Hoàng Ngọc Phú Page 1

DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẰNG
THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY

1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường :
a. y = x
4
– x
2
và trục Ox b. y = x(x - 3)
2
và trục Ox c. y = x
3
– 3x + 1 và y = 3
d. y =
x
; y = 2 – x và trục Ox e. y =
34
2
 xx
và y = 4x + 3
f. y = (e + 1)x và y =
 
xe
x
1
g.
4
4
2

x
y 
và
24
2
x
y 

h.
x
x
y
ln1

; y = 0 và hai đường thẳng x = 1, x = e.
i.
12
56
2



x
xx
y
và trục Ox k. Trục Ox và hai đường x – y
3
+1 = 0 ; x + y – 1 = 0
l.
 

1
1ln
2
22


x
xx
; trục tung; trục hoành và đường thẳng
1 ex

m. y
2
= 4x và y = 2x – 4
n. y = x
2
– 4x + 5(P) và hai tiếp tuyến của (P) tại A(1;2), B(4 ;5)
o.
 
34
2
1
2
 xxy
(P) và hai tiếp tuyến của (P) xuất phát từ M(3;-2)
p.
1
x
ey
; trục hoành và hai đường thẳng x = ln3, x = ln8

q.
1
22
2



x
xx
y
; đường tiệm cận xiên của nó ; trục hoành và đường thẳng x = e – 1.
r. y = x
3
-3x
2
+4x và tiếp tuyến của nó tại gốc tọa độ.
2. Cho Parabol (P) : y = x
2
- 6x +5
a. Viết phương trình các đường tiếp tuyến của (P) tại các giao điểm của (P) với trục Ox.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (P) và các tiếp tuyến ở câu a.
3. Cho Parabol (P) : y
2
= 4x
a. Viết phương trình đường tiếp tuyến của (P) tại điểm có tung độ bằng 4.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: (P); trục Ox và tiếp tuyến ở câu a
4. Cho đường cong (C) :
1
12




x
x
y
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường : (C) ; Ox ;Oy.
Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
5. Cho đường cong (C) : y = x
4
– x
2
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox. Tính thể
tích hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Hoàng Ngọc Phú Page 2

6. Cho hình (H) được giới hạn bởi các đường y = 2x – x và y = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo
thành khi quay (H) quanh :
a. Trục Ox b. Trục Oy
7. Cho hình (H) được giới hạn bởi các đường y = xe
x
; x =2 và y = 0. Tính thể tích khối tròn xoay
tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox.
8. Cho hình (H) được giới hạn bởi các đường y = lnx

; x = e và y = 0. Tính thể tích khối tròn xoay
tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox.
9. Cho hình (H) được giới hạn bởi các đường x
2
+ y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể tích khối tròn
xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox.

10. Cho hình (H) được giới hạn bởi các đường y = 3 – x
2
; trục tung và đường thẳng y = 1. Tính
thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Oy.
11. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình tròn tâm I(2 ;0) bán kính R = 1 quanh
trục Oy.
12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
2
y x 4x 3  
và y = x+3.

13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
2
x
y4
4

và
2
x
y
42

.
14. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C):
31
1
x
y
x




và hai trục toạ độ .
15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
 
 
x
y e 1 x, y 1 e x   
.
16. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường
y xlnx
,
y 0, y e
. Tính thể tích của khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
17. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
 
2
1
0 à
1



xx
y v y
x
.
18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

22
à2  y x v y x
.
19. Tính diện tích hình phẳng gh bởi các đường có phương trình:
2
2; , 1, 0y x y x x x     
.
20. a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình
2
4yx  

và
2
30xy

b. Tính diện tích hình phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường
, 0, 1, 2
x
y xe y x x    

c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường Parabol
2
4y x x
và các đường tiếp
tuyến với Parabol này, biết rằng các tiếp tuyến đó đi qua điểm
5
;6
2
M




.
d. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
2 sinyx
và
2
1 cosyx

với
 
0 ; x


.
e. Cho a > 0, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình:
Hoàng Ngọc Phú Page 3

22
4
23
1
x ax a
y
a



và
2

4
1
a ax
y
a



. Tìm giá trị của a để diện tích trên đạt giá trị lớn nhất.
f. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
2
2
,
8
x
y x y
và
27
y
x

.
g. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
2
5 , 0, 0
x
y y x

  
và

3yx
.
h. Gọi (D) là miền được giới hạn bởi các đường:
2
3 10; 1; ( 0)y x y y x x     

Và (D) nằm ngoài parabol
2
yx
. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo nên khi (D) quay
xung quanh trục Ox.
i. Tính thể tích của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình giới hạn bởi các
đường:
2
; ; 0; 2.
xx
y e y e x x

   

k. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
2
2 ; 2y x x y x   
.
l. Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường
, 2 , 0.y x y x y   
Tính diện tích của
miền D và thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi ta quay (D) quanh trục Oy.
m. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2

1yx
và
5yx
trong mặt
phẳng toạ độ Oxy.
n. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
43y x x  
và y = 3 trong mặt
phẳng toạ độ Oxy.
o. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x = 1, x = e, y = 0 và
1 ln x
y
x


.
p. Parabol
2
2yx
chia hình phẳng giới hạn bởi đường tròn
22
8xy
thành hai phần.
Tính diện tích mỗi phần.
q. Cho Parabol
2
y ax bx c  
với
0a 

. Gọi (d) là tiếp tuyến với parabol tại điểm có
hoành độ
0
0x 
. Chứng minh rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol, đường thẳng (d)
và trục Oy có diện tích là:
3
0
1
3
S ax
.
r. Trong mặt phẳng Oxy, hãy tính diện tích S của miền giới hạn bởi các đường:
, ln , 0, 1,
x
y e y x x x y a    

với a < 0.
s. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
22
,4y x y x
và y = 4.
t. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
2
4 3; 3y x x y   
trong mặt
phẳng toạ độ Oxy.
u. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
; ; 1
xx

y e y e x

  

21. a. Tính diện tích hình phẳng gh bởi các đường:
22
11
; ; ;
63
sin cos
y y x x
xx

   

b. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường
 
2
2yx
và y = 4. Tính thể tích của vật
thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (D) khi nó quay quanh: trục Ox và trục Oy.
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
Hoàng Ngọc Phú Page 4

2
3 12
1 2sin ; 1 ;
22
xx
y y x



    

d. Tính diện tích hình phẳng gh bởi các đường có pt:
; 2 0; 0x y x y y    

e. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C), trục hoành Ox và các đường
thẳng
1, 1xx  
.
f. (CPB) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
22
2 2; 4 5; 1y x x y x x y      

g. Cho hình phẳng (G) giới hạn bởi các đường
22
4 ; 2y x y x   
. Quay hình phẳng
(G) quanh trục Ox ta được một vật thể. Tính thể tích vật thể này.
h. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
1 ; 0y x y  
.
i. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
2
2yx
và
2
xy


k. Trong mặt phẳng xOy, hãy tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: trục
Ox, x= -2, x= 2,y = x(x + 1)(x - 2).
l. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường:
 
2
1 ; siny x x y

  
và y =
0, với
 
01y
.
m. Tính thể tích khối tròn xoay do quay quanh trục Oy phần mạt phẳng hữu hạn được giới
hạn bởi hai trục toạ độ, đường thẳng x=1 và đường cong
2
1
1
y
x


.
n. Tính thể tích khối tròn xoay do quay quanh trục Ox phần mạt phẳng hữu hạn được giới
hạn bởi hai trục toạ độ, đường thẳng x = 1 và đường cong y = 1 + x
3
.
o. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường:
3

2
;
3
x
y y x
khi hình phẳng đó quay quanh trục Ox.
p. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
2
2
;
8
x
y x y
và
8
y
x

.
22. a. Tính diện tích của miền kín giới hạn bởi đường cong (C):
2
1y x x
, trục Ox và
đường thẳng x = 1.
b. Cho (H) là miền kín giới hạn bởi đường cong (L):
3
ln(1 )y x x
, trục Ox và đường
thẳng x = 1. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra khi cho (H) quay quanh trục Ox.
c. Tính diện tích tam giác cong giới hạn bởi các đường:

 
5
1 ; ; 1
x
y x y e x   

d. Tính diện tích tam giác cong giới hạn bởi các đường:
ln
1; ; 0;
2
x
x x e y y
x
   

e. Cho D là miền phẳng bị giới hạn bởi các đường cong:
2
1
1
y
x


và
2
2
x
y 
. Tính diện
tích miền D và thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi cho D quay quanh trục Ox.

f. Cho miền phẳng D bị giới hạn bởi các đường:
3
tan ; 0; ; .
44
y x y x x

    
Tính
diện tích miền D và thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi cho D quay quanh trục Ox.
g. Tính diện tích của hình phẳng gh bởi các đường:
( ); 0; 0; 2.y f x y x x   

Hoàng Ngọc Phú Page 5

h. Cho hình D giới hạn bởi các đường:
sin cos ; 0; 0;
22
x
y x y x x

   
. Hãy tính thể
tích của vật thể tròn xoay được tạo nên khi cho D quay quanh trục Ox.
i. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn Oxy, cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các
đường:
; ; 5y x y x x  
.
k. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay quanh trục Ox hình phẳng hữu hạn
bởi các parabol:
22

4 6; 2 6y x x y x x      
.
l. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
2
33
22
y x x  
và
yx
.
m. Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường:
2
2yx
và
yx
.
o. Tính thể tích hình elipxôit tròn xoay sinh ra bởi hình elíp
22
22
1
xy
ba

khi nó quay
quanh trục Ox.
23. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
y x 4x 3, x 0, x 3
và Ox.
24. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

32
y x 11x 6, y 6x
,
x 0, x 2
.
25. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
32
y x 11x 6, y 6x
.
26. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
3
y x , y 4x
.
27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
y x 4 x 3
và trục hoành.
28. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
y x 4x 3
và
y x 3
.
29. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
y x 1 , y x 5
.
30. Tính thể tích hình cầu do hình tròn
2 2 2
(C) : x y R

quay quanh Ox.
31. Tính thể tích hình khối do ellipse
22
22
xy
(E) : 1
ab
quay quanh Oy.
32. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
yx
,
2
yx
quay quanh
Ox.
33. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
x y 5
,
x 3 y
quay
quanh Oy.
34. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a. x=1; x=e; y=0 và y=
1 ln x
x

b. y=2
x

; y=3x và x=0
c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=
3

.
35. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x
3
2x
2
+4x3 (C) và tiếp tuyến với
đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
36. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0.
a. Tính diện tích hình phẳng D.
b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.
37. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y
2
=x
3
và y=0,
x=1 khi nó quay quanh:
a. Trục Ox. b. Trục Oy.
Hoàng Ngọc Phú Page 6

38. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C):
 
1
13




x
x
xf
và hai trục tọa độ
39. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (C
1
):
   
xexf 1
, (C
2
):
 
 
xexg
x
1

40. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C):
34
2
 xxy
và d: y = 3
41. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y
2
= 4x và d: y = 2x – 4.
42. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay miền (D) giới hạn bởi (C): y = lnx, y = 0, y =
2 quay quanh trục Ox.
43. Tính S:
   

 
axyPayxP 
2
2
2
1
:;:

44. Tính S:
   
 
0:;02:
2
1
 yxDxyyC

45. Tính S:
   
 
0:;022:;2:
2
 yOxyxDxyP

46. Tính S:
 
 
 










3
7
:;78
3
1
:
2
x
x
yHxxyP

47. Cho
   
 
8:;2:
222
 yxCxyP
. (P) chia (C) thành 2 phần. Tìm tỉ số diện tích của 2 phần
đó.
48. Tính S:
   
 
3:;34:
2

 xyDxxyP

49. Tính S:
   







2
:)(;
12
1:;
2
3
sin21:
2
2
1


xD
x
yC
x
yC

50. Tính S:

   







x
yH
x
yPxyP
27
:)(;
27
:;:
2
2
2
1

51. Tính S:
   








x
yH
x
yH
x
yPxyP
8
:)(;
2
:)(;
4
:;:
21
2
2
2
1

52. Tính S:
     
 
3
22
4:;4: xyCxyP 

53. Tính S:
     
 
3
22

1827:;2:  xyCxyP

54. Tính diện tích hình elip giới hạn bởi (E) :
1
2
2
2
2

b
y
a
x

55. Tính S:
 
 
yxxyy

sin;1;10
2


56. Tìm V
x
sinh bởi S:
    
2:;0:;ln:  xyOxxyC
quay quanh Ox
57. Tìm V

x
sinh bởi S:
 
 
 
1;0;1ln:
3
 xyxxyL
quay quanh Ox
58. Cho S:
 








 0;0;1:)(;
1
1
:
2
xyxD
x
yC
. Tính V
y
khi S quay quanh Oy.

59. Cho S:
 
baabyx  0;
2
2
2
.
Hoàng Ngọc Phú Page 7

a. Tìm V
x
khi S quay quanh Ox b. Tìm V
y
khi S quay quanh Oy
60. Cho S là diện tích của (E) :
 
1
164
4
2
2

 yx

a. Tìm V
x
khi S quay quanh Ox b. Tìm V
y
khi S quay quanh Oy
61. Cho S:






0:
2:)(
2
yOx
xxyP
. a. Tìm V
x
khi S quay quanh Ox b. Tìm V
y
khi S quay quanh Oy
62. Tìm V
x
khi S quay quanh S:







2
;0;0;cossin
66

xxyxxy

quanh Ox.
63. Cho S:
 








1:)(
103:)(
0:)(
2
1
2
yD
xyD
xxyP
. a. Tìm V
x
khi S quay quanh Ox b. Tìm V
y
khi S quay
quanh Oy
64. Cho S là diện tích của (E) :
 
ab
b

y
a
x
 01
2
2
2
2

a. Tìm V
x
khi S quay quanh Ox b. Tìm V
y
khi S quay quanh Oy
65. Cho S:
 
 
2:)(;4:
2
2
2
1
 xyPxyP
. Tính V
y
khi S quay quanh Ox.
66. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi cho hình tròn tâm I(2,0) bán kính R = 1 quay quanh
trục Oy.
67. Cho S:
 

 
42:)(;2:
2
 xyDxyP
. Tìm V
x
khi S quay quanh Ox.
68. Cho S:
   







x
yH
x
yPxyP
27
:)(;
27
:;:
2
2
2
1
. Tìm V
x

khi S quay quanh Ox.
69. Cho S:
 
 
0;2:)(;:  yxyDxyC
. Tìm V
y
khi S quay quanh Oy.
70. Cho
1
416
:)(
22

yx
H
và (D) là tiếp tuyến của (H) đi qua A(2,-1) với hệ số góc dương. Tính
thể tích khối tròn xoay tạo bởi miền phẳng giới hạn bởi (H), (D) và trục Ox khi quay quanh trục
Oy.
71. Cho S:
   
 
4:)(;2:
2
 yDxyC
.
a. Tìm V
x
khi S quay quanh Ox b. Tìm V
y

khi S quay quanh Oy
72. Cho S:
       






 4:)(;23
2
:;0
4
:
2
2
2
1
xDyy
y
xPy
y
xP
.
a. Tính S b. Tìm V
x
khi S quay quanh Ox
73. Cho S:
 








2
3
:)(;
3
: xyP
x
yC
. Tìm V
x
khi S quay quanh Ox
Hoàng Ngọc Phú Page 8

74. Cho S:
   
 
xyPxyC 4:)(;4:
2
3
2

.
a. Tìm V
x
khi S quay quanh Ox b. Tìm V

y
khi S quay quanh Oy
75. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi (P): y = x
2
– 2x + 2 và các tiếp tuyến của (P) qua
A(2,-2)