1
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài tốn khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài tốn khuếch tán
1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng - BM KTTNN
Giảng viên: PGS. TS. NGUYỄN THỐNG
E-mail: or
Web:
Tél. (08) 38 691 592- 098 99 66 719
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài tốn khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài tốn khuếch tán
2
NỘI DUNG MƠN HỌC
CHƯƠNG 1: Cơ sở pp Sai phân hữu hạn.
CHƯƠNG 2: Bài tốn khuếch tán.
CHƯƠNG 3: Bài tốn đối lưu - khuếch tán.
CHƯƠNG 4: Bài tốn thấm.
CHƯƠNG 5: Dòng khơng ổn định trong kênh hở.
CHƯƠNG 6: Đàn hồi tóm tắt & pp. Phần tử hũu hạn.
CHƯƠNG 7: Phần tử lò xo & thanh dàn.
CHƯƠNG 8: Phần tử thanh chịu uốn.
CHƯƠNG 9: Giới thiệu sơ lược về phần tử phẳng (biến

dạng phẳng, ứng suất phẳng, tấm vỏ chịu
uốn).
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài tốn khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài tốn khuếch tán
3
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phương pháp số trong cơ học kết cấu. PGS. PTS.
Nguyễn Mạnh n. NXB KHKT 1999
2. Water Resources systems analysis. Mohamad
Karamouz and all. 2003
3. Phương pháp PTHH. Hồ Anh Tuấn-Trần Bình. NXB
KHKT 1978
4. Phương pháp PTHH thực hành trong cơ học.
Nguyễn Văn Phái-Vũ văn Khiêm. NXB GD 2001.
5. Phương pháp PTHH. Chu Quốc Thắng. NXB KHKT
1997
6. The Finite Element Method in Engineering. S. S.
RAO 1989.
7. Bài giảng PP SỐ ỨNG DỤNG. TS. Lê đình Hồng.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài tốn khuếch tán
4
BÀI TỐN
KHUẾCH TÁN
Khuếch tán chất

 Khuếch tán nhiệt



PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài tốn khuếch tán
5
NỘI DUNG
Giới thiệu hiện tượng & cơ
sở lý thuyết
 Phương pháp giải SPHH
 Sơ đồ khối bài tốn


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài tốn khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài tốn khuếch tán
6
PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Q trình vật lý  quan sát  mơ
tả thực nghiệm  biểu diễn bằng
các phương trình tốn học 
Kiểm tra tính hiệu lực về mặt vật
lý của nghiên cứu từ phương
trình tốn học



2
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
7



PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
8
KHUẾCH
TÁN NHIỆT
X-Y



0 1 2 3 4 5 6 7
0
1
2
3

4
5
6
7
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
9
KHUẾCH TÁN NHIỆT X-Z



0 1 2 3 4 5 6 7
0
1
2
3
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
10
CÁC HIỆN TƯỢNG KHUẾCH TÁN
CƠ BẢN
Khuếch tán nhiệt  Định luật

Fourier về truyền nhiệt (1822)
 Trong một môi trường dẫn nhiệt
(không khí, nước, kim loại,….) khi có
sự khác biệt (chênh lệch) về nhiệt độ
trong không gian  Hiện tượng
khuếch tán nhiệt.


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
11
ĐỊNH LUẬT FOURIER
“Flux nhiệt đi ngang qua một đơn vị
diện tích trong một đơn vị thời gian
theo phương cho trước thì tỷ lệ với
gradient của nhiệt theo phương
đó” .


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
12

KHUẾCH TÁN
CHẤT




3
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
13
Hiện tượng khuếch tán chất  Định
luật Fick (1855).
Trong một môi trường lan truyền
chất (chất lỏng, không khí,….) khi
có sự khác biệt về nồng độ chất
trong không gian  Hiện tượng
khuếch tán chất.


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
14
ĐỊNH LUẬT FICK VỀ QUÁ TRÌNH
KHUẾCH TÁN PHÂN TỬ
“Khối lượng chất đi ngang qua một

đơn vị diện tích trong một đơn vị
thời gian theo phương cho trước
thì tỷ lệ với gradient của nồng độ
chất theo phương đó” .


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
15
Định luật Flick
(Khuếch tán 1D theo phương x)





q khối lượng chất đi qua 1 đvdt trong
1 đơn vị thời gian (kg/m
2
/s)


C
0

C

1

X
x
C
Dq



Nồng
độ chất
C
0
> C
1

 Flux q
x
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
16
C  nồng độ chất (khối lượng chất trong
1 đv thề tích (kg/m
3
, mg/l,…)
D(m

2
/s)  hệ số tỷ lệ = hệ số khuếch tán
phân tử.
Chú ý: Cần phân biệt với “hệ số khuếch
tán” do các nguyên nhân khác gây nên
như: khuếch tán số, khuếch tán rối,
khuếch tán do vận tốc dòng chảy phân
phối không đều trong mặt cắt ngang,…


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
17
NOTES
Giá trị hệ số khuếch tán (diffusion
coefficient):
D của các ions với nhiệt độ trong
phòng:
(0.6.10
-9
 2.0.10
-9
) m
2
/s
 D của các phân tử sinh học:

(10
-11
 10
-10
) m
2
/s



PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
18
THIẾT LẬP PT. KHUẾCH TÁN 1D
Gọi C(x,t)  khối lượng chất trong 1 đv
thể tích
Khảo sát thể tích kiểm soát vi phân sau:



X X
q
x)x/q(q 
Thể tích
kiểm soát
1 Đơn vị

diện tích
A
B
C
D
E
F
G
H
4
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
19
Ta có:
Tổng khối lượng chất có trong thể tích
kiểm soát:
C(x,t)*x*1
Tốc độ thay đổi chất trong thể tích
kiểm soát:



 
)1(1*x).t/C( 
Volume
Tốc độ thay đổi tính

cho 1 đv thể tích
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
20
Xét trong 1 đv thời gian:
Khối lượng chất đi qua m/p tại x:
q(x,t)
Khối lượng chất đi qua m/p tại
(x+x):

x).x/q()t,x(q 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
21
Chênh lệch chất khi đi qua m/p tại x &
tại (x+x) 

Điều kiện bảo toàn khối lượng vật
chất trong thể tích kiểm soát:
(1)=-(2) 




)2(x).x/q( 
0
t
C
x
q
x).t/C(x).x/q(








PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
22
Áp dụng định luật Flick, q, vào pt 



 Phương trình mô tả chất được vận
chuyển như thế nào bởi quá trình
khuếch tán Flick (Flick’s second law).


















x
C
D
xt
C
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
23
Giả thiết D là hằng số theo

phương x 







2
2
x
C
D
t
C





PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
24
BÀI TOÁN KHUẾCH TÁN 2D & 3D
Ta định nghĩa:


Với q
x
, q
y,
q
z
 khối lượng chất đi qua
1 đv thể tích trong 1 đv thời gian.


z
C
Dq;
y
C
Dq;
x
C
Dq
zyx
















































2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
C
y
C
x
C
D
t
C
D3
y
C
x
C

D
t
C
D2
5
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
25
BÀI TOÁN KHUẾCH TÁN 2D & 3D
Viết dưới dạng toán tử:


Với toán tử Nabla:




CD
t
C
2



k
z

.
j
y
.
i
x
.
.











PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
26

KHUẾCH TÁN
NHIỆT



PGS. TS. Nguyễn Thống

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
27
THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH
KHUẾCH TÁN NHIỆT
Về các bước giống như thiết lập
bài toán khuếch tán chất.
 Dùng định luật Fourier cho
khuếch tán nhiệt (thay cho luật
Flick trong t/h khuếch tán chất).



PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
28
Định luật Fourier



q
x
 flux nhiệt – Flux head (W/m

2
)
T  nhiệt độ
K  hệ số dẫn nhiệt) thermal
conductivity W/(m-
0
C)
dx
dT
Kq
x

PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
29
Tương tự bài toán khuếch tán chất ta có:




Phương trình đạo hàm riêng dạng
Parabol.
q  nội năng
T(x,y,z,t) nhiệt độ theo không gian & thời
gian



q
z
T
y
T
x
T
t
T
2
2
2
2
2
2





















PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
30

THIẾT LẬP
PHƯƠNG TRÌNH

6
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
31
LỜI GIẢI GIẢI TÍCH BÀI TOÁN LAN
TRUYỀN CHẤT 1D
Xét bài toán 1D (trục x) & gọi C(x,t) là
nồng độ chất tại vị trí x ở thời điểm t.
Tại x=0, duy trì một nồng độ chất
không đổi C(0).
Nồng độ chất tại một vị trí bất kỳ x và
thời điểm t là:











Dt2
x
erfc).0(C)t,x(C
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
32
Với:
 chiều dài khuếch tán
(diffusion length)

PGS. Dr. Nguyễn Thống
Dt2





x
0
t
dte
2
)x(erf
2





x
t
dte
2
)x(erf1)x(erfc
2
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
33
HÀM erf(x)


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
34
ĐẶC TRƯNG TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH
KHUẾCH TÁN



x
T
0
t=nt
Miền tìm lời giải C?
Biên hở
Phương giải bài toán theo t
Đ/k ban đầu
Đ/k biên
t
X
0

PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
35

Bước giải
Biết C(x,0) - Điều kiện ban đầu – Và
C(0,t), C(X
0
,t) - Điều kiện biên 
Tìm C(x,t)
 Dùng kết quả C(x,t) & điều kiện biên
C(0,2t), C(x,2t)  Tìm C(x,2t).
 Tiếp tục với 3t, 4t, …, nt, , T (T
là thời gian cần mô phỏng hiện
tượng)



PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
36
PHƯƠNG PHÁP
SPHH GIẢI
BÀI TOÁN
KHUẾCH TÁN 1D


7
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 2: Bài toán khuếch tán
37
Phương trình lý thuyết (kết
quả trước, bài toán 1D):







)1(
x
C
D
t
C
2
2





PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán

38
SƠ ĐỒ SAI PHÂN
 Sai phân sơ đồ HIỆN
- Sơ đồ cơ bản
- Sai phân sơ đồ Richardson
(nhảy cóc – Leapfrog)
- Sai phân sơ đồ Dufort – Frankel
 Sai phân sơ đồ ẨN


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
39

SƠ ĐỒ
SAI PHÂN HIỆN


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
40
SƠ ĐỒ
SAI PHÂN HIỆN
Sai phân tiến
theo thời gian
 Sai phân trung tâm
theo không gian



PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
41
Phương trình (1) dạng sai phân viết tại
điểm (j,t):


 
2
t
1j
t
j
t
1j
t
j
1t
j
x
CC2C
D
t
CC








(t+1)
t
j (j+1) (j-1) x
x
N
1
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
42
Đặt:



 Sơ đồ hiện  tính dựa trực
tiếp từ các giá trị trong quá khứ của
bản thân (j) & của các nút lân cận (j-
1,j+1) !


 

 
t
1j
t
j
t
1j
t
1j
t
j
t
1j
t
j
1t
j
2
CC)21(C
CC2CCC
x/t.D






hệ số khuếch tán
(không thứ nguyên)
1t

j
C

8
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
43
TRÌNH TỰ GIẢI C(j,t)
Bước 1: C(j,0) đã biết từ đ/k ban đầu với mọi j
Bước 2: Với giá trị biên đã có C(1,1) & C(N,1) và
các giá trị Bước 1  Tính C(j,1) với j=2,(N-1).
Bước 3: Với giá trị biên đã có C(1,2) & C(N,2) và
các giá trị Bước 2  Tính C(j,2) với j=2,(N-1).

Bước k: Với giá trị biên đã có C(1,k) & C(N,k) và
các giá trị Bước (k-1)  Tính C(j,k) với j=2,(N-1).
 Tiếp tục cho đến k=T thời gian cần mô phỏng
hiện tượng.






PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
44



PGS. Dr. Nguyễn Thống
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
45
ĐIỀU KIỆN ỔN ĐỊNH
Sơ đồ nêu trên chỉ ổn
định khi :







 
5.0
x
t

.D
2




PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
46
PHÂN TÍCH
LÝ THUYẾT TÍNH
ỔN ĐỊNH SƠ ĐỒ
SAI PHÂN HIỆN






PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
47
 lời giải đúng tại điểm i,
thời điểm n+1


 lời giải thực tại điểm i,
thời điểm n+1 (do sai số
làm tròn)




1n
i
T

 
n
1i
n
i
n
1i
1n
i
TT21TT



1n
i
t

 
n

1i
n
i
n
1i
1n
i
tt21tt



2
x
t
with



PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
48
Đặt:


Sai số ở nút i vào thời điểm n viết
dưới dạng:

Với G là hàm phức chứa thời gian,
j số phức với j
2
=-1 và =x




 1n
i
1n
i
1n
i
tT
 
n
1i
n
i
n
1i
1n
i
21



 



ijnn
i
eG
9
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
49








 
 
   




1ijnijn
1ijnji1n
eGeG21

eGeG
 
 
 


21eeeGeG
jjjinji1n
2cos
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
50





 
 












2
sin41eG
cos121eGeG
2jin
jinji1n









2
sin41G
G
G
2
n
1n
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 2: Bài toán khuếch tán
51



Các sai số sẽ bị chận nếu abs(G)
<=1, với mọi  














2
sin41G
G
G
2
n
1n
n
1n

 
11
2
sin411
2









PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
52
vế trái (1) luôn luôn thoả, vế phải
chỉ thoả khi:



















2
1
2
2
sin4
2
sin411
2
2
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
53
Kết luận: Sơ đồ sai phân hiện chỉ
ổn định khi:















2
x
t
2
1
x
t
2
1
2
2
Điều kiện Courant –
Féderich – Lévy  CFL
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
54

XỬ LÝ ĐIỀU KIỆN BIÊN
TRONG PHƯƠNG
TRÌNH SAI PHÂN
Loại Dirichlet
Loại Neumann

10
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
55
BIÊN DẠNG DIRICHLET
 Đó là dạng C(N,t) =giá trị
đã biết với mọi thời điểm t
tại vị trí biên N
 Áp dụng trực tiếp vào
phương trình sai phân


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
56
BIÊN DẠNG NEUMANN

 Tại vị trí biên, phương
trình của C có dạng :


 Có thể xử lý như sau:



]1[)know(f
x
C



PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
57
Cách 1: Tính C(N,t+1)
Sai phân lùi theo không gian hàm
[1] với giả thiết giá trị f đã biết và
C(N-1,t+1) đã biết:
C(N,t+1)


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
58
Cách 2: Tính C(N,t+1)
Sử dụng thêm nút ảo (N+1) nằm ngoài
miền tính toán. Sai phân trung tâm
theo không gian hàm [1] với giả thiết
giá trị f đã biết tại t

 Tính C(N+1,t)
Tính C(N,t+1) theo p/t sai phân


f
x2
CC
t
1N
t
1N




PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
59
Tại thời điểm t  tính C(N+1,t)
theo C(N,t) & C(N-1,t) theo sơ đồ
trung tâm không gian 


(t+1)
t
N (N+1) (N-1)
x
1
Nút ảo
C(N,t+1)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
60
Bài tập: Xét bài toán lan truyền chất 1D.
Dùng phương trình sai phân theo sơ
đồ hiện. Xác định lời giải C(x,nt) tại
các thời điểm t=t, 2t, 3t, 4t, 5t với
2 t/hợp: =1/4 & 1/2. Giá trị biên của C
tại x=0 & x=4 là C=0.
Giá trị của hàm C tại thời điểm t=0, tại
các vị trí x=0, x=1, x=2, x=3, x=4 như đồ

thị sau :


11
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
61
Sơ đồ lưới sai phân 1D & lời giải ban
đầu như sau:


0 1
2 3
4 X
t
C=1.0
C=0.5
C=0.5
Giá trị hàm C
tại t=0
C(x=4,t)=0 C(x=0,t)=0
Điều kiện
biên
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán

PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
62


DẠNG LỜI GIẢI
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
63

PHÂN TÍCH ĐỘ
CHÍNH XÁC


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
64
Để nghiên cưú vấn đề, ta sử dụng khai triển chuỗi
Taylor cho hàm  :


22
13
2

0( )
2!
tt
jj
t
tt
tt



  
     

2 2 3 3 4 4
5
1
2 3 4
0( )
2! 3! 4!
tt
jj
x x x
xx
x x x x
   


      
       
   

2 2 3 3 4 4
5
1
2 3 4
0( )
2! 3! 4!
tt
jj
x x x
xx
x x x x
   


      
      
   
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
65
Từ 3 phương trình trên ta có:


2 2 4 4
6
11

24
0( )
1 12
t t t
j j j
xx
x
xx

  

   
     

PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
66
&



 
22
13
11
2

2 0( )
2!
t t t t t
j j j j j
t
tt
tt

     


  
        

-
2 2 4 4
6
24
0( )
1 12
xx
x
xx



   
  




2 2 2 4
2 2 4
2 12
tx
t K K
t t x x
   

     
   

   

=
12
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
67


 
1
11
2
t t t t t

j j j j j
     


   
=
2 2 2 4
2 2 4
2 12
tx
t K K
t x t x
   

     
   

   

2 2 2 2 2 4
2
2 2 2 2 2 4
K K K K K
t t t t x x t x x x
     
   
         
   
    


   

         
   
   
Ngoài ra:
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
68
Thay vào ta có:




Từ phương trình trên thấy sơ đồ
có Kt-x
2
/6=0 (hay =1/6) ta có
sai số cắt bỏ là nhỏ nhất



 
1
11
2

t t t t t
j j j j j
     


    
2 2 4
24
26
Kx
t K K t
t x x
  


   
    


  


Pt. sai phân
Cắt bỏ
Pt. gốc
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 2: Bài toán khuếch tán
69
SƠ ĐỒ SAI PHÂN HIỆN
Sơ đồ Richardson (Leapfrog
- nhảy cóc)
Sơ đồ hiện với 3 thời điểm. Phương
trình sai phân viết tại điểm (j,t):



PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
70


 
2
t
1j
t
j
t
1j
1t
j
1t

j
x
CC2C
D
t2
CC







(t+1)
(t-1)
j (j+1) (j-1) x
x
N
1
t
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
71
Sai số cắt bỏ của sơ đồ
Richardson là:




 Sơ đồ KHÔNG ỔN ĐỊNH VÔ
ĐIỀU KIỆN



   
 
22
x,t0 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
72
SƠ ĐỒ SAI PHÂN HIỆN
Sơ đồ Dufort - Frankel
Thay thế C
j
t
trong sơ đồ Richardson
bởi giá trị trung bình theo thời gian
tại nút j:
(C
j
t+1
+C

j
t-1
)/2  Sơ đồ hiện 3 thời
điểm.
Phương trình sai phân viết tại điểm
(j,t):



13
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
73


 
2
t
1j
1t
j
1t
j
t
1j
1t

j
1t
j
x
CCCC
D
t2
CC









(t+1)
(t-1)
j (j+1) (j-1) x
x
N
1
t
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán

74
Bài tập
Hãy chứng minh sai số cắt bỏ của
sơ đồ Dufort – Frankel là:



   
 
 













































x
C

3
t
D

x
C
x
t
D
12
x
D
6
6
2
3
4
4
2
2
3
2
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
75
NHẬN XÉT
 Sai số cắt bỏ 0[(t)
2
,(x)
2

, (t/x)
2
]
Sơ đồ Dufort – Frankel KHÔNG THỎA
MÃN TÍNH NHẤT QUÁN vì t  0 & x 
0 thì tỷ số t/x BẤT ĐỊNH
 Phương trình sai phân theo sơ đồ Dufort
– Frankel KHÔNG XẤP XỈ một cách nhất
quán p/t khuếch tán nguyên thủy.
 Sơ đồ Dufort – Frankel ổn định vô điều
kiện.



PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
76
SƠ ĐỒ
SAI PHÂN ẨN
(Sơ đồ Preissmann)


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
77

Phương trình sai phân viết tại điểm (j,t):


 
 































2
t
1j
t
j
t
1j
2
1t
1j
1t
j
1t
1j
t
j
1t
j
x
CC2C
)1(
x
CC2C
D
t

CC
0<=  <= 1  hệ số gia trọng
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
78
Quan hệ dạng đồ thị:


(t+1)
t
j
(j+1)
(j-1)
x
x
  tăng
14
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
79
Ý NGHĨA
 > 0.5  Đặt trọng số chủ yếu vào

thời điểm mới (t+1)
 < 0.5  Đặt trọng số chủ yếu vào
thời điểm cũ t
 = 0.5  Đặt trọng số bằng nhau cho
thời điểm cũ và thời điểm mới  Sơ
đồ Crank-Nilcolson




PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
80
Ý NGHĨA
=0  Đặt toàn bộ trọng số vào
thời điểm cũ  Sơ đồ sai
phân hoàn toàn HIỆN
=1  Đặt toàn bộ trọng số vào
thời điểm MỚI  Sơ đồ sai
phân hoàn toàn ẨN





PGS. TS. Nguyễn Thống

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
81
NHẬN XÉT
Khi  > 0  Phương trình sai phân ẩn tại
(j,t) chứa 3 ẩn số có dạng tuyến tính:






j
1t
1jj
1t
jj
1t
1jj
ECCCBCA 




t
1j
t

j
t
1jj
jjj
C)1(
C)]1(21[C)1(E
C;21B;A





PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
82
NHẬN XÉT
Khi x=constant, các hệ số A
j
, B
j
, C
j

là giống nhau đối với mọi nút j ngoại
trừ nút kề biên với điều kiện:


 cho trước

x
C


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
83
XÁC ĐỊNH C(j,t+1)
Tại mỗi nút j, viết phương trình sai
phân (không kể tại vị trí biên)
 Bổ sung phương trình biểu thị tại
các biên (điều kiện biên)
 Nhận được hệ N phương trình
tuyến tính với N ẩn số  Giải hệ
phương trình xác định C(j,t+1).

PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
84
ĐIỀU KIỆN ỔN ĐỊNH

0.5 <=  <= 1  Sơ đồ ổn định vô điều
kiện
0 <=  < 0.5  Sơ đồ ổn định có điều
kiện với điều kiện sau:




 
)21(D2
x
t
2



15
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
85
Sai số cắt bỏ:



 
 

2
x,t05.0 
   
 
22
x,t0
shemaNicolsonCrank:5.0


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
86
PHÂN TÍCH TÍNH
ỔN ĐỊNH
SƠ ĐỒ
SAI PHÂN ẨN






PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
87

 lời giải đúng tại điểm i,
thời điểm n+1

 lời giải thực tại điểm i,
thời điểm n+1 (do sai số làm
tròn)




1n
i
T

 
1n
1i
1n
i
1n
1i
n
i
1n
i
TT2TTT







1n
i
t

2
x
t
with



 
1n
1i
1n
i
1n
1i
n
i
1n
i
tt2ttt







PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
88
Đặt:


Sai số ở nút i vào thời điểm n viết
dưới dạng:
Với G là hàm phức chứa thời gian,
j số phức với j
2
=-1 và =x




 1n
i
1n
i
1n
i
tT
 
1n

1i
1n
i
1n
1i
n
i
1n
i
2






 


ijnn
i
eG
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
89










     
 




1ij1nij1n1ij1n
jinji1n
eGeG2eG
eGeG
 
 


jj1nn1n
eeGGG21
2cos
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 2: Bài toán khuếch tán
90





Với mọi >0 ta thấy abs(G) <=1 
Sơ đồ ẩn luôn luôn ổn định.




 
 
 
 








cos121
1
G
G
G

GGcos121
n
1n
n
1n
n1n
16
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
91
Bài tập 1: Xét một thanh kim loại dài L chia I
nút thành (I-1) đoạn dài bằng nhau L/(I-
1). Phương trình tuyền nhiệt 1D như sau:


Cho biết =0.2m
2
/s, I=5 nút, x=1m, t=1s
Nhiệt độ ban đầu toàn thanh là 30
0
C

, nhiệt
độ biên đầu thanh là 60
0
C và cuối thanh

là 30
0
C.


2
2
x
T
t
T





PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
92
a. Dùng phương pháp SPHH với
sơ đồ hiện, tính nhiệt độ thanh
sau 10s. Vẽ kết quả lên đồ thị.
b. Tương tự câu (a) và dùng sơ đồ
hoàn toàn ẩn (=1).




PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
93
HD:



t
1i
t
i
t
1i
1t
i
T2.0T6.0T2.0T



3630.2.030.6.060.2.0T
1
2

3030.2.030.6.030.2.0T
1

3

3030.2.030.6.030.2.0T
1
4

6.3930.2.036.6.060.2.0T
2
2

2.3130.2.030.6.036.2.0T
2
3

3030.2.030.6.030.2.0T
2
4

 Tiếp tục tăng t cho đến
khi nhiệt độ T ổn định.
t.1t 
t.2t 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
94
HD:




t
i
1t
1i
1t
i
1t
1i
TTT)21(T 




 
2
x
t



09,30T;64,30T;38,34T
1
4
1
3
1
2


Tiếp tục tăng t cho đến khi nhiệt độ T ổn định.



































36
30
42
T
T
T
4.12.00
2.04.12.0
02.04.1
1
4
1
3
1
2
:t.1t 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
95
Bài tập 2: Dùng phương trình sai

phân theo sơ đồ ẩn Preissmann
(=2/3) để xác định lời giải tại
các thời điểm t=1, 2, 3, 4. Cho
biết =1/2. Giá trị của hàm C tại
thời điểm t=0 như sau. Giá trị
biên tại x=0 & x=4 là C=0:


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
96
Sơ đồ lưới sai phân 1d & lời giải ban
đầu như sau:


0 1
2 3 4
X
t
C=1.0
C=0.5
C=0.5
Giá trị hàm C
tại t=0
17
PGS. TS. Nguyễn Thống

PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
97
Bài tập 3: Xét hiện tượng khuếch tán chất 1D
trong 1 kênh. Kênh có L=1000m, tại x=0 nồng độ
chất bẩn không đổi C=1000g/m
3
. Tại cuối kênh
luôn có C=0. Nồng độ chất bẩn ban đầu của
kênh là C=0. Giả thiết D=25m
2
/s. Dùng x=250m,
t=250s. Dùng sai phân sơ đồ ẩn hoàn toàn, sai
phân trung tâm theo không gian.
a. Tính nồng độ bẩn trong kênh tại các thời điểm
t, 2t, 3t.
b. Trình bày kết quả lên đồ thị


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
98
Bài tập 4: Trong một kênh một chiều có chiều

dài vô hạn và mặt cắt ngang là A. Một nguồn
chất bẩn dạng điểm và liên tục chảy vào với
lưu lượng Q (m
3
/s), nồng độ c* (mg/l). Yêu cầu
tính C(x,t).
• Giả sử nguồn điểm có nồng độ hòa tan hoàn
toàn trong thời đoạn t và phân bố đều trong
thể tích lòng dẫn :

tạo thành nguồn tại i=0 (xem ghi chú ở cuối).


)l/mg(
x.A
tQC
C
*



PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
99
Cho A=200 m
2

, C*=10000 mg/l, x=250 m, K=100
m
2
/s, Q=1 m
3
/s, C(x,0) =0.


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
100
Điều kiện biên lấy như sau :
• Nguồn chất bẩn (i=1) khuếch tán đối xứng theo
phương X.
• Tại biên xa phía bên phải lấy C=0 cho mọi t.
• Sử dụng sơ đồ sai phân tiến theo t, sai phân
trung tâm theo x, trình bày thuật toán số.
• Tính nồng độ cho 6 bước khoảng cách , x và 6
bước thời gian , t (giả thiết đối xứng với trục
trung tâm). Chọn để cho kết quả có độ chính
xác cao nhất.
• Vẽ kết quả và nhận xét.


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG

Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
101
Ghi chú :
Khoảng cách để chất tải hoàn
toàn hòa lẫn khi xã 1 bên là
Lm=2.6UB
2
/H (đơn vị ft, sec), U
vận tốc, B chiều rộng, H chiều
sâu.
 Trường hợp xã 2 bên :
Lm=1.3UB
2
/H


PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
102
Bài tập
1.Lập sơ đồ khối giải bài toán
khuếch tán theo sơ đồ hiện.
2.Lập sơ đồ khối giải bài toán

khuếch tán theo sơ đồ ẩn.


18
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 2: Bài toán khuếch tán
103

HEÁT CHÖÔNG