TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẢT LY

TRẦN THỊ THU

NGHIÊN CỨU VỀ CÁC TOÁN TỬ
TRONG VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
•

•

•

•

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS.LUtJ

HÀ NỘI - 2015

t h ị k im t h a n h


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, bằng tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn cô giáo,
PGS.TS.Lưu Thị Kim Thanh, người đã hướng dẫn và tận tình chỉ bảo cho em
trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.

Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt cho em những kiến thức quý báu trong suốt
bốn năm học vừa qua.
Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn bè, những người đã giúp đỡ
động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu đế hoàn thiện khóa luận này.

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên
Trần Thị Thu


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên
cứu. Bên cạnh đó, em nhận được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô
giáo trong khoa Vật lý. Đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của cô giáo PGS.TS
Lưu Thị Kim Thanh.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em có tham khảo một
số tài liệu ghi trong mục tài liệu tham khảo.
Vì vậy, em xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong đề tài “Nghiên cứu về các
toán tử trong vật lý” không có sự sao chép, trùng lặp với bất cứ đề tài nào khác.

Sinh viên

Trần Thị Thu


MỤC LỤC
PHÀN 1: MỞ ĐẦU................................................................................................1

1. Lý do chọn đề tài.................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu......................................................................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứu...................................................................................2
5. Nội dung nghiên cứ u ......................................................................................... 2
PHÀN 2: NỘI DUNG...........................................................................................3
CHƯƠNG 1: MỘT SÓ VẤN ĐÈ c ơ

BẢN CỦA TOÁN TỬ.................... 3

1.1. Toán tử..........................................................................................................3
1.1.1. Định nghĩa.............................................................................................3
1.1.2. Ma trận của toán tử liên h ợ p ............................................................... 3
1.1.3. Toán tử Hermite.................................................................................... 5
1.1.4. Toán tử Unita U(t) ..............................................................................8
1.1.5. Phép tính của toán tử...........................................................................10
1.2. Vectơ riêng và trị riêng của toán t ử ......................................................... 12
1.2.1. Định nghĩa........................................................................................... 12
1.2.2. Tĩnh chất của trị riêng và vectơ riêng của toán tử Hermite.............14
1.2.3. Phương trình đặc trưng của toán tử ...................................................15
Kết luận chương 1
CHƯƠNG 2: CÁC TOÁN TỬ TRONG VẬT LÝ ........................................ 18
2.1. Toán tử Hamilton.......................................................................................18
2.2. Toán tử tịnh tiến T .....................................................................................21
2.3. Toán tử xung lượng................................................................................... 22
2.4. Toán tử moment xung lượng....................................................................24
2.5. Toán tử sinh hạt và hủy hạt boson........................................................... 25
2.6. Toán tử sinh hạt và hủy hạt Fermion.......................................................27
2.7. Toán tử spin của electron.......................................................................... 30



2.8. Một số toán tử khác....................................................................................33
2.9. Điều kiện đế hai đại lượng vật lý đồng thời xác định trong cùng một
trạng thái................................................................................................................34
2.10. Định lí Ehrenfest..................................................................................... 35
Kết luận chương 2
CHƯƠNG 3: MỘT SỐ HỆ THỨC ĐẠI SỐ TOÁN TỬ QUAN TRỌNG
............................................................................................................................... 38
3.1. Hệ thức 1..................................................................................................... 38
3.2. Hệ thức 2..................................................................................................... 39
3.3. Hệ thức 3..................................................................................................... 39
3.4. Hệ thức 4.....................................................................................................40
3.5. Hệ thức 5..................................................................................................... 41
3.6. Hệ thức 6..................................................................................................... 43
3.7. Hệ thức 7.....................................................................................................44
3.8. Hệ thức 8..................................................................................................... 45
3.9. Hệ thức 9..................................................................................................... 45
3.10. Hệ thức 10................................................................................................ 46
Kết luận chương 3
PHÀN 3*: KẾT LUẬN......................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................. 49


PHÀN 1:MỞ ĐẦU
l.Lý do chọn đề tài
Cơ học lượng tử xuất hiện vào nửa đầu thế kỉ XX, là một trong những lý
thuyết cơ bản của vật lỷ học. Cơ học lượng tử là phần bổ sung và mở rộng
của cơ học Newton (còn gọi là cơ học cổ điển). Nó còn là cơ sở của rất nhiều
các chuyên ngành khác của vật lý như vật lý chất rắn, vật lý lý thuyết,...
Trong các công thức toán học của cơ học lượng do Paul Dirac và John von
Neuman phát triển, các trạng thái khả di của một hệ cơ học lượng tử được

biểu diễn bằng các vectơ đơn vị (còn gọi là các vectơ trạng thái) được thể hiện
bằng các hàm số phức trong không gian Hilbert (không gian trạng th á i). Bản
chất của không gian Hilbert này lại phụ thuộc vào hệ lượng tử. Mỗi quan sát
trong hệ lượng tử được biểu diễn bằng một toán tử tuyến tính Hermite xác
định (hay một toán tử tự hợp ) tác động lên không gian trạng thái. Mỗi trạng
thái riêng của một quan sát tương ứng với một vectơ riêng (còn gọi là hàm
riêng) của toán tử, và một giá trị riêng ( còn gọi là trị riêng) tương ứng với giá
trị của quan sát trong trạng thái riêng đó. Neu phổ của toán tử là rời rạc thì
quan sát chỉ có thể có được những giá trị riêng rời rạc.
Trong cơ học cổ điển, trạng thái của hệ có thể xác định bằng tập các tọa
độ và xung lượng. Các đại lượng vật lỷ này đủ để đặc trưng cho trạng thái của
hệ cơ học và được gọi là các đại lượng động lực của cơ học. Trong cơ học
lượng tử, mỗi thuộc tính vật lý đều được đặc trưng bởi một toán tử. Ví dụ như
năng lượng, động lượng, tọa độ,... đều có một toán tử tương ứng. Mặt khác cơ
học lượng tử được xây dựng bằng một hệ các tiên đề, bằng một loạt các công
cụ toán, trong đó toán tử giữ một vị trí quan trọng. Việc hiểu rõ toán tử và
tính chất của chúng là rất cần thiết đối với người học cơ học lượng tử nói
riêng và vật lý nói chung.

1


Vì lý do trên nên em quyết định chọn đề tài " Nghiên cứu về các toán tử
trong vật lý."
2.Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về các toán tử trong vật lý để tạo ra công cụ hữu hiệu dùng trong
nghiên cứu các hệ hạt vi mô thuộc cơ lượng tử
3.ĐỐÌ tượng nghiên cứu
Các toán tử cơ bản thường được sử dụng
4.Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết trường lượng tử
5.Nội

dung nghiên cửu

Chương 1: Một số vấn đề cơ bản của toán tử
Chương 2: Các toán tử trong vật lý
Chương 3: Một số hệ thức đại số toán tử quan trọng

2


PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: MỘT SÓ VẤN ĐÈ c ơ BẢN CỦA TOÁN TỬ

1.1. Toán tử
1.1.1. Định nghĩa
Cho không gian X, dim

x= p và không gian Y, dim Y= q. Từ đó định

nghĩa: [4]
a. Một phép toán nào đó, biến phần tử X a X thành phần tử y a Y được
gọi là một ánh xạ. Kí hiệu phép toán này là F , phép toán biến
X —» y được viết như sau:
Fx = y ( x e X , ỵ e F)
b. Ánh xạ F được gọi là tuyến tính nếu:

1.1.2. Ma trận của toán tử liên hợp
Ta biết rằng tác dụng của toán tử A lên vectơ trạng thái Ịụ/') dẫn đến trạng

thái mới mô tả bởi vectơ trạng thái Iọ ) . Định nghĩa này được viết dưới dạng
phương trình [3]:
( 1. 1)

3


Bây giờ ta khai triển Iv') và Iợ?) theo cơ sở IIịị^Ỷị; ( n ) là các vectơ riêng
của toán tử A : AI un^ = an Iun))

k ) = Zc„|w„);c „ =(w„k)
ìì

\f>) = 'L b „ \ u , ) ’b„ = {u,ị(p}
lì

Nhân hai vế của phương trình (1.1) với bra vectơ (ọ\ ta thu được:

(H â \i// ) = X {m ,n

(1.2)

n

Ở đây ta đã sử dụng ị ọ \ un} —( u n Iọ ) và
(\ u n

ả \Ium

)/ = a m (u
Iu ) = a /Mổ m n = a n
\
n I m /

Tương tự, ta có:

(1.3)
Xét các vectơ bra (ụ/\ (tương ứng với ket |ụ/)) và (ự?I(tương ứng với ket
I(p) ) trong không gian đối ngẫu z*
H H v ')
(«p| = A là toán tử tác dụng trong không gian đối ngẫu z

(1.4)

, chuyển bra (ự I thành

/ I Toán tử A
—+gọi là toán tử liên hợp với A
^ .
bra \(Ọ\.
Dựa vào biểu thức của tích vô hướng:
(y/,ọ) = (y/,ọ) tức là {y/\ọ) = {ọ\y/) đồng thời thay |ự^)và (thức của nó trong (1.4) ta thu được:

4


Dựa vào định nghĩa (1.5), dễ dàng suy ra các tính chất của việc lấy liên hợp

toán tử như sau:
1

Â+ì = Ấ

2. ( л Я ) + = Я 'А Н

( 1.6)

3. ( Â + ê ) = я + + ß +
4. (Ä ß ]+ = ß +A+
Toán tử A tác dụng trong không gian z có cơ sở trực chuẩn

Ị|gn)j được

biếu diễn bởi ma trận A có các phần tử là:
Aj = ( e/

А ej

(1.7)

Ma trận biếu diễn toán tử A liên hợp với A sẽ được biêu diễn bởi ma trận
có các phần tử là: ( ^ +).. - ị^i A e ị ^ - ịej A ei^Ị - Aij. Cuối cùng ta có

)j- = Ai =

)i■• Như vậy ma trận A+ biểu diễn toán tử A thì bằng ma

trận A (biểu diễn toán tử А) chuyển vị và lấy liên hợp phức.

1.1.3. Toán tử Hermite
Định nghĩa toán tử Hermite: Toán tử A gọi là toán tử Hermite nếu
А = А ,trong đó A là toán tử liên hợp Hermite với A và được xác định bởi
hệ thức tương tự (1.5)


Như vậy nêu A là toán tử Hermite thì ta có:

= { ¥ A
(1.9)

Sử dụng (1.2), (1.3) và (1.9) thu được an - an, nghĩa là trị riêng a n của
toán tử Hermite A là sô thưc.
Từ định nghĩa A = A và công thức (1.7) ta có thế suy ra ma trận A biếu
diễn một toán tử Hermite có tính chất sau:

A += A

(1.10)

hay ma trận A gọi là ma trận Hermite với các phần tử A với các tính chất sau:

Thí dụ: toán tử tọa độ X là toán tử Hermỉte
Xét toán tử trong biểu diễn tọa độ {|jt)Ị. Vì cơ sở không gian vectơ trạng
thái là các vectơ riêng của toán tử tọa độ X trong biểu diễn tọa độ
X \x ) = x\x)

(1.12)

X =x
Trị trung bình của tọa độ của hệ ở trạng thái \{ự) bằng:
( x ) = ( y 1*1^) = I d x ị d x ( ỵ
=

x ô ị x —X ^{x \y/^dx

= j dxy/* (x)xi/a(x)

(113)


Xét sự thay đối của toán tử X trong biểu diễn xung lượng. Trước hết ta xét
trị trung bình của toán tử X ở trạng thái \ự) bằng cách khai triển \ự) trong
biểu diễn xung lượng:
{ x ) = ị ỵ X \ự^Ị = Ịdp(y/\p)(^p X y/^Ị

(1.14)

Đ ặ t: I# ) = X Iy/) . Sử dụng quy tắc tổng ket-bra Ị J dpIp)(p I= 1j , khai triển
ịx\p} = ịx X lự^Ị trong cơ sở {!/;)} thu được:
1

ipx

{x\P) = Ị d p ( x \ p ) ( p \ / 3 ) = 2n:hì Ịdp e h ( p \ p )

(1.15)

Mặt khác ta cũng có thể khai triển (xịp) dưới dạng:
( x \ p ) = ( x ị x ị y / \ = x(x\y/) = ị d p ( x \ p ) ( p \ ự )
-l t
^
= (2 7ĩfi) 2 x \ dpe h a(p)
ipx \

= (2nfí) 2ị d p ị ^ - i h — e h a(p)
Tích phân từng phần ta thu được:
(

( x \ p ) = (2 Jih)

ipx

\

+.

ipx

1_

e f' a ( p ) ị It Z - - Ị d p e ' <
J
ỉ. J
dp

(1.16)

Xét các trạng thái cơ bản, a(p) -> 0 vì p —» ±00 ? do đó số hạng thứ nhất
trong công thức (1.16) tiến đến 0
(1.17)
So sánh (1.15) và (1.17) ta tìm được:
l p \ p ) = ỉh -ị-a{ p )
'
dp

7

( 1. 18)


Thay (1.18) vào (1.17) ta có:

ịx )

r
(
ả \
= ịd p a * ( p ) i h —— a ( p )

Do đó X = iti— là dạng của toán tử X trong biểu diễn xung lượng.
Ta có thế thiết lập biểu thức của toán tử xung lượng trong biếu diễn xung
lượng tương tự như thiết lập biểu thức của toán tử tọa độ trong biểu diễn tọa
độ, nghĩa là:
p * \ p ) = p * \ p ) ’ ĩ ,x = p*

(>-19)

Khi chuyển sang biểu diễn tọa độ, toán tử xung lượng có dạng:
d

C:
Px

( 1.20)

dx

1.1.4. Toán tử Unita U(t)
Toán tử Unita được định nghĩa như sau:
O(f)|i//(0)} = |i//(f))

(1.52)

Với \ĩự (o)),\iị/ (í)) là trạng thái ban đầu ( t=0) và trạng thái của hệ ở thời
điểm t. Tác dụng của u (í) chuyển trạng thái ban đầu \y/ (0)) thành trạng thái
k ( 0 ) ở thời điểm t.
Toán tử

u (t) không làm thay đổi điều kiện chuẩn hóa :
ị ỵ (í)|ị^(í)) = (y/ (0) ữ (t)ũ (t) y/ (oỳj = ( ỵ (0)|(^ (o)) = 1

đòi hỏi ữ (t) là toán tử Ưnita:
ũ \ t ) ũ ( t ) =\

(1.53)

trong đó u là toán tử liên hợp Hecmite của U(t), I là toán tử đơn vị.

- Xét toán tử Unita:
ữ ịd t) = \ - - ồ d t
v ’
n

8

( 1.54)


trong đó H là một toán tử .
Dễ thấy toán tử

u

thỏa mãn phương trình vi phân bậc nhất sau:
dữ ịt)

—

dt
Thật vậy, vì : u [t + dt) = u (dt)ư (í) = ị ì - ^ U d t ^ U (í)
Nên ta có:
ữ ( t +d t ) - ữ ( t ) = ị - - Ũ d t Sữ (t)

( 1.56)

Định nghĩa đạo hàm của toán tử u (0 dưới dạng biêu thức toán học:
dữ
ữ ( t +d t ) - u ( t )

- — = lim —------- ------ —
dt AÍ->°
At
Nên từ ( 1.56) có thể suy ra phương trình vi phân bậc nhất ( 1.55).
+Áp dụng phương trình toán tử ( 1.55) cho trạng thái ban đầu 1^(0)) thu
được phương trình sau:
d

Mo)

( 1-57)

Neu toán tử H không phụ thuộc thời gian, ta có thể thu được biểu thức khép
kín đôi với toán tử u (t):
i r; 1 w
u (í) = lim 1 - - H í 77
n [n )

N
= exp

/H í'

(1.58)
V n s
Khi đó từ ( 1.52) và ( 1.58), trạng thái của hệ ở thời điểm t được xác định
dưới dạng:
f ~ \
ỈHí
|i//(í)) = exp

1^(0))
( 1.59)
\

/

\ ĩ v~/VT—
»oc

l nJ

Lưu ý rằng trị trung bình của toán tử H ở trạng thái \\ự (/)) bằng:
( v/ ( 0 | h | ^ ( 0 ) = ^ ( o)|í 7+(í)H Í7 (í)|^ (o )\
( 1.60)
= (ik (o)|h |^ (o))
Do toán tử H giao hoán với toán tử U(t) :

9


ữ +( t ) ũ ữ (t) = u +( t ) u ( t ) ũ = ũ
Từ ( 1.60) suy ra H là toán tử Hamiltonian của hệ với năng lượng trung
bình :

¥

H

Kí hiệu vectơ riêng của toán tử Hamiltonian H là Iriêng của toán tử H có dạng:

H k )= Ek )

^

/V

- Xét tác dụng của toán tử u (0 lên trạng thái riêng của toán tử H :
exp

iũt

iUt 1
—+ —
k )= 1 -—
h 2!

ỈEt 1 ( iEt'
1------+ —
n 2!

iũt

|ip) = exp

+


W)

Từ các kết quả kể trên có thể kết luận rằng: Neu trạng thái ban đầu của hệ là
trạng thái riêng của toán tử Hamiltonian \iự (0)) = |thời điếm bất kì t được xác định dưới dạng:
I(p) = exp

v/(f)) = exp
I

iEt

h J

\
1.1.5. Phép tính của toán tử
Cho 2 toán tử Ầ,B và một hàm f bất kỳ, ta có các phép tính sau:
Phép cộng trừ
a/

+ b/ = ỊÂ + b ) / = c /
hay C = Ầ + B

 /-B /= ( -Ê )/ = Ô /
hay D = A —B

10

( 1.61)

Vậy ta có toán tử lập từ hai toán tử bằng phép cộng và trừ. Phép cộng có
tính chất giao hoán và kết hợp.
• Phép tích:
ê

= Â ( b / ) và

h

= b ( Â /)

Phép lấy tích của hai toán tử nói chung không có tính chất giao hoán (khác
với tích của hai số) nên nói chung ta có:
ê

= Â (b / ) *

h

= b ( Â /)

Vậy khi viết biểu thức ta cần lưu ý thứ tự toán tử trước và toán tử sau. [6]
Thí dụ 1:
^
A

=

d ^
— ;B =

dx

X

d
P = ÃB =— X
dx
Đe viết rõ biểu thức của p ta cho tác dụng lên một hàm lự(x) bất kì
py (x) = A.Bụ/^x) = — [xụ/^x)]

=V ậ y

p = A.B = 1 + X —

dx

Bây giờ ta tính B.A
BAy/ (x) = x — ự (x)

BA = X —

dx

Ta thấy rằng trong trường hợp này thì AB ^ BA.
Như vậy tức là hai toán tử A và B không giao hoán

11

Thí dụ 2: A = X2,B = X ta thấy ngay rằng.
AB = BA = X3
Đây là trường hợp hai toán tử giao hoán
•

Giao hoán tử:

Cho hai toán tử A,B và một hàm f bất kì, giao hoán tử của А,в được định
nghĩa là:
е

= Га , в ~| = а в -

Ê / = Â (b / ) -

ва

b (a / )

Neu hai toán tử được gọi là giao hoán tử thì ta có:
Е = Га , в ] = А В -В А = 0
Hay AB = BA

1.2. Vectơ riêng và trị riêng của toán tử
1.2.1. Định nghĩa
Cho một toán tử tuyến tính Ấ , ket Ijc) Ф 0 gọi là vectơ riêng của toán tử
A nếu:
Ẵ \ x ) = Ảx

(1.21)

hệ số tỷ lệ Я gọi là trị riêng của A ứng với vectơ riêng Ix ) .
Neu Ix) là một vectơ riêng của A thì mọi vectơ a x ) cũng nghiệm đúng
Aa

= Xa Ix)

Nghĩa là a\x) đều là vectơ riêng của A ứng với cùng giá trị riêng Я. Neu
ứng với cùng một giá trị riêng я có một vectơ riêng I*} (xác định sai kém một
hằng số nhân a) thì trị riêng я gọi là không suy biến.

12


Neu ứng với một trị riêng Ầ có g vectơ riêng độc lập tuyến tính, thỏa mãn
các phương trình trị riêng :
A | x , ) = AIjCj^; A | x 2) =

ắ | x 2) ;...;A

x

}ị =

ằ

x

^ ị

thì trị riêng này được gọi là suy biến bậc g.
Dễ thấy rằng tổ họp tuyến tính bất kì của các vectơ riêngI* 1 ) , Ix 2)
\x) = aỉ \xi) + a2\x2) + ... + ag xg)

, x g^
(1.22)

Cũng là một vectơ riêng của A ứng với cùng trị riêngẲ.
A| x ) = axK\x^j + a2A| Jt2) + ... + CI, a|jc,^
= Ả(aỉ \xỉ) + a2\x2) +... + ag\xg}}

(1.23)

= ả \x)
Tập hợp các vectơ I*) hợp thành một không gian con g chiều, gọi là không
gian con riêng tương ứng với trị riêng suy biến Ẳ.
Xét trị riêng của hàm toán tử

. Nếu I*) là vectơ riêng của A ứng với

trị riêng của Ả thì ta có:
A |jt) = A.A|jc) = Aẳ|jc) = AA|jc) = Ẳ2|jt)
Tương tự ta có thể chứng minh rằng Ầ'1 là trị riêng của toán tử A ứng với
cùng vectơ riêng I*}
A |* ) = Ẳ "|*)
Đối với hàm toán tử / (Ầj khai triển thành chuỗi Taylor, ta có thể áp dụng
cách tính trên để xác định trị riêng của / ( Ầ j . Thí dụ, nếu ta định nghĩa hàm
toán tử

13

í —\
Â
1 ^^
^0
f [ A ) = e = > —A ( với quy ước 0!=1 và A =1) thì ta có:
v ’
k=0 k •
X) = e
Tổng quát, nếu I*) là vectơ riêng của A ứng với trị riêng Ẳ thì nó cũng
là vecto riêng của hàm toán tử / ( í ) ứng với trị riêng / ( ắ ) :
/ ( Â ) |x ) = / ( l ) | x )

(1.24)

1.2.2. Tính chất của trị riêng và vectơ riêng của toán tử Hermite
• Các trị riêng của toán tử Hermite là thực
Thực vậy, lấy liên hợp hai vế phương trình trị riêng A
A IJt) = Ả Ix)

(1.25)

ta được:

(1.26)

Nhân trái hai vế của (1.25) với (x
X A X ) = {X\A\X
và nhân phải hai vế của (1.26) với Ix)

A X^Ị = Ẳ* (*|*)
lưu ý rằng A là Hermite nên Ấ = Ằ , do đó hai vế sau của hai phương trình
trên bằng nhau:
Ằ { x X^Ị- Ẳ* ị x xỳ
Theo định nghĩa vectơ riêng Ix) * 0 nên (*|*) =*0 , suy ra Ẳ là một số thực
Ấ = Ẳ*

14

(1.27)


•

Vectơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau của một toán tử Hermite
thì trực giao với nhau

Cho |jtj) và |jt2) là hai vectơ riêng ứng với hai trị riêng khác nhau \ và Ả
2

của toán tử Hermite A
A \ x i) = Ằ i \xi)

(1.28)

A \ x 1) = Ằ 1 \ x 1)

(1.29)

Nhân trái (1.28) với bra (x21

^ 2

Ă

Xị ^ = Ă t ị x 2 | x , ^

Lấy liên hợp phương trình ( 1.29) :
( x 2 ịĂ

= Ẳ 2 (x 2 |

và nhân kết quả thu được với IJt,) về bên phải
^x2 A

Xị

^ = Ẳ2 ị x 2 |xj ^

vì Â = Â nên suy ra:
^ \ { xi \ x \ ) = ^ i { xi \ x\)
Theo giả thiết A, ^

^2

, ta phải có hai vectơ riêng |x2) và |jt,) trực giao nhau

( x 2 |XI ) = 0

( 1-30)

1.2.3.Phương trình đặc trưng của toán tử
Trong cơ sở trực chuẩn {!«„)}, vectơ |x) có thể khai triển một cách duy nhất

x ) = ax\u^Ị + a2 1w2) + ... +
15

(1.31)


Với các hệ số

là các tọa độ của vectơ I*) trong cơ sở đang xét.

Vectơ Ijc) có thể biểu diễn dưới dạng một ma trận cột:

a

* ):=

-

=x

(1.32)

\ a nJ

Trong cơ sở {!«„)}, toán tử A được biểu diễn bởi ma trận A có các phần tử
u

là: A,„, = M„

Bây giờ phương trình riêng của A có thế biếu diễn dưới dạng ma trận
A X = ẦX

(1.33)

Phương trình ma trận ( 1.33) có thế viết thành hệ n phương trình bậc nhất
với n ẩn số

•••»#,! như sau:
(A| —Ẳ)ữị + Aị2ữ2 + ... + A| nữn = 0
ị

^21^1 (^22 —

:

^2nan ~ ^

^32a2 + •••+ (A3n —

(1.34)

~0

Đe cho hệ phương trình này có nghiệm khác không thì định thức của hệ
phải bằng không
(An

A,2
L11—Ắ)
An21
(^22 —
A,ỉ2

A,
A2n

=0

(1.35)

... (A„„-A)

Giải phương trình bậc n đối với Ả , ta tìm được n nghiệm đó là các trị riêng
của toán tử

A

Ẳ = ẢỊ,Ẳ2,...,Ản

16


( 1.35) là phương trình đặc trưng của toán tử A . Phương trình này có thể viết
lại dưới dạng:
|A - Ẳ I |= 0
Chú ý rằng nếu chuyển sang cơ sờ khác thì |A —Ầlị vẫn không thay đổi, tức
là các trị riêng của A không thay đổi.

Kết luận chương 1:
Trong chương 1, chúng tôi đã nêu lên một số vấn đề của toán tử như định
nghĩa của toán tử, vectơ riêng trị riêng của toán tử, toán tử Hermite, phương
trình đặc trưng của toán tử ,... Đây là một số những vấn đề cơ bản của toán tử
giúp chúng ta tìm hiểu về định nghĩa, các tính chất của toán tử, là tiền đề để
tìm hiểu về các toán tử trong vật lý.

17


CHƯƠNG 2: CÁC TOÁN TỬ TRONG VẬT LÝ
Ngoài những đại lượng vật lý đặc trưng trạng thái chuyến động của hạt vi mô
trong không gian như tọa độ, xung lượng, năng lượng,... còn có những đại
lượng vật lý gắn liền với bản chất của hạt vi mô như khối lượng, điện tích,
spin,.... Trong cơ học lượng tử, mỗi đại lượng hay thuộc tính vật lý đều được
đặc trưng bởi một toán tử.

2.1. Toán tử Hamilton
Trong cơ học lượng tử, toán tử Hamilton hay Hamiltonian là một toán tử
tương ứng vớinăng lượng toàn phần của hệ gây nên sự biến đổi theo thời
gian, được kí hiệu là H . Như ta đã biết thì năng lượng toàn phần của hệ bằng
tống thế năng và động năng của hệ.
H = T+V
trong đó

v=v =v(r,t)
V là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert với đại lượng quan sát
là thế năng.
~~
£.2

f _p-p _ p _
2m 2 m

” V2
2m

p là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert với đại lượng quan sát
là động lượng.
p = -ỉtN

T là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert với đại lượng quan sát
là động năng.
Ket hợp 2 toán tử trên, ta có toán tử Hamilton được sử dụng trong phương
trình Schrödinger

18


H = í + v = - £ £ + w r ,í)
2m
v '
tí

2m

( 2. 1)

v 2+v(r,t)

Trường hợp tổng quát, nếu hạt chuyển động trong trường lực phụ thuộc vào

vận tốc, gia tốc,., thì:
ị - 2

H = - — v 2+ w
(2.2)
2m
trong đó w là thành phần mô tả cho chuyển động của hạt trong trường lực
tổng quát.
Đối với hệ n hạt thì dạng tổng quát của phương trình Hamilton là :
H = Ỷ - — v k2 + w
t ! 2m

(2.3)

trong đó w là thành phần viết cho trường lực tổng quát nào đó mô tả tương
tác của các hạt trong hệ và là hàm của vận tốc các hạt và thời gian...
• Dạng của toán tử Hamilton trong một số hệ tọa độ [4]:
Trong hệ tọa độ cầu:
H=-

Tĩ2 õ
2mr2 õr

õ
ôr

2mrÁ

+ V(r,ỡ,

L
n2 õ / õ_
+
+ V(r,G,(p,t)
2mr2 ô f \ õr
2mr
Trong hệ tọa độ trụ:
H

1 a
+- + r ^ \ +vCr,t)
r õ(p
õz J
2mr [ ỡ r \ dr
—

ti õ
r— +
+ V(r,(p,z,t)
2mr õr õr ) 2mr
• Xây dựng dạng của toán tử Hamilton của hạt mang điện trong điện từ
trường [5]:
Ta xét chuyến động phi tương đối tính của hạt điện tích e trong điện từ
trường E, B tùy ý. Điện từ trường này có thể biểu diễn qua thế vectơ A và
thế vô hướng Ọ của điện từ trường:

19


E = -g ra d q )-^dt

B = rot A
Với điều kiện định cỡ Lorentz: divA = 0
Hàm Lagrange của hạt mang điện trong từ trường
1

—2

—

L = —m v + e A v - e ọ

2

Xung lượng suy rộng :

ỔL_
T =
_ -p + e T
pd _
=—
=■= mv- + ểA
A
dv
Như vậy xung lượng của h ạ t:
p = P -eA
Nếu ngoài lực điện từ ra còn có những lực khác diễn tả bởi hàm lực u ịr,í),
thì biểu thức tổng quát của hàm Hamilton là:
—
—1 -2
1 /— —\2

H = pv —eAv + eọ + ư ——mv = — [P —e A \ +eọ + u
2

2r a '

'

Chúng ta sẽ lượng tử hóa hàm Hamilton và xung lượng theo các tiên đề của
cơ học lượng tử
p —» p = —ihV
y v

1

/ A

w

\

2

A

w

/ / - > / / = — P - e A +e(p + u
2m '
'
ở đây ị p - e  ) 2 = (P ,-e  ,)2+ (p ). - f  J )2+ (pí -£  í j2

Tính riêng từng số hạng:

(p, —eẦx)2 = (p, - eÂ, ỊỊPa - eẨ, )
-2
-2
= Pv —€Ảx —€Á.X + € Aa= Px - 2 e A xPx + ieh — Ax + e 2Ax
õx
Khi tính toán các phép nhân đã tính đến tích:

20