TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ

GIẢI TÍCH VECTOR TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG
Luận văn tốt nghiệp
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ

Giáo viên hướng dẫn:

Sinh viên thực hiện:

TS. NGUYỄN THANH PHONG

MAI THỊ THÙY VÂN
Mã số SV: 1100273
Lớp: Sư phạm vật lý
Khóa: 36

Cần Thơ, năm 2014


Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong

MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 3
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI..................................................................................................... 3
2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI ................................................................................................ 4
3. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI.................................................................................................. 4

4. PHƢƠNG PHÁP VÀ PHƢƠNG TIỆN THỰC HIỆN ..................................................... 4
5. CÁC BƢỚC THỰC HIỆN ................................................................................................ 4
PHẦN NỘI DUNG ................................................................................................................... 5
CHƢƠNG 1: TOÁN TỬ VI PHÂN VECTOR TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG ................... 5
1.1 CÁC HỆ TỌA ĐỘ TRỰC GIAO TRONG KHÔNG GIAN R 3 ..................................... 5
1.1.1 Các hệ tọa độ trực giao trong R 3 ........................................................................... 5
1.1.2 Định thức Jacobi ................................................................................................... 8
1.1.2.1 Định thức Jacobi tổng quát ............................................................................. 8
1.1.2.2 Định thức Jacobi trong hệ tọa độ cực ........................................................... 10
1.2 CÁC TOÁN TỬ GRADIENT, DIVERGENCE, CURL TRONG HỆ TỌA ĐỘ
DESCARTES ................................................................................................................... 10

1.2.1 Toán tử Gradient  ............................................................................................ 10

 



1.2.2 Toán tử Divergence   ...................................................................................... 16

1.2.3 Toán tử Curl   : ................................................................................................ 17

 

1.3 CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN VECTOR TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG .................... 18
1.3.1 Toán tử Gradient .................................................................................................. 18
1.3.2 Toán tử Divergence ............................................................................................. 19
1.3.3 Toán tử Curl ......................................................................................................... 21
CHƢƠNG 2: CÁC TOÁN TỬ GRADIENT, DIVERGENCE VÀ CURL TRONG CÁC
HỆ TỌA ĐỘ ĐẶC BIỆT .................................................................................................... 23

2.1 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ ..................................................................................................... 23
2.1.1 Giới thiệu hệ tọa độ trụ ........................................................................................ 23



2.1.2 Các toán tử liên quan đến  trong hệ tọa độ trụ.................................................. 26

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

1

SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong

2.1.3 Một số vấn đề vật lý đƣợc giải trong hệ tọa độ trụ .............................................. 30
2.1.3.1 Số hạng Navier – Stoke ................................................................................. 30
2.1.3.2 Định luật diện tích cho chuyển động của các hành tinh ................................ 31
2.2.3.3 Phƣơng trình Laplace trong hệ tọa độ trụ...................................................... 33
2.2 HỆ TỌA ĐỘ CẦU .................................................................................................... 35
2.2.1 Giới thiệu hệ tọa độ cầu ....................................................................................... 35



2.2.2 Các toán tử liên quan đến  trong hệ tọa độ cầu ................................................ 38
2.2.3 Một số vấn đề vật lý đƣợc giải trong hệ tọa độ cầu............................................. 41
2.2.3.1 Phƣơng trình Schrodinger trong hệ tọa độ cầu.............................................. 41

2.2.3.2 Nguyên tử Hydro .......................................................................................... 58
2.2.3.3 Phƣơng trình Laplace trong hệ tọa độ cầu..................................................... 65
CHƢƠNG 3: BÀI TẬP ....................................................................................................... 67
PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................................. 77
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 78

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

2

SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong

PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học và vật lý là hai môn học có mối tƣơng quan sâu sắc. Các vấn đề trong vật lý sẽ
đƣợc khái quát lên thành bài toán cho toán học giải quyết. Và sau đó, kết quả của các bài
toán này lại đƣợc nhà vật lý kiểm chứng thông qua thí nghiệm. Đôi khi chính các kết quả
toán học lại mở ra một hƣớng nghiên cứu mới cho ngành vật lý. Ví dụ, năm 1928, nhà vật lý
học ngƣời Anh, Paul Dirac đã giải một phƣơng trình toán lý và tìm ra những “điện tử mang
năng lƣợng âm” mà xƣa nay các nhà vật lý cho rằng không thể có đƣợc. Dirac cũng cảm
thấy băn khoăn. Ông giải phƣơng trình sai chăng? Không, ông đã kiểm tra lại nhiều lần rồi.
Lời giải của ông hoàn toàn đúng. Chỉ còn một cách thừa nhận rằng có tồn tại những điện tử
mang năng lƣợng âm mà thôi. Bảy năm sau, các nhà vật lý đã tìm ra đƣợc điện tử mang năng
lƣợng âm này qua thực nghiệm – đó chính là những hạt positron. Kết quả này đã giúp các
nhà vật lý đi đến quan niệm phản vật chất – một quan niệm mới mẻ trong vật lý học hiện đại.

Chính vì vậy, để có thể lĩnh hội cũng nhƣ nghiên cứu về vật lý thì trƣớc tiên chúng ta cần
phải trang bị cho mình kiến thức toán thật vững vàng, có thể nói toán học là công cụ không
thể thiếu cho một nhà vật lý.
Có rất nhiều phƣơng pháp toán học ứng dụng trong vật lý, đặc biệt là vật lý hiện đại nhƣ
các phép biến đổi tích phân, phƣơng trình vi phân, đại số tuyến tính…Nhƣng việc sử dụng
chúng trong vật lý của sinh viên chƣa đƣợc tốt, nhất là khi học về vật lý lý thuyết, đòi hỏi
lƣợng kiến thức toán phải rộng và sâu hơn nữa. Có những bài tập khi ta giải trong hệ tọa độ
này thì rất phức tạp thế nhƣng nếu giải trong hệ tọa độ khác lại vô cùng đơn giản. Do đó đòi
hỏi các bạn cần phải nắm rõ các phép toán trong các hệ tọa độ cũng nhƣ sự chuyển đổi qua
lại giữa chúng để có thể áp dụng khi cần thiết. Luận văn “Giải tích vector trong hệ tọa độ
cong” tổng hợp những kiến thức cơ bản và hữu ích về các phép toán vector nhƣng không
phải trong hệ Descartes mà đƣợc mở rộng cho các hệ tọa độ khác, cụ thể là hệ tạo độ cong
trực giao (gồm hệ tọa độ trụ và cầu). Hy vọng đề tài này giúp sinh viên thuận lợi hơn trong
việc nghiên cứu và học tập sau này.

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

3

SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong

2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI
- Mở rộng phần giải tích vector trong hệ tọa độ cong trên cơ sở của hệ tọa độ Descartes.
- Ứng dụng toán giải tích vector trong các hệ tọa độ qua một số bài toán vật lý cụ thể.


3. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI
- Phần giải tích vector chủ yếu trình bày về các phép tính gradient, divergence, curl và
Laplace trong hệ tọa độ cong trực giao gồm hệ tọa độ trụ và cầu.
- Một số bài toán đƣợc giải tổng quát nhằm cụ thể việc áp dụng toán học cho vật lý chứ
không đi sâu vào ý nghĩa vật lý của từng bài.

4. PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN THỰC HIỆN
- Sử dụng phƣơng pháp tìm kiếm và nghiên cứu các tài liệu khác có nội dung liên quan đến
đề tài.
- Phƣơng pháp tổng hợp, phân tích tài liệu rồi hệ thống lại cho phù hợp với mục đích nghiên
cứu.

5. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN
- Xác định mục đích, phƣơng pháp và giới hạn của đề tài nghiên cứu.
- Tiến hành tìm kiếm tài liệu có liên quan.
- Tổng hợp, phân tích tài liệu để viết bài.
- Trao đổi với giáo viên hƣớng dẫn, sửa chữa và hoàn chỉnh luận văn.
- Báo cáo luận văn.

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

4

SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong


PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: TOÁN TỬ VI PHÂN VECTOR TRONG HỆ TỌA ĐỘ
CONG
1.1 CÁC HỆ TỌA ĐỘ TRỰC GIAO TRONG KHÔNG GIAN R 3
1.1.1 Các hệ tọa độ trực giao trong R 3
Trong hệ tọa độ Descartes, ta giải bài toán vật lý bằng các họ mặt phẳng vuông góc từng
đôi một: x  const, y  const, z  const. Bây giờ ta sẽ tìm hiểu hệ tọa độ khác đƣợc biểu diễn
bởi 3 mặt qi  x, y, z  với i  1,2,3, các mặt này không nhất thiết phải trực giao và phẳng. Tuy
nhiên để đơn giản chúng ta sẽ xét các mặt vuông góc lẫn nhau vì hệ tọa độ trực giao rất phổ
biến trong ứng dụng vật lý.
Hình thức chung của hệ tọa độ cong trực giao xuất phát từ việc tính vi phân tọa độ trong
hình học, sử dụng các yếu tố độ dài, yếu tố diện tích, yếu tố thể tích và toán tử vector.
Để biểu diễn vị trí của 1 điểm, trong hệ tọa độ Descartes ta sử dụng bộ ba số x, y, z  , còn
trong hệ tọa độ cong ta sử dụng bộ số mới là q1 , q2 , q3 . Ví dụ trong không gian ta có điểm
Ax, y, z  , điểm này sẽ đƣợc biểu diễn trong hệ tọa độ cong bởi các mặt q1  const ,
q2  const , q3  const và chúng ta có thể xác định đƣợc x, y, z  theo q1 , q2 , q3  hay ngƣợc lại.

Hệ tọa độ cong tổng quát

Hệ tọa độ trụ

 , , z

q1 , q2 , q3
x  xq1 , q2 , q3 

   x   cos  

y  yq1 , q2 , q3 


   y   sin   

z  z q1 , q2 , q3 

  z  z  

(1.1)

và ngƣợc lại q1 , q2 , q3  là các hàm theo x, y, z :





1
2

q1  q1 x, y, z 

0    x2  y2

q2  q2 x, y, z 

 y
0    arctan   2
 x

q3  q3 x, y, z 

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong




(1.2)

  z  z  

5

SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong

Các đại lƣợng q1 , q2 , q3 gọi là các tọa độ cong, qi  const gọi là mặt tọa độ và giao tuyến của
hai mặt tọa độ cho ta đƣờng cong tọa độ. Mỗi mặt qi  const ta chọn 1 vector đơn vị qˆ i
vuông góc với mặt này và hƣớng theo chiều tăng của qi . Một cách tổng quát, các qi  const


phụ thuộc vị trí trong không gian. Khi đó vector V có thể biễu diễn nhƣ sau:

V  qˆ1V1  qˆ 2V2  qˆ 3V3

nhƣng đối với vector định vị không đƣợc biểu diễn nhƣ vậy, tức là nói chung:

r  qˆ1q1  qˆ 2 q2  qˆ3 q3




Ví dụ trong tọa độ cực thì r  rrˆ  ˆ . Các vector đơn vị phải đƣợc chuẩn hóa và tạo thành
một hệ tọa độ thuận qˆ1  qˆ2  qˆ3   0 1.
Từ (1.1) ta đƣợc:
dx 

x
x
x
dq1 
dq2 
dq3
q1
q2
q3

(1.3)

Tƣơng tự đối với y, z :
dy 

y
y
y
dq1 
dq2 
dq3
q1
q2
q3


dz 

z
z
z
dq1 
dq2 
dq3
q1
q2
q3

Ta có:




dr  dxi  dyj  dzk

 x
  y
   z

x
x
y
y
z
z

 
dq1 
dq2 
dq3 i  
dq1 
dq2 
dq3  j  
dq1 
dq2 
dq3 k
q2
q3
q2
q3
q2
q3
 q1
  q1
  q1

 x  y  z  
 x  y  z  
 x  y  z  
 
i
j
k dq1  
i
j
k dq2  

i
j
k dq3

q

q

q

q

q

q

q

q

q
1
1 
2
2
3
3 
 1
 2


 3



r
r
r

dq1 
dq2 
dq3
q1
q2
q3
Vậy tổng quát :


r
dr   dqi
i q
i

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

6

(1.4)

SVTH: Mai Thị Thùy Vân



Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong

Trong hệ tọa độ Descartes thì bình phƣơng khoảng cách giữa hai điểm kế cận là:

 
ds 2  dx 2  dy 2  dz 2  dr 2  dr  dr

(1.5)

Thay (1.4) vào (1.5) ta đƣợc:
ds 2  
ij

 






 r
  r

r r
r
r
r

r
dqi dq j  
dq1 
dq2 
dq3   
dq1 
dq2 
dq3 
qi q j
q2
q3
q2
q3
 q1
  q1


 g11dq12  g12 dq1 dq 2  g13dq1 dq3  g 21dq 2 dq1  g 22 dq 22  g 23dq 2 dq3  g 31dq3 dq1  g 32 dq3 dq 2  g 33dq32

  g ij dqi dq j

(1.6)

ij

Trong đó:


x x y y
z z

r r
g ij (q1 , q2 , q3 ) 




qi q j qi q j qi q j qi q j


r
r
(1.7) là tích vô hƣớng của hai vector tiếp tuyến
và
với đƣờng cong
q j
qi

r
qi



̴ qˆi và r

q j

q j const

(1.7)


r

đó là:

̴ qˆ j
qi  const

Các giá trị khác 0 của g ij nói lên rằng các mặt của hệ tọa độ là không trực giao (tức là các
vector qˆ i không trực giao). Tuy nhiên, thông thƣờng ta xét các hệ tọa độ là trực giao. Do đó:
 g ij  0

qˆ i  qˆ j   ij

với  ij gọi là ký hiệu Kronecker.
Đặt g ij  hi2  0 thì (1.6) đƣợc viết lại nhƣ sau:
ds 2  h1dq1   h2 dq2   h3 dq3    hi dqi 
2

2

2

2

i

Các hệ số h1 , h2 , h3 có giá trị phụ thuộc vào từng hệ tọa độ cong mà ta xét. Các hệ số này có
thể xác định từ quan hệ:
ds  hi dqi ,



r
 hi qˆi
qi

(1.8)

Chú ý rằng q1 , q2 , q3 không nhất thiết phải là độ dài, nhƣng hệ số hi có thể phụ thuộc vào qi và

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

7

SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong

tích hi dqi phải có đơn vị dài. Khi đó:

dr  h1dq1qˆ1  h2 dq2 qˆ 2  h3 dq3 qˆ3   hi dqi qˆi .
i

Sử dụng các thành phần của vector trong hệ tọa độ cong thì tích phân đƣờng đƣợc viết:
 
V
  dr    Vi hi dq
i


i

Từ (1.8) ta có thể suy rộng ra cho phần tử diện tích và phần tử thể tích:
d ij  dsi ds j  hi h j dqi dq j ,

(1.9)

d  ds1ds2 ds3  h1h2 h3dq1dq2 dq3 .

(1.10)

Từ (1.9) suy ra:

d  ds1ds2 qˆ3  ds1ds3qˆ 2  ds2 ds3qˆ1
 h1h2 dq1dq2 qˆ3  h1h3dq1dq3qˆ2  h2 h3dq2 dq3qˆ1.

Tích phân mặt:




 V  d   V h h dq dq   V h h dq dq  V h h dq dq
1 2 3

2

3

2 3 1


3

1

3 1 2

1

2

Tích vô hƣớng của 2 vector:
 
A  B   Ai qˆi  qˆ k Bk   Ai Bk  ik   Ai Bi
ik

ik

i

Và tích có hƣớng của hai vector đƣợc viết dƣới dạng định thức nhƣ sau:
qˆ1
 
A  B  A1

qˆ 2

qˆ 3

A2


A3

B1

B2

B3

1.1.2 Định thức Jacobi
1.1.2.1 Định thức Jacobi tổng quát
Yếu tố mặt và yếu tố khối là một phần của tích phân, rất phổ biến trong ứng dụng vật lý
nhƣ xác định khối tâm hay moment quán tính của vật (định lý Gauss đã chuyển tích phân thể
tích thành tích phân mặt và định lý Stoke chuyển tích phân mặt thành tích phân đƣờng).
Trong hệ tọa độ trực giao các yếu tố diện tích và thể tích chỉ đơn giản là tích vô hƣớng của
yếu tố độ dài hi dqi .

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

8

SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong


r

Trong trƣờng hợp tổng quát, ta sử dụng ý nghĩa hình học của vector tiếp tuyến
.
qi

Xét yếu tố diện tích dxdy (trong hệ tọa độ Descartes), trong hệ tọa độ mới q1 ,q2  yếu tố diện

tích này đƣợc hình thành bởi hai yếu tố vector dr :

 

r
q1  dq1 , q2 
dr1  r (q1  dq1 , q2 )  r (q1 , q2 ) 
dq1
q1

q1 , q2  dq2 
 

r
dr2  r (q1 , q2  dq2 )  r (q1 , q2 ) 
dq2
q2

dr2

Suy ra:

  x y
x y 

dxdy  dr1  dr2  

 dq1dq2
 q1 q2 q2 q1 



x x
q1 q 2
y y
q1 q 2


dr1

q1 , q2 
(1.11)

dq1dq2

định thức (1.11) đƣợc gọi là định thức Jacobi (hay đơn giản là Jacobian).


r
Tƣơng tự, yếu tố thể tích cũng trở thành tích vô hƣớng của 3 vector dr  dqi
theo hƣớng
qi

vector đơn vị qˆ i , cụ thể:
x

q1
dxdydz 

x
q 2

y
q1

y
q 2

z
q1

z
q 2

x
q 3
y dq dq dq
1
2
3
q 3
z
q 3

Đối với hệ tọa độ trực giao hệ thức Jacobian chỉ đơn giản là tích của các vector tiếp tuyến
thành tích của các hi , ví dụ nhƣ đối với định thức thể tích :


h1h2 h3 (qˆ1  qˆ2 )  qˆ3  h1h2 h3

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

9

SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong

1.1.2.2 Định thức Jacobi trong hệ tọa độ cực
Chúng ta sẽ minh họa sự chuyển đổi giữa hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cực với yếu tố
diện tích dxdy :
x   cos 

x

dxdy 
y


x
cos 

dd 
sin 

y


,

y   sin 

  sin 
dd
 cos 

M

y





 (  cos 2    sin 2  )dd  dd

x

z

Tƣơng tự trong hệ tọa độ cầu ta có:
M

x  r sin  cos 
r


y  r sin  sin 



z  r cos

y


x

x
r
y
J
r
z
r

 (1)11 cos 



x

y

z



r cos  cos 
r cos  sin 

x
 sin  cos 
y = sin  sin 

cos 
z


M'

r cos  cos   r sin  sin 
r cos  sin  r sin  cos 
 r sin 
0

 r sin  sin 
sin  cos 
 (1)12 (r sin  )
r sin  cos 
sin  sin 



 r 2 sin  cos 2   sin 2   r 2 sin 

 r sin  sin 

r sin  cos 

(1.12)

Từ (1.12) ta suy ra đƣợc yếu tố vi phân thể tích là:

dxdydz  r 2 dr sin dd

1.2 CÁC TOÁN TỬ GRADIENT, DIVERGENCE, CURL TRONG HỆ TỌA ĐỘ
DESCARTES

1.2.1 Toán tử Gradient 

 

- Sự quay của hệ trục tọa độ:
GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

10

SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong

Giả sử không gian là đẳng hƣớng, các hệ thống vật lý đƣợc phân tích và các định luật vật
lý có liên quan không phụ thuộc vào sự lựa chọn và hƣớng của các trục tọa độ. Do đó, một
giá trị số S nào đó sẽ không thay đổi dƣới sự quay của hệ trục tọa độ trong không gian ba

chiều, ta gọi đó là giá trị vô hƣớng (ví dụ nhƣ khối lƣợng, tích vô hƣớng giữa hai vector…).
Tƣơng tự, một đại lƣợng mà các thành phần của nó sẽ biến đổi dƣới sự quay thì ta gọi đó là
vector và trong phép quay tọa độ này, vector vẫn đƣợc bảo toàn nhƣ một thực thể hình học
(mũi tên trong không gian) và độc lập với hƣớng của hệ tọa độ.
y

y'


r

y

x'
x'

y'


x

x

Hình 1.1: Hệ tọa độ Descartes quay 1 góc  quanh trục z



Đặt vector r (là một đối tƣợng hình học không phụ thuộc vào hệ tọa độ) trong hai hệ khác
nhau, một hệ quay một góc  so với hệ còn lại, để đơn giản ta sẽ xét trong không gian hai
chiều.




Mối quan hệ giữa các thành phần của vector r trong hai hệ tọa độ là:

x '  x cos   y sin 

(1.13)

y '   x sin   y cos 







Thay vector r bằng vector A bất kỳ với ( Ax , Ay là các thành phần của vector A ), ta định


nghĩa vector A khi các thành phần của nó biến đổi dƣới sự quay của hệ tọa độ:
Ax'  Ax cos   Ay sin 
Ay'   Ax sin   Ay cos 

(1.14)

Nếu cặp số Ax , Ay không đƣợc thể hiện trong dạng bất biến này thì nó không phải là thành

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong


11

SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong



phần của vector. Mỗi thành phần của vector A đều bị thay đổi độ dài khi quay hệ tọa độ
nhƣng độ lớn của vector là số vô hƣớng. Ta thấy cặp số Ax' , Ay' là hai thành phần của vector
có độ lớn và hƣớng giống với vector tạo bởi Ax , Ay trong hệ tọa độ xy , hay nói cách khác một
vector bất kỳ là bất biến khi ta quay hệ trục tọa độ.
Khi không gian không phải là hai chiều mà là ba hoặc nhiều hơn nữa, ta sử dụng kí hiệu đơn
giản sau, giả sử:
x  x1

y  x2

a11  cos 

,

a 21   sin 

,

a12  sin 

a22  cos 

Khi đó biểu thức (1.13) trở thành:
x1  a11x1  a12 x2

,

'

x2  a21x1  a22 x2
'

(1.15)

Hệ số aij là cosine của góc tạo bởi hai trục xi' và x j :
a12  cos 1'2  sin 



a21  cos  2'1  cos     sin 
2

Từ (1.15) ta có thể viết lại theo dạng  nhƣ sau:
2

xi'   aij x j
j 1

Tổng quát, khi biểu diễn vector trong không gian ba, bốn hoặc N chiều trở nên rất dễ dàng.



Tập hợp N các số V j đƣợc cho là thành phần của vector V trong không gian N chiều khi và
chỉ khi giá trị của nó thỏa mãn hệ thức sau khi quay hệ trục tọa độ:
N

Vi '   aijV j
j 1

, i  1,2,..., N

(1.16)

Từ định nghĩa của hệ số a ij , ta có thể viết:
xi'
 aij
x j

(1.17)

Ngƣợc lại khi    :

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

12

SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp


Giải tích vector trong hệ tọa độ cong

x j

2

x j   aij xi'

hay

i 1

xi'

 aij

(1.18)

Từ (1.16), (1.17), (1.18) ta đƣợc:
N x
xi'
j
Vj   ' Vj
j 1 x
j 1 x
j
i
N

Vi '  


(1.19)


- Toán tử Gradient 

 

Ta có biến phân toàn phần của hàm F x, y  là dF dƣới dạng tổng của hai số gia, một hoàn
toàn theo hƣớng của trục x và phần còn lại theo hƣớng của trục y :
dF x, y   F x  dx, y  dy   F x, y 

 F x  dx, y  dy   F x, y  dy   F x, y  dy   F x, y 


F
F
dx 
dy
x
y

(1.20)

bao gồm hai biến độc lập theo hƣớng của trục x và y.
Đối với hàm  gồm 3 biến thì:
d x, y, z    x  dx, y  dy, z  dz    x, y  dy, z  dz 
  x, y  dy, z  dz    x, y, z  dz    x, y, z  dz    x, y, z 



(1.21)




dx 
dy 
dz
x
y
z


Về phƣơng diện đại số, d là đại lƣợng vô hƣớng của sự thay đổi vị trí dr và sự thay đổi
hƣớng của  . Giả sử  x, y, z  là một hàm vô hƣớng phụ thuộc vào giá trị của các tọa độ

x, y, z  , hàm  có giá trị nhƣ nhau tại mỗi điểm trong không gian và không phụ thuộc vào
sự quay của hệ trục tọa độ, hay:

 ' x1' , x2' , x3'    x1 , x2 , x3 






 ' x1' , x2' , x3'
 x1 , x2 , x3 
 x j




 aij
'
'
'
xi
xi
x j
j x j xi
j

(1.22)

So sánh (1.22) và (1.19), ta thấy xuất hiện một vector với các thành phần là


. Vector này
x j

gọi là gradient của  đƣợc biểu diễn nhƣ sau:

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

13

SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp


Giải tích vector trong hệ tọa độ cong


 ˆ  ˆ  
 x, y, z  
i
j
k
x
y
z

(1.23)

 
 ˆ  

iˆ 
j
k.
x
y
z

(1.24)

Hay

Ví dụ: Gradient của điện thế V r  .

Tính gradient của V r   V





x2  y2  z 2 .

Ta có:

V r   V r   V r  
V r  
i
j
k
x
y
z

Với:
V r  V r dV r  r

 

x
r x
dr x

Mà:




r  x 2  y 2  z 2

x
x



12



x

x
2

y z
2



2 12

x
 .
r

Nên:

V r  V r dV r  x

 
 .
x
r x
dr r

(1.25)

V r  V r dV r  y



 .
y
r y
dr
r

(1.26)

V r  V r dV r  z

 
 .
z
r z
dr r


(1.27)

Tƣơng tự:

Từ (1.25), (1.26), (1.27) ta đƣợc:
 1 dV r dV

 
dV x  dV y  dV z 
dV
V r  
 i
 j
 k  xi  yj  zk

 rˆ
dr r
dr r
dr r
r dr r dr
dr





- Ý nghĩa hình học của gradient:

Vector vị trí dr :





dr  dxi  dyj  dzk

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

14

SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong



Nhân vô hƣớng  và dr :

 


  dr 
dx 
dy 
dz
x
y
z



Sự thay đổi của hàm  tƣơng ứng với một sự thay đổi của vector vị trí dr . Giả sử ta có hai

điểm P và Q nằm trên mặt  x, y, z   CC  const  , khoảng cách giữa hai điểm này là dr (hình
1.2). Khi P tiến đến Q thì hàm  đƣợc cho bởi:


d    dr  0
(1.28)



(1.28) cho thấy  vuông góc với dr và dr sẽ có hƣớng bất kỳ từ điểm P miễn sao nó vẫn

 

nằm trên mặt  , điểm Q có hƣớng tùy ý.
z



P

 Q
dr

 x, y, z   C

y


x


Hình 1.2: Sự tăng chiều dài dr trên mặt   C
Nếu P và Q thuộc hai bề mặt bề mặt liền kề   C1 và   C2 (hình 1.3) thì khi đó:


d  C1  C2  C    dr
(1.29)


Đối với một d nhất định, dr có giá trị nhỏ nhất khi nó song song với  cos  1, hay


với một dr cho trƣớc, sự biến thiên của hàm vô hƣớng  là lớn nhất khi chọn dr song song


với  . Điều này cho thấy rằng  là một vector có chiều theo chiều biến thiên nhanh nhất

 

(theo không gian) của  .

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

15

SVTH: Mai Thị Thùy Vân



Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong

z

  C2  C1
Q

  C1

P

y

x

Hình 1.3: Gradient của  .
1.2.2 Toán tử Divergence



 





Ta đã biết  là toán tử vector, nếu tác dụng toán tử   lên một vector thì kết quả thu đƣợc là

một số vô hƣớng:
  V V y Vz
 V  x 

x
y
z

(1.30)



(1.30) gọi là divergence của vector V .
- Ý nghĩa vật lý của divergence:



Xét   v  với v x, y, z  là vận tốc của chất lỏng (có thể nén đƣợc),  x, y, z  là mật độ
chất lỏng tại x, y, z  . Xét một thể tích nhỏ dxdydz (hình 1.4) tại x  y  z  0 , lƣu lƣợng chất
lỏng chảy vào thể tích này trong một đơn vị thời gian (theo chiều dƣơng của trục x ) qua mặt

EFGH là vx

x 0

dydz . Lƣu lƣợng chất lỏng chảy ra (vẫn theo chiều dƣơng của trục x ) qua

mặt ABCD là vx

x dx


dydz :
v x

x  dx




dydz   v x  v x dx  dydz
x

 x 0

Lƣu lƣợng thực của chất lỏng chảy ra ngoài (tính theo trục x ) là:


vx dxdydz.
x

(1.31)

Lập luận tƣơng tự cho các mặt AEGC và BDHF (tính theo trục y ), mặt CDHF và ABFE (tính
theo trục z ) ta đƣợc:
+ Lƣu lƣợng thực của chất lỏng chảy ra ngoài (tính theo trục

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

16


y)

là:


v y dxdydz.
x

(1.32)

SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong

+ Lƣu lƣợng thực của chất lỏng chảy ra ngoài (tính theo trục z ) là:


vz dxdydz .
x

(1.33)

z

G

H


C

D

dz

E

F

y

dx

A

B

dy

x

Hình 1.4:Yếu tố thể tích của hình hộp chữ nhật.
Từ (1.31), (1.32) và (1.33) ta có lƣu lƣợng tổng cộng đi ra khỏi yếu tổ thể tích là (tính trong
1 đơn vị thời gian):













v


v


v
dxdydz


 v dxdydz .
 x x x y x z 

(1.34)

Ta thấy lƣu lƣợng chất lỏng đi ra khỏi yếu tố thể tích dxdydz trong một đơn vị thời gian
 
chính là   v  .
 




Vậy tổng quát   V là thông lƣợng của vector V đi ra khỏi thể tích 1m 3 trong 1 giây.


1.2.3 Toán tử Curl   : tác dụng toán tử   lên một vector ta sẽ thu đƣợc một vector.

 

ˆj

iˆ
 

 V 
x
Vx


y
Vy

kˆ

z
Vz

(1.35)



(1.35) gọi là curl của vector V .

- Ý nghĩa vật lý của curl:


Xét lƣu số của vector V dọc theo đƣờng cong kín (1,2,3,4) trong mặt phẳng xy (hình 1.5) là:

V x, y d V x, y d V x, y d V x, y d
1

x

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

x

2

y

y

3

17

x

x

4


y

y

(1.36)

SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong

y
x0 , y0  dy

3

4

x0  dx, y0  dy

2
1

x0 , y0

x0  dx, y0

x


Hình 1.5: Vòng tròn vi phân trong mặt phẳng xy
Ở tích phân thứ nhất dx  dx nhƣng ở tích phân thứ ba thì dx  dx (ngƣợc chiều dƣơng
của trục x ), tƣơng tự nhƣ vậy ở tích phân thứ hai d y  dy và tích phân thứ tƣ d y  dy . Do
đó (1.36) sẽ bằng:
V y 



V
Vx x0 , y0 dx  V y x0 , y0  
dx  dy  Vx x0 , y0   x dy   dx   V y x0 , y0  dy 
x 
y 


 V y V y 
dxdy.
 


x

x



(1.37)

 

Chia (1.37) cho dxdy ta đƣợc lƣu thông của chất lỏng trên một đơn vị diện tích là   V . Về
z

nguyên tắc, hƣớng của curl là hƣớng của trục xoay theo tắc bàn tay phải, vuông góc với mặt
phẳng lƣu thông, độ lớn của curl là độ lớn của mức độ xoáy.






Vậy tổng quát   V là lƣu số của vector V dọc theo đƣờng cong kín giới hạn diện tích 1m 2 .

1.3 CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN VECTOR TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG
1.3.1 Toán tử Gradient
Điểm khởi đầu của việc phát triển toán tử gradient, divergence, curl trong hệ tọa độ cong
là giải thích ý nghĩa hình học của gradient. Gradient của một trƣờng vô hƣớng là một vector
mà theo hƣớng của nó hàm sẽ tăng với vận tốc lớn nhất. Từ đó ta có thể tìm đƣợc thành phần

của  theo hƣớng vuông góc với mặt phẳng q1  const là:


 1 
qˆ1   

1
s1 h1 q1

Mặt khác theo định nghĩa ta có:


GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

18

SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong

lim

 q1  q1, q2 , q3   q1, q2 , q3 
s1

s1 0

 lim

 q1  q1, q2 , q3   q1, q2 , q3  q1
q1

q1 0

.

s1




 1
.
q1 h1

Vậy:


 1 
qˆ1   

1
s1 h1 q1

Tƣơng tự đối với mặt q2 ,q3 :


 1 
qˆ 2   

2
s2 h2 q2


 1 
qˆ3   

3
s3 h3 q3


Tổng quát ta có gradient trong hệ tọa độ cong là:




1 
1 
1 
 (q1 , q2 , q3 )  qˆ1
 qˆ 2
 qˆ3
 qˆ1
 qˆ 2
 qˆ3
s1
s2
s3
h1 q1
h2 q2
h3 q3
1 
  qˆi
hi qi
i

(1.38)

1.3.2 Toán tử Divergence



 

Toán tử divergence của trƣờng vector V trong hệ tọa độ cong là (dựa vào ý nghĩa của   V



cho ta thông lƣợng của V đi ra khỏi 1m3 /1s ):
 
V  d
 

  V q1 , q2 , q3   lim
 d 0  d

(1.39)



Tử số của (1.39) là thông lƣợng của V ra khỏi mặt kín  , mẫu số là thể tích kín giới hạn bởi
.

Xét yếu tố thể tích cong nhƣ hình 1.6:

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

19

SVTH: Mai Thị Thùy Vân



Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong

z

ds3  h3dq3

ds1  h1dq1

ds2  h2 dq2

y

x

Hình 1.6: Yếu tố thể tích trong hệ tọa độ cong
Ta có thể tích của yếu tố này là:

 d  V

hinhhop

 h1h2 h3 dq1dq2 dq3

(1.40)



Bây giờ ta đi tính thông lƣợng của vector V qua các mặt của yếu tố này.



Thông lƣợng của trƣờng vector qua mặt q1 là:  V1h2 h3dq2 dq3 (dấu âm vì V đi vào trong thể
 
tích do đó V , n  900 ).

 





Thông lƣợng của trƣờng vector qua mặt ( q1  q1 ) là: V1h2 h3   V1h2 h3 dq1  dq2 dq3 (dấu
q


1



 

dƣơng vì V đi ra khỏi thể tích do đó V , n  900 ).

 

Vậy thông lƣợng tổng cộng qua 2 mặt q1 là:





V1h2 h3 dq1  dq2 dq3  V1h2 h3dq2 dq3   V1h2 h3 dq1dq2 dq3
V1h2 h3 
q1
q1


Tƣơng tự cho các mặt q2 , q3 ta có:
Thông lƣợng qua 2 mặt q2 :


V2 h3h1 dq1dq2 dq3
q2

Thông lƣợng qua 2 mặt q3 :


V3h1h2 dq1dq2 dq3
q3

Vậy thông lƣợng tổng cộng đi ra khỏi yếu tố thể tích cong là:

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

20

SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp


Giải tích vector trong hệ tọa độ cong



  


V
 q1 , q2 , q3   d   q1 V1h2 h3   q2 V2 h3h1   q3 V3h1h2 dq1dq2 dq3

(1.41)

Thay (1.39), (1.40) vào (1.41) ta có :
 
  V q1 , q2 , q3  




1  
V1h2 h3    V2 h3h1    V3h1h2 

h1h2 h3  q1
q2
q3


(1.42)




Khi V   q1 , q2 , q3  biểu thức trên đƣợc viết lại nhƣ sau:
 
   q1 , q2 , q3  

1
h1h2 h3

 
   : là toán tử Laplace.

   h2 h3   

 

 q1  h1 q1  q2

 h3 h1     h1h2  



 
 h2 q2  q3  h3 q3 

(1.43)

1.3.3 Toán tử Curl





Cuối cùng chúng ta sẽ sử dụng định lý Stoke để tìm biểu thức của   V trong hệ tọa độ cong
tổng quát. Để cho đơn giản, ta đi xét từng thành phần của toán tử này. Trƣớc tiên ta chọn
mặt q1  const và yếu tố diện tích trên mặt này nhƣ hình 1.7:
z

4

3

q2 , q3 
qˆ 2

2

1

ds2  h2 dq2

ds3  h3dq3

qˆ 3

y

x

Hình 1.7: Yếu tố diện tích nằm trên mặt cong q1  const
Diện tích của yếu tố vi phân mặt đƣợc giới hạn bởi (1,2,3,4) là:

d  ds2 ds3  h2 h3 dq2 dq3

Ta có, theo định lý về giá trị trung bình của tích phân:









   V  d  qˆ    V h h dq dq
S

1

2

3

2

3

Theo định lý Stoke:

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

21


SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong
 
 
qˆ1    V h2 h3dq2 dq3   V  dr





(1.44)

Tích phân đƣờng nằm trong mặt q1  const theo đƣờng cong kín (1,2,3,4) là:


 V (q , q
1

2








V3 h3 dq2  dq3  V2 h2   V2 h2 dq3  dq2  V3 h3 dq3
, q3 )  dr  V2 h2 dq2  V3 h3 
q2
q3




 

h3V3    h2V2  dq2 dq3

q3
 q2


(1.45)

Thay (1.45) vào (1.44) ta đƣợc:
 

1  



 V 
h3V3  
h2V2 


1
h2 h3  q2
q3


(1.46)

Tƣơng tự cho mặt q2  const, q3  const là:
 

1  
h1V1    h3V3 
 V 

2
h3 h1  q3
q1


(1.47)

 

1  
(1.48)
h2V2    h1V1 
 V 

3
h1h2  q1

q2


Từ (1.46), (1.47), (1.48) ta suy ra biểu thức tƣờng minh của   dƣới dạng định thức nhƣ

sau:
qˆ1h1
 
 V 


1
h1h2 h3 q1
h1V1

qˆ 2 h2

q 2
h2V2

qˆ 3 h3

q 3

(1.49)

h3V3


Chú ý rằng phép toán trên là không đồng nhất với tích hữu hƣớng của hai vector,  không

phải là vector thông thƣờng mà là toán tử vector. Giải tích hình học về gradient và sử dụng
định lý Gauss, định lý Stoke (hay định nghĩa về divergence và curl) đã giúp chúng ta thu
đƣợc những con số mà không cần phải lấy vi phân vector đơn vị qˆ i . Có nhiều cách để xác
định grad, div và curl dựa trên việc lấy vi phân theo hƣớng của qˆ i .

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

22

SVTH: Mai Thị Thùy Vân


Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong

CHƯƠNG 2: CÁC TOÁN TỬ GRADIENT, DIVERGENCE VÀ
CURL TRONG CÁC HỆ TỌA ĐỘ ĐẶC BIỆT
2.1 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ
2.1.1 Giới thiệu hệ tọa độ trụ
Trong hệ tọa độ trụ thì 3 tọa độ cong q1 , q2 , q3  là  , , z  . Chúng ta sử dụng  cho khoảng
cách vuông góc tính từ trục z (thay cho khoảng cách r tính từ gốc tọa độ), giới hạn của

 ,, z là:
0  

  z  

0    2


Các mặt của hệ tọa độ này:
 Các mặt trụ   const có trục z làm trục chung:   x 2  y 2  2  const
1

 Các nửa mặt phẳng giới hạn bởi trục z :   tan 1  y   const
x

 Các mặt phẳng song song với mặt xy giống nhƣ hệ tọa độ Descartes: z  const
Mối quan hệ chuyển đổi giữa tọa độ trụ và tọa độ Descartes là:
zz

y   sin 

x   cos 

  tan 1

y
x

với trục z vẫn không thay đổi, điều này đơn giản chỉ là hệ hai đƣờng cong và thêm vào
đƣờng z trong hệ tọa độ Descartes tạo thành hệ 3 đƣờng mới.
Các vector đơn vị qˆ1 , qˆ 2 , qˆ3 trong hệ tọa độ này là ˆ ,ˆ , zˆ  :
ˆ  cos iˆ  sin ˆj 

x

ˆ   sin iˆ  cos ˆj 

x

2

y

x



2 2

y
2

y

iˆ 



2 2

x

iˆ 

y
2

 y2


x



2

x
2

 y2

ˆj



2

ˆj

iˆ  cos ˆ  sin ˆ

ˆj  sin ˆ  cos ˆ

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

23

SVTH: Mai Thị Thùy Vân



Luận văn tốt nghiệp

Giải tích vector trong hệ tọa độ cong

z

ˆ



y

ˆ
x

Hình 2.1: Hệ tọa độ trụ
Vector đơn vị ˆ là pháp tuyến của mặt trụ, hƣớng theo chiều tăng của bán kính.
Vector đơn vị ˆ là tiếp tuyến của mặt trụ, vuông góc với nửa mặt phẳng   const và hƣớng
theo chiều tăng của góc phƣơng vị  .
Vector đơn vị zˆ cũng giống nhƣ trong hệ tọa độ Descartes.
Vector định vị trong hệ tọa độ trụ:

r  xiˆ  yˆj  zkˆ   cos  cos ˆ  sin ˆ    sin  sin ˆ  cos ˆ   zzˆ

  cos 2 ˆ   cos  sin ˆ   sin 2 ˆ   cos  sin ˆ  zˆz
 ˆ  zˆz

Biểu diễn vector tổng quát:

V  ˆV  ˆV  zˆVz


 Vx cos   Vy sin  ˆ   Vx sin   Vy cos  ˆ  Vz zˆ

V  Vx cos   V y sin 

 V  Vx sin   V y cos 

Vz  Vz


Công thức liên hệ của vector V trong hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ trụ dƣới dạng ma trận
là:

GVHD: TS Nguyễn Thanh Phong

24

SVTH: Mai Thị Thùy Vân