BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2






VŨ THỊ NGA







DAO ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ MỘT SỐ
ỨNG DỤNG


Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03




LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN




HÀ NỘI, 2014


1

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn
Thị Hà Loan, ngƣời đã giảng dạy, tận tình hƣớng dẫn tôi trong quá trình học
tập và hoàn thiện luận văn này. Cô đã cung cấp tài liệu và truyền thụ cho tôi
những kiến thức và phƣơng pháp nghiên cứu khoa học. Sự quan tâm bồi
dƣỡng của cô đã giúp tôi vƣợt qua những khó khăn trong quá trình hoàn thiện
luận văn cũng nhƣ trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Nhân dịp này cho phép tôi bày tỏ lòng cảm ơn Ban Chủ Nhiệm Khoa
Vật Lý – Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2 và các thầy cô giáo đã tận tình
giảng dạy, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thiện
luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp
đã luôn sát cánh bên tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn
thành luận văn này.













2

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này đƣợc hoàn thành là do sự nỗ lực của bản thân
cùng với sự hƣớng dẫn chỉ bảo tận tình và hiệu quả của PGS. TS. Nguyễn Thị
Hà Loan. Đây là đề tài không trùng với các đề tài khác, các số liệu và kết quả
nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, kết quả đạt đƣợc không trùng với
kết quả của các tác giả khác.

Học viên


VŨ THỊ NGA












3

MỤC LỤC
Lời cảm ơn ……………………………………………………………………1
Lời cam đoan …………………………………………………………………2
MỞ ĐẦU …………………………………………………………………… 5
NỘI DUNG ………………………………………………………………… 7
CHƢƠNG 1. DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG KHI THÔNG SỐ BIẾN DẠNG
LÀ C – SỐ ……………………………………………………………………7
1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát c – số. …………………………………7
1.1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát c – số. …………………………….7
1.1.2 Thống kê của dao động tử biến dạng tổng quát c – số. …………….10
1.2 Dao động tử biến dạng c – số q. ……………………………………… 12
1.2.1 Dao động tử biến dạng c – số q. ……………………………………12
1.2.2 Thống kê của dao động tử biến dạng c – số q. …………………… 16
1.3 Dao động tử biến dạng c – số Q. ……………………………………… 17
1.3.1 Dao động tử biến dạng c – số Q. ………………………………… 17
1.3.2 Thống kê của dao động tử biến dạng c – số Q. …………………….22
1.4 Dao động tử biến dạng – (q, R). ……………………………………… 23
1.4.1 Dao động tử biến dạng – (q, R). ……………………………………23
1.4.2 Thống kê của dao động tử biến dạng – (q, R). …………………… 26
CHƢƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG KHI THÔNG SỐ BIẾN DẠNG
LÀ TOÁN TỬ. …………………………………………………………… 28
2.1 Tính ƣu việt của dao động tử biến dạng khi thông số biến dạng là toán tử.
……………………………………………………………………………….28
2.2 Dao động tử biến dạng khi thông số biến dạng là toán tử. …………… 30
2.3 Thống kê của dao động tử biến dạng khi thông số biến dạng là toán tử 34
CHƢƠNG 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA DAO ĐỘNG LƢỢNG TỬ. … 36
4


3.1 Tính phi tuyến của dao động lƣợng tử. …………………………………36
3.2 Phổ năng lƣợng của dao động mạng tinh thể biến dạng – q cho chuỗi
nguyên tử cùng loại. ……………………………………………………… 39
3.3 Phổ năng lƣợng của dao động mạng tinh thể biến dạng – (q, R) cho chuỗi
nguyên tử cùng loại. ……………………………………………………… 42
3.4 Phổ năng lƣợng của dao động tinh thể biến dạng khi thông số biến dạng là
toán tử cho chuỗi nguyên tử cùng loại. ……………………………………. 45
KẾT LUẬN………………………………………………………………… 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO. ………………………………………………….50
















5

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý đƣợc xem nhƣ là ngành khoa học cơ bản bởi vì các định luật vật

lý chi phối tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác. Trong lịch sử vật lý, các
nhà khoa học đã nhiều lần biến dạng các quy luật vật lý cơ bản để tạo nên các
lý thuyết mới đáp ứng nhu cầu thực tiễn.
Khi nghiên cứu các hệ vật lý, ta thƣờng gặp các tính chất đối xứng của
chúng. Đối xứng đóng một vai trò quan trọng trong vật lý hiện đại. Đối xứng
chuẩn dẫn đến những lý thuyết chuẩn, đối xứng không gian tinh thể là cơ sở
của vật lý chất rắn, đối xứng conform là đối xứng quan trọng trong lý thuyết
dây Vì vậy, sự phát triển của vật lý hiện đại gắn liền với việc nghiên cứu
đối xứng.
Khi dùng biểu diễn dao động cho các đại lƣợng vật lý sẽ giúp giải các
bài toán vật lý đơn giản hơn. Vì vậy trong vật lý cũng thƣờng dùng các biểu
diễn dao động để giải quyết các bài toán vật lý.
Dao động biến dạng đƣợc xem nhƣ là một sự biến dạng của dao động
thông thƣờng phụ thuộc vào một hoặc nhiều thông số biến dạng và khi thông
số biến dạng tiến đến một giá trị nào đó thì dao động biến dạng trở về dao
động thông thƣờng. Vì vậy dao động biến dạng tổng quát hơn dao động chƣa
biến dạng. [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, …]
Đặc biệt hình thức luận dao động biến dạng rất có hiệu quả trong việc
nghiên cứu môi trƣờng đậm đặc, sự rung động của hạt nhân, dao động mạng
tinh thể, … [1, 2, 3, 4, 5, 6]
Trong luận văn này tôi nghiên cứu dao động lƣợng tử và một số ứng
dụng của chúng trong vật lý lƣợng tử. [1, 2, 3, 4, 5, 6]

6

2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu một số kiến thức tổng quan về dao động tử biến dạng
và một số ứng dụng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nghiên cứu dao động tử biến dạng khi thông số biến dạng là c - số và

toán tử, tính thống kê của các dao động lƣợng tử và một số ứng dụng của nó.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu dao động tử biến dạng phụ thuộc vào một hoặc nhiều thông
số, khi thông số biến dạng là c - số và khi thông số biến dạng là toán tử.
Nghiên cứu dao động mạng tinh thể biến dạng khi thông số biến dạng là c - số
và khi thông số biến dạng là toán tử cho chuỗi nguyên tử cùng loại.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp lý thuyết nhóm đối xứng.
- Phƣơng pháp lý thuyết trƣờng lƣợng tử.
- Phƣơng pháp toán lý.
6. Những đóng góp mới của đề tài.
Cung cấp tài liệu tham khảo về các dao động tử biến dạng và một số
ứng dụng của nó.









7

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG
KHI THÔNG SỐ BIẾN DẠNG LÀ C – SỐ
1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát c – số. [13]
1.1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát c – số.
Hệ các dao động tử Boson biến dạng tổng quát c – số thỏa mãn hệ

thức:
cN
qaqaaa 

(1.1)
Với : q và c là những tham số biến dạng, N là toán tử số dao động tử
biến dạng.
Toán tử số dao động tử biến dạng N thỏa mãn các hệ thức giao hoán:
 
 



aaN
aaN
,
,
(1.2)
Trong không gian Fock với cơ sở là vector riêng của toán tử số dao
động đã chuẩn hóa
n
có dạng:
 
 
0
!
)(
)(
c
q

n
c
q
n
a
n


(1.3)
Với:
 
c
cnn
c
q
qq
qq
n



)(

       
)()()()(
21!
c
q
c
q

c
q
c
q
nn 

Và
0
là trạng thái chân không thỏa mãn điều kiện:
8

00
0 0 1
a 


Phƣơng trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số N là :
nnnN 
(1.4)
Từ (1.1) ta có thể chứng minh đƣợc:
 
 
()
()
11
1
c
q
c
q

a n n n
a n n n

  

(1.5)
Phƣơng trình hàm riêng, trị riêng của toán tử
aa

và

aa
là :

 
nnnaa
c
q
)(




 
nnnaa
c
q
)(
1



Hay :
 
 
()
()
1
c
q
c
q
a a N
aa N




(1.6)
Thậy vậy, từ (1.5) ta có :

 
 
1
c
q
a a n a n n



 

 
 
 
1
c
q
c
q
n a n
nn





 
 
11
c
q
aa n a n n

  

9

 
 
 
 

11
1
c
q
c
q
n a n
nn
  


Toán tử tọa độ X và xung lƣợng P đƣợc biểu diễn qua toán tử sinh,
hủy có dạng:
 
 
2
2
X a a
m
m
P i a a





  

Hệ thức giao hoán giữa P và X là:


 
 
,P X PX XP i aa a a

   
(1.7)
Từ (1.6) thay vào (1.7) ta đƣợc:
     
 
( ) ( )
,1
cc
qq
P X i N N  
(1.8)
Toán tử Hamiltonian đƣợc biểu diễn qua toán tử tọa độ X và xung
lƣợng P có dạng :
2 2 2
11
22
H P m X
m



 
1
2



a a aa
(1.9)
Thay (1.6) vào (1.9) ta thu đƣợc :
 
1
2
H a a aa




   
 
( ) ( )
1
1
2
cc
qq
NN

  
(1.10)
Phƣơng trình hàm riêng, trị riêng của toán tử Hamiltonian :
10

nEnH
n

(1.11)

Thay (1.10) vào phƣơng trình trên ta thu đƣợc :
   
 
( ) ( )
1
1
2
cc
n
qq
N N n E n

  

   
 
( ) ( )
1
1
2
cc
n
qq
E n n

   
Với:
, 2,1,0n
(1.12)
Vậy ta thu đƣợc phổ năng lƣợng của dao động tử biến dạng tổng quát

c – số có dạng (1.12). Tức là phổ năng lƣợng của dao động tử biến dạng tổng
quát c – số phụ thuộc vào thông số biến dạng.
1.1.2 Thống kê của dao động tử biến dạng tổng quát c – số.
Hàm Green của đại lƣợng vật lý F tƣơng ứng với toán tử
ˆ
F
đƣợc định
nghĩa nhƣ sau:
 
1
ˆˆ
N
F Tr e F
Z




Trong đó Z là hàm phân bố :
 













e
eneneTrZ
n
n
n
NH
1
1
00
(1.13)
Xác định tính chất nhiệt động của hệ,
kT
1


,

là năng lƣợng dao
động của một hạt. Tổng lấy theo tất cả các trạng thái của hệ.
Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng tổng quát c – số
là phân bố thống kê của
aa

:
11

 
 

 
   
 
0
()
0
()
0
0
00
1
1
1
1
1
1
11
1 1 1 1
11
11
1 ( )
N
N
n
c
N
q
n
c
n

q
n
n cn
n
c
n
nn
c
c
nn
cc
c
c c c
a a Tr e a a
Z
n e a a n
Z
n e N n
Z
en
Z
qq
e
Z q q
e q e q
Z q q
Z q q qe q e
q q e
Z q q q q e q e






 
 


  

















  
















  



   





2


Thay giá trị của Z vào biểu thức trên ta thu đƣợc :
 
12
1
1 ( )

c
c c c
q q e
e
aa
q q q q e q e


 



  



   

 
21
1
cc
e
e q q e q

 



  


Vậy:
 
12
1





cc
qeqqe
e
aa


(1.14)
12

Biểu thức (1.14) cho phép chúng ta tính đƣợc thống kê của dao động
tử biến dạng tổng quát c – số. Thống kê của dao động tử biến dạng tổng quát
c – số phụ thuộc vào thông số biến dạng.
1.2 Dao động tử biến dạng c – số q. [9] [11]
1.2.1 Dao động tử biến dạng c – số q.
Dao động tử Boson biến dạng c – số q đƣợc mô tả bởi các toán tử dao
động
a
,

a

theo hệ thức sau:
N
qaqaaa


(1.15)
Trong đó: q là thông số biến dạng; N là toán tử số dao động tử.
Toán tử số dao động tử N thỏa mãn các hệ thức giao hoán:
 
 



aaN
aaN
,
,
(1.15a)
Phƣơng trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số N là:
nnnN 
(1.16)
Đƣa vào toán tử mới
0
N
có dạng nhƣ toán tử số trong trƣờng hợp
không biến dạng, nghĩa là:
aaN


0

(1.17)
Ứng với các trạng thái
n
, toán tử
0
N
có các trị riêng là
n

:
0 n
N n n


(1.18)
Chúng ta sẽ xác định
n

.
Từ (1.15) và (1.17) ta có:
0
N a n a aa n
  


13

 
 
0

N
n
n
n
n
a q qN n
a q n a q n
q q a n



  




(1.19)
Mặt khác ta cũng có:
01
11
n
N n n


  
(1.20)
Vì
na

~

1n
nên từ (1.19) và (1.20) ta suy ra hệ thức truy hồi
cho
n

:
1
n
nn
qq




(1.21)
Rõ ràng
000
0


aaN
nên
0
0



 
 
 

0
10
1 1 2
21
2 2 2 4
32
2 4 2
1
1
1
1

1
n n n
nn
qq
q q q q
q q q q q
q q q q q q








  
   
    

      

Hay:
 
2 2 1 1
2 4 2
1
21
1
1
1
n n n
n n n
n
q q q
q q q q q
q q q

   




      


Vậy:
1
nn
n

qq
qq






(1.22)
Thay (1.22) vào (1.18) ta đƣợc:
n
qq
qq
nN
nn
1
0





(1.23)
14

Toán tử số N đƣợc biểu diễn thông qua các toán tử sinh hủy theo biểu
thức:
 
)(
0

NfaafN 

(1.24)
Gọi
 
NF
là hàm ngƣợc của hàm
 
0
Nf
thì ta có:
 
NFN 
0
(1.25)
Trong đó
 
xF
gọi là hàm cấu trúc của lý thuyết biến dạng.
Từ (1.16) và (1.25) ta thu đƣợc:
   
nnFnNFnN 
0
(1.26)
Từ (1.23) và (1.26) ta tìm đƣợc:
1
)(






qq
qq
xF
xx
(1.27)
Công thức (1.27) xác định hàm cấu trúc của hàm q – biến dạng thông
thƣờng.
Trong không gian Fock với vector cơ sở là vector riêng của toán tử số
dao động chuẩn hóa
n
có dạng:
 
 
0
!
q
n
n
a
n


(1.28)
Với:
 
1





qq
qq
n
nn
q

       
qqqq
nn 21!

Từ (1.15) ta tính đƣợc:
 
 
11
1
q
q
a n n n
a n n n

  

(1.29)
15

Tác dụng của
aa


và

aa
lên trạng thái riêng
n
:
 
nnnaa
q



 
nnnaa
q
1


Hay:
 
 
1
q
q
a a N
aa N





(1.30)
Toán tử tọa độ X và xung lƣợng P đƣợc biểu diễn qua toán tử sinh,
hủy có dạng:
 
 
2
2
X a a
m
m
P i a a





  

Hệ thức giao hoán giữa P và X là:
 
 
   
 
,1
qq
P X i aa a a i N N

    
(1.31)
Toán tử Hamiltonian đƣợc biểu diễn qua toán tử tọa độ X và xung

lƣợng P có dạng :
2 2 2
11
22
H P m X
m



 
   
 
1
2
1
1
2
qq
a a aa
NN




  
(1.32)
Phổ năng lƣợng của dao động tử biến dang c – số q đƣợc xác định từ
phƣơng trình :
nEnH
n


(1.33)
Thay (1.32) vào (1.33) ta đƣợc :
16

   
 
1
1
2
n
qq
N N n E n

  

   
 
1
1
2
n
qq
E n n

   
Với:
, 2,1,0n
(1.34)
Vậy ta thu đƣợc phổ năng lƣợng của dao động tử biến dạng c – số q có

dạng (1.34), phổ năng lƣợng phụ thuộc vào thông số biến dạng.
1.2.2 Thống kê dao động tử biến dạng c – số q.
Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng c – số q là phân
bố thống kê của
aa

:
 
1
N
a a Tr e a a
Z

  


 
 
   
0
0
0
1
0
1
1
00
11
12
1

1
1
1
11
1 1 1 1
11
1
1 ( )
N
n
N
q
n
n
q
n
nn
n
n
nn
nn
n e a a n
Z
n e N n
Z
en
Z
qq
e
Z q q

e q e q
Z q q
Z q q qe q e
e
Z q q e e




 
 

 















  



   

  














  


  





(1.35)
Thay giá trị của hàm phân bố nhiệt động Z từ (1.13) vào biểu thức
trên ta thu đƣợc:

17

 
12
1
1 ( )
e
a a e
q q e e


 


  

  

 
21
1
1
e
e q q e

 



  


Vậy:
 
21
1
1
e
aa
e q q e

 




  
(1.36)
Biểu thức (1.36) cho phép chúng ta tính đƣợc thống kê của dao động
tử biến dạng c – số q. Thống kê của dao động tử biến dạng c – số q phụ thuộc
vào thông số biến dạng.
1.3 Dao động tử biến dạng c - số Q. [9]
1.3.1 Dao động tử biến dạng c - số Q.
Để cho hệ thức giao hoán (1.15) không phụ thuộc vào toán tử N, khi q
là số thực, Aril-Coon làm một số biến đổi nhƣ sau:
 Đƣa vào các toán tử A, A
+
có liên hệ với toán tử
a
,


a
theo hệ thức
sau:
aqA
N 2/

,
2/N
qaA


(1.37)
Và biểu diễn
a
,

a
thông qua A, A
+
:
Aqa
N 2/

,
2/N
qAa


(1.38)
Hệ thức giao hoán của toán tử số N với A, A

+
:
   
/2 /2 /2
, , ,
N N N
N A N q a q N a q a A

     


/2 /2 /2
, , ,
N N N
N A N a q N a q a q A
    
     
   
     
(1.39)
Ta thấy rằng (1.39) vẫn có dạng nhƣ hai hệ thức của (1.15a). Nhƣ vậy
các toán tử A
+
, A vẫn có ý nghĩa là các toán tử sinh, hủy dao động tử.
18

Từ hệ thức giao hoán (1.15) và công thức (1.37) ta có:
N
aa qa a q
  



 
/2 /2 /2 /2
1
2
1
N N N N N
N N N
N
NN
q AA q qA q q A q
q AA qA q A q
q AA qq A A q
AA q A A
      
    

   

  
  
  
  
(1.40)
 Đặt tham số biến dạng mới
2
qQ 
thì ta sẽ có hệ thức giao hoán
không phụ thuộc vào N nhƣ sau:

1

AQAAA
(1.41)
Dao động tử biến dạng với các toán tử sinh, hủy (A
+
, A) nhƣ trên còn
đƣợc là dao động tử Boson biến dạng c – số Q.
Nhƣ vậy dao động tử Boson biến dạng c – số Q thỏa mãn các hệ thức
giao hoán sau:
1

AQAAA

 
AAN ,
,
 

 AAN,
(1.42)
Phƣơng trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số N là :
nnnN 
(1.43)
Đƣa vào toán tử mới N
0
có dạng nhƣ toán tử số trong trƣờng hợp
không biến dạng, nghĩa là:
AAN



0
(1.44)
Ứng với các trạng thái
n
, toán tử N
0
có các trị riêng là
n

:
0 n
N n n


(1.45)
Chúng ta sẽ xác định
n

.
19

Ta có:
0
N A n A AA n
  


 
 

2
0
2
2
1
1
n
n
A q N n
A n A q n
q A n








(1.46)
Mặt khác ta cũng có:
01
11
n
N n n


  
(1.47)
Vì

nA

~
1n
nên từ (1.46) và (1.47) ta suy ra hệ thức truy hồi
cho
n

:
2
1
1
nn
q



(1.48)
Rõ ràng
000
0


AAN
nên
0
0




2
10
22
21
2 2 4
32
2 2 4 2
1
11
11
11

1 1
n
nn
q
qq
q q q
q q q q





  
   
    
      

Hay:

 
21
22
2 4 2
1
22
11
1
11
n
n
n
n
qq
q q q
qq





      


Vậy:
2
2
1
1
n

n
q
q




(1.49)
Thay (1.49) vào (1.45) ta đƣợc:
20

n
q
q
nN
n
1
1
2
2
0



(1.50)
Toán tử số N đƣợc biểu diễn thông qua các toán tử sinh hủy theo biểu
thức:
 
)(
0

NfAAfN 

(1.51)
Gọi
 
NF
là hàm ngƣợc của hàm
 
0
Nf
thì ta có
 
NFN 
0
(1.52)
Trong đó
 
xF
gọi là hàm cấu trúc của lý thuyết biến dạng.
Ta có:
   
nnFnNFnN 
0
(1.53)
Từ (1.50) và (1.53) ta tìm đƣợc:
1
1
)(
2
2




q
q
xF
x
(1.54)
Công thức (1.54) xác định hàm cấu trúc của hàm Q – biến dạng.
Trong không gian Fock với vector cơ sở là vector riêng chuẩn hóa
n
:
 
 
0
!
Q
n
n
A
n


(1.55)
Với:
 
1
1
2
2




q
q
n
n
Q


       
QQQQ
nn 21!

Từ (1.42) ta có thể chứng minh đƣợc:
 
 
11
1
Q
Q
A n n n
A n n n

  

(1.56)
21

Tác dụng của

AA

và

AA
lên trạng thái riêng
n
:
 
nnnAA
Q



 
nnnAA
Q
1


Hay :
 
 
1
Q
Q
A A N
AA N





(1.57)
Toán tử tọa độ X và xung lƣợng P biểu diễn qua các toán tử sinh, hủy
(A
+
, A) có dạng :
 
 
2
2
X A A
m
m
P i A A





  

Hệ thức giao hoán giữa P và X là:
 
 
   
 
,1
QQ
P X i AA A A i N N


    
(1.58)
Toán tử Hamiltonian đƣợc biểu diễn qua toán tử tọa độ X và xung
lƣợng P có dạng :
2 2 2
11
22
H P m X
m



 
   
 
1
2
1
1
2
QQ
A A AA
NN




  
(1.59)

Phƣơng trình hàm riêng, trị riêng của toán tử Hamiltonian :
nEnH
n

(1.60)
Thay (1.59) vào (1.60) ta đƣợc :
22

   
 
1
1
2
n
QQ
N N n E n

  

   
 
1
1
2
n
QQ
E n n

   
Với:

, 2,1,0n
(1.61)
Vậy phổ năng lƣợng của dao động tử biến dạng c - số Q có dạng
(1.61). Phổ năng lƣợng của dao động tử biến dạng c - số Q phụ thuộc vào
thông số biến dạng.
1.3.2 Thống kê của dao động tử biến dạng c - số Q.
Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng c – số Q là phân
bố thống kê của
AA

:
 
1
N
A A Tr e A A
Z

  


 
 
   
 
  
0
0
0
2
2

0
2
2
00
22
2
2
2
1
1
1
11
1
11
1
1 1 1 1
1 1 1
1
11
1
11
N
n
N
Q
n
n
Q
n
n

n
n
nn
nn
n e A A n
Z
n e N n
Z
en
Z
q
e
Zq
e q e
Zq
Z q q e e
qe
Zq
q e e




 
 

 

































  











(1.62)
23

Thay giá trị của hàm phân bố nhiệt động Z từ (1.13) vào (1.62) ta thu
đƣợc :
 
  
2
22
2
1
11
1
11
qe
e
AA
q e q
e q e




 










Vậy:
2
1
qe
AA




(1.63)
Biểu thức (1.63) cho phép chúng ta tính đƣợc thống kê của dao động
tử biến dạng c – số Q. Thống kê của dao động tử biến dạng c – số Q phụ
thuộc vào thông số biến dạng.
1.4 Dao động tử biến dạng - (q, R). [7]
1.4.1 Dao động tử biến dạng - (q, R).
Các toán tử sinh, hủy dao động tử (
,aa


) của hệ Boson dao động
biến dạng (q, R) thỏa mãn hệ thức sau:
N
aa qa a q R

  
  
(1.64)
Trong đó: q và ν là các thông số biến dạng thực; R là toán tử phản xạ;
N là toán tử số hạt.
Toán tử phản xạ R thỏa mãn điều kiện sau :
2
1
0
R
Ra a R Ra aR


   
(1.65)
Toán tử số hạt N thỏa mãn điều kiện:
 
,
,
N a a
N a a






(1.66)
Ta xây dựng không gian Fock có vector cơ sở là các vector trạng thái
n
:
24

 
0
n
n
n C a


(1.67)
Với:
n
C
là hệ số chuẩn hóa,
0
là trạng thái chân không.
Trạng thái chân không
0
thỏa mãn các điều kiện sau:
00
00
0 0 1
0 0 1
a

N
Rr




(1.68)
Với
1r 
.
Cho toán tử
aa

tác dụng lên trạng thái
 
0
n
a

ta thu đƣợc:
 
 
 
00
nn
q
a a a n a

  


(1.69)
Ở đây
1r 
và:
   
 
 
1
1
1
n
n
qq
nn
q
q
nn
q
qq
n
qq











(1.70)
Hay nói cách khác, tác dụng của toán tử
aa

lên trạng thái
n
là:
 
 
0
n
n
q
a a n C a a a n n

  

(1.71)
Hệ các vector trực chuẩn:
 
 
0
!
n
q
nm
a
n
n

nm





(1.72)