Chưong 10. Thiết kế bộ điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

10-4 THIẾT KẾ HỆ THỐNG SERVO
− HT loại I là HT có một khâu tích phân trong mạch thẳng và HT sẽ biểu hiện không
có sai số ở trạng thái ổn đònh trong đáp ứng bước.
− Chúng ta sẽ nghiên cứu p/p đặt cực để thiết kế HT servo loại 1. Chúng ta giới hạn
mỗi HT có một tín hiệu điều khiển vô hướng u và một tín hiệu ra vô hướng y.
− Trong chương 7 chúng ta đã nghiên cứu HT điều khiển I-PD. Trong HT điều khiển
I-PD, khâu tích phân được đặt trong mạch thẳng để tích phân tín hiệu sai lệch, và
các điều khiển tỷ lệ và vi phân được chèn vào ở một vòng phản hồi nội.
− Hình 10-14 vẽ sử dụng khối của bộ I-PD điều khiển đối tượng Gp(s), với giả thiết
đối tượng không có khâu tích phân.
− Hình 10-15 vẽ sơ đồ khối HT servo loại 1, tác động điều khiển tích phân cùng với
sơ đồ phản hồi trạng thái được sử dụng để làm ổn đònh hệ thống. HT này sẽ biểu
hiện không có sai số trạng thái tónh trong đáp ứng vào bước.

Hình 10-14. Điều khiển I-PD đối tượng
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

53


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

Hình 10-15. Hệ thống servo loại 1

Chúng ta sẽ nghiên cứu thiết kế HT loại I mà trong đó đối tượng có một khâu tích

phân và không có khâu tích phân.
HT servo loại I khi đối tượng có một khâu tích phân.
Giả sử rằng đối tượng được xác đònh bởi
x& = Ax + Bu

(10-86)

y = Cx

(10-87)

Giả thiết tín hiệu điều khiển u và tín hiệu ra y là vô hướng.
Hình 10-16 vẽ cấu trúc chung của HT servo loại 1 trong đó đối tượng có một khâu
tích phân. Ở đây chúng ta giả sử rằng y = x1. trong phân tích này chúng ta giả thiết tín
hiệu vào tham khảo r là hàm bước. Sử dụng sơ đồ phản hồi trạng thái sau:

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

54


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

u = − [ 0 k2

với

K = [ k1

k3


10-4. Thiết kế hệ thống servo

 x1 
x 
L kn ]  2  + k1 (r − x1 ) = − Kx + k1r (10 − 88)
M
 
 xn 

k2 L kn ]

(10-89)

Giả thiết rằng tín hiệu tham khảo (hàm bước) được đưa vào tại t = 0. Khi đó, với t > 0,
đặc tính động học HT có thể được mô tả bởi phương trình (10-86) và (10-88), hay
x& = Ax + Bu = ( A − BK ) x + Bk1r

(10-90)

Hình 10-16. Hệ thống servo loại 1 với đối tượng có một khâu tích phân

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

55


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo


Chúng ta sẽ thiết kế HT servo loại 1 sao cho các cực vòng kín được đặt tại các vò trí
mong muốn. HT được thiết kế sẽ là một HT ổn đònh tiệm cận, và y(∞) sẽ tiến tới hằng
số r và u(∞) sẽ tiến tới 0.
Chú ý rằng ở trạng thái ổn đònh chúng ta có
x& (∞) = ( A − BK ) x(∞) + Bk1r (∞)

(10-91)

Với r(t) là tín hiệu vào bước, ta có r(∞) = r(t) = r (hằng số) với t > 0. Trừ phương trình
(10-90) cho phương trình (10-91) chúng ta có
x& (t ) − x& (∞) = ( A − BK )[ x(t ) − x(∞)]

Gọi

(10-92)

x(t) – x(∞) = e(t)

Khi đó phương trình (10-92) trở thành
e& = ( A − BK )e

(10-93)

Phương trình (10-93) mô tả các sai lệch động học.
Thiết kế HT servo loại 1 ở đây trở thành việc thiết kế một HT điều chỉnh ổn đònh
tiệm cận sao cho e(t) tiến đến 0, với mọi điều kiện đầu cho trước e(0). Nếu HT được
xác đònh bởi phương trình (10-86) ổn đònh trạng thái hoàn toàn , thì bằng cách xác
đònh các giá trò riêng mong muốn µ1, µ2,. . ., µn với ma-trận A - BK, ma-trận K có thể
được xác đònh bằng kỹ thuật đặt cực (bài 10-2).

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

56


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

Các giá trò trạng thái ổn đònh của x(t) và u(t) có thể được tìm thấy như sau: tại trạng
thái ổn đònh (t = ∞), từ phương trình (10-90), chúng ta có:
x& (∞) = 0 = ( A − BK ) x(∞) + Bk1r

Vì tất cả các giá trò riêng mong muốn của A - BK nằm bên trái mặt phẳng s, cho nên
nghòch đảo của ma-trận A - BK tồn tại. Kết quả là, x(∞) có thể được xác đònh
x(∞) = -(A - BK)-1Bk1r
Và u(∞) cũng có thể được xác đònh là
u(∞) = -Kx(∞) + k1r = 0
VÍ DỤ 10-7. Xét thiết kế HT servo loại 1 mà hàm truyền đối tượng có khâu tích phân
Y(s)
1
=
U(s) s (s + 1)(s + 2)
Yêu cầu thiết kế HT servo loại 1 sao cho các cực vòng kín tại -2 ± j3.464 và -10. Giả
sử rằng cấu trúc HT giống như được vẽ trên hình 10-16 và tín hiệu tham khảo r là hàm
bước.
Đònh nghóa các biến trạng thái x1, X2, và x3 như sau:
x1 = y, x2 = x&1, x3 = x&2

Khi đó biểu diễn không gian trạng thái của HT là

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

57


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

x& = Ax + Bu

(10-94)

y = Cx

(10-95)

với
0
0 1
A = 0 0
1 ,


0 − 2 − 3

0 
B = 0  ,
 
1


C = [1 0 0]

Từ hình 10-16 và chú ý rằng n = 3, tín hiệu điều khiển u là
u = -(k2x2 + k3x3) + k1(r – x1) = -Kx + k1x

(10-96)

với

K = [ k1 k2 k3 ]
Vấn đề của chúng ta ở đây là xác đònh ma-trận hệ số phản hồi trạng thái K bằng
phương pháp đặt cực.
Chúng ta kiểm đònh ma-trận khả năng điều khiển cho hệ thống. Hạng của

[

M = B

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

AB

1
0 0
A 2 B = 0 1 − 3


1 − 3 7 


]

58


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

là 3. Do đó đối tượng là điều khiển được trạng thái hoàn toàn. Phương trình đặc tính
của HT là
s −1
0
sI − A = 0 s
−1
0 2 s+3
= s 3 + 3s 2 + 2 s
= s 3 + a1 s 2 + a 2 s + a3 = 0

Vì vậy

a1 = 3,

a2 = 2,

a3 = 0

Để xác đònh đònh thức của ma-trận K bằng phương pháp đặt cực, chúng ta sẽ sử dụng
phương trình (10-13), viết lại là
K = [α 3 − a3 α 2 − a 2


α 1 − a1 ]T −1

(10-97)

Vì phương trình trạng thái của hệ thống (10-94) đã có dạng chuẩn tắc điều khiển
được, chúng ta có T = I.
Thay phương trình (10-96) vào phương trình (10-94), chúng ta có
x& = Ax + B(− Kx + k 1r ) = ( A − BK ) x + Bk1 r

(10-98)

với tín hiệu vào r là hàm bước. Khi t tiến tới vô cùng, x(t) tiến tới x(∞). Tại trạng thái
ổn đònh, chúng ta có
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

59


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

(10-99)

x& (∞) = ( A − BK ) x(∞) + Bk1 r

Trừ phương trình (10-98) cho phương trình (10-99), chúng ta có
x& (t ) − x& (∞) = ( A − BK )[ x(t ) − x(∞)]


Đònh nghóa

x(t) – x(∞) = e(t)

Thì

e&(t ) = ( A − BK )e(t )

(10-100)

Phương trình (10-100) xác đònh các sai lệch động học.
Vì các giá trò riêng mong muốn của A - BK là
µ1 = -2 + j3.464,

µ2 = -2 - j3.464,

µ3 = -10

chúng ta có phương trình đặc tính mong muốn là:
(s - µ1)(S - µ2)(s - µ3) = (s + 2 - j3.464)(s + 2 + j3.464)(s + 10)
= s3 + l4s2 + 56s + 160
= s3 + α1s2 + α2s + α3 = 0
Do đó

α1 = 14, α2 = 56,

α3 = 160

Ma-trận hệ số phản hồi trạng thái K được đưa ra bởi phương trình (10-97), hay
K = [α 3 − a3 α 2 − a 2 α 1 − a1 ]T −1

= [160 − 0 56 − 2 14 − 3]I
= [160 54 11]
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

60


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

Đáp ứng bước của HT này có thể đạt được dễ dàng bằng mô phỏng máy tính. Vì vậy
0  0 
0 1
A − BK = 0 0
1  − 0 [160 54 11] =

  
0 − 2 − 3 1

1
0 
 0
 0
0
1 


− 160 − 56 − 14


phương trình trạng thái của HT đã thiết kế là
1
0   x1   0 
 x&1   0
 x&  =  0
0
1   x2  +  0  r
2
  
   
 x& 3  − 160 − 56 − 11  x3  100

và phương trình ra là
 x1 
y = [1 0 0]  x 2 
 
 x3 

Đường cong đáp ứng bước đơn vò y(t) theo t đạt được trong mô phỏng máy tính được
vẽ trên hình 10-17.
Chú ý rằng x& (∞) = 0. Do đó từ phương trình(10-99), ta có
(A - BK)x(∞) = -Bk1r
Vì vậy
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

61


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT


( A − BK ) −1

1
0 
 0
0
1 
= 0


− 160 − 56 − 14

10-4. Thiết kế hệ thống servo

−1

7
1 
 7
−
−
−
 20
80
160 
= 1
0
0 



1
0 
 0



chúng ta có
7
1 
 7
−
−
−
 20
 0 
80
160
x(∞) = − ( A − BK ) −1 Bk1 r = −  1
0
0  0 (160) r
  

1
0  1
 0


 1 
1
r 

160 
=  0  (160)r = 0 r = 0
 
 


0
0
 0 



Rõ ràng, x1(∞) = y(∞) = r. Không có sai lệch trạng thái ổn đònh trong đáp ứng bước
Chú ý rằng vì

u(∞) = -Kx(∞) + k1r(∞) = -Kx(∞) + k1x

ta có

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

62


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

 x1 (∞) 
u (∞) = − [160 54 11]  x 2 (∞) + 160r



 x 3 (∞) 
r 
= − [160 54 11] 0 + 160r
 
0
= − 160r + 160r = 0

Ở trạng thái ổn đònh tín hiệu điều khiển u bằng 0.

Hình 10-17. Đường cong đáp ứng bước đơn vò y(t) theo t của hệ thống ở ví dụ 10-7.

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

63


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

Thiết kế HT servo loại 1 ở đó đối tượng không có khâu tích phân.
Vì đối tượng không có khâu tích phân (đối tượng loại 0), cho nên nguyên lý cơ bản
của việc thiết kế HT servo loại 1 là chèn một khâu tích phân vào mạch thẳng giữa bộ
so sánh sai lệch và đối tượng như được vẽ trên hình 10-18. (Sơ đồ khối hình 10-18 là
dạng cơ bản của HT servo loại 1 ở đó đối tượng không có khâu tích phân.)

Hình 10-18. Hệ thống servo loại 1.


Từ sơ đồ ta có

x& = Ax + Bu

(10-101)

y = Cx

(10-102)

u = -Kx + kIξ

(10-103)

ξ& = r − y = r − Cx

(10-104)

ξ = tín hiệu ra bộ tích phân (biến trạng thái của hệ thống, vô hướng)
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

64


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

Giả sử rằng đối tượng được cho bởi phương trình (10-101) là điều khiển được trạng
thái hoàn toàn. Hàm truyền của đối tượng có thể được viết


G p ( s ) = C ( sI − A) −1 B
Để tránh khả năng chèn một khâu tích phân bò triệt tiêu bởi một điểm zero của đối
tượng ở gốc tọa độ, giả sử rằng Gp(s) không có điểm zero ở gốc tọa độ.
Giả sử rằng tín hiệu tham khảo (hàm bước) được đưa vào tại t = 0. Khi đó, với t > 0,
động học của HT có thể được mô tả bởi phương trình kết hợp của (10-101) và (10104):

 x& (t )   A 0   x(t )   B 
ξ&(t )  =  −C 0  ξ (t )  +  0  u (∞) +

 

  

0 
1  r (t )
 

(10-105)

Chúng ta sẽ thiết kế HT ổn đònh tiệm cận sao cho x(∞), ξ(∞), và u(∞) tiến tới giá trò
hằng, tương ứng. Khi đó, ở trạng thái ổn đònh ξ&(0) = 0 , và chúng ta có y(∞) = r.
Chú ý rằng ở trạng thái ổn đònh chúng ta có

 x& (∞)   A 0   x(∞)   B 
ξ&(∞)  =  −C 0  ξ (∞)  +  0  u (∞) +

 

  


0
 1  r (∞ )
 

(10-106)

r(t) là tín hiệu vào bước, r (∞) = r (t ) = r (hsố) với t >0. Lấy (10-105) trừ (10-106), ta có
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

65


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

 x& (t ) − x& (∞)   A 0  x(t ) − x(∞)   B 
ξ&(t ) − ξ&(∞) = − C 0 ξ (t ) − ξ (∞)  +  0 [u (t ) − u (∞) ]

 

  

Gọi

x(t) – x(∞) = xe(t), ξ(t) - ξ(∞) = ξe(t), u(t) – u(∞) = ue(t)

Khi đó phương trình (10-107) có thể được viết
 x&e (t )   A 0   xe (t )   B 

ξ& (t )  =  −C 0  ξ (t )  +  0  ue (t )
 e   
 e  
với

(10-107)

ue (t ) = − Kxe (t ) + k I ξ e (t )

(10-108)

(10 − 109)

Đònh nghóa một vec-tơ sai lệch e(t) bậc (n + 1)
)  A 0
 x (t ) 
e(t ) =  e  = ( n + 1) vector , A = 
,

− C 0
ξ e (t ) 
)
)
(10-108) trở thành
e& = Ae + Bu e
)
và phương trình (10-109) là
u e = − Ke

) B )

B =   , K = [K
0

− k1 ]

(10-110)
(10-111)

Ý tưởng cơ bản của việc thiết kế HT servo loại 1 ở đây là thiết kế HT điều chỉnh bậc
(n + 1) ổn đònh đưa vec-tơ sai lệch e(r) về 0, với mọi điều kiện đầu e(0) cho trước.
Phương trình (10-110) và (10-111) mô tả đặc tính động học của HT điều chỉnh bậc (n
+ 1). Nếu HT được đònh nghóa bởi phương trình (10-110) là điều khiển được trạng thái

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

66


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

hoàn toàn, thì bằng việc xác đònh phương trình đặc tính mong muốn của hệ thống, matrận K có thể được xác đònh bằng kỹ thuật đặt cực đã được trình bày ở bài 10-2.
Các giá trò trạng thái ổn đònh của x(t), ξ(t), và u(t) có thể được xác đònh như sau: ở
trạng thái ổn đònh (t = ∞), từ phương trình (10-101) và (10-104), chúng ta có
x& (∞) = 0 = Ax(∞) + Bu (∞)
ξ&(∞) = 0 = r − Cx(∞)

nó có thể được kết hợp vào một phương trình vec-tơ – ma-trận:
0   A

0  =  − C
  

B   x ( ∞ )  0 
+ 



0  u (∞)  r 

Nếu P, được xác đònh bởi
 A
P=
− C

B
0 

(10-112)

có hạng bằng n + 1, thì nghòch đảo của nó tồn tại và
 x (∞ )   A
u (∞) = − C

 

−1

B  0 
0   r 


Cũng tương tự , từ phương trình (10-103) chúng ta có

u (∞) = − Kx(∞) + k I ξ (∞)
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

67


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

và vì vậy chúng ta có

1
ξ (∞) = [u (∞) + Kx(∞)]
kI
Chú ý rằng, nếu ma-trận P được cho bởi phương trình (10-112) có hạng n + 1, thì HT
xác đònh bởi phương trình (10-110) là điều khiển được trạng thái hoàn toàn (xem bài
tập A-10-14). Vì vậy, nếu hạng của ma-trận P cho bởi phương trình (10-112) là n + 1,
thì nghiệm của vấn đề này có thể đạt được bằng phương pháp đặt cực.
Phương trình sai lệch trạng thái có thể thiết lập bằng cách thay (10-111) vào (10-110).

) ))
e& = ( A − BK )e

(10-113)

Nếu các giá trò riêng mong muốn của ma-trận A - BK được xác đònh là µ1, µ2, . . .,

µn+1, thì ma-trận hệ số phản hồi trạng thái K và hằng số hệ số khuếch đại tích phân kI
)
có thể được xác đònh. Trong thiết kế thực tế, cần phải xét vài ma-trận K khác nhau
(tương ứng với vài tập hợp khác nhau của các giá trò riêng mong muốn) và thực hiện
mô phỏng máy tính để tìm ra ma-trận cho đáp ứng tổng thể tốt nhất.
Trong các trường hợp thường gặp, không phải tất cả các biến trạng thái có thể đo
được trực tiếp. Lúc đó chúng ta cần sử dụng một bộ quan sát trạng thái. Hình 10-19 vẽ
sơ đồ khối HT servo loại 1 với bộ quan sát trạng thái.
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

68


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

Hình 10-19. Hệ thống servo loại 1 với bộ quan sát trạng thái.

VÍ DỤ 10-8. Xem ví dụ 10-2 và con lắc ngược ở hình vẽ 10-3. Chỉ quan tâm chuyển
động của con lắc và xe trên mặt phẳng trang giấy. Giả thiết rằng góc con lắc θ và tốc
độ góc θ& nhỏ sao cho sinθ ≡ 0, cosθ = 1, và θθ& 2 = 0.
Điều mong muốn là giữ cho con lắc ngược càng thẳng đứng càng tốt và điều khiển vò
trí của xe, chẳng hạn, dòch chuyển xe theo hàm bước. Để điều khiển vò trí của xe,
chúng ta cần xây dựng một HT servo loại 1. HT con lắc ngược đặt trên xe không có
khâu tích phân. Vì vậy, chúng ta cấp tín hiệu vò trí y (chỉ thò vò trí của xe) trở về tín
hiệu vào và chèn một khâu tích phân trong mạch thẳng như hình vẽ 10-20.
Các biến trạng thái x1, x2, x3, và x4 là x1 = θ , x2 = θ&, x3 = x, x4 = x&
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.


69


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

Hình 10-20 Hệ thống điều khiển con lắc ngược.
(Hệ thống servo loại 1 mà đối tượng không có khâu tích phân)

Khi đó, từ ví dụ 10-2 và hình 10-20, phương trình cho HT con lắc ngược là
x& = Ax + Bu

(10-114)

y = Cx

(10-115)

u = -Kx + kIξ

(10-116)

ξ& = r − y = r − Cx

(10-117)

với
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.


70


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

0

 20.601
A=
0


− 0.4905

10-4. Thiết kế hệ thống servo

1 0 0
0 0 0
,
0 0 1

0 0 0

0
 − 1
B =  ,
0
 
0.5


C = [0 0 1 0]

Với HT servo loại 1, phương trình sai lệch trạng thái cho ở phương trình (10-110)
)
)
e& = Ae + Bu e

(10-118)

với
)  A 0
A=

− C 0

0

 20.601

=
0

− 0.4905

0

1
0
0
0

0

0 0
0
 − 1
0 0 0
 ) B  
0 1 0 , B =   =  0 
0  

0 0 0
0.5
 0 
− 1 0 0
0

và tín hiệu điều khiển được cho bởi phương trình (10-111):
với

)
K = [K

)
u e = − Ke

−k I ] = [ k1

k2

k3


k4

−k I ]
)

Chúng ta sẽ xác đònh ma-trận hệ số phản hồi trạng thái cần thiết K bằng cách sử
dụng kỹ thuật đặt cực. Sử dụng phương trình (10-13) để xác đònh ma-trận K) .
Trước hết chúng ta phải kiểm đònh hạng của ma-trận P, với
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

71


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

 A
P =
− C

B
0 

Ma-trận P được cho bởi
 A
P = 
− C


 0
 20.601
B 
=  0
0  
− 0.4905
 0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0


0

0 −1 0

0
− 1

0  (10-119)

0.5
0 

Hạng của ma-trận này là 5. (xem bài tập A-10-16 để kiểm tra hạng.) Vì vậy, HT xác
đònh bởi phương trình (10-118) là điều khiển được trạng thái hoàn toàn và việc đặt
cực tùy ý là khả thi. (Xem bài tập A-10-14.) Tiếp theo chúng ta sẽ thiết lập phương
trình đặc tính của HT được cho bởi phương trình (10-118).

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

72


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

s
)
sI − A =


−1 0

0

0

0

0

− 20.601

s

0

0

0

s −1 0

0.4905

0

0

s


0

0

0

1

0

s

= s 3 ( s 2 − 20.601)
= s 5 − 20.601s 2
= s 5 + a1 s 4 + a 2 s 3 + a3 s 2 + a 4 s + a5 = 0

Do đó

a1 = 0, a2 = -20.601, a3 = 0, a4 = 0, a5 = 0

Để thiết lập tốc độ và hệ số tắt dần phù hợp trong đáp ứng của HT được thiết kế
(chẳng hạn, thời gian ổn đònh xấp xỉ 4 ~ 5 giây và độ vượt cực đại là 15% ~ 16% trong
đáp ứng bước của xe), chúng ta chọn các cực vòng kín mong muốn tại s = µi(i = 1, 2,
3, 4, 5), với
µ1 = -1 + j1.732, µ2 = -1 – j1.732, µ3 = -5, µ4 = -5, µ5 = -5

(Đây là một tập hợp có thể của các cực vòng kín. Các tập hợp khác có thể được
chọn.) Khi đó phương trình đặc tính mong muốn sẽ là
(s - µ1)(s - µ2)(s - µ3)(s - µ4)(s - µ5) = (s + 1 – j1.732)(s + 1 = j1.732)(s + 5)(s + 5)(s + 5)
= s5 + 17s4 + 109s3 + 335s2 + 550s + 500

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

73


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

= s5 + α1s4 + α2s3 + α3s2 + α4s + α5
Vì vậy α1 = 17,

α2 = 109,

α3 = 335,

α4 = 550,

α5 = 500

Bước tiếp theo là thiết lập ma-trận chuyển T cho bởi phương trình (10-4)
T = MW
Với M và W được đưa ra bởi phương trình (10-5) và (10-6), tương ứng:
)
M = B

[

a 4
a

 3
M = a 2

 a1
 1

))
AB

) )
A2 B

) )
A3 B

) )
A4 B

]

− 20.601
0
0
 0 −1

 − 1 0 − 20.601
0
− (20.601) 2 



=  0 0.5
0
0.4905
0



0
.
5
0
0
.
4905
0
10
.
1048


 0
0
− 0.5
0
− 0.4905 
a 3 a 2 a1 1  0
− 20.601
0
a 2 a1 1 0  0
− 20.601

0
 
a1 1 0 0 = − 20.601
0
1
 
1
0 0 0  0
1
0
0 0 0 0  1
0
0

0 1
1 0

0 0

0 0
0 0

Khi đó

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

74


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT


10-4. Thiết kế hệ thống servo

−1 0 
0
0
 0
 0
0
0
0 − 1


T = MW =  0
0
0.5 0 
− 9.81


0
0
−
9
.
81
0
0
.
5



9.81
0
− 0.5 0
0 

Nghòch đảo của ma-trận T là

T

−1


0


− 0.25
 (9.81) 2
=

0

 −1

0


−

0.25


0

(9.81) 2
0
−

0.25
9.81
0
−1

−

−

0.25
(9.81) 2

1
9.81
0
0
0

0
−

1
9.81

0
0

1 
9.81

0 


0 

0 
0 

Từ phương trình (10-13), ma-trận K là

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

75


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

)
K = [α 5 − a 5

10-4. Thiết kế hệ thống servo

α 4 − a 4 α 3 − a 3 α 2 − a 2 α 1 − a1 ]T −1


= [500 − 0 550 − 0 335 − 0 109 + 20.601 17 − 0]T −1
= [500 550 335 129.601 17]T −1
= [− 157.6336 − 35.3733 − 56.0652 − 36.7466 50.9684]
= [k1

k4

− k1 ]

k2

k3

k3

k 4 ] = [− 157.6336 − 35.3733 − 56.0652 − 36.7466]

Chúng ta có '
K = [k1

và

k2

k I = − 50.9684

sau khi xác đònh ma-trận hệ số phản hồi K và hệ số khuếch đại tích phân kI, đáp ứng
bước vò trí xe có thể đạt được bằng cách giải phương trình sau:
 x&   A 0  x   B 
0 

=
+
u
+
ξ&  − C 0 ζ   0 
1 r
  
   
 

Vì

(10-120)

u = − Kx + k I ξ

Phương trình (10-120) có thể được viết như sau:
 x&   A − BK Bk I   x  0 
+  r
ξ&  =  −C



0  ξ  1 
  
hay
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

76



Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp KGTT

10-4. Thiết kế hệ thống servo

0
1
0
0
0
 x&1  
  x1  0
 x&  − 137.0326 − 35.3733 − 56.0652 − 36.7466 50.9684   x  0
 2 
 2  
0
0
0
1
0
 x& 3  = 
  x 3  + 0  r
  
   
17.6867
28.0326
18.3733 − 25.4842  x 4  0
 x& 4   78.3263
  ξ  1
0

0
−1
0
0
 ξ&  

(10-121)

Hình 10-21 vẽ đường cong đáp ứng x1(t) theo t, x2(t) theo t, x3(t) theo t, x4(t) theo t,
ξ(t) theo t, và u(t) theo t, với tín hiệu vào r(t) tác động lên xe là hàm bước biên độ 0.5
[tức là, r(t) = 0.5 m]. Chú ý rằng x1 = θ, x2 = θ& , x3 = x, và x4 = x& . Các điều kiện đầu
bằng 0.
Đáp ứng bước x3(t) [= x(t)] cho thấy thời gian ổn đònh xấp xỉ 4.5 giây và độ vượt cực
đại xấp xỉ 14.8%, như mong muốn. Một điểm thú vò trong đường cong vò trí [đường
cong x3(t) theo t] là xe di chuyển ngược lại trong 0.6 giây đầu tiên hay điều này làm
cho con lắc rơi xuống phía trước. Sau đó xe gia tốc chuyển động theo chiều dương.
Đường cong x3(t) theo t chỉ rõ rằng x3(∞) tiến tới r, x1(∞) = 0, x2(∞) = 0, x4(∞) = 0, và
ξ(∞) = 0.55. Kết quả này có thể được chứng minh bằng phương pháp giải tích như sau.
Ở trạng thái ổn đònh, từ phương trình (10-114) và (10-117) chúng ta có
x& (∞) = 0 = Ax(∞) + Bu (∞)
ξ&(∞) = 0 = r − Cx(∞)

hay
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

77