Chuỗi số và chuỗi lũy thừa (phần 1)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (202.75 KB, 52 trang )
Chương 5:
CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA
Phần 1: CHUỖI SỐ
ĐỊNH NGHĨA
Cho dãy số {an}, định nghĩa dãy số mới
Sn = a1 + a2 + L + an , n ∈ N
∞
{Sn} được gọi là chuỗi số, ký hiệu: ∑ an
n =1
( Nếu {an} bắt đầu từ a0 thì số hạng đầu
của Sn là a0 )
• Sn : tổng riêng thứ n
• an : số hạng tổng quát
ĐỊNH NGHĨA
{Sn} có giới hạn hữu hạn khi n → ∞
∞
⇔ ∑ an hội tụ
n =1
Ngược lại ta nói chuỗi phân kỳ.
Đặt:
∞
∑ an = lim Sn : tổng chuỗi
n =1
n →∞
VÍ DỤ
Khảo sát sự hội tụ và tính tổng nếu có:
∞
1
1/ ∑
n =1 n (n + 1)
1
1
1
Tổng riêng: Sn =
+
+L+
1.2 2.3
n (n + 1)
1 1 1
1
1
= 1− + − +L+ −
2 2 3
n (n + 1)
1
n→∞
= 1−
→1
(n + 1)
∞
1
=1
∑
Vậy chuỗi hội tụ và
n =1 n (n + 1)
∞
1
1
1
Sn = 1 +
+
+L+
2
3
n
n
≥
= n →∞
n
Vậy chuỗi phân kỳ.
n +1
∞
1 1 1
(−1)
n +1 1
Sn = − 2 + 3 − L + (−1)
3/ ∑
n
n
2
2 2n
2
n =1 2
1
1− − ÷
1
1 2
→
=
3
2 1− − 1
÷
2
Vậy chuỗi hội tụ và có tổng là 1/3.
1
2/ ∑
n =1 n
TÍNH CHẤT
∞
∞
n =1
n=p
1 / ∑ an và ∑ an có cùng bản chất (ht/pk)
∞
∞
n =1
n =1
2 / ∑ α an , α≠0, và ∑ an có cùng bản chất
TÍNH CHẤT
∞
∞
n =1
n =1
3 / ∑ an = A, ∑ bn = B
∞
⇒ ∑ (α an + β bn ) = α A + β B
n =1
• Tổng 2 chuỗi hội tụ là hội tụ
• Tổng 1 chuỗi hội tụ và 1 chuỗi phân kỳ là
phân kỳ
Điều kiện cần của sự hội tụ
∞
Nếu chuỗi ∑ an hội tụ thì
n =1
lim an = 0
n →∞
Áp dụng:
Nếu lim an ≠ 0 ( hoặc không tồn tại ) thì
∞
n →∞
∑ an không hội tụ.
n =1
Ví dụ
∞
1/ ∑
n =1 ( −1)
n
n
n −n
lim an = lim
n →∞
∞
n →∞ ( −1)
phân kỳ vì
n
n
n
n −n
= −1 ≠ 0
+ 2
2 / ∑ (−1)
÷
2n − 1
n =1
n 3n
n
3n + 2
n →∞
an =
÷ →+∞
2n − 1
⇒ an →
/ 0 ⇒ chuỗi phân kỳ
Ví dụ
∞
3/ Ks sự hội tụ và tính tổng nếu có: ∑ x n
n =1
n
n
khi x = 1: lim x = lim 1 = 1 ⇒ chuỗi pk
n →∞
n →∞
khi x = – 1: lim x = lim ( −1)
n
n →∞
n
n →∞
không tồn tại ⇒chuỗi pk
n
khi |x| > 1: lim x = ∞ hoặc không tồn tại
n →∞
⇒ chuỗi pk
n
lim
x
=0
khi |x| < 1:
n →∞
n
k
1
2
Sn = ∑ x = x + x + L + x
k =1
x
→
1− x
n
n
1− x
=x
1− x
x
Chuỗi ht và có tổng là
1− x
CHUỖI KHÔNG ÂM.
Cho an ≥ 0, khi đó dãy tổng riêng phần {Sn} là
dãy tăng.
Vậy {Sn} hội tụ ⇔ {Sn} bị chận trên.
Hay:
∞
∑ an hội tụ khi và chỉ khi {Sn} bị chận trên.
n =1
Tiêu chuẩn tích phân Maclaurin - Cauchy
Cho f(x) không âm, liên tục, giảm trên [1,+∞),
khi đó
∞
∫ f ( x )dx
1
∞
và ∑ f (n )
n =1
có cùng bản chất
Chứng minh
n
∫1
2
∫2
f ( x )dx = f ( x )dx + f ( x )dx + L +
n
∫1
∫1
3
n
∫n−1
f ( x )dx
f ( x )dx ≤ f (1) + f (2) + L + f (n − 1) = Sn − f (n )
n
∫1
f ( x )dx ≥ f (2) + L + f (n ) = Sn − f (1)
Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
∞
1
1/ ∑
2
n = 2 n ln n
1
f (x) =
, x ∈ [2, +∞)
2
x ln x
f(x) dương, ltục và giảm nên
∞
∞
1
= ∑ f (n )
∑
2
n = 2 n ln n n = 2
∞
∞
cùng bản chất với
dx
I = f ( x )dx =
=
2
x ln x
∫2
∫2
+∞ dt
∫ln 2 t 2
⇒ h tụ
∞
1
2/ ∑ α
n =1 n
• α ≤ 0 : chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần
• α > 0 : xét hàm số
1
f (x) = α
x
f(x) > 0, liên tục, giảm trên [1, +∞)
∞
∞
∞
1
dx
∑ α cùng bản chất với ∫ f ( x )dx = ∫ α
n =1 n
1
1x
⇒ chuỗi hội tụ khi và chỉ khi α > 1.
∞
1
3/ ∑
n =1 2
f (x) =
∞
∑
n =1 2
1
n
n
1
2
x
, x ∈ [1, +∞) dương, ltục và giảm nên
∞
∫
cùng bản chất với I = f ( x )dx =
1
∞
dx
∫2
1
x
∞
2tdt
I=
=
t
x
2
2
1
1
1
Chọn: g (t ) = 2 , khi đó
t
Đồng thời:
∫
dx
∞
∫
∞
∫
g (t )dt
hội tụ.
1
3
2t 1
2t
lim t : 2 ÷ = lim t = 0
t →+∞ 2 t t →+∞ 2
Theo tiêu chuẩn so sánh của tp suy rộng
thì I hội tụ, do đó chuỗi đã cho hội tụ.
Tiêu chuẩn so sánh
Dạng 1: an, bn ≥ 0, an ≤ Kbn, ∀n ≥ N0
∞
∞
n =1
∞
n =1
∞
∑ bn hội tụ ⇒ ∑ an
hội tụ
∑ an phân kỳ ⇒ ∑ bn
phân kỳ
n =1
n =1
an
Dạng 2: an, bn > 0, K = lim
n →∞ bn
• 0 < K < ∞ : hai chuỗi cùng bản chất
∞
• K = 0 ∑ bn hội tụ ⇒
n =1
∞
∑ an hội tụ
n =1
∞
∞
n =1
n =1
• K = ∞ ∑ bn phân kỳ ⇒ ∑ an phân kỳ
Chuỗi cơ bản
Chuỗi cấp số nhân:
∑
∞
n hội tụ ⇔ |x| < 1
x
1
,
∑x =
1− x
n =0
n
∞
x
∑x =
1− x
n =1
Chuỗi điều hòa:
∞
1
∑ α
n =1 n
hội tụ ⇔ α > 1
n
Ví dụ
∞
1/ ∑
n
e −1
n =1 n + e
n
e −1
n+e
∞
n
2
n2
≤
e
e
∞
n
n
2
=
1
e
n ( n −1)
1
≤ n , ∀n ≥ 1
e
n
1
1
∑ n = ∑ ÷ là chuỗi CSN hội tụ.
n =1 e
n =1 e
Theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi đã cho ht.
Ví dụ
∞
∞
1
2 / ∑ n 1 − cos ÷ = ∑ an
n n =1
n =1
1 1 11
an : n 2 =
khi n → ∞
2n
2n
hay
an
1
n →∞
→ = K
1/ n
2
Chuỗi đã cho cùng bản chất với chuỗi điều hòa
∞
1
∑
n =1 n
nên phân kỳ.
∞
1 n + 3 ∞
2/ ∑
ln
÷ = ∑ an
n − 2 n =1
n =3 n
1
5
1 5
5
an =
ln 1 +
: 3/ 2
÷ :
n n − 2
nn−2 n
khi n → ∞
an
n →∞
→ 5 = K
3/2
1/ n
Chuỗi đã cho cùng bản chất với chuỗi điều hòa
∞
1
∑ 3/2 nên hội tụ
n =3 n
hay
∞
1
3/ ∑
n = 2 ln(n !)
1
1
1
≥
=
ln(n !) ln(n n ) n ln(n )
∞
1
∑
cùng bản chất với
n = 2 n ln(n )
∞
∫
2
dx
=
x ln x
∞
∫
ln 2
dt
t
nên phân kỳ.
Theo tiêu chuẩn ss 1, chuỗi đã cho phân kỳ.
