ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
Chương 3

THỐNG KÊ
Mở đầu
Giả sử muốn nghiên cứu về chiều cao người Việt Nam.
Phương pháp chính xác nhất là đo chiều cao của tất cả mọi người, ghi lại số liệu
và từ đó có thể tính được chiều cao trung bình, độ phân tán, tỷ lệ số người có chiều
cao trong khoảng (a,b),… Tuy nhiên, trên thực tế ta không thể làm được điều đó vì
số liệu quá nhiều
Thống kê học đề nghị một phương pháp là quan sát ngẫu nhiên một số trường
hợp gọi là mẫu và trên cơ sở số liệu quan sát này ta suy rộng ra cho toàn thể.
Muốn cho sự suy rộng không bị sai lầm thì mẫu phải đại diện cho tổng thể, muốn
vậy việc lấy mẫu phải được thực hiện sao cho mọi cá thể có cơ hội đồng đều để
được quan sát.
§1. CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU
1.1. Khái niệm cơ bản
 Tổng thể: là tập hợp có các phần tử là đối tượng ta nghiên cứu.
 Mẫu: là tập hợp gồm n phần tử được chọn từ tổng thể để nghiên cứu vấn
đề của tổng thể, n được gọi là kích thước mẫu.
 Bảng số liệu
Khi khảo sát đám đông X ta thu thập số liệu của mẫu cỡ n: (X1, X2,…, Xn) và
thường lập bảng số liệu theo các dạng sau:
Dạng 1: Liệt kê dưới dạng: (x1, x2,…, xn)
trong đó mỗi số liệu có thể lặp lại nhiều lần.
Dạng 2: Lập bảng có dạng:
xi
ni

x1
n1

x2
n2

…
…

xk
nk

trong đó x1 < x2 <...< xk và mỗi số liệu xi xuất hiện ni lần.
Dạng 3: Lập bảng có dạng:
xi
ni

x1 – x2
n1

x2 – x3
n2

…
…

xk – xk+1
nk

trong đó x1 < x2 <...< xk < xk+1 và mỗi nửa khoảng [xi; xi+1) (trừ cái cuối
cùng là đoạn [xk; xk+1]) chứa ni số liệu.
Khi xử lý số liệu ta sẽ đưa số liệu về Dạng 2.

Có thể đưa Dạng 1 về Dạng 2 bằng cách thống kê lại.
Dạng 3 được đưa về Dạng 2 bằng cách thay các khoảng xi-xi+1 bằng giá
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

1


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
xi  xi 1
2
1.2. Các tham số đặc trưng của mẫu
a. Tỷ lệ mẫu
Định nghĩa. Cho mẫu có kích thước n, trong đó có m phần tử có tính chất A, khi
đó tỷ lệ mẫu là một số được ký hiệu và xác định như sau:
m
f 
n
trị trung bình của hai đầu mút xi 

b. Trung bình mẫu - Phương sai mẫu
Định nghĩa. Trung bình mẫu của mẫu (X1, X2,…, Xn) là một số được xác định
x n  x n   xk nk
như sau x  1 1 2 2
n
Phương sai mẫu là một số không âm được xác định như sau: sˆ2  x 2  x 2
x12 n1  x2 2 n2  xk 2 nk
2
Trong đó x 
n
Với phương sai mẫu, ta còn có các số đặc trưng liên quan như phương sai mẫu

hiệu chỉnh kí hiệu là s 2 , độ lệch mẫu được kí hiệu là sˆ , độ lệch mẫu hiệu chỉnh kí
hiệu là s và được xác định như sau:
n 2
sˆ  sˆ2
s  s2
s2 
sˆ
n 1
Ví dụ. Giả sử quan sát cân nặng X (kg) của một nhóm người ta ghi lại được
X
Số người

40-45
4

45-50
9

50-55
17

55-60
14

60-65
10

65-70
2


a) Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh.
b) Những người có cận nặng từ 50 (kg) trở xuống là những người ốm. Tính tỷ
lệ người ốm của mẫu.
c) Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh của những người ốm.
§2. ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ
Ước lượng là phỏng đoán một giá trị chưa biết bằng cách dựa vào quan sát mẫu.
Thông thường ta cần ước lượng giá trị trung bình, tỷ lệ, phương sai, hệ số tương
quan...
2.1. Bài toán ước lượng tỷ lệ tổng thể

Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

2


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
Bài toán. Trên tổng thể ta quan tâm đến tỷ lệ tổng thể p. Xét một mẫu có kích
thước n và tính được tỷ lệ mẫu là f. Hãy tìm khoảng ước lượng của tỷ lệ tổng thể p
với độ tin cậy 1   cho trước?
Cách giải
Gọi p là tỷ lệ tổng thể, từ mẫu đã cho ta sẽ ước lượng p với độ tin cậy 1   .
Bước 1. Với độ tin cậy 1   , ta tìm số t từ công thức:
1    2 (t )
Tra bảng phụ lục số 2, ta được giá trị t cần tìm.
Bước 2. Tính độ chính xác  của ước lượng theo công thức:
f (1  f )
  t
n
Bước 3. Kết luận: Khoảng ước lượng của p có dạng:


f   p  f 
Ví dụ 1. Quan sát ngẫu nhiên 200 lọ thuốc trong một lô hàng rất nhiều, ta thấy có
17 lọ không đạt tiêu chuẩn. Hãy ước lượng tỷ lệ thuốc không đạt tiêu chuẩn với độ
tin cậy 95%?
Ví dụ 2. Điều tra về tỉ lệ phế phẩm của một kho hàng, người ta kiểm tra ngẫu
nhiên 100 sản phẩm của kho hàng đó thì thấy có 20 phế phẩm. Với độ tin cậy 95%,
hãy ước lượng tỉ lệ phế phẩm của kho hàng đó?
Ví dụ 3. Điều tra về số cá trong hồ, người ta bắt từ hồ lên 300 con đánh dấu rồi thả
lại vào hồ. Sau đó người ta bắt lên 500 con thì thấy có 80 con bị đánh dấu. Với độ
tin cậy 90%, hãy ước lượng số cá có trong hồ?
Giải
Gọi n là số các trong hồ và p là tỉ lệ các bị đánh dấu trong hồ thì
p

300
.
N

Ta sẽ tìm khoảng ước lượng p với độ tin cậy 90%
Với độ tin cậy đã cho ta có:  (t )  0, 45  t  1,65
Theo giả thiết của bài toán ta có một mẫu với n  500 và f  0,16 nên độ chính
xác của ước lượng là
0,16.0,84
 0, 0271
500
Suy ra f    0,16  0,0271  0,1329; f    0,16  0,0271  0,1871
300
300
300
Do đó 0,1329  p 

 0,1871 
N
N
0,1329
0,1871

  1, 65

Vậy với độ tin cậy 90%, ta có thể dự đoán số cá trong hồ từ 1600 đến 2257 con.
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

3


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
2.2. Bài toán ước lượng trung bình tổng thể
Bài toán. Trên tổng thể ta quan tâm đến trung bình tổng thể  . Xét một mẫu có
kích thước n và tính được trung bình mẫu, độ lệch mẫu hiệu chỉnh là x , s . Hãy tìm
khoảng ước lượng của trung bình tổng thể  với độ tin cậy 1   cho trước?
Cách giải
Bước 1. Với độ tin cậy 1   , ta tìm số t theo một trong hai trường hợp sau:
TH1. Nếu n  30 thì t được xác định theo công thức:
1    2 (t )
Tra bảng phụ lục số 2, ta được giá trị t cần tìm.
TH2. Nếu n  30 thì t được xác định theo công thức:
t  t (k )
Trong đó k = n – 1 và  được suy ra từ độ tin cậy 1   . Tra bảng phụ lục 5 ta
được t cần tìm.
Bước 2. Tính độ chính xác  của ước lượng theo công thức:
s

  t
n
Bước 3. Kết luận: Khoảng ước lượng của  có dạng:

x     x 
Ví dụ 1. Cân thử 100 sản phẩm của một nhà máy, ta có trọng lượng trung bình là
500g, độ lệch mẫu hiệu chỉnh là s = 150g. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình
của một sản phẩm của nhà máy đó với độ tin cậy 95%
Giải
Gọi  là trọng lượng trung bình của một sản phẩm của nhà máy, ta sẽ ước lượng
 với độ tin cậy 95%.
Ta có x  500 , s  150 , n  100  30
Từ độ tin cậy 1    0,95  t  1,96
s
150
 1,96
Độ chính xác của ước lượng là   t
n
100
Vậy trọng lượng trung bình của một sản phẩm của nhà máy nằm trong khoảng
(497,06g; 502,94g) với độ tin cậy 95%.
Ví dụ 2. Để xác định trọng lượng trung bình của các bao bột mì bán ở một cửa
hàng. Cân thử 25 bao bột mì của cửa hàng đó ta được trọng lượng trung bình là
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

4


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
49,2kg, độ lệch hiệu chỉnh của các bao bột mì là 0,5kg. Hãy ước lượng trọng

lượng trung bình của các bao bột mì của cửa hàng đó với độ tin cậy 95%
Giải
Gọi  là trọng lượng trung bình của một bao bột mì của cửa hàng, ta sẽ ước lượng
 với độ tin cậy 95%.
Ta có x  49,2 , s  0,5 , n  25  30
Từ độ tin cậy 1    0,95  t  t ( k)  t0,05 (24)  2,0639

s
0,5
 2,0639
n
25
Vậy trọng lượng trung bình của một bao bột mì của cửa hàng nằm trong khoảng
(48,9361kg; 49,4036kg) với độ tin cậy 95%
Độ chính xác của ước lượng là   t

Ví dụ 3. Điều tra về năng suất lúa trên diện tích 100 hecta trồng lúa của một vùng,
ta thu được bảng số liệu sau:
Năng
suất 41
(tạ/hecta)
Số ha
10

44

45

46


48

52

54

20

30

15

10

10

5

a) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng trên với độ tin cậy 99%?
b) Những thửa ruộng có năng suất từ 48 tạ trở lên là những thửa ruộng có
năng suất cao. Với độ tin cậy 96%, hãy ước lượng tỷ lệ thửa ruộng có năng
suất cao?
c) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của những thửa ruộng có năng suất
cao với độ tin cậy 97%?
Ví dụ 4. Nghiên cứu về khối lượng mũ cao su thu được mỗi ngày trong năm đầu
khai thác, người ta theo dõi trên một số cây và có kết quả trong bảng sau
Khối lượng 205
mũ (g)
Số cây
2


215

225

235

245

255

265

8

14

30

25

12

9

a) Hãy ước lượng khối lượng mũ cao su trung bình thu được mỗi ngày với độ
tin cậy 99%.
b) Người ta gọi những cây cao su có khối lượng mũ thu được mỗi ngày dưới
235g là cây loại II. Hãy ước lượng khối lượng mũ cao su trung bình thu
được mỗi ngày của những cây loại II với độ tin cậy 98%.


Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

5


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
Ví dụ 5. Để đánh giá sức khỏe của các bé gái sơ sinh, người ta kiểm tra số đo
trọng lượng các cháu gái sơ sinh trong một bệnh viện và có kết quả như sau
X
1,7–2,1 2,1–2,5 2,5- 2,9 2,9 -3,3 3,3–3,7 3,7–4,1
N
4
20
21
15
2
3
a) Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của bé gái sơ sinh với độ tin cậy
95%.
b) Những bé gái sơ sinh có trọng lượng trên 2,9kg là bé khỏe. Hãy ước lượng
tỷ lệ bé khỏe trong vùng với độ tin cậy 97%.
c) Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của bé khỏe với độ tin cậy 95%.
2.3. Bài toán xác định độ tin cậy trong ước lượng tỷ lệ
Bài toán. Cho mẫu có kích thước n và tỷ lệ mẫu f. Hãy tìm độ tin cậy của phép
ước lượng tỷ lệ tổng thể p với độ chính xác  cho trước.
Cách giải
f (1  f )
n
 t  

Ta có   t
.
n
f (1  f )
Với độ chính xác  và mẫu đã cho, ta tính được t . Tra bảng phụ lục 2 ta tìm
được  (t ) . Từ đó ta suy ra độ tin cậy cuả ước lượng bằng công thức 1    2 (t ) .
2.4. Bài toán xác định độ tin cậy trong ước lượng trung bình
Bài toán. Cho mẫu có kích thước n và độ lệch mẫu hiệu chinh s. Hãy tìm độ tin
cậy của phép ước lượng trung bình tổng thể  với độ chính xác  cho trước.
Cách giải
s
n
 t  
Ta có   t
.
s
n
Với độ chính xác  và mẫu đã cho, ta tính được t . Từ đó ta tìm được độ tin cậy
của phép ước lượng  theo một trong hai trường hợp sau
1. Nếu n  30 thì độ tin cậy của ước lượng được tính bằng công thức:
1    2 (t ) .
2. Nếu n  30 thì độ tin cậy của ước lượng được tính bằng công thức:
t  t (n  1) . Tra bảng phụ lục 5 ta được  từ đó suy ra 1   cần tìm.
2.5. Bài toán xác định kích thước mẫu trong ước lượng tỷ lệ
Bài toán. Cho mẫu có tỷ lệ mẫu f. Hãy tìm kích thước mẫu (ở đây kích thước mẫu
khá lớn) để có phép ước lượng tỷ lệ tổng thể p với độ tin cậy 1   và độ chính xác
 cho trước.
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

6



ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
Cách giải
Nếu gọi N là kich thước mẫu để có phép ước lượng p với độ tin cậy 1   và độ
chính xác  .
Khi đó N được tính theo công thức:
f (1  f ) 

N  t 2
1
 2 

Trong đó t được suy từ độ tin cậy 1   bằng công thức: 1    2 (t ) .

2.6. Bài toán xác định kích thước mẫu trong ước lượng trung bình
Bài toán. Cho mẫu có phương sai mẫu hiệu chỉnh là s2. Hãy tìm kích thước mẫu
(ở đây kích thước mẫu khá lớn) để có phép ước lượng trung bình tổng thể  với
độ tin cậy 1   và độ chính xác  cho trước.
Cách giải
Nếu gọi N là kich thước mẫu để có phép ước lượng  với độ tin cậy 1   và độ
chính xác  . Khi đó N được tính theo công thức:
 2 s2 
N  t 2   1
  
Trong đó t được suy từ độ tin cậy 1   bằng công thức: 1    2 (t ) .

Ví dụ. Ta muốn ước lượng tỷ lệ bệnh sốt rét (p) ở vùng đồng bằng sông Cửu Long.
a) Nếu muốn độ chính xác ước lượng không quá 0,02 với độ tin cậy 95% thì
cần quan sát ít nhất mấy người?

b) Ta quan sát ngẫu nhiên 200 người thấy có 24 người mắc bệnh sốt rét.
i) Tìm khoảng ước lượng của p với độ tin cậy 95%
ii) Muốn độ chính xác ước lượng không quá 0,02 với độ tin cậy 95% thì
cần quan sát ít nhất mấy người?
§3. KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ
Mở đầu
Tỷ lệ bệnh A trong dân số là 20%. Một chương trình điều trị bệnh A được tiến
hành. Sau một thời gian nhất định, người ta chọn ngẫu nhiên một mẫu 100 người
trong dân số đó và khám thấy có 12 người bị bệnh A. Vấn đề đặt ra là sau khi thực
hiện chương trình điều trị bệnh A, tỷ lệ bệnh A trong dân số có thực sự khác 20%
không?
3.1. Bài toán kiểm định giả thiết về tỷ lệ tổng thể
Bài toán. Trên tổng thể ta quan tâm đến tỷ lệ tổng thể p.
H : p  p0 ; H : p  p0
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

7


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
Xét một mẫu có kích thước n và tính được tỷ lệ mẫu là f. Hãy kiểm định giả thiết
H với mức ý nghĩa  cho trước?
Cách giải
Bước 1. Tính tiêu chuẩn t bằng công thức:

n
p0 (1  p0 )
Bước 2. Với mức ý nghĩa  cho trước, ta tính được giá trị tới hạn t từ công thức:
1    2 (t )
Bước 3. Quy tắc quyết định:

1. Nếu t  t thì ta đưa ra quyết định: Chấp nhận H.
2. Nếu t  t thì ta đưa ra quyết định: Bác bỏ H, chấp nhận H .
Chú ý. Nếu giả thiết đối của H là H : p  p0 hay H : p  p0 thì giá trị tới hạn của
kiểm định là t2
t  f  p0

Ví dụ. Trong một dây chuyền sản xuất thuốc có 20% viên không đạt tiêu chuẩn.
Một cải tiến được thực hiện và sản xuất thử 100 viên thấy có 12 viên không đạt
tiêu chuẩn. Cải tiến trên có thay đổi tỷ lệ viên không đạt tiêu chuẩn hay không với
mức ý nghĩa 5%?
Ví dụ. Để xem xét hiệu quả chủng ngừa của một kỹ thuật tiêm BCG mới, người ta
chọn mẫu 1000 trẻ em và quan sát được có 700 em có phản ứng dương tính sau
khi tiêm (tức là kỹ thuật tiêm có hiệu quả). Tỷ lệ có phản ứng dương tính sau khi
tiêm theo lý thuyết là 80%. Hãy cho kết luận về kỹ thuật tiêm mới với mức ý
nghĩa 5%?
Ví dụ. Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy trước đây là 5%. Năm nay nhà máy áp
dụng một số biện pháp kĩ thuật mới nhằm làm giảm tỉ lệ phế phẩm cho nhà máy.
Để đánh giá hiệu quả của biện pháp kĩ thuật mới, người ta kiểm tra ngẫu nhiên
1000 sản phẩm thì thấy có 30 phế phẩm.
a) Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết các biện pháp kĩ thuật mới có thực sự làm
giảm tỉ lệ phế phẩm cho nhà máy hay không?
b) Nếu nhà máy cho rằng tỉ lệ phế phẩm của nhà máy sau khi áp dụng các biện
pháp kĩ thuật mới là 2% thì có thể chấp nhận hay không? Biết rằng mức ý nghĩa
của kiểm định này là 2%?
Giải
Gọi p là tỉ lệ phế phẩm của nhà máy sau khi áp dụng các biện pháp kĩ thuật mới.
Để có thể kết luận các biện pháp kĩ thuật mới có thực sự làm giảm tỉ lệ phế phẩm
cho nhà máy hay không ta đặt giả thiết cho p là:
H : p  0,05 ; H : p  0,05
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng


8


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
Ta có mẫu với kích thước n = 1000 và tỉ lệ mẫu f 

30
 0, 03 , nên tiêu chuẩn
1000

1000
 2,9 .
0, 05(1  0, 05)
Với mức ý nghĩa   0,05 nên ta có giá trị tới hạn t2 là:

kiểm định t là: t  0, 03  0, 05

2 (t2 )  1  0,1   (t2 )  0, 45  t2  1,65 .

Do t  t2 nên ta đưa ra quyết định: Bác bỏ giả thiết H, chấp nhận H .
Kết luận. Có cơ sở để nói rằng các biện pháp kĩ thuật mới đã thực sự làm giảm tỉ
lệ phế phẩm cho nhà máy.
b) Để trả lời câu hỏi có thể chấp nhận tỉ lệ phế phẩm của nhà máy sau khi áp dụng
các biện pháp kĩ thuật mới là 2% hay không ta đặt giả thiết cho p là:
H : p  0,02 ; H : p  0,02
Với mẫu đã cho ta tính được tiêu chuẩn kiểm định t là:
1000
 2, 26
0, 02(1  0, 02)

Với mức ý nghĩa   0,05 ta có giá trị tới hạn t là:
2 (t )  1  0,02   (t )  0, 49  t  2,33
t  0, 03  0, 02

Do t  t nên ta đưa ra quyết định: Chấp nhận giả thiết H.
Kết luận. Phát biểu của nhà máy cho rằng tỉ lệ phế phẩm của nhà máy sau khi áp
dụng các biện pháp kĩ thuật mới là 2% có thể chấp nhận được.
2.2. Bài toán kiểm định giả thiết về trung bình tổng thể
Bài toán. Trên tổng thể ta quan tâm đến trung bình tổng thể  .
H :   0 ; H :   0
Xét một mẫu có kích thước n và tính được trung bình mẫu, độ lệch mẫu hiệu
chỉnh là x , s . Hãy kiểm định giả thiết H với mức ý nghĩa  cho trước?
Cách giải
Bước 1. Tính tiêu chuẩn t bằng công thức:

n
s
Bước 2. Với mức ý nghĩa  cho trước, ta tính được giá trị tới hạn t theo một
trong hai trường hợp sau:
TH1. Nếu n  30 thì t được xác định theo công thức: 1    2 (t )
TH2. Nếu n  30 thì t được xác định theo công thức: t  t (k ) , trong đó
k=n–1
t  x  0

Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

9


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)

Bước 3. Quy tắc quyết định:
1. Nếu t  t thì ta đưa ra quyết định: Chấp nhận H.
2. Nếu t  t thì ta đưa ra quyết định: Bác bỏ H, chấp nhận H .
Chú ý. Nếu giả thiết đối của H là H :   0 hay H :   0 thì giá trị tới hạn của
kiểm định là t2
Ví dụ 1. Một phương pháp chiết xuất dược liệu (DL) cho trung bình 150kg
cao/1kg DL và s  20 g . Một cải tiến được thực hiện. Sau khi chiết xuất 30 lần, ta
được trung bình 160kg cao/1kg DL. Kết luận với mức ý nghĩa 5%?
Ví dụ 2. Một công ty cho rằng sản phẩm A của họ chiếm được 50% thị phần sử
dụng sản phẩm A tại địa phương B. Một cuộc điều tra ngẫu nhiên trên 500 người
tại địa phương B cho thấy có 225 người sử dụng sản phẩm A. Hãy cho nhận xét về
nhận định của công ty đó với mức ý nghĩa 5%?
Ví dụ 3. Trọng lượng của sản phẩm A theo quy định là 6kg. Sau khi sản xuất,
người ta cân thử 121 sản phẩm trong số sản phẩm sản xuất thì thấy trọng lượng
trung bình là 5,975kg và độ lệch chuẩn là 0,5kg. Với mức ý nghĩa 5% thì tình hình
sản xuất sản phẩm A có bình thường không?
Ví dụ 4. Trong kho để rất nhiều sản phẩm của xí nghiệp A. Lấy ngẫu nhiên 100
sản phẩm đem cân được kết quả sau:
Trọng lượng (g)
800 – 850
850 – 900
900 – 950
950 – 1000
1000 – 1050
1050 – 1100
1100 – 1150

Số SP
5
10

20
30
15
10
10

a) Giả sử sau đợt kiểm tra, người ta áp dụng một cải tiến làm cho trọng lượng
trung bình của sản phẩm là 1000g. Cho kết luận về hiệu quả cải tiến với mức ý
nghĩa 6%.
b) Các sản phẩm có trọng lượng trên 1050g là sản phẩm loại một. Hãy ước lượng
trọng lượng trung bình của sản phẩm loại một với độ tin cậy 98%.
c) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại một với độ tin cậy 80% và độ chính
xác 3% thì cần điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nửa ?
d) Giả sử trong kho có để lẩn 1000 sản phẩm của xí nghiệp B và trong 100 sản
phẩm lấy ra từ kho có 29 sản phẩm của xí nghiệp B. Hãy ước lượng số sản
phẩm của xí nghiệp A trong kho với độ tin cậy 82%.
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

10


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
Giải
a) Gọi  là trọng lượng trung bình của sản phẩm trước khi cải tiến.
H :   1000 ; H :   1000
Ta có: n = 100, x  980 , s = 79,3g,   0,06 nên ta tính được
t  2,56  t2  1,56 , suy ra bác bỏ H.
Kết luận: Cải tiến có tác dụng làm tăng trọng lượng của sản phẩm.
b) Gọi 1 là trọng lượng trung bình của sản phẩm loại một.
Ta có: n1 = 20, x1  1100 , s1 = 25,6495, 1  1  0,98 nên 1  14,5622

Suy ra: 1  (1085, 4378;1114,5622)
c) f  0, 2 , 1   2  0,80 ,  2  0, 03 suy ra n2 = 292.
KL: Cần điều tra thêm 192 sản phẩm nữa.
d) Gọi N là số sản phẩm có trong kho và p là tỷ lệ sản phẩm của xí nghiệp B trong
1000
. Ta sẽ ước lượng p với độ tin cậy 1    0,82 .
N
Ta có: n = 100, f = 0,29, suy ra   0,0608
1000
Do đó: 0, 2292  p 
 0,3508  2851  N  4364 .
N

kho thì p 

KL: Số sản phẩm của xí nghiệp A trong kho trong khoảng từ 1851 đến 3364 sản
phẩm.
Vi dụ 5. Khảo sát về thu nhập (triệu đồng/năm) của một số người ở một công ty,
người ta thu được bảng số liệu sau:
Thu nhập
Số người

8-12
8

12-14
12

14-16
20


16-18
25

18-20
20

20-24
10

24-30
5

a) Những người có mức thu nhập trên 20 triệu đồng/năm là những người có
thu nhập cao. Hãy ước lượng số người có thu nhập cao ở công ty này với độ
tin cậy 98% biết tổng số người làm việc ở công ty là 2000 người.
b) Nếu công ty báo cáo mức thu nhập bình quân của một người là 1,3 triệu
đồng/tháng thì có chấp nhận được không với mức ý nghĩa 3%.
c) Nếu muốn dùng mẫu trên để ước lượng thu nhập trung bình của một người
ở công ty với độ chính xác 600.000 đồng/năm thì độ tin cậy của ước lượng
này là bao nhiêu ?
Giải
a) Gọi M là số người có thu nhập cao ở công ty này và p là tỷ lệ người có thu
M
. Ta sẽ ước lượng p với độ tin cậy 98%.
2000
Ta có mẫu với n = 100, f = 0,15 nên độ chính xác của ước lượng là   0,0832 .

nhập cao ở công ty thì p 


Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

11


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
Suy ra: 0, 0668  p 

M
 0, 2332  133, 6  M  466, 4 .
2000

b) Gọi  là thu nhập bình quân của một người ở công ty. Đặt giả thiết:
H :   15,6 ; H :   15,6
Với mẫu đã cho ta có n = 100; x  16,96 ; s = 3,8845 nên
t  3,5  t  2,17 , suy ra: Bác bỏ H.
Kết luận: Mức thu nhập bình quân của một người ở công ty theo báo cáo là
không chấp nhận được.
c) Ta có bài toán ước lượng  với   0, 6 nên t  2,17 .
Suy ra 1    0,8764 . Vậy độ tin cậy của ước lượng cần tím là 88%.

BÀI TẬP
1. Đo lượng cholesterlemie (đơn vị: mg%) của một số người, ta được:
X(mg%) 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 200-201
Số
15
12
25
18
10

10
người
Tính X , S 2 , S 2 , S ?
2. Đo độ dài của 30 chi tiết được chọn ngẫu nhiên của một loại sản phẩm ta được
bảng số liệu sau
39
43
41
41
40
41
43
42
41
39
40
41
44
42
42
41
41
42
43
40
41
41
42
43
39

40
41
39
40
42
2
2
Tính X , S , S , S ?
3. Ta muốn ước lượng tỷ lệ viên thuốc bị sứt mẻ p trong một lô thuốc rất nhiều.
a) Nếu ta muốn sai số ước lượng không quá 0,01 và độ tin cậy 95% thì phải
quan sát ít nhất mấy viên?
b) Quan sát ngẫu nhiên 200 viên, thấy có 25 viên bị sứt mẻ
i) Hãy ước lượng p với độ tin cậy 95%?
ii) Trong trường hợp này nếu muốn sai số ước lượng không quá 0,01 và độ
tin cậy 95% thì phải quan sát ít nhất mấy viên?
4. Khám ngẫu nhiên 150 người thấy có 18 người mắc bệnh B
a) Hãy ước lượng tỷ lệ bệnh này trong dân số với độ tin cậy 95%?
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

12


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
b) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ bệnh này có độ chính xác không quá 0,02 và độ
tin cậy 95% thì phải khám ít nhất bao nhiêu người?
5. Một loại thuốc mới được đem thử điều trị cho 50 người bị bệnh B, kết quả có 40
người khỏi bệnh.
a) Hãy ước lượng tỷ lệ khỏi bệnh p nếu dùng thuốc đó điều trị với các độ tin
cậy 95% và 99%?
b) Nếu ta muốn độ chính xác của ước lượng không quá 0,02 và độ tin cậy 95%

thì phải quan sát ít nhất mấy trường hợp?
6. Quan sát chiều cao X(cm) của một số người, ta ghi nhận được
X (cm)
Số
người

140–145
1

145–150
3

150 - 155 155 -160
7
9

160–165
5

165–170
2

a) Hãy ước lượng chiều cao trung bình trong dân số với độ tin cậy 96%.
b) Những người có chiều cao dưới 155 được là người thấp. Hãy ước lượng tỷ
lệ người thấp trong dân số với độ tin cậy 95%.
7. Để đánh giá sức khỏe của các bé gái sơ sinh, người ta kiểm tra số đo trọng
lượng các cháu gái sơ sinh trong một bệnh viện và có kết quả như sau
X
1,7–2,1 2,1–2,5 2,5- 2,9 2,9 -3,3 3,3–3,7 3,7–4,1
N

4
20
21
15
2
3
a) Hãy ước lượng trung bình của bé gái sơ sinh với độ tin cậy 95%.
b) Những bé gái sơ sinh có trọng lượng trên 2,9kg là bé khỏe. Hãy ước lượng
tỷ lệ bé khỏe trong vùng với độ tin cậy 97%.
8. Bệnh X theo điều trị đã gây tử vong 15%. Một loại thuốc A dùng cho 250 bệnh
nhân bị bệnh X thấy có 20 người tử vong. Hỏi hiệu quả của thuốc A trong việc
điều trị bệnh X với mức ý nghĩa 5%?
9. Tại một địa phương tỷ lệ bệnh sốt rét là 20%. Dùng DDT để diệt muỗi. Khám
100 người thấy có 13 người bị sốt rét. Hỏi DDT có làm giảm tỷ lệ bệnh này không
với mức ý nghĩa 5%?
10. Có khoảng 12% người bị huyết khối khi thay van tim trong vòng 4 năm.
Người ta muốn xét xem Aspirin có ảnh hưởng đến bị huyết khối khi thay van tim
không? Chọn ngẫu nhiên 188 bệnh nhân sau khi thay van tim, cho dùng 100 mg
Aspirin/ngày suốt 4 năm liền , theo dõi thấy có 21 trường hợp bị huyết khối. Kết
luận với mức ý nghĩa 5%?
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

13


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
11. Đo lượng cholesterolemie (X mg%) trên một số người bình thường. Kết quả
X

125 - 150 - 175149

174
199
Số người 2
5
5

200 - 225224 249
7
10

250274
10

275299
8

300 –
224
3

Cho rằng số sinh học trung bình về cholesterolemie là 225 mg%. Hỏi kết quả thực
nghiệm trên có khác hằng số sinh học trung bình về cholesterolemie không với
mức ý nghĩa 5%?
12. Một mẫu 35 người bị K tiền liệt tuyến có di căn, hàm lượng trung bình PSA là
15 mg/ml; s=1,5 mg/ml. Dùng PSA làm chất chỉ điểm có di căn trong bệnh K tiền
liệt tuyến. Với bệnh K tiền liệt tuyến chưa di căn, hàm lượng trung bình PSA là 12
mg/ml. Hỏi PSA có thể làm cho chất chỉ điểm có di căn trong bệnh K tiền liệt
tuyến được không với mức ý nghĩa 5%?

Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng


14