TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
-------------------------------

ĐỖ THỊ HƢỜNG

ĐỊA PHƢƠNG HÓA CỦA VÀNH VÀ
MODULE

HÓA U N T T NGHI P ĐẠI HỌC
C u nn

n :Đ

N ƣờ

số

ƣớn dẫn k oa ọc
T . S Đỗ Văn

HÀ NỘI - 2015

n


ỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa
Toán, các thầy cô trong tổ Đại Số, những ngƣời tận tình dạy dỗ, giúp đỡ
em trong bốn năm học vừa qua. Cũng nhƣ đã tạo điều kiện cho em trong
quá trình hoàn thành khóa luận.

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Đỗ Văn
Kiên, ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn, chỉ đạo và đóng gióp nhiều ý kiến
quý báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này.
Hà Nội, ngày…tháng…năm 2015
Sinh Viên

Đỗ T ị Hƣờn


ỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong suốt quá trình học
tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, em cũng đƣợc sự quan tâm tạo điều kiện
của các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hƣớng dẫn tận tình
của thầy giáo Đỗ Văn Kiên.
Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận em có tham khảo một
số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo
Em xin cam đoan kết quả của đề tài “ Địa p ƣơn

óa của v n

và module” không có sự trùng lặp cũng nhƣ sao chép kết quả của các đề
tài khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày…tháng…năm 2015
Sinh Viên

Đỗ T ị Hƣờn


MỤC ỤC

MỞ DẦU ................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................... 1
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ..................................................... 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu......................................................................... 1
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................... 1
6. Cấu trúc của khóa luận ...................................................................... 1
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÀNH ........................................ 3
1.1. Vành và các tính chất cơ bản. ......................................................... 3
1.2. Vành con và các tính chất cơ bản ................................................... 4
1.3. Miền nguyên và trƣờng................................................................... 4
1.4. Ideal ................................................................................................ 5
1.5. Vành thƣơng và đồng cấu vành ...................................................... 6
1.6. Module .......................................................................................... 10
1.7. Module con và các tính chất cơ bản ............................................. 11
1.8. Tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các module .. 11
1.9. Đồng cấu module .......................................................................... 12
1.10. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự ................................................. 13
Chƣơng 2: ĐỊA PHƢƠNG HÓA CỦA VÀNH ...................................... 15
2.1. Địa phƣơng hóa của vành ............................................................. 15
2.2. Phổ của vành R I ........................................................................ 24
2.3. Phổ của vành S -1 R ....................................................................... 26
Chƣơng 3: ĐỊA PHƢƠNG HÓA CỦA MODULE ................................ 35
3.1. Tích ten-xơ .................................................................................... 35
3.2. Dãy khớp ....................................................................................... 44
3.3 Địa phƣơng hóa của module .......................................................... 45
KẾT LUẬN ............................................................................................. 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 52



MỞ DẦU
1. ý do c ọn đề tài
Đại số là một ngành rất quan trọng của Toán học . Kiến thức Đại số
rất phong phú, trừu tƣợng và đƣợc xây dựng, phát triển từ những kiến
thức cơ sở của cấu trúc đại số: nhóm, vành, trƣờng…
Đại số giao hoán là một phần quan trọng của Đại số. Các khái niệm
Phổ của các vành R, R

I

và S 1R là những khái niệm trọng tâm cho việc

ứng dụng lý thuyết vành giao hoán vào đại số hình học.
Từ niềm yêu thích của bản thân với bộ môn này, cùng với sự giúp
đỡ tận tình của thầy giáo Đỗ Văn Kiên em mạnh dạn thực hiện khóa luận
tốt nghiệp với tiêu đề: “ Địa p ƣơn
2. Mục đíc n

óa của v n v module”

n cứu

Cung cấp kiến thức về địa phƣơng hóa của vành và module
3. Đố tƣợn v p

mv n

n cứu

+) Đối tượng: Các kiến thức cơ bản về địa phƣơng hóa của vành,

địa phƣơng hóa của module. Đặc biệt là phổ của vành R

I

và phổ của

vành S 1R .
+) Phạm vi: Nội dung kiến thức trong phạm vi của đại số giao
hoán.
4. N ệm vụ n

n cứu

Tìm hiểu về địa phƣơng hóa của vành, đặc biệt là phổ của vành

S 1R .
5. P ƣơn p áp n

n cứu

+) Phân tích tài liệu có liên quan
+) Tổng hợp kinh nghiệm của bản thân.
6. Cấu trúc của k óa luận

1


Chƣơng 1: Kiến thức cơ bản về vành
Chƣơng 2: Địa phƣơng hóa của vành
Chƣơng 3: Địa phƣơng hóa của module.


2


C ƣơn 1.

IẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÀNH

Trong phần này sẽ trình bày lại một số kiến thức về vành và các
tính chất cơ bản về vành, miền nguyên và trƣờng, ideal, module, quan hệ
thứ tự và tập sắp thứ tự.
1.1. V n v các tín c ất cơ bản
Địn n

ĩa 1.1.1. Cho X là một tập khác rỗng, trên X trang bị hai

phép toán hai ngôi, kí hiệu là (+) và (.) gọi là phép cộng và phép nhân. X
đƣợc gọi là vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau
i) X cùng với phép toán cộng là nhóm Abel
ii) X cùng với phép toán nhân là nửa nhóm
iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với mọi x, y , z  X
ta có

x  y  z   xy  xz và  y  z  x  yx  zx .
Chú ý 1.1.2.
+) Vành X đƣợc gọi là vành có đơn vị nếu X là một vị nhóm nhân;
+) Vành X đƣợc gọi là vành giao hoán nếu phép nhân có tính chất
giao hoán;
+) Vành X đƣợc gọi là vành giao hoán có đơn vị nếu X là vị nhóm
nhân giao hoán;

+) Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0;
+) Phần tử đơn vị của phép nhân (nếu có), kí hiệu là 1;
+) Ở trong khóa luận này luôn quy ƣớc vành đƣợc hiểu là vành giao
hoán có đơn vị 1.
Địn n

ĩa 1.1.3 (Đặc số của vành). Cho X là một vành, nếu tồn tại số

nguyên dƣơng n nhỏ nhất sao cho n.1  0 thì ta nói rằng X có đặc số là

n , ngƣợc lại ta nói X có đặc số bằng 0. Đặc số của X kí hiệu là Char X .

3


Địn lý 1.1.4. Mọi x, y , z  X , n 

ta có

+) x.0  0;
+)  n.x . y  n.( x. y)  x. n. y  ;
+)  x  y .z  xz  yz .
Địn n

ĩa 1.1.5 (Tập con nhân đóng). Cho R là vành, tập con S của

R đƣợc gọi là tập con nhân đóng nếu thỏa mãn
i) 1 S .
ii) Với mọi x, y  S thì xy  S .
1.2. V n con v các tín c ất cơ bản

Địn n

ĩa 1.2.1. Giả sử X là một vành, A là một bộ phận ổn định với

hai phép toán trong X , nghĩa làvới mọi x, y  A thì x  y  A, x. y  A
.Một bộ phận ổn định A của X , A là một vành con của X nếu A cùng
với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành.
Địn lý 1.2.2.Cho X là một vành, A là một bộ phận khác rỗng của X .
Khi đó các điều kiện sau đây là tƣơng đƣơng
i) A là một vành con của X .
ii) Với mọi x, y  A suy ra x  y  A, xy  A,  x  A.
iii) Với mọi x, y  A suy ra x  y  A, xy  A.
1.3. M ền n u n v trƣờn
Địn n

ĩa 1.3.1 (Ƣớc của không). Cho a  X , a  0, a đƣợc gọi là ƣớc

của không nếu tồn tại b  X , b  0 sao cho a.b  0 .
Địn n

ĩa 1.3.2 (Miền nguyên). Cho X là vành có nhiều hơn một

phần tử . X đƣợc gọi là miền nguyên nếu nó không có ƣớc của 0 .
Địn n

ĩa 1.3.3 (Trƣờng). Một miền nguyên trong đó mọi phần tử

khác không đều khả nghịch trong vị nhóm nhân đƣợc gọi là một trƣờng.

4



Nhƣ vậy, nếu X là trƣờng thì  X * ,. là nhóm Abel với X *  X \ 0 .
N ận xét 1.3.4. Đặc số của một miền nguyên hoặc bằng 0 , hoặc là một
số nguyên tố.
1.4. Ideal
Địn n

ĩa 1.4.1. Cho X là một vành, I là tập con của X . I đƣợc gọi

ideal của X khi nó thỏa mãn các điều kiện sau
i) I   .
ii) Với mọi a, b  I thì a  b  I .
iii) Với mọi a  I , r  X thì r.a  I .
Địn lý 1.4.2. Cho X là vành, I  X , I   . Các điều kiện sau đây
tƣơng đƣơng
i) I là ideal của X .
ii) Với mọi a, b  I , x  X thì a  b  I , a.x  I .
Địn lý 1.4.3.
i) Giao của tất cả các ideal của X là một ideal của X .
ii) Cho X là vành, I là ideal của X . Nếu 1 I thì X  I .
Địn n

ĩa 1.4.4 (Ideal nguyên tố). Cho R là vành, ideal I của R đƣợc

gọi là ideal nguyên tố nếu
i) I  R .
ii) Nếu x. y  I thì x  I hoặc y  I
Ví dụ 1.4.5.  , ,. là vành giao hoán thì 0, p
của


là các ideal nguyên tố

, p

Địn n

ĩa 1.4.6 ( Ideal cực đại). Ideal I của vành R đƣợc gọi là ideal

cực đại nếu thỏa mãn hai điều kiện sau
i) I  R .
ii) Không tồn tại ideal B của R chứa I mà I  B, B  R . Hay nói

5


một cách khác I là phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm trong tập các
ideal thực sự của R .
Ví dụ 1.4.7.  , ,. là vành giao hoán thì p

là ideal cực đại, với p là

số nguyên tố.
Địn n

ĩa 1.4.8 (Ideal mở rộng). Cho R, S là các vành và f : R  S là

một đồng cấu vành. Cho I là ideal của R , ideal f  I  S của S sinh bởi

f  I  đƣợc gọi là mở rộng của I trong S thƣờng đƣợc kí hiệu là I e .

Địn n
một

ĩa 1.4.9 ( Ideal co rút). Cho R, S là các vành và f : R  S là

đồng

cấu

vành.

Cho

là

J

ideal

của

S

thì

f 1  J  : r  R | f  r   J  là ideal của R đƣợc gọi là ideal co rút của
J trong R , thƣờng đƣợc kí hiệu bởi J c .

Địn n


ĩa 1.4.10 (ideal sinh bởi một tập). Cho U là tập con của vành

X . Giao của tất cả các ideal của X chứa U là một ideal chứa U và
đƣợc gọi là ideal sinh bởi tập U . Ký hiệu U .
N ận xét 1.4.11.
+ U là ideal nhỏ nhất của X chứa U .
+ Nếu U là tập con hữu hạn của X thì ta nói I  U là ideal hữu hạn
sinh của X





+ Nếu U  ui | i  1, n thì U 

 x u | n 
n

i 1

i

i

*

, x i  R,u i U




+ Nếu U   thì U  0  0 .
1.5. V n t ƣơn v đồn cấu v n
Địn n
X

A

ĩa 1.5.1. Cho A là ideal của vành X . Khi đó nhóm thƣơng

  x  A | x  X  cùng với hai phép toán

6


 x  A   y  A  x  y  A
 x  A  y  A   xy  A
lập thành một vành gọi là vành thƣơng của X theo ideal A .
N ận xét 1.5.2.
+) Do X là vành giao hoán nên X cũng là vành giao hoán.
A
+) Do X là vành có đơn vị là 1 nên X cũng là vành có đơn vị 1  A
A
.

0   x  0 | x  X   X
X  x  X | x  X    X 
X
X

+)


Ví dụ 1.5.3. Ta có n

là ideal của
n

,(n  ) nên có vành thƣơng

 0  n ,..., n  1  n



Địn lý 1.5.4. Cho R là vành, I là ideal của R . Khi đó
+) Nếu J là ideal của R sao cho J  I thì J là ideal của vành thƣơng
I
R

I

+) Mỗi ideal  của R

I

đều có dạng J

I

với J là ideal của R thỏa mãn

J I .


+) Nếu J1 , J 2 là các ideal của R sao cho J1 , J 2  I .Thì J1  J 2 khi
I
I
và chi khi J1  J 2 .
Địn n

ĩa 1.5.5. Cho X , Y là hai vành. Ánh xạ f : X  Y gọi là đồng

cấu vành nếu với mọi x, y  X . Ta có
f  x  y  f  x  f  y
f  xy   f  x  . f  y 

7


Hơn nữa
+) f gọi là đơn cấu nếu f là đồng cấu vành và f là đơn ánh.
+) f gọi là toàn cấu nếu f là đồng cấu vành và f là toàn ánh.
+) f gọi là đẳng cấu nếu f là đơn cấu và f cũng là toàn cấu.
+) Cho hai vành X , Y ta nói X đẳng cấu với Y nếu tồn tại một đẳng cấu
vành f : X  Y .
Địn lý 1.5.6. Ta có các khẳng định sau
i) Tích của hai đồng cấu vành( nếu có) là một đồng cấu vành.
ii) Cho f : X  Y là đồng cấu vành, trong đó X là một trƣờng thì f
là đồng cấu không hoặc đơn cấu.
iii) Cho f : X  Y là một đồng cấu vành.
+) Nếu f có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành
g : X  Y sao cho g. f  1X thì f là đơn cấu.


+) Nếu f có nghịch đảo phải tức là tồn tại một đồng cấu vành
g : X  Y sao cho f .g  1Y thì f là toàn cấu.

+) Nếu f có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì f là đẳng cấu.
iv) Cho f : X  Y là đồng cấu vành, A là một vành con của X , B là
ideal của Y thì
+) f  A là một vành con của Y.
+) f 1  B  là một ideal của X .
Đặc b ệt: Cho f : X  Y là đồng cấu vành.
Hạt nhân của f , kí hiệu là Kerf , Kerf   x  X | f  x   0Y  .
Ảnh của đồng cấu f , kí hiệu Im f  f  X    f  x   Y | x  X  .

8


Khi đó
+) X là vành nên Im f là vành con của Y .
+) 0Y  là ideal của Y nên Kerf là ideal của X .
Vậy
+) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf  0 X  .
+) f là toàn cấu khi và chỉ khi Im f  Y .
Địn lý 1.5.7. Cho đồng cấu vành f : X  Y , A, B tƣơng ứng là các
ideal của X , Y sao cho f ( A)  B . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu
vành f : X

A

Y

B


sao cho biểu đồ sau giao hoán
f
X 
Y

pB

pA

X

A


Y
f

nghĩa là f p A  pB f với p A : X  X

A

B

, pB : Y  Y

B

là hai toàn cấu


chính tắc.
Đặc biệt: Nếu A  Kerf , B  0Y  thì Y

B

Y

0Y 

 Y , khi đó ta

có biểu đồ sau giao hoán
f
X 
Y

p

X

f

Kerf

nghĩa là f p  f với p : X  X Kerf là toàn cấu chính tắc.
Nếu f là toàn cấu vành thì X Kerf  Y .
Hơn nữa f là đơn cấu và Im f  Im f .

9



Hệ quả 1.5.8
(1) Cho f : X  Y là đồng cấu vành thì X
(2) Nếu f : X  Y là toàn cấu vành thì X

Kerf
Kerf

 Im f .
Y .

(3) Cho A, B là hai ideal của X thỏa mãn B  A , khi đó
X

B



 X A

 A
B

.

(4) Nếu B, C là các ideal của X thì ( B  C ) C  B B  C .
1.6. Module
Do ban đầu ta đã mặc định vành đƣợc hiểu là vành giao hoán, có
đơn vị nên ở đây ta chỉ định nghĩa module trái. Đó cũng chính là định
nghĩa module.

Địn n

ĩa 1.6.1. Cho R là vành có đơn vị, một nhóm Abel cộng M

đƣợc gọi là một R - module , hay còn gọi là module trên R nếu tồn tại
một ánh xạ gọi là phép nhân với vô hƣớng

R M  M
( , x)

x

sao cho các điều kiện sau thỏa mãn
i)     x   x   x .
ii)   x  y    x   y.
iii)   x     x .
iv) 1.x  x ( tính chất Unitar).
Với các phần tử tùy ý  ,   R và x, y  M .
N ận xét 1.6.2. Nếu R là một trƣờng thì R - module là một không gian
vectơ trên R hay R - không gian vectơ.

10


1.7. Module con v các tín c ất cơ bản
Địn n

ĩa 1.7.1. Cho M là R - module, N  M , N gọi là R - module

con của module M nếu N là R - module với hai phép toán cảm sinh.

Địn lý 1.7.2. Cho M là R - module, N  M . Khi đó các điều kiện sau
là tƣơng đƣơng
i) N là R - module con của M .
ii) Với mọi x, y  N ,  R suy ra x  y  N , x  N .
iii) Với mọi  ,   R, x, y  N suy ra  x   y  N .
Ví dụ 1.7.3. Cho M là R - module thì M luôn có hai module con tầm
thƣờng là module con không 0 và M .
Ví dụ 1.7.4. Mọi nhóm Abel cộng M là

- module thì các module con

của M chính là các nhóm con của R .
Ví dụ 1.7.5. Mọi vành có đơn vị R là R - module thì các ideal trái của

R là các module con của R .
Ví dụ 1.7.6. Cho R - module M và x là phần tử của M . Khi đó tập hợp

Rx  ax : a  R là module con của M .
Địn lý 1.7.7. Giao của một họ tùy ý các module con của M là một
module con của M .
1.8. Tổn trực t ếp, tíc trực t ếp,
Địn n

n tử trực t ếp của các module

ĩa 1.8.1(Tích trực tiếp). Cho M i là một họ các R - module,

i  I . Trên tập

 M   x 

iI

i

i iI

: xi  M i

 xác định hai phép toán cộng

và nhân vô hƣớng nhƣ sau

 xi iI   yi iI   xi  yi iI
  xi iI   xi iI

11


với  xi iI ;  yi iI   M i ,   R. Khi đó
iI

M
iI

i

là R - module và gọi

là tích trực tiếp của họ module M i iI .
Địn n


M i  {  xi iI : xi  0 hầu hết}.
ĩa 1.8.2 ( Tổng trực tiếp). Đặt i
I

M i cùng với phép cộng và nhân vô hƣớng nhƣ trên là R Khi đó i
I

module và gọi là tổng trực tiếp của họ các module M i iI .
Địn lý 1.8.3. Cho M là R -module và A, B là các module con của M .
Khi đó, M  A  B khi và chỉ khi M  A  B, A  B  0 .
Địn n

ĩa 1.8.4 (Hạng tử trực tiếp). Cho N là module con của R -

module M . Ta nói N là hạng tử trực tiếp của M khi và chỉ khi tồn tại
một module con P của M sao cho M  N  P . Khi đó, ta cũng nói P là
một module con phụ thuộc của N trong M .
1.9. Đồn cấu module
Địn n

ĩa 1.9.1. Cho M , N là các R - module, ánh xạ f : M  N

đƣợc gọi là một đồng cấu module hay R - đồng cấu (còn gọi là ánh xạ
tuyến tính) nếu f thỏa mãn hai tính chất sau
i) f  x  y   f  x   f  y  với mọi x, y  M
ii) f  x    f  x  với mọi   R, x  M
+) Nếu một đồng cấu f là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì nó tƣơng
ứng đƣợc gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu;
+) Nếu f  M   0N  thì f đƣợc gọi là đồng cấu không và thƣờng đƣợc

viết là  ;
+) Kerf  f 1  0 đƣợc gọi là hạt nhân (hạch)của f .

Im f  f  M  đƣợc gọi là ảnh của f .

12


Cok er f  N
Coimf  M

Im f

Ker f

đƣợc gọi là đối hạch của f .
đƣợc gọi là đối ảnh của f .

+) Một đồng cấu từ M vào M đƣợc gọi là một tự đồng cấu của M .
+) Hai R - module M và N đƣợc gọi là đẳng cấu, viết là M  N , nếu
tồn tại một đẳng cấu R - module từ M đến N .
N ận xét 1.9.2. Cho R - đồng cấu f : M  N . Khi đó f là đồng cấu
không khi và chỉ khi Kerf  M và f là một toàn cấu khi và chỉ khi
Im f  N .

Địn lý 1.9.3. Cho M , N là các R - module, ánh xạ f : M  N là đồng
cấu module khi và chỉ khi

f  x   y    f  x    f  y  , với mọi x, y  M , ,   R .
Ví dụ 1.9.4.

+) Cho M , N là R - module, ánh xạ  : M  N
x

0

là đồng cấu module.
+) Cho M là R - module thì ánh xạ đồng nhất id: M  M
x

x

là đẳng cấu module.
1.10. Quan ệ t ứ tự v tập sắp t ứ tự
Địn n

ĩa 1.10.1. Cho V là một tập khác rỗng. Một quan hệ hai ngôi

   đƣợc gọi là quan hệ thứ tự trên V

nếu thỏa mãn 3 điều kiện

i) Phản xạ: Tức với mọi u V , u  u .
ii) Phản xứng: Tức với mọi u, v V : u  v và v  u thì u  v
iii) Bắc cầu: Tức với mọi u, v, w V nếu u  v và v  w thì u  w

13


Khi đó ta viết V ,   đƣợc gọi là tập sắp thứ tự
+) Tập sắp thứ tự V ,   đƣợc gọi là sắp thứ tự toàn phần nếu với mọi


u, v V luôn có
u  v
v  u


Ta viết u  v nếu u  v và u  v
Địn n

ĩa 1.10.2. Cho X là tập sắp thứ tự, tập A  X , A đƣợc gọi là

một xích của X nếu A cùng với quan hệ thứ tự bộ phận của X lập
thành tập sắp thứ tự toàn phần.
Khi đó nếu A  a1 ,..., an  không giảm tính tổng quát ta có thể viết
a1  a2  ...  an .

Địn n

ĩa 1.10.3 (Phần tử cực đại, cực tiểu, cận trên, cận dƣới). Cho

 X ,   là tập sắp thứ tự.
+ Phần tử m  X đƣợc gọi là phần tử cực đại (cực tiểu) của X nếu
tồn tại n  X mà m  n  n  m thì m  n .
+ A X ,

 X , 

là tập sắp thứ tự, a0  X gọi là cận trên (cận

dưới) của A nếu với a  A thì a  a0 ( a0  a ).

Bổ đề (Zorn) 1.10.4. Cho tập sắp thứ tự  X ,   khác rỗng. Nếu mọi tập
con sắp thứ tự toàn phần (khác rỗng) của X đều chứa một cận trên của

X thì X có ít nhất một phần tử cực đại.

14


C ƣơn 2: ĐỊA PHƢƠNG HÓA CỦA VÀNH
Chƣơng này ta chủ yếu trình bày về địa phƣơng hóa của vành R ,
phổ của vành R
2.1. Địa p ƣơn

I

và phổ của vành S 1R .
óa của v n

Địn lý 2.2.1. Cho R là vành, S là tập con nhân đóng của R trên

R  S   r , s  | r  R, s  S  xác định quan hệ

nhƣ sau

với mọi  r, s  ,  r ', s '  R  S thì

 r, s   r ', s '  t  S : t  rs ' sr '  0 .
Khi đó

là một quan hệ tƣơng đƣơng trên tập R  S .


Chứng minh. Thật vậy
+) Với mọi

 r, s   R  S ,

S 

do

nên t  S

ta luôn có

t  rs  sr   t.0  0 suy ra

 r, s   r, s  , suy ra

có tính chất phản xạ.

+) Với mọi  r, s  ,  r ', s '  R  S mà  r , s 

 r ', s '

suy ra tồn tại t  S

sao cho t  rs ' sr '  0 suy ra t  r ' s  s ' r   0 suy ra  r ', s '
ra

có tính chất đối xứng.


+)

Với

mọi

 r, s  ,  r ', s ' ,  r '', s ''  R  S

mà

 r, s  , suy

 r, s   r ', s '

 r ', s '  r '', s ''
suy ra tồn tại s1 , s2  S thỏa mãn s1  rs ' sr'  0 và s2  r ' s '' s'r''  0
suy ra s1rs '  s1sr ' (1), và s2 r ' s ''  s2 s ' r '' (2)
Nhân cả hai vế của (2) với s1s ta có
s1.s.s2 .r '.s ''  s1.s.s2 .s '.r ''
 s1.s.r '.s2 .s ''  s1.s.s2 .s '.r ''
 s1.r.s'.s2 .s ''  s1.s.s2 .s '.r ''

15

và


 s1s ' s2  rs '' sr ''  0
Đặt t  s1s ' s2  S suy ra t  rs '' sr ''  0 , suy ra  r, s 


 r '', s '' , suy ra

có tính chất bắc cầu.
Vậy
ý

là một quan hệ tƣơng đƣơng trên tập R  S .
r

ệu S 1R  R  S   : r , s | r  R, s  S  .
s


 

Trên tập S 1R trang bị hai quy tắc    và  . nhƣ sau

r b rt  bs
 
.
s t
st
r b rb
.  .
s t st
Khi đó hai quy tắc trên là các phép toán. Thật vậy, giả sử rằng

r , r ', b, b '  R; s, s ', t , t '  S sao cho


r r'
b b'
 và 
s s'
t t'
suy ra tồn tại u, v  S sao cho

 rs ' sr ' u  0
bt ' tb ' v  0
nhân đẳng thức thứ nhất với vtt ' và dẳng thức hai với uss ' rồi cộng lại
chúng ta đƣợc

uv  s ' t '  rt  bs   st  r ' t ' b ' s '    0 .
Do uv  S nên

rt  bs r ' t ' b ' s '

st
s 't '
Tƣơng tự, có thể chứng minh với phép nhân.
Khi đó phép    và  . là phép toán hai ngôi trên S 1R và S 1R cùng

16


với hai phép toán trên là một vành giao hoán có đơn vị là

1
, phần tử
1


không là

0
.
1

Địn n

ĩa 2.1.2. Cho S là tập con nhân đóng của vành R , khi đó S 1R

đƣợc gọi là địa phƣơng hóa của R theo S , hay địa phƣơng hóa của R
bằng cách làm khả nghịch mọi phần tử của S .
N ận xét 2.1.3. Cho S là tập con nhân đóng của vành R .
i) Đồng cấu

f : R  S 1 R
a
a
1
là đồng cấu tự nhiên
có kerf  a  R | s  S : sa  0 , suy ra f là đơn cấu nếu S không chứa
ƣớc của không.
ii) Đơn vị của S 1R là

1 s
 , với mọi s  S vì 1,1
1 s

iii) Phần tử không của S 1R là

iv) Cho a  R, s  S thì

 s, s 

0 0
 với mọi s  S vì  0,1
1 s

 0,s  .

a 0
 nếu và chỉ nếu tồn tại t  S sao cho
s 1

t 1a  0s   0 , tức là tồn tại t  S sao cho ta  0 .
v) Nếu 0  S thì vành S 1R là vành tầm thƣờng, tức là

1 0
 nếu và chỉ
1 1

nếu tồn tại t  S sao cho t.1  0 .
vi) Nếu 0  S , thì vành S 1R là không tầm thƣờng, đồng cấu vành tự
nhiên f : R  S 1R không cần là đơn ánh.( vì chỉ trong một số trƣờng
hợp nó mới là đơn ánh, ta sẽ chỉ ra điều này trong những mệnh đề tiếp

17


theo).

vii) Cho a  R, s, t  S thì

a at

.
s st

viii) Cho b, c  R, s  S ta có

b c bc
 
.
s s
s

Mện đề 2.1.4. Nếu R là một miền nguyên và S là tập con nhân đóng
không chứa không thì f : R  S 1R là một đơn cấu vành.
Chứng minh. Ta có

f : R  S 1 R
a

a
1

Hiển nhiên f là một đồng cấu vành. Hơn nữa giả sử f  a  

a
0
0

1
1

tức là tồn tại s  S sao cho s 1.a  1.0  sa  0 , nhƣng 0  S tức là s  0
cho nên a  0 ( vì R là một miền nguyên).
Vậy f là một đơn cấu.
N ận xét 2.1.5. Giả sử I là ideal nguyên tố trong một miền nguyên R .
Khi đó S  R \ I là một tập con nhân đóng không chứa 0 và mọi phần tử
của I đều không khả nghịch trong S 1R .
Thật vậy do I là ideal nguyên tố nên theo định nghĩa ideal nguyên tố suy
ra S là một tập con nhân đóng không chứa 0 .
Theo mệnh đề 2.1.4. f : R  S 1R là một đơn cấu vành. Ta giả sử bằng
phản chứng phần tử a 

a
của I khả nghịch trong S 1R .
1

Khi đó, có r  R, s  S sao cho

a r ar 1
   . Tức là có t  S để cho
1 s s 1

t  ar  s   0 trong R .Vì R là miền nguyên và t  0 ( do t  S ) nên

18


ar  s  0 suy ra s  ar  I . Do I là ideal. Điều này vô lý vì

s  S  R \ I . Mâu thuẫn, do đó bác bỏ giả thiết phản chứng.Vậy ta có

điều phải chứng minh.
Địn lý 2.1.6. Cho S là tập con nhân đóng của vành R và

f : R  S 1 R
a
a
1
là đồng cấu vành tự nhiên
Hơn nữa f có tính chất
i) Mọi phần tử của f  s  đều khả nghịch trong S 1R .
ii) Với mọi a  R, f  a   0, tồn tại t  S sao cho ta  0 .
iii) Mọi phần tử

1
a
của S 1R ,  a  R, s  S  đều có dạng f  a  . f  s   .
s

Chứng minh. Dễ thấy f là đồng cấu vành, vì với mọi x, y  R
f  x  y 
f  xy  

i) Với mọi s  S , f  s  
f s 

x y x y
   f  x  f  y
1

1 1
xy x y
   f  x  f  y .
1 1 1

s 1 1
1
s
thì tồn tại  S 1 R thỏa mãn   suy ra
1
1 s 1
s

s
khả nghịch trên S 1R .
1

ii) Với mọi a  R, f  a   0 khi và chỉ khi

a 0
   a,1
1 1

 0,1

tồn tại s  S sao cho s 1.a  1.0  0  sa  0 .
1

a
a a 1 a s

1
iii) Với mọi  S 1R suy ra        f  a  . f  s  .
s 1 s 1 1
s

19

suy ra


Địn lí 2.1.7 ( Tính phổ dụng của địa phƣơng hóa). Cho R, X là vành,
S là tập con nhân đóng của R . Cho đồng cấu vành g : R  X sao cho

mọi phần tử g  s  đều khả nghịch trong X với mọi s  S . Khi đó tồn tại
duy nhất đồng cấu vành h : S 1R  X làm cho biểu đồ sau giao hoán.
g

R

X
h

f
S 1R

tức là h. f  g
Chứng minh.
a
+) Tính duy n ất. Do h. f  g nên h    g  a  với mọi a  R và
1

1
1
1
h    hf  s   g  s  với mọi s  S . Ta suy ra
s

1
a
h    g  a  .g  s  ,
s

suy ra h đƣợc xác định duy nhất bởi g .
1
a
+) Sự tồn t . Đặt h    g  a  . g  s   . Khi đó h đƣợc định nghĩa tốt
s

vì nếu

a a'
 ta suy ra tồn tại t  S sao cho  as ' a ' s  t  0 . Ta suy ra
s s'

 g  a .g  s '  g  a '.g  s   g t   0 . Vì g t  khả nghịch (theo giả thiết)
nên g  a .g  s '  g  a '.g  s  . Vì g  s  , g  s ' khả nghịch nên
g  a . g  s    g  a '. g  s '  . Dễ thấy ho f  g .
1

1


Địn lí 2.1.8. Cho g : R  X là đồng cấu vành thỏa mãn
i ) g  s  khả nghịch với mọi s  S

20


ii ) Nếu g  a   0 thì tồn tại s  S sao cho as  0 .
iii ) Với mọi x  X , a  R, s  S ta suy ra x  g  a . g  s   .
1

Khi đó tồn tại duy nhất h : S 1R  X thỏa mãn ho f  g .
Chứng minh. Xét đồng cấu

h : S 1 R  X
1
a
g  a  . g  s  
s
ta suy ra h. f  g .
+ Theo iii) ta suy ra h là toàn cấu.
1
a
+ Nếu h    0 ta suy ra g  a . g  s    0 , suy ra g  a   0 . Từ ii suy
s

ra tồn tại t  S sao cho at  0 suy ra h là đơn cấu.
Vậy ta có điều phải chứng minh .
Ví dụ 2.1.9. Cho R là vành giao hoán, S là tập các phần tử khả nghịch
của R . S là tập con nhân đóng của R và S 1R  R .
Ví dụ 2.1.10. Cho R là miền nguyên, S  R \ 0 là tập nhân đóng và


S 1R là một trƣờng và đƣợc gọi là trƣờng các phân thức của miền
nguyên R .
Thật vậy. S 1R là vành giao hoán có ít nhất hai phần tử
chỉ

ra

với

mọi

0
1
và . Ta phải
1
1
1

r 0

s 1

thì

tồn

tại

r

  .
s

Vì

r 0
  t  S : rt  0  r  0 .
s 1
Vì R là miền nguyên ta suy ra r  S suy ra

21

r s 1
s
 S 1 R thỏa mãn  
r
s r 1