BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
TRẦN THỊ TRANG QUYÊN
TÍNH TIẾT DIỆN CỦA TÁN XẠ MOLLER
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Hà Nội, năm 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
TRẦN THỊ TRANG QUYÊN
TÍNH TIẾT DIỆN CỦA TÁN XẠ MOLLER
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết
NGƯỜI HƯỚNG DẪN
TS. NGUYỄN HUY THẢO
Hà Nội, năm 2015
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan những nội dung trong khóa luận này là thành quả nghiên cứu
của riêng tôi, không trùng lặp kết quả với bất cứ một đề tài nào khác.
Kí tên
Trần Thị Trang Quyên
iii
Lời cảm ơn
Đầu tiên, tôi xin gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy
giáo TS. Nguyễn Huy Thảo vì thầy đã tận tình hướng dẫn, chia sẻ những
kinh nghiệm quý báu để tôi có thể dễ dàng tiếp thu và hoàn thành khóa luận này.
Xin cảm ơn quí thầy, cô trong hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp
đã nhận xét, đóng góp về nội dung, hình thức trong khóa luận của tôi.
Tôi xin cảm ơn Khoa Vật lí - Trường đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa luận này.
Chân thành cảm ơn các bạn trong cùng nhóm với tôi đã cùng tôi trao
đổi những kiến thức đã học và các vấn đề khác liên quan đến đề tài của tôi.

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn các thành viên trong gia đình của
tôi, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa luận này.
Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2015
Trần Thị Trang Quyên
i
Mục lục
Lời mở đầu 1
1 Ma trận tán xạ 3
1.1 Trường Spinor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Cách xác định phần đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Tương tác không chứa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Tương tác có chứa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Quy tắc Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Đường ngoài - hạt thật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Hàm truyền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Đỉnh tương tác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Hệ số đối xứng của giản đồ S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Tiết diện tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Tiết diện tán xạ Moller 18
2.1 Tính biên độ tán xạ theo kênh t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Tính biên độ ánh xạ theo kênh u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Tính tiết diện tán xạ toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Kết quả thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Kết luận 27
ii
LỜI MỞ ĐẦU
Vật lí học hiện đại dựa trên 2 thuyết lớn: thuyết tương đối của Anh-xtanh và thuyết
lượng tử. Chúng đều là những thành tựu của các nhà khoa học thề kỉ 20, đã và đang
là mũi nhọn của Vật lí hiện đại. Trong đó, lý thuyết tán xạ đã đạt được những thành
công vang dội trong việc giải thích các hiện tượng xung quanh ta. Tất cả các tính chất

riêng biệt của các hạt vĩ mô tạo nên các hạt vật chất như là: điện tử, proton, neutron,
chỉ có thể mô tả bằng lí thuyết lượng tử.
Lí thuyết lượng tử đầy đủ cần phải kể tới lí thuyết trường lượng tử. Lí thuyết trường
lượng tử là thuyết về các tương tác của các hạt cơ bản trong tự nhiên. Lí thuyết hướng
đến việc mô tả và giải quyết tận gốc quá trình tương tác ấy. Việc nghiên cứu tương
tác của các hạt cơ bản sẽ là tiền phương vững chắc của tri thức nhân loại về thế giới
siêu nhỏ và thế giới siêu vĩ mô.
Một trong các bài toán cơ bản của lí thuyết trường - bài toán tán xạ luông là thách
thức cho những ai mới tìm hiểu nó. Đó cũng là lí do tôi lựa chọn đề tài Tính tiết
diện của tán xạ Moller làm khóa luận tốt nghiệp của mình.
1
MỤC LỤC
• Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về tán xạ Moller dựa trên những nội dung cơ bản của lí thuyết trường
lượng tử.
• Nhiệm vụ
Xác định phần đỉnh và tính tiết diện của tán xạ Moller.
• Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp Vật lí lí thuyết và phương pháp Vật lí toán.
• Đối tượng nghiên cứu
Bài toán tán xạ
2
Chương 1
Ma trận tán xạ
1.1 Trường Spinor
Trường này mô tả chung cho các fermion. Đây là các trường vật chất. Các trường này
thỏa mãn phương trình Dirac thu được từ tuyến tính hóa phương trình Klein-Gordon
∂
2
+ m

2
= (iγ
µ
∂
∂x
µ
+ m)(−iγ
v
∂
∂x
v
+ m)
trong đó γ
µ
là các ma trận Dirac tuân theo hệ thức
γ
µ
γ
µ
+ γ
v
γ
v
= 2g
µv
(1.1)
Người ta đưa thêm vào ma trận γ
5
có tính chất sau:
γ

5
≡ iγ
0
γ
1
γ
2
γ
3
= −
i
4!
ε
µvαβ
γ
µ
γ
v
γ
α
γ
β
; {γ
5
, γ
µ
} = 0, γ
2
5
= 1. (1.2)

Ma trận Dirac có những tính chất sau: các ma trận Dirac được xác định chính xác đến
một phép biến đổi unita
γ
k
→ O
k
γ
O
−1
trong đó O là một ma trận unita bất kì có nghịch đảo. Liên hiệp Dirac của ma trận
Dirac bất kì A được định nghĩa như sau:
A ≡ γ
0
A
+
γ
0
. (1.3)
Từ (1.3) ta có:
γ
µ
= γ
µ
, γ
5
= −γ
5
,γ
µ
γ

v
γ
α
= γ
α
γ
v
γ
µ
γ
µ
γ
v
γ
λ
γ
5
γ
α
= γ
α
(−γ
5
)γ
λ
γ
v
γ
µ
γ

+k
= g
kn
γ
n
= γ
k
(k = 0, 1, 2, 3, 5) (1.4)
Ta có thể thấy rằng:
(i) ψγ
5
ψ biến đổi như đại lượng giả vô hướng.
(ii) ψγ
5
γ
µ
ψ biến đổi như đại lượng giả vector.
3
Chương 1. Ma trận tán xạ
Chính vì điều này mà trong Lagrangian ta phải chèn γ
5
vào giữa khi xây dựng tương
tác với hạt giả vô hướng π meson.
Để cho cụ thể ta chọn biểu diễn của các ma trận Dirac trong đó γ
0
là chéo
γ
0
=


I 0
0 −I

, γ
i
=

0 σ
i
−σ
i
0

, γ
5
=

0 −I
−I 0

, (1.5)
trong đó I là ma trận đơn vị 2 × 2, còn σ là ma trận Pauli. Vết của số lẻ các ma trận
Dirac bằng không. Thật vậy, tính chất vòng của vết, kết hợp với tính phản giao hoán
của ma trận γ
5
, với các ma trận γ
µ
cho ta
T r(γ
n

1
γ
n
2
γ
n
2n+1
) = T r(γ
n
1
γ
n
2
γ
n
2n+1
γ
5
γ
5
)
= T r(γ
5
γ
n
1
γ
n
2
γ

n
2n+1
γ
5
)
= T r(−γ
n
1
γ
n
2
γ
n
2n+1
γ
5
γ
5
)
= −T r(γ
n
1
γ
n
2
γ
n
2n+1
). (1.6)
Từ (1.6) ta thấy

T r(γ
n
1
γ
n
2
γ
n
2n+1
) = 0.
Một số công thức thông dụng khác
T r(γ
µ
γ
v
) = 4g
µv
,
T r(γ
µ
γ
v
γ
α
γ
β
) = 4(g
µv
+ g
µβ

g
vα
− g
µα
g
vβ
),
T r(γ
5
γ
µ
γ
v
γ
α
γ
β
) = −4iε
µvαβ
.
Ta sẽ sử dụng kí hiệu sau
/
k ≡ k
µ
γ
µ
. Khi đó
T r(
/
k

/
p) = 4k.p
T r(
/
kγ
µ
/
pγ
v
) = 4(k
µ
p
v
+ k
v
p
µ
− g
µv
k.p) (1.7)
Ta có thể đòi hỏi
(iγ
µ
∂
∂x
µ
+ m)ψ(x) = 0
(iγ
µ
∂

∂x
µ
− m)ψ(x) = 0. (1.8)
Ta chọn phương trình (1.8) Lagrangian tự do của trường Spinor với khối lượng m có
dạng
£
D
0
=
i
2
[ψ(x)γ
µ
∂
µ
ψ(x) −∂
µ
ψ(x)γ
µ
ψ(x)] −mψ(x)ψ(x) (1.9)
trong đó ψ(x) ≡ ψ
+
(x)γ
0
gọi là liên hợp Dirac. Trong thực tế, ngưới ta thường sử dụng
Lagrangian tự do sau
£
D
0
= iψ

α
(x)(γ
µ
)
β
α
∂
µ
ψ
µ
(x) −mψ
α
(x)ψ
α
(x) = iψ(x)γ
µ
∂
µ
ψ(x) −mψ(x)ψ(x) (1.10)
trong đó ta đã lưu ý đến việc các trường Spinor ψ có chỉ số Dirac α. Phương trình
chuyển động Euler-Lagrange có dạng (1.8) và
ψ(x)(iγ
µ
←−
∂
µ
+ m) = 0, (1.11)
4
Chương 1. Ma trận tán xạ
trong đó

ψ(x)
←−
∂
µ
= ∂
µ
ψ(x).
Dễ dàng thu được hàm truyền của trường Dirac
∆
D
F
(k) =
i
/
k − i + iε
=
i(
/
k + m)
k
2
− m
2
+ iε
. (1.12)
Hàm sóng thỏa mãn phương trình Dirac (1.8) có dạng
ψ(x) =

dk


(2π)
3
2k
0

±s
[a(k, s)u(k, s)e
−ikx
+ b
+
(k, s)v(k, s)e
ikx
],
ψ(x) =

dk

(2π)
3
2k
0

[b (k, s) v (k, s) e
−ikx
+ a
+
(k, s) u (k, s) e
ikx
].
Trong đó, u, v là các spinor Dirac thỏa mãn phương trình

u(k, ±s)(
/
k − m) = 0,(
/
k − m)u(k, ±s) = 0
v(k, ±s)(
/
k + m) = 0,(
/
k + m)v(k, ±s) = 0. (1.13)
Toán tử a
+
(k, s) và a(k, s) tương ứng là toán tử sinh và hủy hạt với xung lượng k và
phân cực s. Còn b
+
(k, s) và b(k, s) tương ứng là toán tử sinh và hủy phản hạt với xung
lượng k và phân cực s. Các toán tử trên thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán sau
{a(k, s), a
+
(q, s

)} = δ
s.s

δ(k −q),
{b(k, s), b
+
(q, s

)} = δ

s.s

δ(k −q),
{a(k, s), a(q, s

)} = {a
+
(k, s), a
+
(q, s

)} = 0,
{b(k, s), a(q, s

)} = {b
+
(k, s), b
+
(q, s

)} = 0,
{a(k, s), b(q, s

)} = {a
+
(k, s), b
+
(q, s

)} = 0,

{a(k, s), b
+
(q, s

)} = {a
+
(k, s), b(q, s

)} = 0. (1.14)
Từ (1.13) suy ra ψ(x) mô tả sự hủy hạt hoặc sinh phản hạt tại điểm x còn ψ(x) mô
tả sự sinh hạt hoặc hủy phản hạt (hình 1.1).
Hình 1.1: Hàm sóng của trường spinor và sự hủy hạt
Từ phương trình Dirac, ta có
(−iγ
i
∂
i
+ m)ψ(x) = iγ
0
∂ψ(x)
∂t
= iγ
0
ψ(x). (1.15)
Do vậy Lagrangian có dạng
£
D
0
= −iψ
+

(x)ψ(x) + (1.16)
5
Chương 1. Ma trận tán xạ
trong đó là các số hạng không chứa ψ(x). Nếu coi ψ(x) như một tọa độ tổng quát
thì xung lượng tương ứng là
P
α
(x) =
∂£
D
0
∂ψ
α
(x)
= −iψ
+α
(x). (1.17)
Do vậy ta có hệ thức phản giao hoán
{ψ
α
(t, x), P
β
(t, x

)} = iδ
3
(t, x −x

)δ
αβ

,
{ψ(t, x)ψ
+β
(t, x

)} = δ
3
(x −x

)δ
β
α
,
{ψ
α
(t, x), ψ
β
(t, x

)} = {ψ
+α
(t, x), ψ
+β
(t, x

)} = 0. (1.18)
Dựa vào các phản giao hoán tử (1.14) ta có hệ thức phản giao hoán sau


ψ

+
(t, x) Γψ (t, x

) d
3
x

, ψ
α
(t, x

)

= −(Γψ (t, x))
α
, (1.19)


ψ
+
(t, x

) Γψ (t, x

) d
3
x,

ψ
+

(t, x

) Γ

(t, x

) d
3
x


=

ψ
+
(t, x) [Γ, Γ

] ψ (t, x) d
3
x
(1.20)
trong đó Γ là các ma trận dạng γ
µ
, γ
5
γ
µ
, Bằng việc chọn pha thích hợp ta có các hệ
thức tiện lợi sau
v(k, s) = −γ

2
u
∗
(k, s),u(k, s) = −γ
2
v
∗
(k, s),
γ
0
u(k, s) = u(−k, −s),γ
0
v(k, s) = −v(−k, −s),
ρ
2
u
∗
(k, s) = e
iω(p,s)
u(−k, s),ρ
2
v
∗
(k, s) = e
−iω(−p,s)
v(−k, s), (1.21)
trong đó
e
iω(p,s)
= −e

iω(−p,s)
, ρ
2
=

−→
σ 0
0
−→
σ

.
1.2 Cách xác định phần đỉnh
Như trên chúng ta đã đưa ra, để xác định được ma trận tán xạ, điều kiện quan trọng
trước hết chúng ta phải xác định được tương tác giữa các trường, tức là £
int
(x). Tuy
nhiên, để xác định được biên độ tán xạ, ngoài Lagrangian tương tác, chúng ta còn phải
xác định các hàm đỉnh.
Lagrangian của một hệ bao gồm hai phần: Lagrangian tự do chứa các số hạng bậc
hai theo toán tử trường, Lagrangian tương tác chứa từ số hạng bậc ba trở lên theo các
toán tử trường. Tuy nhiên, do giới hạn về điều kiện tái chuẩn hóa, Lagrangian không
được chứa bậc cao hơn bốn theo toán tử trường. Để xác định các hàm đỉnh tương tác,
chúng ta sẽ sử dụng phương pháp bóc vỏ (skin peeling method).
1.2.1 Tương tác không chứa đạo hàm
Trong điện động lực học lượng tử, spinor Lagrangian có dạng
£
QED
int
= eψ(x)γ

µ
ψ(x)A
µ
(x)
= eψ(x)
η
(γ
v
)
v
η
ψ
λ
(x)A
v
(x) (1.22)
6
Chương 1. Ma trận tán xạ
Trong Lagrangian tương tác chứa ba toán tử trường, nên ta phải bóc vỏ (lấy đạo hàm)
ba lần theo các toán tử trường. Mỗi lần lấy đạo hàm ta sẽ có thêm một đường tương
ứng trong phần đỉnh.
Cụ thể để có đường fermion ra với chỉ số α,
ta lấy đạo hàm
∂£
QED
int
∂ψ
α
= eδ
η

α
(γ
v
)
λ
η
ψ
λ
(x)A
v
(x)
= e(γ
µ
)
λ
α
ψ
λ
(x)A
v
(x).
Để có đường fermion vào với chỉ số β
ta lấy tiếp đạo hàm
∂
2
£
QED
int
∂ψ
β

ψ
α
= e(γ
v
)
λ
α
δ
β
λ
A
v
(x)
= e(γ
v
)
β
α
A
v
(x) (1.23)
Để có thêm đường photon với chỉ số µ
ta lấy tiếp đạo hàm
∂
3
L
QED
int
∂A
µ

∂ψ
β
∂ψ
α
= e(γ
v
)
β
α
δ
v
µ
= e(γ
µ
)
β
α
(1.24)
7
Chương 1. Ma trận tán xạ
Tóm lại đỉnh tương tác photon - spinor(ψ)- spinor(ψ) sẽ ứng với các yếu tố sau của
giản đồ
1.2.2 Tương tác có chứa đạo hàm
Trong không gian xung lượng đạo hàm ∂
µ
ứng với −ik
µ
. Vì vậy trong trường hợp tương
tác chứa đạo hàm, ta chuyển sang không gian xung lượng. Khi đó biến đổi Fourier của
các toán tử trường:

ϕ(x) = N
ϕ

d
4
ke
−ikx
ϕ(k),
ϕ
∗
(x) = N
ϕ

d
4
ke
ikx
ϕ
∗
(k),
W
−
µ
(x) = N
W

d
4
ke
−ikx

W
−
µ
(k). (1.25)
Ta quy ước rằng, đối với ϕ(x), exponent với (−ikx) và xung lượng đi vào, còn ϕ
∗
(x)
ứng với (ikx) và xung lượng đi ra.
Xét trường hợp cụ thể: tương tác của trường vô hướng phức có điện tích e với photon
có tác dụng như sau:
S
SQED
=

d
4
x£
QED
int
(x) = ie

d
4
x[∂
µ
ϕ
∗
(x)ϕ(x) −ϕ
∗
(x)∂

µ
ϕ(x)]A
µ
(x) (1.26)
Chuyển sang không gian xung lượng ta có
S
SQED
int
= ieN
2
ϕ
N
A

d
4
xd
4
p
1
d
4
p
2
d
4
q
× e
−ix(p
1

+q−p
2
)
[ip
2
µ
ϕ
∗
(p
2
)ϕ(p
1
) + ip
1
µ
ϕ
∗
(p
2
)ϕ(p
1
)]A
µ
(q)
≡ N
2
ϕ
N
A


d
4
p
1
d
4
p
2
d
4
q£
SQED
int
(p
1
, p
2
, q), (1.27)
trong đó
£
SQED
int
(p
1
, p
2
, q) = −e(p
1
+ p


)
µ
ϕ(p
1
)A
µ
(q)δ
4
(p
1
+ q − p

). (1.28)
8
Chương 1. Ma trận tán xạ
Hàm δ(p
1
+ q − p
2
) tương ứng với sự bảo toàn xung lượng tại mỗi đỉnh. Đây chính là
hệ quả của tương tác định xứ - tương tác tại mỗi điểm của không - thời gian.
Để có đường vô hướng xung lượng p

(p

= p
2
) đi ra
ta lấy đạo hàm
∂£

SQED
int
(p
1
, p
2
, k)
∂ϕ
∗
(p

)
= −e(p
1
+ p
2
)
µ
δ
4
(p
2
− p

)ϕ(p
1
)A
µ
δ
4

(p
1
+ q − p
2
)
= −e(p
1
+ p
2
)
µ
[ϕ
∗
(p
2
)ϕ(p
1
)]A
µ
(q)δ
4
(p
1
+ q − p
2
). (1.29)
Để có đường vô hướng với xung lượng p đi vào
ta lấy đạo hàm
∂
2

£
SQED
int
(p
1
, p
2
, k)
∂ϕ(p)∂ϕ
∗
(p

)
= −e(p
1
+ p

)
µ
δ
4
(p
1
− p)A
µ
(q)δ
4
(p
1
+ q − p


)
= −e(p + p

)
v
A
v
(q)δ
4
(p + q −p

). (1.30)
Để có đường photon xung lượng k đi vào hoặc đi ra
ta lấy đạo hàm theo A
µ
(k)
∂
3
£
SQED
int
(p
1
, p
2
, k)
∂A
µ
(k)∂ϕ(p)δϕ

∗
(p

)
= −e(p + p

)
v
g
µv
δ
4
(k − q)δ
4
(p + q −p

)
= −e(p + p

)
µ
δ
4
(p + k −p

). (1.31)
9
Chương 1. Ma trận tán xạ
Tóm lại: tương tác photon- vô hướng- vô hướng ứng với phân đỉnh
trong đó ta ngầm hiểu hàm δ của xung lượng bốn chiều ở mỗi đỉnh, còn I được xuất

hiện từ biểu thức của S ma trận.
Do lí thuyết định xứ ta có sự bảo toàn năng xung lượng tại mỗi đỉnh
S
QED
=

d
4
x£
QED
int
= e

d
4
x
(2π)
4
ψ(p)e
−ipx
ψ(q)A
µ
e
ikx
= e

d
4
x
(2π)

4
e
ix(q+k−p)
ψ(p)γ
µ
ψ(q)A
µ
(k)
= eδ
4
(q + k − p)ψ(p)γ
µ
ψ(q)A
µ
(k).
1.3 Quy tắc Feynman
1.3.1 Đường ngoài - hạt thật
• Trường vô hướng (spin 0): cho các hạt ở trạng thái đầu và cuối đều bằng 1.
• Trường spin
1
2
:
– Hạt ở trạng thái đầu
10
Chương 1. Ma trận tán xạ
– Phản hạt ở trạng thái đầu:
– Hạt ở thạng thái cuối
– Phản hạt ở trạng thái cuối
– Trường ngoài
Đối với phản hạt spinor ngoài, hướng của đường spinor khác với hướng của xung

lượng. Hướng của xung lượng quyết định hạt ở trạng thái nào: đầu hay cuối. Các
hạt ở trạng thái đầu là các hạt bị hủy, xung lượng sẽ đi vào, còn các hạt ở trạng
thái cuối, xung lượng sẽ đi ra.
• Trường vector (spin 1):
– Trường vector mang điện ở trạng thái đầu
11
Chương 1. Ma trận tán xạ
– Trường vector mang điện ở trạng thái cuối
1.3.2 Hàm truyền
– Trường spin 0
– Trường spin
1
2
– Phản hạt
1
2
– Trường chuẩn spin 1
– Trường vector khối lượng m
12
Chương 1. Ma trận tán xạ
1.3.3 Đỉnh tương tác
13
Chương 1. Ma trận tán xạ
Các quy tắc:
• Mỗi trường trong- hạt ảo (virtual particle) phải lấy tích phân theo xung lượng

d
4
p
(2π)

4
. Xung lượng đường trong không bị giới hạn bởi định luật bảo toàn năng
xung lượng, có nghĩa là nó có thể tiến tới vô cùng.
• Mỗi vòng fermion (kể cả ma FP) khép kín nhân với (-1), trường hợp có l vòng ta
nhân với (−1)
l
.
• Chia cho hệ số đối xứng S: mỗi vòng khép kín (close loop) chứa n boson giống
nhau ta có thừa số
1
n!
.
• Đối với mỗi đường fermion, để có dạng thuận tiện (nhân các ma trận), ta viết các
thành phần từ trái sang phải khi đi ngược chiều đường fermion.
1.4 Hệ số đối xứng của giản đồ S
Ta xét mô hình φ
4
. Ta hãy phân tích hàm G
(4)
2
(x
1
, x
2
, , x
4
):
G
(4)
2

(x
1
, , x
4
) =
1
2!
(
−iλ
4!
)
2

d
4
y
1
d
4
y
2
×

0|T [φ
I
(x
1
) φ
I
(x

4
) : [φ
I
(y
1
)]
4
:: [φ
I
(y
2
)]
4
:]|0

Một trong các đóng góp được mô tả bởi giản đồ Feynman sau:
14
Chương 1. Ma trận tán xạ
Ta sẽ gọi các điểm x
1
, , x
4
là các điểm ngoài - điểm cố định. Các điểm y
1
, y
2
là các
điểm trong. Từ x
1
ta có 4 kết cặp tới các điểm y

1
thậm chí là đến y
2
. Giả sử ta lấy kết
cặp với y
1
. Tiếp theo ta có 3 kết cặp từ x
1
tới y
1
, Bây giờ ta tính xem hệ số của giản
đồ trên là bao nhiêu:
1
2
(bậc của lí thuyết nhiễu loạn) ×
1
4!
1
4!
(hệ số của hằng số tương tác)
×4 (các khả năng từ x
1
→ y
1
) ×4 (các khả năng từ x
1
→ y
2
)
×3 (các khả năng từ x

2
→ y
1
) ×3 (các khả năng từ x
2
→ y
2
)
×2 (các khả năng từ x
3
→ y
1
) ×3 (các khả năng từ x
3
→ y
2
) =
1
2
.
Hệ số đối xứng của giản đồ được tổng quát hóa như sau
S = g

n=2,3
2
β
(n!)
α
n
trong đó:

α
n
là số cặp đỉnh đối nhau bởi n đường giống nhau tự liên hợp
β là số đường nối đỉnh với chính nó
g là số hoán vị của đỉnh không làm thay đổi với đường ngoài cố định.
Sau đây là một vài hình minh họa
Hình 1.2: Hệ số đối xứng của các giản đồ trong lý thuyết vô hướng thực.
1.5 Tiết diện tán xạ
Khi có tương tác, yếu tố ma trận liên hệ trạng thái đầu i với trạng thái cuối f được
viết trong dạng
S
fi
= f|S|i = δ
fi
+ iT
fi
(1.32)
15
Chương 1. Ma trận tán xạ
trong đó T
fi
là ma trận chuyển dời được định nghĩa như sau
T
fi
= (2π)
4
δ
4
(P
f

− P
i
)M
fi
(1.33)
Đòi hỏi S ma trận là unita dẫn tới
M
fi
− M
∗
if
= i

n
M
fi
M
∗
in
(2π)
4
δ
4
(P
f
− P
i
) (1.34)
trong đó n là các trạng thái vật lý dẫn trạng thái đầu tới trạng thái cuối.
Xác suất cho một chuyển dời từ trạng thái i đến trạng thái f (i = f) là

ω
fi
∼ |S
fi
|
2
= (2π)
8
|δ
4
(P
f
− P
i
)|
2
|M
fi
|
2
. (1.35)
Suy rộng ra, xác suất để s hạt với xung lượng q
1
, q
2
, , q
s
ban đầu chuyển thành r hạt
có xung lượng trong khoảng dq
1

, dq
2
, , dq
r
ở trạng thái cuối trên một đơn vị thời gian
và thể tích là
ω
fi
= (2π)
4
n
1
n
2
n
s
|M
fi
|
2
δ
4
(
r

i
p
i
−
s


k
q
k
)
1

s
k=1
(2q
0
k
)
r

i=1
dp
i
2p
0
i
(2π)
3
(1.36)
trong đó n
1
là số hạt loại 1. Tiết diện tán xạ được xác định thông qua xác suất
trên một đơn vị thời gian và thể tích có đơn vị diện tích l
2
thông thường là barn(b)

(1barn = 10
−24
cm
2
).
Tiếp diện tán xạ vi phân cho quá trình p
1
+ p
2
→ p
3
+ + p
n
bằng
dσ =
|M
fi
|
2
4F
dΦ
f
S (1.37)
trong đó
F = [(p
1
.p
2
)
2

− m
2
1
m
2
2
]
1
2
(1.38)
và
dΦ
f
= (2π)
4
δ
4
(p
3
+ + p
n
− P
i
)
1
(2π)
3(n−2)
d
3
p

3
2E
3

d
3
p
n
2E
n
. (1.39)
Cụ thể khi xét quá trình tán xạ p
1
+ p
2
→ p
3
+ p
4
• Trong hệ khối tâm (center - of- mass frame)
p = p
1
= −p
2
và p

= p
3
= −p
4

.
Khi đó, tiết diện tán xạ vi phân có dạng
(
dσ
dΩ
)
cm
=
|M
fi
|
2
64π
2
s
|p

|
|p|
s (1.40)
trong đó s = (p
1
+ p
2
)
2
, dΩ = dϕdcosθ với θ là góc giữa p và p

.
16

Chương 1. Ma trận tán xạ
• Trong hệ phòng thí nghiệm (laboratory frame) quy ước hạt thứ hai đứng yên
p
2
= (m
2
, 0, 0, 0), biểu thức tương ứng của tiết diện vi phân là
(
dσ
dΩ
)
lab
=
|M
fi
|
2
64π
2
m
2
1
[E
1
+ m
2
− (|p

|/|p|E
3

cosθ
lab
)]
s (1.41)
trong đó
E
1
=

p
2
+ m
2
1
, E
3
=

p

2
+ m
2
3
.
Hệ phòng thí nghiệm thường áp dụng cho tán xạ của một hạt không khối lượng
với một hạt có khối lượng. Góc tán xạ θ
lab
là góc giữa vector xung lượng của
electron đi vào p và electron đi ra p


.
17
Chương 2
Tiết diện tán xạ Moller
Tán xạ Moller là tán xạ electron-electron trong điện động lực học lượng tử (QED).
Người đầu tiên nghiên cứu về bài toán v chạm giữa các điện tử là nhà Vật lí người
Đan Mạch - Christian Moller. Công thức tán xạ của Moller đã thu hút sự chú ý của
giới khoa học trong những năm 30, 40 của thế kỉ trước. Khi đó nó được coi như một
"phát minh" về mô hình mới của điện động lực học lượng tử. Sự tương tác giữa các
electron trong tán xạn Moller là cơ sở lý thuyết của nhiều hiện tượng quen thuộc, tiêu
biểu là sự đẩy giữa các electron trong nguyên tử Heli.
Tán xạ Moller được biểu diễn như sau:
e
−
(p
1
, s) + e
−
(p
2
, s

) → e
−
(k
1
, σ) + e
−
(k

2
, σ).
Trong (QED), chỉ xét tương tác của các hạt mang điện với photon , có hai giản đồ
Feynman mô tả quá trình tương tác này:
18
Chương 2. Tiết diện tán xạ Moller
Trong giản đồ kênh t và kênh u, các electron trao đổi 1 photon. Ta có thể tính tiết
diện của tán xạ Moller theo 2 cách: theo hệ khối tâm hoặc theo hệ phòng thí nghiệm.
Trong khóa luận của mình, tôi chọn cách thứ 2, tức là tính vi phân tiết diện toàn phần
theo công thức (1.41). Lúc này, ta tính vi phân tiết diện toàn phần theo bình phương
biên độ tán xạ toàn phần (|M
fi
|)
2
. Với tán xạ Moller, (|M
fi
|)
2
được tính theo những
đóng góp của kênh t và kênh u
1
4

spins
|M
fi
|
2
=
1

4

spins
[|M
u
|
2
+ |M
t
|
2
+ M
∗
t
M
u
+ M
∗
u
M
t
].
2.1 Tính biên độ tán xạ theo kênh t
Giản đồ Feynman cho quá trình
Biên độ tán xạ là
M
t
= u
(k
1

)
(−ieγ
µ
)u
(p
1
)
−ig
µv
(p
1
− k
1
)
2
u
(k
2
)
(−ieγ
v
)u
(p
2
)
M
t
=
ie
2

(p
1
− k
1
)
2
(u
(k
1
)
γ
v
u
(p
1
)
)(u
(k
2
)
γ
v
u
p
2
)
trong đó hàm truyền của photon trong chuẩn t’Hooft - Feynman (ξ = 1) đã được sửu
dụng. Chú ý rằng biên độ tán xạ là một số c. Các yếu tố ma trận ứng với mỗi đường
fermion (muon hoặc electron) trong biên độ tán xạ cũng là một số, nên ta có thể bắt
đầu từ bất kì đường fermion nào

M
∗
t
=
−ie
2
(p
1
− k
1
)
2
(u
(p
1
)
γ
v
u
(k
1
)
)(u
(p
2
)
γ
v
u
(k

2
)
).
19
Chương 2. Tiết diện tán xạ Moller
Để tính |M
fi
|
2
= M
∗
fi
M
fi
, ta sử dụng công thức sau
[a(p
1
) ∧b(p
2
)]
∗
= b(p
2
)∧a(p
1
)
đối với a, b = u, v, trong đó ∧ = γ
0
∧
+

γ
0
.
Khi không quan tâm tới độ xoắn của các hạt ở trạng thái cuối, ta sử dụng công
thức sau

s
u
α
(p, s) u(p, s)
β
=

/
p + m

β
α
,

s
v
α
(p, s) v(p, s)
β
=

/
p + m


β
α
,







đặt
(p
1
− k
1
)
2
= t.
Khi đó ta có
1
4

spins
|M
t
|
2
=

spins

M
∗
t
M
t
=

spins
e
4
4t
2

u
(k
1
)
γ
µ
u
(p
1
)

u
(k
2
)
γ
v

u
(p
2
)

u
(p
1
)
γ
v
u
(k
1
)

u
(p
2
)
γ
µ
u
(k
2
)

=
e
4

4t
2

spins

u
(k
1
)
γ
µ
u
(p
1
)

u
(p
1
)
γ
v
u
(k
1
)

u
(p
2

)
γ
µ
u
(k
2
)

u
(k
2
)
γ
v
u
(p
2
)

=
e
4
4t
2

u
(k
1
)
γ

µ

/
p
1
+ m
e

γ
v
u
(k
1
)

u
(p
2
)
γ
µ

/
p
2
+ m
e

γ
v

u
(p
2
)

=
e
4
4t
2
T r[γ
µ
(
/
p
1
+ m
e
)γ
v
u
(k
1
)
u
(k
1
)
]T r[γ
µ

(
/
p
2
+ m
e
)γ
v
u
(p
2
)
u
(p
2
)
]
=
e
4
4t
2
T r[γ
µ
(
/
p
1
+ m
e

)γ
v
(
/
k
1
+ m
e
)]T r[γ
µ
(
/
p
2
+ m
e
)γ
v
(
/
k
2
+ m
e
)]
=
e
4
4t
2

T r[(γ
µ
/
p
1
+ γ
µ
m
e
)(γ
v
/
k
1
+ γ
v
m
e
] ×Tr[(γ
µ
/
p
2
+ γ
µ
m
e
)(γ
v
/

k
2
+ γ
v
m
e
)]
=
e
4
4t
2
T r(γ
µ
/
p
1
γ
v
/
k
1
+ γ
µ
γ
v
m
2
e
)T r(γ

µ
/
p
2
γ
v
/
k
2
+ γ
µ
γ
v
m
2
e
)
=
e
4
4t
2

4

p
µ
1
k
v

1
+ p
v
1
k
µ
1
− g
µv
.p
1
k
1

+ 4m
2
e
g
µv

×

4 (p
2µ
k
2v
+ p
2v
k
2µ

− g
µv
p
2
k
2
) + 4m
2
e
g
µv

=
e
4
4t
2
4

p
µ
1
k
v
1
+ p
v
1
k
µ

1
− g
µv

p
1
k
1
+ m
2
e

× 4

p
2µ
k
2v
+ p
2v
k
2µ
− g
µv

p
2
k
2
+ m

2
e

.
Xét tán xạ Moller trong hệ phòng thí nghiệm, ta bỏ khối lượng của electron hay coi
m
e
→ 0
=⇒
1
4

spins
|M
t
|
2
=
8e
4
t
2
[(p
1
p
2
) (k
2
k
1

) + (p
2
k
1
) (k
2
p
1
)] . (2.1)
20