CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng

2010

Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM

Bài tập về tiêu chuẩn ổn định đại số
Routh – Hurwitz

Bài tập 1: Cho hệ thống như Hình 1. Hệ thống vòng kín có
ổn định không?
R(s)

GC(s)

Go(s)

C(s)

Hình 1

1000
GO(s) =
( s +2)( s +3)( s +5)
GC(s) =1

Giải:
PTĐT:
1 + GC ( s ) G0 ( s ) = 0
⇔ 1+

1000
=0
( s + 2 )( s + 3)( s + 5)

⇔ s 3 + 10s 2 + 31s + 1030 = 0

Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise

1


CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng

2010

Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM

Dùng tiêu chuẩn Routh
Bảng Routh:
S3
S2
S1
S0

1
10→1
-72
1030

31

1030→103
0
0

(Ở hàng s2 ta chia các hệ số cho 10 để dễ tính toán mà
không ảnh hưởng đến kết quả)
Kết luận: Cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần nên hệ thống
không ổn định, 2 cực bên phải mpp.

Dùng tiêu chuẩn Hurwitz
10 1030

Ma trận Hurwitz:

H= 1
0

31
10

0
0
1030

∆1 = 1 > 0

Các định thức con:

∆2 =


10 1030
= 310 − 1030 = −720 < 0
1
31

∆ 3 = 1030* ∆ 2 < 0

Kết luận: Vì tất cả các định thức con không dương nên
hệ không ổn định.
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise

2


CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng

2010

Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM

Bài tập 2: Xét ổn định của PTĐT sau:

s 5 + 2 s 4 + 3s 3 + 6 s 2 + 5 s + 3 = 0
Giải:
Bảng Routh:
S5
S4
S3
S2
S1

S0

1
2
0→ε
6ߝ െ 7
൏0
ߝ
42ߝ െ 49 െ 6ߝ ଶ
൐0
12ߝ െ 14
3

3
6
7/2
3

5
3
0
0

0

0

0

0


Kết luận: PTĐT không ổn định, có 2 nghiệm bên phải
mpp.

Bài tập 3: Xét ổn định của PTĐT sau:

s 5 + 7 s 4 + 6 s 3 + 42 s 2 + 8s + 56 = 0
Giải:
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise

3


CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng

2010

Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM

Bảng Routh:
S5
1
6
8
S4
7→1
42→6
56→8
S3
0→4→1

0→12→3
0→0→0
S2
3
8
0
S1
1/3
0
0
S0
8
0
0
Hàng s3 có các hệ số bằng 0 → lập đa thức phụ

A ( s ) = s 4 + 6s 2 + 8

dA ( s )
⇒
= 4 s 3 + 12 s
ds
Kết luận: PTĐT ổn định vì các hệ số cột 1 bảng Routh
dương.
Bài tập 4: Cho hệ thống như Hình 4. Hệ thống vòng kín có
ổn định không?
R(s)

GC(s)


Go(s)

Hình 4

C(s)

200
GO(s) = 3 2
s( s +6s +11s +6)
GC (s) =1

ĐS: Hệ thống không ổn định, 2 cực bên phải mpp.
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise

4


CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng

2010

Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM

Bài tập 5: Cho hệ thống như Hình 5. Hệ thống vòng kín có
ổn định không?
R(s)

GC(s)

Go(s)


C(s)

G0(s)=

1
s( 2s4 +3s3 +2s2 +3s+2)

Gc(s)=1

Hình 5

ĐS: Hệ thống không ổn định, 2 cực bên phải mpp.

Bài tập 6: Cho hệ thống như Hình 6. Tìm K để hệ thống
vòng kín ổn định?
R(s)

GC(s)

Go(s)

Hình 6

C(s)

K
G0 (s) =
s ( s + 7)( s +11)
Gc (s) = 1


ĐS: 0 < K < 1386.

Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise

5


CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng

2010

Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM

Bài tập 7: Cho hệ thống như Hình 7. Tìm K để hệ thống
vòng kín ổn định?
R(s)

GC(s)

Go(s)

Hình 7

C(s)

G0 ( s) =

K ( s + 20)


s ( s + 2)( s + 3)

Gc (s) = 1

ĐS: 0 < K < 2.

Bài tập 8: Xét ổn định của hệ thống được cho bởi hệ
PTTT sau:


3 1
 0
10 
ɺ 
x+0 
x
=
2
8
1



 

 −10 −5 −2 
 0 

 y = [1 0 0] x


Tính ĐTĐT: det(sI-A)=0 rồi dùng tiêu chuẩn Routh hoặc
Hurwitz.
ĐS: Hệ thống không ổn định, 1 cực bên phải mpp.

Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise

6


CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng

2010

Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM

Bài tập 9: Xét ổn định của hệ thống được cho bởi hệ
PTTT sau:


2 1 1
0 
ɺ 
 x + 0 
x
=
1
7
1




 

 −3 4 −5
1 

 y = [0 1 0] x

Tính ĐTĐT: det(sI-A)=0 rồi dùng tiêu chuẩn Routh hoặc
Hurwitz.
ĐS: Hệ thống không ổn định, 2 cực bên phải mpp.
Bài tập 10: Cho hệ thống có hàm truyền G0(s) sau:

0.25 K ( s + 0.435 )
G0 ( s ) = 4
s + 3.456 s 3 + 3.457 s 2 + 0.719 s + 0.0416
Tìm điều kiện của K để hệ thống hồi tiếp âm đơn vị ổn
định.
ĐS: -0.382 < K < 25.87.
Bài tập 11: Cho hệ thống có hàm truyền vòng kín Gk(s)
sau:
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise

7


CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng

2010


Gk ( s ) =

Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM

76.39 K
s 3 + 151.32 s 2 + 198s + 76.39 K

Tìm điều kiện của K để hệ thống ổn định.
ĐS: 0 < K < 392.2.
Bài tập 12: Cho hệ thống có hàm truyền vòng kín Gk(s)
sau:
Gk ( s ) =

( 0.25s + 0.10925 ) K
s 4 + 3.483s 3 + 3.465 s 2 + 0.25 ( K + 2.4288 ) s + 0.10925 K

Tìm điều kiện của K để hệ thống ổn định.
ĐS: 0 < K < 26.42.
Bài tập 13: Cho hệ thống có hàm truyền G0(s) sau:

K ( s + 3)( s + 5 )
G0 ( s ) =
( s − 2 )( s − 4 )
Tìm điều kiện của K để hệ thống hồi tiếp âm đơn vị ổn
định.
ĐS: K > 6/8.
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise

8



CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng

2010

Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM

Bài tập 14: Cho hệ thống có hàm truyền G0(s) sau:

G0 ( s ) =

K ( s + 2 )( s − 2 )

(s

2

+ 3)

Tìm điều kiện của K để hệ thống hồi tiếp âm đơn vị ổn
định.
ĐS: -1 < K < 3/4.

Bài tập 15: Cho hệ thống có hàm truyền G0(s) sau:

K ( s + 1)
G0 ( s ) = 4
s ( s + 2)
Tìm điều kiện của K để hệ thống hồi tiếp âm đơn vị ổn
định.

ĐS: Không tồn tại K.

Bài tập 16: Cho hệ thống có hàm truyền G0(s) sau:

G0 ( s ) =

K ( s − 2 )( s + 4 )( s + 5 )

(s

2

+ 3)

Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise

9


CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng

2010

Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM

Tìm điều kiện của K để hệ thống hồi tiếp âm đơn vị ổn
định.
ĐS: 1/54 < K < 3/40.

Bài tập 17: Cho hệ thống có hàm truyền G0(s) sau:


G0 ( s ) =

(s

K ( s + 2)

2

+ 1) ( s + 4 )( s − 1)

Tìm điều kiện của K để hệ thống hồi tiếp âm đơn vị ổn
định.
ĐS: Không tồn tại K.

Bài tập 18: Cho hệ thống có hàm truyền G0(s) sau:

K
G0 ( s ) =
( s + 15 )( s + 27 )( s + 38 )
Tìm điều kiện của K để hệ thống hồi tiếp âm đơn vị dao
động.
ĐS: K = 144690, tần số dao động 44.73 rad/s.
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise

10


CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng


2010

Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM

Bài tập 19: Cho hệ thống sau:

R(s)

+

-

ଶ

‫ܭ‬ሺ‫ ݏ‬െ 2‫ ݏ‬൅ 2ሻ

C(s)

1
s ଶ ൅ 2s ൅ 1
Hình 19

Tìm điều kiện của K để hệ thống kín ổn định.
ĐS: -1/2 < K < 1.

Bài tập 20: Cho hệ thống sau:

R(s)

+


-

Kሺs ൅ 2ሻ
sሺs ൅ 1ሻሺs ൅ 3ሻ

C(s)

s൅6
s൅7
Hình 20

Tìm điều kiện của K để hệ thống kín ổn định.
ĐS: 0 < K.
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise

11


CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng

2010

Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM

Bài tập 21: Cho hệ thống sau:
s ൅ 10
s ଶ ൅ 0.6s ൅ 9

Kሺs ൅ 1ሻ

s ൅ 4.85

+

R(s)

-

C(s)

1
Hình 21

Tìm điều kiện của K để hệ thống kín ổn định.
ĐS: -0.36772 < K.

Bài tập 22: Cho hệ thống sau:
R(s)

+

1

K

-

1
s ൅ 0.4


0.7
s ଶ ൅ 1.7s ൅ 0.25

C(s)

0.1
s ൅ 0.1
Hình 22

Tìm điều kiện của K để hệ thống kín ổn định.
ĐS: -0.1429 < K < 1.1759.
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise

12


CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng

2010

Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM

Bài tập 23: Cho hệ thống sau:

R(s)

+

-


Kሺs ൅ 0.01ሻሺs ൅ 6ሻ
sሺs ൅ 20ሻሺs ൅ 100ሻ

10
s ଶ ൅ 10s ൅ 29

C(s)

Hình 23

Tìm điều kiện của K để hệ thống kín ổn định.
ĐS: 0 < K < 29908.07.
Bài tập 24: Cho hệ thống sau:

R(s)

+

-

Kሺs ൅ 0.6ሻሺs ൅ 6ሻ
ሺs ൅ 0.1ሻሺs ൅ 100ሻ

200
s ଶ ൅ 12s ൅ 100

500
sሺs ൅ 6ሻ

C(s)


Hình 24

Tìm điều kiện của K để hệ thống kín ổn định.
ĐS: 0 < K < 1.0192.
Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise

13


CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng

2010

Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM

Bài tập 25: Cho hệ thống sau:

R(s)

+

-

Kሺs ൅ 0.8ሻሺs ൅ 103ሻ
s

7570
ሺs ൅ 62.61ሻሺs െ 62.61ሻ


C(s)

Hình 25

Tìm điều kiện của K để hệ thống kín ổn định.
ĐS: 0.00509 < K.

Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise

14