BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH






BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP BỘ






SỰ TỒN TẠI VÀ NGHIỆM TỐI ƢU
CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN
TRONG GIẢI TÍCH PHI TUYẾN




MÃ SỐ : B2005.23.68
CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI : PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA

TP.HCM, NĂM 2007






BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH






BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CÁP BỘ







SỰ TỒN TẠI VÀ NGHIỆM TỐI ƢU
CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN
TRONG GIẢI TÍCH PHI TUYẾN




MÃ SỐ : B2005.23.68
CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI : PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA











TP.HCM, NĂM 2007











DANH SÁCH NHỮNG NGƢỜI THAM GIA THỰC HIỆN

PGS. TS. Nguyễn Bích Huy
PGS.TS. Nguyễn Định

o0o

1


TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ

Tên đề tài:
Sự tồn tại nghiệm và nghiệm tối ƣu
của một số bài toán trong giải tích phi tuyến
Mã số : B2005.23.68
Chủ nhiệm đề tài : PGS.TS. Lê Hoàn Háo, Điện thoại (08)75 22 625
Cơ quan chủ trì đề tài : Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp.HCM
Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện :
PGS.TS. Nguyễn Bích Huy
PGS.TS. Nguyễn Định
Thời gian thực hiện: 4/2005 đến 4/2006
1. Mục tiêu : đề tài nhăm 3 mục tiêu chính sau đây
- Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và cấu trúc của tập nghiệm cho phƣơng trình tích phân
và tập nghiệm yếu của phƣơng trình sóng nửa tuyến tính
- Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm cho lớp bài toán Cauchy bậc hai trong thang các
không gian Banach.
- Thiết lập các điều kiện tối ƣu dạng Karush - Kuhn - Tucker, các điều kiện điểm yên

ngựa, đối ngẫu và ổn định cho các bài toán tối ƣu lồi trong không gian vector tôpô lồi địa
phƣơng Hausdorff.
2. Nội dung chính:
- Chƣơng 1. Tính compact và liên thông của tập nghiệm
- Chƣơng 2. Bài toán Cauchy bậc hai trong thang các không gian Banach và áp dụng
cho phƣơng trình Kirchhoff.
- Chƣơng 3. Các điêu kiện chính qui dạng Farkas trong các bài toán tối ƣu lồi vô hạn.
3. Kết quả chính đạt đƣợc (khoa học, ứng dụng, đào tạo, kinh tế - xã hội):
- Kết quả về khoa học : 3 bài báo, trong đó hai bài đã công bố trong tạp chí toán học
nƣớc ngoài năm 2004 - 2005 và một bài công bố năm 2006 trong Demonstrator số 36.





2




- Kết quả đào tạo : Những nội dung trên đã đƣợc chúng tôi nghiên cứu trong một thời
gian dài, các két quả từng bƣớc đƣợc triền khai trong các luận văn Thạc sĩ và luận án Tiến sĩ.
Đã bảo vệ thành công 5 Thạc sĩ (10 - 2005)
1) Trần Trí Dũng, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hoa. Đề tài: Phƣơng trình vi
phân đôi sô lệch trong không gian Banach - Công thức biên thiên hằng số và dáng điệu tiệm
cận.
2) Nguyễn Thị Cúc Hƣơng, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hoa. Đề tài : Tính
dao động, tính không dao động và tính ổn định cho phƣơng trình vi phân trung hòa đối số
lệch
3) Lê Trần Tố Loan, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hoa. Đề tài : Phƣơng trình

vi tích phân phi tuyến loại Hyperbolic.
4) Nguyễn Thanh Hà, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Nguyễn Bích Huy. Đề tài : Bài toán
Cauchy trong thang các không gian Banach.
5) Lê Thị Tuyết Nhung, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Nguyễn Bích Huy. Đề tài : vector
riêng dƣơng của ánh xạ tuyến tính.

Danh sách luận văn thạc sĩ, luận án tiến sĩ hoàn thành năm 2007
1) Trần Thị Thu Nguyệt, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hóa. Đề tài : Một vài
cách tính bậc tôpô và ứng dụng vào bài toán phân nhảnh toàn cục của bất đẳng thức biến
phân.
2) Phan Kim Khánh, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hóa. Đề tài . Tính compắc,
liên thông của tập nghiệm một số phƣơng trình vi, tích phân.
3) Nguyễn Đình Tƣờng Long, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hóa. Đề tài : Giá
trị ban đâu của nghiệm bị chặn của phƣơng trình vi phân tuyên tính với hàm ràng buộc tuần
hoàn.
4) Lê Thị Phƣơng Ngọc (Tiến sĩ), Ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hóa. Đề tài:
Ƣng dụng phƣơng pháp diêm bát động trong sự tôn tại nghiệm của phƣơng trình.
Nguyễn Khải Hoàn, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Nguyễn Bích Huy. Đề tài : Một sô
nghiên cứu vê phƣơng trình logistic.
5) Trần Thị Bích Thu, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Nguyễn Bích Huy. Đề tài: Một số
lớp bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach.

3


SUMMARY

Project Title:
The existence of solution and optimality solution of some problems
in non-linear Analysis

Code number : B2005.23.68
Coordinator : associate professor Doctor Lê Hoàn Hóa
Implementing Institution : hochiminhcity university of education
Cooperating Institution(s) : associate professor doctor Nguyen Bich Huy, associate
professor doctor Nguyễn Đinh.
Duration : from May 2005 to June 2006

1. Objectives
- Study the existence and the structure of the solution set of integral equations and
weak solution set of semi linear wave equations
- Study second-order Cauchy problem in a scale of Banach spaces
- Provide Karush - Kuhn - Tucker and saddle point optimality condition , duality and
stability for consistent convex optimization problem posed in locally convex topological
vector spaces
2. Main contents
- The connectivity and compactness of solution sets.
- A second-order Cauchy problem in a scale of Banach spaces and applications to
Kirchhoff equations.
- New Farkas-type constraint qualifications in convex infinite programming.
3. Results obtained
- Three were published in foreign mathematical Bulletins
- The result of these three papers were used in five Master-degree thesis.

4

MỤC LỤC

TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI 1
CHƢƠNG 1 : TÍNH LIÊN THÔNG VÀ COMPAC CỦA TẬP NGHIỆM 5
The connectivity and compactness of solution sets 8

CHƢƠNG 2: BÀI TOÁN CAUCHY BẬC HAI TRONG THANG CÁC KHÔNG GIAN
BANACH VÀ ÁP DỤNG CHO PHƢƠNG TRÌNH KIRCHHOFF 22
A second-order Cauchv problem in a scale of Banach spaces and application to
Kirchhoff equations 24
CHƢƠNG 3: CÁC ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY DẠNG FARKAS TRONG CÁC BÀI TOÁN
TỐI ƢU LỒI VÔ HẠN 37
New Farkas –Type constraint qualifications in convex infinite programming Error!
Bookmark not defined.
THUYẾT MINH ĐỀ TÀI 65


5

CHƢƠNG 1 : TÍNH LIÊN THÔNG VÀ COMPAC CỦA TẬP NGHIỆM

Nội dung: Chúng tôi chứng minh tập nghiệm của phƣơng trình tích phân sau là tập
khác rỗng, compắc và liên thông:

(1)


và tính compắc, liên thông của tập nghiệm yếu cho phƣơng trình sóng nửa tuyến tính với các
điều kiện biên ban đầu :

(2)




trong đó u

o
, u
1
, f là hàm cho trƣớc, hàm chƣa biết u (x, t) và giá trị biên chƣa biết P(t) thỏa
mãn phƣơng trình tích phân phi tuyến sau :

trong đó g,H,k cho trƣớc.
Công cụ chính là lý thuyết bậc tôpô của trƣờng compắc.
1. Tổng quan:
Bên cạnh bài toán về sự tồn tại nghiệm, số nghiệm hoặc cấu trúc của tập nghiệm cho
các phƣơng trình vi phân, phƣơng trình tích phân, phƣơng trình đạo hàm riêng đã đƣợc
nghiên cứu. Nhiều tác giả nghiên cứu về tính liên thông của tập nghiệm. Thí dụ một áp dụng
là định lý: Nếu bài toán giá trị biên hỗn hợp cho phƣơng trình Parabolic nửa tuyến tính có hai
nghiệm phân biệt thì tập nghiệm là vô hạn không đếm đƣợc.
Theo [4], định lý khởi đầu là ống nghiệm có mặt cắt là tập liên thông đƣợc chứng
minh bởi Kneser. Tính liên thông của tập nghiệm đƣợc thiết lập đầu tiên bởi Fukuhara. Các
định lý này đƣợc nhiều tác giả mở rộng cho lớp phƣơng trình vi phân tổng quát.
Từ các định lý cơ bản trên, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm cho phƣơng
trình (1) và bài toán (2). Sự tồn tại nghiệm của (1) - (2) đƣợc thiết lập trong ([2],[6]). Trên cơ
sở các kết quả của ([2],[6]), sử dụng lý thuyết bậc tôpô cho trƣờng compắc và định lý về sự
sắp xỉ lipsit địa phƣơng của ánh xạ liên tục, chúng tôi chứng minh tập nghiệm của [1] và tập
nghiệm yếu của [2] khác rỗng, compắc, liên thông.
2. Định lý Ì về tính compắc liên thông của tập nghiệm.
Cho E là không gian Banach với chuẩn ||. Đặt X
0
= C([0,

), E) là không gian
Frechet các hàm liên tục từ [0,


) vào Evới họ nửa chuẩn:

 
n
P (x) sup | x(t)|,t [0, n]
với mọi n  








6



Và mêtric

Khảo sát phƣơng trình tích phân:

(I)



Trong đó f, g thỏa mãn các điều kiện :
(I
1
) f : [0,


) x E  E liên tục với tính chất : Với mỗi n  , k
n
> 0 sao cho


(I
2
) g : [0,

)
2
x E → E hoàn toàn liên tục sao cho :
g(t,.,.) : I x A  E liên tục đều đối với t trong khoảng bị chặn, với mọi tập bị
chặn I  [0,

) và tập bị chặn A  E
(I
3
)
|x|
lim g | (t,s,x)|
x0


đều đối với (t, s)  [0,

)
2
.

Định lý 1: Giả sử f và g thỏa mãn (I
1
)-(I
3
) theo thứ tự. Khi đó tập nghiệm của phƣơng
trình (I) trên [0,

) là tập khác rỗng, compắc, liên thông.
Để chứng minh định lý 1 ta cần đến định lý điểm bất động loại KrasuoselsKii trong
không gian lồi địa phƣơng [2], định lý về tính compắc liên thông của tập nghiệm [4, p. 312,
Định lý 48.2], định lý về sự xấp xỉ lipsit địa phƣơng của ánh xạ liên tục [1] ([1], chƣơng 2,
trang 53), định lý về mở rộng liên tục (xem [7, chƣơng 2, trang 49]).
3. Định lý 2 về tính compắc, liên thông của tập nghiệm yếu.
Cho  = (0, 1), Q
T
=   (o, T), T > 0, L
P
= L
P
() , H
1
= H
1
(), H
2
= H
2
() trong
đó H
1

, H
2
là không gian Sobolev trên .
Chuẩn trên L
2
là ||||, <.,.> là tích vô hƣớng trên L
2
hay cặp của phiếm hàm tuyến tính
liên tục với phần tử của không gian, chuẩn trên không gian Banach X ghi là |||| , L
P
(0,T; X),
1P  
là không gian Banach các hàm số thực u : (0,T)  X đo đƣợc, sao cho:

Khi đó V là không gian con đóng của H1 và trên
1
H
V, || V ||
và ||V||V =

 là
hai chuẩn tƣơng đƣơng.
Các giả thiết sau đây đƣợc lập ([6])





7






(A
4
) Hàm HC
1
() thỏa mãn f (0, 0) = 0 và tồn tại hằng số h
o
> 0 sao cho:



Hàm số f : 
2
  thỏa mãn f (0, 0) = 0 và các điều kiện sau :



Tồn tại hai hằng số ,   (0, 1] và hai hàm số B1, B2 : 
+
 
+
liên tục và thỏa
mãn :






Định lý 2 : (A
1
) - (A
4
) và (F
1
) thỏa mãn. Giả sử thêm f liên tục . Khi đó, với mọi T >
0, tập hợp nghiệm yếu (u, P) của bài toán (2) sao cho
u L

(0, T, v), u
1
L

(0, T, L
2
), u
t
(0, t) L
2
(0, T,), P(t)  H
1
(0, t)
là tập khác rỗng, compắc và liên thông.
Để chứng minh định lý 2 ta cần định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm cho trƣờng
compắc.
Các kết quả trong chƣơng 1 sẽ đƣợc công bố trong tạp chí Demonstrato số 36 năm
2006 (đính kèm toàn văn bài báo : The connectivity and compactness of solution sets)


8

The connectivity and compactness of solution sets
Le Hoan Hoa
a
, Le Thi Phuong Ngoc
b



a
Department of Mathematics, Ho Chi Minh City University of Education.
280 An Duong Vuong Sir., Dist. 5, Ho Chi Minh City, Viet Nam.

b
Nhatrang Educational College, 01 Nguyen Chanh Str., Nha Trang City, Viet Nam.
E-mail:
Abstract : In this paper, we show that the solution set of the following equation is
nonempty, compact and connected

and we also consider the above properties for the weak solution set of the following
semilinear wave equation with the initial - boundary

where u
0
, u
1
, f are five functions, the unknown function u(x, t) and the unknown boundary
value P(t) satisfy the following nonlinear integral equation


where g, H, k are given functions.
The main tool is the topological degree theory of compact vector fields.
Keywords : Topological degree; Compact vector fields, Relatively compact set.
1. Introduction.
Besides the existence problem for solution, the number of solutions or the structure of
the solution set for many equations such as differential equations, integral equations, partial
differential equations, have been considered by many mathematicians. Many authors have
considered the connectivity property of the solution set. A paradigmatic application is the
following theorem: if a mixed boundary value problem for a quasilinear parabolic equation
has two different solutions, then there must be a continuum of solutions.
According to [4], the first theorem stating that the solution funnel has connected
sections was stated by A. Kneser. Connectedness of the solution set was first established by
M. Fukuhara. These theorems have been extended by various authors to more general classes
of differential equations. There are three generalizations which are particularly important (it
is well known in [4], Ch.6 -316 with the references therein).