BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
Nguyễn Thị Thanh Hải
KHỐI LƯỢNG HIGGS TRUNG HÒA TRONG MÔ HÌNH
SIÊU ĐỐI XỨNG TỐI THIỂU RÚT GỌN 331
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Huy Thảo
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Hà Nội - 2014
Lời cam đoan
Luận văn tốt nghiệp "Khối lượng Higgs trung hòa trong mô
hình siêu đối xứng tối thiểu rút gọn 331" được hoàn thành dưới
sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy giáo TS. Nguyễn Huy
Thảo.
Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không
trùng lặp với bất kỳ kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Học viên
Nguyễn Thị Thanh Hải
1
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Huy Thảo,
người thầy đã tận tình hướng dẫn động viên tôi trong suốt quá trình
học tập và nghiên cứu khoa học để hoàn thành luận văn này.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Vật lý lý thuyết,
khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy, giúp đỡ và
tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt luận văn. Đồng thời, tôi cũng xin
gửi lời cảm ơn đến các anh chị và các bạn lớp cao học đã giúp đỡ tôi
trong quá trình nghiên cứu của mình.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và các

đồng nghiệp luôn động viên và chia sẻ khó khăn cùng tôi trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Học viên
Nguyễn Thị Thanh Hải
2
Mục lục
Lời cam đoan 1
Lời cảm ơn 2
Các kí hiệu chung 5
Mở đầu 6
1 Tổng quan về các mô hình thống nhất tương tác 10
1.1 Mô hình thống nhất điện yếu . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2 Những thành công và hạn chế của mô hình chuẩn 13
1.2 Một số mô hình chuẩn mở rộng . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải . . . . 16
1.2.2 Mô hình 3-3-1 tối thiểu . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.3 Một số nhận xét chung về các mô hình 3-3-1 . . . 24
1.3 Mô hình Randall Sundrum . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Lý Thuyết siêu đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.2 Đại số Poincare và các spinor . . . . . . . . . . . 31
3
4
1.4.3 Siêu không gian và siêu trường . . . . . . . . . . 34
1.4.4 Một số qui tắc xây dựng Lagrangian siêu đối xứng 40
2 Mô hình siêu đối xứng tối thiểu rút gọn 331 46
2.1 Sự sắp xếp hạt trong mô hình . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3 Phá vỡ đối xứng tự phát và khối lượng các hạt trong
SUSYRM331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 Phổ khối lượng vật lý của các hạt trong SUSY - RM331 . 56
2.4.1 Trường vector chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.2 Fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.3 Sfermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.4 Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Khối lượng Higgs trung hòa trong mô hình SUSYRM331 59
3.1 Thế Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Khối lượng của Higgs trung hòa . . . . . . . . . . . . . . 65
Kết luận 73
Tài liệu tham khảo 73
Các kí hiệu chung
Trong luận văn này tôi sử dụng các kí hiệu sau:
Tên Kí hiệu
Mô hình chuẩn SM
Mô hình siêu đối xứng (nói chung) SUSY
Mô hình 3-3-1 tiết kiệm E331
Mô hình 3-3-1 tiết kiệm siêu đối xứng SUSYE331
Mô hình siêu đối xứng tối thiểu rút gọn 3-3-1 SUSYRM331
5
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Cho đến nay người ta biết rằng, giữa các hạt cơ bản tồn tại 4 loại lực
tương tác: tương tác mạnh, tương tác yếu, tương tác điện từ và tương
tác hấp dẫn. Xây dựng lí thuyết thống nhất tương tác là nội dung chính
của nghiên cứu vật lí hạt cơ bản. Ý tưởng của Einstein về vấn đề thống
nhất tất cả các tương tác vật lí có trong tự nhiên đồng thời cũng là ước
mơ chung của nhiều nhà vật lí hiện nay. Lí thuyết Maxwell mô tả các
hiện tượng điện và từ một cách thống nhất trong khuân khổ của tương

tác điện từ. Một bước ngoặt đáng kể là khi Glashow, Weinberg và Salam
đưa ra được mô hình thống nhất tương tác yếu và tương tác điện từ
trên cơ sở nhóm SU(2)
L
⊗ U(1)
Y
. Mô hình chuẩn (SM) đã ra đời trên
cơ sở nhóm gauge SU(3)
C
⊗ SU(2)
L
⊗ U(1)
Y
nhằm thống nhất tương
tác mạnh và tương tác điện từ - yếu. SM đã chứng tỏ là một lý thuyết
tốt khi mà hầu hết các dự đoán của nó đã được thực nghiệm khẳng định
ở vùng năng lượng ≤ 200 GeV. Mặc dù vậy, SM vẫn còn nhiều hạn chế
như: SM không tiên đoán được các hiện tượng vật lý ở thang năng lượng
cao cỡ TeV, SM không thể trả lời tại sao hơn 90% lượng vật chất tối và
năng lượng tối là của vũ trụ. SM cho rằng neutrino chỉ có phân cực trái
6
7
tức là không có khối lượng. Và thêm nữa SM chưa giải thích được tại
sao số thế hệ fermion lại là 3? tại sao các điện tích quan sát thấy là gián
đoạn bằng số nguyên lần điện tích nguyên tố.
Một trong những hướng nghiên cứu giải quyết được hầu hết những
vấn đề này, người ta đã sử dụng thêm một ý tưởng mới đó là ý tưởng
về siêu đối xứng (SUSY). SUSY là đối xứng duy nhất đã biết có thể
liên hệ các hạt với tính thống kê khác nhau là boson và fermion, và có
ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực phát triển của vật lí lí thuyết

ở giai đoạn hiện nay, ví dụ lí thuyết dây [6]. Ngoài ra có nhiều nguyên
nhân về mặt hiện tượng luận làm cho SUSY trở lên hấp dẫn. Thứ nhất
là, nó hứa hẹn giải quyết vấn đề phân bậc còn tồn tại trong SM. Thứ hai
là, trong lí thuyết siêu đối xứng, hạt Higgs có thể xuất hiện một cách tự
nhiên như hạt vô hướng cơ bản và nhẹ (Higgs boson là hạt mang khối
lượng cho các trường chuẩn và các trường vật chất).
Mô hình siêu đối xứng tối thiểu rút gọn 331 (SUSYRM331) là phiên
bản mở rộng của mô hình tối thiểu rút gọn (RM331). Ưu điểm của mô
hình này là phổ hạt slepton không có các neutrino phân cực phải, đồng
thời phổ Higgs cũng đơn giản như mô hình tiết kiệm 331 (E331). Hơn
nữa số thành phần Higgs trung hòa cũng giảm đi so với E331 nên phần
tương tác Higgs trung hòa cũng như số hạng sinh khối lượng cũng đơn
giản hơn. Điều này tạo điều kiện thuận lợi khi siêu đối xứng hóa mô
hình. Đây là lí do chính để chúng tôi tiến hành nghiên cứu về “Khối
lượng Higgs trung hòa trong mô hình siêu đối xứng tối thiểu
rút gọn 331”.
8
2. Mục đích nghiên cứu
• Giới thiệu mô hình siêu đối xứng tối thiểu rút gon 3-3-1.
• Tìm khối lượng Higgs trung hòa trong mô hình siêu đối xứng tối
thiểu rút gọn 3-3-1.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tổng quan về mô hình chuẩn và một số mô hình chuẩn mở rộng.
Từ đó tìm khối lượng Higgs trung hòa trong mô hình siêu đối xứng tối
thiểu rút gọn 3-3-1.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Khối lượng của Higgs trung hòa trong mô
hình siêu đối xứng tối thiểu rút gọn 3-3-1.
• Phạm vi nghiên cứu: Trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử,
chúng tôi tính toán và tìm khối lượng Higgs trung hòa trong mô hình

siêu đối xứng tối thiểu rút gọn 3-3-1.
5. Phương pháp nghiên cứu
• Sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử.
• Khảo sát, tính toán kết quả bằng phần mềm mathematica.
9
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 nội dung chính sau:
• Tổng quan về các mô hình thống nhất tương tác.
• Mô hình siêu đối xứng tối thiểu rút gọn 3-3-1.
• Khối lượng Higgs trung hòa trong mô hình siêu đối xứng tối thiểu
rút gọn 3-3-1.
Chương 1
Tổng quan về các mô hình thống
nhất tương tác
1.1 Mô hình thống nhất điện yếu
1.1.1 Giới thiệu
Mô hình chuẩn (SM) được xây dựng dựa trên nhóm chuẩn SU(3)
C
⊗
SU(2)
L
⊗ U(1)
Y
của phép biến đổi chuẩn unitary. SU(3)
C
là nhóm đối
xứng không Abel của tương tác mạnh. Các trường chuẩn gluon liên kết
với các tích màu theo cách thức được mô tả trong Sắc động lực học lượng
tử (QCD). SU(2)
L

là nhóm spin đồng vị điện yếu không Abel. Siêu tích
Y liên hệ với điện tích Q và spin đồng vị I
3
theo hệ thức Y = 2(Q −I
3
).
Trường B liên hệ với nhóm U(1)
Y
trộn với thành phần trung hòa W , ba
thành phần tạo nên trường photon A và trường điện yếu Z. Lí thuyết
chuẩn về tương tác điện yếu dựa trên nhóm đối xứng SU(2)
L
⊗ U(1)
Y
được gọi là lý thuyết Glashow-Salam-Weinberg (GWS).
Các quan sát thực nghiệm cho kết quả phù hợp với SM ở độ chính
xác rất cao. SM cho ta một cách thức mô tả tự nhiên từ kích thước vi
10
11
mô cỡ 10
−16
cm cho tới các khoảng cách vũ trụ cỡ 10
28
cm và được xem là
một trong những thành tựu lớn nhất của loài người trong việc tìm hiểu
tự nhiên. SM được tóm tắt ở 3 điểm cơ bản:
1.Vật chất được cấu tạo từ các yếu tố cơ bản là lepton và các quark.
thế hệ I II III
quark u c t
d s b

Lepton ν
e
ν
µ
ν
τ
e µ τ
Bảng 1.1
Các quark và lepton được chia thành 3 thế hệ có cấu trúc giống nhau
(bảng 1.1), là thành viên của một nhóm các hạt được gọi là fermion (hạt
có spin bán nguyên). Cả quark và lepton đều được phân thành từng
cặp. Ví dụ, quark được chia thành u (up) và d (down), c (charm) và s
(strange), t (top) và b (bottom). Các quark kết hợp thành tam tuyến để
tạo ra baryon hoặc kết hợp thành các cặp quark - phản quark để tạo ra
meson. Lepton cũng kết hợp thành từng cặp. Các hạt electron, muon và
tau đều có một neutrino tương ứng không mang điện, có khối lượng bé.
Electron giống như proton và neutron, là một hạt bền và dường như có
mặt trong tất cả các dạng vật chất. Các hạt muon và tau không bền và
được tìm thấy chủ yếu trong các quá trình rã.
Tất cả lepton và quark nói trên đều đã được phát hiện trong thực nghiệm.
Bảng (1.2) trình bày khối lượng và điện tích của chúng.
12
Fermion các thành phần vật chất
Spin =
1
2
,
3
2
,

5
2

Lepton Spin =
1
2
Quark Spin =
1
2
Vị Khối lượng Điện tích Vị Khối lượng Điện tích
 GeV/c
2
 GeV/c
2
ν
e
< 7.10
−9
0 u 0, 005
2
2
e 0, 000511 -1 d 0.01 −
1
3
ν
µ
< 0, 0003 0 e 1, 5
2
3
µ 0, 106 −1 s 0, 2 −

1
3
ν
τ
< 0, 03 0 t 170
2
3
τ 1, 7771 −1 b 4, 7 −
1
3
Bảng 1.2. Điện tích và khối lượng của các Quark và Lepton.
2. Các lepton và quark tương tác với nhau thông qua 4 loại lực khác là
điện từ, mạnh, yếu và hấp dẫn. Các tương tác được thực hiện thông qua
các boson vector trung gian hay hạt truyền tương tác.
• Photon γ là hạt truyền tương tác điện từ - lực chi phối quỹ đạo của
electron và các quá trình hoá học.
• Gluon g là hạt truyền tương tác của các loại lực có cường độ lớn nhất
- lực tương tác mạnh. Lực này giữ các quark trong proton và neutron
cũng như các hạt trong hạt nhân nguyên tử lại với nhau.
• W và Z boson là hạt truyền tương tác yếu, thể hiện trong các quá
trình rã phóng xạ. Lực yếu đóng vai trò rất quan trọng trong việc quan
sát các phản ứng neutrino, vì neutrino trơ đối với lực điện từ (do chúng
không mang điện) và không bị ảnh hưởng bởi lực mạnh nên chỉ có lực
13
yếu là giúp ta xác định được đặc tính của neutrino.
• Cuối cùng, tương tác hấp dẫn được thực hiện thông qua hạt truyền
tương tác là graviton G.
• Các hạt γ, g, W và Z đều có spin bằng 1 còn G có spin bằng 2.
• Tương tác giữa các trường lực điện từ, mạnh và yếu với thành phần
fermion của vật chất cũng như tương tác giữa chúng được mô tả bởi các

lí thuyết chuẩn SU(3)
C
⊗SU(2)
L
⊗U(1)
Y
. Phần hấp dẫn được gắn với
các phần khác của mô hình chuẩn bằng tay chứ không được mô tả như
một hiện tượng lượng tử.
3. Cơ chế Higgs là thành phần quan trọng thứ 3 của Mô hình chuẩn.
theo cơ chế này, các trường vô hướng tương tác với nhau sao cho trạng
thái cơ bản thu được cường độ trường khác không, phá vỡ đối xứng điện
yếu một cách tự phát. Năng lượng tương tác của các boson chuẩn điện
yếu, các lepton và các quark với trường Higgs thể hiện như là khối lượng
của các hạt này. Theo tiên đoán của SM thì hạt vô hướng Higgs có khối
lượng lớn hơn 115 GeV.
1.1.2 Những thành công và hạn chế của mô hình chuẩn
Trong hơn 30 năm qua kể từ khi SM ra đời, chúng ta được chứng kiến
những thành công nổi bật của nó như:
• Mô hình này đã đưa ra một số tiên đoán mới có ý nghĩa quyết định
sự tồn tại của dòng yếu trung hòa và các vector boson trung gian, cùng
những hệ thức liên hệ khối lượng đã được thực nghiệm xác nhận.
• Cấu trúc lượng tử của mô hình cũng đã thành công với các dữ liệu
thực nghiệm.
14
• SM đã dự đoán đúng các hệ số liên kết W và Z với lepton và quark.
• SM tiên đoán đúng sự tồn tại liên kết 3 boson chuẩn tuân theo cấu
trúc được quy định bởi đối xứng chuẩn SU(2)
L
⊗ U(1)

Y
.
• SM dự đoán khối lượng của hạt Higgs phải lớn hơn 115 GeV và đã
được thực nghiệm xác nhận.
Bên cạnh những thành công nổi bật, SM vẫn còn một số hạn chế sau:
• SM không giải quyết được những vấn đề có liên quan đến số lượng và
cấu trúc các thế hệ fermion như: Tại sao trong SM số thế hệ quark -
lepton phải là 3? Có thể tồn tại bao nhiêu thế hệ quark - lepton? Giữa
các thế hệ có sự liên hệ với nhau như thế nào?
• SM cho rằng neutrino chỉ có phân cực trái, tức là neutrino không có
khối lượng. Nhưng các số liệu đo neutrino khí quyển do nhóm Super -
Kamiokande công bố năm 1998 đã cung cấp những bằng chứng về sự
dao động của neutrino, khẳng định rằng các neutrino có khối lượng.
• SM không giải thích được tại sao quark t lại có khối lượng quá lớn so
với dự đoán. Về mặt lí thuyết, dựa theo SM thì khối lượng quark t vào
khoảng 10 GeV. Trong khi đó, năm 1995 tại Fermilab người ta đo được
khối lượng của nó là 175 GeV.
• SM không tiên đoán được các hiện tượng vật lý ở thang năng lượng
cao cỡ TeV, SM cũng không thể trả lời tại sao hơn 90% lượng vật chất
tối và năng lượng tối là của vũ trụ? tại sao các điện tích quan sát thấy
là gián đoạn bằng số nguyên lần điện tích nguyên tố.
15
1.2 Một số mô hình chuẩn mở rộng
Từ hơn 30 năm qua người ta đã quan tâm đến việc mở rộng nhóm
SU(2)
L
⊗U(1)
Y
thành nhóm SU(3)
L

⊗U(1)
N
để xây dựng một mô hình
thống nhất tương tác điện yếu tổng quát hơn. Trong số đó, có mô hình
SU(3)
C
⊗ U(1)
Y
do Weinberg đề xuất từ năm 1977.
Trong hơn một thập kỉ qua, nhiều nhóm tác giả đã xây dựng và phát
triển các mô hình 3-3-1 mới, có khả năng giải quyết được nhiều vấn đề
của SM. Các mô hình này có những đặc điểm chung đó là:
• Chúng giải quyết được vấn đề số thế hệ fermion mà SM chưa giải thích
được.
• Trong mô hình 3-3-1, các quark phân cực trái trong một thế hệ luôn
có cấu trúc khác so với trong 2 thế hệ còn lại. Chính sự khác biệt này
cho phép ta giải thích tại sao quark t lại có khối lượng khác xa so với
các quark khác.
• Đối xứng Peccei - Quinn xuất hiện một cách tự nhiên trong các mô
hình 3-3-1. Đối xứng này có thể mở rộng cho thế Higgs và bằng cách đó
trở thành đối xứng của toàn bộ Lagrangian. Điều này cho phép ta giải
quyết vấn đề đối xứng chẵn lẻ và liên hợp điện tích (CP) của tương tác
mạnh một cách tự nhiên.
• Các mô hình 3-3-1 dự đoán sự tồn tại của các quá trình vật lí mới ở
thang năng lượng không quá cao.
• Trong số các lí thuyết vượt ra ngoài SM thì các mô hình 3-3-1 cho
những kết quả có khả năng kiểm tra không quá xa vời như trong các lí
thuyết khác. Chẳng hạn, các mô hình 3-3-1 dự đoán sự tồn tại của các
16
boson vector mới ở thang năng lượng cao hơn năng lượng của các boson

trong SM, và khối lượng của chúng được khống chế bởi những điều kiện
rất hẹp. Đối với một số hạt, người ta đã xác định được cả giới hạn dưới
lẫn giới hạn trên đối với khối lượng của chúng. Điều đó khiến cho các
mô hình này có thể dễ dàng được xác nhận hoặc bị loại bỏ trong tương
lai gần từ các kết quả thực nghiệm trên các máy gia tốc mới.
1.2.1 Mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải
Trong mô hình này các lepton được sắp xếp vào các tam tuyến; thành
phần thứ 3 của tam tuyến là các neutrino phân cực phải [6]:
f
aL
=





ν
aL
e
aL
(ν
c
L
)
a






∼

1, 3, −
1
3

, e
aR
∼ (1, 1, −1) . (1.1)
Hai thế hệ quark đầu tiên được sắp xếp vào các phản tam tuyến trong
khi đó thế hệ quark thứ 3 được sắp xếp vào một tam tuyến:
Q
iL
=





d
iL
−u
iL
D
iL






∼ (3,
¯
3, 0) , (1.2)
u
iR
∼

3, 1,
2
3

; d
iR
∼

3, 1, −
1
3

; D
iR
∼

3, 1, −
1
3

.
Q
3L

=





u
3L
d
3L
T
L





∼

3, 3,
1
3

, (1.3)
u
3R
∼

3, 1,
2

3

; d
3R
∼

3, 1, −
1
3

; T
R
∼

3, 1, −
1
3

. (1.4)
17
Sau khi nhóm SU(3)
L
⊗U(1)
N
bị phá vỡ đối xứng thành U(1)
Q
, 9 boson
chuẩn W
a
(a = 1, 2, , 8) và B của SU(3)

L
và U(1)
N
bị tách thành 4
boson chuẩn có khối lượng bé và 5 boson có khối lượng lớn. Các boson
chuẩn có khối lượng bé là các boson chuẩn của SM: photon (A), Z
1
và
W
±
. 5 boson chuẩn còn lại là các boson chuẩn mới, có khối lượng lớn
đó là boson chuẩn trung hòa Z
2
, các bilepton tích điện đơn Y
±
và các
bilepton phức trung hòa X
0
, X
0∗
. Các boson chuẩn được biểu diễn dưới
dạng tổ hợp của W
a
và B như sau:
√
2W
+
µ
= W
1

µ
− iW
2
µ
,
√
2Y
−
µ
= W
6
µ
− iW
7
µ
, (1.5)
√
2X
0
µ
= W
4
µ
− iW
5
µ
,
A
µ
= s

W
W
3
µ
+ c
W

−
t
W
√
3
W
8
µ
+

1 −
t
2
W
3
B
µ

,
Z
µ
= c
W

W
3
µ
− s
W

−
t
W
√
3
W
8
µ
+

1 −
t
2
W
3
B
µ

, (1.6)
Z

µ
=


1 −
t
2
W
3
W
8
µ
+
t
W
√
3
B
µ
.
Trong phần trên, để thuận tiện trong việc trình bày các công thức, ta
đã sử dụng các kí hiệu: c
W
≡ cos θ
W
, s
W
≡ sin θ
W
và t
W
≡ tan θ
W
. Các

trạng thái vật lí là các trạng thái trộn giữa Z và Z

:
Z
1
= Z cos φ −Z

sin φ,
Z
2
= Z sin φ + Z

cos φ. (1.7)
Ở đây φ là góc trộn.
Quá trình phá vỡ đối xứng được thực hiện bằng cách đưa vào 3 tam
18
tuyến SU(3)
L
:
SU(3)
C
⊗ SU(3)
L
⊗ U(1)
N
<χ>
−−→ SU(3)
C
⊗ SU(2)
L

⊗ U(1)
Y
<ρ>,<η>
−−−−−→ SU(3)
C
⊗ U(1)
Q
. (1.8)
Trong đó :
χ =





χ
0
χ
−
χ
0





∼

1, 3, −
1

3

, (1.9)
ρ =





ρ
+
ρ
0
ρ
+





∼

1, 3,
2
3

, (1.10)
η =






η
0
η
−
η
0





∼

1, 3, −
1
3

, (1.11)
các giá trị trung bình chân không được chọn là:
< χ >
T
=

0, 0,
ω
√
2


; < ρ >
T
=

0,
u
√
2
, 0

; < η >
T
=

v
√
2
, 0, 0

.
(1.12)
Điện tích được định nghĩa theo công thức:
Q =
1
2
λ
3
−
1

2
√
3
λ
8
+ N. (1.13)
Trong mô hình này neutrino vẫn không có khối lượng. Giá trị trung bình
chân không < χ > sinh khối lượng cho các quark ngoại lai mang điện
tích 2/3 và 1/3, còn các giá trị trung bình chân không < ρ > và < η >
sinh khối lượng cho tất cả các lepton và quark thông thường. Sau khi
19
phá vỡ đối xứng các boson chuẩn thu được khối lượng như sau:
m
2
W
=
1
4
g
2
(u
2
+ v
2
),
M
2
Y
=
1

4
g
2
(v
2
+ ω
2
),
M
2
X
=
1
4
g
2
(u
2
+ ω
2
), (1.14)
và
m
2
Z
=
g
4c
2
W

(u
2
+ v
2
) =
m
2
W
c
2
W
, (1.15)
M
2
Z

=
g
2
4(3 −4s
2
W
)

4ω
2
+
u
2
c

2
W
+
v
2
(1 −2s
2
W
)
2
c
2
W

. (1.16)
Để phù hợp với hiện tượng luận ở miền năng lượng thấp, ta giả thiết
< χ >  < ρ >, < η > để cho m
W
 M
X
, M
Y
.
So sánh các hằng số liên kết chuẩn ta thu được hệ thức liên hệ giữa các
hằng số tương tác là:
g
2
N
g
2

=
18s
2
W
(M
Z
2
)
3 −4s
2
W
(M
Z
2
)
, (1.17)
trong đó e = g s
W
giống như trong SM.
Từ quá trình phá vỡ đối xứng ta suy ra công thức tách khối lượng các
bilepton:
|M
2
X
− M
2
Y
| ≤ m
2
W

, (1.18)
Do đó một cách gần đúng ta có thể đặt M
X
∼ M
Y
. Điều kiện ràng buộc
về sự trộn Z − Z

dựa trên quá trình rã của Z là:
−2, 8.10
−3
≤ φ ≤ 1, 8.10
−4
.
Trong mô hình này ta không có giới hạn đối với sin
2
θ
W
. Với góc trộn bé
như vậy thì Z
1
và Z
2
lần lượt là Z boson trong SM và boson chuẩn Z

20
của mô hình mà ta đang xem xét. Dựa vào dữ liệu về sự vi phạm tính
chẵn lẻ trong nguyên tử cesium ta thu được giới hạn dưới đối với khối
lượng của Z
2

nằm trong khoảng giữa 1,4 TeV và 2,6 TeV. Dữ liệu về sự
chênh lệch khối lượng của kaon ∆m
K
dẫn tới giới hạn: M
Z
2
≤ 1, 02 TeV.
Dữ liệu về rã muon cho ta giới hạn dưới đối với khối lượng của Y boson
là 230 GeV (90 %CL). Việc phân tích bổ đính bức xạ dựa trên các tham
số S và T cho kết quả: M
Y

≥ 230GeV, M
X
≥ 240GeV [6].
1.2.2 Mô hình 3-3-1 tối thiểu
Trong mô hình này các lepton được sắp xếp vào các phản tam tuyến
của nhóm SU(3)
L
:
f
aL
=





e
aL

−ν
aL
(e
c
)
aL





∼ (1,
¯
3, 0) , (1.19)
a = 1, 2, 3 là chỉ số thế hệ.
Hai trong số ba thế hệ của quark biến đổi như các tam tuyến của SU(3)
L
còn thế hệ quark thứ 3 biến đổi như phản tam tuyến:
Q
iL
= (u
iL
, d
iL
, D
iL
)
T
∼


3, 3, −
1
3

, (1.20)
u
iR
∼

3, 1,
2
3

; d
iR
∼

3, 1, −
1
3

; D
iR
∼

3, 1, −
4
3

; i = 1, 2,

Q
3L
= (d
3L
, −u
3L
, T
L
)
T
∼

3,
¯
3,
2
3

; (1.21)
u
3R
∼

3, 1,
2
3

; d
3R
∼


3, 1, −
1
3

; T
R
∼

3, 1,
5
3

.
Sau khi nhóm SU(3)
L
⊗U(1)
N
bị phá vỡ đối xứng thành U(1)
Q
, 9 boson
chuẩn W
a
(a = 1, 2, , 8) và B của SU(3)
L
và U(1)
N
bị tách thành 4
21
boson chuẩn có khối lượng bé và 5 boson chuẩn có khối lượng lớn. Các

boson chuẩn có khối lượng bé là các boson chuẩn của SM: photon (A),
Z
1
và W
±
. 5 boson chuẩn còn lại là các boson chuẩn mới, có khối lượng
lớn đó là boson chuẩn trung hòa Z
2
, các bilepton tích điện đơn Y
±
và
các bilepton tích điện đôi X
±±
. Các boson chuẩn được biểu diễn dưới
dạng tổ hợp của W
a
và B như sau:
√
2W
+
µ
= W
1
µ
− iW
2
µ
,
√
2Y

+
µ
= W
6
µ
− iW
7
µ
, (1.22)
√
2X
++
µ
= W
4
µ
− iW
5
µ
,
A
µ
= s
W
W
3
µ
+ c
W
(

√
3t
W
W
8
µ
+

1 −3t
2
W
B
µ
),
Z
µ
= c
W
W
3
µ
− s
W
(
√
3t
W
W
8
µ

+

1 −3t
2
W
B
µ
), (1.23)
Z

µ
= −

1 −3t
2
W
W
8
µ
+
√
3t
W
B
µ
.
Trong phần trên, để thuận tiện trong việc trình bày các công thức, ta
đã sử dụng các kí hiệu: c
W
≡ cos θ

W
, s
W
≡ sin θ
W
và t
W
≡ tan θ
W
. Các
trạng thái vật lí là các trạng thái trộn giữa Z và Z

:
Z
1
= Z cos φ −Z

sin φ,
Z
2
= Z sin φ + Z

cos φ. (1.24)
Ở đây φ là góc trộn.
Ta thực hiện phá vỡ đối xứng SU(3)
L
⊗ U(1)
N
→ U(1)
Q

và sinh khối
lượng cho fermion bằng cách đưa vào 3 tam tuyến vô hướng của nhóm
SU(3)
L
là Φ, ∆, ∆

và một lục tuyến η:
SU(3)
C
⊗ SU(3)
L
⊗ U(1)
N
<Φ>
−−−→ SU(3)
C
⊗ SU(2)
L
⊗ U(1)
Y
<∆>,<∆

>,<η>
−−−−−−−−−→ SU(3)
C
⊗ U(1)
Q
. (1.25)
22
Trong đó các đa tuyến vô hướng được biểu diễn như sau:

φ =





φ
++
φ
+
φ
0





∼ (1, 3, 1) , (1.26)
∆ =





∆
+
1
∆
0
∆

−
2





∼ (1, 3, 0) , (1.27)
∆

=





∆
0
∆
−
∆
−−





∼ (1, 3, −1) , (1.28)
η =






η
++
1
η
+
1
√
2
η
0
√
2
η
+
1
√
2
η
0
η
−
2
√
2
η
0

√
2
η
−
2
√
2
η
−−
2





∼ (1, 6, 0) . (1.29)
Lục tuyến η sẽ cho ta khối lượng của lepton mang điện. Giá trị trung
bình chân không < Φ
T
>=

0, 0,
u
√
2

sẽ sinh khối lượng cho các quark
ngoại lai, boson chuẩn trung hòa có khối lượng lớn hơn (Z
2
) và các boson

chuẩn mang điện mới (X
±±
, Y
±
). Khối lượng của các boson chuẩn thông
thường và các fermion thông thường liên hệ với giá trị trung bình chân
không của các trường vô hướng như sau:
< ∆
0
>=
v
√
2
, < ∆

>=
v
√
2
, < η
0
>=
ω
√
2
, < η
0
>= 0. Để phù hợp với
các hiện tượng luận ở thang năng lượng thấp thì thang năng lượng thu
được nhờ phá vỡ đối xứng SU(3)

L
⊗U(1)
N
phải lớn hơn rất nhiều so với
giá trị khối lượng trong mô hình điện yếu, nghĩa là u  v, v

, ω.
23
Khối lượng của các boson chuẩn là:
m
2
W
=
1
4
g
2
(v
2
+ v
2
+ ω
2
),
M
2
Y
=
1
4

g
2
(u
2
+ v
2
+ ω
2
),
M
2
X
=
1
4
g
2
(u
2
+ v
2
+ 4ω
2
), (1.30)
và
m
2
Z
=
g

4c
2
W
(v
2
+ v
2
+ ω
2
) =
m
2
W
c
2
W
,
M
2
Z

=
g
2
3

c
2
W
1 −4s

2
W
u
2
+
1 −4s
2
W
4c
2
W
(v
2
+ v
2
+ ω
2
) +
3s
2
W
1 −4s
2
W
v
2

.
(1.31)
Từ (1.30) ta suy ra hệ thức tách khối lượng giữa các bilepton:

|M
2
X
− M
2
Y
| ≤ 3m
2
W
. (1.32)
So sánh các hằng số liên kết chuẩn ta thu được hệ thức liên hệ giữa g và
g
N
- lần lượt là hằng số liên kết tương ứng với SU(3)
L
và U(1)
N
:
g
2
N
g
2
=
6s
2
W
(M
Z
2

)
1 −4s
2
W
(M
Z
2
)
, (1.33)
trong đó e = g s
W
giống như trong SM.
Kết hợp với các điều kiện ràng buộc từ việc tìm kiếm trực tiếp các dòng
trung hòa ta thu được bảng giá trị của góc trộn −1, 6.10
−2
≤ φ ≤ 7.10
−4
và giới hạn dưới đối với M
Z
2
: M
Z
2
≥ 1, 3 TeV. Trong thực tế ta có thể
bỏ qua góc trộn bé như vậy. Khi đó Z
1
và Z
2
lần lượt chính là boson
chuẩn Z của SM và boson chuẩn mới Z


xuất hiện trong mô hình 3-3-1.
Bổ sung các điều kiện ràng buộc từ các thí nghiệm rã muon, ta thu được
giới hạn dưới đối với khối lượng của Y
+
là M
Y
+
≥ 230 GeV. Bằng cách
24
tính tham số S và T, người ta thu được giới hạn dưới là 370 GeV đối
với Y
+
. Kết hợp kết quả này với công thức tách khối lượng (1.32), thu
được giới hạn dưới là 340 GeV đối với khối lượng của X
++
. Từ sự vi
phạm tính chẵn lẻ trong nguyên tử cesium ta có giới hạn dưới đối với
khối lượng của của Z
2
: M
Z
2
> 1, 2 TeV. Quá trình phá vỡ đối xứng dẫn
đến kết quả: Khối lượng của các boson chuẩn mang điện mới Y
±
, X
±±
bé thua một nửa M
Z

2
, các quá trình rã được phép Z
2
→ X
++
X
−−
với
X
±±
→ 2l
±
cung cấp dấu hiệu độc nhất vô nhị trong các máy gia tốc
va chạm tương lai.
1.2.3 Một số nhận xét chung về các mô hình 3-3-1
Cả hai mô hình đều được xây dựng trên nhóm đối xứng chuẩn SU(3)
C
⊗
SU(3)
L
⊗ U(1)
N
. Ngoài những đặc điểm chung, hai mô hình 3-3-1 có
những khác biệt nhất định liên quan đến việc chọn cấu trúc và nội dung
các thế hệ fermion cũng như việc xác định các boson chuẩn. Điều đó dẫn
đến sự khác biệt về miền năng lượng mà mỗi mô hình dự đoán sẽ xuất
hiện vật lí mới.
1. Mô hình 3-3-1 tối thiểu chỉ sử dụng các lepton của SM, còn mô hình
3-3-1 với neutrino phân cực phải đưa thêm neutrino phân cực phải vào
các đa tuyến lepton.

2. Mỗi mô hình đều dự đoán 5 boson nặng xuất hiện ở thang năng
lượng cao. Đó là Z
2
, Y
+
, Y
−
, X
++
, X
−−
đối với mô hình 3-3-1 tối thiểu
và Z
2
, Y
+
, Y
−
, X
0
, X
0∗
đối với mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải.
3. Các quark mới xuất hiện trong mô hình 3-3-1 tối thiểu mang điện tích
−4/3 và 5/3. Các quark mới xuất hiện trong mô hình 3-3-1 với neutrino