TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƢ PHẠM
BỘ MÔN SƢ PHẠM TOÁN HỌC
------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

PHƢƠNG TRÌNH ELLIPTIC

Giáo viên hướng dẫn
TS. Phùng Kim Chức

Sinh viên thực hiện
Trịnh Thị Hiến
MSSV: 1100100
Lớp: SP Toán – Tin K36

Cần Thơ, 5/2014

1


DANH MỤC KÝ HIỆU
Trong tài liệu này, trừ các trƣờng hợp đặc biệt đƣợc nói rõ ở mỗi mục, còn
lại sử dụng các kí hiệu sau:


là không gian Euclide

điểm

(

)

(

chiều

)

. Cho hai

)., tích vô hƣớng đƣợc xác định bởi

(

công thức
∑
và khoảng cách giữa chúng đƣợc xác định bởi công thức
⁄

|


là một miền trong

̅


trụ trong

) +

, tức là một tập mở liên thông, với biên

sao cho ̅̅̅

. Nếu

, thì ta viết

. Kí hiệu

Giả sử

(

(∑(

|

(

)

. Mặt xung quanh của nó là

.


*(
(

)
)

(
*(

)+ là

)

)+.


) là đa chỉ số với

(

| |

. Giả sử

(suy rộng) cấp

(

là các số nguyên không âm,
. Khi đó


)

. Đạo hàm

đƣợc kí hiệu là
| |
| |

⁄

Đặc biệt,
(
Trƣờng hợp (

)

*

, để chỉ đạo hàm (suy rộng) cấp

theo biến ta viết

⁄


Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm mà hàm đó

khác không và kí hiệu là supp. Kí hiệu


( ) là tập hợp tất cả các hàm có đạo hàm

2


o

liên tục đến cấp

trong miền

o

( ) C k ()

( )

,

C ()

o

( ), ở đó C () là tập hợp tất cả các hàm liên tục trong
thuộc

và có giá compact

.



là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm

( )

( ) khả tổng cấp

‖ ‖


với chuẩn

theo Lebesgue trong

(

| ( )|

( )

) là không gian với chuẩn
⁄

‖ ‖


(

(∫ :∫ | (


)

)|

;

,

( ) là không gian Sobolev bao gồm tất cả các hàm

( ), sao cho

( ) với mọi | |

( )

( )

và có chuẩn đƣợc xác định bởi

công thức
⁄

‖ ‖

: ∑ ∫|

( )

)|


;

| |
o



W



m
2

o


() là bao đóng của C () trong chuẩn của

( ).

) là không gian Hilbert bao gồm tất cả các hàm (

(

tồn tại các đạo hàm suy rộng theo
thuộc

(


đến cấp

thuộc

)

(

), sao cho

) và theo đến cấp

(

) với chuẩn sau
⁄

‖ ‖

(

)

: ∑ ∫|

)|

;


| |


các hàm
*(

o

W2m,l (

(

)

) thuộc
*(

Kí hiệu

) là bao đóng trong không gian

)

(
+

)

sao cho


(
(

)

+.

| | là khoảng cách từ điểm

đến gốc tọa độ.

Ta có các định nghĩa của các không gian hàm sau.

3

) của tập hợp tất cả
khi (

)




(

) là không gian tất cả các hàm ( )

có đạo hàm suy rộng đến cấp

thuộc


( ), sao cho ( )

( ) và chuẩn đƣợc xác định bởi công thức
⁄

‖ ‖

(

:∑ ∫

( )

| |

)|

)|

;

| |



(

)


là không gian với chuẩn đƣợc xác định bởi
⁄

‖ ‖

(

)

:∑ ∫

(

| |

)|

)|

;

∑ ∫|

|

| |



) là không gian mà trong đó trang bị chuẩn


(

⁄

‖ ‖

(

)

: ∑

∫

| |

(

)

|

)|

;

| |



các vết của

( ) (hoặc
( ) trên biên

( ) là một phần của
(hoặc trên )

4

) là không gian bao gồm


LỜI CẢM ƠN
Trƣớc tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Trƣờng Đại học Cần Thơ,
Khoa Sƣ phạm và Bộ môn Toán đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi, cung cấp nguồn
tài nguyên kiến thức vô giá. Và đặc biệt tôi xin trân trọng cảm ơn Tiến sĩ Phùng
Kim Chức đã đọc kỹ bản thảo và góp cho tôi nhiều ý kiến xác đáng và bổ ích giúp
tôi hoàn thành luận văn.
Dù đã cố gắng nghiên cứu, thu thập tài liệu nhƣng luận văn này vẫn còn hạn
chế về số lƣợng bài tập để bạn đọc có thể hiểu sâu rộng hơn về hai nội dung chính
của tài liệu. Và tuy đã đƣợc kiểm tra kỹ lƣỡng nội dung của luận văn nhƣng không
tránh khỏi sai sót về cả nội dung và hình thức, tôi hy vọng sẽ nhận đƣợc ý kiến đóng
góp để tài liệu đƣợc hoàn thiện hơn.

5


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 8

Chƣơng 1
1.1

CÁC KHÔNG GIAN HÀM ........................................................................ 10

Không gian tuyến tính định chuẩn và không gian Hilbert. ................................... 10

1.1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn. ..................................................................... 10
1.1.2

Phiếm hàm tuyến tính. ................................................................................... 10

1.1.3.

Không gian Hilbert. ....................................................................................... 12

1.1.4

Sự trực giao trong không gian Hilbert. .......................................................... 14

1.1.5

Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert. ........................................................ 17

1.2

Không gian

( )................................................................................................. 19


1.2.1.

Không gian

( ) ......................................................................................... 19

1.2.1

Không gian

( )

1.3

Một số tính chất của

.............................................................................. 25
( )

. ....................................................................... 31

1.3.1

Tính khả li. ..................................................................................................... 31

1.3.2

Tính liên tục toàn cục của các hàm thuộc

1.3.3


Trung bình hóa. .............................................................................................. 34

1.3.4

Không gian

1.4

( ). .......................................... 32

( ). ........................................................................................ 36

Không gian Sobolev. ............................................................................................. 38

1.4.1

Đạo hàm suy rộng. ......................................................................................... 38

1.4.2

Không gian

( )

. .................................................................. 41

o
m


1.4.3

Không gian Wp ( )

1.4.4

Không gian

(

. .............................................................. 47

). .................................................................................. 48

BÀI TẬP CHƢƠNG I ................................................................................................. 51
Chƣơng 2
2.1

PHƢƠNG TRÌNH LOẠI ELLIPTIC .............................................. 57

Phƣơng trình Elliptic đều ...................................................................................... 57

2.1.1

Bài toán biên thứ nhất và định lý duy nhất nghiệm. ...................................... 57

2.1.2

Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet. ....................................... 60


2.1.3

Về ba định lý Fredholm. ................................................................................ 62

2.1.4

Bài toán biên thứ hai và thứ ba. ..................................................................... 67

2.2

Phƣơng trình Elliptic trong

. ............................................................................ 70

2.2.1

Các khái niệm cơ bản. .................................................................................... 70

2.2.2

Bất đẳng thức tiên nghiệm. ............................................................................ 72

2.2.3

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. ...................................................................... 77

2.3

Phƣơng trình Elliptic trong nửa không gian. ......................................................... 81


6


2.3.1

Tính giải đƣợc của phƣơng trình Elliptic trong

2.3.2

Tính trơn của nghiệm. .................................................................................... 83

2.4

. ...................................... 81

Phƣơng trình elliptic trong miền bị chặn. ............................................................. 86

2.4.1

Điều kiện Lopatinsky. .................................................................................... 86

2.4.2

Tính trơn của nghiệm. .................................................................................... 94

2.5

Phƣơng trình Elliptic mạnh. .................................................................................. 96

2.5.1


Bất đẳng thức Garding. .................................................................................. 97

2.5.2

Tính loại trừ Fredholm. ................................................................................ 100

BÀI TẬP CHƢƠNG II .............................................................................................. 103
PHẦN KẾT LUẬN ....................................................................................................... 108
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 109

7


PHẦN MỞ ĐẦU
I.

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phƣơng trình đạo hàm riêng là một chuyên ngành quan trọng và rất phát
triển trong toán học. Nó có liên quan chặt chẽ đến nhiều ngành khoa học và công
nghệ khác. Các hiện tƣợng vật lý trong tự nhiên thƣờng rất phức tạp nên thƣờng
phải mô tả bằng các phƣơng trình đạo hàm riêng. Chính vì thế các tài liệu về
phƣơng trình đạo hàm riêng trên thế giới chiếm một tỷ lệ khá cao so với nhiều lĩnh
vực khác trong khoa học và công nghệ.
Tuy nhiên ở nƣớc ta các loại sách giáo khoa, sách tham khảo và chuyên
khảo về phƣơng trình đạo hàm riêng và về các ứng dụng khoa học – công nghệ do
ngƣời Việt Nam biên soạn vẫn còn hạn chế. Chính vì thế, tôi chọn đề tài về một
phần của ngành này đó là: “Phƣơng trình Elliptic” nhằm tập trung chủ yếu vào tìm
hiểu về các không gian hàm và các phƣơng trình loại Elliptic. Luận văn này cũng

đƣợc nghiên cứu nhằm giúp cho ngành khoa học về phƣơng trình đạo hàm riêng
đƣợc phổ biến sâu rộng hơn.

II.

MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Trọng tâm của luận văn là đi vào tìm hiểu về các không gian hàm và phƣơng
trình loại Elliptic. Mức độ nghiên cứu trong tài liệu này chỉ là ở mức bƣớc đầu tiếp
cận và biết sơ lƣợc về các kiến thức này. Đồng thời nó còn giúp tôi bƣớc đầu làm
quen với việc nghiên cứu khoa học.

III.

TÓM TẮT NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chƣơng 1: Các không gian hàm.
1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn và không gian Hilbert.
1.2 Không gian ( )
1.3 Một số tính chất của không gian ( )
1.4 Không gian Sobolev
Một số bài tập tham khảo
Chƣơng 2: Phƣơng trình Elliptic
2.1 Phƣơng trình Elliptic đều.
2.2 Phƣơng trình Elliptic trong
2.3 Phƣơng trình Elliptic trong nửa không gian
2.4 Phƣơng trình Elliptic trong miền bị chặn
2.5 Phƣơng trình Elliptic mạnh
Một số bài tập tham khảo

8



IV.

ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU
Các không gian hàm và các phƣơng trình loại Elliptic.

V.

PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Đề tại này chủ yếu dựa vào quyển “Phƣơng trình đạo hàm riêng – phần II”
của tác giả Nguyễn Mạnh Hùng.
Phƣơng pháp chủ yếu để nghiên cứu đề tài này là nghiên cứu các tài liệu có
liên quan của nhiều tác giả khác nhau, từ đó tổng hợp, so sánh, phân loại và lựa
chọn những bài toán điển hình cho từng dạng.

9


PHẦN NỘI DUNG

Chƣơng 1

CÁC KHÔNG GIAN HÀM

1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn và không gian Hilbert.
1.1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn.

(


Một tập hợp đƣợc gọi là không gian tuyến tính định chuẩn trên trường
là trƣờng số thực hoặc phức) nếu:
(i)
là không gian tuyến tính trên trƣờng ;
(ii) Mỗi phàn tử
đặt tƣơng ứng đƣợc với một số thực, gọi là chuẩn của ,
ký hiệu là ‖ ‖, thỏa mãn các tiên đề:
‖ ‖
‖
‖

‖ ‖
‖ ‖ ‖
‖ | |‖ ‖

;
‖ ‖;
.

Một không gian nhƣ vậy sẽ trở thành một không gian Metric nếu đƣa vào
(
) ‖
‖. Sự hội tụ của dãy { }
khoảng giữa hai phần tử và
các
‖
phần tử của tới phần tử
đƣợc xác định nhƣ sau: ‖
khi

,
ký hiệu viết tắt là
.
Một tập hợp đƣợc gọi là trù mật khắp nơi trong E nếu với một phần tử bất
kỳ
tồn tại một dãy { }
thuộc , sao cho
. Nếu trong E tồn tại một
tập hợp đếm đƣợc trù mật khắp nơi, thì không gian E đƣợc gọi là khả li.
Nếu đối với một dãy bất kỳ { } thuộc không gian E, sao cho : ‖
‖
khi
, đều hội tụ trong E thì E đƣợc gọi là không gian đầy.
Không gian tuyến tính định chuẩn đầy đƣợc gọi là không gian Banach.
1.1.2 Phiếm hàm tuyến tính.
Nếu trong
( hoặc ) chuẩn của một phần tử đƣợc lấy là module của nó,
thì trở thành một không gian Banach. Giả sử là không gian tuyến tính định
chuẩn trên trƣờng . Một toán tử tuyến tính bị chặn tác động từ vào đƣợc gọi
lag một phiếm hàm tuyến tính trên . Nhƣ vậy, toán tử ( ) đƣợc gọi là phiếm hàm
tuyến tính trên nếu có các tính chất sau:

10


(i) Nếu
(ii) Nếu

âm


, thì ( )
;
, thì (∑

)

∑

( ).

Một phiếm hàm tuyến tính ( ) đƣợc gọi là bị chặn nếu tồn tại một số không
sao cho:
| ( )|

‖ ‖

Cận dƣới của hằng số trong bất đẳng thức này đƣợc gọi là chuẩn của
phiếm hàm tuyến tính bị chặn và ký hiệu là ‖ ‖. Ta có:
‖ ‖

8

| ( )|
9
‖ ‖

(

)


Từ đó suy ra | ( )| ‖ ‖‖ ‖. Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính bị
chặn trên là một không gian Banach với chuẩn đƣợc xác định bằng công thức
(1.1), nó đƣợc gọi là không gian liên hợp với và ký hiệu là
Giả sử
là không gian con tuyến tính của không gian và là phiếm hàm
tuyến tính bị chặn trên . Theo định lý Hahn – Banach về thác triển các phiếm
hàm tuyến tính bị chặn, ta có thể thác triển
đến phiếm hàm tuyến tính bị chặn
trên toàn không gian sao cho
‖ ‖

‖ ‖

ở đây chữ
và
viết dƣới ‖ ‖ để nói rõ chẩn trên
và
tƣơng ứng.
Đối với một phần tử tùy ý
tồn tại một phiếm hàm tuyến tính bị chặn
sao cho ‖ ‖
và ( ) ‖ ‖. Từ đó rút ra cùng với (1.1) có thể
viết:
‖ ‖

8

| ( )|
9
‖ ‖


(

)

Định lí 1.1. Giả sử là không gian Banach và
là không gian khả li. Khi
đó một tập con bị chặn trong E chứa một dãy con { }
sao cho với mọi
dãy số { ( )}

hội tụ.

Chứng minh: Giả sử * +
là dãy các phần tử trong không gian
sao
cho bao tuyến tính của nó trù mật trong
, tức là với mỗi
và mỗi
∑
‖
nhỏ tùy ý, tồn tại các số
sao cho ‖
. Giả sử * +
là một
*
+
dãy bị chặn trong không gian . Dãy số
( )
bị chặn, do đó có thể tìm

(
)
(
)
*
+
đƣợc một dãy con
hội tụ. Dãy
chứa một dãy con

11


* + , sao cho dãy số tƣơng ứng
( )
( ) hội tụ. Tiếp tục quá
trình này ta tìm đƣợc một tập hợp đếm đƣợc các dãy, mà mỗi một dãy trong đó
đƣợc chứa trong dãy trƣớc. Dãy
tạo thành dãy số { ( )}
hội tụ khi
đối với mọi .
Bây giờ giả sử là một phần tử tùy ý của

. Ta sẽ chứng minh { ( )}

là dãy hội tụ. Giả sử
là một số cố định và
là các số sao cho ‖
∑
‖

. Khi đó tồn tại một số
sao cho | || (
)|
với
mà
. Ta có
| ( )

(

| ( )

)|
( )|

∑

‖ ‖

‖

Đối với

| (

)

∑

(


)|

∑|

(

)|

‖

đủ lớn. Do đó { ( )}

là dãy Cauchy, nên nó hội tụ. Định lí

đƣợc chứng minh.
Đối với phiếm hàm tuyến tính ( ), bây giờ ta cố định và coi chính
phiếm hàm đƣợc thay đổi và chạy khắp không gian
. Do phần tử cố định,
còn phiếm hàm là thay đổi, nên có thể kí hiệu sự phụ thuộc này là ( ),. Khi đó
( ) trở thành một phiếm hàm tuyến tính trên
. Do công thức (1.2), chuẩn của
phiếm hàm ( ) trùng với chuẩn nhƣ một phần tử của không gian . Từ ( )
là một phiếm hàm tuyến tính trên
suy ra ( ) là một phần tử thuộc
. Do đó,
có thể coi đƣợc chứa trong
không có sự thay đổi chuẩn, tức là
. Nếu
là không gian Banach thì nó đóng trong

. Do đó, không là không gian con
tuyến tính đóng trong
.
1.1.3. Không gian Hilbert.
Một trƣờng hợp đặc biệt của không gian Banach là không gian Hilbert. Một
không gian Banach thực trở thành một không gian Hilbert thực nếu với hai phần tử
bất kì và xác định đƣợc một tích vô hƣớng (
) , tức là cho tƣơng ứng với một
số thực thỏa mãn các tiên đề sau:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)

(
(
(
(

)

(
)

)

)
(
(


);
(
);
)

)

(

);
.

12


Trong không gian Hilbert phức tích vô hƣớng (
) là một số phức thỏa
) (̅̅̅̅̅̅̅).
mãn các tiên đề từ (ii) đến (iv), còn tiên đề (i) đƣợc thay bằng ( ) (
Trong không gian Hilbert, chuẩn của phần tử đƣợc lấy là ‖ ‖ √(
).
Đối với
ta có bất đẳng thức Cauchy
|(

)|

‖ ‖‖ ‖

bất đẳng thức này có tên đầy đủ là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiakovsky –

Schwarz.
Trong không gian Hilbert ngoài sự hội tụ theo chuẩn còn có sự hội tụ yếu.
Một dãy { }
đƣợc gọi là hội tụ yếu trong đến phần tử nếu (
)
với mọi
, kí hiệu là
Bây giờ ta cố định phần tử
phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên khi
khi

(

)

.
. Khi đó tích vô hƣớng (
thay đổi. Nếu kí hiệu:

) là một

( )

(

)

thì ‖ ‖ ‖ ‖. Ngƣợc lại, theo định lí Riesz đối với phiếm hàm tuyến tính bị chặn
trên không gian tồn tại một phần tử
, sao cho:

( )
Nhƣ vậy, đối với các phiếm hàm

∑

( )

tức là, giữa các phiếm hàm
ứng đơn trị

(

)

(

tồn tại các phần tử

: ∑̅

, sao cho:

;

và các phần tử

∑

)


thiết lập đƣợc sự tƣơng

∑̅

Từ (1.3) suy ra ‖ ‖ ‖ ‖. Nếu bây giờ kí hiệu ( ) là phiếm hàm tuyến tính tùy
ý trên
(
), thì ̅̅̅̅̅̅
( ) là phiếm hàm tuyến tính bị chặn đối với
. Vì thế, theo định lí Riesz tồn tại một phần tử
sao cho: ̅̅̅̅̅̅
( ) (
)
)
đối với mọi
. Do đó, ( ) (
( ), tức là
. Khẳng định này
cũng đúng với không gian Hilbert thực.

13


1.1.4 Sự trực giao trong không gian Hilbert.
)
Các phần tử
đƣợc gọi là trực giao (
) nếu (
)
đƣợc gọi là trực giao với tập hợp

nếu (
với mọi
)
hợp
và
thuộc đƣợc gọi là trực giao (
) nếu (
,
.
Nếu
trực giao với một tập hợp trù mật trong thì
)
giả sử dãy { }
khi
. Bởi vì (

. Phần tử
. Hai tập
với mọi
. Thật vậy,
, hơn nữa

(

)
‖ ‖ nên ‖ ‖
, tức là
.
Một phần tử
đƣợc gọi là chuẩn hóa nếu ‖ ‖

. Tập hợp
đƣợc gọi là trực chuẩn (hệ trực chuẩn) nếu các phần tử của nó là chuẩn hóa và đôi
một trực giao. Một tập hợp trực chuẩn là độc lập tuyến tính.
Một tập hợp độc lập tuyến tính đếm đƣợc các phần tử { }
có thể đƣợc
biến đổi thành một tập hợp trực chuẩn đếm đƣợc bằng phƣơng pháp Schmidt:
‖

‖

,
(

)

‖

(
(

) ‖
)

‖

(

)

,…

(

)

(

)

‖

,….

Giả sử là một phần tử tùy ý của , còn * +
là một hệ trực chuẩn trong
(nếu là không gian hữu hạn chiều thì hệ trực chuẩn đƣợc lấy là một số hữu hạn
phần tử). Ký hiệu ( ) là không gian con của sinh bởi các phần tử
, tức
là một phần tử tùy ý của ( ) có dạng ∑
với các hằng số nào đó
.
Ta có:

‖

∑

‖

(


∑
|

∑|
ở đó

(

∑|

+
|

đƣợc gọi là hệ Fourier của phần tử

)

Nhƣ vậy đại lƣợng ‖
tức là:

∑

(

)

theo hệ * +

.


‖ đạt giá trị nhỏ nhất khi

∑

‖

‖ ‖

∑

‖

14

‖

∑

‖

,

(

)


Đối với tất cả các số
. Bất đẳng thức (1.6) biểu thị tính chất tối thiểu của
các hệ số Fourier và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

,
.
∑
Ký hiệu
. Khi đó,
là phần tử trong không gian ( ) „gần
nhất‟ với các phần tử đƣợc gọi là hình chiếu của phần tử lên không gian con
( ). Từ đẳng thức (1.5) với
suy ra với bất kỳ
và bất kỳ
ta
có:

∑|
Điều đó có nghĩa là chuỗi ∑

|

|

‖ ‖

| hội tụ và có bất đẳng thức Bessel:

∑|

|

‖ ‖


Chuỗi ∑
đƣợc gọi là chuỗi Fourier của phần tử theo hệ
Từ bất đẳng thức Bessel suy ra { } là một dãy cơ bản trong . Do đó
chuỗi Fourier của một phần tử tùy ý
theo hệ trực chuẩn tùy ý hội tụ trong .
Tuy nhiên, chƣa chắc nó đã hội tụ đến phần tử .
Mỗi hệ trực chuẩn đếm đƣợc
đƣợc gọi là một cơ sở trực chuẩn
trong không gian Hilbert nếu một phần tử bất kì
có thể khai triển đƣợc thành
chuỗi Fourier theo hệ này, tức là:
∑
Định lí 1.2. Để hệ trực chuẩn
cần và đủ là:
(i)

Hoặc đối với phần tử bất kỳ
‖ ‖

là cơ sở trực chuẩn của
ta có đẳng thức Parseval:

∑|

|

(ii) Hoặc đối với hai phần tử bất kì
(

)


điều kiện

(

)

ta có đẳng thức Parseval mở rộng:
(

∑

15

)

(

)


(iii) Hoặc tập hợp các phần tử có dạng
số bất kì
là một tập hợp trù mật trong
Chứng minh: (i) Từ đẳng thức (1.5) với

‖

∑


‖

với mọi

và các

.
ta nhận đƣợc

‖ ‖

∑‖

‖

(

)

Nếu * +
là cơ sở trực chuẩn thì khai triển đƣợc thành chuỗi Fourier.
Do đó, với mọi
tìm đƣợc một số
( ), sao cho vế trái của (1.7) cũng
nhỏ hơn . Từ đó nhận đƣợc đẳng thức Parseval. Điều ngƣợc lại đƣợc chứng minh
tƣơng tự.
(| |
|
| | ), nên chuỗi ∑
(ii) Do |

hội tụ tuyệt
đối. Hơn nữa, nếu khai triển đƣợc thành chuỗi Fourier, thì
(

)

(

)

(∑

+

∑

(

)

∑

∑
tức là có đẳng thức Parseval mở rộng. Ngƣợc lại, từ đẳng thức Parseval mở rộng ta
nhận đƣợc đẳng thức Parseval. Do đó, từ (i) ta nhận đƣợc kết quả.
(iii) Nếu * +
là cơ sở trực chuẩn trong , thì một phần tử bất kì
có thể đƣợc xấp xỉ theo chuẩn trong với một tổng riêng trong khai triển Fourier
của chính hàm này. Tổng riêng này là một tổ hợp tuyến tính của hệ * + . Do đó,
điều kiện cần đƣợc chứng minh.


số

Bây giờ giả sử
( ) và các số

là một phần tử tùy ý của
( )
( ) sao cho:

‖

∑

. Đối với

tùy ý tìm đƣợc

( ) ‖

Từ đây và do (1.7) ta có đƣợc đẳng thức Pareval. Do đó, hàm
thành chuỗi Fourier theo hệ * + . Định lí đƣợc chứng minh.

đƣợc khai triển

Định lí 1.3. Trong không gian Hilbert khả li tồn tại một cơ sở trực chuẩn.
hiệu

Chứng minh: Giả sử
là một tập hợp đếm đƣợc trù mật trong . Kí

là phần tử đầu tiên khác không
(
) của tập hợp này,

16


là phần tử đầu tiên của tập hợp
tạo với
thành một cặp độc lập
tuyến tính. Tiếp tục quá trình này ta nhận đƣợc hệ * +
độc lập tuyến tính. Nhờ
quá trình trực giao hóa Schmidt và điều kiện (iii) trong định lí 1.2 ta nhận đƣợc một
cơ sở trực chuẩn trong không gian . Định lí đƣợc chứng minh.
1.1.5 Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert.
Trong mục này ta đi xét một số tính chất của dãy hội tụ yếu trong không gian
Hilbert thực.
Định lí 1.4. Nếu dãy { }
thì tồn tại một hằng số

các phần tử của không gian Hilbert hội tụ yếu,
‖ ‖

sao cho với mọi

.

. Bởi vì dãy { ( )}

Chứng minh: Giả sử


hội tụ, nên dãy số

này bị chặn. Kí hiệu
là tập hợp tất cả các phiếm hàm
| ( )|
. Khi đó tập hợp
đóng,
và

sao cho

⋃

(

)

* ‖
‖
Ta chứng minh tồn tại một tập hợp
chứa hình cầu
+ với
nào đó và
. Thật vậy, giả sử ngƣợc lại, khi đó tập hợp
không
*
+
‖
‖

chứa ít nhất một phần tử
sao cho
. Bởi vì
đóng, nên
* ‖
+, sao cho
‖
tồn tại một hình cầu
và
.
Tập hợp
không chứa ít nhất một phần tử
và tồn tại một hình cầu
* ‖
+ sao cho
‖
và Tiếp tục các lí luận này ta nhận
đƣợc một dãy các hình cầu

Sao cho
.
Giao
và
với mọi . Nhƣng khi đó tập hợp
⋂
của tất cả các
không chứa toàn bộ không gian
. Điều này mâu thuẫn với (1.8)
‖ ‖ thuộc và từ đó | ( )|
Nếu

, thì hàm
với mọi . Do đó,
| ( )|
Đối với

, ở đó

‖ ‖

|(

)( )|

là hằng số sao cho |

17

‖ ‖
( )|

(
.

)


Giả sử ( ) (
đẳng thức ‖ ‖

). Khi đó | ( )| ‖ ‖ và ‖ ‖ ‖ ‖. Ta nhận đƣợc bất

(
), tức là { }
bị chặn. Định lí đƣợc chứng minh.

Định lí 1.5. Dãy *
mãn hai điều kiện sau:

hội tụ yếu đến phần tử

+

nếu và chỉ nếu thỏa

(i) Tồn tại một hằng số sao cho ‖ ‖
với mọi ;
(ii)
( ) hội tụ đến ( ) với mọi thuộc một tập hợp con trong
tuyến tính của các phần tử của nó trù mật trong .

mà bao

Chứng minh. Do định lí 1.4 ta chỉ cần chứng minh điều kiện đủ. Giả sử các
điều kiện (i) và (ii) thỏa mãn đối với dãy * +
và giả sử
là một hàm tùy ý
thuộc
, còn * +
là dãy các tổ hợp tuyến tính các phần tử của tập hợp đƣợc
nói trong (ii) sao cho
hội tụ đến . Ta có

| (

)
Giả sử

)

(

)|

(

|

)

( )|

là số dƣơng nhỏ tùy ý. Khi đó tồn tại số

với mọi
sao cho |

, ở đây
( )

| (

( )|


)

| (

( )|

*

( )|

sao cho ‖

‖

‖ ‖+, là hằng số trong (i). Mặt khác, tồn tại số
với mọi
. Do đó,

( )|
‖

( )

|

‖‖

‖


|

(

)

( )|

‖

‖‖ ‖

‖ ‖

Từ đó suy ra * +
hội tụ yếu đến . Định lí đƣợc chứng minh.
Từ định lí 1.1 và do đẳng cự tuyến tính với
ta có định lí sau.
Định lí 1.6. Giả sử là một không gian Hilbert khả li. Khi đó từ một dãy bị
chặn trong có thể trích ra được một dãy con hội tụ yếu.
Hiển nhiên một dãy hội tụ (theo chuẩn) thì hội tụ yếu. Điều khẳng định
ngƣợc lại không đúng. Tuy nhiên ta có định lí sau:
Định lí 1.7. Giả sử dãy * +
hội tụ yếu tới phần tử sao cho ‖
trong .

là dãy các phần tử trong không gian Hilbert
‖
‖ ‖
. Khi đó * +

hội tụ tới

Chứng minh. Ta có đồng nhất thức
‖

‖

(

)

‖

18

‖

(

)

(

)

‖ ‖


) (
)

Bởi vì (
. Định lí đƣợc chứng minh.

‖ ‖ , nên ta nhận đƣợc

‖

‖

Định lí 1.8. Giả sử dãy * +
là dãy các phần tử trong không gian Hilbert
hội tụ yếu tới phần tử . Khi đó tồn tại một dãy con { } sao cho dãy các trung
bình cộng:
(

)

hội tụ tới u.
Chứng minh. Thay thế
)
mỗi cố định, (
khi
|(

)|

Mặt khác, dãy *

, ta có thể coi
, nên tồn tại các số


|(

‖ ∑

‖

trong

. Do đó

‖

∑ .

(

(

. Bởi vì với
sao cho

)|

hội tụ yếu nên bị chặn: ‖

+

‖ ‖


Do đó,

bằng

)

/

*

. Định lí đƣợc chứng minh.

Định lí 1.9. Nếu dãy *
‖ ‖

+

hội tụ yếu tới u trong không gian Hilbert H, thì
‖

‖

‖

‖

Hơn nữa, vế phải của bất đẳng thức này là hữu hạn.
1.2

Không gian


1.2.1. Không gian

( )
( )

Chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản nhất của tích phân Lebesgue. Một
hàm ( ) xác định trên một tập hợp
đƣợc gọi là hàm đơn giản nếu nó đo
đƣợc và nhận một số hữu hạn hay đếm đƣợc các giá trị. Giả sử ( ) là một hàm
đơn giản, sao cho ( )
nếu
và
với
. Nếu chuỗi
∑
( ) hội tụ tuyết đối, ở đó ( ) là độ đo của tập hợp , thì hàm ( )
đƣợc gọi là khả tổng trên hay ( )
( ). Khi đó biểu thức

19


∫

∑

( )

(


)

đƣợc gọi là tích phân của hàm trên tập .
Giả thiết tập hợp có độ đo hữu hạn. Hàm đo đƣợc ( ) khả tổng trên
hay ( )
( ), nếu có một dãy * ( )+ các hàm đơn giản xác định trên hội
tụ đến tới , sao cho tồn tại giới hạn
∫

∫

(

)

Giới hạn (2.2) đƣợc gọi là tích phân của hàm trên tập . Dễ dàng kiểm tra đƣợc
giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn dãy hàm * ( )+ .
Nếu độ đo ( ) là vô hạn và giả sử:
( )
Nếu tồn tại giới hạn
∫

(

Và giới hạn này không phụ thuộc vào cách chọn
là khả tổng trên hay
( ) và viết

, thì hàm


)

( ) đƣợc gọi

∫

(

)

Tới đây ta định nghĩa đƣợc hàm khả tổng trên một tập hợp
, ở đây hàm
đƣợc nói tới là hàm đo đƣợc trên tập hợp (vì một hàm là đo đƣợc nếu tồn tại một
dãy hàm đơn giản hội tụ đều tới nó trên ).
Khi đó các biểu thức (2.1), (2.2), (2.3) hoặc (2.4) đƣợc gọi là tích phân của hàm
( ) trên . Trƣờng hợp đƣợc lấy là độ đo Lebesgue
chiều ta viết và gọi nó
là tích phân Lebesgue.
Tích phân Lebesgue có các tính chất sau:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)

Nếu
( ), thì
( ) với mọi số phức
.
Nếu

( ), thì | |
( ) và ngƣợc lại, nếu | |
( ) thì
Nếu bị chặn và đo đƣợc trên tập có độ đo hữu hạn, thì
( ).
Nếu
( )
( ) hầu khắp nơi trong (tức là đối với tất cả
một tập có độ đo không) và
( ) và

20

( ).
trừ ra


∫

∫

( )

( )

( )
Định lí 2.1 (Lebesgue). Giả sử
( ) ( )
| ( )|
( ). Ngoài ra, sự hội tụ tới hàm

. Khi đó
( ) và

∫

( )

∫| ( )

∫ ( )

Định lí 2.2 (Fatou). Nếu
hội tụ tới hàm hầu khắp trong

∫
ở đó

ở đó
hầu khắp trong

và
khi

( )|

, là các hàm khả tổng không âm trong
khi
và giả sử

( )


là hằng số không phụ thuộc vào . Khi đó

( ) và

∫ ( )
( )
( )
Định lí 2.3 (Levi) Nếu
và
( ) ∫
( )
là hằng số không phụ thuộc vào k. Khi đó tồn tại giới
hạn

∫

( )

Định lí 2.4 (Fubini). Nếu (
. Khi đó tích phân:

∫ ( )

∫ (

tồn tại với hầu khắp

, là hàm khả tổng trong


)

)

và

21


(

∫

)

∫:∫ (

(

Hệ quả. Nếu

ở đó ( )
nếu ( )

*
( )

;

)


) ( )

. Khi đó:

∫ ( )

∫ ( )

∫: ∫ (

( )
+ và meas là độ đo Lebesgue
và các hàm
khả tổng thì

∫ ( ) ( )

∫: ∫

( )

)

;

chiều. Hơn nữa,

;


( )

(

*( )
Chứng minh. Giả sử
và
+
) là hàm đặc trƣng của . Nhờ định lí Fubini ta có

∫

(

)

∫:∫ (

)

;

∫ :∫ (

( )

) ;

( )
( )∫ ( )

Bởi vì ∫
( ), nên điều khẳng định thứ nhất
đƣợc chứng minh.
Để chứng minh khẳng định thứ hai ta cũng làm tƣơng tự nhƣ trên đối với tích
phân
∫

(

) ( )

Hệ quả đƣợc chứng minh.
Trong
một tập hợp mở và liên thông đƣợc gọi là một miền. Giả sử là
một miền trong
và xét tập hợp tất cả các hàm giá trị phức khả tổng đƣợc xác
định trên . Tập hợp này là một không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn:

‖ ‖
Định lí 2.5.

( )

∫ | ( )|

( ) là không gian đầy.

22



Chứng minh. Giả sử { ( )}

là dãy Cauchy trong
( ) sao cho ‖

mỗi số nguyên
tồn tại một số nguyên
với mọi
( ).
Giả sử

2

3

là dãy con sao cho ‖

‖

( ). Khi đó với
‖

đối

( )

. Đặt

( )


và
( )
Ta có {

}

| ( )|

( )

|

( )|

( )|

là dãy các hàm không âm, tăng dần và

∫|

( )|

Do định lí 2.3 tồn tại một hàm

( )

hầu khắp tới nó,

( )


|

( )

( ) sao cho dãy {

}

hội tụ

( ) và

( )

∫|

( )|

Bởi vì chuỗi
(

)

hội tụ tuyệt đối hầu khắp trong
đƣợc ( ). Do | ( )|

(

, nên dãy { }


)
hội tụ hầu khắp tới một hàm đo

( ), nên theo định lí 2.1 hàm ( ) khả tổng và

( )

∫|

( )|

Hơn nữa,
∫| ( )

( )|

∫|

∫|

Bởi vậy ∫ | ( )
( )|
Định lí đƣợc chứng minh.

( )

( )|

( )


( )|

.

23

∫|

( )

( )|


Bây giờ ta đi xem xét sự xấp xỉ một hàm thuộc

( ) bằng một hàm liên tục.

Định lí 2.6. Nếu
( ), thì với mọi
( )
( ) với giá compact sao cho

∫| ( )

tồn tại một hàm liên tục

( )|

Chứng minh. Giả sử ban đầu
là miền bị chặn. Từ định nghĩa tích phân

Lebesgue suy ra là giới hạn trong
( ), của một dãy các hàm đơn giản khả
tổng. Mỗi hàm đơn giản khả tổng trong
lại là giới hạn trong
( ) của một dãy
(
)
các hàm đơn giản nhận một số hữu hạn giá trị. Thật vậy, nếu
trên tập
hợp , thì
∫ ( )

∑

( )

Do đó
∫| ( )

( )|

ở đó

( )
( )
trên
đối với
và
trên
nếu

.
Nhƣ vậy, tập hợp các hàm có giá compact nhận một số hữu hạn giá trị là trù
mật trong không gian ( ). Bởi vì mỗi hàm đơn giản là một tổ hợp tuyến tính của
( ) cũng chỉ nhận
các hàm chỉ nhận hai giá trị 0 và 1, nên có thể coi mỗi hàm
hai giá trị này.
Bây giờ giả sử ( )
đối với
và ( )
ở đó là
một tập hợp đo đƣợc bị chặn. Do định nghĩa độ đo Lebesgue với mỗi
tồn tại
một tập đóng và một tập mở sao cho
và | ( )
( )|
.
Cố định
và tập hợp
. Đặt
( )

(
(

)

)
(

)


ở đó

(
) là khoảng cách từ đến tập hợp .
( )
( )
Nhƣ vậy
nếu
và
nếu
) liên tục khi đóng. Hơn nữa
liên tục do hàm khoảng cách (
Do đó

24

( )
. Hàm
( )
.


∫|

( )

( )|

( )


∫|

(

( )|

)

Nhƣ vậy, một hàm khả tổng lấy hai giá trị có thể xấp xỉ đƣợc trong
bởi một hàm liên tục với giá compact.

( )

Từ các lí luận trên rút ra kết luận của định lí cho trƣờng hợp miền bị chặn.
Trƣờng hợp miền không bị chặn, đặt ( )
ngoài và coi rằng
( ).
Bây giờ giả sử ( )
( ) đối với | |
và ( )
với | |
. Khi đó

∫| ( )

( )|

∫ | ( )|
| |


Hàm
( ) thuộc
trên, với mỗi
| |
và

(* | |
+) và triệt tiêu khi | |
. Theo chứng minh ở
( ) sao cho
( )
tồn tại một hàm liên tục
với
‖ ( )

Do đó, với đủ lớn ta có ‖ ( )
Định lí đƣợc chứng minh.
1.2.1 Không gian

( )‖
( )‖

(

(

)

)


.

( )

Không gian
Định lí 2.7 (

( ) bao gồm các hàm ( ) sao cho | ( )|
̈

( )

). Giả sử

( ).

( ) , ở đó

. Khi đó:

|∫ ( ) ( )

|

:∫ | ( )|

; :∫ | ( )|

;


Chứng minh. Trƣớc tiên ta đi chứng minh bất đẳng thức cơ bản
(

25

)