BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
  
TIỂU LUẬN HÀM SUY RỘNG
ĐỀ TÀI: TÍNH ĐỊA PHƯƠNG
CỦA HÀM SUY RỘNG
Cán bộ hướng dẫn khoa học
PGS-TS. LÊ VIẾT NGƯ
Học viên thực hiện:
NGUYỄN ĐỨC TÍN
Chuyên ngành: Giải Tích
Huế, tháng 11, năm 2011
i
Mục lục
Trang phụ bìa i
Mục lục 1
Lời nói đầu 3
Phần 1 Tổng quan về hàm suy rộng 4
1.1 Hàm cơ sở và không gian cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Định nghĩa 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Định nghĩa 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Định nghĩa 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Hàm Suy Rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Định nghĩa 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Định nghĩa 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Các phép toán trên các hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Tổng của hai hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Tích của một số thưc với hàm suy rộng . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Tích của một hàm khả vi vô hạn và một hàm suy rộng . 7
1.3.4 Phép biến đổi tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.5 Phép chuyển giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Phân hoạch đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Phần 2 Tính địa phương của hàm suy rộng 10
1
2.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Định nghĩa 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Định nghĩa 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Định nghĩa 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.4 Định nghĩa 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Tính chất của hàm suy rộng (Tính địa phương) . . . . . . . . . 11
2.2.1 Định lý 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Nhận Xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.4 Định Lý 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Phần 3 Nhận Xét mở rộng 15
3.1 Một vài nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 Không gian hàm cơ bản D(Ω), không gian hàm suy rộng
D

(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Tính địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Kết luận 18
Tài liệu tham khảo 19
2
LỜI NÓI ĐẦU
Hàm suy rộng xuất hiện từ thập kỉ thứ hai của và thế kỉ thứ 20. Lý thuyết
hàm suy rộng được Xôbôlep đặc cơ sở và áp dụng để giải bài toán Côsi cho

phương trình Hypebolic(1936) và năm 1945 được L.Schwartz xây dựng một
cách hệ thống lý thuyết hàm suy rộng. Là công cụ thích hợp để mô tả sự phân
bố của các đại lượng Vật lí. Trong tiểu luận này chúng tôi xin trình bày một
kiến thức nhỏ nhưng không kém phần quan trọng trong lý thuyết hàm suy rộng.
Đó là tìm hiểu về tính địa phương của hàm suy rộng.
Nội dung của tiểu luận được chia làm ba phần:
Phần I: Chúng tôi xin trình bày một số kiến thức tổng quan về hàm suy rộng.
phần II: Trình bày về tính địa phương của hàm suy rộng.
Phần III: Một vài nhận xét và kết quả mở rộng.
Để hoàn thành tiểu luận, chúng tôi xin chân thành cảm ơn thầy PGS-TS
Lê Viết Ngư đã tận tình giảng dạy học và hướng dẫn tôi về bộ môn.
Trong một thời gian ngắn phải hoàn thành nên tiểu luận không tránh khỏi
những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn.
Huế, tháng 11 năm 2011
Nguyễn Đức Tín
3
Phần 1
TỔNG QUAN VỀ HÀM SUY RỘNG
1.1 Hàm cơ sở và không gian cơ sở
1.1.1 Định nghĩa 1
Hàm số ϕ : R
n
−→ R được gọi là hàm tiêu hạn (hàm có giá giới nội), nếu
ϕ(x) bằng không ở ngoài một miền bị chặn nào đó của R
n
* Bao đóng của tập tất cả các phần tử x thuộc R
n
mà ϕ(x) = 0 được gọi là
giá của hàm tiêu hạn ϕ,
Suppϕ = {x ∈ R

n
: ϕ(x) = 0}
Ví dụ :
ϕ(x) =





e
x
với |x| ≤ 1
0 với |x| ≥ 1
; x ∈ R
n
(1.1)
là hàm tiêu hạn. Giá của ϕ(x) là hình cầu đóng đơn vị.
1.1.2 Định nghĩa 2
Tập hợp K gồm tất cả các hàm thực ϕ(x), tiêu hạn có đạo hàm liên tục
mọi cấp được gọi là không gian các hàm cơ sở .Mỗi một ϕ(x) được gọi là một
hàm cơ sở.
Chú ý:
1)Tổng hai hàm cơ sở là một hàm cơ sở.
2)Tích của một số thực với một hàm cơ sở là hàm cơ sở.
3) K là một không gian tuyến tính.
4
1.1.3 Định nghĩa 3
Ta nói rằng dãy ϕ
1
(x), ϕ

2
(x), ϕ
n
(x), các hàm cơ sở hội tụ về không
trong không gian K, nếu tất cả các hàm của dãy đều:
a) Bằng không ở ngoài cùng một miền bị chặn.
b) Hội tụ đều về không cùng với đạo hàm mọi cấp của chúng.
Kí hiệu: ϕ
n
→ 0 trong K hay lim
n→∞
ϕ
n
= 0 khi n → ∞
Ta cũng nói rằng dãy ϕ
1
(x), ϕ
2
(x), ϕ
n
(x), các hàm cơ sở hội tụ về hàm cơ
sở ϕ
1
(x) trong K nếu dãy (ϕ
n
(x) − ϕ(x))
n
hội tụ về không trong K.
Chú ý :
1)Tích của một hàm cơ sở với một hàm khả vi vô hạn là hàm cơ sở.

2) L là phép biến đổi tuyến tính không suy biến trong.R
n
. Khi đó với mọi hàm
cơ sở ϕ(x), ϕ(Lx) cũng là một hàm cơ sở.
1.2 Hàm Suy Rộng
1.2.1 Định nghĩa 1
Ta nói rằng trên không gian các hàm cơ sở K xác định một phiếm hàm
tuyến tính, liên tuc f, nếu với mỗi hàm cơ sở ϕ(x) ∈ K ta đặt tương ứng một
số thực (f, ϕ) thoả mãn các điều kiện sau:
1) Tính tuyến tính: Với ∀α
1
, α
2
∈ R, ∀ϕ
1
, ϕ
2
∈ K.Ta có:
(f, α
1
ϕ
1
+ α
2
ϕ
2
) = α
1
(f, ϕ
1

) + α
2
(f, ϕ
2
) .
2) Tính liên tục: Nếu dãy hàm ϕ
1
(x), ϕ
2
(x), hội tụ về không trong K thì dãy
số (f, ϕ
1
(x)), (f, ϕ
2
(x)), hội tụ về không trong R.
1.2.2 Định nghĩa 2
Hàm suy rộng f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các
hàm cơ sở K.
Chú ý :
1)Nếu f là hàm khả tích trong mỗi miền bị chặn của không gian R
n
. Với mỗi
5
hàm cơ sở ϕ(x) ∈ K. ta đặt tương ứng một số :
(f, ϕ) =

R
n
f(x)ϕ(x)dx Hàm suy rộng dạng (1) gọi là hàm suy rộng chính qui
Hàm suy rộng dạng còn lại gọi là hàm suy rộng kì dị.

Kí hiệu : Hàm suy rộng được kí hiệu là (f, ϕ(x)) hoặc (f, ϕ) =

R
n
f(x)ϕ(x)dx
2) Các hàm suy rộng chính qui đặc biệt
+ Hàm suy rộng hằng số C :(f, ϕ) = C

R
n
ϕ(x)dx
+ Hàm suy rộng đơn vị (1, ϕ) =

R
n
ϕ(x)dx
3) Tập tất cả các hàm suy rộng kí hiệu là K’
1.3 Các phép toán trên các hàm suy rộng
1.3.1 Tổng của hai hàm suy rộng
Cho hai hàm suy rộng f và g. Tổng f + g của chúng là một hàm suy rộng
được định nghĩa như sau:
(f + g, ϕ) = (f, ϕ) + (g, ϕ) với mọi ϕ ∈ K
Đặc biệt, nếu f và g là hai hàm suy rộng chính quy tương ứng với các hàm khả
tích địa phương f(x) và g(x) thì tổng f + g cũng là hàm suy rộng chính quy
tương ứng với hàm f(x) + g(x) khả tích địa phương.
1.3.2 Tích của một số thưc với hàm suy rộng
Tích của một số thực α ∈ R với một hàm suy rộng f được định nghĩa như
sau:
(αf, ϕ) = α(f, ϕ) = (f, αϕ); ∀ϕ ∈ K
Ta dễ dàng kiểm tra được hàm αf là tuyến tính và liên tục trên K tức là αf

cũng là một hàm suy rộng.
Hoàn toàn tương tự trên, hàm suy rộng chính quy αf tương ứng với một
6
hàm khả tích địa phương αf(x):
(αf, ϕ) = α

R
n
f(x)ϕ(x)dx
Từ các định nghĩa trên ta thấy K

cũng là một không gian tuyến tính.
1.3.3 Tích của một hàm khả vi vô hạn và một hàm suy rộng
Tích của một hàm khả vi vô hạn a(x) và một hàm suy rộng f được định
nghĩa như sau:
(af, ϕ) = (f, aϕ), ∀ϕ ∈ K
Dễ thấy af là phiếm hàm tuyến tính liên tục nên af là một hàm suy rộng.
Đặc biệt nếu f là hàm suy rộng chính quy thì:
(af, ϕ) = (f, aϕ) =

R
n
f(x)[a(x)ϕ(x)]dx =

R
n
[a(x)f(x)]ϕ(x)dx.
1.3.4 Phép biến đổi tuyến tính
Cho L là một phép biến đổi tuyến tính không suy biến trong R
n

và f là
một hàm suy rộng tuỳ ý, ta có công thức phép biến đổi tuyến tính sau:
(Lf, ϕ) =| L | (f, ϕ(Lx)), ∀ϕ ∈ K (2)
Ví dụ: Xét phép tịnh tiến theo vectơ h.Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ h đựoc
cho bởi công thức: (Lf, ϕ) = (f, ϕ(Lx)) = (f, ϕ(x + h))
Ta kiểm tra được bằng cách tính | L |= 1 và thay vào (2).
Ta cũng có thể viết công thức trên dưới dạng: (f(x − h), ϕ) = (f, ϕ(x + h)) (3)
Với hàm suy rộng chính quy thì:

R
n
f(x − h)ϕ(x)dx =

R
n
f(x)ϕ(x + h)dx
Công thức này đúng với công thức của tích phân các hàm thông thường.
7
1.3.5 Phép chuyển giới hạn
Dãy hàm suy rộng f
1
, f
2
, , f
n
, được gọi là hội tụ về hàm suy rộng f nếu
với hàm cơ sở bất kì ϕ(x) ∈ K, ta có lim
n→∞
(f
n

, ϕ) = (f, ϕ).
Kí hiệu: lim
n→∞
f
n
= f hay f
n
→ f khi n → ∞.
Hoàn toàn tương tự ta có thể định nghĩa được chuỗi hàm suy rộng hội tụ
như sau:
Chuỗi hàm suy rộng
∞

i=1
f
i
gọi là hội tụ về hàm suy rộng g nếu dãy các tổng
riêng g
n
=
n

i=1
f
i
, (n = 1, 2, ) hội tụ về hàm suy rộng g.
1.4 Phân hoạch đơn vị
1.4.1 Khái niệm
Giả sử có một phủ đếm được trong không gian R
n

gồm các miền bị chặn
U
1
, U
2
, , U
m
, Phủ này hữu hạn địa phương theo nghĩa, với mỗi điểm x của
R
n
chỉ được phủ bởi hữu hạn số tập U
i
, i = 1, 2 Bây giờ đòi hỏi xây dựng dãy
hàm khả vi vô hạn e
1
(x), e
2
(x), , e
m
(x) thoả các điều kiện:
a) 0 ≤ e
k
(x) ≤ 1; k = 1, 2,
b) e
k
(x) = 0 ở ngoài miền U
k
; k = 1, 2,
c)
∞


i=1
e
i
(x) ≡ 1
Các e
k
(x) với mỗi x ∈ R
n
là khác không chỉ với hữu hạn số hạng(do điều
kiện b và tính hữu hạn địa phương của tập {U
i
})
Ta gọi {e
i
(x)} là phân hoạch đơn vị tương ứng với phủ {U
i
}; còn gọi tắt là
phân hoạch đơn vị.
1.4.2 Nhận xét
1) Giả sử {e
i
} là phân hoạch đơn vị tương ứng với phủ {U
i
} của R
n
. Khi
đó với mọi hàm cơ sở ϕ(x) tuỳ ý, ta luôn có :
ϕ(x) =
∞


i=1
ϕ
i
(x) (1)
8
Với ϕ
i
(x) = ϕ(x)e
i
(x) là các hàm cơ sở bằng không ngoài miền U
i
, i = 1, 2,
Trong đó, các số hạng bên phải của (1)là hữu hạn nếu chúng ta thêm điều
kiện là : mỗi hình cầu |x| ≤ n chỉ giao với hữu hạn miền U
i
đã cho.
2)Nếu ϕ
n
(x) → 0 trong K khi n → ∞ thì ϕ
ni
(x) = ϕ
n
(x)e
i
(x) → 0 trong K
khi n → ∞.
9
Phần 2
TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA HÀM SUY RỘNG

2.1 Các định nghĩa
2.1.1 Định nghĩa 1
Hàm suy rộng f bằng không trong lân cận U của điểm x
0
đã cho, nếu mọi
hàm cơ sở ϕ ∈ K, khác không chỉ trong lân cận đó, thì ta luôn có đẳng thức
(f, ϕ) = 0
Nói cách khác, hàm suy rộng f = 0 trong lân cận U của điểm x
0
nếu với
mọi ϕ ∈ K mà :





ϕ(x) = 0 nếu x ∈ U
ϕ(x) = 0 nếu x /∈ U
(2.1)
ta luôn có đẳng thức (f, ϕ) = 0 Từ đó ta nói rằng
Hàm suy rộng f = 0 trong miền mở G nếu nó bằng không trong lân cận nào
đó của mỗi điểm thuộc G.
2.1.2 Định nghĩa 2
Hàm suy rộng f bằng không trong miền G, nếu với hàm cơ sở tuỳ ý, chỉ
khác không trên tập Q cùng với bao đóng Q của nó thì ta luôn có đẳng thức :
(f, ϕ) = 0.
10
2.1.3 Định nghĩa 3
Ta gọi x
0

là điểm thưc chất của phiếm hàm suy rộng f nếu hàm suy rộng
f khác không trong mọi lân cận của x
0
.
2.1.4 Định nghĩa 4
Tập tất cả các điểm thực chất của phiếm hàm f được gọi là giá của hàm
suy rộng. Nếu tập F chứa giá của hàm suy rộng f và f bằng không ở ngoài
ε-lân cận của F (ε > 0) thì ta nói hàm suy rộng f tập trung trên F.
2.2 Tính chất của hàm suy rộng (Tính địa phương)
2.2.1 Định lý 1
Tính địa phương của hàm suy rộng được định nghĩa theo đinh nghĩa 1 và
định nghĩa 2 là tương đương nhau.
Chứng minh
Định nghĩa 2 suy ra định nghĩa 1 là hiển nhiên
Ta chứng minh định nghĩa 1 suy ra định nghĩa 2
Giả sử hàm suy rộng f bằng không trong miền G (theo định nghĩa 1). Xét
hàm cơ sở ϕ(x) mà ϕ(x) = 0 chỉ trong Q; Q ⊂ Q.
Khi đó:
Với mọi x ∈ Q, bao giờ cũng tồn tại lân cận U mà hàm suy rộng f bằng 0
trên U (theo định nghĩa 1). Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử U bị
chặn. Tập hợp các U này lập thành một phủ của Q.
Theo định lý Hainơ-Borel từ phủ trên ta luôn tìm được phủ đếm được:
U
1
, U
2
, U
m
, có tính chất : Mỗi hình cầu |x| ≤ n chỉ giao với hữu hạn số lân
cận U

i
đó. Theo nhận xét trình bày ở phần trước , hàm cơ sở ϕ(x) như trên có
thể viết dưới dạng :
ϕ(x) =
∞

i=1
ϕ
i
(x) (1)
11
Trong đó các ϕ
i
(x) = 0 ngoài các lân cận U
i
(i = 1, 2 ) đồng thời số các số
hạng bên phải của (1) là hữu hạn. Do đó theo định nghĩa 1 trên các U
i
ta có
(f, ϕ
i
(x) = 0, i = 1, 2,
Vậy (f, ϕ(x)) = (f,
∞

i=1
ϕ
i
(x) =
∞


i=1
(f, ϕ
i
(x)) = 0 .
2.2.2 Nhận Xét
1) Hàm suy rộng f bằng không trong lân cận của mỗi một điểm là hàm
không. Có nghĩa là , với mọi ϕ ∈ K thì (f, ϕ) = 0
2) Nếu hàm cơ sở ϕ(x) bằng không trong một lân cận U nào đó của giá F
của hàm suy rộng f thì (f, ϕ) = 0
Kiểm chứng :
Theo định nghĩa 1 thì f = 0 ở ngoài F vì nếu F khác không ở ngoài F thì vi
phạm định nghĩa F là tập hợp tất cả các điểm thực chất của hàm suy rộng. Do
đó theo định nghĩa 2 ta có nhận xét trên.
3)Sự thay đổi giá trị của hàm cơ sở ϕ ở ngoài lân cận của giá F của hàm suy
rộng f không ảnh hưởng đến giá trị của đại lượng (f, ϕ).
Kiểm chứng :
Giả sử có sự thay đổi của hàm cơ sở ϕ ở ngoài lân cận của giá F. Khi đó điều
này tương đương với việc bổ sung vào hàm cơ sở ϕ một hàm khac là ψ, với ψ
bằng 0 trong lân cận giá F của hàm f.
Vì vậy : (f, ψ) = 0. Do đó (f, ϕ + ψ) = (f, ϕ) + (f, ψ) = (f, ϕ)
4) Hai hàm suy rộng f và g được gọi là trùng nhau trong miền suy rộng G
nếu hiệu f − gbằng 0 trong miền đó. Vì vậy có thể nói :Nếu f và g là hai hàm
suy rộng trùng nhau trong lân cận của mỗi một điểm thì chúng sẽ trùng nhau
trên toàn bộ, tức là: (f, ϕ) ≡ (g, ϕ) với ∀ϕ ∈ K. Nói chính xác hơn: Các hàn
suy rộng f và g thực chất là một hàm suy rộng.
12
2.2.3 Mệnh đề
Mỗi hàm suy rộng xác định một cách đơn trị bởi các giá trị địa phương của
chính nó.

2.2.4 Định Lý 2
Nếu tại mỗi điểm x
0
∈ R
n
có lân cận U(x
0
) sao cho với mọi hàm cơ sở ϕ(x)
điều bằng 0 ở ngoài lân cận này,cho trước các số (f, ϕ) với giả thiết các số đó
chỉ phụ thuộc liên tục và tuyến tính vào ϕ mà không phụ thuộc vào việc chọn
điểm x
0
thoả mãn giả thiết ở trên. Khi đó, luôn luôn ttòn tại một phiếm hàm
tuyến tính liên tục trên không gian cơ sở K, trùng với hàm suy rộng f tại các
ϕ(x) mà ở đó phiếm hàm f xác định.
Chứng minh
Ta nhận thấy rằng các lân cận U(x
0
) theo giả thiết trên là tồn tại ở mỗi điểm
của R
n
và vì vậy, chúng tạo thành một phủ của không gian R
n
. Không mất tính
tổng quát, ta có thể nói các lân cận này là bị chặn.
Áp dụng định lý Hainơ- Borel, từ phủ trên ta tìm được một phủ đếm được
U
1
, U
2

, U
m
, có tính chất : Mỗi hình cầu |x| ≤ n chỉ giao với hữu hạn số lân
cận U
i
. Gọi ϕ(x) là hàm cơ sở tuỳ ý trên K, khi đó theo nhận xét ở phần trước
ta luôn viết được ϕ(x) dưới dang:
ϕ(x) =
∞

i=1
ϕ
i
(x) (1)
Trong đó ϕ
i
(x) là các hàm cơ sở bằng 0 ở ngoài U
i
và tổng (1) là hữu hạn.
Xét phiếm hàm g trên K xác định bởi công thức:
(g, ϕ(x)) = (g,
∞

i=1
ϕ
i
(x) (2)
Rõ ràng g là phiếm hàm tuyến tính do tính tuyến tính của các số (g, ϕ
i
(x)).

Hơn nữa g cũng là phiếm hàm liên tục.
Thật vậy, nếu có dãy (ϕ
j
)
j
mà ϕ
j
(x) → 0 trong K khi j → ∞, thì với mỗi i
đã ấn định, ta có ϕ
j
(x) =
∞

i=1
(ϕ
j
i
)(x) → 0 trong K khi j → ∞
Sự hội tụ đó xảy ra với điều kiện đã nói trên là tổng bên phải ở (2) là hữu
13
hạn và giá cảu hàm ϕ được chứa trong số hình cầu được ấn định theo i.
Tóm lại, (g, ϕ(x)) = (g,
∞

i=1
(ϕ
j
i
)(x) → 0.
Việc xây dựng phiếm hàm g không phụ thuộc vào viêc chọn phủ U

i
với tính
chất đã chỉ ra ở trên.
Thật vậy:
Nếu V
j
là một phủ khác của R
n
cũng có tính chất như phủ U
i
và g
1
là phiếm
hàm có được bằng cách xây dựng tương tự như phiếm hàm g, khi đó g ≡ g
1
địa
phương (Tức chúng trùng nhau trong lân cận U
m
nào đó) như vậy g ≡ g
1
trên
toàn bộ không gian K.
14
Phần 3
NHẬN XÉT MỞ RỘNG
3.1 Một vài nhận xét
1) Từ kiến thức trên ta thấy rằng mỗi hàm suy rộng có thể được xây dựng
một cách tổng thể nhờ vào sự cho trước mang tính địa phương của nó.
2) Trong phần đã trình bày ta xây dựng khái niệm hàm suy rộng f bằng không
trong lân cận U của x

0
bằng tính tiêu hạng của hàm cơ sở. Tuy nhiên ta có thể
mở rộng khái niệm này cho một không gian các hàm cơ bản khác D(Ω). Ta xem
xét thêm một vài yếu tố đó như sau.
3.2 Mở rộng
3.2.1 Không gian hàm cơ bản D(Ω), không gian hàm suy rộng D

(Ω)
Định nghĩa 1
Không gian D(Ω) là không gian gồm các hàm ϕ ∈ C
∞
0
với khái niệm hội tụ
sau: dãy {ϕ
j
}
∞
j=1
các hàm trong C
∞
0
được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ C
∞
0
nếu:
i) Có một tập compact K ⊂ Ω mà Suppϕ
j
⊂ K, j = 1, 2,
ii) lim
j→∞

sup
x∈Ω
|D
α
ϕ
j
(x) − D
α
ϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Z
n
+
Khi đó ta viết ϕ = D- lim
j→∞
ϕ
j
Định nghĩa 2
Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trong Ω nếu f là một phiếm hàm tuyến
tính liên tục trên D(Ω)
Hàm suy rộng f ∈ D

(Ω) tác động lên hàm ϕ ∈ D(Ω) được viết là < f, ϕ >.
15
Hai hàm suy rộng được gọi là bằng nhau nếu < f, ϕ >=< g, ϕ >, ∀ϕ ∈ D.
Tập tất cả các hàm suy rộng trong Ω lập thành không gianD

(Ω)
3.2.2 Tính địa phương
Cho Ω
1
, Ω

2
là các tập mở trong R
n
và Ω
1
⊂ Ω
2
. Với mỗi hàm ϕ ∈ C
∞
0
có thể
coi là trên Ω
2
bằng cách sau
ϕ
Ω
2
(x) =





ϕ(x) với x ∈ Ω
0 với x ∈ Ω
2
\Ω
1
(3.1)
thì ϕ ∈ C

∞
0
.
Khi đó, với mỗi f ∈ D

ta coi là một hàm suy rộng trên Ω
1
bằng cách sau
< f|
Ω
1
, ϕ >=< f, ϕ
Ω
2
>, ∀ϕ ∈ D .
Định nghĩa 3
Cho Ω là tập mở trong R
n
điểm x ∈ Ω, các hàm suy rộng f, g ∈ D

(Ω).
Ta nói rằng f bằng g tại x nếu có một lân cận mở ω ⊂ Ω của x để
f|
ω
= g|
ω
.
Chú ý:
1) Cho f, g ∈ D


(Ω). Khi đó f = g tại mọi điểm x ∈ ω nếu với mọi lân cận mở
ω ⊂ Ω của x ta điều có một hàm ϕ ∈ D, suppϕ ⊂ ω sao cho
< f, ϕ >=< g, ϕ >
hay có một hình cầu B
r
k
(x) ⊂ Ω mà r
k
 0 khi k  ∞ và một dãy hàm
ϕ ∈ C
∞
0
mà suppϕ
k
⊂ B
r
k
(x) sao cho
< f, ϕ
k
>=< g, ϕ
k
> .
2) Cho f, g ∈ D

(Ω). Nếu f = g trong D

(Ω) thì f = g tại mọi điểm x ∈ Ω.
Định lí sau đây cho ta điều ngược lại cũng đúng.
16

Định lí
Cho f, g ∈ D

(Ω). Nếu với mọi x ∈ Ω điều có f = g tại x thì f = g trong
D

(Ω)
Chứng minh
Với mỗi ϕ ∈ D(Ω) có K = suppϕ là tập compact trong Ω. Từ giả thiết với mỗi
x ∈ K có một lân cận mở ω
x
của x mà
f|
ω
x
= g|
ω
x
.
Có K ⊂ ∪
x∈K
ω
x
mà K compact nên có một số hữu hạn điểm x
1
, x
2
, x
m
∈ K

mà K ⊂ ∪
m
j=1
ω
x
. Theo định lí phân hoạch đơn vị có một họ hữu hạn các hàm
{ψ
j
}
m
j=1
trong D(Ω) sao cho:
i) 0 ≤ ψ
j
(x) ≤ 1, ∀x ∈ K, j = 1, 2,
ii) suppψ
j
⊂ ω
x
j
, j = 1, 2,
iii)
m

j=1
ψ
j
(x) = 1, ∀x ∈ K
Khi đó có :
< f, ϕ >=< f,

m

j=1
ψ
j
ϕ > =
m

j=1
< f|
ω
j
, ψ
j
ϕ > =
m

j=1
< g|
ω
j
, ψ
j
ϕ > =< g, ϕ >,
nên ta cóf = g trong D

(Ω).
17
KẾT LUẬN
Tiểu luận đã tóm lược những nội dung quan trọng cần thiết nhất của Hàm

suy rộng đặc biệt tập trung sâu vào một số tính chất cơ bản về tính địa phương
của hàm suy rộng, đồng thời được mở rộng ra cho không gian các hàm cơ bản
khác.
Do hạn chế về thời gian và kiến thức cũng như trong khuôn khổ yêu cầu
của một tiểu luận nên còn nhiều vấn đề về kiến thức liên quan được trình bày
chưa sâu, các định lí, mệnh đề, không trình bày phần chứng minh ở đây.
Trong thời gian tới, em hy vọng có điều kiện khảo sát các vấn đề trên và
hoàn thiện hơn các kết quả trong tiểu luận này.
Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn.
18
Tài liệu tham khảo
1. Lê Viết Ngư, Giáo trình hàm suy rộng (Giáo trình sau đại học).
2. Vladimirov, V. S Equations of Mathematics Physics, Mir Publish-
ers,Moscow 1984.
3. Tài liệu tham khảo từ Website: datuan5pdes.wordpress.com.
19