Chuyên đề 1
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1.1 Công thức lượng giác
Bài 1.1. Tính 2(sin
6
x + cos
6
x) −3(sin
4
x + cos
4
x)
Bài 1.2. Tính
(1 −tan
2
x)
2
4 tan
2
x
−
1
4 sin
2
x cos
2
x
Bài 1.3. Rút gọn

1 + sin x
1 −sin x

−

1 −sin x
1 + sin x
Bài 1.4. Chứng minh rằng tanxtan y =
tan x+tany
cot x+coty
Bài 1.5. Chứng minh các đẳng thức
1. tan
3
x + tan
2
x + tan x+1 =
sin x+cosx
cos
3
x
2.
tan x−sinx
sin
3
x
=
1
cos x(1 + cos x)
Bài 1.6. Chứng minh rằng
sin
2
x −2 cos
4

x + 3 cos
2
x =
sin
2
x
1 + cot x
+
1 −sin
2
x
1 + tan x
+ sin xcos x +2sin
2
x cos
2
x
Bài 1.7. Chứng minh rằng
sin x + cos x −1
1 −cos x
=
2 cos x
sin x −cos x +1
Bài 1.8. (THPTQG 2015) Tính giá trị của biểu thức P = (1 −3 cos 2α)(2 + 3 cos 2α) biết sin α =
2
3
.
Bài 1.9. Cho sinx = −
3
5

và π < x <
3π
2
. Tính tan
3
x + cot
3
x?
Bài 1.10. Cho cosx = −
4
5
và 0 < x < π. Tính (sinx + tan x)(cos x +cotx)?
Bài 1.11. Cho tanx + cot x = 3. Tính sin
4
x + cos
4
x?
Bài 1.12. Cho sinx + cos x =
1
2
. Tính sin
8
x + cos
8
x?
Bài 1.13. Cho tanx = 2. Tính giá trị biểu thức P =
sin
3
x + 2 cos x
cos

3
x + sin
3
x
Bài 1.14. Cho sinα = −
1
4
và π < α <
3π
2
. Tính tan

α −
25π
4

.
Bài 1.15. Cho cosx + cos y = 1 và sin x + sin y =
1
2
. Tính cos(x −y)?
Bài 1.16. Chứng minh các đẳng thức
1. sin
4
x =
3
8
−
1
2

cos 2x +
1
8
cos 4x
1
2 CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2.
1 + sin x
cos x
= cot(
π
4
−
x
2
)
3.
6 + 2 cos 4x
1 −cos 4x
= cot
2
x + tan
2
x
4.
sin
2
3x
sin
2

x
−
cos
2
3x
cos
2
x
= 8cos 2x
Bài 1.17. Chứng minh sin
6
x cos
2
x + sin
2
x cos
6
x =
1
8
(1 −cos
4
2x)
Bài 1.18. Chứng minh
sin
4
x + cos
4
x −1
sin

6
x + cos
6
x
=
2
3
.
Bài 1.19. Chứng minh các đẳng thức sau
1.
3 −4 cos 2α + cos 4α
3 + 4 cos 2a +cos4a
= tan
4
α
2.
sin
2
2α +4 sin
2
α −4
1 −8 sin
2
α −cos 4α
=
1
2
cot
4
α

3. cotα −tan α −2 tan2α −4 tan 4α = 8cot 8α
4.
tan(x −
π
2
)cos(
3π
2
+ x) −sin
3
(
7π
2
−x)
cos(x −
π
2
)tan(
3π
2
+ x)
= sin
2
x
Bài 1.20. Tính sin 12
◦
Bài 1.21. Tính P =
√
3
cos 650

◦
+
1
sin 250
◦
Bài 1.22. Tính P = sin 5
◦
sin 15
◦
sin 25
◦
sin 35
◦
sin 85
◦
Bài 1.23. Chứng minh
1
cos 290
◦
+
1
√
3 sin 250
◦
=
4
√
3
Bài 1.24. Tính S = tan 9
◦

−tan 63
◦
+ tan 81
◦
−tan 27
◦
,P = cos 10
◦
cos 50
◦
cos 70
◦
?
Bài 1.25. Rút gọn A =
1 + cos x
sin x

1 +
(1 −cosx)
2
sin
2
x

. Tính giá trị của A nếu cos x = −
1
2
và
π
2

< x < π.
Bài 1.26. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x.
1. A = 2cos
4
x −sin
4
x + sin
2
x cos
2
x + 3 sin
2
x
2. B =
2
tan x −1
+
cot x + 1
cot x −1
Bài 1.27. Cho tan
b
2
= 4tan
a
2
. Chứng minh rằng tan
b −a
2
=
3 sin a

5 −3 cos a
Bài 1.28. Cho sinx = 0. Chứng minh rằng
sin 5x
sin x
= 2cos 4x +2cos 2x + 1.
Bài 1.29. Cho tanα = 2, tính P =
sin 2α + sin4α
1 + cos 2α +cos4α
Bài 1.30. Chứng minh rằng P = 27sin
3
9
◦
+ 9 sin
3
27
◦
+ 3 sin
3
81
◦
+ sin
3
243
◦
= 20sin 9
◦
Bài 1.31. Tính P = (1 −cot 1
◦
)(1 −cot2
◦

) (1 −cot44
◦
)
Bài 1.32. Cho A,B,C là ba góc của một tam giác. Chứng minh các đẳng thức sau:
1. sin2A + sin 2B + sin 2C = 4sin Asin BsinC
2. cosA + cos B + cosC = 1 + 4 sin
A
2
sin
B
2
sin
C
2
3. tanA + tan B + tanC = tanA tanB tanC
4. cotA cot B + cotB cotC + cotC cot A = 1
Bài 1.33. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có ba góc A,B,C thỏa mãn sinA = cos B+ cosC thì ABC là tam giác vuông.
Bài 1.34. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có ba góc A,B,C thỏa mãn sin A = 2sin BcosC thì ABC là tam giác cân.
Bài 1.35. Cho tam giác ABC. Chứng minh A = 2B ⇔a
2
= b
2
+ bc
Bài 1.36. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có ba góc A, B,C thỏa mãn sin A + sin B + sinC = sin 2A + sin 2B + sin 2C
thì ABC là tam giác đều.
facebook.com/breakallrulez
1.2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 3
Bài 1.37. Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Tìm GTNN của biểu thức P = tanA tan BtanC.
Bài 1.38. Cho a,b,c, d thỏa mãn a
2

+ b
2
= c
2
+ d
2
= 1. Chứng minh rằng −
√
2 ≤a(c + d)+b(c −d) ≤
√
2
Bài 1.39. Cho a
2
+ b
2
= 1. Chứng minh rằng

a
2
+
1
a
2

2
+

b
2
+

1
b
2

2
≥
25
2
Bài 1.40. [IMO1985] Cho x,y,z ∈R sao cho x + y + z = xyz. Chứng minh
x(1 −y
2
)(1 −z
2
) + y(1 −z
2
)(1 −x)
2
+ z(1 −x
2
)(1 −y
2
) = 4xyz
Bài 1.41. Chứng minh rằng, với mọi số thực x,y ta có −
1
2
≤
(x + y)(1 −xy)
(1 + x
2
)(1 + y

2
)
≤
1
2
Bài 1.42. [USA MO 2002]
Tìm GTLN của S = (1 −x
1
)(1 −y
1
) + (1 −x
2
)(1 −y
2
) với x
2
1
+ x
2
2
= y
2
1
+ y
2
2
= c
2
,c > 0
Bài 1.43. Cho x +y +z = xyz và x,y,z ∈ R, chứng minh rằng

x
√
1 + x
2
+
y

1 + y
2
+
z
√
1 + z
2
≤
3
√
3
2
Bài 1.44. Cho 0 < x,y,z < 1 và xy + yz +zx = 1, chứng minh rằng
x
√
1 −x
2
+
y

1 −y
2
+

z
√
1 −z
2
≥
3
√
3
2
1.2 Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 1.45. Giải các phương trình lượng giác sau
1. sin4x =
4
3
2. cosx =
1
4
3. cotx = −
1
√
3
4. sin(x −
π
3
) =
√
2
2
5. cos(π −x) = −1
6. tan(2x +20

◦
) +
√
3 = 1
7. tan(2x +1)−tan(3x −1) = 1
8. cos

2x −
π
4

+ sin

x +
π
4

= 0
Bài 1.46. Giải các phương trình lượng giác sau
1. cos

5x +
π
4

= cos2x
2. sin

π
3

−x

−sin

3x +
π
6

= 0
3. sin(30
◦
−x) = cos 2x
4. cos

x +
π
3

+ sin 5x = 0
5. 3 −4sin
2
2x = 0
6. (1 −cos x)(1 + cosx) = 0
7. (3 −sin x)(1 −2sin x) = 0
8. sin
2
x =
1
4
9. sin

2

5x +
2π
3

= cos
2

3x −
π
4

10. cos

2x +
π
3

= cosx
11. cosx = sin

3x +
π
6

12. sin

2x +
π

3

= sin

2π
3
−x

13. 4sin

3x +
π
3

=
√
6 +
√
2
Bài 1.47. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng cho trước
1. sin2x = 0 trên [0,2π]
2. cos(x −
π
4
) = 1 trên [−π, 3π]
3.
√
3 tan x −3 = 0 trên (0,3π)
4. cot(2x +
π

6
) = −1 trên (0,5π)
Bài 1.48. Tìm x ∈(0; 3π) sao cho:sin

x −
π
3

+ 2 cos

x +
π
6

= 0.
facebook.com/breakallrulez
4 CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1.49. Giải phương trình 4x
3
−
√
1 −x
2
−3x = 0.
Bài 1.50. Giải phương trình x
3
−3x =
√
x + 2
Bài 1.51. [VMO 1984] Giải phương trình


1 +
√
1 −x
2


(1 + x
3
) −

(1 −x)
3

= 2 +
√
1 −x
2
1.3 Phương trình lượng giác thường gặp
1.3.1 Bài tập
Bài 1.52. Phương trình:
1. 2cos(2x +
π
3
) = −
√
3
2. 2sin(2x + 50
0
) = −1

3. −
2
cos x
= tanx + cot x
4. 3sin
2
2x + 7 cos 2x −3 = 0
5. 6sin
2
3x + cos 12x = 14
6. 4sin
4
x + 12cos
2
x = 7
7. sin
x
2
+ cos x = 1
8. 7tan x −4 cotx = 12
9. 2sin
2
x −2 cos
2
x −4 sin x = −2
10. 3cos 2x + 4 cos
3
x −cos 3x = 0
11. sin2x sin 6x = sin 3x sin5x
12. sin5x sin 3x = sin 9x sin7x

13. cos
2
x −sin
2
x = sin 3x + cos 4x
14. sin
2
2x + sin
2
4x = sin
2
6x
15. cos2x −cos x = 2 sin
2
3x
2
Bài 1.53. Phương trình:
1. 4sin x −3 cosx = 5
2. sinx −cos x =
√
6
2
3. 2sin 2x + 3 cos2x =
√
13 sin 4x
4. 2sin
2
2x +
√
3 sin 4x = 3

5. cosx −
√
3 sin x = 2 cos(
π
3
−x)
6. cos(x +
π
6
) + cos(x −
π
3
) = 1
Bài 1.54. Phương trình:
1. sin
2
x −10 sin xcos x +21 cos
2
x = 0
2. 2sin
2
2x −3 sin 2xcos 2x +cos
2
2x = 2
3. cos
2
x −sin
2
x −
√

3 sin 2x = 1
4. cos
2
x −3 sin xcos x +1 = 0
5. 4
√
3 sin xcos x +4cos
2
x −2 sin
2
x =
5
2
6.
1
sin x
= 4cos x +6sin x
7. 3sin
3
x + 4 cos
3
x = 3 sinx
8. 2cos
3
x + 3 cos x −8sin
3
x = 0
9. cos
3
x −sin

3
x −3 cos xsin
2
x + sin x = 0
10. 2sin
2
(x −
π
2
) −cos(
π
2
−2x) + 2cos
2
(2x +
3π
2
) = 1
Bài 1.55. Phương trình:
1. (sinx + cos x)
4
−3 sin 2x −1 = 0
2. 3(sinx + cos x) −sin 2x −3 = 0
3. 2(sin4x +
1
2
sin 2x) + cos 2x = −3
4. 2sin 2x −3
√
3(sin x + cos x) = −8

5. sin2x −4(cos x −sin x)−4 = 0
6. sin2x + 2 sin(x −
π
4
) = 1
7.
3
sin x + cos x
= sinx cosx
8. 2(sin
3
x + cos
3
x) + sin 2x(sin x +cosx) =
√
2
9. (sin2x + cos 2x)(sin
3
2x + cos
3
2x) = 1
10. sinx + cos x + 2 + tan x +cot x +
1
sin x
+
1
cos x
= 0
11. 3(tan x + cot x) −2


tan
2
x + cot
2
x

−2 = 0
12. tanx + tan
2
x + tan
3
x + cot x + cot
2
x + cot
3
x = 6
Bài 1.56. Cho phương trình cos
3
x −sin
3
x = m. Xác định m để phương tr ình có nghiệm.
facebook.com/breakallrulez
1.4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 5
1.4 Phương trình lượng giác khác
Bài 1.57. Giải phương trình (1 + sin x) (1 −2sin x) + 2(1 + sin x) cosx = 0
Bài 1.58. Giải phương trình (1 + sin x) (1 −2sin x) + 2(1 + 2 sin x)cos x = 0
Bài 1.59. Giải phương trình cos 5x −sin 2x = sin4x −cos 3x
Bài 1.60. Giải phương trình sin x sin 2x + sin 3x = 6cos
3
x

Bài 1.61. Giải các phương trình lượng giác sau:
1. sin2x + sin 6x −sin 8x = 0
2. sinx + sin 3x = cos x + cos3x
3. (1 +tan x)(1 −sin2x) = 1 −tan x
4. 1 +sinx + 2 cosx + sin 2x = 0
5. 2cos 2x + sin 2x + 5 = 8cos x +sin x
6. tan
2
x =
1 + cos x
1 −sin x
7. sin
2
x −cos
2
2x = sin
2
3x −cos
2
4x
8. cos5x + sin 5x −2 sin3x + sin x −cos x = 0
9.
3 cos 2x + 20cos 3x cos2x −10 cos 5x −1
√
sin x
= 0
10. cos
6
x + sin
6

x =
1
8
(5 + 6cos 7xcos 3x)
11. sin5x = cos xtan 3x
12.
1 −sin 2x −2 sinx + 2 cosx
√
2 cos x −1
= 0
13. cos2x + cos x

2tan
2
x −1

= 2
Bài 1.62. Giải phương trình sin x(1 + cos x) = 1 + cosx + cos
2
x
Bài 1.63. Giải phương trình 2 sin
2
2x + sin 7x −1 = sin x
Bài 1.64. Giải phương trình cos 10x + 2 cos
2
4x + 6 cos 3x.cos x = cosx + 8 cos xcos
3
3x
Bài 1.65. Giải phương trình tan x. cos 3x + 2 cos2x −1 =
√

3 (1 −2 sinx)(sin 2x + cosx)
Bài 1.66. Giải phương trình sin
4
x + cos
4
x +
7
8
tan(x +
π
6
)tan(x −
π
3
) = 0
Bài 1.67. Giải phương trình 2(cot x −cos x) −3(tanx −sin x) = 1
Bài 1.68. Giải phương trình 2 sin
2
x −sin 2x + sin x +cosx −1 = 0
Bài 1.69. Giải phương trình cos
3
x −3sin
2
x cos x + sinx = 0
Bài 1.70. Giải phương trình
1
√
2
cot x +
sin 2x

sin x + cos x
= 2sin

x +
π
2

Bài 1.71. Giải phương trình cot x = tanx +
2 cos 4x
sin 2x
Bài 1.72. Giải phương trình
3 (cos 2x + cot2x)
cot 2x −cos 2x
= 4sin

π
4
+ x

cos

π
4
−x

Bài 1.73. Giải phương trình tan
2
x tan
2
3x tan 4x = tan

2
x −tan
2
3x + tan 4x
Bài 1.74. Giải các phương trình
1.
1
4
+ cos
2
x
3
=
1
2
sin
2
x
2
2. cos
2
x = cos
4x
3
3. 32cos
6

x +
π
4


−sin 6x = 1
Bài 1.75. Giải phương trình sin(2x +
17π
2
) + 16 = 2
√
3 sin xcos x +20sin
2
(
x
2
+
π
12
)
Bài 1.76. Giải phương trình (1 + tan x) cos5x −sin x −cos x −2cos 4x + 2 cos2x = 0
Bài 1.77. Giải phương trình
sin x + cos x
cos 5x
=
2
cot x −3
Bài 1.78. Giải phương trình

4 cos
2

x +
π

12

−1

sin 2x = 2(sin 7x −sin3x)cos

5x −
π
3

Bài 1.79. Giải các phương trình lượng giác sau
facebook.com/breakallrulez
6 CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. cos3x −4 cos 2x + 3cos x −4 = 0
2. 4cos
3
x + 3
√
2 sin 2x = 8 cos x
3. (2cos x −1)(2 sinx + cos x) = sin 2x −sinx
4. sin
4
(3x +
π
4
) + sin
4
(3x −
π
4

) =
1
2
.
5. sin
2
x(1 + tan x) = 3 sinx(cos x −sinx ) + 3
6. cos8x + 3 cos 4x + 3cos 2x = 8cos xcos
3
x −
1
2
7. 2tan x + cot x = 2sin 2x +
1
sin 2x
8. 6sin x −2 cos
3
x = 5 sin2x cos x
9. sin(
π
2
+ 2x)cot 3x + sin(π + 2x) −
√
2 cos 5x = 0
10.
sin
4
x + cos
4
x

5 sin 2x
=
1
2
cot 2x −
1
8 sin 2x
11. cotx = tan x +
2 cos 4x
sin 2x
12. sinx cos 2x + cos
2
x(tan
2
x −1) + 2sin
3
x = 0
13. sin
3
x + cos
3
x = 2(sin x + cos x) −1
14.
1
cos x
+
1
sin x
= 2
√

2 cos(x +
π
4
)
15. 3sin x + cos 2x + sin2x = 4 sinx cos
2
x
2
Bài 1.80. Giải các phương trình lượng giác sau:
1. cotx −1 =
cos 2x
1 + tan x
+ sin
2
x −
1
2
sin 2x
2. cos
2
3x.cos 2x −cos
2
x = 0
3.
2(cos
6
x + sin
6
x) −sin x cosx
√

2 −2 sin x
= 0
4. (1 +sin
2
x)cos x + (1 +cos
2
x)sin x = 1 + sin2x
5.
1
sin x
+
1
sin

x +
3π
2

= 4sin

7π
4
−x

6. sin3x −
√
3 cos 3x = 2 sin 2x
7.
(1 −2sin x)cos x
(1 + 2sin x)(1 −sinx )

=
√
3
8. (1 +2 sin x)
2
cos x = 1 + sin x +cosx
9. sin
2
3x −cos
2
4x = sin
2
5x −cos
2
6x
10. cotx −tan x + 4 sin2x =
2
sin 2x
11. 5sin x −2 = 3(1 −sin x)tan
2
x
12. 1 +sinx + cos x +sin2x + cos 2x = 0
13. cotx + sin x

1 + tan x tan
x
2

= 4
14. 2sin

2
2x + sin 7x −1 = sin x
15. sin
3
x −
√
3 cos
3
x = sin xcos
2
x −
√
3 sin
2
x cos x
16. sinx + cos x sin2x +
√
3 cos 3x = 2(cos 4x + sin
2
x)
17. (1 +2 sin
2
x)cos x = 1 + sinx + cos x
18. sin
2

x
2
−
π

4

tan
2
x −cos
2
x
2
= 0
19. (2cos x −1)(2 sinx + cos x) = sin2x −sin x
20. sin
4
x + cos
4
x + cos (x −
π
4
)sin (3x −
π
4
) −
3
2
= 0
21. cos3x + cos 2x −cos x −1 = 0
22.

sin
x
2

+ cos
x
2

2
+
√
3 cos x = 2
23. 2sin x(1 + cos 2x) +sin2x = 1 + 2 cos x
24.
√
3 cos 5x −2sin 3x cos2x −sin x = 0
25. (1 +2 sin x)
2
cos x = 1 + sin x +cosx
Bài 1.81. [Học Viện Ngân Hàng] cos
3
x + cos
2
x + 2 sin x −2 = 0
Bài 1.82. [ĐH Mỏ Địa Chất] tanx sin
2
x −2 sin
2
x = 3(cos 2x + sin xcos x)
Bài 1.83. Giải phương trình: sin 2x (cos x + 3) −2
√
3 cos
3
x −3

√
3 cos 2x + 8

√
3 cos x −sinx

−3
√
3 = 0.
Bài 1.84. Giải phương trình
sin 3x −4 cos(x −
π
6
) −3
sin 3x −1
= 0
Bài 1.85. Giải phương trình 2(1 + cos x)(cot
2
x + 1) =
sin x −1
cos x + sin x
Bài 1.86. Giải phương trình cos
3
x −3sin
2
x cos x + sinx = 0
Bài 1.87. Giải phương trình cos x = 8sin
3

x +

π
6

Bài 1.88. Giải phương trình sin
4
x +
1
2
cos
4
x =
1
3
facebook.com/breakallrulez
1.4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 7
Bài 1.89. Giải phương trình 4 sin 3xcos 2x = 1 +6sin x −8 sin
3
x
Bài 1.90. Giải phương trình sin x + cos x =
√
2(2 −sin3x)
Bài 1.91. Giải phương trình 4 cos x + 2cos 2x +cos 4x = −7
Bài 1.92. Giải phương trình 8 cos 4xcos
2
2x +
√
1 −cos 3x + 1 = 0
Bài 1.93. Giải phương trình: 4 sin 3xcos 2x = 1 +6sin x −8sin
3
x

Bài 1.94. Giải phương trình cos 3x + 2 sinx −1 = 0
Bài 1.95. Giải phương trình cot x + sin x =
cos x
1 −cos x
+
1
sin x
Bài 1.96. Giải phương trình sin 3x + sin 2x + sinx + 1 = cos 3x + cos 2x −cosx
Bài 1.97. Giải phương trình
sin 2x + 3 tan2x + sin 4x
tan 2x −sin 2x
= 2
Bài 1.98. Giải phương trình (2 cos x −1)(sinx + cos x) = 1
Bài 1.99. Một số đề thi của BDG.
1. (CĐ08) sin3x −
√
3 cos 3x = 2 sin 2x
2. (CĐ09) (1 +2 sin x)
2
cos x = 1 + sin x +cosx
3. (CĐ10) 4cos
5x
2
cos
3x
2
+ 2(8 sin x −1)cos x = 5
4. (CĐ11) cos4x + 12 sin
2
x −1 = 0

5. (A02) Tìm nghiệm thuộc (0; 2π) của PT: 5(sin x+)
cos 3x + sin 3x
1 + 2 sin 2x
= cos2x + 3
6. (A03) cotx −1 =
cos 2x
1 + tan x
+ sin
2
x −
1
2
sin 2x
7. (A05) cos
2
3x cos 2x −cos
2
x = 0
8. (A06)
2(cos
6
x + sin
6
x) −sin x cosx
√
2 −2 sin x
9. (A07) (1 +sin
2
x)cos x + (1 +cos
2

x)sin x = 1 −sin2x
10. (A08)
1
sin x
+
1
sin(x +
3π
2
)
= 4sin(
7π
4
−x)
11. (A09)
(1 −2sin x)cos x
(1 + 2sin x)(1 −sinx )
= 3
12. (A10)
(1 + sinx + cos 2x)sin(x +
π
4
)
1 + tan x
=
1
√
2
cos x
13. (A11)

1 + sin 2x + cos 2x
1 + cot
2
x
=
√
2 sin xsin 2x
14. (A12)
√
3 sin 2x + cos2x = 2 cosx −1
15. (A13) 1 +tanx = 2
√
2 sin(x +
π
4
)
16. (A14) sinx + 4 cos x = 2 + sin2x
17. (B02) sin
2
3x −cos
2
4x = sin
2
5x −cos
2
6x
18. (B03) cotx −tan x + 4 sin2x =
2
sin 2x
19. (B04) 5sin x −2 = 3(1 −sin x)tan

2
x
facebook.com/breakallrulez
8 CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
20. (B05) 1 +sinx + cos x +sin2x + cos 2x = 0
21. (B06) cotx + sin x(1 + tan xtan
x
2
) = 4
22. (B07) 2sin
2
x + sin 7x −1 = sin x
23. (B08) sinx cos
2
x −
√
3 sin
2
x cos x = sin
3
x −
√
3 cos
3
x
24. (B09) sinx + cos x sin2x +
√
3 cos 3x = 2(cos 4x + sin
3
x)

25. (B10) (sin2x + cos 2x) cosx + 2 cos 2x −sinx
26. (B11) sin2x cos x + sinx cosx = cos 2x +sin x + cosx
27. (B12) 2(cosx +
√
3 sin x)cos x = cosx −
√
3 sin x + 1
28. (B13) sin5x + 2 cos
2
x = 1
29. (B14)
√
2(sin x −2 cosx) = 2 −sin 2x
30. (D02) Tìm x thuộc [0; 14] thỏa mãn PT: cos 3x −4cos 2x + 3cos x −4 = 0
31. (D03) sin
2
(
x
2
−
π
4
)tan
2
x −cos
2
x
2
= 0
32. (D04) (2cos x −1)(2 sinx + cos x) = sin 2x −sinx

33. (D05) cos
4
x + sin
4
x + cos(x −
π
4
)sin(3x −
π
4
) −
3
2
= 0
34. (D06) cos3x + cos 2x −cos x −1 = 0
35. (D07) (sin
x
2
+ cos
x
2
)
2
+
√
3 cos x = 2
36. (D08) 2sin x(1 + cos 2x) +sin2x = 1 + 2 cos x
37. (D09)
√
3 cos 5x −2sin 3x cos2x −sin x = 0

38. (D10) sin2x −cos 2x + 3 sinx −cos x −1 = 0
39. (D11)
sin 2x + 2 cosx −sin x −1
tan x +
√
3
= 0
40. (D12) sin3x + cos 3x −sin x +cosx =
√
2 cos 2x
41. (D13) sin3x + cos 2x −sin x = 0
Bài 1.100. Giải phương trình 2x + (4x
2
−1)
√
1 −x
2
= 4x
3
+
√
1 −x
2
ĐÁP SỐ
1.26. A = 2,B = −1.
1.80. Đáp số.
1. x =
π
4
+ kπ

2. x =
kπ
2
3. x =
5π
4
+ k2π
4. x = −
π
4
+ kπ;
π
2
+ k2π; k2π
5. x = −
π
4
+ kπ; −
π
8
+ kπ;
5π
8
+ kπ
6. x =
π
3
+ k2π;
4π
15

+ k
2π
5
7. x = −
π
18
+ k
2π
3
facebook.com/breakallrulez
1.4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 9
8. x = −
π
2
+ k2π;
π
12
+ kπ;
5π
12
+ kπ
9. x =
kπ
9
;
kπ
2
10. x = ±
π
3

+ k2π
11. x =
π
6
+ k2π;
5π
6
+ k2π
12. x = −
π
4
+ kπ; ±
2π
3
+ k2π
13. x =
π
12
+ kπ;
5π
12
+ kπ
14. x =
π
8
+
kπ
4
;
π

18
+ k
2π
3
;
5π
18
+ k
2π
3
15. x =
π
4
+ k
π
2
; −
π
3
+ kπ
16. x = −
π
6
+ k2π;
π
42
+ k
2π
7
17. x = −

π
2
+ k2π;
π
12
+ kπ;
5π
12
+ kπ
18. x = π + k2π; −
π
4
+ kπ
19. x = ±
π
3
+ k2π; −
π
4
+ kπ
20. x =
π
4
+ kπ
21. x = kπ; ±
2π
3
+ k2π
22. x =
π

2
+ k2π; −
π
6
+ k2π
23. x = ±
2π
3
+ k2π;
π
4
+ kπ
24. x =
π
18
+ k
π
3
; −
π
6
+ k
π
2
25. x = −
π
2
+ k2π;
π
12

+ kπ;
5π
12
+ kπ
1.81. x = k2π; x =
π
2
+ n2π
1.82. x = −
π
4
+ kπ; x = ±
π
3
+ n2π
HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI
Bài 1.6. Ta có
V T = sin
2
x + cos
2
x + 2 cos
2
x(1 −cos
2
x) = 1 + 2 sin
2
x cos x
V P =
1

1 + cot x

sin
2
x + cot x cos
2
x

+ sin x cosx + 2 sin
2
x cos x
=
sin x
sin x + cos x

sin
3
x + cos
3
x
sin x

+ sin x cosx + 2 sin
2
x cos x
= 1 −sin xcos x +sin xcos x +2sin
2
x cos x
= 1 + 2 sin
2

x cos x
Như vậy V T = V P và ta có điều phải chứng minh.
Bài 1.14. Từ sinα = −
1
4
và π < α <
3π
2
tính được tan α =
1
√
15
.
Lại có tan

α −
25π
4

= tan

α −
π
4

=
tan α −tan
π
4
1 + tan α tan

π
4
= Do đó
Bài 1.16.
1. Có sin
4
x =

1 −cos 2x
2

2
=
2. Biến đổi VT=
1 + cos(
π
2
−x)
sin(
π
2
−x)
=
3. Có VP=(cotx + tan x)
2
−2 =
4
sin
2
2x

−2 =
Bài 1.22. Xét Q = sin 5
◦
sin 10
◦
sin 15
◦
sin 20
◦
sin 25
.
sin 85
◦
=
√
2
2
9
sin 10
◦
sin 20
◦
sin 30
◦
sin 80
◦
.
Từ đó có PQ =
√
2

2
9
Q ⇒P =
√
2
2
9
.
facebook.com/breakallrulez
10 CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1.23. Có V T =
1
sin 20
◦
−
1
√
3 cos 20
◦
=
√
3 cos 20
◦
−sin 20
◦
√
3 sin 20
◦
cos 20
◦

=
2 sin(60
◦
−20
◦
)
√
3
2
sin 40
◦
=
4
√
3
= VP.
Bài 1.25. A =
1 + cos x
sin x

sin
2
x + 1 −2cos x +cos
2
x
sin
2
x

=

2
sin x
. Khi A =
4
√
3
3
.
Bài 1.27. Đặt tan
a
2
= t thì tan
b
2
= 4t, do đó tan
b −a
2
=
tan
b
2
−tan
a
2
1 + tan
b
2
tan
a
2

=
3t
1 + 4t
2
Mà
3 sin a
5 −3 cos a
=
3
2t
1+t
2
5 −3
1−t
2
1+t
2
=
3t
1 + 4t
2
. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài 1.28. Nhân chéo, áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng.
Bài 1.30. Từ sin
3
x =
1
4
(3 sin x −sin3x) ta có
P = 27

3 sin 9
◦
−sin 27
◦
4
+ 9 =
81 sin 9
◦
−sin 729
◦
4
=
81 sin 9
◦
−sin 9
◦
4
= 20sin 9
◦
.
Bài 1.31. Ta có
P =

1 −
cos 1
◦
sin 1
◦

1 −

cos 2
◦
sin 2
◦



1 −
cos 44
◦
sin 44
◦

=
(sin 1
◦
−cos 1
◦
)(sin 2
◦
−cos 2
◦
) (sin 44
◦
−cos 44
◦
)
sin 1
◦
sin 2

◦
sin 44
◦
Dùng đẳng thức sin a −cos a =
√
2 sin(a −45
◦
) ta đưa về
√
2 sin(1
◦
−45
◦
)
√
2 sin(2
◦
−45
◦
)
√
2 sin(44
◦
−45
◦
)
sin 1
◦
sin 2
◦

sin 44
◦
= 2
22
.
Bài 1.35. Có
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sinC
= 2R nên a
2
= b
2
+ bc ⇔sin
2
A −sin
2
B = sin B sinC ⇔
Bài 1.37. Có A+B = π −C nên tan(A +B) = tan(π −C) ⇔tan A tanB tanC = tanA +tanB + tanC. Áp dụng BĐT Cauchy
cho ba số dương có
tan A + tan B +tanC ≥ 3
3
√
tan A tanB tanC ⇔P ≥3
3

√
P ⇔P ≥3
√
3
Bài 1.38. Đặt a = sin u,b = cos u và c = sin v,d = cos v thì S = sin u(sinv + cos v) + cos u(sin v −cos v) = sin(u + v) −
cos(u + v) =
√
2 sin

(u + v) +
π
4

. Suy ra −
√
2 ≤S ≤
√
2 ⇔−
√
2 ≤a(c + d)+b(c −d) ≤
√
2.
Bài 1.39. Đặt a = cosα, b = sin α với 0 ≤ α ≤ 2π thì ta có

a
2
+
1
a
2


2
+

b
2
+
1
b
2

2
=

cos
2
α +
1
cos
2
α

2
+

sin
2
α +
1
sin

2
α

2
=

cos
4
α +sin
4
α


1 +
1
cos
4
α sin
4
α

+ 4
=

1 −
1
2
sin
2
α


1 +
16
sin
4
2α

+ 4 ≥
25
2
(vì sin 2α ≤ 1.)
Bài 1.40. Rõ ràng đẳng thức đúng với xyz = 0, nên chúng ta chỉ cần chứng minh với x,y,z = 0. Chia hai vế cho 4xyz ta có
1 −y
2
2y
1 −z
2
2z
+
1 −z
2
2z
1 −x
2
2x
+
1 −x
2
2x
1 −y

2
2y
= 1
Từ điều kiện x + y +z = xyz ta nghĩ đến việc lượng giác hóa bài toán bằng cách đặt x = tan A, y = tanB, z = tanC với A,B,C
là 3 góc của một tam giác, ta đưa bài toàn trở thành:
cot 2B cot2C + cot 2C cot 2A + cot 2Acot 2B = 1
⇔tan 2A +tan2B + tan 2C = tan2A tan2B tan2C
Đây rõ ràng là đẳng thức đúng vì tan(2A + 2B + 2C) = tan 2π = 0. Bài toán được chứng minh.
facebook.com/breakallrulez
1.4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 11
Bài 1.41. Đặt x = tana,y = tanb ta có ngay −1 ≤sin 2(a +b) ≤ 1
Bài 1.42. Nhận thấy hai điểm có tọa độ (x
1
,x
2
) và (y
1
,y
2
) nằm trên đường tròn (O,c) nên có thể đặt (x
1
,x
2
) = (ccos φ,csin φ)
và (y
1
,y
2
) = (c cos ψ,csin ψ). Khi đó
S = 2 −c(cos φ + sin φ + cosψ +sin ψ) + c

2
(cos φ cosψ +sinφ sinψ)
= 2 + c
√
2

−sin

φ +
π
4

−sin

ψ +
π
4

+ c
2
cos(φ −ψ)
Do đó S ≤2 + 2c
√
2 + c
2
=

c +
√
2


2
. Nên GTLN của S là

c +
√
2

2
đạt được khi x
1
= x
2
= y
1
= y
2
=
√
2
2
c.
Bài 1.43. Đặt x = tanA,y = tanB, z = tanC với A,B,C là 3 góc của một tam giác, bài toán trở thành
sin A + sin B +sinC ≤
3
√
3
2
Bài 1.44. Nhân hai vế với 2 được
2x

√
1 −x
2
+
2y

1 −y
2
+
2z
√
1 −z
2
≥ 3
√
3
Từ điều kiện 0 < x,y,z < 1 và xy +yz +zx = 1 ta đặt x = tan
A
2
,y = tan
B
2
,z == tan
C
2
với A,B,C là ba góc của một tam giác
nhọn. Bài toán trở thành
tan A + tan B +tanC ≥ 3
√
3

Bài 1.49. Điều kiện −1 ≤ x ≤ 1 nên đặt x = cost với t ∈ [0,π] được phương trình cos 3t = sint. Đáp số x = cos
π
8
,x =
cos
5π
8
.
Bài 1.50. Điều kiện x ≥ −2. Có nhận xét: Nếu x > 2 thì x
3
−3x > 4x −3x = x >
√
x + 2 nên x ≤ 2. Vậy −2 ≤ x ≤ 2 do đó
đặt x = 2 cosα với α ∈ [0,π]. Phương trình trở thành
2 cos 3α =

2(1 + cosα) = 2 cos
α
2
Giải phương trình này tìm được α = 0,
4π
7
,
4π
5
.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2,x = −
1 +
√
5

2
,x = 2 cos
4π
7
.
Bài 1.51. Điều kiện x ∈ [−1,1] nên đặt x = cos α với α ∈ [0,π] được phương trình

1 +

1 −cos
2
α


(1 + cosα)
3
−

(1 −cosα)
3

= 2 +

1 −cos
2
α
⇔
√
1 + sin α




8

1 + cos α
2

3
−

8

1 −cos α
2

3


= 2 + sin α
⇔2
√
2

sin
α
2
+ cos
α
2


cos
α
2
−sin
α
2


1 +
1
2
sin α

= 2 + sin α
⇔
√
2 cos α(2 + sin α) = 2 + sin α
⇔cos α =
1
√
2
⇒ x =
1
√
2
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =
1
√
2

.
Bài 1.57. Biến đổi thành (1 +sin x)(1 −2sin x +2 cos x) = 0
Bài 1.58. Biến đổi 1+sin x −2 sin x−2 sin
2
x+2 cosx +2 sin 2x = 0 ⇔cos2x+2 sin2x = sin x −2 cosx ⇔
√
5 sin(2x +α) =
√
5 sin(x + β )
facebook.com/breakallrulez
12 CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1.62. Biến đổi thành (sinx −1)(sin x + cos x +2) = 0
Bài 1.63. Biến đổi (1 −2 sin
2
2x) = sin 7x −sin x ⇔ cos 4x = 2 cos4x sin3x
Bài 1.64. Hạ bậc và nhóm (cos 10x + cos 8x)+1 = cosx + 2 cos x(4cos
3
3x −3 cos 3x) ⇔ cosx = 1 ⇔ x = k2π.
Bài 1.65. sinx

1 −4sin
2
x

+ 1 −4sin
2
x =
√
3 cos x


1 −4sin
2
x

⇔

1 −4sin
2
x

sin x −
√
3 cos x + 1

= 0
Bài 1.66. PT ⇔1 −2 sin
2
x cos
2
x −
7
8
tan(x +
π
6
)cot(x +
π
6
) = 0 ⇔sin 2x =
1

2
Bài 1.67. Tách và nhóm thành 2(cotx −cos x + 1) −3(tan x −sinx + 1) = 0 sau đó qui đồng
Bài 1.68. Biến đổi sinx + cos x = sin 2x + 1 −2sin
2
x ⇔sin x +cos x = sin 2x + cos 2x ⇔ sin

x +
π
4

= sin

2x +
π
2

Bài 1.69. cos
3
x −sin
2
x cos x + sinx −2 sin
2
x cos x = 0 ⇔cos x

cos
2
x −sin
2
x


+ sin x(cos x −sinx)
2
= 0
Bài 1.70.
cos x
√
2 sin x
+
2 sin xcos x
sin x + cos x
= 2cos x ⇔


cos x = 0
1
√
2 sin x
+
2 sin x
sin x + cos x
= 2
⇔

cos x = 0
sin x −2
√
2 sin xcos x +cosx = 0
Bài 1.71.
cos
2

x −sin
2
x
sin x cosx
=
cos 4x
sin x cosx
⇔ cos2x = cos 4x
Bài 1.72.
3(cos 2x + cot 2x)
cot 2x −cos 2x
= 2sin 2x +2 ⇔
3(sin 2x + 1)
1 −sin 2x
= 2(sin 2x +1)
Bài 1.74.
1. Đặt t =
x
3
.
2. Đặt t =
2x
3
3. Đặt t = x +
π
4
Bài 1.75. Biến đổi thành cos(2x +
π
3
) + 5cos(x +

π
6
) + 3 = 0 sau đó áp dụng công thức nhân đôi.
Bài 1.76. Biến đổi thành (cos5x−cos x)(sinx+cos x) = −2cos x (cos 4x−cos x) ⇔−2sin 3xsin 2x(sinx+cos x) = 2cos x(−2sin 3x sin x)
Bài 1.77. Biến đổi (sin x +cos x)(cos x −3 sin x) = 2 sinx cos5x ⇔cos 2x −2sin
2
x = sin 2x+sin6x −sin 4x ⇔2cos 2x−1 =
sin 4x(2 cos2x −1)
Bài 1.78. (2cos(2x +
π
6
) + 1)sin 2x = 4cos 5xsin 2xcos(5x −
π
3
) ⇔sin 2x ( ) = 2 sin2x(cos(10x −
π
3
) + cos
π
3
)
Bài 1.79.
1. Đưa về phương trình bậc ba
2. 2cos x(2 cos
2
x + 3
√
2 sin x −4) = 0. Đáp số
π
2

+ kπ,
π
4
+ k2π,
3π
4
+ k2π.
3. Biến đổi (2cos x −1)(sin x +cosx) = 0. Đáp số ±
π
3
+ k2π,−
π
4
+ kπ.
4. Hạ bậc, đưa về góc 6x. Đặt t = sin6x, được phương trình (1 + t)
2
+ (1 −t)
2
= 2. Đáp số x = k
π
6
.
5. Chia hai vế cho cos
2
x được t
3
+t
2
−3t −3 = 0. Đáp số −
π

4
+ kπ,±
π
3
+ kπ.
6. Biến đổi thành cos 8x + 3 cos 4x + 3 cos 2x = 8cos x(cos9x + 3cos 3x) −
1
2
⇔ cos 8x + 3 cos4x + 3 cos2x = cos 8x +
cos 10x + 3 cos4x + 3 cos 2x −
1
2
⇔ cos10x = 1/2
7. Đặt t = tanx được phương trình Đáp số
π
4
+ k
π
2
,±
π
6
+ kπ.
8. Đẳng cấp bậc ba. Đáp số k
π
4
.
facebook.com/breakallrulez
1.4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 13
9. Qui đồng, nhóm thành cos5x(1 −

√
2 sin 3x) = 0. Đáp số
π
12
+ k2p3,
π
4
+ k2p3,
π
10
+ k
π
5
.
10. Đặt t = cos2x. Đáp số ±
π
6
+ kπ.
11. Đưa về phương trình bậc hai của cos 2x. Đáp số kπ,±
π
3
+ kπ.
12. Đưa về phương trình bậc hai của cos x. Đáp số −
π
2
+ k2π,
π
6
+ k2π,
5π

6
+ k2π.
13. Phương trình đối xứng.
14. Qui đồng, biến đổi thành (sinx −cos x)(1 + sin 2x) = 0. Đáp số −
π
4
+ kπ,
π
4
+ kπ.
15. Hạ bậc, đưa về phương trình bậc hai của sin x. Đáp số
π
2
+ k2π,−
π
6
+ k2π,
7π
6
+ k2π.
Bài 1.82. Chia hai vế cho sin
2
x
Bài 1.83. Biến đổi thành
sin 2x(cos x + 3) −2
√
3.cos
3
x −3
√

3.cos 2x + 8(
√
3.cos x −sinx) −3
√
3 = 0
⇔2 sin x.cos
2
x + 6 sin x.cos x −2
√
3.cos
3
x −6
√
3cos
2
x + 3
√
3 + 8(
√
3.cos x −sinx) −3
√
3 = 0
⇔(
√
3 cos x −sinx)(−2cos
2
x −6 cos x +8) = 0
Bài 1.84. Điều kiện sin3x = 1. Biến đổi cos(3x −
π
2

) −4cos(x −
π
6
) −3 = 0 ⇔4 cos
3
(x −
π
6
) −7cos(x −
π
6
) −3 = 0
Bài 1.85. 2(1 +cos x)(sin x + cos x) = (sinx −1)sin
2
x ⇔2(1 + cos x)(sin x + cosx) = (sin x −1)(1 −cos x)(1 +cosx)
Bài 1.86. Phương trình đẳng cấp bậc ba.
Bài 1.87. Biến đổi thành cosx = (
√
3 sin x + cosx)
3
là phương trình đẳng cấp bậc ba.
Bài 1.88. sin
4
x +
1
2

1 −sin
2
x


2
=
1
3
⇔
3
2
sin
4
x −sin
2
x +
1
6
= 0
Bài 1.89. Nhận xét cos x = 0 không là nghiệm nên nhân hai vế của phương trình với cos x được 2 sin 3x(4 cos
2
−3)cos x =
cos x ⇔ 2sin 3xcos 3x = cosx ⇔sin 6x = sin(
π
2
−x)
Bài 1.90. Nhận xét V T ≤
√
2 ≤V P. Phương trình vô nghiệm.
Bài 1.91. Phương trình tương đương với 4(cos x +1)+2 (cos2x + 2)+(cos 4x + 1) = 0. Đánh giá, phương trình vô nghiệm.
Bài 1.92. Biến đổi thành (2cos 4x + 1)
2
+

√
1 −cos 3x = 0.
Bài 1.93. PT ⇔ 2sin 5x + 2 sinx = 1 + 2 sin3x
Kiểm tra thấy cos x = 0 không thỏa mãn phương trình đã cho.
Nhân hai vế của PT với cos x ta được
PT ⇔2 sin 5xcos x +sin2x = cos x +2 sin3x cosx ⇔sin 6x = cosx
Từ đó tìm được nghiệm của phương trình là
π
14
+
k2π
7
và
π
10
+
k2π
5
Bài 1.94. cosx(1 −4 sin
2
x) −(1 −2sin x) = 0.
facebook.com/breakallrulez
14 CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1.95. Ta có
(
cos x
sin x
−
cos x
1 −cos x

) + (sinx −
1
sin x
) = 0
⇔cos x(
1
sin x
−
1
1 −cos x
−
cos x
sin x
) = 0
⇔cos x(
1 −cos x
sin x
−
1 + cos x
1 −cos
2
x
) = 0
⇔cos x(sinx(1 −cos x)−(1 + cos x)) = 0
Đáp số ±
π
2
+ k2π.
Bài 1.96. (sin3x+sin x)+(1+sin 2x)−(cos 3x−cos x) = cos 2x ⇔2sin 2x (sin x+cos x)+(sin x+cos x)
2

+sin
2
x−cos
2
x =
0. Đáp số: ±
2π
3
+ k2π,k2π,π + k2π,
−π
4
+ k2π,
3π
4
+ k2π.
Bài 1.97. 2sin 2x cos 2x + 3 sin2x + tan 2x = 0 ⇔ sin 2x(2 cos
2
2x + 3 cos 2x +1) = 0. Đáp số: ±
π
3
Bài 1.98. sin2x + 2 cos
2
x −1 −(sinx + cosx) = 0 ⇔ sin2x + cos 2x = sin x + cosx ⇔ sin(2x +
π
4
) = sin(x +
π
4
). Đáp số:
k2π,

π
6
+ k
2π
3
Bài 1.100. Đặt x = sint với t ∈[−
π
2
,
π
2
] được phương trình 2sint +(4 sin
2
t −1).cost = 4sin
3
t +cost ⇔(sin 2t −1)(sint +
cost) = 0
facebook.com/breakallrulez