Chương II PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
I.

Dấu hiệu nhận biết để vận dụng phương pháp lượng giác hóa
 Để lượng giác hóa các hàm đại số, ta ghi nhớ các dấu hiệu sau:
1. Nếu trong bài toàn có điều kiện x2 + y 2 = 1 thì ta có thể đặt:
 x = sin α

 y = cos α
2. Nếu trong bài toán có biểu thức:
x = a sin α
x = a cos α
hoặc
3. Nếu trong bài toán có biểu thức:
a2 + x2
a2 + x2
hoặc
x = a tan α
x = a cot α
thì đặt:
hoặc
.

a2 − x2

thi có thể đặt:

Trong một số bài toán thì các dấu hiệu này không xuất hiện ngay từ đầu,
người giải phải tìm cách biến đổi các điều kiện hoặc các hàm số đã cho
để làm xuất hiện các dấu hiệu đó.


Các biểu thức thường được lượng giác hóa

Biểu thức

Cách lượng giác hóa biểu thức

 π π
α ∈ − , 
 2 2

x = a sin α
với

a 2 − x2
x = a cos α

 π
α ∈ 0, 
 2

hoặc

với

x=
x2 − a2

 π π
α ∈  − ,  \ { 0}

 2 2

a
sin α
với

x=

a

hoặc

α ∈ [ 0, π ] \

cos α
với

π
2


 π π
α ∈− , ÷
 2 2

x = a tan α

a 2 + x2

với


x = a cot α

α ∈ ( 0, π )

hoặc

với

a+ x
a−x

a−x
a+x

x = a cos 2α

hoặc

( x − a) ( b − x)
a+b
1 − ab

x = a + ( b − a ) sin 2 α
 a = tan α

b = tan β

 π π
α, β ∈− , ÷

 2 2
, với

B. Một số bài tập ví dụ
Bài 1:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2(6 xy + x 2 )
P=
1 + 2 y 2 + 2 xy
x 2 + y2 = 1

với x, y là hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức
(Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2008 – Khối B)
Nhận xét và lời giải:
x 2 + y2 = 1
Hệ thức
giúp chúng ta liên tưởng đến công thức lượng giác:
2
2
sin α + cos α = 1
x = sin α ; y = cos α

Vì vậy, ta đặt:
Dưới hình thức lượng giác, ta có:
2(6sin α cos α + sin 2 α )
P=
1 + 2cos 2 α + 2sin α cos α
P=

6sin 2α − cos 2α + 1

sin 2α + cos 2α + 2

(*)
Để tìm miền giá trị của P, ta biến đổi (*) thành:


( P − 6 ) sin 2α + ( P + 1) cos 2α = 1 − 2 P

(**)
Điều kiện có nghiệm của phương trình (**) là:
2
2
2
( P − 6 ) + ( P + 1) ≥ ( 1 − 2 p )
⇔ 2 P 2 + 6 P + 36 ≤ 0
⇔ 6− ≤ P ≤ 3
Vậy,

MinP = −6; MaxP = 3

.

Bài toán 2:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = y − 2x + 5
36x 2 + 16y 2 = 9

với x, y là hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức:
Nhận xét và lời giải:
2

2
 6x   4 y 
  +   =1
36x 2 + 16y 2 = 9
 3   3 
Biến đổi
về dạng:
1
 6x

=
cos
α
x
=
cos α
 3

2
⇒

4
y
 = sin α
 y = 3 sin α

4
 3
Ta nghĩ đến việt đặt:
3

sin α − cos α + 5
4
Khi đó, dưới dạng lượng giác thì: P =
− a 2 + b 2 ≤ a sin α + b cos α ≤ a 2 + b 2
Sử dụng bất đẳng thức:
9
25
5+
+1 =
16
4
Ta suy ra: maxP =
9
55
5−
+1 =
16
4
minP =
Bài 3:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:


3y 2 − 4 xy
P= 2
x + y2
Nhận xét và lời giải:
Biến đổi hàm P về dạng:
2




y
x
 − 4
P = 3 2
 x + y2 
 x 2 + y2




và chú ý rằng:
sin α =


y

2
 x + y2

y
x2 + y2


y
.
  x 2 + y2



2

 
x
 +
2
  x + y2
 

,

cosα =






2


 =1



nên ta đặt:

x
x2 + y2


Lúc đó, hàm số P dưới hình thức lượng giác là:
3
3
P = 3sin 2 α − 4sin α cos α = 2sin 2α − cos 2α +
2
2

Áp dụng bất đẳng thức:
Ta được:
minP = -1

− a 2 + b 2 ≤ a sin α + b cos α ≤ a 2 + b 2

maxP = 4

Bài 4:
Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn: x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x
y
P=
+
1− x
1− y
Nhận xét và lời giải:
Với x, y > 0 và x + y = 1 nên ta đặt:
 x = sin 2 α
π



0 < u < 
2
 y = cos α
2



Lúc đó, P =

Đặt

sin 2 α cos2 α sin 3 α + cos3 α
+
=
cosα
sin α
sin α cos α

π

t = sin α cos α = 2 sin  u + ÷, 1 ≤ t ≤ 2
4


P = f (t) =

thì

− t − 3t
t2 −1

3

t4 + 3
f ' (t) = − 2
<0
( t − 1) 2
Nên f(t) nghịch biến trên

[1; 2 ]

. Vậy:

min P = f ( 2 ) = 2

Bài 5:
Tìm a và b sao cho hàm số:
ax + b
y= 2
x +1
đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng -1.
Nhận xét và lời giải:
Do hàm số y xác định với mọi x và sự có mặt của đại lượng 1 + x 2 cho
α

nên ta có thể lượng giác hóa bằng cách đặt: x = tan .
Khi đó, hàm số y trở thành:

y=

a tan α + b

= a sin α cos α + b cos2 α
2
1 + tan α

a
b
b
y = sin 2α + cos 2α +
2
2
2

Áp dụng công thức:
− a 2 + b 2 ≤ a sin α + b cos α ≤ a 2 + b 2

y max =
Ta được:

b 1 2
+
a + b2
2 2


y min =

b 1 2
−
a + b2
2 2


Đến đây, việc tìm a và b thỏa yêu cầu bài toán quy về việc giải hệ phương
trình:
b 1 2
2
 2 + 2 a + b = 4

 b − 1 a 2 + b 2 = −1
 2 2
a = 4
a − 4
⇔
∨ 
b = 3
b = 3
Bài 6:
≠

3
3

Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + z = xyz và x, y, z
3x − x 3 3y − y 3 3z − z 3 3x − x 3 3y − y 3 3z − z 3
+
+
−
.
.
1 − 3x 2 1 − 3y 2 1 − 3z 2 1 − 3x 2 1 − 3y 2 1 − 3z 2
Tính : P =

Nhận xét và lời giải:
Cấu tạo của các đại lượng, các thành phần tham gia trong biểu thức cần
tính giúp chúng ta liên tưởng đến công thức lượng giác:

3tan α − tan 3 α
= tan 3α
1 − 3tan 2 α

(1)
x = tan α ; y = tan β ; z = tan λ

Vì thế ta đặt:
Khi đó: P trở thành:
P = tan 3α + tan 3β + tan 3λ − tan 3α tan 3β tan 3λ
Mặt khác, ta có:

tan(α + β + λ ) =

tan α + tan β + tan λ − tan α tan β tan λ
1 − tan α tan β − tan β tan λ − tan λ tan α

Theo công thức lượng giác ta có
tan α tan β tan λ = tan α + tan β + tan λ

(2)


Từ (2), ta suy ra:
Từ (1), ta suy ra:


tan(α + β + λ ) = 0
tan ( 3α + 3β + 3λ ) = 0

và từ (2), ta suy ra:

P = tan 3α + tan 3β + tan 3λ − tan 3α tan 3β tan 3λ = 0

Bài 7:
Cho x, y là hai số thực thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số:
( x + y )(1 − xy )
P=
(1 + x 2 )(1 + y 2 )
Nhận xét và lời giải:
∈R
Từ điều kiện x, y
và sự có mặt của biểu thức: 1+ x 2 và 1+ y2 , ta đặt:

 x = tan α

 y = tan β
P=
Lúc đó, P trở thành:

=

( tan α + tan β ) ( 1 − tan α .tan β )

( 1 + tan α ) ( 1 + tan β )


sin(α + β ) 
sin α sin β
.1 −
cos α cos β  cos α cos β

= sin ( α + β ) cos ( α + β )

2

2


2
2
÷.cos α cos β


1
= sin ( 2α + 2 β )
2

Suy ra: maxP =

1
2

và minP = -

1
2


Bài 8:
Cho a, b, c là ba số dương thay đổi luôn thỏa điều kiện:


abc + a + c = b
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2
3
P=
−
+
2
2
1 + a 1 + b 1 + c2
Nhận xét và lời giải:
Chúng ta lại gặp các biểu thức dạng: 1 + x 2, qua đó ta nghĩ đến việc viết
lại giả thiết thành:
a+c
b=
1 − ac
tan(x + y) =
(giống hình thức của công thức:

Cho nên ta đặt: a = tanx, c = tany
P=

tan x + tan y
1 − tan x. tan y


π

 0 < x, y < 
2


)

thi b = tan(x + y) và ta

2
2
3
−
+
1 + tan2 x 1 + tan2 ( x + y) 1 + tan2 y

được:
= 2 cos2 x − 2 cos2 ( x + y) + 3 cos2 y
= cos2x – cos(2x + 2y) + 3cos2y
= 2sin(2x + y).siny + 3 – 3sin2y
=

1
1
− 3 sin 2 y + 2 sin(2x + y) sin y − sin 2 (2 x + y) + 3 + sin 2 ( 2x + y)
3
3
2


1
1


−  3 sin y −
sin(2 x + y)  + 3 + sin 2 (2 x + y) ≤ 3 + 1 = 10
3
3


3 3

=
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
1
sin(2x + y) = 1

sin(2x + y) = 0 
 3 sin y −
⇔
3

1
sin(2x + y) = 1
sin y = 3



π 1

1

x
=
−
arcsin
+ kπ

4 2
3

 y = arcsin1
3

⇔

Vậy giá trị lớn nhất của P là:
C. bài tập bổ sung

( k ∈ Z)
10
3

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2( xy + y 2 )
u=
1 + 2 x 2 + 2 xy
với diều kiện

x 2 + y2 = 1


Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = 2(x3 + y3) – 3xy
x 2 + y2 = 1
với x, y là hai số thực thỏa mãn diều kiện
(Đề tuyển sinh Cao đẳng khối A, B, D – 2008)
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x 1+ y + y 1+ x
P=
x 2 + y2 = 1
với x, y là hai số thực thỏa mãn diều kiện
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x 9 − y2 + y 9 − x 2
P=
Bài 5. Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( x − y )(1 − xy )
P=
(1 + x ) 2 (1 + y ) 2
(Đề tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D – 2008)


Bài 6. Cho x, y là hai số thực thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

( x − y )(1 − x y )
P=
(1 + x ) (1 + y )
2

2


2 2

2

2

2 2

nhất của hàm số:
Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1+ x4
y=
(1 + x 2 ) 2
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x + u, biết rằng x, y, u, v
thỏa mãn điều kiện:
x 2 + y 2 = 3
 2
2
u + v = 25

xv + yu ≥ 5 3
(Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 1987)