A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Khi có dòng điện chạy trong mạch, ngoài điện trường còn xuất hiện một từ trường do chuyển
động của các điện tích tự do. Đại lượng đặc trưng cho tính chất từ của mạch điện như trên gọi là
độ tự cảm của một mạch điện. Dòng điện chạy trong dây dẫn tạo ra trong không gian xung quanh
nó một từ trường. Từ thông Φ gởi qua mạch kín này tỉ lệ thuận với cường độ dòng điện I:
Φ = LI
Hệ số tỉ lệ L được gọi là độ tự cảm hay là hệ số tự cảm của mạch. Độ tự cảm phụ thuộc vào kích
thước, hình dạng của mạch và độ từ thẩm của môi trường xung quanh.
Độ tự cảm của các vật dẫn nối của mạch điện thường là nhỏ (người ta gọi là độ tự cảm kí sinh).
Các phần tử đặc biệt với độ tự cảm lớn được gọi là các cuộn cảm có lõi. Về nguyên tắc, cuộn
cảm là một số lớn các vòng của dây dẫn cách li nhau, cuốn xung quanh một lõi hình trụ hay hình
xuyến.
Độ tự cảm L của cuộn cảm trong đó có dòng điện I chạy qua đó liên hệ với năng lượng W M của
từ trường của dòng điện này theo công thức sau:
WM =

1 2
LI
2

Tương đương với các hiện tượng cơ học ta có thể xem năng lượng của từ trường như động năng
của dòng điện được xét, nghĩa là
WK =

1 2
mv
2

Trong đó m là khối lượng, v là tốc độ của vật. Từ sự tương đương của hai biểu thức này ta thấy
độ tự cảm L đóng vai trò giống như khối lượng (quán tính), còn cường độ dòng điện I đóng vai

trò như tốc độ của nó. Như vậy, có thể hiểu rằng độ tự cảm xác định các quán tính của dòng điện.
Đề tài “Hiện tượng tự cảm trong các mạch điện” nghiên cứu rõ hơn về hiện tượng nói trên.
Đây là lí do chọn đề tài.
2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu lí thuyết và cách giải quyết một số bài toán có liên quan đến độ tự cảm.
3. Phương pháp và đối tượng nghiên cứu của đề tài
Phương pháp chủ yếu trong khi thực hiện đề tài này là tập hợp, chọn lọc, nghiên cứu các bài
toán điển hình và đề xuất cách giải.
Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là phương pháp giải quyết các bài toán có liên quan đến
độ tự cảm. Thông qua đó, bạn đọc nhận ra được những kiến thức cơ bản, những kĩ thuật tính
toán, cách lập luận thường gặp khi giải bài toán đó.
4. Bố cục của đề tài
Bố cục của đề tài bao gồm các phần:
1


A. Mở đầu
B. Nội dung
C. Kết luận
D. Tài liệu tham khảo

2


B. NỘI DUNG
Bài 1:
Cho sơ đồ mạch điện như Hình 1, các cuộn cảm L 1 và L2
được nối với nhau qua một điốt lí tưởng D. Tại thời điểm ban
đầu, khóa K mở, còn tụ điện có điện dung C được tích điện
đến hiệu điện thế Uo. Sau khi K đóng một thời gian, hiệu điện

thế trên tụ trở nên bằng không. Hãy tìm cường độ dòng điện
chạy qua cuộn cảm L1 tại thời điểm đó. Sau đó tụ điện lại
được tích điện đến một hiệu điện thế cực đại nào đó. Xác
định hiệu điện thế đó.
Giải
- Sau khi đóng khóa K, điốt đóng mạch điện gồm tụ điện và cuộn
L1. Tụ bắt đầu phóng điện qua cuộn cảm L 1 và hiệu điện thế của nó
nên bằng không khi năng lượng ban đầu của tụ chuyển hết sang năng
lượng từ trường của cuộn dây. Gọi IL là cường độ dòng điện chạy
cuộn cảm lúc đó. Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có
L1 I L2 CU 02
C
=
→ IL = U0
2
2
L1

cảm
trở
qua

- Ngay khi cường độ dòng điện qua L 1 đạt cực đại, nó bắt đầu nạp điện lại cho tụ, dẫn đến hiệu
điện thế trên tụ bắt đầu tăng, nhưng có dấu ngược lại, điốt mở và
có dòng điện chạy qua L2 như hình vẽ . Giả sử vào thời điểm t bất
kì, dòng điện qua các cuộn cảm L 1, L2 lần lượt là i1, i2 và qua tụ C
là i3, còn hiệu điện thế trên hai đầu tụ là u.
di
di
L1 1 + L2 2 = 0 → L1i1 + L2i2 = const

ta có
dt
dt
C
- Vì t=0, i1max = U 0
và i2 =0 nên L1i1 + L2i2 = U 0 L1C
L1
- Khi hiệu điện thế trên tụ đạt cực đại, dòng i 3 = 0, nên i1 = i2 =
I12. Phương trình trên có thể viết lại như sau
U LC
( L1 + L2 ) I12 = U 0 L1C → I12 = 0 1 .
( L1 + L2 )
- Giả sử hiệu điện thế cực đại trên tụ bằng U m. Do trong mạch không có mất mát năng lượng, nên
áp dụng định luật bảo toàn năng lượng
Năng lượng ban đầu trên tụ= năng lượng của tụ lúc đạt cực đại lần 2 + năng lượng từ trường trên
hai cuộn dây lúc đó
U L C 
CU 02 CU m2 1
CU 02 CU m2 1
2
=
+ ( L1 + L2 ) I12
↔
=
+ ( L1 + L2 )  0 1 
2
2
2
2
2

2
 ( L1 + L2 ) 
- Vậy U m = U 0

2

L2
L1 + L2

Bài 2:
Tụ điện có điện dung C được nạp điện đến hiệu điện thế U 0 được mắc với hai cuộn dây có độ tự
cảm L1 và L2 qua khóa K như Hình 2. Nếu đóng khóa K này, thì sau một thời gian tụ điện sẽ
được nạp điện lại hoàn toàn (khi đó hiệu điện thế trên tụ sẽ đổi dấu). Hãy tính điện lượng đi qua
cuộn dây trong thời gian đó.
3


Giải

- Sau khi
đóng
khóa
K, tụ phóng điện qua các cuộn dây. Gọi i C, i1, i2 lần lượt là cường độ dòng điện qua tụ, L 1, L2 và
hiệu điện thế trên tụ là u. Theo định luật bảo toàn điện tích
iC = i1 + i2 (1)
di
di
- Mặt khác L1 1 = L2 2 = u (2)
dt
dt

''
'
'
''
- Lấy đạo hàm hai vế L1i1 − u = 0 → u = L1i1 (3)
- Khi tụ phóng điện cường độ dòng điện trong mạch
dq
du
iC = −
= −C
= −Cu ' (4)
dt
dt
'
"
- Từ (3) và (4) I C = −Cu = − L1Ci1 (5)
1
''
- Thay (5) và (1) ta có L1i1 + ( i1 + i2 ) = 0 (6)
C
d
- Từ phương trình (2) suy ra
( L1i1 − L2i2 ) = 0 → L1i1 − L2i2 = A (7)
dt
- Vì tại thời điểm t=0 cường độ dòng điện qua các cuộn dây bằng 0 nên A=0. Do đó
L
L1i1 = L2i2 → i2 = 1 i1 (8)
L2
- Thay (8) vào (6) :


 L + L2 
i1'' +  1
÷i1 = 0
 CL1 L2 

(9)

L1 + L2
.
CL1 L2
- Mặt khác theo phương trình (8), ta thấy i 2 và i1 dao động điều hòa cùng pha, cùng tần số, nhưng
khác nhau về biên độ. Điện lượng tổng cộng qua hai cuộn dây khi tụ điện đổi dấu lại hoàn toàn
Q
I
L
Q = Q1 + Q2 = 2CU 0 và 1 = 1 = 2
Q2 I 2 L1
2CU 0 L2
2CU 0 L1
; Q2 =
- Nên Q1 =
L1 + L2
L1 + L2
- i1 là nghiệm của phương trình (9) có dạng dao động điều hòa với tần số góc ω =

Bài 3:
Trong Hình 3, hai cuộn cảm L1 và L2 được mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C. Ở thời điểm
ban đầu các khóa K1 và K2 đều mở, còn tụ điện được nạp điện đến hiệu điện thế U o. Đầu tiên
người ta đóng khóa K1, rồi đợi cho hiệu điện thế trên tụ bằng không, người ta đóng tiếp khóa K 2.
Một thời gian sau khi đóng khóa K2, tụ điện lại được nạp điện đến hiệu điện thế cực đại nào đó.

Xác định giá trị đó.

4


Giải
- Sau khi K1 đóng, tụ bắt đầu phóng điện qua L 1 và L2 cho đến
khi tụ phóng hết điện tích lúc đó hiệu điện thế trên tụ bằng 0 và
cường độ dòng điện qua 2 cuộn dây đạt max. Theo đinh luật bảo
toàn năng lượng ta có
CU 02 1
C
= ( L1 + L2 ) I 2m → I m = U 0
= I1 = I 2
2
2
L1 + L2
- Tại thời điểm đóng khóa K2, áp dụng định luật Ôm cho mạch
chứa cuộn dây L1 và K2
dI
L1 1 = 0 → I1 = I max và năng lượng trong cuộn dây L 1 lúc đó
dt
1
WL1 = L1 I m2 . Sau đó cuộn dây này bị loại ra khỏi mạch.
2
- Trong khi đó, dòng qua cuộn L2 giảm dần, vì nạp điện lại cho tụ C (theo chiều ngược lại). Hiệu
điện thế trên C tăng dần, cho đến khi đạt giá trị cực đại có nghĩa rằng dòng qua L2 bằng không.
- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng
CU 02 CU m2 1
L2

=
+ L1 I 2m ↔ U m = U 0
2
2
2
L1 + L2
Bài 4:
Trong Hình 4, hai cuộn cảm L1 và L2 được nối tắt qua điốt D. Ở thời
điểm ban đầu khóa K mở, còn tụ điện có điện dung C đã được nạp
điện đến hiệu điện thế Uo. Hãy tìm sự phụ thuộc của cường độ
+
dòng điện qua các cuộn cảm vào thời gian sau khi khóa K
U0
đóng.
Giải

D

K

L1

L2

- Ngay sau khi K đóng, điốt D ở trang thái cấm. Bởi vậy có thể loại
cuộn L2 ra khỏi mạch, mạch điện bây giờ như hình sau. Giả sử ở thời điểm t bất kì, dòng điện
qua L1 có cường độ i1, còn hiệu điện thế là u. Áp dụng định luật Ôm :
di
d 2i du
(1)

L1 1 = u → L1 21 =
dt
dt
dt
dq
du
Theo định luật bảo toàn điện tích i1 = - c = -C
(2)
dt
dt
1
''
i1 = 0
Từ (1) và (2) ta có phương trình sau: i1 +
L1C
Nghiệm của phương trình này có dạng i1 = A cos ω1t + B sin ω1t (3)
1
Với ω1 =
, A và B là các hằng số.
L1C
Vì ngay sau khi đóng khóa K (t=0), i1 = 0, từ đó suy ra A=0. Mặt khác i1max=B.
L1 B 2 CU 02
C
=
→ B = U0
Theo định luât bảo toàn năng lượng
2
2
L1
Vậy i1 = U 0


C
sin ω1t
L1

5


Hiển nhiên, dòng điện qua cuộn cảm L 2 luôn bằng không cho tới khi cường độ dòng điện i 1 đạt
cực đại, còn hiệu điện thế trên tụ C bằng 0. Điều này xảy ra suốt một phần tư chu kì, tức là
2π
π
L1C với chu kì dao động T =
khoảng thời gian 0 ≤ t ≤
.
L1C
2
Ngay khi hiệu điện thế trên tụ bắt đầu tăng, nhưng có dấu ngược lại, thì đi ốt mở và dòng điện i 2
chạy qua L2 như hình vẽ. Gốc thời gian bây giờ được chọn là lúc dòng điện qua cuộn cảm L 1 đạt
giá trị max.
Giả sử vào thời điểm tùy ý, dòng điện qua các cuộn cảm L 1,
L2 lần lượt là i1, i2 và qua tụ C là i3, còn hiệu điện thế trên hai
đầu tụ là u.
di
di
L1 1 + L2 2 = 0 → L1i1 + L2i2 = const
ta có
dt
dt
C

Vì t=0, i1max = U 0
và i2 =0 nên L1i1 + L2i2 = U 0 L1C
L1
Áp dụng định luật Ôm cho mạch vòng chứa tụ điện và cuộn
cảm L1
di
u = − L1 1
dt
du
Và theo định luật bảo toàn điện tích i1 = i2 + i3 với i3 = C
.
dt
Thay i2 và i3 vào để có phương trình chứa i1
U0
L + L2
i1'' + 1
i1 =
CL1 L2
L2 L1C
U0
L1 + L2
''
nên i1 + ω2 i1 =
. Đây là phương trình vi phân bậc hai không thuần
L2 L1C
CL1 L2
nhất. Nghiệm của phương trình này là
U LC
i1 = A cos ω2t + B sin ω2t + 0 1
L1 + L2

Vì t = 0,
C
C U 0 L1C
i1max = U 0
→ A = U0
−
L1
L1
L1 + L2
Đặt ω2 =

→B=0
Vậy i1 = U 0
i2 = U 0

C L2
C L1
cos ω2 t + U 0
L1 L1 + L2
L1 L1 + L2
C L1
(1 − cos ω2t )
L1 L1 + L2

Bài 5:
Trong Hình 5, khi K ngắt, điện tích trên tụ thứ nhất có điện
dung C1 bằng q0, còn trên tụ thứ hai có điện dung C 2 bằng
Hỏi sau bao lâu khi khóa K đóng điện tích trên tụ C 2 đạt
trị cực đại? Bỏ qua điện trở thuần của mạch.
Giải


0.
giá

- Sau khi K đóng, gọi q1, q2 là điện tích trên tụ C1 và C2, i là
cường độ dòng điện qua L. Theo định luật Ôm ta có
6


di
q q
= 0 → − L1i ' = 2 − 1 (1)
dt
C C
'
- Vì i = q2 và q1 + q2 = q0 (2)
- Thay (2) vào (1) ta có phương trình sau
 C + C2 
q0
q2'' +  1
(3)
÷q2 =
LC1
 LC1C2 
u1 − u2 − L1

- Để giải phương trình (3) ta đổi biến : X = q2 −

q0C2
C1 + C2


''
2
- Phương trình trên trở thành X + ω0 X = 0 với ω0 =

C1 + C2
LC1C2

(4)

- Nghiệm của (4) có dạng X = A cos ω0t + B sin ω0t với A, B là các hằng số.
q0C2
- Vì t=0, q2 = 0 → X (0) = −
và i = 0 → X ' = 0 nên ta tìm được
C1 + C2
qC
A = − 0 2 ;B = 0
C1 + C2
q0C2
qC
cos ω0t → q2 = 0 2 (1 − cos ω0t )
- Suy ra X = −
(5)
C1 + C2
C1 + C2
- Vậy thời điểm mà q2max là
π
π 2π n
t=
+ nT =

+
với n = 0, 1, 2, 3,….
ω0
ω0 ω0
2π
trong đó T =
là chu kì dao động của q2
ω0

7


C. KẾT LUẬN
Qua quá trình nghiên cứu đề tài, tôi rút ra một số kết luận sau:
- Các bài toán hiện tượng tự cảm trong các mạch điện phức tạp, đa dạng. Muốn tìm ra lời giải đòi
hỏi người học cần vận dụng hết sức linh hoạt các kiến thức đa học như các biểu thức: định luật
Ôm, suất điện động cảm ứng, năng lượng điện trường, năng lượng từ trường, định luật bảo toàn,
kĩ thuật tính toán và giải phương trình vi phân bậc 2.
- Các kĩ thuật tính toán và phương pháp giải toán cần được rèn luyện thông qua các bài tập cụ
thể. Qua quá trình rèn luyện mới hình thành nên kĩ năng giải quyết các bài toán ở học sinh. Vì
các bài toán hết sức đa dạng và tính toán chi tiết phức tạp đòi hỏi học sinh phải chăm chỉ luyện
tập từ các bài toán cơ bản, các bài toán tương tự sau đó mở rộng sang các bài toán nâng cao, các
mạch phức tạp.
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, bản thân đã tiếp cận các bài toán về hiện tượng tự cảm
trong các mạch điện. Điều này rất hữu ích trong công tác tự nghiên cứu, trau dồi kiến thức và kĩ
năng của bản thân.
Trong quá trình thực hiện đề tài bản thân đã rất nỗ lực, cố gắng tuy nhiên sẽ không tránh
khỏi những hạn chế và thiếu sót, nên tôi mong nhận được sự góp ý chân thành của các bạn đồng
nghiệp và các em học sinh. Tôi hi vọng đề tài này là một tư liệu tham khảo có ích cho các em
học sinh và các bạn đồng nghiệp.


8


D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bùi Quang Hân, Đào Văn Cư, Phạm Ngọc Tiến, Nguyễn Thành Tương-Giải toán Vật lý 11Nhà xuất bản giáo dục 2000.
2. Vũ Thanh Khiết, Vũ Đình Túy-Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí THPT-Tập 3: Điện
học 2-Nhà xuất bản giáo dục 2005.
3. Vũ Thanh Khiết, Tô Giang- Bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí THPT- Điện học 2-Nhà xuất bản
giáo dục 2009.
4. Tạp chí Vật lý và tuổi trẻ.

9


E. MỤC LỤC
Trang
A. Mở đầu..........................................................................................................................................
1. Lí do chọn đề tài.........................................................................................................................
2. Mục đích nghiên cứu..................................................................................................................
3. Phương pháp nghiên cứu............................................................................................................
4. Bố cục của đề tài.........................................................................................................................
B. Nội dung đề tài..............................................................................................................................
C. Kết luận.........................................................................................................................................
D. Tài liệu tham khảo.......................................................................................................................
E. Mục lục........................................................................................................................................10
Đồng Hới, ngày 20 tháng 4 năm 2015

10



ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI

Nhận xét và xếp loại của Tổ trưởng chuyên môn

Nhận xét của Hội đồng khoa học Trường

11