PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN đa THỨC và PHƯƠNG TRÌNH hàm THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (188.89 KB, 3 trang )
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM
THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC
Hồ Hồng Phú, Nguyễn Chỉ Dũng - 54A Toán
Người hướng dẫn: ThS. Dương Xuân Giáp
TS. Thiều Đình Phong
1. Mở đầu
Kỳ thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc là ngày hội đông đảo của sinh viên và
giáo viên các trường các học viện. Mục tiêu chính của kỳ thi olympic sinh viên là
tạo ra cuộc hội ngộ tranh tài trí tuệ giữa các sinh viên yêu thích toán học của các
trường đại học và cao đẳng để chấp cánh cho ước mơ cho những hoài bão trở thành
nhà toán học sau này. Ngoài ra còn là nơi gặp gỡ tăng cường hiểu biết những người
yêu t hích nghiên cứu toán học để thắp lên ngọn lửa đam mê toán học. Trong báo
cáo này chúng tôi trình bày một số phương pháp giải các bài toán về đa thức và
phương trình hàm trong các kỳ thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc.
2. Một số phương pháp
2.1 Phương pháp sử dụng tính chất nghiệm của đa thức
Cho đa thức một biến, hệ số thực P(x) . Khi đó nếu x
0
là nghiệm của P(x) thì
P(x) = (x − x
0
)Q(x), trong đó deg P(x) = deg Q(x) + 1.
Với bài toán yêu cầu tìm đa thức P(x), ta dựa vào giả thiết đã cho tìm được một
số nghiệm nó, giả sử là a
1
, a
2
, , a
k
. Khi đó
P(x) = (x − a
1
)(x − a
2
) (x − a
k
)G(x)
Trong đó deg P(x) = deg G(x) + k. Thay P(x) vào điều kiện bài toán ban đầu ta
tìm được Q(x) và suy ra đa thức P (x) cần tìm.
Ví dụ 1. (Đề thi Olympic SV 2010). Cho a, b ∈ R
+
. Tìm tất cả các đa thức P(x) ∈
R
[
x
]
thỏa mãn điều kiện:
x P(x − a) = (x −b) P(x) ∀x ∈ R.
Từ bài toán trên ta có thể mở rộng thêm một số bài toán.
Ví dụ 2. Tìm P(x) ∈ R
[
x
]
với các trị số thực thỏa mãn đẳng thức:
(x
3
+ 3x
2
+ 3x + 2) P(x − 1) = (x
3
−3x
2
+ 3x −2) P(x) ∀x ∈ R.
23
2.2 Phương pháp đánh giá hàm số
Giả sử cần tìm hàm số f (x) với miền xác định D
f
, từ giả thiết bài toán và bằng
lập luận ta đánh giá được
f (x) ≥ g(x),
g(x) ≤ f (x),
∀x ∈ D
f
∀x ∈ D
f
Trong đó g(x) là một hàm số đã biết trước. Từ đó ta suy ra f (x) = g(x) ∀x ∈ D
f
.
Ví dụ 3. (Olympic SV 2009). Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn các điều
kiện:
i) f (x) ≤ 4 + 2009x, ∀x ∈ R;
ii) f (x + y) ≤ f (x) + f (y) −4, ∀x ∈ R.
Ví dụ 4. (Olympic Toán SV 2004). Xác định hàm số f (x) thỏa mãn đồng thời các
điều kiện:
i) f (x) ≥ e
2004x
, ∀x ∈ R;
ii) f (x + y) ≥ f (x). f (y), ∀x ∈ R.
2.3 Phương pháp sử dụng các tính chất của đạo hàm, nguyên hàm và tích phân
Phương pháp này sử dụng các tính chất của đạo hàm, nguyên hàm, tích phân
đối với một số phương trình hàm mà giả thiết là hàm khả vi, liên tục. Khi đó bằng
các kỹ thuật biến đổi ta quy phương trình hàm đã cho về dạng thích hợp.
- Lấy đạo hàm hai vế của phương trình theo biến thích hợp.
- Lấy nguyên hàm hoặc tích phân với cận thích hợp. Khi đó nhờ các tính chất của
đạo hàm, nguyên hàm, tích phân ta tìm được các hàm số.
Ví dụ 5. (Olympic 2001). Xác định tất cả các hàm f : R → R khả vi vô hạn và thỏa
mãn điều kiện: f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy ∀x, y ∈ R .
Ví dụ 6. Tìm f : R → R thỏa mãn
|
f (x) − f (y)
|
2
≤
|
x −y
|
3
∀x, y ∈ R.
2.4 Phương trình đa thức dạng P( f ).P(g) = P(h)
Giả sử f (x), g(x), h(x) thỏa mãn điều kiện deg f + deg g = deg h. Tìm tất cả
các đa thức P(x) thỏa mãn:
P
[
f (x)
]
.P
[
g(x)
]
= P
[
h(x)
]
. (10)
Định lý 1. Nếu P, Q là nghiệm của (11) thì P.Q cũng là nghiệm của (11).
Suy ra hệ quả: nếu P(x) là nghiệm của (11) thì P
n
(x) cũng là nghiệm của (11).
Định lý 2. Nếu f, g, h là các đa thức thỏa mãn điều kiện deg f + deg g = deg h và thỏa
mãn một trong các điều kiện sau:
i) deg f = deg g;
24
ii) deg f = deg g và tổng hệ số cao nhất 2 đa thức = 0.
Khi đó với một số nguyên dương n tồn tại nhiều nhất một đa thức P(x) có bậc n và thỏa
mãn (11).
Áp dụng 2 định lý trên thì ta thấy P(x)là đa thức bậc phải thỏa mãn (11) với
f , g, h là các đa thức thỏa mãn định lý 2 thì tất cả các nghiệm của (11) sẽ là
P(x) ≡ 0, P(x) ≡ 1, P(x) =
[
P
0
(x)
]
n
với n ∈ N
∗
.
Ví dụ 7. (Olympic 2006). Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn
P(x) + x
[
3P(x) + P(x)
]
= P
2
(x) + 2x
2
∀x ∈ R. (2)
Tài liệu tham khảo
[1]
[2]
[3]
25
