BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
**********




TẠ QUANG DẦN

BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG
TRONG VẬT LÍ LƢỢNG TỬ


Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03


LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT



Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. Lƣu Thị Kim Thanh






HÀ NỘI, 2014


1

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới: PGS. TS. Lưu Thị
Kim Thanh, đã tận tuỵ hết lòng hướng dẫn, cung cấp tài liệu và truyền thụ
cho tôi những kiến thức và phương pháp nghiên cứu khoa học. Sự quan tâm
bồi dưỡng của cô đã giúp tôi tự tin vượt qua những khó khăn bỡ ngỡ trong
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Vật lí lí thuyết-
Khoa Vật lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giảng dạy tạo
điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2, Phòng Quản lý khoa học và Đào tạo Sau Đại Học Trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2, đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành khoá học này.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo cùng các bạn
học viên!
H Ni, ngy 10thng 7năm 2014
Học viên


Tạ Quang Dần


2
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS. Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn không hề trùng lặp
với những đề tài khác.

H Ni, ngy 10thng 7năm 2014

Học viên


Tạ Quang Dần















3
MỤC LỤC

Trang
Lời cảm ơn
1
Lời cam đoan
2
Mục lục
3
MỞ ĐẦU

5
NỘI DUNG
7
Chương 1. HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ
7
1.1. Dao động tử điều hoà trong cơ học cổ điển
7
1.2. Dao động tử điều hoà trong cơ học lượng tử
9
1.2.3. Dao động tử điều hoà trong lý thuyết trường lượng tử
15
Chương 2. HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ
BIẾN DẠNG

25
2.1. Cơ sở toán học của lý thuyết biến dạng
25
2.2. Dao động tử Boson biến dạng
27
2.2.1. Dao động tử Boson biến dạng q
27
2.2.2. Dao động tử Boson biến dạng q tổng quát
30
2.2.3. Dao động tử Boson biến dạng R
34
2.3. Dao động tử Fermion biến dạng
37
2.3.1. Dao động tử Fermion biến dạng q
37
2.3.2. Dao động tử Fermion biến dạng q tổng quát

38
Chương 3. MỘT SỐ BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TRONG VẬT LÍ
LƯỢNG TỬ

40
3.1. Biểu diễn dao động của một số đại lượng nhiệt động
40
3.1.1. Biểu diễn dao động của toán tử toạ độ và xung lượng
40
3.1.2. Biểu diễn dao động của toán tử năng lượng
41
3.1.3. Biểu diễn dao động của véc tơ trạng thái
42

4
3.2. Biểu diễn dao động của trạng thái kết hợp
48
3.2.1. Định nghĩa trạng thái kết hợp
48
3.2.2. Trạng thái kết hợp của dao động tử biến dạng q
49
3.2.3. Trạng thái kết hợp của dao động tử biến dạng q tổng
quát

50
KẾT LUẬN
55
TÀI LIỆU THAM KHẢO
56






















5
MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Dao động tử lượng tử là mô hình được áp dụng rộng rãi trong vật lí
hiện đại và được coi là mô hình gần đúng của các phân tử thực, các nguyên tử
thực và của các hạt thực khác. Các mô hình đó được áp dụng cho các hạt tự
do cũng như cho các hạt cấu thành hệ vật lí.
Bài toán về dao động tử điều hòa là một trong số ít những bài toán giải
được chính xác trong cơ học lượng tử. Vì thế, mô hình dao động tử điều hòa
được áp dụng trong nhiều chuyên ngành của vật lí, như vật lí chất rắn với các

vấn đề về dao động mạng tinh thể và hình thức luận phonon, vật lí hạt cơ bản
với các vấn đề về dao động boson và dao động fermion, vật lí hạt nhân
nguyên tử với các vấn đề về dao động của hạt nhân nguyên tử, quang học
lượng tử với các vấn đề về dao động sóng, …Tuy nhiên, dao động tử điều
hòa là một mô hình lí tưởng, trong các hệ vật lí thực thường tồn tại các dao
động tử phi điều hòa, vì vậy khi áp dụng lý thuyết vào hệ vật lí thực vẫn có sự
sai khác giữa kết quả tính toán lý thuyết với kết quả đo được bằng thực
nghiệm. Khi đó người ta thường dùng các phương pháp gần đúng để giải
quyết [1], [3], [6].
Ngày nay, lý thuyết trường lượng tử đã đạt được nhiều thành tựu trong
nghiên cứu hạt cơ bản, vật lí năng lượng cao, vật lí hạt nhân nguyên tử và
khoa học vũ trụ, …. Lý thuyết trường lượng tử đã mở ra con đường để nhận
biết các quá trình vật lí xảy ra trong thế giới hạt vi mô và quá trình hình thành
nên vũ trụ mà chúng ta đang sống. Lý thuyết trường lượng tử luôn thu hút sự
quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học Quốc tế và trong nước. Lý
thuyết trường lượng tử đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của vật lí
hiện đại. Các phương pháp gần đúng thường được sử dụng trong lý thuyết
lượng tử là phương pháp trường trung bình, phương pháp tác dụng hiệu dụng,

6
phương pháp thống kê momen, …. Nhóm lượng tử mà cấu trúc nó là đại số
lượng tử, là một phương pháp gần đúng của lý thuyết trường lượng tử. Nhóm
lượng tử được nghiên cứu thuận lợi trong hình thức luận dao động tử điều hoà
biến dạng [8],[11].
Sau quá trình học tập tại lớp cao học chuyên ngành Vật lí Lý thuyết
K16 Trường ĐHSP Hà nội 2, tôi đã thấy được vai trò quan trọng của mô hình
dao động tử điều hòa trong vật lí. Với mong muốn có thể tiếp cận với vật lí
học hiện đại, em đã chọn đề tài “Biểu diễn dao động trong vật lí lƣợng tử”
để làm luận văn thạc sĩ dưới sự hướng dẫn khoa học của cô giáo, PGS. TS.
Lưu Thị Kim Thanh.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu biểu diễn dao động trong
vật lí lượng tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày hình thức luận dao động tử điều hòa.
- Xây dựng hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng.
- Nghiên cứu biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là hệ dao động tử điều hòa và phi điều hòa.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng các phương pháp vật lí lý thuyết: phương pháp lý
thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử và các phương pháp giải
tích khác.
6. Dự kiến đóng góp mới
- Biểu diễn dao động của một số đại lượng nhiệt động.
- Biểu diễn dao động của trạng thái kết hợp.


7
NỘI DUNG
Chƣơng 1.HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
1.1. Dao động tử điều hòa trong cơ học cổ điển
Dao động tử điều hòa tuyến tính là một chất điểm có khối lượng m,
chuyển động một chiều theo trục Ox, dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi,
,F kx
trong đó k là hệ số chuẩn đàn hồi [1].
Phương trình chuyển động của dao động tử điều hòa tuyến tính
F ma

2

2
dx
kx m
dt

,
''
0
k
xx
m

,
'' 2
0xx


, (1.1)
với
k
m


,

là tần số góc.
Nghiệm của phương trình (1.1) có dạng:
os( )x Ac t



(1.2)
trong đó  là pha của dao động, A là biên độ của dao động.
Động năng của dao động tử điều hòa tuyến tính

22
11
22
T mv mx



2 2 2
1
sin ( )
2
T mA t
  




8
Thế năng của dao động tử điều hòa tuyến tính

2
1
2
V Fdx kx  




2 2 2
1
os ( )
2
V mA c t
  


Năng lượng (cơ năng) của dao động tử điều hòa tuyến tính
22
1
2
E T V mA

  
(1.3)
Vậy theo quan điểm cổ điển năng lượng của dao động tử điều hòa
tuyến tính có những đặc điểm sau: Ứng với mỗi giá trị xác định của tần số ,
năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính có thể có những giá trị liên
tục, tỉ lệ thuận với biên độ dao động A. Năng lượng của dao động tử điều hòa
tuyến tính có giá trị nhỏ nhất bằng không.
Vận tốc của hạt
sin( )
dx
v A t
dt
  
   



2
2
1
x
vA
A



Chu kỳ dao động của hệ

2
T




Xác suất dw
(cd)
(x) mà hạt vĩ mô nằm trong khoảng từ x đến x + dx với
dx = vdt bằng

9
()
()
2
2
()
2

1
()
2
1
cd
cd
dt dx
dw x dx
Tv
dx
dw x
A
x
A







1.2.Dao động tử điều hòa trong cơ học lƣợng tử
Hamiltonian của dao động tử điều hòa tuyến tính [1]
2
2
22
2
2
ˆ
1

ˆ ˆ ˆ
ˆ
22
1
ˆ
ˆ
22
P
H T U kx
m
d
H kx
m
dx
   
  


Trạng thái lượng tử của hạt với năng lượng E được diễn tả bằng hàm
sóng  (x) thỏa mãn phương trình Schrodinger
ˆ
( ) ( )H x E x



22
2
2
1
( ) ( ).

22
d
kx x E x
m
dx


  




(1.4)
Đặt
1
4
2
;
mk m








22E m E
k





(1.5)
và dùng biến không thứ nguyên

= x,
ta viết lại phương trình (1.4) dưới dạng
2 2 2
2
2 2 2
2
( ) ( )
d m mE
x x x
dx



  






10
2
2 2 2
22

2
( ) ( ) ( )
2
dm
x x x x
dx

    

   






2
2 2 2
2
( ) 0
d
d

    







  








 
2
2
2
( ) 0
d
d

  




  



2
2
2
( ) 0,

d
d
   


  





(1.6)
trong đó
()

  






phải hữu hạn tại  = 0 và giới nội khi . Vì lời
giải tiệm cận của phương trình (1.4) khi  lớn là
2
( ) exp ,
2










cho nên ta tìm lời giải chính xác dưới dạng
2
( ) ( )exp .
2
v

  







(1.7)
Thay biểu thức (1.7) vào phương trình (1.6)
2
2
2
2
2
( ) 0,
d
ve

d

  



  






11
Ta có:
2 2 2
2
2 2 2
( ) ( ) ( )
2
dd
v e v e v e
d
d
  
  



  

   
   

   
   
   


2 2 2 2
'' 2 '
2 2 2 2
2,v e ve v e v e
   

    
  

và


2
' 2 2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 0,v v v v v v e

     
   



     

ta được phương trình cho hàm v()
( ) ( ) ( )
2 ( 1) 0.v v v
  




   


(1.8)
Tìm hàm v() dưới dạng chuỗi:
0
( ) ,
n
n
n
va





(a
0
 0) (1.9)
Ta có:

1
10
()
nn
nn
nn
v na na
  













2
2
)1()(
n
n
n
annv








0
2
)2)(1(
n
n
n
ann




12
Phương trình (1.8) có dạng
 





0
2
0)1(2)2)(1(
n
n
nnn

anaann



 





0
2
0)21()2)(1(
n
n
nn
anann

.
Dễ dàng tìm được công thức truy hồi cho các hệ số khai triển
)2)(1(
12
2




nn
n
a

n

(1.10)
Để hàm
()

giới nội khi  thì chuỗi (1.10) phải bị cắt ở một bậc n hữu
hạn nào đó. Từ phương trình (1.10) ta suy ra
2n + 1 -  = 0
 = 2n + 1
Và do đó, theo hệ thức (1.5), phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến
tính được xác định bởi công thức
1
,
2
n
En






(n = 0, 1, 2…). (1.11)
Vậy theo quan điểm lượng tử, phổ năng lượng của dao động tử điều
hòa tuyến tính có các đặc điểm sau:
- Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính chỉ có thể nhận
các giá trị gián đoạn.
- Các mức năng lượng cách đều nhau, hiệu giữa hai mức năng lượng
liền kề nhau là hằng số


E
.

13
- Năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa tuyến tính ứng với
n=0, được gọi là năng lượng “không”. Mức “không” của năng lượng
0
E0
2



. Năng lượng không tương ứng với dao động “không” mà ta không
thể trừ bỏ được bằng cách hạ nhiệt độ chẳng hạn. Nói khác đi, do có xuất hiện
năng lượng “không” nên dao động tử lượng tử không thể ở trong trạng thái
nghỉ, ở nhiệt độ không tuyệt đối phần lớn các hệ nằm ở mức năng lượng thấp
nhất(mức cơ bản), nhưng khi đó các nguyên tử vẫn thực hiện dao động.
Nănglượng “không” của dao động đã quan sát được khi cho ánh sáng tán xạ
trên tinh thể nằm ở nhiệt độ gần độ không tuyệt đối.
Sự tồn tại một năng lượng hữu hạn thấp nhất E
0
, chỉ có thể lý giải được
trên cơ sở của lý thuyết lượng tử. Thật vậy, gọi các độ bất định của năng
lượng, xung lượng, tọa độ là E, p, x. Sự tồn tại của E
0
>0 gắn liền với hệ
thức bất định giữa tọa độ và xung lượng của hạt:
,
2

px  


vì
2
2
1
.
2 2 2
pk
E k x p x
mm


       


Có thể quy ước chọn gốc tính năng lượng trùng với năng lượng không
E
0
. Khi đó dao động tử điều hòa chỉ có thể có năng lượng là bội của năng
lượng


:
.
n
En

 



14
Đó chính là giả thuyết Planck: năng lượng của một dao động tử điều hòa bằng
một bội nguyên của lượng tử năng lượng


.
Dạng tường minh của hàm sóng diễn tả trạng thái lượng tử của dao
động tử điều hòa là
22
2
( ) ( )
x
n n n
x N H x e





1
4
2
1
( ) exp ,
2
2!
nn
n

m m m
x x H x
n
  



   





   

  
(1.12)
trong đó H
n
(x) là đa thức Hermite. Thí dụ như
H
0
(x)=1
H
1
(x)=2x
H
2
(x)=2(2x
2

-1)
H
3
(x)=4x(2x
2
-3)….
Các hàm sóng chuẩn hóa tương ứng là
22
2
0
()
x
xe







22
3
2
1
2
()
x
x xe








22
22
2
2
( ) (2 1)
2
x
x x e







22
3
22
2
3
( ) (2 3) .
3
x
x x xe









15
Xác suất mà dao động tử lượng tử với năng lượng E
n
có thể được tìm
thấy trong khoảng từ x đến x + dx bằng
2
( ) ( )
LT
nn
dw x dx x dx



Từ các hệ thức (1.11) và (1.12), chúng ta thấy năng lượng và hàm sóng
diễn tả trạng thái của dao động tử điều hòa tuyến tính cùng phụ thuộc vào số
lượng tử chính n,
- Các mức năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính không suy
biến, hay bậc suy biến của các mức năng lượng g=1.
1.3. Dao động tử điều hòa trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử
Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa cũng có thể tìm được bằng
phương pháp đại số, sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc và biểu thức của
Hamiltonian [1],[2]





2
2
2
,
22
x
Pm
Hx
m


(1.13)
Chúng ta ký hiệu
ˆˆ
xq
là toán tử tọa độ,
ˆˆ
x
d
p p i
dx
   
là toán tử xung lượng.
Hệ thức giao hoán giữa
ˆ
p
và

ˆ
q
là

 
 
,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ
d d d d
p q pq qp i x x i i x i x
dx dx dx dx
           


 
 
,
ˆˆ
dd
p q i x i x i
dx dx
   
      


 
,.
ˆˆ
p q i
(1.14)




16
Có thể biểu diễn Hamiltonian theo
ˆ
p
và
ˆ
q


2
2
2
ˆ
,
ˆ
22
p
m
Hq
m


(1.15)
Đặt
 
ˆ ˆ ˆ
,

2
m
p i a a





 
ˆ ˆ ˆ
,
2
q a a
m





khi đó ta biểu diễn
ˆ
H
theo
ˆ
a
và
ˆ
a

như sau:


   
2
22
22
22
ˆ
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 2 2 2 2 2
p
m m m
H q i a a a a
m m m
  


     




   
     
 
22
1
ˆ ˆ ˆ ˆ
22
1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
22
1
ˆ ˆ ˆ ˆ
22
22
a a a a
a a a a a a a a
aa a a




   


   

     








 
ˆ ˆ ˆ ˆ
.

2
aa a a




(1.16)
Các toán tử
ˆ
a
và
ˆ
a

được biểu diễn ngược lại qua
ˆ
p
và
ˆ
q


 
ˆ
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
,
2
2
p

m
p i a a a a ip
m
m
i




      





 
ˆ
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
,
2
2
q
m
q a a a a q
m
m





     




từ đó ta thu được

ˆ
ˆˆ
,
2
p
m
a q i
m







(1.17)

ˆ
ˆˆ
.
2
p

m
a q i
m








(1.18)

17
Dễ dàng chứng minh được các toán tử
ˆ
a
và
ˆ
a

thỏa mãn hệ thức giao hoán

 
ˆˆ
, 1.aa


(1.19)
Thật vậy


 
ˆˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
, q-i
22
pp
mm
a a aa a a q i
mm


  
   
   
   
   



ˆˆ
ˆˆ
22
pp
mm
q i q i
mm



   
  
   
   



   
1
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ
2 2 1.
2
i
i pq i qp pq qp


    


Sử dụng hệ thức (1.19) ta thu được Hamiltonian có dạng

1
ˆˆ
.
2
H a a








(1.20)
Việc nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử điều hòa quy về bài
toán tìm các vectơ riêng và trị riêng của Hamilonian (1.20), trong đó các toán
tử
ˆ
a
và
ˆ
a

thỏa mãn hệ thức giao hoán (1.19). Để làm điều đó ta định nghĩa
một toán tử mới như sau
ˆ
ˆˆ
,N a a


(1.21)
Và có các hệ thức giao hoán giữa toán tử

N
với các toán tử
ˆ
a
và
ˆ
a



+
 
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, 1. ,N a Na aN a aa aa a a a aa a a a
   

         


Suy ra
 
ˆˆ
ˆˆ
1,Na a N
(1.22)
+
 
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
,N a Na a N a aa a a a a aa a a a
          

      


hay
 

ˆˆ
ˆˆ
1.Na a N


(1.23)

18
Ký hiệu
n
là véc tơ riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng n, khi đó ta
có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử
ˆ
N

ˆ
.N n n n
(1.24)
Từ phương trình (1.24) ta suy ra
ˆ
ˆˆ
0,
n N n n a a n
n
n n n n

  

(1.25)
vì:
 
2
0
n
n n r dr





và
 
2
ˆ ˆ ˆ
0
n
n a a n a r dr






Vậy ta có:
-Các trị riêng của toán tử
ˆ
N
là các số không âm.

Bây giờ, ta xét véc tơ trạng thái
ˆ
an
, thu được bằng cách tác dụng toán
tử
ˆ
a
lên véc tơ trạng thái
n
. Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử
ˆ
N
và
sử dụng công thức (1.22) ta có:

 
   
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
1
ˆˆ
1 1 .
Na n a N n aN n a n
a n n n a n
   
   
(1.26)
Hệ thức trên có ý nghĩa là: véc tơ trạng thái
ˆ
an

cũng là véc tơ trạng thái
riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n - 1). Tương tự như vậy, dễ dàng
chứng minh được rằng
23
ˆˆ
; ,a n a n
cũng là véc tơ trạng thái riêng của
toán tử
ˆ
N
ứng với các trị riêng (n - 2), (n - 3)…
Tiếp theo, ta xét véc tơ trạng thái
ˆ
an

, tác dụng lên véc tơ trạng thái
này toán tử
ˆ
N
, sử dụng công thức (1.23) ta có

19

 
   
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ

1
ˆˆ
1 1 .
Na n a N n a N n a n
a n n n a n
  

   
   
(1.27)
Hệ thức trên có ý nghĩa là: véc tơ trạng thái
ˆ
an

cũng là véc tơ trạng thái
riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n + 1). Tương tự như vậy
   
23
ˆˆ
, , a n a n

cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với các
trị riêng (n + 2), (n + 3)… Ta đi đến kết luận sau.
- Nếu

n
là một véc tơ trạng thái riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng
n, thì
ˆ
p
an
cũng là một véc tơ trạng thái riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị
riêng (n – p), và
 
ˆ
p
an

cũng là một véc tơ trạng thái riêng của toán tử
ˆ
N

ứng với trị riêng (n + p),với p = 1,2,3…, và (n-p) khác 0.
Kết hợp hai điều trên ta thấy nếu n là một trị riêng của toán tử
ˆ
N
thì
chuỗi các số không âm n – 1, n – 2, n – 3… cũng là trị riêng của toán tử
ˆ

N
.
Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất n
min
thỏa
mãn hệ thức
min
ˆ
0,an 
(1.28)
vì nếu
min
ˆ
0an 
thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị riêng
 
min
1n 
, trái
với giả thiết n
min
là trị riêng nhỏ nhất.Từ (1.28) ta có:
min min
ˆ
ˆˆ
0.a a n N n


(1.29)
Mặt khác, theo định nghĩa của n

min
,
min min min
ˆ
.N n n n
(1.30)
So sánh hai phương trình (1.29) và (1.30) ta đi đến kết luận như sau:
- Trị riêng nhỏ nhất của toán tử
ˆ
N
là n
min
có giá trị bằng 0.

20
Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của
ˆ
N
được ký hiệu
0,
gọi là trạng thái chân không, véc tơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện
ˆ
00a 
.
Khi đó:
+
ˆ
0a

tỉ lệ với véc tơ riêng

l
của
ˆ
N
ứng với trị riêng n = 1.
Thật vậy, ta có:
 
ˆ
1 11 *N 
, mà
ˆ
0a

là một véc tơ riêng của toán tử
ˆ
N

ứng với trị riêng 0 + 1 = 1, tức là
 
ˆ
ˆˆ
0 1 0 . **Na a



Từ (*) và (**) ta thấy:

1
là véc tơ riêng của toán tử
ˆ

N
ứng với trị riêng là 1,

ˆ
0a

là véc tơ riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng là 1,
vì vậy,
ˆ
0a

phải tỉ lệ với véc tơ riêng
l
của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng
n1
.
+ Tương tự
 
2
ˆ
0a

tỉ lệ với véc tơ riêng
2

của toán tử
ˆ
N
ứng với trị
riêng n = 2, …,
+
 
ˆ
0
n
a

tỉ lệ với véc tơ riêng
n
của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng n.
Từ biểu thức:
11
ˆ ˆ ˆ
ˆˆ
2 2 2
H a a N N

  

   
     
   

   

  


ˆˆ
0 0 0
2
HN


  


. Vì
ˆ
0 0 0 0N 


0
ˆ
0 0 0
2
HE




Nên:
0

là véc tơ riêng của
ˆ
H
ứng với trị riêng
0
1
2
E

 


1
là véc tơ riêng của
ˆ
H
ứng với trị riêng
1
1
1
2
E







…………………………………………………………


21

n
là véc tơ riêng của
ˆ
H
ứng với trị riêng
1
.
2
n
En







Vậy ta có kết luận sau
- Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính được biểu diễn
bằng công thức
1
.
2
n
En







(1.31)
Từ biểu thức (1.31), ta nhận thấy phổ năng lượng của dao động tử điều hòa
tuyến tính có các đặc điểm như đã khảo sát ở phần trên, các trạng thái dừng
của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn với các giá trị cách đều
nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng tháí kề nhau luôn luôn bằng một
lượng tử năng lượng

 
.
Trạng thái
0
có năng lượng thấp nhất là
0
1
0
2
E


, trạng thái tiếp
theo
1
với năng lượng
0
E


 
có thể được xem như là kết quả việc thêm
một lượng tử năng lượng

vào trạng thái
0
. Trạng thái tiếp theo
1
ứng
với năng lượng
0
E

 
có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng
tử năng lượng


vào trạng thái
0
. Trạng thái tiếp theo
2
ứng với năng
lượng
10
2EE

  
có thể được xem như là kết quả của việc thêm
một lượng tử năng lượng


vào trạng thái
1
, cũng có nghĩa là thêm hai
lượng tử năng lượng

vào trạng thái
0
. Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là
E
0
, thì có thể coi trạng thái
0
là trạng thái không chứa lượng tử nào. Vì vậy
0
được gọi là trạng thái chân không,
1
là trạng thái chứa một lượng tử,
2

là trạng thái chứa hai lượng tử …
n
là trạng thái chứa n lượng tử. Toán tử
ˆ
N

có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán

22
tử số năng lượng. Toán tử

ˆ
a
khi tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỉ lệ với
1n
do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng. Toán tử
ˆ
a

khi tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỉ lệ với
1n 
do đó được đoán
nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng. Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử
năng lượng là một hạt thì toán tử
ˆ
N
sẽ là toán tử số hạt,
ˆ
a
sẽ là toán tử hủy
hạt,
ˆ
a

sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái
n
với năng lượng

n
En

 
sẽ là trạng thái chứa n hạt. Đó là biểu diễn số hạt của dao động
tử điều hòa.
Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có
thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng
 .
Khái niệm
hạt ở đây thực chất đó chỉ là các giả hạt còn gọi là các “chuẩn hạt”.[1], [7],
[8].
Như ta đã lập luận ở trên khi toán tử
ˆ
a
tác dụng lên
n
cho một trạng
thái tỉ lệ với
1n 
và toán tử
ˆ
a

khi tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỉ lệ
với
1n 
. Do đó chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ

,,
n n n
  
trong các hệ thức:

ˆ
1
ˆ
1
ˆ
0
n
n
n
n
a n n
a n n
na









Để cho các véc tơ là trực giao và chuẩn hóa thì:
,
1

0
mn
khi m n
mn
khi m n








+ Tìm 
n
:
Chúng ta có
,
ˆˆ
nn
n N n n N n
n
nn




23
Vì m = n nên 
m, n

= 1

ˆ
ˆˆ
n n N n n a a n

  

Mặt khác
*
ˆ
1
n
n a n




Do đó:
* 2 2
1 1 1 1
n n n n
n n n n n
   
      

Coi 
n
là thực nên
n

n



+ Tìm 
n
:
Ta có :
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
1n n N n n a a n n aa n

   

Mặt khác:
*
ˆ
1
n
n a n



Do đó:
ˆ
ˆˆ
1n n N n n aa n

  



*2
1 1 1 1
n n n
nn
  
     

Coi 
n
là số thực nên
2
11
nn
nn

    

+ Tìm 
n
:
Ta có
 
1
ˆ ˆ ˆ
00
n
n
nn
n a a a



  



     
1 2 2
0 0 0 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
1 1 2
n n n
n n n
n a a a a
      
  
   
   


 
2
01
0 1 3 1
ˆ
2

1.2.3 !
1
!

n
n
nn
nn
n
na
nn
n n n n n
n
  
    







  


Vậy ta thiết lập được các công thức sau:

ˆ
N n n n


24

ˆ

1a n n n
(1.32)

ˆ
11a n n n

  

1
ˆ
0
!
n
na
n





Kết luận chƣơng 1

Trong chương 1chúng tôi đã trình bày một cách lôgic, đầy dủ về hình
thức luận dao động tử điều hòa:
+ Dao động tử điều hòa trong cơ học cổ điển.
+ Dao động tử điều hòa trong cơ học lượng tử.
+ Dao động tử điều hòa trong lý thuyết trường lượng tử.
Những kết quả trên sẽ là cơ sở nghiên cứu ở các chương tiếp theo.