BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGÔ THỊ HOÃN
KHUNG CỦA CÁC TỊNH TIẾN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGÔ THỊ HOÃN
KHUNG CỦA CÁC TỊNH TIẾN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Quỳnh Nga
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn
Quỳnh Nga. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối
với cô, người đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận
văn này. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng Sau
đại học, cùng toàn thể đội ngũ giảng viên khoa Toán trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, Viện Toán học Hà Nội, đã trang bị kiến thức và phương
pháp nghiên cứu để tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ, toàn thể cán
bộ giảng viên khoa Khoa học cơ bản trường Đại học Sao Đỏ đã tạo điều
kiện giúp tôi hoàn thành chương trình cao học.
Và cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè, tập thể lớp Toán giải tích K16 (đợt 1) - trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Ngô Thị Hoãn
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của TS Nguyễn Quỳnh Nga. Luận văn không hề trùng lặp
với những đề tài khác.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Ngô Thị Hoãn
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị . . . . . . . . 4
1.1. Các dãy trong R
d
. 4
1.2. Phép biến đổi Fourier . . . . 7
1.2.1. Phép biến đổi Fourier trong không gian L
1
(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L
2
(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Khung trong không gian Hilbert . . . 9
1.4. Cơ sở Riesz. . . . . 20
Chương 2. Khung của các tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1. Khung của các tịnh tiến . . . . . . . . 24
2.2. Khung của các tịnh tiến nguyên 33
2.3. Khung của các tịnh tiến không đều . . . 43
2.4. Khung của các hàm mũ. . . . . . . . . 46

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Cơ sở đóng vai trò thiết yếu trong nghiên cứu các không gian véc
tơ, cả trong trường hợp hữu hạn chiều cũng như vô hạn chiều. Ý tưởng
là giống nhau trong cả hai trường hợp, cụ thể là một họ các phần tử
sao cho mọi véc tơ trong không gian được xét có thể biểu diễn một cách
duy nhất như một tổ hợp tuyến tính của các phần tử này. Tuy nhiên, cơ
sở có một số hạn chế, trong đó hạn chế chính là thiếu đi tính linh hoạt.
Trong một số trường hợp các điều kiện để trở thành cơ sở quá mạnh đến
mức dường như ta không thể xây dựng được các cơ sở với những tính
chất đặc biệt và một sự thay đổi nhỏ trên cơ sở cũng làm cho nó không
còn là cơ sở nữa. Một hạn chế khác của cơ sở là thiếu đi tính ổn định đối
với các tác động của toán tử. Những hạn chế vừa đưa ra là một số lý do
khiến chúng ta nghiên cứu khung mà trong nhiều trường hợp ở đó cơ sở
tồn tại nhưng khung vẫn được sử dụng hữu hiệu hơn. Một khung trong
không gian Hilbert cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian được
viết như một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung nhưng tính
độc lập tuyến tính giữa các phần tử trong khung là không cần thiết.
Khái niệm khung được đưa ra năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [5]
khi họ nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hoà, tức là chuỗi thiết lập từ

e
iλ
k
x

k∈Z
trong đó λ

k
∈ R hoặc λ
k
∈ C với mọi k ∈ Z. Tuy nhiên phải
đến năm 1986, sau bài báo [4] của Daubechies, Grossmann và Meyer thì
khung mới được quan tâm rộng rãi. Khung được sử dụng nhiều trong xử
lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, lý thuyết lượng tử,. . .
Để ứng dụng các khung trong xử lý tín hiệu, chúng ta cần xây dựng
1
2
các khung trong không gian Hilbert L
2
(R). Để đơn giản trong việc tính
toán và lưu trữ các thông tin về khung thì thiết yếu là mỗi phần tử
trong khung nhận được từ tác động của các toán tử (thuộc vào một lớp
đặc biệt) lên một phần tử duy nhất của không gian. Một trường hợp
đặc biệt là các toán tử tác động qua các phép tịnh tiến, nghĩa là ta xét
các họ có dạng {φ (· − λ
k
)}
k∈Z
trong đó {λ
k
}
k∈Z
là một dãy trong R và
φ ∈ L
2
(R). Khung được hình thành từ họ trên được gọi là khung của
các tịnh tiến.

Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về khung của các tịnh tiến,
nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Cô giáo, TS Nguyễn Quỳnh
Nga, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Khung của các tịnh tiến” để thực
hiện luận văn tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về khung của các tịnh
tiến, tịnh tiến nguyên, tịnh tiến không đều và khung của các hàm số mũ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về khung của các tịnh tiến.
- Nghiên cứu các tính chất và một số ứng dụng của khung.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết: Phép biến
đổi Fourier, một số khái niệm và kết quả về khung trong không gian
Hilbert, cơ sở Riesz. Các khái niệm và tính chất về khung của các tịnh
tiến, khung của các tịnh tiến nguyên, khung của các tịnh tiến không đều
và khung của các hàm số mũ.
3
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước
liên quan đến khung, khung của các tịnh tiến.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm, giải tích Fourier để nghiên
cứu vấn đề.
- Thu thập tài liệu và các bài báo về khung, khung của các tịnh tiến.
- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.
6. Đóng góp mới của luận văn
Trình bày một cách tổng quan về khung trong không gian Hilbert và
khung của các tịnh tiến.
Chương 1
Một số khái niệm và kết quả chuẩn
bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết
quả ban đầu phục vụ cho chương sau của luận văn. Nội dung này được
tham khảo trong các tài liệu [2], [4], [5], [7].
1.1. Các dãy trong R
d
Định nghĩa 1.1.1. Cho I là tập chỉ số đếm được và {λ
k
}
k∈I
là một dãy
trong R
d
. Ta nói rằng:
i) Một điểm λ ∈ R
d
là một điểm tụ của {λ
k
}
k∈I
nếu mỗi hình cầu mở
trong R
d
có tâm tại λ chứa vô hạn các λ
k
;
ii) {λ
k
}
k∈I
là tách được nếu inf

j=k
|λ
j
− λ
k
| > 0; một hằng số δ > 0 sao
cho |λ
j
− λ
k
| ≥ δ với mọi j = k được gọi là một hằng số tách;
iii) {λ
k
}
k∈I
là tách được tương đối nếu nó là hợp hữu hạn của những
dãy tách được.
Một dãy tách được tương đối có thể lặp lại cùng một điểm N lần
với một N ∈ N nhưng nó không thể có điểm tụ.
Ví dụ 1.
i) Dãy

1
k

k∈Z\{0}
có điểm không là điểm tụ.
ii)

k, k +

1
|k|+1

k∈Z
không có điểm tụ và không tách được. Tuy nhiên,
nó là tách được tương đối.
4
5
Đặc trưng quan trọng nhất của dãy tách được tương đối được thể
hiện qua mật độ Beurling trên. Ta kí hiệu dãy Λ = {λ
k
}
k∈Z
. Với x ∈ R
d
và h > 0 ta kí hiệu Q
h(x)
là hình lập phương nửa mở trong R
d
có tâm
tại x và chiều dài cạnh là h, nghĩa là
Q
h
(x) =
d

j=1

x
j

−
h
2
, x
j
+
h
2

,
trong đó x = (x
1
, , x
d
).
Chú ý rằng {Q
h
(hn)}
n∈Z
d
là một phủ rời nhau của R
d
với bất kì
h > 0. Kí hiệu ν
+
(h) và ν
−
(h) là những số lớn nhất và nhỏ nhất của
những điểm của Λ mà nằm trong hình lập phương Q
h(x)

, nghĩa là,
ν
+
(h) = sup
x∈R
d
# (Λ ∩ Q
h
(x)) , ν
−
(h) = inf
x∈R
d
# (Λ ∩ Q
h
(x)) .
Mật độ Beurling trên và dưới của Λ được xác định bởi:
D
+
(Λ) = lim
h→∞
sup
ν
+
(h)
h
d
(1.1)
tương tự,
D

−
(Λ) = lim
h→∞
inf
ν
−
(h)
h
d
.
Trong trường hợp D
+
(Λ) = D
−
(Λ), ta nói rằng Λ có mật độ
Beurling đều:
D (Λ) = D
+
(Λ) = D
−
(Λ) .
Bổ đề 1.1.2. Cho Λ = {λ
k
}
k∈Z
là một dãy trong R. Khi đó các mệnh
đề sau tương đương:
i) D
+
(Λ) < ∞;

ii) Λ là tách được tương đối;
6
iii) Với một vài (và do đó với mọi) h > 0, tìm được số tự nhiên N
h
sao cho mỗi hình lập phương Q
h
(hn) , n ∈ Z
d
, chứa nhiều nhất N
h
điểm từ Λ, tức là, sup
n∈Z
d
# (Λ ∩ Q
h
(hn)) < ∞.
Chứng minh.
i)⇒iii)
Nếu (i) thoả mãn, tồn tại một hằng số N sao cho với mọi h > 0 đủ
lớn
ν
+
(h)
h
d
≤ N; Điều này suy ra (iii) với giá trị đủ lớn của h (như
một hệ quả, nó đúng với mọi h > 0).
iii)⇒ii)
Cho h > 0 được chọn sao cho (iii) thoả mãn. Ta sẽ chỉ ra cụ thể
cách Λ có thể chia thành một số các dãy h- tách được như thế nào.

Kí hiệu e
1
, , e
2
d
là các đỉnh của hình lập phương đơn vị [0, 1]
d
, và
xét các tập Z
j
= (2Z)
d
+ e
j
, j = 1, , 2
d
.
Chú ý rằng Z
d
là hợp rời nhau của các tập Z
1
, , Z
2
d
. Do {Q
h
(hn)}
n∈Z
d
là một phủ rời nhau của R

d
nên R
d
là hợp rời nhau của các tập
B
j
=
∪
n∈Z
j
Q
h
(hn) , j = 1, , 2
d
.
Chúng ta phân tích hình các hình lập phương Q
h
(hn) tạo nên một
tập B
j
. Nếu ta xét m, n ∈ Z
j
với m = n, thì khoảng cách giữa các
hình lập phương Q
h
(hn) và Q
h
(hm) ít nhất là h, nghĩa là khoảng
cách giữa các phần tử tuỳ ý trong Q
h

(hn) và Q
h
(hm) tối thiểu là
h.
Từ giả thiết trong (iii), mỗi hình lập phương Q
h
(hn) chứa nhiều
nhất N
h
phần tử của Λ, nghĩa là, # (Λ ∩Q
h
(hn)) ≤ N
h
, từ Λ∩B
j
=

n∈Z
(Λ ∩Q
h
(hn)) suy ra rằng Λ ∩ B
j
có thể chia thành N
h
tập h -
tách được. Do vậy Λ có thể chia thành 2
d
N
h
dãy h – tách được.

7
ii)⇒i)
Giả sử rằng (ii) thoả mãn; theo định nghĩa, điều này nghĩa là ta
có thể chọn một phân hoạch của Λ thành một số hữu hạn các dãy,
gọi là Λ
1
, , Λ
r
sao cho mỗi dãy Λ
k
là tách được với hằng số tách
δ
k
< 1. Kí hiệu δ := min

δ
1
2
√
d
, ,
δ
r
2
√
d

.
Khoảng cách lớn nhất giữa các điểm trong hình lập phương Q
δ

(x)
bất kì là min {δ
1
, , δ
r
}, do đó hình lập phương chứa nhiều nhất
một điểm từ mỗi dãy Λ
k
, và do đó có nhiều nhất r điểm từ Λ.
Vì vậy, nếu h là một số dương bất kì, thì Q
hδ
(x) chứa nhiều nhất
r(h + 1)
d
phần tử từ Λ. Qua định nghĩa của D
+
(Λ) ta suy ra rằng:
D
+
(Λ) = lim
h→∞
sup
ν
+
(h)
h
d
= lim
h→∞
sup

ν
+
(hδ)
(hδ)
d
≤ lim
h→∞
sup
r(h + 1)
d
(hδ)
d
=
r
δ
d
< ∞.

1.2. Phép biến đổi Fourier
1.2.1. Phép biến đổi Fourier trong không gian L
1
(R)
Định nghĩa 1.2.1. Phép biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L
1
(R) cho
bởi công thức
ˆ
f (ω) = (Ff) (ω) :=
∞


−∞
e
−2πiωx
f (x) dx. (1.2)
Một số tính chất cơ bản của
ˆ
f (ω) với f ∈ L
1
(R) được cho trong hai
định lí sau:
8
Định lí 1.2.2. Cho f ∈ L
1
(R). Khi đó phép biến đổi Fourier của f thỏa
mãn:
i)
ˆ
f ∈ L
∞
(R); ||
ˆ
f||
∞
≤ ||f||
1
;
ii)
ˆ
f liên tục đều trên R;
iii) Nếu đạo hàm f


tồn tại và thuộc L
1
(R) thì
ˆ
f

(ω) = 2πiω
ˆ
f(ω);
iv)
ˆ
f(ω) → 0 khi ω → ±∞.
Định lí 1.2.3. Nếu f(t), g(t) ∈ L
1
(R) và α, β là các hằng số bất kỳ
thì
i) F {αf (t) + βg (t)} = αF {f (t)} + βF {g (t)}; (1.3)
ii) F {T
a
f (t)} = E
−a

f (ω) ; (1.4)
iii) F{D
1
a
f(t)} = D
a
ˆ

f(ω); (1.5)
iv) F{D
−1
f(t)} =
ˆ
f(ω); (1.6)
v) F{E
a
f(t)} = T
a
ˆ
f(ω); (1.7)
trong đó T
α
là phép tịnh tiến cho bởi T
α
f(t) = f(t − α), D
b
là phép
giãn cho bởi D
b
f (t) =
1
√
|b|
f

t
b


, E
c
là phép biến điệu cho bởi E
c
f(t) =
e
2πict
f(t) với a, b, c ∈ R, b = 0.
1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L
2
(R)
Định lí 1.2.4. Cho f ∈ L
1
(R) ∩ L
2
(R). Khi đó phép biến đổi Fourier
của f là
ˆ
f ∈ L
2
(R) và thoả mãn đồng nhất thức Parseval



ˆ
f



2

= f
2
.
Từ Định lí 1.2.4 ta thấy phép biến đổi Fourier F : L
1
(R) ∩
L
2
(R) −→ L
2
(R) là toán tử tuyến tính bị chặn với chuẩn ||F|| = 1.
9
Do L
1
(R) ∩ L
2
(R) là trù mật trong L
2
(R), F có thể thác triển lên toàn
bộ L
2
(R) mà vẫn bảo toàn chuẩn. Cụ thể hơn, nếu f ∈ L
2
(R) thì
f
N
(x) =






f(x) nếu |x| ≤ N
0 nếu |x| > N, N = 1, 2, . . .
(1.8)
nằm trong L
1
(R) ∩L
2
(R). Do đó
ˆ
f
N
∈ L
2
(R).
Có thể kiểm tra được rằng {
ˆ
f
N
} là dãy Cauchy trong L
2
(R). Do
tính đầy đủ của L
2
(R) ta có thể tìm được
ˆ
f
∞
∈ L

2
(R) sao cho
lim
N→∞
||
ˆ
f
N
−
ˆ
f
∞
||
2
= 0.
Định nghĩa 1.2.5. Phép biến đổi Fourier
ˆ
f của hàm f ∈ L
2
(R) được
định nghĩa là giới hạn
ˆ
f
∞
của {
ˆ
f
N
}.
Chú ý

Định nghĩa
ˆ
f của hàm f ∈ L
2
(R) là độc lập với sự lựa chọn của
f
N
∈ L
1
(R) ∩L
2
(R). Nói cách khác, bất kỳ dãy Cauchy nào khác trong
L
1
(R) ∩L
2
(R) mà xấp xỉ f trong L
2
(R) có thể sử dụng để định nghĩa
ˆ
f.
Định lí 1.2.6. (Định lí Plancherel)
Cho f, g ∈ L
2
(R). Khi đó
f, g =


f, g


(1.9)
Đặc biệt:
f
2
=




f



2
. (1.10)
1.3. Khung trong không gian Hilbert
Khung là sự tổng quát hóa của cơ sở, đã được đưa ra năm 1952 bởi
Duffin và Schaeffer [5] khi họ nghiên cứu chuỗi không điều hòa. Gần đây,
10
lý thuyết của các khung được phát triển, một phần là do các tiện ích
của khung trong xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, lý thuyết lượng tử. . .
Từ nay về sau, ta sẽ ký hiệu H là một không gian Hilbert khả ly.
Định nghĩa 1.3.1. Một dãy {f
k
}
∞
k=1
của các phần tử trong H là một
khung của H nếu tồn tại các hằng số 0 < A ≤ B < ∞ sao cho
Af

2
≤
∞

k=1
|f, f
k
|
2
≤ Bf
2
, ∀f ∈ H (1.11)
Các số A, B được gọi là các cận khung. Chúng là không duy nhất.
Cận khung trên tối ưu là cận dưới đúng của tất cả các cận trên của
khung, và cận khung dưới tối ưu là cận trên đúng của tất cả các cận
dưới của khung. Chú ý rằng các cận tối ưu thực sự là các cận của khung.
Định nghĩa 1.3.2. Một dãy {f
k
}
∞
k=1
được gọi là dãy Bessel nếu tồn tại
một hằng số B > 0 sao cho
∞

k=1
|f, f
k
|
2

≤ Bf
2
, ∀f ∈ H (1.12)
Số B thoả mãn (1.12) được gọi là một cận Bessel của dãy {f
k
}
∞
k=1
.
Định nghĩa 1.3.3.
i) Nếu cận A = B trong công thức (1.11) thì khung được gọi là
khung chặt;
ii) Nếu một khung không còn là khung khi một phần tử tùy ý bị
loại bỏ thì nó gọi là khung thực sự.
Khi ta nói về cận của khung chặt, ta muốn nói giá trị chính xác A
cùng lúc là cận trên và cận dưới của khung. Chú ý rằng điều này hơi
khác với thuật ngữ của khung tổng quát ở đó, ví dụ một cận khung trên
chỉ là một số nào đó mà điều kiện Bessel được thỏa mãn.
11
Mệnh đề 1.3.4. Trong trường hợp không gian Hilbert H hữu hạn chiều
thì dãy {f
k
}
m
k=1
là một khung khi và chỉ khi span {f
k
}
m
k=1

= H.
Chứng minh.
Thật vậy, giả sử {f
k
}
m
k=1
là một khung của không gian hữu hạn chiều
H.
Nếu span {f
k
}
m
k=1
= H thì tồn tại g khác không thuộc H sao cho
g, f
k
 = 0, ∀k = 1, m. Theo định nghĩa của khung thì tồn tại các hằng
số A, B > 0 hữu hạn để (1.11) thỏa mãn. Từ bất đẳng thức vế trái của
(1.11) cho f = g và g, f
k
 = 0, ∀k = 1, m ta có Ag
2
≤ 0. Do đó g = 0,
suy ra mâu thuẫn.
Bây giờ giả sử span {f
k
}
m
k=1

= H. Ta có thể giả thiết không phải
toàn bộ các f
k
đều bằng 0. Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz,
m

k=1
|f, f
k
|
2
≤
m

k=1
f
2
.f
k

2
=

m

k=1
f
k

2


.f
2
.
Do đó ta có thể chọn B =
m

k=1
f
k

2
.
Xét ánh xạ φ : H → R xác định bởi φ (f) =
m

k=1
|f, f
k
|
2
. Ta thấy φ liên
tục.
Do hình cầu đơn vị trong H là compact nên ta có thể viết tìm g ∈ H
với g = 1 sao cho
A := inf

m

k=1

|f, f
k
|
2
: f ∈ H, f = 1

.
Rõ ràng A > 0. Với mỗi f khác không trong H ta có
m

k=1
|f, f
k
|
2
=
m

k=1





f
f
, f
k






2
.f
2
≥ Af
2
.
Vì vậy {f
k
}
m
k=1
là một khung của H. 
12
Ví dụ 2. Giả sử {e
k
}
∞
k=1
là một cơ sở trực chuẩn của H.
(i) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {e
k
}
∞
k=1
ta thu được
{f
k

}
∞
k=1
= {e
1
, e
1
, e
2
, e
2
, }
là khung chặt với cận khung A = 2.
Thật vậy, giả sử f là phần tử bất kỳ thuộc H. Khi đó:
∞

k=1
|f, f
k
|
2
= 2
∞

k=1
|f, e
k
|
2
= 2f

2
.
Do đó theo định nghĩa, {f
k
}
∞
k=1
là một khung chặt với cận khung A = 2.
Nếu chỉ e
1
được lặp lại ta thu được
{f
k
}
∞
k=1
= {e
1
, e
1
, e
2
, e
3
, }
là một khung với các cận A = 1, B = 2.
Thật vậy, ta có
∞

k=1

|f, f
k
|
2
=
∞

k=1
|f, e
k
|
2
+ |f, e
1
|
2
≤ 2
∞

k=1
|f, e
k
|
2
= 2f
2
, ∀f ∈ H
và
∞


k=1
|f, e
k
|
2
+
∞

k=1
|f, e
1
|
2
≥
∞

k=1
|f, e
k
|
2
= f
2
, ∀f ∈ H
Do đó {f
k
} là một khung với các cận A = 1, B = 2.
(ii) Giả sử
{f
k

}
∞
k=1
:=

e
1
,
1
√
2
e
2
,
1
√
2
e
2
,
1
√
3
e
3
,
1
√
3
e

3
,
1
√
3
e
3


,
nghĩa là {f
k
}
∞
k=1
là dãy mà mỗi véctơ
1
√
k
e
k
được lặp lại k lần. Khi đó với
mỗi f ∈ H có
∞

k=1
|f, f
k
|
2

=
∞

k=1
k




f,
1
√
k
e
k




2
= f
2
, ∀f ∈ H. Vì thế
{f
k
}
∞
k=1
là một khung chặt của H với cận khung A = 1.
13

Ta ký hiệu 
2
(N) =

{c
i
}
∞
i=1
∈ C :
∞

k=1
|c
i
|
2
< ∞

.
Bổ đề 1.3.5. Cho {f
k
}
∞
k=1
là một dãy trong H, và giả sử rằng
∞

i=1
c

k
f
k
là hội tụ với mọi {c
k
}
∞
k=1
∈ 
2
(N). Khi đó
T : 
2
(N) → H, T {c
k
}
∞
k=1
:=
∞

k=1
c
k
f
k
xác định một toán tử tuyến tính bị chặn. Toán tử liên hợp được xác định
bởi:
T
∗

: H → 
2
(N) , T
∗
f = {f, f
k
}
∞
k=1
.
Hơn nữa,
∞

k=1
|f, f
k
|
2
≤ T 
2
f
2
, ∀f ∈ H.
Định lí 1.3.6. Cho {f
k
}
∞
k=1
là một dãy trong H. Khi đó, {f
k

}
∞
k=1
là một
dãy Bessel với cận Bessel B nếu và chỉ nếu
T : {c
k
}
∞
k=1
→
∞

k=1
c
k
f
k
là toán tử xác định từ l
2
(N) đến H và T  ≤
√
B.
Chứng minh.
Đầu tiên, giả sử rằng {f
k
}
∞
k=1
là dãy Bessel với cận Bessel là B. Cho

{c
k
}
∞
k=1
∈ l
2
(N). Trước tiên chúng ta cần chỉ ra rằng T {c
k
}
∞
k=1
được xác
định, tức là
∞

k=1
c
k
f
k
là hội tụ.
Xét n, m ∈ N, n > m. Khi đó:





n


k=1
c
k
f
k
−
m

k=1
c
k
f
k





=





n

k=m+1
c
k
f

k





14
= sup
g=1






n

k=m+1
c
k
f
k
, g






≤ sup

g=1
n

k=m+1
|c
k
f
k
, g|
≤

n

k=m+1
|c
k
|
2

1
2
sup
g=1

n

k=m+1
|f
k
, g|

2

1
2
≤
√
B

n

k=m+1
|c
k
|
2

1
2
.
Vì {c
k
}
n
k=1
∈ l
2
(N) nên

n


k=1
|c
k
|
2

∞
n=1
là một dãy Cauchy trong C. Tính
toán trên chỉ ra rằng

n

k=1
c
k
f
k

∞
n=1
là một dãy Cauchy trong H và do
đó hội tụ. Do đó T {c
k
}
∞
k=1
hoàn toàn xác định. Rõ ràng, T là tuyến tính.
Vì T {c
k

}
∞
k=1
 = sup
g=1
|T {c
k
}
∞
k=1
, g| , tính toán như ở trên chỉ ra rằng
T bị chặn và T  ≤
√
B.
Để chứng minh điều ngược lại, giả sử T được xác định và T  ≤
√
B.
Khi đó
∞

k=1
|f, f
k
|
2
≤ T 
2
f
2
≤ Bf

2
, ∀f ∈ H chỉ ra rằng {f
k
}
∞
k=1
là dãy Bessel với cận Bessel là B. 
Hệ quả 1.3.7. Nếu {f
k
}
∞
k=1
là một dãy trong H và
∞

k=1
c
k
f
k
hội tụ với
mọi {c
k
}
n
k=1
∈ l
2
(N), thì {f
k

}
∞
k=1
là một dãy Bessel.
Hệ quả 1.3.8. Nếu {f
k
}
∞
k=1
là một dãy Bessel trong H, thì
∞

k=1
c
k
f
k
hội tụ
vô điều kiện với mọi {c
k
}
∞
k=1
∈ l
2
(N), tức là chuỗi
∞

k=1
c

k
f
k
hội tụ không
phụ thuộc vào việc sắp thứ tự của dãy {f
k
}
∞
k=1
và với mọi {c
k
}
∞
k=1
∈ l
2
(N)
Định nghĩa 1.3.9. Giả sử {f
k
}
∞
k=1
là một dãy trong H. Ta nói rằng
{f
k
}
∞
k=1
là một dãy khung nếu nó là một khung của span {f
k

}
∞
k=1
.
15
Ví dụ 3. Giả sử {e
k
}
∞
k=1
là một cơ sở trực chuẩn của H.
Nếu I ⊆ N là một tập con thực sự thì {e
k
}
k∈I
không đầy đủ trong
H và không thể là một khung của H. Tuy nhiên, {e
k
}
k∈I
là một khung
của span {e
k
}
k∈I
, tức là, nó là một dãy khung.
Do khung {f
k
}
∞

k=1
là dãy Bessel, toán tử
T : l
2
(N) → H, T {c
k
}
∞
k=1
=
∞

k=1
c
k
f
k
là toán tử bị chặn theo Định lí 1.3.6 thì T được gọi là toán tử tổng hợp.
Ta có toán tử liên hợp được cho bởi
T
∗
: H → l
2
(N) , T
∗
f = {f, f
k
}
∞
k=1

T
∗
được gọi là toán tử phân tích. Bằng cách lấy hợp T và T
∗
ta thu được
toán tử khung S tương ứng với khung {f
k
}
∞
k=1
.
S : H → H, Sf = T T
∗
f =
∞

k=1
f, f
k
f
k
.
Do {f
k
}
∞
k=1
là dãy Bessel nên chuỗi xác định S hội tụ không điều kiện
với mọi f ∈ H do Hệ quả 1.3.8.
Định lí 1.3.10. Một dãy {f

k
}
∞
k=1
trong H là khung của H khi và chỉ khi
T : {c
k
}
∞
k=1
→
∞

k=1
c
k
f
k
là ánh xạ hoàn toàn xác định từ l
2
(N) lên H.
Mệnh đề 1.3.11. Giả sử {f
k
}
∞
k=1
là một khung với toán tử khung S và
các cận khung A, B. Khi đó ta có các khẳng định sau:
(i) S bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương;
16

(ii)

S
−1
f
k

∞
k=1
là một khung với các cận khung là B
−1
, A
−1
. Nếu
A, B là các cận khung tối ưu của {f
k
}
∞
k=1
thì B
−1
, A
−1
là tối ưu của

S
−1
f
k


∞
k=1
.
Toán tử khung của

S
−1
f
k

∞
k=1
là S
−1
.
Chứng minh.
(i) S bị chặn như một sự hợp thành của hai toán tử bị chặn. Ta có:
S = T.T
∗
 = T . T
∗
 = T 
2
≤ B.
Do S
∗
= (T.T
∗
)
∗

= T.T
∗
= S, toán tử S là tự liên hợp. Bất đẳng
thức (1.11) nghĩa là Af
2
≤ Sf, f ≤ Bf
2
, ∀f ∈ H.
Từ đó AI ≤ S ≤ BI, do đó S dương.
Ngoài ra, 0 ≤ I − B
−1
S ≤
B−A
B
I và vậy thì


I − B
−1
S


= sup
f=1



I − B
−1
S


f, f



≤
B −A
B
< 1.
Do đó, ta có S là khả nghịch.
(ii) Chú ý rằng với f ∈ H,
∞

k=1



f, S
−1
f
k



2
=
∞

k=1




S
−1
f, f
k



2
≤ B


S
−1
f


2
≤ B


S
−1


2
f
2
.

Nghĩa là

S
−1
f
k

∞
k=1
là một dãy Bessel. Từ đó kéo theo toán tử khung
của

S
−1
f
k

∞
k=1
hoàn toàn xác định. Theo định nghĩa nó tác động lên
f ∈ H bởi
∞

k=1

f, S
−1
f
k


S
−1
f
k
= S
−1
∞

k=1

S
−1
f, f
k

f
k
= S
−1
SS
−1
f = S
−1
f.
17
Điều này chỉ ra rằng toán tử khung của

S
−1
f

k

∞
k=1
bằng S
−1
. Toán
tử S
−1
giao hoán với cả S và I. Vì thế ta có thể nhân bất đẳng thức
AI ≤ S ≤ BI với S
−1
, ta được:
B
−1
I ≤ S
−1
≤ A
−1
I
tức là,
B
−1
f
2
≤

S
−1
f, f


≤ A
−1
f
2
, ∀f ∈ H.
Ta có:
B
−1
f
2
≤
∞

k=1



f, S
−1
f
k



2
≤ A
−1
f
2

, ∀f ∈ H
Vì vậy,

S
−1
f
k

∞
k=1
là một khung với các cận khung B
−1
, A
−1
.
Để chứng minh tính tối ưu của các cận (trong trường hợp A, B
là các cận tối ưu của {f
k
}
∞
k=1
), giả sử A là cận dưới tối ưu của {f
k
}
∞
k=1
và cận trên tối ưu của khung

S
−1

f
k

∞
k=1
là C <
1
A
. Bằng việc áp dụng
những điều đã chứng minh cho khung

S
−1
f
k

∞
k=1
có toán tử khung S
−1
,
ta thu được {f
k
}
∞
k=1
=

S
−1


S
−1
f
k

∞
k=1
có cận dưới là
1
C
> A, nhưng
điều này là mâu thuẫn.
Vì vậy,

S
−1
f
k

∞
k=1
có cận trên tối ưu là
1
A
. Lập luận tương tự cho
cận dưới tối ưu. 
Khung

S

−1
f
k

∞
k=1
được gọi là đối ngẫu chính tắc của {f
k
}
∞
k=1
bởi vì
nó đóng cùng vai trò trong lý thuyết khung như đối ngẫu của một cơ
sở. Thường thường ta sẽ bỏ qua từ "chính tắc" và chỉ nói đến khung đối
ngẫu. Khai triển khung dưới đây là kết quả về khung quan trọng nhất.
Nó chỉ ra rằng {f
k
} là một khung của H thì mọi phần tử trong H có thể
biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử khung. Do
đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng.
18
Định lí 1.3.12. Giả sử {f
k
}
∞
k=1
là một khung với toán tử khung S.
Khi đó
f =
∞


k=1

f, S
−1
f
k

f
k
, ∀f ∈ H.
Chuỗi hội tụ vô điều kiện ∀f ∈ H.
Chứng minh.
Giả sử f ∈ H. Sử dụng các tính chất của toán tử khung trong Mệnh đề
1.3.11, ta được
f = SS
−1
f
=
∞

k=1

S
−1
f, f
k

f
k

=
∞

k=1

f, S
−1
f
k

f
k
.
Do {f
k
}
∞
k=1
là một dãy Bessel và

f, S
−1
f
k

∞
k=1
∈ l
2
(N), theo hệ quả

1.3.8 chuỗi hội tụ vô điều kiện. 
Bổ đề 1.3.13. Nếu {f
k
}
∞
k=1
là một dãy khung với các cận A, B và U :
H → H là toán tử Unita. Khi đó: {Uf
k
}
∞
k=1
là một dãy khung với các
cận khung A, B.
Chứng minh. Giả sử f là một phần tử tuỳ ý thuộc U (span {f
k
}
∞
k=1
) .
Ta có:
∞

k=1
|f, Uf
k
|
2
=
∞


k=1
|U
∗
f, f
k
|
2
≤ BU
∗
f
2
= Bf
2
, ∀f ∈ H
và
∞

k=1
|U
∗
f, f
k
|
2
≥ AU
∗
f
2
= Af

2
, ∀f ∈ H.
19
Vì vậy {Uf
k
} là một dãy khung của U (span {f
k
}
∞
k=1
) với các cận
khung A, B. 
Định nghĩa 1.3.14. Một dãy {f
k
}
∞
k=1
được gọi là đầy đủ trong H nếu
span {f
k
}
∞
k=1
= H.
Bổ đề 1.3.15. Một dãy {f
k
}
∞
k=1
trong H là một khung của với các cận

A, B nếu và chỉ nếu các điều kiện dưới đây thoả mãn:
i) {f
k
}
∞
k=1
là đầy đủ trong H;
ii) Toán tử tổng hợp T là hoàn toàn xác định trên l
2
(N) và
A
∞

k=1
|c
k
|
2
≤ T {c
k
}
∞
k=1

2
≤ B
∞

k=1
|c

k
|
2
, ∀{c
k
}
∞
k=1
∈ N
⊥
T
(1.13)
trong đó N
T
=

{c
k
}
∞
k=1
∈ 
2
(N) : T {c
k
}
∞
k=1
= 0


.
Mệnh đề 1.3.16. Giả sử rằng {e
k
}
∞
k=1
là một dãy các vector trực chuẩn
trong H và
∞

k=1
|f, e
k
|
2
= f
2
, ∀f ∈ H
Khi đó {e
k
}
∞
k=1
là một cơ sở trực chuẩn của H.
Chứng minh.
Giả sử {e
k
}
∞
k=1

là một dãy các vector trực chuẩn trong H sao cho
∞

k=1
|f, e
k
|
2
= f
2
, ∀f ∈ H
Ta chỉ cần chỉ ra {e
k
}
∞
k=1
là một hệ trực giao.
Với mỗi ∀j ∈ N ta có:
1 = e
j

2
=
∞

k=1
|e
j
, e
k

|
2
= 1 +
∞

k=j
|e
j
, e
k
|
2
suy ra e
j
, e
k
 = 0, ∀k = j. Do đó {e
k
}
∞
k=1
là một hệ trực giao.
Vậy {e
k
}
∞
k=1
là một cơ sở trực chuẩn của H. 
20
1.4. Cơ sở Riesz

Định nghĩa 1.4.1. Một cơ sở Riesz trong H là một họ có dạng {Ue
k
}
∞
k=1
,
mà {e
k
}
∞
k=1
là một cơ sở trực chuẩn của H và U : H → H là một toán
tử tuyến tính song ánh bị chặn.
Định lí 1.4.2. Nếu {f
k
}
∞
k=1
là một cơ sở Riesz của H, tồn tại duy nhất
dãy {g
k
}
∞
k=1
trong H sao cho
f =
∞

k=1
f, g

k
f
k
, ∀f ∈ H (1.14)
{g
k
}
∞
k=1
cũng là một cơ sở Riesz và {f
k
}
∞
k=1
, {g
k
}
∞
k=1
là song trực giao,
tức là f
j
, g
k
 = δ
j,k
=




1 nếu j = k
0 nếu j = k
. Hơn nữa, chuỗi trên hội tụ vô
điều kiện ∀f ∈ H
Chứng minh.
Theo định nghĩa ta viết {f
k
}
∞
k=1
= {Ue
k
}
∞
k=1
, U là toán tử tuyến tính
song ánh bị chặn và {e
k
}
∞
k=1
là một cơ sở trực chuẩn. Giả sử f ∈ H, khai
triển U
−1
f trong cơ sở trực chuẩn {e
k
}
∞
k=1
ta có:

U
−1
f =
∞

k=1

U
−1
f, e
k

e
k
=
∞

k=1

f,

U
−1

∗
e
k

e
k

.
Từ đó, đặt g
k
:=

U
−1

∗
e
k
f = UU
−1
f =
∞

k=1

f,

U
−1

∗
e
k

Ue
k
=

∞

k=1
f, g
k
f
k
.
Do

U
−1

∗
là tuyến tính song ánh, bị chặn nên {g
k
}
∞
k=1
là một cơ sở
Riesz theo định nghĩa.