TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
======

NGUYỄN THỊ MAI PHƯƠNG

NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH
VÀ PHÂN TÍCH NHÓM
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học
TS NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN

Em xin trân trọng bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới cô giáo – TS Nguyễn Thị
Kiều Nga. Cô đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành khóa
luận này.
Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại số và toàn thể
các bạn sinh viên trong khoa đã nhiệt tình góp ý, cộng tác, giúp đỡ em trong
suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận.
Do trình độ chuyên môn còn hạn chế , thời gian nghiên cứu eo hẹp nên
khóa luận này còn tồn tại nhiều thiếu sót. Em kính mong nhận được sự phê
bình góp ý của các thầy cô cùng toàn thể các bạn để khóa luận này trở nên
hoàn thiện hơn .
Em xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên
Nguyễn Thị Mai Phương


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo - TS Nguyễn Thị Kiều Nga.
Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả nghiên cứu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất cứ công
trình nào khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Nguyễn Thị Mai Phương


MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................... 3
1.1. Nhóm, nhóm con ..................................................................................... 3
1.2. Tập sinh của nhóm .................................................................................. 5
1.3. Cấp của nhóm, cấp của phần tử trong nhóm........................................... 5
1.4. Định lí Lagrange ..................................................................................... 6
1.5. Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương ....................................................... 6
1.6. Đồng cấu nhóm ....................................................................................... 7
1.7. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các nhóm ........................................ 9
CHƯƠNG 2. NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH.......................................... 11
2.1. Nhóm Abel tự do................................................................................... 11
2.2. Nhóm Abel hữu hạn sinh ...................................................................... 19

2.3. Một số nhóm Abel hữu hạn sinh đặc biệt ............................................. 24
CHƯƠNG 3. SỰ PHÂN TÍCH NHÓM ...................................................... 28
3.1. Định nghĩa nhóm phân tích được, nhóm không phân tích được .......... 28
3.2. Sự phân tích nhóm ................................................................................ 28
3.3. Sự phân tích các nhóm xyclic ............................................................... 31
3.4. Sự phân tích nhóm Abel hữu hạn sinh .................................................. 35
3.5. Bài tập ................................................................................................... 42
KẾT LUẬN .................................................................................................... 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 53


LỜI MỞ ĐẦU

Có thể nói rằng mọi ngành toán học hiện đại ngày nay trong quá trình
phát triển đều cần tới các cấu trúc đại số và tất nhiên cả những hiểu biết sâu
sắc các cấu trúc này. Sở dĩ vì hai đặc trưng cơ bản nhất của toán học là trừu
tượng và tính tổng quát, mà hai đặc tính này lại biểu hiện một cách rõ ràng
nhất trong đại số.
Đối tượng chủ yếu của cấu trúc đại số là nhóm, vành, trường. Trong đó
nhóm là một trong những đối tượng cơ bản và cổ điển nhất của toán học.
Nhóm Abel hữu hạn sinh và phân tích nhóm là hai vấn đề quan trọng trong lí
thuyết nhóm và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học
như phương trình đạo hàm riêng, hàm giải tích, đại số tuyến tính...
Với tất cả các ý nghĩa trên và lòng yêu thích chuyên ngành Đại số,
mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về một số vấn đề của Đại số hiện đại, cùng
với sự gợi ý và hướng dẫn tận tình của cô giáo - TS Nguyễn Thị Kiều Nga
em mạnh dạn chọn đề tài “ Nhóm Abel hữu hạn sinh và phân tích nhóm
”để làm khóa luận tốt nghiệp của mình.
Mục đích và nhiệm vụ chính của đề tài là cung cấp một số kiến thức cơ
bản về nhóm Abel hữu hạn sinh và sự phân tích nhóm.

Nội dung của đề tài được cấu trúc thành ba chương :
-

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị;

-

Chương 2: Nhóm Abel hữu hạn sinh;

-

Chương 3: Phân tích nhóm.
Trong đó, qua các định lí 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3 ta có thể thấy được sự đẹp

đẽ về cấu trúc của nhóm Abel hữu hạn sinh.

1


Mặc dù đã cố gắng rất nhiều song do chưa có kinh nghiệm, thời gian
cũng như năng lực còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu
sót.
Em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để khóa
luận được hoàn thiện hơn.

2


CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ


1.1. Nhóm, nhóm con
1.1.1. Nhóm
a. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1
Cho X một tập hợp khác rỗng, (.) là phép toán hai ngôi trên X. X được gọi là
một nhóm nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i)

(xy)z = x(yz), với mọi x, y,z  X .

ii) Tồn tại phần tử e  X có tính chất: xe = ex = x , với mọi xX.
iii) Với mọi xX, tồn tại phần tử x’ X sao cho xx’= x’x = e.
Chú ý
 Phần tử e thỏa mãn điều kiện ii) gọi là phần tử đơn vị của nhóm X.
 Phần tử x’ thỏa mãn điều kiện iii) gọi là phần tử nghịch đảo của x,
thường kí hiệu là x-1 .
Định nghĩa 1.1.2
Nhóm X gọi là nhóm giao hoán ( hay nhóm Abel ) nếu xy = yx với mọi
x,yX.
Định nghĩa 1.1.3
Nhóm X được gọi là nhóm hữu hạn (vô hạn) nếu tập X có hữu hạn (vô hạn)
phần tử.
b. Tính chất
Cho X là một nhóm, với e là phần tử đơn vị. Khi đó:
 Phần tử e của X tồn tại duy nhất.
 Mỗi phần tử x của X tồn tại duy nhất một phần tử nghịch đảo x-1.

3



Đặc biệt e-1=e ;(x-1)-1=x ; (xy)-1 = y-1x-1, với mọi x, y ∈ X
 Trong nhóm có luật giản ước, tức là với mọi x,y,zX:
xy = xz thì y = z.
yx = xz thì y = z.


Với mọi ,b ∈ X, các phương trình x = b và y = b có nghiệm duy nhất

trong X.


Cho xX, khi đó:
xn = x.x.......x
n

x-n = ( x-1)n
xnxm = xn+m
(xn)m = xnm
Quy ước x0 = e, với e là đơn vị của X
Nếu X là nhóm Abel thì (xy)n = xnyn , với mọi x,yX .
1.1.2. Nhóm con
a. Định nghĩa
Cho X cùng với phép toán hai ngôi (.) là nhóm , A là một bộ phận ổn
định của X .Khi đó, A được gọi là nhóm con của nhóm X nếu A cùng phép
toán cảm sinh lập thành một nhóm.
b. Điều kiện tương đương
Một tập con A của nhóm X là một nhóm con của X nếu và chỉ nếu các
điều kiện sau đây được thỏa mãn:
i)


Với mọi x,yA thì xyA.

ii) eA, với e là phần tử đơn vị của X.
iii) Với mọi xA thì x-1A
Hệ quả. Cho X là một nhóm, A ≠ ∅, A⊂X. Các điều kiện sau là tương đương
i) A là nhóm con của X.

4


ii) Với mọi x,y A thì xyA, x-1A.
iii) Với mọi x,yA thì xy-1A.
c. Tính chất
Giao của một họ khác rỗng các nhóm con của một nhóm X là một nhóm
con của X.
1.2. Tập sinh của nhóm
Định nghĩa
Giả sử G là một bộ phận của nhóm X. Giao của tất cả các nhóm con của
X chứa G là nhóm con của X chứa G gọi là nhóm con sinh bởi G,
kí hiệu : < G > .
Trong trường hợp < G > = X ta nói rằng G là một tập sinh của X hay X được
sinh ra bởi G.
Nếu G =

thì ta viết X = < >

Nếu X không được sinh bởi một tập con thực sự nào của G thì ta nói G là tập
sinh cực tiểu của X.
1.3. Cấp của nhóm, cấp của phần tử trong nhóm

Định nghĩa
Cấp của một nhóm X, kí hiệu |X|, là số phần tử của X nếu X có hữu hạn
phần tử, là ∞ nếu X có vô hạn phần tử.
Cấp của phần tử  X là cấp của nhóm xyclic sinh bởi , kí hiệu ord( ).
Chú ý
i) Cấp của

bằng 1 khi và chỉ khi

bằng ∞ khi và chỉ khi với mọi mZ*,

ii) Cấp của
m ≠ n thì

≠

e ( hay mọi m,nZ,

).
bằng m hữu hạn nếu m là số nguyên dương bé nhất thỏa

Cấp của
mãn

e.

.

5



1.4. Định lí Lagrange
Cho X là nhóm hữu hạn, A là nhóm con của X. Khi đó cấp của nhóm A là
ước cấp nhóm X.
Hệ quả
 Cho X là một nhóm hữu hạn cấp n thì mọi phần tử

X ta có

.

 Nếu X có cấp nguyên tố thì X là nhóm xyclic sinh bởi một phần tử
X, ≠e.
 Nếu p là số nguyên tố,

là số bất kì thì

chia hết cho p.

1.5. Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương
1.5.1. Nhóm con chuẩn tắc
a) Định nghĩa
Một nhóm con A của một nhóm X gọi là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu
x-1 x  A với mọi A, xX .
b) Ví dụ
i) Mọi nhóm X với đơn vị e có ít nhất hai nhóm con chuẩn tắc tầm thường
là X và {e}.
ii) Mọi nhóm con của nhóm Abel là nhóm con chuẩn tắc.
c) Điều kiện tương đương nhóm con chuẩn tắc
Giả sử A là nhóm con của nhóm X, các điều kiên sau tương đương:

i) A là chuẩn tắc.
ii) xA = Ax với mọi xX.
1.5.3. Nhóm thương
Định nghĩa
Cho X là một nhóm, A là nhóm con chuẩn tắc của X. Khi đó,
X

A

={xA|  xX}

6


cùng với phép toán hai ngôi (xA)(yA)= xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương
của X trên A.
Nhận xét
Nếu X là nhóm Abel thì X A cũng là nhóm Abel.
1.6. Đồng cấu nhóm
1.6.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.6.1
Cho X, Y là hai nhóm, cùng với các phép toán hai ngôi tương ứng là () và
(.). Một đồng cấu nhóm từ X đến Y là một ánh xạ f : X → Y sao cho:
f( b) = f( ).f(b) với mọi

∈ .

Nếu X=Y thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của X
Một đồng cấu nhóm và là đơn ánh thì gọi là một đơn cấu, một đồng cấu
nhóm và là toàn ánh gọi là một toàn cấu, một đồng cấu nhóm và là song ánh

gọi là một đẳng cấu. Nếu X=Y thì một đẳng cấu nhóm từ X đến Y gọi là tự
đẳng cấu nhóm X.
Định nghĩa 1.6.2
Giả sử f : X

Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, các phần tử đơn vị

của X và Y được kí hiệu theo thứ tự là ex , ey . Ta kí hiệu:
Imf = f (X)
Kerf = {xX | f(x) = ey } = f-1(ey)
và gọi Imf là ảnh của đồng cấu f , Kerf là hạt nhân của đồng cấu f .
1.6.2. Ví dụ
a) Giả sử A là một nhóm con của một nhóm X. Đơn ánh chính tắc :
f:A→X
là một đồng cấu gọi là đơn cấu chính tắc.

7


b) Ánh xạ đồng nhất của một nhóm X là một đồng cấu gọi là tự đẳng cấu
đồng nhất của X.
c) Giả sử A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X. Ánh xạ:
h:X→ X A
x

xA

là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm thương X A
Hơn nữa h còn là toàn cấu và gọi là toàn cấu chính tắc.
d) Nếu f : X → Y là một đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y thì ánh xạ ngược

f-1 : Y → X cũng là một đẳng cấu.
Ta nói hai nhóm X và Y đẳng cấu với nhau và ta viết X  Y , nếu có một đẳng
cấu từ nhóm này đến nhóm kia.
1.6.3. Tính chất
a) Tính chất 1
Giả sử X,Y,Z là các nhóm và f: X Y và g:Y Z là những
đồng cấu. Thế thì ánh xạ tích: g f : XZ cũng là một đồng cấu.
Đặc biệt tích hai đẳng cấu là một đẳng cấu.
b) Tính chất 2
Giả sử f : X  Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y . Khi đó :
i) f (ex ) = ey
ii) f (x-1) = [f(x)-1] với mọi xX .
c) Tính chất 3
Giả sử f : X Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, A là một nhóm
con của X và B là một nhóm con chuẩn tắc của Y. Khi đó:
i) f(A) là một nhóm con của Y
ii) f-1(B) là một nhóm con chuẩn tắc của X

8


d) Tính chất 4
Giả sử f : X Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Khi đó:
i) f là toàn ánh nếu và chỉ nếu Imf = Y
ii) f là đơn ánh nếu và chỉ nếu Kerf = {ex}
e) Tính chất 5
Giả sử f : XY là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, p: X
X

Kerf


là toàn cấu chính tắc. Khi đó:
i) Tồn tại duy nhất đồng cấu nhóm f : X Kerf Y sao cho f = f p .
ii) Đồng cấu f là một đơn cấu và Imf = f(X).

Hệ quả: Với mọi đồng cấu f : XY từ một nhóm X đến một nhóm Y, ta có
f (X) ≅ X Kerf
Đặc biệt nếu f: XY là một toàn cấu thì X Kerf  Y
.
1.7. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các nhóm
1.7.1. Định nghĩa
a) Giả sử (Gi )iI là một họ các nhóm với phép toán (.). trên tập tích :

 G = {(
iI

i

i)iI|

iGi,

iI}

Ta định nghĩa một phép toán nhân như sau :
( i)iI(bi)iI = ( ibi) iI
Khi đó

G
iI


i

là một nhóm và gọi là tích trực tiếp của họ nhóm {Gi} iI

b) Tổng trực tiếp của họ nhóm {Gi }iI , kí hiệu  Gi , là nhóm con của nhóm
iI

G
iI

i

gồm tất cả các phần tử ( i)iI sao cho

của nhóm

9

i

= ei hầu hết, với

là đơn vị


Chú ý: Nếu tập chỉ số I hữu hạn thì tổng trực tiếp và tích trực tiếp là trùng
nhau, tức là  Gi =
iI


G
iI

i

1.7.2. Tính chất
Cho A, B, C là các nhóm.
(1) A×B ≅ B×A
(2) ( A×B)×C= A×(B×C)
(3) Có thể đồng nhất A (tương ứng B) với nhóm con A×{ eB }( tương ứng
với { eA }×B ) của A×B nhờ đơn cấu sau:
A  A B  B  A B 


a (a, e B )  b (e A , B) 

(4) Từ tính chất (3) suy ra mỗi phần tử của A giao hoán với mọi phần tử của
B trong nhóm A×B:
b = ( , eB )( eA , b) = ( ,b) = ( eA , b)( , eB ) =

, ∀  A; b B.

(5) Trong nhóm A×B thì A∩B = {e}.
(6) Nhóm A×B được sinh bởi tập A∪B tức là A×B = <A∪B>.
(7) A, B là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm A B.
(8) ( A  B) A  B, ( A  B) B  A .

10



CHƯƠNG 2
NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH

Trong chương này phép toán trên nhóm Abel được viết theo lối cộng và
phần tử không luôn được kí hiệu là 0. Trước hết ta đi tìm hiểu về nhóm Abel
tự do.
2.1. Nhóm Abel tự do
2.1.1. Nhóm tự do
a) Định nghĩa
Giả sửX là một tập hợp tùy ý cho trước. Ta gọi nhóm tự do trên tập X
một nhóm F cùng với một ánh xạ f : X  F sao cho với mọi ánh xạ g:XG,
tồn tại một đồng cấu duy nhất h : F G sao cho biểu đồ sau giao hoán:

f

X

F

g

h
G

tức là g  h f
b) Tính chất
Định lý 1

Nếu một nhóm F cùng với một ánh xạ f : X  F là một nhóm tự do
trên tập X thì f là đơn ánh và f ( X ) sinh ra F.

Chứng minh
 Giả sử F ứng với ánh xạ f : X  F là một nhóm tự dotrên tập X.
Giả sử

b  X,  b. Ta chứng minhf ( )  f (b). Thật vậy,

chọn g : X  G với g ( )  g (b). Vì (F,f) là nhóm tự do trên X nên tồn tại
duy nhất đồng cấu h : F  G sao cho g  h f

11


Vìh [ f ( ) ] = g ( )  g (b) = h [ f(b) ] nên f ( )  f (b).
Vậy f là đơn ánh.
 f ( X ) sinh ra F. Thật vậy:
Giả sử A là tập con của F , A = < f ( X ) > Khi đó ánh xạ f xác định
một ánh xạ g : X  A với i g  f , trong đó i : A  F.
Theo định nghĩa nhóm tự do, tồn tại duy nhất một đồng cấu h : F  A
sao cho h f  g .
Xét biểu đồ :

f

X

F

j

f


k

F
Trong đó j là tự đồng cấu đồng nhất và k  i h
Vì ta có :
jₒf=f
kₒf=(iₒh)ₒf=iₒg=f
vì f là đơn ánh nên ta suy ra rằng : i ₒ h = k = j
Vì j là tự đồng cấu đồng nhất nên i ₒ h là toàn cấu, do đói là toàn cấu.
Như vậy A = F tức F được sinh ra bởi f ( X).
Định lý được chứng minh.
Định lý 2 ( Định lý về tính chất )
Nếu ( F, f ) và ( F’, f’ ) là nhóm tự do trên cùng một tập X thì có một
đẳng cấu duy nhất j : F  F’ sao cho j ₒ f = f’.
Chứng minh
Vì ( F, f ) là một nhóm tự do trên tập X nên tồn tại một đồng cấu duy
nhất

12


j : F  F’ sao cho j ₒ f = f’ , tức biểu đồ sau giao hoán:

f

X

F


f’

j
F’

Tương tự tồn tại một đồng cấu duy nhất k : F’  F sao cho k ₒ f’ = f
trong biểu đồ sau:

f’

X

F’

f

k
F

Bây giờ ta xét h = k ₒ j và tự đồng cấu đồng nhất i của F. Trong biểu đồ:

f

X

F

h

f


i

F
ta có : h ₒ f = ( k ₒ j ) ₒ f = k ₒ f’ = f ; i ₒ f = f, tức (kj)f = if
nên từ tính duy nhất trong định nghĩa ta suy ra rằng k ₒ j = h = i.
Vì i là đẳng cấu nên k ₒ j là đơn cấu, do đó j là đơn cấu.
Tương tự ta chứng minh được j ₒ k là tự đẳng cấu đồng nhất trên F’, từ đó j ₒ
k là một toàn cấu nênj là một toàn cấu.
Vậy j là một đẳng cấu.
Định lý được chứng minh.

13


Định lý 3 ( Định lý về sự tồn tại )
Cho X là một tập bất kì. Khi đó luôn tồn tại một nhóm tự do trên X.
Chứng minh
Xét tích Descartes T = X × { 1; -1 }.
Với mỗi  X , kí hiện

1

= ( , 1) ;

-1

= ( , -1)

Định nghĩa khái niệm “chữ” như sau : chữ W là tích hình thức hữu hạn

những phần tử của T, tức là có dạng a1 a2 ...an ;
1

2

n

i

X,i = 1, n , các i có thể

trùng nhau, i  { 1, -1 }, i = 1, n . Chữ W được gọi là rút gọn nếu trong biểu
diễn của W không có trường hợp a1 đứng cạnh a-1, a X.
Kí hiệu e thay cho “chữ rỗng”, tức là chữ “không có phần tử nào của
X”.
Kí hiệu F là tập tất cả các chữ rút gọn và phần tử e.
Trên F xác định phép toán hai ngôi như sau:
Giả sử u vàv là hai phần tử tùy ý củaF.
- Nếu u = e thì u.v = v
- Nếu v = e thì u.v = u
- Nếu u  e, v  e thì u.v được viết thành tích hình thức như trên, trong u.v ta
xóa đi các tích hình thức dạng a1a 1  a 1a1 nếu có mặt, suy ra u.v là chữ rút
gọn, nếu xóa hết thì coi u.v = e.
Khi đó F cùng với phép toán trên lập thành một nhóm.
Xác định ánh xạ f : X  F
a

a

1


Ta sẽ chứng minh ( F, f ) là nhóm tự do. Thật vậy,
giả sử X là nhóm bất kì, g : X  Y là ánh xạ bất kì. Xác định qui tắc:
h:FY
e

h (e) = 1Y

14


W = a1 a2 ...an
1

2

 g (a1 )

1

n

2

 g  a2   ... g (an )  n ; i  { 1, -1 }, i = 1, n


Ta có h là một đồng cấu nhóm và với mọi a  X :
( h ₒ f )(a) = h[ f (a) ] = h (a’) = [ g (a) ]’ = g (a)  h ₒ f = g
Chứng minh tính duy nhất của h. Thật vậy,

Giả sử tồn tại đồng cấu k : F  Y sao cho k ₒ f = g. Khi đó:  F, giả sử
w = a1 a2 ...an , ta có k ₒ f = g
1

n

2

k (w)   k (a1 ) 1  k (a2 ) 2 ... k  an 




1
2
  k (a11 )   k (a21 )  ...  k  an1  





n

n

  k[f (a1 )] 1  k[f (a2 )] 2 ... k[f  an  ]





n

n

 g(a1 ) 1 g(a2 ) 2 ...  g  an   h(w)




Suy ra k = h.
Nhận xét
Do f : X  F là một đơn ánh nên đồng nhất X với f ( X )khi đó ta có:
X  Fvà F =< X >
Mọi ánh xạ g : X  Y đều mở rộng thành đồng cấu h : F  Y. Khi đó
ta gọi F là nhóm tự do sinh bởi tập X .
Định lý 4
Mọi nhóm đều đẳng cấu với một nhóm thương của một nhóm tự do.
Chứng minh
Giả sử X là một nhóm tùy ý cho trước. Khi đó luôn tồn tại S  Xđể
X =< S >, chẳng hạn S = X.
Giả sử F là nhóm tự do sinh bởi S. Phép nhúng g : S  Xmở rộng ra
thành một nhóm đồng cấu h : F  X ,ta có h( F )  X

15


Mặt khác S = g( S )  h( S )( do h là mở rộng của g). Do đó h là toàn
cấu. Theo định lý cơ bản của đồng cấu nhóm ta có:

F


Kerh

X

.

Nhận xét
Giả sử Kerf =< R >, F =< S >. Khi đó

F

Kerh được xác định bởi tập S và R.

Ta gọi các phần tử của S là các phần tử sinh của X, các phần tử của R gọi
là các hệ thức cửa X.
Như vậy, nhómX bất kì được xác định bởi tập sinh S và tập hệ thứcR, do
đóX không còn tự do nữa; nhóm tự do F được xác định chỉ bởi tập S.
2.1.2. Nhóm Abel tự do
a) Định nghĩa
Giả sử S là một tập hợp tùy ý cho trước. Ta gọi nhóm Abel tự do trên
tập S là một nhóm Abel F cùng với một ánh xạ f : S  F sao cho với mọi
ánh xạ g : S  X từ tập S vào nhóm Abel X, tồn tại một đồng cấu duy nhất
h : F  X sao cho biểu đồ sau giao hoán:

f

F

S


g

h
X

Tức là g  h f .
b) Tính chất
Tương tự như nhóm tự do, ta có
 Định lý 1
Nếu một nhóm F cùng với một ánh xạ f : S  F là một nhóm Abel tự
do trên tập S thì f là đơn ánh và ảnh của nó f ( S ) sinh ra F .

16


 Định lý 2 ( Định lý về tính duy nhất )
Nếu ( F, f ) và ( F’, f’ ) là nhóm Abel tự do trên cùng một tập S thì có
một đẳng cấu duy nhất j : F  F’ sao cho j ₒ f = f’ .
 Định lý 3 ( Định lý về sự tồn tại )
Cho S là tập khác rỗng. Khi đó luôn tồn tại một nhóm Abel tự do trên S.
Chứng minh
Cho Z là nhóm các số nguyên.
Kí hiệu F = {  : S  Z sao cho ( S ) = 0 với hầu hết s  S }
Xác định phép toán cộng trong F như sau
Với mọi ,  F, s  S : (  + )( s ) = ( s ) + ( s ).
Suy ra  +  F
Phép toán cộng trên là phép toán đại số hai ngôi xác định trên F. Dễ
dàng kiểm tra được ( F, + ) là nhóm Abel, với phần tử trung hòa là  : S  Z
với

( s) = 0 với mọi s  S, phần tử đối của  là -: S Z với ( - )( s ) = -( s ).
Xác định ánh xạ f : S  F

s

f (s)

Với f(s) : S→Z được xác định như sau:
1 nếu t = s
∀ t ∈ S thì f (s)( t) =
0 nếu t  s
Khi đó ( F, f ) là một nhóm Abel tự do. Thật vậy,
giả sử g : S  X là ánh xạ tùy ý từ S đến nhóm Abel X. Khi đó ánh xạ:
h:FX



h( )    ( s).g ( s)
sS

là đồng cấu nhóm. Thật vậy:

17


     s .g  s 

Với mọi , F thì: h(  +  ) =

sS


=

   s     s .g  s 

=

   s .g  s     s .g  s 

=

  s .g  s     s .g  s 

sS

sS

sS

sS

= h( ) + h(  )
s  S ,  h f  s   h  f  s     f  s  t  .g  t   1.g  s   g  s   h f  g .
tS

Chứng minh tính duy nhất của h. Giả sử tồn tại h’ : F  X sao cho h’ ₒ f = g .
Giả sử  F thì

     s . f  s 
sS


;  (s) là số nguyên, f(s) là ánh xạ từ

S vào Z được xác định như trên.
Do h’ là đồng cấu nhóm nên:


h '( )  h'  (s) f (s)    ( s).h '  f ( s) 
 sS
 sS
  ( s).(h ' f )(s)   (s).g(s)  h(s)
sS

sS

Suy ra h’ = h.
Nhận xét: Vì f : S  F là đơn ánh nên tính chất đồng nhất S với f ( S )và khi
đó F =< S >. Ta có ánh xạ g: S  X đều mở rộng duy nhất thành đồng cấu
h : F  X , do đó nói gọn F là nhóm Abel tự do xác định trên S.
 Định lý 4
Mọi nhóm Abel đều đẳng cấu với nhóm thương của nhóm Abel tự do.
Chứng minh
Giả sử X là một nhóm Abel tùy ý cho trước, bao giờ cũng tồn tại S  X để
X = < S >,chẳng hạn S = X.

18


Giả sử F là nhóm Abel tự do sinh bởi S. Khi đó phép nhúng g : S  X
mở rộng ra thành một đồng cấu h : F  X , ta có h( F )  X (1).

Mặt khác S = g( S )  h( F ) ( do h là mở rộng của g ), mà X là nhóm
sinh bởi S nên X  h( F ) (2).
Từ (1) và (2) suy ra X = h( F )  h là một toàn cấu. Khi đó theo định lý
cơ bản của đồng cấu nhóm ta có :

F

Kerh  X .

Ta gọi tập sinh S là một cơ sở của nhóm Abel tự doF, S gọi là hạng
của nhóm Abel tự doF, kí hiệu là rank( F ).
2.2. Nhóm Abel hữu hạn sinh
2.2.1. Định nghĩa
Một nhóm Abel X gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một tập sinh hữu hạn.
2.2.2. Tính chất của nhóm Abel hữu hạn sinh
Định lí 1
Mọi nhóm Abel với n phần tử sinh đều đẳng cấu với một nhóm thương của
một nhóm Abel tự do hạng n.
Chứng minh
Giả sử X =<S >=< ( x1, x2,..., xn) > là nhóm Abel.
Giả sử (F, f ) là một nhóm Abel tự do sinh ra bởi S suy ra rank (F ) = n.
Lấy g : S → X là phép nhúng chính tắc. Vì (F,f) là nhóm Abel tự do nên tồn
tại duy nhất đồng cấu h : F → Xsao cho h f = g.
Ta cần chứng minh hlà một toàn cấu. Thật vậy:
Ta có h( F ) ⊂

(1)

Mặt khác S = g( S ) = (h ○ f )( S ) = h[ f ( S )] ⊂
Mà X =< S > nên X ⊂


(2)

19


= X . Vậy h là một toàn cấu. Theo định lý cơ bản

Từ (1) và (2) suy ra
về đồng cấu nhóm ta có

≅

Định lý được chứng minh.
Định lí 2
Mỗi nhóm con G
và rank(G) = m

của nhóm Abel tự do F hạng n là nhóm Abel tự do
Hơn nữa có một cơ sở S = { u1, u2, ..., un} của F và một

cơ sở B = {v1, v2, ...., vm} của G sao cho vi = ti .ui ,i =
số nguyên dương thỏa mãn: ti chia hết ti + 1 , i=

trong đó ti là các
.

Chứng minh
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Nếu rank (G) = 0 thì định lí đúng.

Giả sử định lí đúng với rank (G) <n, n > 0. Ta chứng minh định lí đúng với
trường hợp rank (F) = n.
là một cơ sở tùy ý của F, khi đó mọi g ∈

Giả sử

ta có

biểu diễn một cách duy nhất g = k1x1 + k2x2 + ... + knxn
Trong đó k1, k2, ..., kn là các số nguyên. Giả sử

là số nguyên dương nhỏ

hất xuất hiện như là một hệ số trong các dạng tuyến tính đó. Số
thuộc vào cơ sở . Giả thiết rằng cơ sở

đó phụ

của F đã được lựa chọn sao cho

có giá trị nhỏ nhất có thể được.
Đặt t1 =

. Theo định nghĩa của số nguyên dương

có một phần tử

v1∈ G sao cho t1 xuất hiện như là một hệ số trong biểu diễn của v1. Bằng cách
hoán vị các phần tử cơ sở x1, x2, ..., xn (nếu cần) ta có:
v1 = t1x1 + t2x2 + ... + tnxn

Trong đó k1, k2, .., kn là những số nguyên.
Chia các số nguyên k1, k2, .., kn cho số nguyên dương t1, ta được:
ki = qiti + ri ,

20


Nếu kí hiệu u1 = x1 + q2x2 + ... + qnxn thì ta được cơ sở
của F sao cho v1 = t1u1 + r2x2 + ... + rnxn.
nên từ sự lựa chọn của số dương t1 suy ra ri = 0,

Vì

. Khi đó v1= t1u1.

∀

Gọi H là nhóm con của F sinh bởi n – 1 phần tử x1, x2, ..., xn-1 thế thì là H
nhóm Abel tự do hạng n – 1.
Xét nhóm con K = H ∩ G của nhóm con G của F.
Vì H là nhóm Abel tự do hạng n – 1 và K là nhóm con của H nên từ giả thiết
quy nạp ta có rank ( K ) ≤ n – 1.
Giả sử rank ( K ) ≤ n – 1 thì m – 1 ≤ n – 1 suy ra m ≤ n. Lại theo giả thiết quy
nạp có một cơ sở { u1, u2,... , un} của H và một cơ sở {v2,... , vn} của K sao
cho vi = t1ui , i =

, trong đó t2, t3, ..., tm là những số nguyên dương sao cho

ti chia hết ti + 1, ∀


.

Giả sử J là nhóm con xyclic vô hạn của F sinh ra bởi phần tử v1. Vì v1∈ G nên
J⊂ .
là một cơ sở của F và v1 = t1.u1

Lại có

nên suy ra J ∩ K ⊂ J ∩ H = { 0 }.
Mặt khác, giả sử g ∈ , vì
Trong đó

Do g ∈ , v1∈

là một cơ sở của F nên có:

là những số nguyên. Chia c1 cho t1 ta được:

nên nhóm con G chứa phần tử:

k = g – qv1 = ( c1u1 + c2x2 + ... + cnxn ) – qt1u1
= ( c1u1 + c2x2 + ... + cnxn ) – c1u1 + ru1
= c2x2 + ... + cnxn + ru1
Vì

nên từ sự lựa chọn của số nguyên dương t1, suy ra r = 0. Khi

đó, k= c2x2 + ... + cnxn∈

. Suy ra k ∈


21

∩ G = K.