TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

PHẠM THỊ THOA

SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN
THƯỜNG GẶP
KHÓA LUẬN
TỐT NGHIỆP
ĐẠI
HỌC
•
•
•
•
Chuyên ngành: H ình học

Ngưòi hưóng dẫn khoa học:
ThS. GV. NGUYỄN VĂN VẠN

HÀ NỘI - 2015


L Ờ I CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy giáo, cô giáo trong tổ
Hình Học đã tận tình dạy dỗ, chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi theo
học tại khoa và thời gian làm khóa luận tốt nghiệp.
Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Văn Vạn,
người trực tiếp hướng dẫn tôi, luôn chỉ bảo, định hướng cho tôi để tôi có thể

hoàn thành khóa luận này.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song do thời gian và kinh nghiệm của
bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận của tôi không thế tránh khỏi những
thiếu sót. Tôi kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các
thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn ỉ

Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Phạm Thị Thoa


LỜ I CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Số phức và một số dạng toán
thường g ặ p ” tôi có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa
luận của mình. Danh sách tài liệu này tôi đã đưa vào mục Tài liệu tham khảo
của khóa luận.
Tôi xin cam đoan khóa luận được hoàn thành bởi sự cố gắng, nỗ lực
của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Văn Vạn
cũng như các thầy cô trong tố Hình học.
Khóa luận không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác.
Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn
sinh viên đế khóa luận của em được hoàn thiện hơn.

Sinh viên

Phạm Thị Thoa



MỤC LỤC

MỞ Đ Ẩ U .................................................................................................................. 1
NỘI D U N G ..............................................................................................................3
CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC............................................................................................3
1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ P H Ứ C ............................. 3
1.1.1 Định nghĩa số phức...........................................................................................3
1.1.2. Các tính chất của số phức...............................................................................3
1.2. BIẾU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ P H Ứ C ...................................................5
1.3. SỐ PHỨC LIÊN HỢP VÀ MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC.................................6
1.3.1. Số phức liên hợp..............................................................................................6
1.3.2. Môđun của số phức......................................................................................... 6
1.4. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PH Ứ C ........................................................7
1.4.1. Số phức dưới dạng lượng giác..................................................................... 7
1.4.2 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng g iá c ................................................ 8
1.4.3 Tọa vị của một điểm trong E2......................................................................... 8
1.4.4 Tọa vị của một vectơ trong E2........................................................................ 8
1.4.5 Biểu diễn số phức theo những điểm ............................................................8
1.4.6 Khoảng cách giữa hai điểm ..........................................................................9
1.5 Công thức Moa- V rơ .......................................................................................... 9
1.5.1 Công thức Moa- V rơ ....................................................................................... 9
1.5.2 Căn bậc n của số phức................................................................................. 10
1.6 Phương trình bậc hai với hệ số phứ c............................................................10
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.......................... 11
2.1 Các dạng toán thường gặp về số phức..........................................................11
2.1.1 Dạng 1: Tổng hợp về kĩ năng cộng, trù’ nhân chia số phức................... 11
2.1.2 Dạng 2: Bài toán liên quan đến môđun của số phứ c.............................. 14



2.1.3 Dạng 3: Tìm tập hợp các điểm M (x,y) trong mặt phẳng phức biểu diễn
số phức z = X + yi..................................................................................................... 19
2.1.4 Dạng 4: Bài toán liên quan đến nghiệm phức, giải phương trình với biến
số phức.......................................................................................................................23
2.1.5 Dạng 5: Chuyển đổi số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác và
công thức Moa- V rơ ................................................................................................27
2.1.6 Bài tập.............................................................................................................. 29
2.2

ứ n g dụng của số phức................................................................................... 33

2.2.1 Dạng 1: ứng dụng số phức vào giải các bài toán lượng giác và tố hợp. 33
2.2.2 Dạng 2: ứng dụng số phức vào các bài toán đại s ố ................................. 39
2.2.3 ứ n g dụng số phức vào các bài toán hình học.......................................... 46
KÉT L U Ậ N .............................................................................................................52
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 53


M Ở ĐÀU
1. LÝ DO CHỌN ĐÈ TÀI
Chúng ta đã biết, do nhu cầu phát triển của toán học, số phức đã ra đời từ
những thế kỉ trước. Sau đó, số phức lại thúc đấy sự phát triển không những
toán học mà còn cả các ngành khoa học khác. Ngày nay, số phức không thể
thiếu được trong các ngành khoa học kĩ thuật và được giảng dạy trong chương
trình toán bậc trung học ở hầu hết các nước trên thế giới.
Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu
hơn về số phức, một số dạng toán về số phức, ứng dụng của số phức để giải
các bài toán lượng giác, tổ hợp, đại số và đặc biệt là các bài toán hình học, tôi
đã chon đề tài “Số phức và m ột số dạng toán thường gặp”, làm khóa luận
tốt nghiệp.

Khóa luận “Số phửc và một số dạng toán thường gặp” trình bày một
số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng của số phức vào giải một số
bài toán.

2. ĐỐI TƯỢNG,
VI NGHIÊN cứu
•
’ PHẠM
•
2.1 Đối tượng nghiên cún
Các dạng toán về số phức và ứng dụng của số phức
2.2 Phạm vi nghiên cún
Các dạng toán về số phức và ứng dụng số phức vào giải các bài toán
lượng giác và tổ hợp, các bài toán đại số, các bài toán hình học.

3. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN c ứ u
3.1 Mục đích nghiên cún
Trình bày một số dạng toán thường gặp của số phức và ứng dụng số
phức vào giải một số bài toán lượng giác và tổ hợp, các bài toán đại số, các
bài toán hình học.

1


3.2

Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức
Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập tương tự thể hiện một số


dạng toán của số phức
Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập thể hiện ứng dụng của số
phức trong một số bài toán điến hình.

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN cứu
Nghiên cứu sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo, các tạp chí toán học
có liên quan đến nội dung đề tài.
5. Ý NGHĨA KHOA HỌC, TH ựC TIỄN CỦA ĐÊ TÀI.
•

7

•

Dùng số phức giúp ta giải quyết nhiều bài toán bậc Trung học cơ sở nên
nộ dung khóa luận này mang tính thiết thực có thể sử dụng làm tài liệu tham
khảo cho học sinh khá giỏi của bậc trung học cơ sở.

2


N Ộ I D U NG
CHƯƠNG 1: SỔ PHỨC
1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC
1.1.1 Định nghĩa số phức
Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a và b là những số
thực và số i thỏa mãn i2 =-1. Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi.
i

được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực, kí hiệu Rez và b được


gọi là phần ảo kí hiệu Imz
Tập hợp các số phức được kí hiệu là c ,
nghĩa là c ={z = a + bi ,Va,b e R}và R c= c
• Chú ý:
•

Số phức z = a + Oi có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là a +

Oi = a e R c c
Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn được gọi là số thuần
ảo) z = 0 + bi (b e R)
•
•

số 0 = 0 + Oi = Oi vừa là số thực vừa là số ảo.
Hai số phức z = a +bi (a,b G R) z ’= a ’+ b ’i (a’,b’ G R) goị là bằng nhau

nếu a = a ’ và b = b \ Khi đó ta viết z = z \
1.1.2. Các tính chất của số phức
1.1.2.L Phép cộng và phép trừ số phửc
1.1.2.1.1. Tổng của hai số phức
Định nghĩa: Tổng của hai số phức z = a + bi (a,be R), z ’= a’ + b ’i
(a’,b’ e R) là số phức z + z ’= a + a ’ + ( b + b ’)i.
Như vậy, để cộng hai số phức ta cộng các phần thực với nhau, cộng các phần
ảo với nhau.

3



1.1.2.1.2. Tính chất của phép cộng số phức
Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng các số thực
• Tính chất kết hợp: (z + z ’) + z ” = z + (z’+z” ) với mọi z,z’,z” e c .
• Tính chất giao hoán: z + z ’= z ’+ z với mọi z,z’ E c .
• Với số phức z= a+bi (a,b G R), nếu kí hiệu số phức -a - bi là -z thì ta có:
z + (-z) = (-z) + z = 0. So -z được gọi là số đối của số phức z.
• Cộng với 0: z + 0 = 0+Z = z với mọi z e c .
1.1.2.1.3. Phép trừ hai số phức
Định nghĩa: Hiệu của hai số phức z và z ’ là tống của z và - z \
tức z - z ’= z + (-z’)
Neu z = a + bi (a,be R), z ’= a ’+b’i (a’,b’eR) thì z - z ’= a - a ’+ (b - b ’)i
1.1.2.1.4. Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức.
Trong mặt phang phức, ta đã coi điểm M có tọa độ (a,b) biểu diễn số
phức z = a+bi. Ta cũng coi mỗi véctơ ucó tọa độ (a,b) biểu diễn số phức
z = a+bi. Khi đó nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa là véctơ OM
biểu diễn số phức đó.
Dễ thấy rằng nếu u, u' theo thứ tự biểu diễn các số phức z thì U+ u' biếu
diễn số phức z + z \ u - u' biếu diễn số phức z —z \
1.1.2.2. Phép nhân số phức
1.1.2.2.1. Tích của hai số phức
Cho 2 số phức z = a + bi, z ’= a ’+ b ’i (a,b,a’,b’eR). Thực hiện phép
nhân một cách hình thức biểu thức a + bi với biểu thức a ’+ b ’i rồi thay i2 = -1
ta được:
(a + bi)(a’ + b’i) = aa’+ bb’i2+ (ab’+a’b)i = aa’-bb’+(ab’+a’b)i
Định nghĩa: Tích của hai số phức z = a + bi và z ’= a ’ + b ’i (a, b, a ’, b ’s R)
là số phức zz’ = aa’- bb’+ (ab’ + a’b)i.

4



N hận xét: Với mọi số thực к và mọi số phức a + bi (a, be R) ta có
k(a + bi) = (k + Oi)(a + bi) = ka + kbi, đặc biệt ) 0.Z = 0 với mọi số phức z.

1.1.2.2.2. Tính chất của phép nhân số phức
Phép nhân các số phức có tính chất tương tự như phép nhân các số

thực

• Tính chất giao hoán: z.z’= z \z với mọi z,z’ e с .
• Tính chất kết họp: (z.z’).z” = z.(z’.z” ) với mọi z,z’,z’eC.
• Nhân với 1: 1.z = z. 1= z với mọi zeC
• Tính chất phân phối ( của phép nhân đói với phép cộng):
z.(z’ + z ” ) = z.z’ + z.z’ ’ với mọi z,z’,z’’ e c .
K ết luận: Từ các tính chất vừa trình bày ta đi đến kết luận là mọi số phức đều
viết được dưới dạng đại số z = а + bi (a,be R) và để thực hiện phép cộng, phép
nhân số phức ta có thể tiến hành như đối với nhị thức а + bi ( coi а + bi là đa
thức của biến i với hệ số thực) mà khi gặp i2 thì ta thay bằng -1.
1.2.

BIẺƯ DIỄN HÌNH HỌC CÜA SỐ PHỨC
Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi cácđiểm trêntrục số. Đối

với số phức, ta hãy xét mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức z = a + bi (a, be
R) được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ (a,b). Ngược lại,rõ ràng mỗi điểm
M(a; b) biểu diễn một số phức là z = а + bi. Ta còn viết M(a + bi) hay M(z).
Vì lẽ đó, mặt phang tọa độ với việc biểu diễn số phức như thế được gọi
là mặt phang phức.
Gốc tọa độ О biểu diễn số 0.

у


Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các
số thực, do đó trục Ox còn được gọi là trục thực.
Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn các số ảo,
do đó trục Oy còn được gọi là trục ảo.

5


1.3. SỐ PHỨC LIÊN HỢP VÀ MÔĐUN CỦA SỔ PHỨC
1.3.1. số phức liên họp
1.3.1.1. Định nghĩa
Sô phức liên hợp của z = a + bi (a,be R) là a - bi và được kí hiệu bởi z .
Như vậy z = a + bi = a - bi
Rõ ràng z = z nên người ta còn nói z và z là hai sô pức liên hợp với
nhau (gọi tắt là hai số phức liên hợp).
Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối
xứng với nhau qua trục thực Ox.
1.3.1.2. Tính chất
• z + z = 2Rez Vz e С
• z - z = 2ilmz Vz Ễ С
• V z G С, z = z <=>z G R c C
• Vz e c , z = - z о z là số thuần ảo
• z = z Vz

G

С

• z , + z 2= z , + z 2 Vz,,z2 Gс

• z,.z2 =z,.z2, Vz , z 2 g C

z. y
4^2

= — Vz,,z2 G с
Z2

. x .z= x^ z V Ắ G /?,V zeC
• z.z = a 2 + b2 (hay zz > 0^ Vz = a + bi

G

с

1.3.2. Môđun của số phức
Định nghĩa: Mô đun của số phức z = а + bi (a,be R) là số thực không âm
л/я2 +b 2 và được kí hiệu là \z\
Như vậy z = а + bi (a,be R) thì Ы = Æ z = л/й2 +b 2

6


Nhận xét:
+ Nếu z là số thực thì môđun của z là giá trị tuyệt đối của số thực đó.
+ z = 0 khi và chỉ khi |z| = 0.

1.4. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
1.4.1. Số phức dưới dạng lượng giác
1.4.1.1. Acgumen của số phửc z ^ 0

Định nghĩa: Cho số phức

0. Gọi M là

điểm trong mặt phang phức biểu diễn số phức z.
Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox,
tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.
Chú ý: Neu ẹ là một acgumen của z thì
mọi acgumen của z có dạng ọ+k27T,k G z
(Người ta thường nói: Acgumen của

.

0 xác định sai khác ọ + k27T,keZ).

1.4.1.2. Dạng lượng giác của số phức
Xét số phức: z = a + bi (a,b e R ).
Kí hiệu r là môđun của z và ọ là acgumen của z thì a = rcos (p, b = rsin (p .
Vậy z = a + bi ^ 0 có thể viết dưới dạng z = r(cos (p + is in ọ )
Định nghĩa: Dạng z = r(cos(p + isin (p)
trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của

y

số phức z Ỷ 0.

M(a +ib)

Còn dạng z = a +bi (a,beR ) được gọi là dạng đại
số của số phức z.

Nhận xét: Đe tìm dạng lượng giác

o

r( cos cp + isincp) của số phức z = a +bi (a,b ^0 ) ta cần:
•

Tìm r: Đó là môđun của z, r = Va2+b2 số r đó cũng là khoảng cách từ

gốc o đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phang phức.

7


• Tim (p: Đó là một acgumen của z, Ф là một số thực sao cho coscp = —
r
b
và sinọ = —, số Ф đó cũng là số đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối
r
OM.
+) |z| = 1 khi và chỉ khi z = C0 S(p + isincp ( Ф G R)
+) Khi z = 0 thì |z|= r =0 nhưng acgumen của z không xác định ( đôi khi
acgumen của 0 là số thực tùy ý và vẫn viết 0 = 0(coscp + isinọ).
1.4.2 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Neu z = r(coscp+ isin ọ ), z ’ = r ’( coscp’+ isinọ’) ( r > 0, r > 0 ) th ì
z.z’ = r.r’ [ cos((p + ф’) + isin((p + ф’) ].
—= -[cosCcp+cp’+isir^cp-cp')] khi r > 0.
z' r'
Như vậy để nhân các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy tích các
môđun và tống các acgumen, đế chia các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy

thương các môđun và hiệu các acgumen.
1.4.3 Toa vi của môt điểm trong E2
Định nghĩa: Trong E2, điểm M(a; b) cho tương ứng với số m = a + bi thì
số m được gọi là tọa vị của điểm M, kí hiệu là M(m).
Kí hiệu một điểm trong mặt phang bởi chữ cái in hoa và tọa vị của nó là
chữ cái in thường tương ứng.
1.4.4 Tọa yị của một vectơ trong E2
Định nghĩa: Trong E2 véctơ a (a ;b )ch o tương ứng số phức z = a + bi.
Khi đó z gọi là tọa vị của véctơ a . Kí hiệu là véctơ a ( z ) .
1.4.5 Biểu diễn số phức theo những điểm
Trong E2 cho hai số phức dưới dạng đại số Zi = Xi + iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2
Điếm О là gốc tọa độ. Xác định hai véctơ

8


OZpOZ2 biểu diễn hai số phức Zb z2
+ Neu z b Z2CÓ cùng giá:
Số phức z =

Zi

+ z2 là OZ = OZj + OZ2

+ Neu Zi, z 2 không cùng giá:
Dựng hình bình hành OZ 1ZZ 2.
Suy ra: z = (X\ + x2; У1 + y2) biểu diễn
tọa vị của Zi + z2
Do đó tống của hai số phức có thể
biểu diễn như tổng của hai véctơ trong

mặt phang.

Nhận xét: Sự biểu diễn số phức trong mặt phẳnghoàn toàn thích họp khi
xem xét cộng, trừ hai vectơ với cộng, trừ hai số phức.
1.4.6 Khoảng cách giữa haỉ điểm
Giả sử M(zi), N(z2)

g

E2. Ta có MN = z2 -

Zị

. Khi đó khoảng cách giữa

hai điểm M, N được tính theo công thức: MN = MN = yj(z2 - z i ) ( z 2 _ Z |) •
1.5 Công thức Moa- Vrơ
1.5.1 Công thức Moa- Vrơ
Với mọi số nguyên dương n thì ta có:
[r(coscp+isincp)] " = rn(cosncp+isinncp)
và khi r = 1 ta có: (cosọ+isinọ)" =cosn(p+isinncp.
Cả hai công thức đó đều gọi là công thức Moa- Vrơ
*Chú ý: Công thức Moa- Vrơ còn đúng khi n nguyên âm (và cả khi n =
0,

z = r(coscp + isincp ) * 0 ) .

9



1.5.2 Căn bậc n của số phức.
Cho số nguyên n > 2. Căn bậc n của số phức z là một số phức z’ sao cho
z 'n = z ( nếu z — 0 thì z ’ = 0). Như vậy Vz e C ,z ^ O ,z = |z|(cos(p + isin(p)

là căn bậc n của một số thực không âm).
1.6 Phương trình bậc hai với hệ số phức
Ax2 + Bx + c = 0 (

0) với A, B, c là các số phức

À = B2- 4AC
B
+, Neu À = 0 thì phương trình có nghiệm kép z = —
2A
+, Neu À Ỷ 0 thì ta tìm các căn bận hai w của À thì phương trình có hai
B±w
nghiệm phân biệt z, 2= -------2A

10


CHƯƠNG 2: MỘT SỔ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

2.1 Các dạng toán thường gặp về số phức
2.1.1 Dạng 1: Tống họp về kĩ năng cộng, trừ nhân chia số phức
Nguyên tắc chung đễ tính toán
•

Do có các tính chất giao hoán, phối hợp nên quy tắc cộng, trừ số phức là


cộng riêng, trù’ riêng các phần thực và phần ảo.
• Do có các tính chất giao hoán, kết hợp của phép nhân, tính chất phân phối
của phép nhân đối với phép cộng nên phép nhân hai số phức được thực hiện
theo quy tắc nhân đa thức thông thường rồi thay:
i2 = - l , i 3 = i 2i = - i ,i 4 = i 2.i2 =1,.,i4m = l,i4m+1 = i,i4m+2 = -1
• Đe tính — , ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu z '
• Tổng quát là tính gọn từng bước, dung các giá trị của in và hạ bậc các lũy
thừa, tính gọn mẫu nếu có trước khi nhân số phức liên hợp,...
Chú ý): +) |z|2 ^ z2;|z|2 = z 2 O z là số thực
+) Có thể dung công thức tính tổng các cấp số nhân:
u, + u 2 + u 3 + .... + u n = Uị.—

1 -q

,C[ ^ 1,

hoặc hằng đẳng thức:
a" - b" = (a - b )(a n~' + a"~2b + a"-3b2 + ................ + ab"-2 + b"~')
Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau.
a)

(l + 2i)2
/

b ) z - í7 ẵ r f 1

,
„
c) z = (2 + i ) - ( 3 + 2i)3


«*-(i+ 3i)(2-i)-+ í 5 f

11


Lời giáỉ:
1+4Ì-4
-3+4i
(-3+4i)(3+i)
-13+9Ì
a) Ta CO z = ——— = ——— = ---------------------------- —-----3-i
3-i
10
10
13
>
9
Vậy phân thực của z băng — - , phân ảo —
10

10

b) Ta có:

(2 + i)3= 23 + 3.22.i + 3.2.Í2 + i3 = 2+1 li
(3+2i)3= 33 +3.3\2i + 3.3.(2i)2 + (2i)3= -9 + 46i
Suy ra z = 11-35Ì.
Vậy phần thựccủa z bằng 11, phần

ảo bằng -35.


c) Ta có (3 + i)(l - 2i) = 5 - 5i ;(3 + 2 iý = 5 +12i.
( 5 - 5 i) ( 5 + 1 2 i)
85 + 35Ì
suy ra z = ----- —----------- = ---- ——
5+12
169
85
'3 5
Vậy phần thực của z bằng — - , phần ảo bằng
169
169
d) Ta có z = (1 + 3i)(3 - 4i) +

(4 -2 i)(l+ 3 i)
10

t
10+1 Oi _
—15 + 5i H------—
— — 16 + 6i.
10

Vậy phần thực của z bằng 16; phần ảo bằng 6.
Ví dụ 2: Tìm môđun số phức z biết
1. (1 + 2z)(3 + 4i) = 29 +22Ì1
2. ( 2 - i ) ( 3 z + 1) = (z + 2 ) ( 4 - 5 i) 2
Lòi giải:
, ^
,

1. Ta có 2z + 1

29+22Ì _
13+9i
:
ra z= - = 3 - 1
= — -- ---------suy
3+4i
3+4i

suy ra I z| = л/з2 +12 = л/ĩõ

12

= -- —


2. Ta có (6 - 3i)z + 2 - i= (4 - 5i)z + 8 - 1Oi
^ /о
_ z: rv
_ 6 - 9i _ 3
15.
<=>(2 +2i)z = 6 - 9i suy ra z =-7 — — = - — - — i.
2 + 2i
4
4

..„Il

3V26


suy ra |z| = —— .
Ví dụ 3: Tìm số phức liên hợp của số phức z biết
a ) (2 + i)3 + ( 2 - i ) 3

b. Z = i + i 4 ............ + Г

(2 + i)3- ( 2 - i ) 3
2011

c) z =

r \ + зУз1Л

d. z =

(1

+ i)2 +

(1

+ i)3+.

2 -V 3 iy
X ' •

• *? •

Lòi giai:

a) Ta có(2+i)3 = 2 + 1li;

(2

2 + lli + 2 - lli
suy ra z = —----------—--------=
2+1 l i - ( 2 - 1 li)

- 3i)3 = 2 - \ U
4
-2
2 .
—— = — . Vậy z = — i.
22i
1 li
11

b) Ápdụng công thức tính tổng cấp số
. i 2(,(,9-l

1-1

i- 1

i- 1

nhân ta có:

z = i ------- = i — = i.V ây z = -i.


c)Đặt w = ì+3j ĩ ' =-1 + s/Si =>w2 = 2(1 + S i )
=> w3 = w 2.w = -2Í\ + -73iV-l + -Узi) = 8
=> z = w 20" = (w 3)670.w = 8670(-l + y ß ) = 220l0(-1 + S i )
Vậy z = -220l0(l + J 31).
d)

Áp

dụng công thức tính tổng của cấp số nhân, ta có:
0

'

. \ 2010

1

/ л . \ 2010

1

+ i) - I
,
4 (1 + 1 )
- 1
--------------- 1 - i = ( l + i p ----- 1 ---------- 1 -i.
1 + 1 -1
v
;
i


13

/,

. 4 2010

•+ ( 1+i)


Mà (1 +i)2 =2i =>(1 + i) “ '° = (2i)1005 = 2,005.iHK>4.i = 2,005.i
=>z = -i.(i+ l).(2 ,005i - l ) - 1 - i = 2l005i + 21005 - 2.
Vậy z = 2'005 - 2 - 2I005Í.
2.1.2 Dạng 2: Bài toán liên quan đến môđun của số phức
Đe giải quyết tốt các dạng toán này chúng ta cần nắm chắc các kiến thức về
môđun số phức và các tính chất liên quan hình học phang, hàm số, hàm lượng
giác,...
Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lởn nhất, giá trị nhỏ
nhất của:
1, A = 1 + z + 3 1 - z

2, B = |l + z| + |l - z + z2
Lòi giải:

Đặt z =

X

V ì |z |= l


+ yi với

nên y2=

X,

y6R

1 - X2 v à x €

[ - 1 ; 1 ].

1, Ta có:
|l + z| = <^(1 + x )2+ y2 = ^2(1 + x)
\ĩ - z \ = ^(1 - x ) 2 + y 2 = y/2 (\ -x )
Do đó |l + z| + 3|l - z| = ^2(1 + x) + 3yj2(ì - x) = f(x)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x) = J 2 (\ + x ) + 3 ^ 2 0 - x) với xe [-1; 1].
Hàm số liên tục trên x€ [-1 ;1 ] và với x€ (-1;1) thì:
f (x) =

.
- .
,f(x) = 0 o x = y
V2 ( 1 + x ) >/2(1 - x )

Mà f(l) = 2, f(-l) = 6, f

= 2 ^


nên:

14


r—
4 3
+) inax A = 2 v l0 khi z = —- ± —i
lz|=i
5
5
+) min A = 2 khi z = 1
|z|=l

2, Vì 1 - z + z2 bằng 2x2 -

X

+ y (2x - 1)y nên

|l - z + z2| = yj( 2 x 2 - x )2 + y2(2x - l)2 = Ậ

2

x - l)2(x 2 + y 2) = |2x - 1|

Vậy nên B = |l + z| + |l - z + z2| = yj2(1 + x) + |2x - l|
Đặt g(x) = y/2(ì + x) + |2x - l| với xG [-1 ;1 ].
Xét 2 trường họp:
• Trường hợp 1: Xét


thì g(x) = ự ĩ ( ĩ + x) + \2 x - l|

X E

+ 2 > 0 Vx e

Ta có g’(x) =
•y/2(l + x )

Ỷ;1

m a x g ( x ) = g (i) = 3, m i n g ( x ) = g í ^ | = >/3.
|Ị;.1
[ịTi
w
Trường hợp 2: Xét

Vì g’(x) =

thì g(x) = ^2(1 + x) - 2x + 1

X G

1

, - 2 > 0 , g ’(x) = 0 <=>x = - - và:
-72 (1 + x )
8
= >/5


—

00

13
g(-l) = 3 ,g í —7 Ì = — , g
4
r 7^
Nên max g(x) = g
V 0/
-1;-

13

và không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.

So sánh hai trường hợp, ta có:
_
r> 13
• max B = — khi z=
N1
4

7 -s/ĩ?.
±
1
8
8


15


• min B = V3 khi z = — ± ^ - i
H= <

2

2

Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn |z + 2 - 2i| = 1. Tìm giá trị lởn nhất và giá
trị nhỏ nhất của |z|.
Lời giải:
Đặt z = X + yi với

X,

y 6 R. Vì |z + 2 - 2i| = 1nên:
( x + 2 ) 2 + (y~2)2 = 1.

|x + 2 + ( y - 2)i| = 1

Vì thế có thể đổi biến

X

+2

=


cost, y - 2

=

sint với 0 < t < 2n .

Khi đó:
X2 + ỵ 2 = (cost - i f + (sint + i f
í
7ĩ^
= 9 + 4(sint - cost) = 9 + 4V2sin t - 4
Mà - l < s i n t - V
4y

<

1 nên 9 - W

V9 - 4V2 < |z| < V9 + 4 V2

2 < X2 + y 2 < 9 + 4 V 2 , d o đó:

2V2 - 1< |z| < 2 V2 + 1

• |z| = 2 V2 -I khi t = — hay X = -2 + - ^ - , y = 2 11
4
2
2
, I
r> /2

Vậy min z = 2v 2 -1 đạt được khi z = -2 +
+i 2
11
•
2
|z| = 2>/2+l khi t = — hay X = -2 II
4
2

y=2+

2

Vậy max|z| = 2 V ĩ +1 đạt được khi z = - 2 ---- — + i 2
w dụ 3: Cho

số

phức z thỏa |z|

= 1 . 7 ?JTI g ia /TỊ* l ỏ ĩ i

của:

16

■ã
-

+


—

2

nhất và giá trị nhỏ nhất


1. A =

z + 5i

2. В = z2 + z + 1 + z3+ 1.
Lời giái:

1. Ta có: A = 1+

Mà 4 =

5i
z

-

5ỉ

5i < 5i + 1 = 6=> 4 < A < 6
1< ,1+—
z
z


Khi z = -i => A = 4, suy ra rninA= 4.
Khi z = i=> A = 6, suy ra max A = 6.
2. Ta có: в < |z|2+ |z| + 1+ |z|3 + 1 = 5
Đẳng thức xảy ra khi z = 1. Vậy maxB = 5.
Mặt khác: в =

1 -Z-

1+ z
1- z +1+ z
+ — — > ------- --—

+ 1+ Z >

= 1.

1- z

Đắng thức xảy ra khi z = -1. Vậy minB = 1.
Ví dụ 4: Cho a, ß là hai số phức liên hợp thỏa mãn — G R và a - ß| = 2y ß.
Tính \a\.
Lời giải:
Đặt a = x + yi = > ß = x - y i với x,y GR.
Không giảm tính tổng quát, ta coi y > 0 . Vì |cx - p|= 2у/з nên |2iy| = 2 л/з

=>y = л/з
'
Do a ,ß la hai sô phức liên hơp nên a.ß 6 R,


m à

(X
-у =
p

Ql3
— e R do đó
( a ß)

a 3 g R khi và chỉ khi Зх2у - у 3 =0<^>y(3x2 - у2) = 0 = > x 2= 1.
Vậy |a| = yjx2 + у2 = VT+3 = 2.

17


Ví dụ 5: Cho hai số phức Zi và Z2 • Chứng minh rằng
1. |zj + z2|2 +|zj - z 2|2 = 2(|z,|2 + | z 2|2Ị
2 . 1- z ,z .

3. Zj

- | z , - z 2| = ( l+ |z ,z 2|) - ( |z ,| + |z2|y

z 2 < Zj + Z7| < Z, + z 2

Lời giải.
1. Ta có:
|z, + z 2|2 + | Z j - z 2|2 = ( z , + z 2 ) ( z , + z 2 ^ + ( z ! — Z 2 ) ^ Z ị — z 2 )


= (z, + z 2)(z, + z 2) + (z, - z 2)(z, - z 2)
= 2(z,z, + z 2z2) = 2Ị|z,|2 + |z 2|2j
2. Ta có
l - z , z 2| - |z , - z 2|2 = ( l - z , z 2) Ị l - z , z 2j - ( z l - z 2)(z, - z 2)
= ( l - z | z 2) ( l - z , z 2) - ( z l - z 2) ( z ^ - z 2)
_

1

= 1+

I - |2|

Zj

z2

|2

-

I

Zj

|2

-

I


z2

|2

/14

( 1)

Mặt khác:
(l + |z,z2|)2 —(|zj| + |z2|)2 =1 + 2 |z 1z 2| + |z ,z 2|2 —|z,|2 —2|z,z2| —|z2|2.
Z.Z, 1—Z. 2z,
ỉ 2
V ì ............... nên
T7-V

A

(l + |z,z2|) - (|z,| + |z2|) = 1 + |z,| |z2| - |z,|

-|z2| (2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
3. Gọi M, N, p lần lượt là biểu diễn hình học của Z|,Z2 và z' + Zl
=>OM = |z,|, ON = |z2| và PO = |z, + z2|
Ta có:

18



z, + z 2 = O P < O M + MP = OM + O N = Zị + z2
Z 1

-

z 2

= OM - ON = OM - MP < OP = z, + z2

2.1.3 Dạng 3: Tìm tập họp các điểm M (x,y) trong mặt phẳng phức biểu
diễn số phức z = X + yi.
Tầ • X

_

_ 1 *Ạ

Ạ

__ 't_

r

_

Biêu diên sô phửc
- Neu z biểu diễn bởi uvà z ’ biểu diễn u' thì z + z ’ biểu diễn bởi
u + u' và z - z ’ biểu diễn bởi u - u'

- Nếu z, z ’ biểu diễn bởi M, M ’ thì z + z ’ được biểu diễn bởi

OM + O M ', z - z ’ được biểu diễn bởi OM - OM’ = M M .
Nếu k là số thực, z biểu diễn bởi u thì kz biểu diễn bởi ku
Neu k là số thực, z biểu diễn bởi điểm M thì kz biểu diễn bởi kOM
Tập điểm biểu diễn số phức
Cho z =

X

+ yi; M(x,y) hay u(x,y), z ’ = x ’ + y ’i ; M ’(x’,y’) hay u'

( x \y ’) thì có:
|z| = R, R > 0 <=>X2 + y2 = R2 hay OM = R
|z| < R, R > 0 o X2 + y2 < R2 hay OM < R
z - (a+bi)| = R ,(R > o) <^> (x - a)2+ (y - b)2= R 2 hay IM = R với I(a,b)
ịz - (a+bi)| < R ,(R > o) <^>(x-a)2+ (y-b)2 < R 2 hay IM < R với I(a,b)
Iw - (x + yi)| = w - (x' + y'i)|, N biểu diễn w o

19

NM = N M ’.


Các loại phương trình, hình dạng tập điếm:
Ax + By + c = 0, A2+ B2 Ỷ 0: đường thẳng
y = ax2+ bx +c: parabol

(x - a) + (y - b) = R : đường tròn tâm I(a,b) bán kính R.
(x - a )2+ (y - b )2 < R : hình tròn tâm I(a,b) bán kính R.
MFi + MF2 = 2a, F 1F 2 < 2a: elip
|MFị - MF2| = 2a, F!F2 > 2a: hypebol

MI = MJ: trung trực của đoạn u .
Ví dụ 1: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa:
1) z + 4 + 3i là số thực

2) |z -1 + 2i| = 1

3) |z + 3i|=|z + 2 - i|

4) |z + 4 + 3i| + |z + 3 + 2i| —2

5) |5 - 4 z - 3 z |< l

6)

z + 1 + 1 - z - 2 - 3i

=

2

Lòi giái:
1) Gọi N là điểm biểu diễn của số phức -4 - 3i =>N(-4;-3)
z + 4 + 3i là số thực ^ MN // Ox
Quỹ tích của M là đường thẳng đi qua N và song song với Ox, đó là đường
thẳng y = -3.

i
y ‘
1


1

1

o

1

k

y=-3
-3
2) Gọi I là điểm biểu diễn số phức Z] = \ - 2i=>I(l ;-2)
Khi đó: \z-\ + 2i| = 1<=>|z - z,| = l <=>IM=1
Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính R = 1

20