Biểu diễn ma trận và đặc trưng của nhóm đối xứng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (553.46 KB, 65 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
NGUYỄN THỊ LỆ HIỀN
BIỂU DIỄN MA TRẬN VÀ ĐẶC TRƯNG
CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng – Năm 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
NGUYỄN THỊ LỆ HIỀN
BIỂU DIỄN MA TRẬN VÀ ĐẶC TRƯNG
CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.60
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. TRẦN ĐẠO DÕNG
Đà Nẵng – Năm 2013
LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng
được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả
Nguyễn Thị Lệ Hiền
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU............................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài .................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................. 1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................... 1
5. Phương pháp nghiên cứu ........................................................ 1
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ............................... 2
7. Cấu trúc của luận văn ............................................................ 2
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ ..................................... 4
1.1. BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN ........................................ 4
1.1.1. Biểu diễn ........................................................................... 4
1.1.2. Biểu diễn ma trận .............................................................. 8
1.1.3. Biểu diễn tương đương ...................................................... 9
1.2. BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY .................................................... 10
1.2.1. Không gian con bất biến.................................................... 10
1.2.2. Biểu diễn bất khả quy ...................................................... 11
1.3. TỔNG TRỰC TIẾP VÀ TÍCH CỦA CÁC BIỂU DIỄN .......... 12
CHƯƠNG 2. ĐẶC TRƯNG CỦA BIỂN DIỄN ................. 14
2.1. ĐẶC TRƯNG ........................................................................... 16
2.1.1. Vết và tính chất của vết .................................................... 16
2.1.2. Đặc trưng của biểu diễn .................................................... 18
2.2. TÍNH TRỰC GIAO CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG .......................... 23
2.2.1. Bổ đề Schur ...................................................................... 23
2.2.2. Tính trực giao của đặc trưng ........................................... 25
2.3. HÀM LỚP .................................................................................. 31
2.3.1. Tích vô hướng ................................................................... 31
2.3.2. Cơ sở đặc trưng ............................................................... 33
CHƯƠNG 3. BIỂU DIỄN VÀ ĐẶC TRƯNG BẤT KHẢ QUY
CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG .................................................. 36
3.1. BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG ......... 36
3.1.1. Nhóm đối xứng ................................................................ 36
3.1.2. Biểu diễn của nhóm đối xứng ........................................... 36
3.2. BIỂU DIỄN CẢM SINH ........................................................... 40
3.2.1. Các đặc trưng thu hẹp và mở rộng .................................. 40
3.2.2. Biểu thức xác định χ ↑G
H ................................................. 44
3.3. BIỂU DIỄN VÀ ĐẶC TRƯNG BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM
ĐỐI XỨNG....................................................................................... 45
3.3.1. Nhóm con Young ............................................................. 45
3.3.2. Bảng đặc trưng ................................................................. 48
3.3.3. Mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm S3 ...................... 49
3.3.4. Mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm S4 ...................... 50
3.3.5. Mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm S5 ...................... 53
KẾT LUẬN ........................................................................ 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao)
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Các ký hiệu sau đây sẽ được sử dụng xuyên suốt trong luận văn.
"là phân hoạch của"
⊥
"Phần bù trực giao"
≤
"Không gian con của", "Nhóm con của"
x1 , x1 , · · ·
Nhóm sinh ra bởi x1 , x2 , · · ·
|θ|
Tổng từng phần của phân hoạch θ
[G : H]
Bậc của H trong G, trong đó H < G
[T ]A
Biểu diễn ma trận T ∈ End(V)
1G
Biểu diễn tầm thường của G
ι
Phần tử đơn vị của G
Λ
Vành của các hàm đối xứng
ρG
Biểu diễn của G
ρ ↑G
H
Biểu diễn cảm sinh của G từ H < G, trong đó ρ
là một biểu diễn của H
σ ↑G
H
Thu hẹp của biểu diễn σ của G đến H < G là một
biểu diễn của H
χρ
Đặc trưng của biểu diễn ρ
crp,q
Hệ số liên thông cho các lớp đại số của CG
CG
Nhóm đại số của G trên C
deg(ρ)
Bậc của biểu diễn ρ
ei
Phần tử trong cơ sở chuẩn của Cn
g
Cấp |G| của G
H
H là nhóm con của G
lV
Toán tử đơn vị trong End(V)
0V
Toán tử 0 trong End(V)
GLn (C)
Tập hợp tất cả ma trận khả nghịch n × n trên C
m
Một ánh xạ
In
Ma trận đơn vị n × n
Sn
Nhóm đối xứng trên {1, · · · , n}
tr
Hàm vết
T |U
Thu hẹp của T ∈ End(V) đến U
TV
Không gian ảnh (không gian miền) của biến đổi
V
tuyến tính T : V → W
V
Không gian vectơ hữu hạn chiều trên C
regG
Biểu diễn chính quy của G
R(G)
Vành của các lớp hàm trong CG
sgn(π)
Biểu diễn dấu của π ∈ Sn
Xρ , Yρ
Biểu diễn ma trận của biểu diễn ρ.
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết biểu diễn nhóm có nguồn gốc từ lý thuyết đặc trưng của
nhóm Abel được phát biểu cho các nhóm cyclic bởi Gauss, Dirichlet và sau
đó mở rộng sang cho nhóm Abel hữu hạn bởi Frobenius và Stickel-berger.
Lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn được phát biểu vào cuối thế kỷ
XIX trong các công trình của Frobenius, Schur và Burnside.
Nói một cách đơn giản, lý thuyết biểu diễn nhóm nghiên cứu các cách
mà một nhóm tác động trên không gian vectơ bằng các tự đẳng cấu tuyến
tính. Lý thuyết biểu diễn nhóm không chỉ là một phần quan trọng trong
đại số hiện đại mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng trong lý thuyết số,
tổ hợp và cả vật lý.
Có thể nói một trong các bài toán quan trọng và mang tính thời sự
trong lý thuyết biểu diễn nhóm là mô tả và phân lớp các nhóm, đặc biệt
là các nhóm hữu hạn. Đóng vai trò quan trọng cho việc khảo sát cấu trúc
và phân lớp các nhóm hữu hạn là lý thuyết cấu trúc, cho phép mô tả các
nhóm hữu hạn thông qua các bảng đặc trưng tương ứng.
Xuất phát từ những vấn đề trên, với mong muốn tìm hiểu thêm về
biểu diễn nhóm hữu hạn và được sự gợi ý của PGS.TS Trần Đạo Dõng,
tôi đã chọn đề tài: "Biểu diễn ma trận và đặc trưng của nhóm đối
xứng".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu các tính chất cơ bản của biểu
diễn ma trận và lý thuyết đặc trưng của nhóm hữu hạn. Từ đó ứng dụng
để khảo sát biểu diễn của nhóm đối xứng gồm các hoán vị bậc n.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về lý thuyết nhóm hữu hạn, đặc biệt đối với nhóm đối xứng.
Khảo sát biểu diễn ma trận, đặc trưng của nhóm đối xứng đồng thời
mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm đối xứng.
2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng của đề tài là khảo sát biểu diễn ma trận và đặc trưng của
nhóm hữu hạn, ứng dụng để xác định biểu diễn ma trận và đặc trưng
tương ứng của nhóm đối xứng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo các tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài.
Tổng quan tài liệu và thể hiện tường minh các kết quả đạt được trong
luận văn.
Trao đổi, thảo luận các kết quả nghiên cứu tại các buổi seminar với
giáo viên hướng dẫn.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Tổng quan các kết quả liên quan đến biểu diễn ma trận và đặc trưng
của nhóm hữu hạn.
Góp phần làm rõ cấu trúc của nhóm đối xứng thể hiện qua biểu diễn
ma trận và bảng đặc trưng tương ứng.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung nghiên cứu của đề tài chia
làm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở.
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm, kết quả về
biểu diễn của nhóm hữu hạn, biểu diễn bất khả quy, tổng trực tiếp của
các biểu diễn có liên quan trực tiếp đến việc nghiên cứu các chương sau.
Chương 2: Đặc trưng của biểu diễn.
Chương này chúng tôi tiếp tục trình bày về các khái niệm cơ bản và
một số kết quả quan trọng về đặc trưng của biểu diễn, tính trực giao của
đặc trưng và kiểm tra tính bất khả quy của biểu diễn, một số kết quả
quan trọng trên hàm lớp.
3
Chương 3: Biểu diễn và đặc trưng của nhóm đối xứng.
Đây là chương chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi tập
trung xác định và mô tả các biểu diễn bất khả quy của nhóm đối xứng,
đặc trưng bất khả quy của nhóm đối xứng.
4
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm, một số ví dụ
để minh họa cho các khái niệm của phép biểu diễn nhóm và một số kết
quả cần cho các chương sau.
Các khái niệm và kết quả của chương này được tham khảo trong tài
liệu [3].
1.1. BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN
1.1.1. Biểu diễn
Cho V là một không gian vectơ trên trường K, End(V) là tập các tự
đồng cấu tuyến tính của V và
GL(V) = T ∈ End(V) : T khả nghịch .
Khi đó GL(V) cùng với phép nhân ánh xạ tạo thành một nhóm được
gọi là nhóm tuyến tính tổng quát.
Định nghĩa 1.1. Cho V là một không gian vectơ trên K. Một biểu diễn
(tuyến tính) của nhóm G là một đồng cấu nhóm
ρG : G → GL(V).
Số chiều của V trên K được gọi là cấp của ρG và ký hiệu là deg(ρG ).
V được gọi là không gian biểu diễn của G (hay đơn giản là G-không gian).
Đặc biệt, nếu K = Q, R hoặc C, ta nói ρG là biểu diễn hữu tỉ, biểu
diễn thực hoặc biểu diễn phức.
Sau đây là một số các biểu diễn quan trọng được sử dụng nhiều trong
luận văn. Trong mỗi trường hợp chúng tôi định nghĩa ρG (x), x ∈ G bằng
cách xác định tác động của nó lên một cơ sở của V .
Ví dụ 1.1. Biểu diễn tầm thường
Xét đồng cấu nhóm
ρG : G → GL(V)
x → lV
5
Khi dim(V) = 1, ta gọi ρG là biểu diễn tầm thường và ký hiệu là 1G .
Tiếp theo là một ví dụ về biểu diễn không tầm thường bậc một.
Giả sử A = {1, ..., n}. Khi đó ánh xạ
σ:A→A
i → σ(i)
được gọi là một phép thế (hoán vị) của tập n phần tử {1, ..., n}.
Tập Sn gồm tất cả các phép thế của n phần tử {1, ..., n} cùng với phép
nhân các ánh xạ lập thành một nhóm, được gọi là nhóm đối xứng bậc n.
Với x ∈ Sn , hàm xác định bởi:
sgn(x) =
1
nếu x là hoán vị chẵn
−1 nếu x là hoán vị lẻ.
gọi là hàm dấu của một hoán vị.
Một trong các tính chất của hàm dấu là sgn(x) = det(Px ), với
Px = [aij ]n×n trong đó aij =
1 nếu x(i) = j
0 nếu x(i) = j
Ví dụ 1.2. Biểu diễn thay phiên
Ta có ánh xạ
altSn : Sn → C∗
x → sgn(x).
là một biểu diễn của Sn và được gọi là biểu diễn thay phiên, trong đó C∗
là nhóm nhân các số phức khác 0, được đồng nhất với nhóm các tự đẳng
cấu GL1 (C).
Chứng minh.
Cho A = {v1 , ..., vn } là một cơ sở của V .
Với x ∈ G, lấy Tx ∈ GL(V) sao cho Tx vi = vx(i) , i = 1, · · · , n.
Khi đó: [Tx ]A = Px , với mọi x ∈ G.
Lấy y ∈ G, ta có:
Txy vi = v(xy)(i) = Tx vy(i) = (Tx Ty )vi , với i = 1, ..., n.
6
nên tác động của Txy và Tx Ty lên một cơ sở là như nhau.
Ta được: Txy = Tx Ty .
Suy ra: sgn(xy) = det(Txy ) = det(Tx Ty ) = det(Tx )det(Ty ) = sgn(x)sgn(y).
Do đó: altSn (xy) = altSn (x)altSn (y).
Lại có: sgn(ι) = 1.
Vậy: altSn (ι) = lV .
Trong ví dụ tiếp theo, cho G là nhóm cấp n được xét như một nhóm
con của Sn và G tác động lên các phần tử sinh v1 , ..., vn của V .
Ký hiệu: spanC ({v1 , ..., vn }) là không gian vectơ trên trường số phức sinh
bởi {v1 , ..., vn }.
Ví dụ 1.3. Biểu diễn tự nhiên
Xét ánh xạ
natG : G → GL(V)
x → Tx
trong đó
Tz : V → V
vi → vzi
được mở rộng tuyến tính đến V , với V = spanC ({v1 , ..., vn }) và ngoài ra
deg(natG ) = n.
Khi đó natG là một biểu diễn của G và được gọi là biểu diễn tự nhiên.
Chứng minh.
Để chứng minh natG là một biểu diễn, ta quay lại với ý tưởng chứng minh
trong ví dụ 1.2.
Lấy x, y ∈ G, ta có:
(natG ( xy))vi = Txy vi = v(xy)i = vx(yi)
= Tx vyi
= (Tx Ty )vi
= (natG (x)natG (y))vi , với i = 1, · · · , n.
Suy ra: natG (xy) = natG (x)natG (y).
7
Lại có: natG (ι)vi = Tι vi = vi = lV vi .
Nên: natG (ι) = lV .
Vậy: natG là một biểu diễn.
Ví dụ tiếp theo liên quan đến tác động của G lên tập hợp {vx : x ∈ G}
gồm các vectơ độc lập tuyến tính có tập sinh là V .
Ví dụ 1.4. Biểu diễn chính quy
Xét ánh xạ:
regG : G → GL(V)
x → Tx ,
trong đó Tz (vx ) = vzx , V = spanC ({vx : x ∈ G}).
regG được gọi là biểu diễn chính quy (trái), và deg(regG ) = |G|.
Chứng minh.
Lấy y, z ∈ G, ta có:
(Ty Tz )vx = Ty vzx = vyzx = v(yz)x = Tyz vx , với mọi x ∈ G,
nên
(regG (y)regG (z)) vx = regG (yz)vx , với mọi x ∈ G.
Do đó: (regG (y)regG (z)) = regG (yz), với mọi x ∈ G.
Khi đó: regG (ι) = regG (xx−1 ) = regG (x)regG (x−1 ) = Tx Tx−1 = lV .
Vậy: regG là một biểu diễn.
Cuối cùng là một ví dụ tổng quát, liên quan đến tác động của G lên
một tập S = {S1 , ..., Sn } và chứng minh tương tự các ví dụ trên.
Ví dụ 1.5. Biểu diễn của nhóm hoán vị
Cho tập S = {s1 , · · · , sm } và G tác động lên S, V = span {vs1 , · · · , vsm }.
Xét tương ứng:
ρ : G → GL(V)
x → Tx ,
trong đó:
8
Tz : V → V
vsi → vz(si )
được mở rộng tuyến tính tới V .
Ta nói ρ là một biểu diễn hoán vị của G, và bậc của biểu diễn là m.
1.1.2. Biểu diễn ma trận
Một biểu diễn ma trận có thể xem là cách để mô hình hóa một nhóm
trừu tượng bằng một nhóm các ma trận cụ thể. Trong mục này, chúng tôi
đưa ra định nghĩa về biểu diễn ma trận và sau đó xét ví dụ cụ thể.
Ký hiệu: ρ : G → GL(V) là một biểu diễn của nhóm G cấp n và Xρ
là ánh xạ được xác định bởi:
Xρ : G → GLn (C)
x → [ρ(x)]A ,
trong đó A là một cơ sở của V , GLn (C) là tập hợp tất cả các ma trận
n × n khả nghịch trên C, được xét như là một nhóm với phép nhân ma
trận thông thường. Từ định nghĩa ta có: Xρ là một biểu diễn.
Thật vậy, lấy x, y ∈ G. Rõ ràng: Xρ (x) khả nghịch vì ρ(x) và [·]A đều khả
nghịch.
Khi đó: Xρ (xy) = [ρ(xy)]A = [ρ(x)ρ(y)]A = [ρ(x)]A [ρ(y)]A = Xρ (x)Xρ (y).
Suy ra: Xρ (ι) = [ρ(ι)]A = [lV ]A = In .
Vậy: Xρ là một biểu diễn của G.
Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.2. Cho ρ : G → GL(V) là một biểu diễn của G cấp n, và:
Xρ : G → GLn (C)
x → [ρ(x)]A .
Khi đó: Xρ gọi là một biểu diễn ma trận của G tương ứng với ρ.
Để hiểu rõ hơn định nghĩa, ta tìm hiểu các ví dụ sau:
9
Ví dụ 1.6. Cho:
S3 = {ι, (12), (13), (23), (123), (132)} .
Biểu diễn ma trận X cấp 2 của S3 có dạng:
X(ι) =
1 0
,
0 1
X(12) =
1
2
− 43
X(13) =
,
−1 − 12
X(123) =
X(23) =
− 12 43
,
−1 − 12
X(132) =
−1 0
,
0 1
1
2
3
4
1 − 12
,
− 21 − 34
.
1 − 12
Kiểm tra ta thấy rằng (13)(123) = (23), trong đó phép nhân được thực
hiện từ trái sang phải.
3
1
1
− 34 − 12 34
2
2
4
=
= X(23).
Vậy: X(13)X(123) =
1
1
−1 − 2 −1 − 2
1 − 21
1.1.3. Biểu diễn tương đương
Giả sử V và V là các không gian vectơ và P : V → V là một đẳng
cấu tuyến tính.
Cho ρ là một biểu diễn của G xác định bởi:
ρ : G → GL(V)
x → Tx
và σ là một ánh xạ xác định bởi:
σ : G → GL(V)
x → P Tx P −1 .
Ta có: σ cũng là một biểu diễn của G.
Thật vậy, với x, y ∈ G, ta có:
σ(xy) = P ρ(xy)P −1 = P ρ(x)ρ(y)P −1 = (P ρ(x)P −1 )(P ρ(y)P −1 ) = σ(x)σ(y).
10
Lại có:
σ(ι) = P ρ(ι)P −1 = P P −1 = lV .
Vậy: σ là một biểu diễn của G.
Ta có các định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.3. Hai biểu diễn ρ : G → GL(V) và ρ : G → GL(V ) của
G được gọi là tương đương nếu tồn tại một đẳng cấu P : V → V sao cho
ρ (x) = P ρ(x)P −1 với mọi x ∈ G. Ký hiệu: ρ ∼ ρ .
Chú ý rằng trong trường hợp này dimV = dimV .
Định nghĩa 1.4.
Hai biểu diễn ma trận X : G → GLn (C) và X : G → GLm (C) của G
được gọi là tương đương nếu tồn tại một ma trận khả nghịch M sao cho
X (x) = MX(x)M−1 với mọi x ∈ G.
Chú ý rằng trong trường hợp này m = n.
1.2. BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY
Có thể nói, các biểu diễn bất khả quy là nền tảng cơ bản cho lý
thuyết nhóm. Trước hết chúng tôi trình bày một số khái niệm về không
gian con bất biến.
1.2.1. Không gian con bất biến
Định nghĩa 1.5. Cho T : G → GL(V) là một biểu diễn tuyến tính của
G trong V . Khi đó, không gian con U
V được gọi là bất biến qua biểu
diễn T (hay G-bất biến nếu biểu diễn T đã được chỉ rõ) nếu:
Tx (u) ∈ U, ∀u ∈ U, ∀x ∈ G.
Định nghĩa 1.6. Một không gian con bất biến được gọi là cực tiểu (không
gian con bất biến cực tiểu) nếu nó chứa trong tất cả các không gian con
bất biến khác không.
Nhận xét 1.1. Từ các định nghĩa trên, ta có nhận xét sau:
+ Tổng và giao của các không gian con bất biến là không gian con bất
biến.
+ {0} và V là không gian con bất biến tầm thường của V .
11
Định nghĩa 1.7. Cho ρ : G → GL(V) là một biểu diễn tuyến tính của
G và U ⊂ V là không gian con bất biến qua ρ. Khi đó
ρU : G → GL(U)
x → ρU (x) := ρ(x)|U
là các đồng cấu nhóm và được gọi là biểu diễn con của biểu diễn tuyến
tính ρ.
1.2.2. Biểu diễn bất khả quy
Định nghĩa 1.8. Biểu diễn tuyến tính ρ : G → GL(V) được gọi là bất
khả quy nếu V không có không gian con ρ-bất biến không tầm thường nào,
nghĩa là ρ không nhận bất cứ biểu diễn con không tầm thường nào.
Sau đây là ví dụ về biểu diễn bất khả quy:
Ví dụ 1.7. Nếu deg(ρ) = 1 thì ρ : G → GL(V) là bất khả quy vì chỉ có
duy nhất hai không gian con là {0} và V . Do đó, biểu diễn tầm thường 1G
và altG là bất khả quy.
Ví dụ tiếp theo sẽ cho ta một biểu diễn khả quy.
Ví dụ 1.8. regG là khả quy.
Chứng minh.
Xét regG : G → GL(V). Ký hiệu: vx , x ∈ G là đại lượng trung bình trên
toàn nhóm, V = span {vz : z ∈ G}.
Đặt: u = z∈G vz và U = span {u}.
Khi đó: U ≤ V và dimU = 1.
Lấy v ∈ U , suy ra: v = λu, với λ ∈ C.
Từ Ví dụ 1.4, ta có:
regG |U (x)(v) = regG (x)(λu) = λTx
vz = λ
z∈G
vxz = λ
z∈G
vy
y∈G
= λu = v ∈ U.
Suy ra: U là một không gian con regG -bất biến của V .
12
Do đó: regG |U là một biểu diễn con của regG .
Mặt khác, với mọi v ∈ U ta có:
(regG |U (x))(v) = regG (x)|U (λu) = λregG |U (u) = λu = v = 1G (x)v.
Nên: regG |U là một biểu diễn tầm thường.
Suy ra: Biểu diễn tầm thường là một biểu diễn con của regG .
Vậy: regG là khả quy.
Tuy nhiên, trong Hệ quả 2.5 chúng ta sẽ chứng minh regG chứa tất
cả các biểu diễn bất khả quy của G.
1.3. TỔNG TRỰC TIẾP VÀ TÍCH CỦA CÁC BIỂU DIỄN
Ký hiệu: V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vr và Ai là một cơ sở của Vi , i = 1, · · · , r,
ta có: A = A1 ∪ · · · ∪ Ar là một cơ sở của V .
Xét Ti : Vi → V là các toán tử tuyến tính, i = 1, · · · , r.
Ánh xạ: T1 ⊕ · · · ⊕ Tr : V → V được xác định bởi:
(T1 ⊕ · · · ⊕ Tr )v = T1 v1 + · · · + Tr vr ,
trong đó: v = v1 + · · · + vr và vi ∈ Vi , i = 1, · · · , r.
Khi đó: T1 ⊕ · · · ⊕ Tr là một toántử tuyến tính trên V , và:
[T1 ]A1 · · ·
0
.
.. .
...
[T1 ⊕ · · · ⊕ Tr ]A = ..
.
0
· · · [Tr ]Ar
Cho các biểu diễn tuyến tính: ρi : G → GL(Vi ), với i = 1, · · · , r.
Với các ký hiệu trên ta có định nghĩa tổng hữu hạn của các biểu diễn
như sau:
Định nghĩa 1.9. Giả sử ρ1 , ρ2 · · · , ρr là các biểu diễn của G, khi đó
ρ1 ⊕ · · · ⊕ ρr được xác định bởi:
ρ1 ⊕ · · · ⊕ ρr : G → GL(V1 ⊕ · · · ⊕ Vr )
x → ρ1 ⊕ · · · ⊕ ρr (x) := ρ1 (x) ⊕ · · · ⊕ ρr (x)
là một biểu diễn của G được gọi là tổng trực tiếp của các biểu diễn đã
13
cho, và ta có:
[ρ1 (x)]A1 · · ·
0
..
..
...
[(ρ1 ⊕ · · · ⊕ ρr )(x)]A =
.
.
, với mọi x ∈ G.
0
· · · [ρr (x)]Ar
Nhận xét 1.2. Trong Định nghĩa 1.9 ta có:
+ Nếu r > 1 thì ρ = ρ1 ⊕ · · · ⊕ ρr là khả quy vì ρi là một biểu diễn con
của ρ.
+ Nếu ρ1 , · · · ρr đều là bất khả quy thì ρ = ρ1 ⊕ · · · ⊕ ρr được gọi là hoàn
toàn khả quy.
Một định lí quan trọng trong phần này là định lí Maschke, trước khi
tìm hiểu định lí chúng ta sẽ xét các kết quả và khái niệm liên quan sau:
Bổ đề 1.1. [3, Lemma 2.5] Cho ρ : G → GL(V) là một biểu diễn tuyến
tính của G, U là một ρ-không gian con bất biến của V . Khi đó, tồn tại
một ρ-không gian con bất biến W của V sao cho V = U ⊕ W .
Nhận xét 1.3.
+ Biểu diễn ρ trong Bổ đề 1.1 được gọi là hoàn toàn khả quy.
+ Mọi biểu diễn bất khả quy là hoàn toàn khả quy.
+ Cho ρ là một biểu diễn bất khả quy và ρ là một biểu diễn 1-chiều của
cùng nhóm G. Khi đó biểu diễn ρρ là bất khả quy.
Định lý 1.1. [Maschke] Cho ρ : G → GL(V) là một biểu diễn của một
nhóm hữu hạn G trên một không gian vectơ phức V . Khi đó ρ là hoàn toàn
khả quy.
Chứng minh.
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo dimV .
- Nếu dimV = 1, thì ρ là bất khả quy và do đó hoàn toàn khả quy.
- Giả sử rằng kết quả trên đúng cho tất cả các không gian có chiều nhỏ
hơn n, trong đó deg(ρ) = n.
+ Nếu ρ bất khả quy thì ρ hoàn toàn khả quy, chứng minh hoàn
thành.
14
+ Nếu ρ khả quy thì V có một ρ-không gian con bất biến U , nên
theo Bổ đề 1.1, V = U ⊕ W với ρ-không gian con bất biến W của V .
Do đó ρ = ρ |U ⊕ρ |W .
Mặt khác: dimU < n và dimV < n.
Vậy: Theo nguyên lý quy nạp Toán học định lí được chứng minh.
Dưới đây là dạng ma trận của định lí Maschke:
Định lý 1.2. Cho X : G → GLn (C) là một biểu diễn ma trận của G.
Khi đó tồn tại các biểu diễn ma trận bất khả quy X1 , · · · , Xr của G và
ma trận khả nghịch M sao
cho:
X1 (x)] · · ·
0
..
...
MX(x)M−1 = ...
. , với mọi x ∈ G.
0
· · · Xr (x)
Tiếp theo chúng ta cần một số khái niệm và kết quả về tích tenxơ sử
dụng cho chương cuối của luận văn.
Định nghĩa 1.10. Cho V và U là hai không gian vectơ trên trường K.
Tích tenxơ của hai không gian vectơ V và U là một không gian vectơ V ⊗U
cùng với ánh xạ song tuyến tính có tính chất phổ dụng:
ϕ:V ×U →V ⊗U
(v, u) → ϕ(v, u) = v ⊗ u.
Định nghĩa 1.11. Ký hiệu L(V) và L(U) lần lượt là các không gian các
toán tử tuyến tính trên V và U. Với mỗi cặp toán tử tuyến tính α ∈ L(V)
và β ∈ L(U), α ⊗ β ∈ L(V ⊗ U) xác định bởi:
(α ⊗ β) (v ⊗ u) = α(v) ⊗ α(u), ∀v ⊗ u ∈ V ⊗ U
được gọi là tích tenxơ của α và β .
Định nghĩa 1.12. Cho ρ : G → GL(V) và π : G → GL(U) là hai biểu
diễn tuyến tính của nhóm G. Khi đó, ánh xạ ρπ của G trong không gian
vectơ V ⊗ U xác định bởi:
15
ρπ : G → GL(V ⊗ U)
x → ρπ(x) := ρ(x) ⊗ π(x)
là một biểu diễn của G trong không gian vectơ V ⊗ U và được gọi là biểu
diễn tích của ρ và π .
16
CHƯƠNG 2
ĐẶC TRƯNG CỦA BIỂU DIỄN
Trong chương này, chúng tôi tiếp tục trình bày về các khái niệm cơ
bản và một số kết quả quan trọng về đặc trưng của biểu diễn, tính trực
giao của đặc trưng và kiểm tra tính bất khả quy của biểu diễn.
Các kiến thức của chương này có thể tham khảo trong tài liệu [3].
2.1. ĐẶC TRƯNG
Ta chỉ xét các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều, và giả thiết trường
K = C, tức là chỉ xét các biểu diễn phức.
2.1.1. Vết và tính chất của vết
Định nghĩa 2.1. Giả sử A là ma trận vuông bậc n × n. Số phức:
n
tr(A) =
aii
i=1
được gọi là vết của A trong đó aij ký hiệu là phần tử hàng i, cột j của A.
Như vậy, vết của một ma trận vuông A bậc n × n được xác định bằng
tổng các phần tử trên đường chéo chính (đường nối từ góc trên bên trái
xuống góc dưới bên phải) của A.
Chú ý rằng, vết chỉ được định nghĩa cho một ma trận vuông.
Ví dụ 2.1. Cho T là một toán tử tuyến tính biểu diễn bằng ma trận:
−2 2 −3
−1 1 3
2 0 −1
Vết của T là: tr(T ) = −2 + 1 − 1 = −2.
Các tính chất của vết được thể hiện qua một số kết quả quan trọng
sau đây:
Bổ đề 2.1. Giả sử A là ma trận bậc n × m và B là ma trận bậc m × n.
Khi đó:
tr(AB) = tr(BA).
17
Chứng minh.
Ta có:
n
n
tr(AB) =
j=1
[AB]jj =
m
m
j=1 k=1
m
n
bkj ajk =
ajk bkj =
k=1 j=1
k=1
[BA]kk
= tr(BA).
Vậy: tr(AB) = tr(BA).
Từ bổ đề trên suy ra: Nếu A và B là những ma trận đồng dạng thì
tr(A) = tr(B), và điều này sẽ cần thiết cho định nghĩa tiếp theo.
Định nghĩa 2.2. Giả sử T : V → V là một toán tử tuyến tính. Khi đó
vết của T là tr(T ) = tr([T ]A ), trong đó A là một cơ sở của V .
Các tính chất của vết được thể hiện trong các kết quả sau:
Ta ký hiệu: Nn = {1, · · · , n}. Nếu α, β ⊆ Nn và A là một ma trận n × n,
thì A [α|β] là ký hiệu ma trận con của A với các phần tử hàng của A
được chọn từ các vị trí trong α × β .
Đặt: α = Nn − α.
Định lý 2.1. [3, Theorem 3.4] Giả sử A, B là các ma trận bậc n × n và
Nn = {1, · · · , n}. Cho σ(α) =
i∈α i.
Khi đó:
n
(−1)σ(α)+σ(β) (detA [α|β])(detB α|β ).
det(A + B) =
r=0 α,β⊆Nn
trong đó tổng lấy trên mọi α, β sao cho |α| = |β| = r.
Bổ đề tiếp theo cho ta thấy sự liên hệ giữa vết với các giá trị riêng:
Bổ đề 2.2. Cho A là một ma trận cấp n × n trên C với các giá trị riêng
λ1 , · · · , λn . Khi đó:
n
tr(A) =
λi .
i=1
Chứng minh.
n
(x − λi ) là các đa thức đặc trưng của A.
Giả sử f (x) =
i=1
18
n
Suy ra: xn−1 f (x) = −
λi .
i=1
Mặt khác, theo Định lí 2.1:
n
(det(−A) [α|α]) det(xI) α
¯ |β¯
f (x) = det(xI − A) =
r=0 α⊆Nn ,|α|=r
n
(−1)r xn−r detA [α|α] .
=
r=0 α⊆Nn ,|α|=r
Nên
xn−1 f (x) = −
detA [α|α] = −tr(A).
α⊆Nn ,|α|=1
Vậy: Bổ đề được chứng minh.
2.1.2. Đặc trưng của biểu diễn
Định nghĩa 2.3. Giả sử ρ : G → GL(V) là một biểu diễn tuyến tính của
G, A là cơ sở bất kỳ của V . Hàm số χρ : G → C xác định bởi công thức:
χρ (x) = tr([ρ(x)])A
được gọi là đặc trưng của biểu diễn ρ.
Nói cách khác, đặc trưng χρ của biểu diễn ρ là tổng các phần tử ma
trận trên đường chéo chính của ρ. χρ được gọi là bất khả quy nếu ρ bất
khả quy.
Bậc của χρ là bậc của ρ (= dimV ).
Khi ρ đã được xác định rõ ta có thể viết tắt χρ là χ.
Ví dụ 2.2.
+ Đặc trưng của biểu diễn tuyến tính 1-chiều chính là biểu diễn đó.
+ Đặc trưng của biểu diễn tầm thường là một hằng số và bằng số chiều
của biểu diễn.
Ví dụ 2.3. Cho ρ = altSn , khi đó:
χρ (x) = sgn(x).
χρ (x) được gọi là đặc trưng thay phiên, thường xuất hiện trong hàm định
thức.
