LŨY THỪA với số mũ THỰC lũy THỪA với số mũ hữu tỷ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (886.03 KB, 23 trang )
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
Bài 1: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ VÀ LŨY THỪA VỚI
SỐ MŨ THỰC
A. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ:
1. Lũy thừa với số mũ nguyên:
a. Với mọi
*
nN
và
aR
:
. .
n
a a a a a
(n thừa số)
b. Với
0a
và
n
ta có:
0
1a
1
n
n
a
a
2. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ:
a. Căn bậc n: (
*
n
)
+ Nếu n lẻ thì
n
a
luôn có nghĩa
+ Nếu n chẵn thì
n
a
có nghĩa khi
0a
Chú ý:
11
n
00
n
Tính chất:
.
n n n
a b ab
n
n
n
aa
b
b
()
n
kk
n
aa
.
m
n m n
aa
b. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ
Cho
0a
,
m
r
n
( , )mn
là số hữu tỷ. Khi đó lũy thừa cơ số a với số mũ r.
Kí hiệu :
r
a
()
m
n
r m m
n
n
a a a a
Hệ quả :
1
n
n
aa
B. Lũy thừa với số mũ thực :
Định nghĩa : Cho số thực k khi đó tồn tại dãy số hữu tỷ
()
n
r
sao cho
lim
n
rk
Khi đó lũy thừa cơ số a với số mũ k. Kí hiệu :
lim
n
r
k
aa
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
C. Tính chất của lũy thừa :
1. Điều kiện xác định của lũy thừa :
Lũy thừa
Số mũ
Điều kiện của cơ số
k
a
*
kN
aR
0
k
k
0a
k
0a
2. Tính chất của lũy thừa :
a. Tính chất đẳng thức : với điều kiện có nghĩa
i.
.
x y x y
a a a
ii.
x
xy
y
a
a
a
iii.
.
()
x y x y
aa
iv.
. ( . )
x x x
a b ab
v.
x
x
x
aa
bb
b. Tính chất bất đẳng thức :
+ Với
1a
:
xy
a a x y
+ Với
01a
:
xy
a a x y
+ Với
0 ab
:
0
xx
a b x
0
xx
a b x
D. Bài tập áp dụng :
1/ Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa :
a/
2
4
6A x x
b/
1
2
3
( 3 4)B x x
c/
3
22Cx
2/ Rút gọn biểu thức : Cho
0a
a/
13
2
24
.( )aa
b/
24
3
4
3
4
. : .a a a a
c/
1
3
4
3
.( )aa
d/
1
3
2
2
5
3
.
.
aa
aa
e/
1
32
2
3
56
2
( ) .
( ) .
aa
aa
f/
12
3
33
1
1
3
3
2
( ) :
( ) .
aa
aa
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
3/ Không dùng máy tính hãy so sánh:
a/
3
3
và
2
b/
40
3
và
30
4
c/
5
1
2
và
11
8
4
3/ Rút gọn :
a/
1
0.75
3
3
5
11
81 ( )
125
32
b/
1 2 1
1
2 0 2
3 3 3
0.001 ( 2) .64 8 (9 )
c/
2
0,75 0,5
3
1
27 ( ) 25
16
d/
1
1
4 0,25 3
2
1
( 0,5) 625 (2 ) 19.( 3)
4
4/ Cho các biểu thức có nghĩa, đơn giản các biểu thức sau :
a/
1 2 2 1 2 4
3 3 3 3 3 3
.bA a b a a b
b/
1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2
B a b a b a b
c/
1 9 1 3
4 4 2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
a a b b
C
a a b b
d/
57
2 5 5 7 2 7
3 3 3 3
.
ab
D
a a b b
4/ Đặt điều kiện rồi đơn giản các biểu thức sau :
a/
1
2 3 4 3
1
2 3 3 3 3
13a a a
A
a a a
b/
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 1 1
2. 1
a a a
B
a a a a
c/
33
44
4
. . 1 .
. 1 2
.
a x a x a x a a
C
xx
a x a x
d/
1
1 1 3 3
11
2 2 2 2
22
1 1 1
1
3 2 2
2
.
3
.
a a b a b a b
D a b
a
ab
a a b
5/ Biết
9 9 23
xx
hãy tính :
33
xx
6/ Chứng minh rằng:
0;
2
x
Ta có:
3
1
2sin
2
2 2 2
x
x tgx
7/Nếu
0x
thì :
2
(9 4.3 1). ( 1).3 0
x x x
xx
8/Chứng minh với mọi số nguyên dƣơng n>2 ta có :
2
( !)
n
nn
9/ Chứng minh rằng
, 0, ,a b x y R
ta có:
22
25 9 1. 1 .5 .3 1
x y x y
a b a b
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
Bài 2: LOGARIT
A. Lý thuyết:
1. Định nghĩa:
a. Định nghĩa: Cho
0 1, 0ab
khi đó tồn tại duy nhất số thực
sao cho
ab
. Số
đó đƣợc gọi là logarit cơ số a của b.
Kí hiệu :
log
a
b
Có nghĩa :
log
a
b a b
Điều kiện để
log
a
b
có nghĩa :
0, 1aa
và
0b
b. Logarit tự nhiên và logarit thập phân :
+ Logarit tự nhiên :
ln log
e
xx
Với
1
lim 1 2,718281828
n
x
e
n
+ Logarit thập phân :
10
lg log logx x x
2. Các tính chất về logarit :
a. Tính chất đẳng thức :
0, 1aa
log 1 0
a
và
log 1
a
a
log . log log
a a a
x y x y
Mở rộng :
1 2 1 2
log . log log log
a n a a a n
x x x x x x
Đk :
0
i
x
Hệ quả :
log
N
a
aN
log .log
M
aa
x M x
Đk :
0x
log log log
a a a
x
xy
y
Đk :
,0xy
log
log
log
a
c
a
b
b
c
hay
log c.log b log
a c a
b
Đk :
, 0, 1b c c
Hệ quả :
1
log
log
a
b
b
a
Đk :
0, 1bb
1
log log
N
a
a
xx
N
Đk :
0x
Hệ quả ;
log log
N
M
a
a
M
xx
N
Đk :
0x
log
a
b
ab
Đặc biệt :
log log
bb
xa
ax
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
b. Tính chất cho bởi bất đẳng thức :
+ Với
1a
:
log log
aa
x y x y
+ Với
01a
:
log log
aa
x y x y
B. Bài tập áp dụng :
1/ Tìm điều kiện xác định của các logarit sau :
a/
0,5
log (2 3)x
b/
2
3
log ( 1)x
c/
5
2
log
23x
d/
1
log 5
x
e/
32
log ( 6 )
x
x x x
f/
2
42
log (25 )
x
x
2/ Tính :
a/
2
log 8
b/
1
9
log 3
c/
1
5
log 125
d/
4
1
25
log 5 5
e/
3
9
3
log 27 3
f/
21
log (3 2 2)
3/ Tính:
a/
2
2
log 16 log 4
b/
4
19
3
log 27 log 3
d/
16
2
log 64 log 0,125
e/
4
4
1
lg 5 5.4 lg 5 lg
22
f/
2
4
44
log log log
a a a
a a b b b a b b b
(
, 0, 1a b a
)
4/ Tính:
a/
8
log 15
2
b/
81
log 5
1
3
c/
22
log 64
2
d/
5
3
3
2log 3
9
e/
8 16
3log 3 2log 5
4
f/
1
log2 log 5
2
100
5/ So sánh:
a/
3
log 2
và
2
log 3
b/
2
log 3
và
3
log 11
c/
2
log 3
và
3
log 5
d/
2
log a
và
3
log a
e/
135
log 675
và
45
log 75
f/
9
log 10
và
10
log 11
5/ Tính:
a/
3 4 5 15 16
log 2log 3log 4 log 14.log 15A
b/
2 3 4 2014
1 1 1 1
log log log log
B
x x x x
với
2014!x
c/
lg( 1 ) lg( 2 ) lg( 3 ) lg( 89 )C tg tg tg tg
6/ Tính
6
log 16
theo x biết
12
log 27 x
7/ a/ Tính
2
log 45
theo a,b biết
22
log 3, log 5ab
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
b/ Tính
125
log 30
theo a,b biết
lg2, lg3ab
c/ Tính
3
log 135
theo a,b biết
22
log 3, log 5ab
8/ a/ Tính
3
log
b
a
b
A
a
biết
log 3
a
b
b/ Tính
log
ab
b
B
a
biết
log 5
a
b
9/ Cho
27 8 2
log 5 ,log 7 ,log 3a b c
. Tính
6
log 35
10/ Rút gọn biểu thức:
a/
(log log 2).(log log ).log 1
a b a ab b
A b a b b a
b/
2
log (log 1)
2 2 4
2 2 4
1
log 2 (log ). log
2
x
x
B x x x x
c/
log log 2.(log log n) log
m n m mn m
C n m n n
11/ Với điều kiện a,b,c có nghĩa.Chứng minh rằng:
a/
log log
log
1 log
aa
ac
a
bc
bc
c
b/Nếu
22
4 14x y xy
thì
log(x 2y) 1 lgx lgy
c/ Nếu
11
1 lg 1 lg
10 , 10
bc
ab
thì
1
1 lg
10
a
c
d/Nếu
22
7a b ab
thì
2014 2014 2014
1
log (log log )
32
ab
ab
12/ Chứng minh rằng với mọi
1a
và
1b
ta có bất đẳng thức:
1
( ln ln ) ln
22
ab
ab
13/ Chứng minh rằng:
a/
2011 2012
log 2012 log 2013
b/ Tổng quát:
1n
Cmr:
1
log ( 1) log ( 2)
nn
nn
14/ Với mọi
, 0; , 1a b a b
. Chứng minh:
log log 2
ab
ba
15/ Không dùng máy tính, Chứng minh rằng:
23
5
2 log 3 log 2
2
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
Bài 3: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT
A. Hàm số mũ:
x
ya
( 0, 1)aa
1. Đạo hàm:
Hàm mũ
Hàm hợp
( )' e
xx
e
( )' .ln
xx
a a a
( )' u'.e
uu
e
( )' '. ln
uu
a u a a
2. Giới hạn:
0
1
lim 1
x
x
e
x
3. Tính chất và đồ thị:
Tập xác định : D=R
Tập giá trị :
(0; )T
Sự biến thiên :
' .ln
x
y a a
+ Nếu
1 ' 0ay
: hàm số đồng biến trên D + Nếu
0 1 ' 0ay
: hàm số ngịch biến trên D
x
x
y’
+
y’
y
0
y
0
Đồ thị : Luôn đi qua 3 điểm
1
(0;1),(1;a),( 1: )
a
+ Nhận y=0 làm tiệm cận ngang
1a
y
1
O x
01a
y
1
O x
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
B. Hàm số Logarit:
log
a
yx
( 0, 1, 0)a a x
1. Đạo hàm:
Hàm logarit
Hàm hợp
1
(ln )'x
x
1
(log )'
.ln
a
x
xa
'
(ln )'
u
u
u
'
(log )'
.ln
a
u
u
ua
2. Giới hạn:
0
ln(1 )
lim 1
x
x
x
3. Tính chất và đồ thị:
Tập xác định :
(0; )D
Tập giá trị : T=R
Sự biến thiên :
1
'
.ln
y
xa
+ Nếu
1 ' 0ay
:hàm số đồng biến + Nếu
0 1 ' 0ay
: hàm số ngịch biến
x
0
x
0
y
+
y
y
y
Đồ thị: luôn đi qua ba điểm
1
(1;0) ,( ;1),( ; 1)a
a
+ Nhận x=0 làm tiệm cận đứng
1a
y
1
O x
01a
y
1
O x
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
C. Bài tập áp dụng:
1/ Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a/
2
( 1).
x
y x e
b/
24
1
x
y x e
c/
1
()
2
xx
y e e
d/
2
(3 2)lny x x
e/
22
1.ln( )y x x
f/
2
ln 1x
y
x
2/ Tính các giới hạn sau:
a/
3 3 3
0
lim
x
x
ee
x
b/
25
0
lim
2
xx
x
ee
x
c/
0
ln(1 3 )
lim
x
x
x
d/
2
0
ln(1 )
lim
x
x
x
3/ Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a/
2
ln(4 )y x x
b/
.
x
y xe
c/
2)
ln(2y x x
d/
1
( 1).
x
y x e
4/ Tìm GTLN-GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
a/
2
1x
ye
b/
2
ln( )xx
c/
1x
y x e
5/ Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/
2
x
y
b/
2
2
logyx
c/
2
4
x
y
6/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm :
x
ye
Từ đó suy ra đồ thì các hàm số sau:
a/
2x
ye
b/
2
x
ye
c/
2
2
x
ye
d/
2
2
x
ye
7/ Chứng minh hàm số
a/
2
log( 1)y x x
đối xứng qua gốc tọa độ
b/
xx
y e e
đối xứng qua trục Oy
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
Bài 4: PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
A. Phƣơng trình mũ:
1. Phƣơng trình cơ bản:
()fx
ab
0, 1aa
+ Nếu
0b
: phƣơng trình vô nghiệm
+ Nếu
0b
: pt
( ) log
a
f x b
2. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ:
a. Đưa về cùng cơ số:
Đƣa hai vế của phƣơng trình về lũy thừa cũng cơ số và dùng công thức:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
Áp dụng:
Giải các phƣơng trình sau:
a/
3 3 2
1
2 .4
2
xx
b/
2 3 3 2
1
0.125 .2
4
xx
c/
21
2
27
27
9
x
x
d/
2 2 1
1
.5 5.125
25
xx
e/
12
3.2 5.2 2 21
x x x
f/
1 1 2
2 3 3 2
x x x x
b. Đặt ẩn phụ:
Khi bài toán quy về một hàm số theo
()fx
a
thì ta đặt ẩn phụ
()
0
fx
t a t
Áp dụng:
1/ Giải phƣơng trình bằng cách đặt ẩn phụ:
a/
4 2.2 8 0
xx
b/
5.25 6.5 1 0
xx
c/
2 1 1
5 5 250
xx
d/
54
10
93
xx
2/ Giải phƣơng trình:
a/
3 6.3 1 0
xx
b/
21
5 5 30 0
xx
c/
2
2
9 10 4
24
x
x
d/
3.4 6 2.9
x x x
3/ Giải phƣơng trình:
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
a/
(2 3) (2 3) 4
xx
b/
1
1
1
2
3.2 8.2 4 0
x
x
x
c/
22
sin cos
2 5.2 7
xx
d/
2
25 12.2 652.(0,4) 0
x x x
c. Logarit hóa:
Khi phƣơng trình cho dƣới dạng
( ) ( )
.
f x g x
a b c
hoặc
( ) ( )f x g x
ab
thì ta lấy logarit 2 vế
theo cơ số a hoặc b rồi giải.
Áp dụng:
Giải phƣơng trình:
a/
1
57
xx
b/
2
1 3 2
35
x x x
c/
1
5 .8 100
x
x
x
b/
1
21
2 .5 200
x
x
x
c/
37
1
2
3 .7 441
x
x
x
d/
21
21
5 .2 50
x
x
x
d. Phương trình tích:
Biến đổi phƣơng trình trở thành tích của các phƣơng trình cơ bản.
0
.0
0
A
AB
B
Giải phƣơng trình:
a/
4 3 6 2
x x x x
b/
2 2 2
6 4.3 2 4
x x x x x x
c/
2 1 2 1
9 .5 3 .(5 15) 15 0
x x x x
e. Dùng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm duy
nhất:
+ Nhẩm nghiệm
x
+ Chứng minh -
x
phƣơng trình vô nghiệm
-
x
phƣơng trình vô nghiệm
+ Suy ra phƣơng trình có nghiệm duy nhất.
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
Áp dụng:
1/Giải phƣơng trình:
a/
21
x
x
b/
5 27
x
x
c/
2.3 5 2
x
x
d/
1
7 3 52
x
x
2/ Giải phƣơng trình:
a/
3 4 5
x x x
b/
1
3.2 2.3 5 0
x x x
c/
1
2 3 4 10 1
x x x x
d/
9 5 4 2( 20)
x x x x
B. Phƣơng trình logarit:
1. Phƣơng trình cơ bản:
( ) 0
log ( )
()
a
b
fx
f x b
f x a
Chú ý: Đối với phƣơng trình logarit thì ta nên đặt điều kiện trƣớc khi giải.
Áp dụng:
1/ Giải phƣơng trình:
a/
1
2
log 2x
b/
5
log (2x 4) 1
c/
3
1
log 0
2x
d/
2
1
6
log ( ) 1xx
e/
2
log ( 1) 1
x
xx
f/
2
23
log log 4 3 0xx
2/ Giải phƣơng trình:
a/
log (2 x) 1
x
b/
2
log ( 1) 0
x
xx
c/
2
2
1
log (2 3 1) 0
x
xx
2. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình logarit:
a. Đưa về cùng cơ số:
( ) 0 ( ) 0
log ( ) log ( ) or
( ) ( ) ( ) ( )
aa
f x g x
f x g x
f x g x f x g x
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
Áp dụng:
1/ Giải phƣơng trình:
a/
55
log ( 1) log ( )
1
x
x
x
b/
2
22
log log (2 )x x x
c/
2
13
3
1
log log ( 1)
1
x
x
d/
2
22
log 1 log ( 1)x x x
2/ Giải phƣơng trình:
a/
3.log log 5xx
b/
3 9 27
5
log log 3 log
3
x x x
c/
2
2 1 1 2
24
log ( 3) log 5 2log ( 1) log ( 1)x x x
b. Đặt ẩn phụ:
Khi phƣơng trình quy về một hàm số theo
log ( )
a
fx
thì ta đặt ẩn phụ
log ( )
a
t f x t R
Áp dụng:
1/ Giải phƣơng trình:
a/
2
22
log (x 1) 3.log ( 1) 2x
b/
2
2
2
3.log 2
log 4
log
4
x
x
x
c/
3
log (9 8) 2
x
x
d/
7
log (6 7 ) 1
x
x
2/ Giải phƣơng trình:
a/
2
5
log log 2
2
x
x
b/
2
2
log 64 log 16 3
x
x
c/
33
log (3 1)log [3(3 1)] 6
xx
d/
22
3 3 3 3
log log 3 log log
4 5.2 1 0
x x x x
e/
22
2log log 3
36
x
x
f/
33
3 log log 3 1 0xx
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
c. Mũ hóa:
Phƣơng trình có dạng
log ( ) log ( )
ab
f x g x
thì ta lấy mũ cơ số a hoặc b hai vế.
Áp dụng:
Giải phƣơng trình:
a/
23
log logxx
b/
23
log log ( 1)xx
c/
2 3 6
log log logx x x
d/
73
log log ( 1)xx
d. Phương trình tích:
Giải phƣơng trình:
a/
2 3 2 3
log log 1 log .logx x x x
b/
23
5 7 5 7
log .log log log 6x x x x
c/
2
2 2 3 2 3 2
log log .log ( 1) (x 1).log ( 1).log ( 1) 2.log xx x x x x x
d/
2 3 5
log .log logx x x
e. Dùng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm duy
nhất:
Áp dụng:
1/ Giải phƣơng trình:
a/
2
2
log ( 1) 1xx
b/
2 3 6
log log ( 1) 2.log (7 )x x x
c/
3
51
7
1
log (2 ) log ( 22)
2
xx
d/
2
22
log ( 3 2) log 8 8x x x x
2/ Giải phƣơng trình:
a/
22
log log (2x 1) x 1x
b/
2 2 2
39
log ( 1) x log ( 2 1)x x x x
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
Bài 5: BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
A. Lý thuyết bất đẳng thức:
Nếu
1a
:
xy
a a x y
log log
aa
x y x y
Nếu
01a
:
xy
a a x y
log log
aa
x y x y
B. Các phƣơng pháp giải:
1. Bất phƣơng trình cơ bản:
()fx
ab
+ Nếu b<0: bất phƣơng trình có nghiệm với mọi x
+ Nếu b>0: -
1, ( ) log
a
a f x b
-
0 1 ( ) log
a
a f x b
log ( )
a
f x b
-
1 ( )
b
a f x a
-
0 1 0 ( )
b
a f x a
2. Đƣa về cũng cơ số:
( ) ( )f x g x
aa
log ( ) log ( )
aa
f x g x
Đƣa hai vế của bất phƣơng trình về cùng cơ số rồi sử dụng công thức.
Chú ý: + Đối với hàm mũ nếu
01a
thì ta nghịch đảo để chuyển về
1a
+ Đối với hàm logarit thì tùy vào dấu của bất đẳng thức để suy ra điều kiện của f(x)
hay g(x)
Áp dụng:
1/ Giải các bất phƣơng trình sau:
a/
2 1 2
1
2 .4
2
xx
b/
12
13
27 9
x
x
c/
2
2
11
2
24
x x x
d/
2
log (2 1) 0x
e/
22
2.log ( 1) log (5 ) 1xx
f/
22
33
2.log 5 6 log ( 3 2) 0x x x x
g/
2
62
3 1 3 1
22
x x x
2/ Giải các bất phƣơng trình sau:
a/
1
x
x
b/
2
log ( 1) 1
x
xx
c/
21
3
log log ( 2) 2x
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
3. Đặt ẩn phụ:
Đặt ẩn t rồi quy bài toán hàm mũ về hàm đa thức theo t, giải tìm điều kiện của t sau đó
thay vào suy ra tập nghiệm của x.
Áp dụng:
1/ Giải các bất phƣơng trình:
a/
21
5 5 4
xx
b/
9 2.3 15 0
xx
c/
1
7 3.7 4
xx
d/
2 2 2
3.9 6 2.4 0
x x x
e/
4
40
43
x
xx
f/
(2 3) (2 3) 4
xx
2/ Giải các bất phƣơng trình:
a/
2
22
log 3.log 2 0xx
b/
2
33
log ( 1) 6.log ( 1) 3 0xx
c/
5
3
log log 5
2
x
x
d/
4 16
3.log 4 2.log 4 3.log 4 0
x x x
e/
22
93
log (3 4 2) 1 log (3 4 2)x x x x
f/
42
19 2
log (19 2 ).log 1
8
x
x
4. Bất phƣơng trình tích:
Các công thức:
00
. 0 or
00
AA
AB
BB
00
. 0 or
00
AA
AB
BB
Chú ý: Nếu có dấu bằng thì nên xét giá trị bằng 0 để tránh tình trạng thiếu nghiệm
trong 1 số bài toán chứa căn thức hoặc biểu thức ko âm.
Áp dụng:
Giải bất phƣơng trình:
a/
2 2 2
1
6 3 2 3
x x x x x x
b/
2
5 4 5 2
log log 1 log .logx x x x
c/
22
2
( 2 1).log ( 5 6) 0x x x x
d/
lg lg5
2 1 5 50 0
x
xx
e/
43
5 2 2 5
log log 2 6log .logx x x x
f/
5 2 3 4 7
log ( 1).log ( 1).log ( 1) log ( 1).log ( 1)x x x x x
5. Mũ hóa và logarit hóa:
Lấy mũ cơ số a hai vế khi bất phƣơng trình cho dƣới dạng logarit
Lấy logarit cơ số a hai vế khi bất phƣơng trình cho dƣới dạng mũ
Nếu a>1 thì dấu bất phƣơng trình không đổi
Nếu 0<a<1 thì đổi dấu bất phƣơng trình
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
Áp dụng : Giải bất phƣơng trình :
a/
23
xx
b/
1
1
31
3
2
x
x
c/
2
13
2 .3 12
x x x
6. Dùng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phƣơng trình :
+ Nếu hàm số đồng biến :
( ) ( )f x f x
( ( )) ( ( )) ( ) ( )f u x f v x u x v x
+ Nếu hàm số nghịch biến :
( ) ( )f x f x
( ( )) ( ( )) ( ) ( )f u x f v x u x v x
Áp dụng :
1/ Giải các bất phƣơng trình :
a/
2 3 5
x x x
b/
1
5 2 1
x
x
c/
2 1 1
6 1 2 3
xx
d/
2
2
log ( 1) 1xx
e/
2
22
log ( 3 2) log 8 8x x x x
2/ Giải các bất phƣơng trình :
a/
22
1
5 1 5
x x x
x
b/
2 2 2
39
log ( 1) x log ( 2 1)x x x x
c/
21
3
2
3 log 2 1 3
1
xx
x
x
x
Bài Tập Tự Luyện:
1/ Giải phƣơng trình:
a/
2
1
1
3
2
2. 2 4
x
x
x
b/
1
1
5
51
4
2
2
x
x
x
x
c/
3 2 2 3
7 9.5 5 9.7
x x x x
d/
2 2 3 3
2 .5 2 .5
x x x x
e/
1 1 2
2 3 3 2
x x x x
f/
31
21
22
9 2 2 3
xx
xx
2/ Giải phƣơng trình:
a/
55
1
log ( 1) log
x
x
x
b/
2
log (9 2 ) 3
x
lx
c/
2
log (2 7 12) 2
x
xx
d/
2
( 1)
log ( 3) 1
x
x
e/
2 2 2
log ( 3) log ( 1) log 5xx
f/
2
2 1 1 2
24
log ( 1) log 5 log ( 1) log ( 1)x x x
3/ Giải phƣơng trình:
a/
1 1 1
9.4 5.6 4.9
x x x
b/
(2 3) (2 3) 14
xx
c/
8 18 2.27
x x x
d/
22
3 3 30
xx
e/
22
13
9 36.3 3 0
xx
f/
3 3 3
log log log 9
4 5.2 2 0
xx
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
g/
10
5 10
3 3 84 0
xx
h/
3
5 21 7. 5 21 2
xx
x
i/
11
2.3 3.2 3 2
1
3 2 3 2
x x x x
x x x x
4/ Giải phƣơng trình:
a/
2
32
9
9
9
5.log log 8.log 2
x
x
x
x x x
b/
4
7
log 2 log 0
6
x
x
c/
22
log 4.3 6 log 9 6 1
xx
d/
28
4 16
log log 4
log 2 log 8
xx
xx
e/
23
42
2
4.log 2.log 3.log
x x x
x x x
f/
22
3 7 2 3
log (9 12 4 ) log (6 23 21) 4
xx
x x x x
5/ Giải các phƣơng trình:
a/
lg lg5
5 50
x
x
b/
12
1
2 .5 .10
5
x x x
c/
3 lg
3
900
x
x
d/
2
22
log 1 2log
2
xx
x
e/
22
log log 5
2
3
x
xx
f/
2
2
3 9 6
xx
x x x
g/
11
22
3 18 .2 .3
xx
xx
h/
2
66
log log
6 12
xx
x
6/ Giải các phƣơng trình:
a/
9 2( 2)3 2 5 0
xx
xx
b/
2
22
log ( 1)log 2 6 0x x x x
7/ Giải các bất phƣơng trình
a/
1
2
1
2
3
3
xx
xx
b/
31
13
10 3 10 3
xx
xx
c/
1
3 4 1 2
2
4 2 2 5 5
x
x x x x
d/
1
4
4 16 2.log 8
xx
e/
1
7 3.7 4
xx
f/
22
2 1 2 1
2
(2 3) (2 3)
23
x x x x
g/
2
2
log 64 log 16 3
x
x
h/
4 16
3.log 4 2. log 4 3.log 4 0
x x x
i/
21
2
15
log log 2 2
16
x
j/
lg lgxx
k/
24
log 2.log 2 log 2
x x x
l/
3 4 1 1
34
3 1 1
log log log log
1 3 1
xx
xx
m/
15
2lg( ) lg( 1) lg(x ) lg2
22
xx
n/
2
22
2.log 3.log 11 0
4
x
x
8/Giải:
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
a/
22
53
3 4 0
35
xx
b/
3.16 4.9 7.12
x x x
c/
45 4.9 3.5 12 0
x x x
d/
2 3 2 3 4
xx
e/
2 1 1
3 3 (3 7) 2 0
xx
xx
f/
55
25 2.5 ( 2) 3 2 0
xx
xx
g/
.2 (3 ) 2(2 1)
xx
x x x
h/
26 15 3 2 7 4 3 2(2 3) 1
xx
x
i/
10
log(3 1) log log6
3
x
xx
j/
66
log log ( 1) 2xx
k/
5
log (125 5 ) 25
x
x
l/
57
log log ( 2)xx
m/
22
log log
2
(2 2) .(2 2) 1
xx
xx
n/
3
log 3 .log 1 0
x
xx
o/
log 5
65
.5 5
x
x
p/
22
33
log ( 1) log 2x x x x x
q/
8
4
64
2.log ( ) logx x x
r/
3 2 3 2
xx
x
8/Giải phƣơng trình :
2
22
1 log 2log
2 224
xx
x
9/Giải phƣơng trình:
22
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
10/ Giải phƣơng trình:
3 2 3 2 5
xx
x
11/ Giải Bpt:
2 2 2
2 1 2 1 2
25 9 34.15
x x x x x x
12/ Giải bpt:
2(5 24) 5 7 5 7
x x x
13/ Giải bpt:
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 .2 8 12
x x x
x x x x
14/ Giải bpt:
2 2 2
3 5 2 3 3 .5 3 5 2 9 .5
xx
x x x x x x x
15/ Giải bpt:
4 2 4
2
1
x
x
x
16/Giải bpt:
23
23
2
log ( 1) log ( 1)
0
34
xx
xx
17/ Giải bpt:
2
1
1
3
3
11
log ( 1)
log 2 3 1
x
xx
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
C. Bài toán chứa tham số:
Phương Pháp:
+ Đối với hàm mũ thƣờng thì bài toán đặt ẩn phụ và quy về phƣơng trình, bất phƣơng trình
theo t, ta tìm điều kiện của t. Sau đó tìm điều kiện của tham số để phƣơng trình có nghiệm t thõa
mãn
+ Đối với hàm logarit thì ta phải tìm điều kiện của logarit kèm với điều kiện bài toán
Chú ý: Bài toán chứa tham số thông thƣờng chỉ dừng ở mức độ quy về phƣơng trình bậc 2
Ví dụ:
a/ Tìm m để phƣơng trình
2
25 (2 5).5 5 0
xx
m m m
(1) có hai nghiệm phân biệt
Giải:
Đặt
50
x
tt
Pt
22
(2 5) 5 0t m t m m
(2)
Ta thấy cứ 1 giá trị của t cho ta 1 giá trị của x nên để phƣơng trình (1) có 2 nghiệm
phân biệt thì pt (2) có 2 nghiệm phân biệt có nghĩa
12
0tt
22
2
( 2 5) 4( 5 ) 0
0 25 0
0 5 0 5 0 0
0 2 5 0 5
2
m m m
P m m m m m
Sm
m
Vậy
0m
thì phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
b/ Tìm m để phƣơng trình
22
33
log log 1 2 1 0x x m
có ít nhất 1 nghiệm thuộc
3
1;3
(Đề thi ĐH khối A năm 2002)
Giải:
Đặt
2
3
log 1 1t x t
Pt
2
2 2 0t t m
(*)
Khi x thuộc
3
1;3
thì t thuộc
1;2
Bài toán trở thành tìm m để (*) có ít nhất 1 nghiệm thuộc
1;2
: có 3 TH :
12
12
12
12
12
12
12
12
tt
tt
tt
tt
Hoặc dùng phần bù tìm m để phƣơng trình không có nghiệm thuộc
1;2
12
12tt
rồi suy ra điều kiện để phƣơng trình có nghiệm thõa mãn yêu cầu bài toán
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
Bài tập:
1/ Xác định m để các phƣơng trình sau có nghiệm:
a/
9 .3 2 1 0
xx
mm
b/
(2 2) 1 1 2
xx
m
2/ Tìm m để phƣơng trình:
22
11
25 .5 1 2 0
xx
mm
có đúng 3 nghiệm phân biệt.
3/Với giá trị nào của a thì phƣơng trình:
3
3
log ( 3) log axx
có 1 nghiệm duy nhất
4/ Với giá trị nào của m thì :
22
22
log (7 7) log ( 4 ),x mx x m x R
5/ Cho phƣơng trình:
21
40
42
xx
mm
m
Tìm các giá trị của m sao cho phƣơng
trình có 2 nghiệm
12
,xx
thõa mãn:
12
10xx
6/ Tìm các giá trị của a để phƣơng trình :
22
11
11
9 .3 2 0
xx
a
có hai nghiệm
dƣơng phân biệt.
7/Tìm các giá trị của m để phƣơng trình:
2 2 2
41
2
2log 2 2 (1 2 ) log ( 2 ) 0x x m m x mx m
có 2 nghiệm
12
,xx
thõa mãn
22
12
1xx
8/Xác định m để phƣơng trình
lg( )
2
lg( 1)
kx
x
có nghiệm duy nhất.
9/Tìm các giá trị của m sao cho phƣơng trình nghiệm đúng
xR
:
2
3 2 2 2
2
2
log (3 1) log ( 5 6 ) 0
x
m m x m x m
10/ Xác định m để các bpt sau có nghiệm
a/
21
3 ( 3).3 2( 3) 0
xx
mm
b/
2
4 (2 1).2 0
xx
m m m
c/
4 .2 1 0
xx
mm
11/Giải và biện luận them tham số m:
a/
21
9 8 .3 0
xx
mm
b/
log ( 1) log 2
mm
x
c/
2
log (26 ) 2log (4 )
mm
xx
12/ Cho bpt:
22
55
log ( 1) log ( 4 ) 1x x x m
Tìm các giá trị của m sao cho khoảng
(2;3)
thuộc tập nghiệm của bpt
13/ Cho bpt:
22
55
1 log ( 1) log ( 4 )x mx x m
Tìm tất cả các giá trị của m để bpt nghiệm đúng với mọi m
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
Đề thi các năm và các bài toán khác:
1/(A-2002) Cho phƣơng trình :
22
33
log log 1 2 1 0x x m
a/ Giải phƣơng trình khi m=2
b/ Tìm m để phƣơng trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
2;3
2/(B-2002) Giải bpt:
3
log log 9 72 1
x
x
3/(D-2003) Giải phƣơng trình:
22
2
2 2 3
x x x x
4/(B-2005) Chứng minh rằng với mọi
xR
,ta có:
12 15 20
345
5 4 3
x x x
x x x
5/(A-2006) Giải phƣơng trình:
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
6/(B-2006) Giải bpt:
2
5 5 5
log (4 144) 4log 2 1 log (2 1)
xx
7/(D-2006) Giải phƣơng trình:
22
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
8/(A-2007) Giải bpt :
31
3
2log (4 3) log (2 3) 2xx
9/(B-2007) Giải phƣơng trình :
( 2 1) ( 2 1) 2 2 0
xx
10/(D-2007) Giải phƣơng trình :
22
1
log (4 15.2 27) 2log 0
4.2 3
xx
x
11/(A-2008) Giải phƣơng trình :
22
2 1 1
log (2 1) log (2 1) 4
xx
x x x
12/(B-2008) Giải bpt :
2
0,7 6
log log 0
4
xx
x
13/(D-2008) Giải bpt :
2
1
2
32
log 0
xx
x
14/(D-2010) Giải phƣơng trình :
33
2 2 2 2 4 4
4 2 4 2
x x x x x x
15/(D-2011) Giải phƣơng trình :
2
21
2
log (8 ) log ( 1 1 ) 2 0x x x
16/Giải các phƣơng trình :
a/
44
1
8.3 9 9
x x x x
b/
1
1
11
11
4
6.3 6. 13.2
3
x
xx
x
xx
c/
44
13
2 4 2 2
x x x x x x
d/
22
2 2 1 4 1
2 2 2 0
x x x x
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN
2014
Lớp Toán 10-11-12-LTQG Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246
e/
22
3 2 1 2 4 1
2 2.2 2 2 0
x x x x x
f/
2 2 2
(7 5 2) (1 2) (3 2 2) 1
x x x x x x
g/
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 .2 8 12
x x x
x x x x
h/
3 2 3 4
2 1 2 1
.2 2 .2 2
xx
xx
xx
i/
3 2 3 2 5
xx
x
j/
4 2 4
2
1
x
x
x
k/
2
4 2 2
3 ( 4).3 1
xx
x
PHẦN NÀY TÔI KHÔNG ĐỀ CẬP ĐẾN HỆ PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
NÓ ĐƢỢC GỘP CHUNG VÀO PHẦN SAU:
CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH, PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG
TRÌNH VÔ TỈ.
ĐỂ CÓ TRONG TAY SỚM NHẤT BỘ TÀI LIỆU 12 VÀ ÔN THI KÌ THI CHUNG QUỐC
GIA:
+ Các em có thể đến trực tiếp : 131/10 LÝ THÁI TỔ ĐÀ NẴNG.
+ Liên hệ 0932589246 gặp Thầy Dƣơng.^^
+ Hay liên hệ online qua mail:
hoặc:
MỌI CHI TIẾT ĐÓNG GÓP XIN GỬI VỀ MAILL TRÊN ĐỂ TÀI LIỆU ĐƢỢC HOÀN THIỆN
HƠN
HÃY SHARE CHO BẠN BÈ VÀ NGƢỜI THÂN BỘ TÀI LIỆU NÀY.
CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG
