math.vn
BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN
Bài 1. Đề thi ĐH khối A năm 2010
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và
AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) và SH = a
√
3. Tính thể tích khối chóp
S. CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC
theo a.
NHẬN XÉT VÀ HƯỚNG DẪN TÌM LỜI GIẢI:
Đây là một bài toán tương đối đơn giản và nặng về tính toán.
Khi tiếp cận bài toán này tôi có vài nhận xét sau đây
1 Nếu đi theo hướng không sử dụng hình học giải tích
(HHGT).
(Hình vẽ 1)
 Vì đề bài đã mơi sẵn khoảng cách (k/c) từ đỉnh S xuống
đáy nên hễ muốn tính được thể tích thì một ham muốn rất tự
1
math.vn
nhiên là kiểm soát được diện tích mặt đáy của hình chóp cần
tính thể tích. Mặt đáy ở đây là môt tứ giác thoạt nhìn chả có cái
bỏ mẹ gì đặc biệt (nhòm hình 1 ở trên), tuy nhiên nó lọt tõm vào
hình vuông đáy và phần bù của nó là các tam giác vuông, vậy
nên thay cho việc húc đầu vào tính trực tiếp thì tốt nhất ta chơi
trò tính diện tích hình vuông rồi trừ đi diện tích hai cái tam giác
râu ria kia.
 Chuyện tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau thì
phương pháp cổ điển là đi dựng đoạn vuông góc chung. Tuy
nhiên ở hoàn cảnh này, khi xem hình thì ta bị khiêu khích cái

cảm giác rằng DM nó vuông góc với (SHC) tại H, vậy nên
d(DM, SC) = d(H, SC). Chuyện tính khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng có một cách rất tiện là dùng diện tích, vì
khoảng cách từ H tới SC chẳng qua là độ dài đường cao hạ từ H
của tam giác HCS. Cái tam giác HSC ý nó lại là tam giác vuông
ở H. Thế mới ngon!!
2 Nếu định lắp hệ tọa độ để phang bài này, câu hỏi đầu tiên
là đặt hệ tọa độ vào đâu?
 Theo như những gì tôi đã xúi bẩy ở />showthread.php?t=9112 thì ta cần soi mói xem “có quan hệ vuông
góc nào” ở mặt đáy của chúng ta. Với cái giả thiết có tính“mời
anh xơi” của cái đề thi ĐH này, chẳng khó hiểu gì nếu mà bạn
đi gí luôn gốc tọa độ vào một trong bốn đỉnh của hình vuông
đáy. OK! vậy thì rồi cũng ổn thôi! Có điều là nếu thế tọa độ S
nó sẽ chơi vơi hai cái ẩn x; y là hoành, tung độ của nó. Bây giờ
dán mắt vào cái hình ta "cảm thấy" dường như DM đã vuông
góc với CH tại H. Thêm cái H là chân vuông góc hạ từ S xuống
đáy. Vậy thì còn gì tiện hơn nếu ta gắn mẹ nó gốc tọa độ vào H
2
math.vn
(Hình vẽ 2)
phỏng ạ!? Tuy nhiên :D, đó là việc của bạn, chứ một kẻ bảo thủ
và đại lãn như tôi thì cứ gắn mẹ nó gốc vào D cho nó tàu nhanh.
Cơ mà có một câu hỏi nhỏ thế này nhé! “Cớ sao lại không gắn
vào A, B, C mà lại dí vào D” >:)
 Đã làm theo phương pháp tọa độ, bạn sẽ đối mặt với các
tính toán rất dễ gây nhầm lẫn và dể dẫn đến thương đau về
điểm số nếu bạn cẩu thả. Trên thực tế giảng dạy của cá nhân tôi,
học trò thường mau mắn thụ giáo được chiêu pháp (PPTĐ) này.
Biết cách làm là một việc, còn làm việc đến kết quả là chuyện
khác. Khi học trò của tôi thi thố về biết kết quả và nhận ra mất

điểm vì bài hình, tôi thường xoa đầu nói với giọng trầm buồn
của một linh mục rằng “Không sao em ơi, đời thằng chó nào chả
phải vấp, em chỉ thiếu may mắn thôi, cái chính là em biết làm chỉ
tiếc là nhầm lẫn tính toán thôi” Nhưng thú thiệt, trong bụng tôi
chửi thầm “Đáng đời mày lắm! Con lợn!!” =)) Bạn biết đấy! Người
3
math.vn
ta tuyển các bạn vào ĐH không phải là tuyển thiên tài, mà là
tuyển những con người sau này biết làm việc và làm được nên
việc. Cứ õng à õng ẹo dớ da dớ dẩn thì đừng có ảo tưởng với
cuộc đời khắc bỉ này!
3 Nếu sử dụng vector để tấn công, tôi có vài ý muốn trao
đổi như sau:
(Hình vẽ 3)
 Khi sử dụng phương pháp vector trong các bài toán hình
học không gian, về mặt nguyên tắc bạn cần xác định được điểm
gốc và một hệ cơ sở gồm ba vector không đồng phẳng, sau đó
hùng hục tìm cách biểu diễn các vector đấu điểm liên quan đến
bài toán tới gốc kia theo hệ cơ sở đã chọn. Việc chọn được một
gốc và hệ cơ sở hợp lý, xinh xắn là bí quyết để có một lời giải
bằng vector hiệu quả. Thường thi ba vector lấy làm cơ sở là ba
vector "nào đó" chung gốc (đã chọn) tóe ra từ gốc đó.
4
math.vn
 Phương pháp vector cóthể nói là ngôn ngữ thô của phương
pháp tọa độ. Ví von chẳng hề quá đáng thì phương pháp vector
giống như ngôn ngữ nhị phân còn phương pháp tọa độ tựa hồ
ngôn ngữ Pascal trong lập trình. Về bản chất phương pháp tọa
độ có thể gọi là “phương pháp vector với hệ cơ sở trực chuẩn”,
việc sử dụng hệ tọa độ rất dễ gây sung sướng cho các bài toán

định lượng. Một ngôn ngữ thô hơn như phương pháp vector tất
nhiên sẽ có sự mạnh mẽ hơn phương pháp tọa độ, tuy nhiên sẽ
mệt mỏi vô chừng cho các tính toán định lượng nếu ta gặp bài
toán mà các định lượng hình học dính dáng tới tích có hướng.
Có lẽ bạn nào chưa thông thạo việc vui chơi với tích có hướng
thì nên đọc thêm chút xíu bài giảng của tôi ở h.
vn/showthread.php?t=8824
 Bạn cũng có thể tránh thoát việc bị bối rối vì các phép
tính với tích có hướng bằng cách kiểm soát các chân các đường
vuông góc. Thí dụ nếu bạn định đi tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau là DM và SC, bạn có thể gọi IK là
đường vuông góc chung. Sau đó bạn đấu gốc đã chọn tới hai
điểmI, K và sau đó, công việc mất thời gian chứ không hề khó
là đi biểu diễn các vector đấu đó theo hệ cơ sở đã chọn.
BA LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN TRÊN:
Giải 1
Chúng ta thấy rằng: V
S.CDNM
=
1
3
SH.S
MNDC
;
S
MNDC
= S
ABCD
− S
∆ AMN

− S
∆ MBC
= a
2
−
1
2

a
2

a
2

−
1
2

a
2

a =
5a
2
8
.
Vậy nên là chúng ta có:
5
math.vn
(Hình vẽ 1)

V
S.CDNM
=
1
3
a
√
3.
5a
2
8
=
5
√
3a
3
24
(đơn vị thể tích).
Lại nhận thấy là:
−−→
DM.
−→
CN =
1
2

2
−→
DA −
−→

DC

.
1
2

2
−→
DC −
−→
DA

= DA
2
− DC
2
= 0.
Ấy vậy nên là: CN⊥DM từ đó SC⊥DM do đó:
d(S C; DM) = d(H; SC) =
2S
∆HSC
S C
=
SH.CH
S C
=
SH.CH
√
SH
2

+ CH
2
.
Bây chừ để ý rằng:
CH =
2S
∆CMD
DM
=
2
(
S
ABCD
− S
∆AMD
− S
∆CMB
)
DM
=
2a
2
−
a
2
2
−
a
2
2


a
2
+

a
2

2
=
2a
√
5
5
Thay lên trên ta có khoảng cách cần tính là: d(DM, SC) = 2a

3
19

Giải 2
6
math.vn
(Hình vẽ 2)
Từ D dựng Dz⊥
(
ABCD
)
để có hệ Dxyz như hình vẽ.
Chúng ta có ngay được tọa độ của vài điểm liên quan đến bài
toán:

A
(
a; 0; 0
)
, B
(
a; a; 0
)
, C
(
0; a; 0
)
, M

a;
a
2
; 0

, N

a
2
; 0; 0

.
Bây chừ lại để ý rằng vì H ∈ DM nên
−→
DH = h
−−→

DM
Vậy nên dẫn đến H

ah;
ha
2
; 0

.
Cũng vì H ∈ CN nên
−→
CH = k
−→
CN dẫn đến H

ka
2
;
(
1 − k
)
a; 0

.
Từ đó mà chúng ta thấy: h =
k
2
và 1 − k =
h
2

để có h =
2
5
nói
khác đi H

2a
5
;
a
5
; 0

.
Vì hình chiếu của S xuống mặt đáy là H nên S

2a
5
;
a
5
; a
√
3

.
7
math.vn
Mặt khác thấy rằng:
V

S.CDMN
= V
S.CDM
+ V
S.DMN
.
Mà
V
S.DMN
=



−→
DS

−−→
DM ∧
−→
DN




6
trong khi
−−→
DM ∧
−→
DN =


0; 0; −
a
2
4

nên
V
S.DMN
=




a
√
3.

−
a
2
4





6
=
a

3
√
3
24
.
Lại thấy:
−→
CS =

2a
5
; −
4a
5
; a
√
3

nên
−→
CS ∧
−−→
DM =

−
a
2
√
3
2

; a
2
√
3; a
2

Do vậy mà có được:
V
S.CDM
=



−→
DC

−→
CS ∧
−−→
DM




6
=
a
3
√
3

6
Điều này dẫn đến:
V
S.CDNM
=
5a
3
√
3
24
.
Cuối cùng ta có:
d
(
S C; DM
)
=



−→
DC

−→
CS ∧
−−→
DM








−→
CS ∧
−−→
DM



=
a
3
√
3





−
a
2
√
3
2

2
+


a
2
√
3

2
+
(
a
2
)
2
8
math.vn
Rút gọn các tính toán ta có được: d
(
S C; DM
)
= 2a

3
19

Giải 3
(Hình vẽ 3)
Chúng ta thấy rằng:
−−→
DM.
−→

CN =

−→
DA −
1
2
−→
AB

1
2
−→
DA −
−→
DC

< i >
Tuy nhiên để ý là:
−→
AB =
−→
DC.
Trong khi đó thì:



−→
DA




=



−→
DC



;
−→
DC
−→
DA = 0.
Do vậy từ < i > sẽ có:
−−→
DM.
−→
CN = 0.
Nói khác đi có ba vector đôi một có phương vuông góc, và cũng
để ý thêm nữa là chúng được đặt theo thứ tự tam diện thuận
9
math.vn
< ii >. Đó là:
−→
η =
−→
HC;
−→

θ =
−−→
HM;
−→
ζ =
−→
HS
Bây giờ lại nhận thấy:
HC = a cos

DCH
Và bởi vì:
tan

DCH =
DN
DC
=
1
2
Thế nên chúng ta có:
CH = a

4
5
; HM = DM − DH
trong khi
CN = DM =

a

2
+

a
2

2
; DH =
√
DC
2
− CH
2
=

a
2
−
4a
2
5
vậy nên
HM =
3a
√
5
10
.
Vì vậy mà chúng ta có:
V

S.CDNM
=




−→
NC ∧
−−→
DM

−→
HS



6
=



(
−→
η ∧
−→
θ )
−→
ζ





CN.DM
6CH. HM

=
25
72



(
−→
η ∧
−→
θ )
−→
ζ



< iii > .
Mặt khác do < ii > nên
−→
η ∧
−→
θ cùng hướng với
−→
ζ kết hợp
thêm < i > thì:

−→
η ∧
−→
θ =


−→
η





−→
θ






−→
ζ



−→
ζ .
Bởi thế nên:




(
−→
η ∧
−→
θ )
−→
ζ



=


−→
η





−→
θ







−→
ζ



=
3a
3
√
3
5
Nếu đem thay lên < iii > sẽ dẫn đến:
V
S.CDNM
=
5a
3
√
3
24
.
Lại bởi vì:
10
math.vn
d
(
S C; DM
)
=





−→
S C ∧
−−→
HM

−→
HS






−→
S C ∧
−−→
HM



Thêm nữa là:
−→
S C ∧
−−→
HM =

−→

η −
−→
ζ

∧
−→
θ =
−→
η ∧
−→
θ +
−→
θ ∧
−→
ζ
=


−→
η





−→
θ







−→
ζ



−→
ζ +



−→
θ






−→
ζ





−→
η



−→
η
Vì thế mà:




−→
S C ∧
−−→
HM

−→
HS



=


−→
η





−→

θ






−→
ζ



=
3a
3
√
3
5
Và để ý thêm rằng:



−→
S C ∧
−−→
HM



=





−→
η





−→
θ




2
+




−→
θ







−→
ζ




2
=



−→
θ







−→
ζ



2
+



−→
η


2
=
3a
√
5
10





a

4
5

2
+

a
√
3

2
=
3a

2
√
19
10
.
Thay lên để có kết quả cuối cùng: d
(
S C; DM
)
= 2a

3
19

11