = 4
Kết quả : m = 7

luôn có cực trò.

1
30. Cho hàm số y = f(x) = x3−mx2+(m2−m+1)x+1. Có giá trò nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại
3
x = 1 không?
Hd và kq : Sử dụng đkc,đkđ. Không
WWW.ToancapBa.Net

Trang 6


1
31. Cho hàm số y = f(x) = x3−mx2+(m+2)x−1. Xác đònh m để hàm số:
3
a) Có cực trò.
Kết quả: m <−1 V m > 2
b) Có hai cực trò trong khoảng (0;+∞).
Kết quả: m > 2
c) Có cực trò trong khoảng (0;+∞).
Kết quả: m <−2 V m > 2
32. Biện luận theo m số cực trò của hàm số y = f(x) = −x4+2mx2−2m+1.
Hd và kq : y’=−4x(x2−m)
 m ≤ 0: 1 cực đại x = 0
 m > 0: 2 cực đại x= ± m và 1 cực tiểu x = 0
33. Đònh m để đồ thò (C) của hsố y = f(x) =

x2 − x + m
x +1


có2 điểm cực trò nằm khác phía so với Ox.
1

Kết quả : m > 4
34. Đònh m để hàm số y = f(x) = x3−6x2+3(m+2)x−m−6 có 2 cực trò và hai giá trò cực trò cùng dấu.
17

Kết quả : − 4 < m < 2
35. Chứùng minh rằng với mọi m hàm số y = f(x) =2x3−3(2m+1)x2+6m(m+1)x+1 luôn đạt cực trò tại
hai điểm x1 và x2 với x2−x1 là một hằng số.
36. Đònh m để hàm số có cực trò :
3
2
a) y = x − 3x + mx − 2 .
Kết quả: m<3
x2 − x + m2 + m − 2
.
x −1
1
hàm số : f(x)= − 3 x3−mx2+(m−2) x−1.

b) y =
37. Cho

Kết quả: m<−2 V m>1
Đònh m để hàm số đạt cực đại tại x2, cực tiểu tại x1

mà x1 < −1 < x2 < 1.

Kết quả: m<-3 V m>1


x + 2x + m
luôn luôn có 1 cực đại và 1 cực tiểu
x2 + 2
5 2 3
2
39. Tìm a và b để các cực trò của hàm số y = a x + 2ax − 9 x + b đều là những số dương và
3
5
x0 = − là điểm cực đại.
9
1 3
1
2
40. Cho hàm số y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x + . Với giá trò nào của m để hsố có cực đại và cực
3
3
tiêu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu x 1;x2 thoã mãn điều kiện x1 + 2x2 = 1
mx 2 + (m 2 + 1) x + 4m3 + m
41. Cho hàm số y =
. Tìm m để đồ thò hàm số tương ứng có 1 điểm cực trò
x+m
thuộc góc phần tư thứ (II) và 1 điểm cực trò thuộc góc phần tư thứ (IV) của mp toạ độ
42. Cho hàm số y = x3 + 4mx2 + (m+1)x + 3, m là tham số.
a) Đònh m để hàm số có cực trò
b) Viết pt đt đi qua các điêm cực trò của nó.
x 2 + (m + 2) x − m
43. Cho hàm số y =
. Xác đònh m để hàm số có cực đại và cực tiểu? Tính các giá trò
x +1

cực đại và cực tiểu đó
C. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ:
1. Hàm số f(x) đạt cực trò tại x0 thì f’(x0) = 0. Như vậy tiếp tuyến của đồ thò hàm số f(x) tại điểm
(x0;f(x0)) song song với trục hoành. Tức là pttt của (C) tại điểm cực trò x 0 là: y = f(x0)
2. Đối với hàm bậc 3: y= ax3+bx2+cx+d (a ≠ 0) .
Ta có y’ = 3ax2 + 2bx +c.
38. CMR hàm số y =

2

WWW.ToancapBa.Net

Trang 7


x b
Chia y cho y’ ta được: y = ( + ) y '+ r ( x) ; trong đó r(x) là đa thức bậc nhất. Tại điểm cực trò thì
3 9a
y’ = 0, do đó ptđt đi qua các điểm cực trò của nó là: y = r(x).
Chú ý: Bài toán này chỉ nên áp dụng khi các nghiệm của pt y’ = 0 chứa biểu thức căn ( các nghiệm
biểu diễn công kềnh) hoặc bài toán có tham số
P ( x)
3. Đối với hàm hữu tỉ y =
. Nếu x0 là điểm cực trò thì y’(x0) = 0
Q( x)
P '( x0 )Q( x0 ) − Q '( x0 ) P ( x0 )
P '( x)Q( x) − Q '( x) P ( x)
= y '( x0 ) = 0
Mà y '( x ) =
.

Do
đó
Q 2 ( x)
Q 2 ( x0 )
P ( x0 ) P '( x0 )
=
Suy ra
.
Q( x0 ) Q '( x0 )
P '( x0 )
Như vậy, để tìm giá trò cực trò của hàm số hữu tỉ ta tính theo công thức y = f ( x0 ) =
Q '( x0 )
Ví dụ minh hoạ:
1. Cho hàm số y = x3+4mx2 + (m+1)x +3; m là tham số.
a) Đònh m để hàm số có cực đại và cực tiểu
b) Viết ptđt đi qua các điểm cực trò đó
Giải: a) y’ = 3x2+8mx+m+1. Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ ∆ ' = 16m 2 − 3m − 3 > 0
3 − 201
3 + 201
⇔m<
hoặc m >
32
32
1
4
2 16 2
4 2 4
b) Chia y cho y’ ta được y = ( x + m) y '− ( m − m −1) x − m − m + 3
3

9
3 3
9
9
2 16 2
4 2 4
Tại các điểm cực trò ta có y’ = 0 nên y = − ( m − m −1) x − m − m + 3
3 3
9
9
2 16 2
4 2 4
Vậy ptđt đi qua các điểm cực trò là: y = − ( m − m −1) x − m − m + 3
3 3
9
9
2
x + (m + 2) x − m
2. Cho hàm số y =
. Xác đònh m để hàm số có cực đại và cực tiểu? Tính giá trò cực
x +1
đại và cực tiểu đó?
2m + 1
2m + 1
Giải: Ta có y = x + m + 1 −
, y ' = 1+
( x + 1) 2
x +1
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ =0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ 2m + 1 < 0

1
⇔m<−
2
 x1 = −1 + 2m + 1
Khi đó y’ = 0 có 2 nghiệm 
 x2 = −1 − 2m + 1
Do đó y(x1) = 2x1 +m + 2 = m + 2m + 1
y(x2) = 2x2 +m + 2 = m − 2m + 1

§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. Tóm tắt lí thuyết:
1. Đònh nghóa:
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên D
WWW.ToancapBa.Net

Trang 8


∀x ∈ D, f ( x ) ≤ M
∀x ∈ D, f ( x ) ≤ M
f ( x) ⇔ 
hoặc M = max
D
Pt: f(x) = M có nghiệm ∈ D
∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M

f ( x) ⇔ 
* M = max
D


∀x ∈ D, f ( x) ≥ m
∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m

f ( x) ⇔ 
* m = min
D

∀x ∈ D, f ( x ) ≤ m
 Pt: f(x) = m có nghiệm ∈ D

f ( x) ⇔ 
hoặc m = min
D

2. GTLN và GTNN trên 1 khoảng:
f ( x ); min f ( x) ?
Xét D = (a;b), (a và b có thể là +∞ hoặc −∞ ). Tìm max
D
D
Dựa vào cách tìm cực trò của hàm số, lập BBT và kết luận.
Vd: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = x − 5 +
Giải: Ta có y’ = 1 −
BBT

1
trên khoảng (0; +∞ )
x

1
; y’ = 0 ⇔ x = ±1

x2

X
y’

0
-

+∞

1
0

+

y
CT
min f ( x) = −3 ; không tồn tại max f ( x ) = −3
Vậy (0;
+∞ )
(0; +∞ )

Chú ý: Nếu hàm số chỉ có 1 cực đại hoặc 1 cực tiểu duy nhất thì đó cũng là GTLN (GTNN)
của hàm số của hàm số trên khoảng đó.
3. GTLN và GTNN trên 1 đoạn:
Cách 1: Lập BBT rồi suy ra GTLN và GTNN
f ( x ) , min f ( x)
Cách 2: Giả sử tồn tại max
[ a ;b ]
[ a ;b ]

f ( x ) = f(b) và min f ( x) = f(a)
 Nếu f(x) tăng trên [a;b] thì max
[ a ;b ]
[ a ;b ]
f ( x ) = f(a) và min f ( x) = f(b)
 Nếu f(x) giảm trên [a;b] thì max
[ a ;b ]
[ a ;b ]

 Nếu f(x) có hữu hạn điểm tới hạn trên [a;b], giả sử là x1,x2,x3,.. ta tìm Max, Min như sau
B1: Giải pt f’(x) = 0 tìm các điểm tới hạn x1, x2, x3,…..
B2: Tính f(xi); f(a); f(b)
B3: So sánh các giá trò và rút ra kết luận.
 π
Vd1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = x + sinx trên đoạn 0; 


2
 π
 π
Giải: Ta có y’ = 1 + cosx > 0 , ∀x ∈  0;  do đó y tăng trên đoạn 0; 
 2
 2
π
π
min y = f (0) = 0
max
y
=
f

(
)
=
1
+
π
Vậy: [ 0;π 
và
[ 0; 
2
2
2

2

Vd2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = x3 -3x2 – 9x+35 trên đoạn [-4; 4]?
B. Các phương pháp tìm GTLN và GTNN:
1. Phương pháp đạo hàm lập BBT ( xem mục 2,3)
2. Phương pháp đánh giá dựa vào các bất đẳng thức
Vd: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = sin x + 3 cos x
π
Giải: Biến đổi lượng giác ta được y = 2sin( x + )
3

WWW.ToancapBa.Net

Trang 9


π

Mà −1 ≤ sin( x + ) ≤ 1, ∀x ∈ ¡
3

Do đó −2 ≤ y ≤ 2, ∀x ∈ ¡ ;

y = -2 khi x = −
y = 2 khi x =

5π
+ k 2π , k ∈ ¢
6

π
+ k 2π , k ∈ ¢
6

Vậy: Maxy = 2; Miny = -2
3. Phương pháp miền giá trò:
Phương pháp này thường sử dụng cho các hàm số lượng giác hoặc các hàm số hữu tỉ
Vd: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y =

x +1
x + x +1
2

Giải: D =R. Gọi y0 là giá trò có thể đạt của hàm số. Khi đó pt y0 =
⇔ y0 x 2 + ( y0 − 1) x + y0 − 1 = 0 có nghiệm x (*)

x +1
có nghiệm x

x + x +1
2

− Nếu y0 = 0 thi x = -1 tức là (*) có nghiệm
2
− Nếu y0 ≠ 0 thì (*) ⇔ ∆ = ( y0 − 1) − 4 y0 ( y0 − 1) ≥ 0
1
⇔ − ≤ y0 ≤ 1, ( y0 ≠ 0)
3

Vậy: −1/ 3 ≤ y ≤1, ∀x ∈¡ . Do đó: Maxy = 1 và Miny = -1/3
Vd2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y =

2sin x
2 + cos x

Giải: Gọi y0 là giá trò có thể đạt của hàm số. Khi đó pt y0 =
⇔ y0 cos x − 2sin x + 2 y0 = 0 có nghiệm x
⇔ y0 2 + 4 ≥ (2 y0 ) 2

Vậy: −

2sin x
có nghiệm x
2 + cos x

2 3
2 3
2 3
2 3

≤ y≤
, ∀x ∈ ¡ . Do đó Maxy =
và Miny = −
3
3
3
3

Chú ý:
1. Nói chung pp1 có thể sd cho mọi ham số
2. Phương pháp 2 thường ít sử dụng vì rất khó, chỉ áp dụng trong trường hợp có thể thấy
ngay việc áp dụng bđt nào
3. Phương pháp thường sử dụng cho các hàm số lượng giác và hàm số hữu tỉ. Ta thường
sử dụng điều kiện có nghiệm của các pt sau
- Pt đại số bậc 2: ax2 +bx + c =0 (∆≥ 0)
2
2
2
- Pt lượng giác: asinx + bcosx +c =0 ( a +b ≥ c )
4. Ngoài ra pp đặt ẩn phụ cũng thường được sử dụng để đưa hàm số về dạng đơn giản
trước sau đó mới áp dụng 3 pp trên.
Bài tập:
44. Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x2−2x+3. Kq: Min
f(x) = f(1) = 2
R
2
45. Tìm giá trò lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x −2x+3 trên [0;3].
Max f(x)=f(3)=6.
Kq: Min
[ 0 ; 3 ] f(x)=f(1)=2 và

[ 0 ;3 ]
x 2 − 4x + 4
với x<1.
x −1
quả : Max f(x) = f(0)

46. Tìm giá trò lớùn nhất của hàm số y = f(x) =
Kết

( −∞ ;1)

WWW.ToancapBa.Net

= −4

Trang 10


47. Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m 3, có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp) mà các kích
thước của đáy tỉ lệ 1:2. Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi xây ít tốn vật liệu nhất
Kết quả : Các kích thước cần tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m
2
48. Tìm GTLN: y=−x +2x+3.
Kết quả: Max
y=f(1)= 4
R
1
49. Tìm GTNN y = x – 5 +
với x > 0.
Kết quả: Min

( 0 ; ±∞ ) y=f(1)= −3
x
y = f (−2) = −7
y = f ( 2 ) = 2 2 − 5 ; Min
y = x – 5 + 4 − x 2 . Kết quả: Max
[ −2; 2 ]
[ −2; 2 ]
Max y = 4 Min y = −1
 1 
−1
51. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x3+3x2−1 trên đoạn − 2 ;1 ; KQ: [ −1;1]
[ ;1]

50. Tìm GTLN, GTNN





2

2

52. Tìm GTLN, GTNN của:
a) y = x4-2x2+3.
Kết quả: Min
y=f(±1)=2; Không có Max
y
R
R

4
2
b) y = x +4x +5.
Kết quả: Min
y=f(0)=5; Không có Max
y
R
R
2
c) y = x − 3 x + 2 trên đoạn [-10;10]
53. Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số y =
54. Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số y =
55. Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau

x
. Kq: Maxy = 1/3; Miny = -1
x + x +1
2

x2
x + x2 + 1
4

a) y =

7
Kết quả: Min
y= − 3 ; Max
y=1
R

R

b)

1
Kết quả: Min
y= 3 ; Max
y=3
R
R

2 2 sin x − 1
.
cos x + 2
x 2 + 3x + 3
y= 2
.
x + x +1

c) y = 3 sinx – 4 cosx
2sin x + 1
d) y =
cos x + 2
2sin x − cos x
e) y =
sin x + 2 cos x + 3
sin 2 x + 2 sin x + 3
f) y =
sin 2 x + 3sin x + 4
56. Tìm M trên (C): y =


57. Cho hàm số

y=

58. Cho hàm số y =

x2 − 3
x−2

3x + 1
x +x+2
2

KQ: Miny =

1
. Kết quả : Max
y = f(±1) = 3
R

4
; Maxy = 1
2 +4

sao cho tổng các khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ là nhỏ nhất.
3

9


Kết quả :M(0; 2 )

. Chứng minh rằng : − 7 ≤ y ≤ 1

x 2 cos α − 2x + cos α
x 2 − 2x cos α + 1

α ∈ ( 0; π) . Chứng

minh rằng : −1≤ y ≤ 1

1

59. Đònh x để hàm số y = f(x)= lg2x + lg 2 x + 2 đạt giá trò nhỏ nhất và tính giá trò nhỏ nhất :
1

Hướng dẫn và kết quả : Txđ: (0; +∞ ) . Đặt t= lg2x, t≥0, ⇒ hàm số y=g(t)=t+ t + 2 xác

đònh trên [0; +∞), dùng đạo hàm đưa đến y’=0 ⇔ t=−3 ∉[0; +∞ ) V t=−1 ∉[0; +∞ ) ⇒
1
1
hàm số y=g(t) đồng biến trên [0;+∞ ) ⇒ Min
⇒ Min
[ 0; +∞ ) g(t) = g(0) =
( 0 ; +∞ ) f(x) = f(1) =
2
2
4

3

60. Tìm giá trò LN và giá trò NN của hàm số y=2sinx− 3 sin x trên đoạn [0;π] (TN THPT 03−04)

Kết quả:

Max f(x)=f(π
[ 0 ;π ]

/4)= f(3π /4)=

2 2
3

; Min
[ 0; π ] f(x)=f(0)=f(π )=0

61. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

WWW.ToancapBa.Net

Trang 11


x 2 y2
x y
+ 2 ) − 8( + );( x ≠ 0; y ≠ 0)
Kq:Miny = -10 khi x = y
2
y
x
y x

2x
4x
+ cos
+1
b) y = cos 2
Kq: Maxy = 3; Miny = 2cos21+cos1
2
x +1
1+ x
1
1
π
π
−
;(− < x < ; x ≠ 0)
c) y =
KQ: Miny = 4; không tồn tại Maxy
cos x cos x − 1
2
2
1
1
2
+ cos x +
−4
d) y = cos x +
KQ: Miny = -4 khi x = π + k 2π , k ∈ ¢
2
cos x
cos x

62. Cho điểm M(1;2). Đường thẳng d qua M cắt hai trục toạ độ tại A và B. Xác đònh ptđt d sao cho
x y
diện tích tam giác OAB có giá trò nhỏ nhất.
KQ: ptđt (d): + = 1
2 4
63. Cho điểm A(1;4). Viết ptđt (d) qua A và cắt các trục toạ độ lần lượt tại M, N sao cho
1
1
x 4y
+
+
=1
KQ:
2
2 nhỏ nhất.
OM
ON
17 17
1
64. Cho đường cong (C): y =
. Tìm các điểm trên ( C) mà tại đó tiếp tuyến tạo với trục Ox 1
1 + x2
1 3
; )
góc lớn nhất về giá trò tuyệt đối.
KQ: M(
3 4
6
6
65. Tuỳ theo giá trò của m, tìm GTLN và GTNN của hàm số y = sin x + cos x + m sin x cos x

a) f(x;y) = 3(

x2 + x + m + 4
. Đònh m để giá trò lớn nhất của hàm số trên [1;3] bằng 2
x−m
ax + b
67. Tìm các giá trò của tham số a và b sao cho hàm số y = 2
có GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1
x +1
68. Cho hsố f(x) = 4(sin6x + cos6x)+4(sin4x + cos4x) + msinx.cosx. Đònh m để hàm số có GTLN = 9
x2 − m
69. Cho hàm số y =
. Tìm m để Maxy = 2 khi x ∈ [0;1]
x +1
70. Chop x; y là 2 số dương thay đổi thoã mãn 0 ≤ x ≤ 3; 0 ≤ y ≤ 4 . Tìm GTLN của biểu thức sau
A = (3 − x )(4 − y )(2 x + 3y )
KQ: Maxy = 36 khi x = 0; y = 2
ỨNG DỤNG CỦA GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ
Có thể ứng dụng việc tìm GTLN và GTNN của hàm số để giải một số dạng toán sau đây:
1/ Chứng minh các bất đẳng thức:
f ( x) và chứng tỏ Min f ( x) ≥ m
a) Để CM bđt: f(x) ≥ m, ∀x ∈ D ta tìm Min
D
D
66. Cho hàm số y =

f ( x ) và chứng tỏ Max f ( x ) ≤ m
b) Để CM bđt: f(x) ≤ m, ∀x ∈ D ta tìm Max
D
D

2/ Đònh tham số m để phương trình g(x;m) = 0 có nghiệm
B1: Đưa pt về dạng f(x) = h(m)
B2: Tìm Minf(x) và Maxf(x)
B3: pt f(x) = h(m) có nghiệm ⇔ M inf( x) ≤ h(m) ≤ Maxf ( x )
3/ Đònh tham số m để bất phương trình g(x;m) ≥ 0 (hoặc g(x;m) ≤ 0 ) có nghiệm
B1: Đưa bpt về dạng f(x) ≥ h(m) (3); hoặc f(x) ≤ h(m) (4)
B2: Tìm Minf(x) và Maxf(x)
B3: Kết luận:
- Nếu (3) có nghiệm ∀x ∈ D thì MDinf( x ) ≥ h(m)
-

f( x ) ≥ h(m)
Nếu (3) có nghiệm trên D thì Max
D
Nếu (4) có nghiệm ∀x ∈ D thì Maxf( x ) ≤ h(m)

-

f( x) ≤ h(m)
Nếu (4) có nghiệm trên D thì Min
D

-

D

Bài tập:
WWW.ToancapBa.Net

Trang 12



1
1
71. CMR ∀x ∈ ¡ , ta có: 1 + cos x + cos 2 x + cos3 x > 0
2
3

( HD: đặt f(t) =

4 3 2 1
t + t + , t = cosx)
3
2

1
2 n −1
n
n
( HD: Xét f(x) = a + (1 − a) , a ∈ [ 0;1] )
π π
73. Tìm m để phương trình: 2+2sin2x = m(1+cosx)2 có nghiệm trên [ − ; ]
2 2
74. Cho pt: cosx + 2cos2x = m+ cos3x
a) Giải pt khi m = 2
b) Đònh m để pt vô nghiệm
2
75. Tìm m để bpt: (4 + x )(6 − x ) ≤ x − 2 x + m nghiệm đúng với mọi x ∈ [-4;6]
2
76. Cho bất pt: x + 2 x (cos y + sin y ) + 1 ≥ 0

a) Đònh x để bpt nghiệm đúng ∀y ∈ ¡
b) Đònh y để bpt nghiệm đúng ∀x ≥ 0
 x + y = 1
77. Tìm m để hệ pt 
có nghiệm.
(ĐH 2004 – D )
 x x + y y = 1 − 3m
1
ĐS: 0 ≤ m ≤
4
n
n
72. CMR với a, b ≥ 0; a + b = 1 và n là số nguyên, ta có: a + b ≥

78. Tìm m để ptrình: m( 1 + x 2 − 1 − x 2 + 2) = 2 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x 2 có nghiệm.
ĐS: 2 − 1 ≤ m ≤ 1
79. Xác đònh m để phương trình: 2(sin x + cos x ) + cos 4 x + 2sin 2 x − m = 0 có ít nhất 1 nghiệm
π
thuộc [0; ].
(ĐH 2002 – A )
2
10
ĐS: 2 ≤ m ≤
3
2
x + mx − 1
80. Tìm giá trò của m để hàm số f ( x ) =
có cực đại và cực tiểu.
x −1
4


§4.

4

TÍNH LỒI, LÕM, ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ

1. Đònh nghóa: Giả sử hsố f có đồ thò có tiếp tuyến tại mọi điểm trên TXĐ
Hàm số f đgl có đồ thò lồi trên khoảng (a;b) nếu tiếp tuyến của đồ thò tại mọi điểm trên
khoảng đó đều nằm phía trên đồ thò
Hàm số f đgl có đồ thò lõm trên khoảng (b;c) nếu tiếp tuyến của đồ thò tại mọi điểm trên
khoảng đó đều nằm phía dưới đồ thò
Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm đgl điểm uốnycủa đồ thò
2. Dấu hiệu lồi, lõm, điểm uốn:
C
Đònh lí1:
Cho hàm số f có đạo hàm cấp 2 trên khoảng (a;b) và có đồ thò (C)M
B
- Nếu f’’(x) <0, ∀x ∈ (a; b) thì (C ) lồi trên (a;b)
- Nếu f’’(x) >0, ∀x ∈ (a; b) thì (C ) lõm trên (a;b)
N
A
Đònh lí 2:
x
a
Cho hàm số f có đạo hàm cấp 2 trên (a;b) (có thể trừ tại điểOm x0 thuộ
c (a;b)b nhưng tồcn tại f’(x0)) và
có đồ thò (C ). Nếu f’’(x) đổi dấu khi x qua x0 thì điểm U(x0; f(x0)) là 1 điểm uốn của đồ thò (C )
Chú ý: Tiếp tuyến của đồ thò hàm số tại điểm uốn xuyên qua đồ thò
VD: Tìm các khoảng lồi lõm, điểm uốn của đồ thò các hàm số sau:

a) y = x3+6x-4
b) y = x4+x2 -2
WWW.ToancapBa.Net

Trang 13


Qui tắc tìm khoảng lồi, lõm, điểm uốn:
B1: Tính y’, y’’ và giải pt y’’ = 0
B2: Xét dấu y’’
B3: Dựa vào dấu y’’ kết luận khoảng lồi lõm điểm uốn của đồ thò
Nhận xét:
 f ''( x0 ) = 0
1/ U(x0; f(x0)) là điểm uốn ⇒ 
. Nhưng ngược lại không đúng
 y0 = f ( x 0 )
2/ Nếu y'' ≤ 0,∀x ∈ (a;b) (hoặc y'' ≥ 0,∀x ∈ (a;b) ) và dấu bằmg chỉ xảy ra tại 1 số hữu hạn điểm
thì đồ thò hsố lồi( tng ứng lõm) trên (a;b)
Bài tập:
81. Tìm a,b để đồ thò hàm số y = x3-ax2+x+b nhận điểm I(1;1) làm điểm uốn
82. Tìm a để đồ thò hàm số y = x4-ax2+3
a)có 2 điểm uốn
b) không có điểm uốn
x +1
83. CMR đường cong y = 2
có 3 điểm uốn cùng nằm trên 1 đường thẳng. Viết ptđt đó.
x +1
84. Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thò các hàm số :
a) y = f(x) = x4−6x2+1


b) y = f(x) =

x2 − x + 4
x

85. Đònh m để đồ thò (Cm):y = f(x) = x3−3(m−1)x2+m2x−3 nhận I(1;−1) làm điểm uốn.
Kết quả: m = 2 .
4
2
86. Đònh m để đồ thò (Cm):y = f(x) = x −6mx + 3
a) Có hai điểm uốn.
Kết quả: m > 0
b) Không có điểm uốn.
Kết quả: m ≤ 0
87. Chứng minh rằng đồ thò (C): y =
thẳng đi qua 3 điểm uốn này.
Hướng dẫn và kết quả:

2x + 1
x + x +1
2

có 3 điểm uốn thẳng hàng. Viết phương trình đường

−→
1
1 −→
;0), C(1;1). AB = AC ⇒ A, B, C thẳng hàng. Đường thẳng d qua A, B, C qua
2
2

yC − yA 2
2
2
1
= nên có phương trình : y = k(x-xC)+yC = (x-1)+1⇔ y= x + .
C(1;1) có hệ số góc k =
xC − xA 3
3
3
3

(C) có 3 điểm uốn A(−2;−1), B(−

88. Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) = x2−3x+2
Kq: Lõm trên các khoảng (−∞;1) và (2; +∞). Lồi trên khoảng (1;2). Điểm uốn : I 1(1;0) và
I2(2;0)
89. Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) :
a) y=x3−3x2+2.

b) y =

x2 − x + 4
.
x+2

90. Chứng minh rằng đồ thò của các hàm số sau có phần lồi, lõm nhưng không có điểm uốn:
a) y =

x +1
x−2


.

b) y = x +

1
x

.

91. Tìm tham số để:
a) (Cm) : y=x3−3x2+3mx+3m+4 nhận I(1;2) làm điểm uốn.
b) (Ca,b) : y=ax3+bx2+x+1 nhận I(1;−2) làm điểm uốn.
c) Biện luận theo m số điểm uốn của (Cm) :y=x4+mx2+m−2 .
92. a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax 3+bx2+cx+d (a≠0) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau thì
điểm uốn của (C) nằm trên Ox.
b) Tìm m để (Cm):y = x3−3mx2+2m(m−4)x+9m2−m cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau (có
hoành độ lập thành một cấp số cộng).
Hướng dẫn và kết quả:
WWW.ToancapBa.Net

Trang 14


a) Cho y = 0⇔ ax3+bx2+cx+d = 0 có 3 nghiệm x1, x2, x3, lập thành cấp số cộng ⇒ 2x2= x1+x3
b
b
⇒ 3x2 = x1+x2+x3 = − ⇒ x2 = − . Vậy điểm uốn I(x2;0)∈Ox.
a
3a

b) Tìm I(m;m2−m).
Điều kiện cần : I∈Ox ⇒ m2−m = 0 ⇒ m = 0 V m = 1.
Điều kiện đủ : Chọn m = 1.

93. Tìm m để đồ thò (Cm):y = f(x) = x3−3x2−9x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có hoành độ lập
thành cấp số cộng.
Kết quả : m = 11.
94. Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thò (C) : y=x 3−3x2−9x+1 tại ba
điểm phân biệt A, B, C và AB = BC.
Hướng dẫn và kết quả :
•
Lập phương trình hoành độ giao điểm :
ax+b = x3−3x2−9x+1⇔ f(x) = x3−3x2−(a+9)x+1−b = 0.(1)
•
Điều kiện cần: Điểm uốn của đồ thò hàm số (1) là
I(1;−a−b−10)∈Ox ⇒ −a−b−10 = 0 ⇒ a+b = −10.
•
Điều kiện đủ : a+b = −10 ⇒ f(x) = (x−1).g(x) = 0 với
∆ g = 2 − b > 0

g(x) = x2−2x+b−1. YCBT ⇔ g(1) = b − 2 ≠ 0 ⇔ b<2


a + b = −10

Kết luận : b < 2


95. Tìm m để (Cm):y = x3−3mx2+2m(m−4)x+9m2−m có điểm uốn :
a) Nằm trên đường thẳng (d) : y = x.

b) Đối xứng với M(−3;−6) qua gốc tọa độ O.
c) Đối xứng với N(5;−20) qua Ox.
d) Đối xứng với P(−7;42) qua Oy.
1. Đònh nghóa:

§5

Kết quả : m = 0 V m = 2 .
Kết quả : m= 3 .
Kết quả : m= 5 .
Kết quả : m= 7 .

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

Cho hàm số f có đồ thò (C ). Ta nói đt (d) là đường tiệm cận của đồ thò (C ) nếu

lim d ( M ; d ) = 0

M →∞
M∈(C )

.

Trong đó M(x;y) → ∞ nếu x → ∞ hoặc y → ∞
2. Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang:
- Đường thẳng x = x0 đgl đường tiệm cận đứng của đồ thò (C ) của hàm số y = f(x) nếu 1 trong các đk
sau thõa mãn: lim− f ( x ) = +∞; lim+ f ( x ) = +∞; lim− f ( x ) = −∞; lim+ f ( x ) = −∞;
x → x0

x → x0


x → x0

x → x0

f ( x ) = y0 hoặc
- Đường thẳng y = y0 đgl đường tiệm cận ngang của đồ thò hàm số y=f(x) nếu xlim
→+∞
lim f ( x ) = y0

x →−∞

3. Đường tiệm cận xiên:
Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0 đgl đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số y=f(x) nếu
lim [ f ( x ) − (ax + b)] = 0 hoặc lim [ f ( x ) − (ax + b)] = 0

x →+∞

x →−∞

Chú ý:1/ Để xác đònh hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y= ax + b ta sử dụng các công thức sau:
f (x)
f (x)
a = lim
a = lim
hoặ
c
x →+∞
x →−∞
x

x
Và b = lim [ f ( x ) − ax ] hoặc b = lim [ f ( x ) − ax ]
x →+∞

x →−∞

P( x )
x →±∞
= ax + b + R( x ) , mà R( x ) 
→ 0 thì đường thẳng
Q( x )
y=ax+b là đường tiệm cận xiên của đồ thò.
Bài tập:
96. Tìm các đường tiệm cận của đồ thò các hàm số :
2/ Nếu có thể viết y dưới dạng y =

WWW.ToancapBa.Net

Trang 15


a) y =
b) y =

2x 2 − 1
.
x 2 − 3x + 2
2
x − x +1
.

x+2

Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2
Kết quả: x = −2 và y = x−3

97. Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thò các hàm số :
a) y = x + x 2 − 1
b) y =

x2 + x + 1
x

.

Kết quả: y = ±1

98. Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số y = x 2 + 1 .
99. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số: y = 3 3x 2 − x3 .
100. Cho (Cm ) : y =

x 2 + ( m 2 + 1) x + m 2 + m
x +1

Kết quả: y = ±x
Kết quả : y = −x+1.

.

a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thò (Cm).
b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thò (Cm) đi qua I(1;2).

101. Tìm trên đồ thò (C):y =

x+2
x +1

điểm M có tổng các k/cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

102. Lấy một điểm bất kỳ M∈(C):y = f(x) =

x 2 + 3x − 1
. Chứng
x−2

minh rằng tích các khoảng cách từ M

đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi.

Kq: d1.d2=

9
2

.

§6

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Sơ đồ các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số :
1/ Tìm TXĐ của hàm số, xét tính chẵn lẻ, tuần hoàn của hàm số
2/ Xét sự biến thiên của hàm số

a) Tìm các giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) và các tiệm cận của hàm số
b) Tính y’ xét dấu y’, suy ra chiều biến thiên và tìm các cực trò (nếu có) của hàm số và lập
BBT
3/ Vẽ đồ thò:
a) Vẽ các đường tiệm cận
b) Xác đònh các điểm đặc biệt của đồ thò (gđiểm với Ox, Oy (nếu toạ độ lẻ thì bỏ qua))
c) Nhâïn xét tính chất đối xứng, tính chất tuần hoàn của đồ thò (nếu có)
Một số hàm số thường gặp trong chương trình phổ thông:
A. Hàm bậc3: y = ax3 + bx2 +cx + d ( a ≠ 0 )
Vd: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò các hàm số
a) y = x3 – 3x2 + 2
b) y = x3+2x – 3
c) y = 3x2-x3
d) y = (1-x)3
4
2
B. Hàm bậc4 trùng phương: y = ax + bx + c(a ≠ 0)
Vd: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò các hàm số
e) y =

x4
1
− x2 +
2
2

f) y = x4+x2-2.

x +1
x −1


j) y =

g) y=2x2−x4-1

h) y=x4-1
ax + b
(c ≠ 0; ad − bc ≠ 0)
C. Hàm phân thức hữu tỉ bậc 1/1: y =
cx + d
Vd: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò các hàm số
i) y =

2x
x+2

WWW.ToancapBa.Net

Trang 16


ax 2 + bx + c
(a ≠ 0; c ≠ 0)
cx + d
Vd: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò các hàm số
D. Hàm phân thức hữu tỉ bậc 2/1: y =
k) y =

x2
x −1


l) y = x − 1 −

m) y =

(x − 2)2
1− x

n) y =

§7

4
x+2

−x2 − 4x − 3
x+2

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ

A. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
Cho hàm số y = f(x) có đồ thò (C ). Từ đồ thò hàm số f(x) có thể suy ra đồ thò các hàm số sau đây:
1. Hàm số y = f ( x ) có đồ thò (C’):
 f ( x ), x ≥ 0
Ta có y = f ( x ) = 
 f (− x ), x < 0
Và − x = x nên f là hàm số chẵn và đồ thò (C’) nhận Oy làm trục đối xứng. Với x ≥ 0 y = f(x) nên
đồ thò (C’) trùng với (C ) ở bên phải trục Oy. Do (C’) nhận Oy làm trục đối xứng nên lấy đối xứng
phần đồ thò vừa vẽ qua Oy ta sẽ được đồ thò (C’). Vậy đồ thò (C’) được suy ra từ đồ thò (C ) gồm 2 phần
như sau:

Phần 1: Trùng với đồ thò (C ) ở bên phải trục Oy
Phần 2: Lấy đối xứng của phần 1 qua Oy.
2. Hàm số y = f ( x ) có đồ thò (C’’):
 f ( x ), f ( x ) ≥ 0
Ta có y = f ( x ) = 
− f ( x ), f ( x ) < 0
Do đó đồ thò (C’’) được suy ra từ đồ thò (C ) gồm hai phân như sau:
Phần 1: Trùng với đồ thò (C ) ở phía trên trục Ox
Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thò của (C ) ở phía dưới trục Ox qua trục Ox
Nhận xét: Đồ thò (C’’) luôn luôn nằm phía trên trục hoành
3. Hàm số y = f ( x ) có đồ thò (C’’’):
Kết hợp mục 1 và mục 2 suy ra đồ thò (C’’’) gồm 3 phần như sau:
Phần 1: Trùng với đồ thò (C ) ở bên phải Oy là (C1)
Phần 2: Lấy đối xứng của phần 1 qua Oy là (C2)
Phần 3: Giữ nguyên phần (C1 ) U (C2 ) nằm phía trên Ox, và lấy thêm phần đối xứng của (C1 ) U (C2 )
nằm ở dưới trục Ox qua trục Ox
Nhận xét: Đồ thò (C’’’) nhận Oy làm trục đối xứng và luôn luôn nằm phía trên trục hoành
4. Hàm số y = f ( x ) có đồ thò (C4):
 y, y ≥ 0
Ta có y = 
. Như vậy khi y ≥ 0 thì y = f(x) nên đồ thò (C4) trùng với (C ) ở phí trên trục Ox,
− y, y < 0
khi y < 0 thì y = - f(x) nên (C4) là phần đồ thò lấy đối xứng của phần vừa vẽ được. Do đó đồ thò (C4)
được suy ra từ đồ thò (C ) gồm hai phần như sau:
Phần 1: Trùng với đồ thò (C ) ở phía trên trục Ox
Phần 2: Lấy đối xứng của phần 1 qua trục Ox.
Nhận xét: Đồ thò (C4) nhận trục hoành làm trục đối xứng
5. Hàm số y = f ( x ) có đồ thò (C5):
Ta có y = f ( x ) ⇔ y = ± f ( x ) . Do đó đồ thò (C5) được suy ra từ đồ thò (C ) gồm hai phần:
Phần 1: Trùng với đồ thò (C)

Phần2: Lấy đối xứng đồ thò (C ) qua Ox.
WWW.ToancapBa.Net

Trang 17


Nhận xét: Đồ thò (C5) nhận trục hoành làm trục đối xứng
P( x )
P( x )
P( x )
6. Hàm số y =
(C6) hoặc y = Q( x ) (C’6) từ đồ thò (C ): y =
:
Q( x )
Q( x )
 P( x )
, P( x ) ≥ 0
P( x )  Q( x )
=
Ta có y =
và giả sử P(x) ≥ 0, ∀x ∈ I ⊂ D . Do đó đồ thò (C6) được suy ra từ
Q( x )  P ( x )
−
, P( x ) < 0
 Q( x )
đồ thò (C ) gồm hai phần như sau:
Phần 1: Trùng với đồ thò (C ) ở trên miền x ∈ I
Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thò còn lại của (C ) ( trên miền x ∈ D \ I ) qua trục Ox
Nhận xét: Đồ thò (C6) nhận trục hoành làm trục đối xứng
Bài tập:

x−2

103. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C): y = x + 2 . Từ đồ thò (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thò của
các hàm số sau đây:
x−2

a) (C1): y = f1(x) = x + 2
x −2

b) (C2): y = f2(x) =

x−2
x+2
x−2

c) (C3): y = f3(x) = x + 2

d) (C4): |y| = f4(x) = x + 2

x−2
x+2

f) (C6): |y| = f6(x) = x + 2

e) (C5): y = f5(x) =

x−2

B. PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ:
Trong hệ trục toạ độ Oxy cho điểm I(x0;y0). Gọi IXY hệ trục toạ độ mới có gốc toạ độ I(x0;y0) và các

rr
trục IX, IY lần lượt có cùng vectơ đơn vò là i; j với hai trục Ox, Oy. Giả sử 1 điểm M có toạ độ
M(x;y) đối với hệ trục toạ độ Oxy và có toạ độ M(X; Y) đối với hệ trục toạ độ IXY. Vấn đề đặt ra là
tìm mối liên hệ giữa (x;y) và (X;Y)?
 x = x0 + X
uuuur uur uuur
Ta đã biết OM = OI + IM . Do đó ta có 
(1)
 y = y0 + Y
uur
Công thức trên đgl công thức chuyển hệ trục toạ độ trong phép tònh tiến theo vectơ OI
Giả sử trong hệ trục toạ độ Oxy (C ) là đồ thò của hàm số y = f(x), vậy trong hệ trục toạ độ mới IXY
đồ thò (C ) có phương trình như thế nào?
Từ công thức (1) ta thay x, y bởi x0 +X và y0 + Y vào hàm số y = f(x) ta sẽ được phương trình của
đường cong (C ) trong hệ trục toạ độ mới IXY là: Y = f(x 0 + X) – y0
Phép tònh tiến hệ trục toạ độ có ý nghóa rất quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất đối xứng của
đồ thò. Ví dụ, để chứng minh 1 hàm số có tâm đối xứng ta có thể dời hệ trục toạ độ về hệ trục toạ độ
mới mà trong hệ trục toạ độ đó hàm số là hàm lẻ, khi đó hàm số đã cho nhận gốc toạ độ mới làm tâm
đối xứng, …
C. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ:
- Để chứng minh một hàm số có tâm đối xứng, ta chứng minh rằng hàm số này là hàm lẻ trong một
uur
hệ trục toạ độ mới IXY qua phép tính tiến hệ trục toạ độ Oxy theo OI .
- Để chứng minh một hàm số có trục đối xứng, ta chứng minh rằng hàm số này là hàm chẵn trong
uur
một hệ trục toạ độ mới IXY qua phép tính tiến hệ trục toạ độ Oxy theo OI
Chẳng hạn: Hàm đa thức bậc 3: có tâm đối xứng là điểm uốn
Hàm hữu tỉ bậc 1/1 và bậc 2/1 có tâm đối xứng là giao điểm của 2 đường tiệm cận
Hàm bậc2 và hàm bậc 4 trùng phương có 1 trục đối xứng là đường thẳng đi qua điểm cực
đại hoặc điểm cực tiểu và song song với trục Oy


WWW.ToancapBa.Net

Trang 18


x 2 + 3x + 3
có 1 tâm đối xứng?
x+2
Giải: Ta có đường tiệm cận đứng: x = -2; đường tiệm cận xiên: y = x+1
Giao điểm của hai đường tiệm cận là I(-2;-1). Ta sẽ chứng minh I là tâm đối xứng của đồ thò
uur
Thật vây, dời hệ trục toạ độ Oxy về hệ trục toạ độ IXY theo phép tònh tiến theo vectơ OI = (−2; −1)
 x = −2 + X
theo công thức đổi hệ trục toạ độ 
thì đồ thò (C ) trong hệ trục toạ độ IXY có phương trình
 y = −1 + Y
Vd: Chứng minh rằng đồ thò (C ) của hàm số y =

( X − 2)2 + 3( X − 2) + 3
X2 +1
X2 +1
+1 =
. Rõ ràng hàm số Y = F(X) =
là hàm số lẻ nên đồ thò (C )
( X − 2) + 2
X
X
nhận gốc toạ độ I(-2;-1) của hệ trục toạ độ IXY làm tâm đối xứng. Vậy (C ) có 1 tâm đối xứng.
Bài tập:

104. CMR: đồ thò của hàm số y = 2x2-3x+1 có 1 trục đối xứng. Viết pt của trục đối xứng.
105. CMR: đồ thò của hàm số y = x4-3x2+2 có 1 trục đối xứng. Chỉ ra trục đối xứng đó.
x−2
106. CMR: đồ thò của hàm số y =
có 1 tâm đối xứng. Chỉ ra tâm đối xứng đó.
x+2
x2 − 2x − 3
107. CMR: đồ thò của hàm số y =
có 1 tâm đối xứng. Chỉ ra tâm đối xứng đó
x−2
108. CMR: đồ thò của hàm số y = x3-3x2+2 có 1 tâm đối xứng. Chỉ ra tâm đối xứng đó.
Y=

§8

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

1. Bài toán tương giao giữa hai đường cong:
2. Bài toán về họ đường cong tiếp xúc đường thẳng cố đònh, qua điểm cố đònh
3. Bài toán tìm toạ độ nguyên
4. Bài tập tổng hợp
Chương2
HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT.

§1

MỞ RỘNG KHÁI NIỆM LUỸ THỪA

1. Luỹ thừa với số mũ nguyên:
Cho a ∈ ¡ , n ∈ ¢

a.a........a
Khi n > 0 ta đn: an = 14 2 43 . Đặc biệt a1 = a
n

0

Khi n = 0 ta quy ước: a = 1 ( với mọi a khác 0)
1
Khi n < 0 ta đn: an = − n ( với mọi a khác 0)
a
Các tính chất:
n
n n
1/ a m .a n = a m + n
4/ (ab) = a .b
2/ a : a = a
m

n

m −n

a n an
5/ ( ) = n
b
b

m n
m .n
3/ (a ) = a

6/ Tính chất bất đẳng thức: Cho a ∈ ¡ , n, m ∈ ¢
Khi a >1 thì a m > a n ⇔ m > n
Khi 0< a <1 thì a m > a n ⇔ m < n
7/ Cho a > 0 và a ≠ 1 và m,n là 2 số nguyên ta có: a m = a n ⇔ m = n
Chú ý: các tính chất 6 và 7 được sử dụng thường xuyên trong việc giải các phương trình và bất
phương trình mũ. Đây là các tính chất quan trọng nhất.
2. Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:
a) Căn bậc n: Cho n nguyên dương, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho bn = a.
n
a = b ⇔ bn = a
Như vậy:

WWW.ToancapBa.Net

Trang 19


Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có 1 căn bậc n. Căn bậc n của 1 số âm là số âm, căn bậc n của 1 số
dương là số dương.
Khi n chẵn, mỗi số thực dương có 2 căn bậc n là 2 số đối nhau kí hiệu là n a và − n a
Các tính chất:
1/ căn bậc 1 của a là chính a
2/ căn bậc n của 0 là 0
3/ căn bậc chẵn của 1 số âm không tồn tại.
a, khi n lẻ
n n
4/ a = 
 a , khi n chẵn
5/ n ab = n a . n b
3. Luỹ thừa với số mũ thực:


§2

LÔGARIT
§ 3 HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT VÀ HÀM SỐ LUỸ THỪA
§ 4 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
1. Phương trình cơ bản:
Phương trình mũ cơ bản có dạng: a x = m . Khi m> 0 có 1 nghiệm duy nhất là x = logam
Phương trình logarit cơ bản coa dạng: loga x = m . Đk của pt là x >0. có nghiệm duy nhất x = am
2. Các phương pháp giải phương trình mũ và logarit:
Cơ sở lí thuyết để giải 1 phương trình mũ và phương trình logarit là dựa vào tính chất:
x
y
Với a > 0 và a ≠ 1 và x,y là 2 số thực ta có: a = a ⇔ x = y
Với a > 0 và a ≠ 1 và x,y là 2 số thực ta có: loga x = log a y ⇔ x = y
Từ đó ta suy ra các phương pháp giải pt mũ và pt logarit sau đây:
a) Phương pháp đưa về cùng cơ số:
2x
VD1: giải pt: (2 + 3) = 2 − 3
1
⇔ (2 + 3)2 x = 2 − 3 =
2+ 3
⇔ (2 + 3)2 x = (2 + 3)−1
⇔ 2 x = −1
⇔ x = −1/ 2
x
VD2: Giải pt: log3 (3 + 8) = 2 + x
log3 (3x + 8) = 2 + x = log3 32 + x
⇔ 3x + 8 = 32+ x
⇔ 3x + 8 = 9.3x

⇔ 3x = 1
⇔ x=0
b) Phương pháp logarit hoá 2 vế:
2
VD3: Giải pt: 2 x −2 x .3x = 1,5
G: Lấy logarit cơ số 2 hai vế ta được
3
x2 -2x +xlog23 = log2
2
2
⇔ x + (log2 3 − 2) x + 1 − log2 3 = 0
x = 1
⇔
 x = 1 − log2 3
WWW.ToancapBa.Net

Trang 20


* Thường thì pp logarit hoá hai vế được sử dụng khi pt chứa tích các luỹ thừa với cơ số khác
nhau. Chúng ta có thể lấy logarit theo cơ số bất kì nhưng để thuận lợi thì nên chọn cơ số thích
hợp.
c) Phương pháp đặt ẩn phụ: Trong nhiều trường hợp việc đặt ẩn phụ có ý nghóa rất quan trọng
giúp ta có thể chuyển bài toán về bài toán đơn giản hơn rất nhiều so với bài toán ban đầu, có
dạng quen thuộc đã biết cách giải
VD1: giải pt: 3x+1 +18.3-x = 29
18
x
G: pt ⇔ 3.3 + x = 29
3

18
3t + = 29
x
t
Đặt t = 3 , t > 0. ta được pt
⇔ 3t 2 − 29t + 18 = 0
3 x = 9
t = 9
x = 2
⇔ 2⇔ x 2⇔
3 =
t =
 x = log3 2 / 3

 3
3
* Có thể đặt ẩn phụ để chuyển 1 pt về 1 hệ phương trình đại số
VD2: Giải phương trình: 3x + 33−2 x = 6
G: Đặt u = 3x; v = 33-2x Đk: u > 0, v > 0
Ta có u + v = 6; u.v2 = 33 = 27
u + v = 6
Ta được hệ pt đại số  2
u.v = 27

3+3 5
u=

u
=
3



2
Giải hệ pt này ta được 
hoặc 
 v=3
 v= 9 − 3 5

2
3+3 5
2
* Đôi khi ta còn sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn có thể đưa pt về dạng quen
thuộc dễ dàng
x −2
x −2
VD3: Giải pt: 3.25 + (3 x − 10)5 + 3 − x = 0 (1)
G: đặt t = 5x-2, ĐK: t > 0 ta được pt: 3t2 + (3x – 10)t + 3 – x = 0. (2)
Ta coi pt trên là pt theo ẩn t với tham số x.
1

t1 =
2
2

3
Ta có ∆ t = (3 x − 10) − 12(3 − x ) = (3 x − 8) . Do đó pt (2) có 2 nghiệm 
t2 = 3 − x
Từ đó tìm được hai nghiệm của pt đã cho là x = 1 hoặc x = log3

 x −2 1

5 = 3
Từ đó ta được hai phương trình 
. Dễ dàng giải được hai phương trình này để tìm
x −2
5 = 3 − x
nghiệm x của pt (1)
d) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Ta chỉ ra 1 nghiệm của phương trình bằng
cách nhẫm và sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và logarit để chứng tỏ rằng nghiệm đó
là duy nhất của phương trình đã cho.
VD1 Giải pt 2 x = 3 − x
G: Ta thấy x = 1 là 1 nghiệm của pt. ta sẽ chứng tỏ rằng nghiệm này là nghiệm duy nhất của pt
đã cho. Thật vậy, vế trái của pt là hàm số y = 2x tăng trên R , vế phải của pt là hàm số y = 3-x
giảm trên R.
WWW.ToancapBa.Net

Trang 21


Do đó khi x > 1 thì 2x > 21 = 2 còn 3 – x < 2
Khi x < 1 thì 2x < 21 = 2 còn 3 – x > 2.
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.
Chú ý: Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải pt mũ và logarit thường được sử
dụng để giải các dạng pt sau:
u( x )
1/ a = P( x )
2/ loga u( x ) = Q( x )
3/ a u ( x ) + b v( x ) = c w ( x )
( Trong đó P(x), Q(x) là các đa thức )
* Đôi khi ta còn ứng dụng việc khảo sát sự biến thiên của hàm số để giải pt và hệ phương
trình

VD2: Giải pt: 3x + 4x = 5x
3 x 4 x
G: Chia 2 vế của pt cho 5x ta được: ( ) + ( ) = 1 .
5
5
Ta thấy x = 1 là 1 nghiệm của pt đã cho
3 x 4 x
3 x 3 4 x 4
Đặt f(x) = ( ) + ( ) ta có f’(x) = ( ) .ln + ( ) .ln < 0, ∀x ∈ ¡ . Do đó f(x) là hàm giảm trên R
5
5
5
5 5
5
nên khi x > 1 thì f(x) < f(1) = 1 và khi x < 1 thì f(x) > f(1) = 1.
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của pt đã cho.
e x − e y = x − y
(1)

VD3: Giải hệ pt sau: 
x
3
 log2 + log 2 4 y = 10 (2)
2

G: Đk: x>0; y>0
x
y
Ta có (1) ⇔ e − x = e − y (3).
Xét hàm số f(t) = et − t với t>0

Ta có f’(t) = et − 1 > 0, ∀t > 0 nên hàm số f(t) đồng biến khi t > 0
 f ( x ) = f ( y)
⇒ x = y . Thay y = x vào (2) ta được
Từ (3) suy ra 
 x > 0; y > 0
x
log2 + log 2 4 x 3 = 10 ⇔ log2 x − 1 + 2(2 + 3log 2 x ) = 10 ⇔ log2 x = 1
2
Do đó hệ có nghiệm duy nhất (2;2)
3. Hệ phương trình mũ và logarit:
Nói chung việc giải hệ pt không có 1 phương pháp chung nào, tuỳ theo từng bài cụ thể mà ta chọn
1 pp cho thích hợp. Thông thường ta hay sử dụng các pp sau đây:
1/ phương pháp cộng đại số
2/ phương pháp thế
3/ phương pháp đặt ẩn phụ đểeb đưa về hệ quen thuộc
4/ phương pháp khảo sát sự biến thiên của hàm số, . . .
2 x.3y = 12 (1)
VD1: Giải hệ pt sau:  x y
3 .2 = 18 (2)
G: (1) x (2) vế theo vế ta được 6x+y = 216 ⇔ x + y = 3 ⇔ y = 3 − x (3)
3 x 18 3 2
x 3− x
= ( ) ⇔ x = 2 . Suy ra y = 1
Thay (3) vào (2) ta được 3 .2 = 18 ⇔ ( ) =
2
8
2
Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm (2;1)
5log2 x − 3log 4 y = −8
VD2: Giải hệ pt: 

2
10 log2 x − log 4 y = −9
WWW.ToancapBa.Net

Trang 22


G: Đk: x > 0;y > 0
5 log2 x − 3log 4 y = −8
Hệ pt ⇔ 
.
20 log2 x − log 4 y = −9
Đặt u = log2x; v = log4y ta được hệ pt bậc nhất hai ẩn u,v quen thuộc đã biết cách giải!!!
 ln( x + 1) − ln(1 + y ) = x − y (1)
VD3: Giải hệ pt sau:  2
2
(2)
2 x − 5 xy + y = 0

G: ĐK: x;y > -1. Ta có thể viết (1) lại như sau: ln( x + 1) − x = ln(1 + y) − y (3)
1
−t
−1 =
= 0 ⇔ t = 0 . Hàm số f(t) tăng trên
Xét hàm số f(t) = ln(1+t) – t , t > -1. Ta có f’(t) =
1+ t
1+ t
(-1;0) và giảm trên (0; +∞) . Do đó (3) ⇔ f ( x ) = f ( y ) . Khi đó x = y hoặc xy < 0( nếu x;y thuộc
cùng 1 khoảng đơn điệu thì x = y , trong trường hợp ngược lại thì x.y < 0)
Nếu x.y < 0 thì VT của (2) luôn dương nên không thoã. Vậy x = y. thay y = x vào pt (2) ta được

nghiệm của hệ đã cho là (0;0)

Bài tập:

Bài1: Giải các pt sau đây:
1. (2 − 3) x + (2 + 3) x = 4
2. ( 2 − 3 ) x + ( 2 + 3 ) x = 4
3. (2 3 + 11)2 x −1 + (2 3 − 11)2 x −1 = 4 3
(4 − 5) x + (4 + 5) x = 62
7 x + 7 x +1 + 7 x +2 = 5x + 5x +1 + 5x + 2
3.49 x + 2.14 x − 4 x = 0
8x − 3.4 x − 3.2 x+1 + 8 = 0
7 x + 7− x 2
7 x + 7− x
) − 7.
+3 = 0
8. 2.(
2
2
9. 4 x + 4 − x + 2 x + 2 − x = 10
4.
5.
6.
7.

10. ( 2 − 3 ) x + ( 2 + 3 ) x = 2 x
Bài2: Giải các pt sau đây
11. 2 x + 1.5x = 2.102 x+ 5
x


12. 3x .8 x+ 2 = 6

3
2
Bài3: Giải các pt sau:
log 1 ( x − 1) + log 1 ( x + 1) − log 1 (7 − x ) = 1
14.
2
2
x
13. 2

2

−2 x

.3x =

2

3
log 1 ( x + 2)2 − 3 = log 1 (4 − x )3 + log 1 ( x + 6)3
2
4
4
4
1
2
16. log x +3 (3 − 1 − 2 x + x ) =
2

15.

17. log5 (3+ 1+3x )=log 4 (3x +1)
log3 (2 x + 1) − log 1 (3 − x ) = 0
18.
3

log2 x −1 (2 x + x − 1) + log x +1 (2 x − 1)2 = 4 (ĐH 2008 – A )
8
20. log2 x + log 8 32 x = 4
x
x
19.

2

2
21. log2 ( x + 1) − 6 log2 x + 1 + 2 = 0 (ĐH 2008 – B )

WWW.ToancapBa.Net

Trang 23


22.

WWW.ToancapBa.Net

Trang 24