ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN THỊ HẢI
NGHIỆM GIẢI TÍCH VÀ
NGHIỆM XẤP XỈ CỦA MỘT BÀI
TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG
TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN THỊ HẢI
NGHIỆM GIẢI TÍCH VÀ
NGHIỆM XẤP XỈ CỦA MỘT BÀI
TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG
TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Giáo viên hướng dẫn
TS. LÊ TÙNG SƠN
Thái Nguyên - 2014
Mục lục
1
Mở đầu
Trên thực tế nhiều bài toán trong khoa học kỹ thuật thông qua mô
hình hóa tóan học được đưa đến việc giải các bài toán biên đối với phương
trình đạo hàm riêng.Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu là
phương trình song điều hòa là lớp phương trình vẫn còn đang thu hút sự
quan tâm rất lớn của rất nhiều nhà cơ học, kỹ sư và nhà toán học. Trong
vòng 3 thập niên qua nhiều phương pháp mới hữu hiệu giải phương trình

trên đã được nghiên cứu và phát triển. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ
của máy tính điện tử, các phương pháp số đã trở thành công cụ đắc lực
để giải quyết các bài toán kỹ thuật tuy nhiên vẫn có không ít tác giả đã
sử dụng phương pháp gần đúng giải tích như phương pháp bình phương
cực tiểu, phương pháp nghiệm cơ bản để giải lớp phương trình song điều
hòa.Ngoài những phương pháp trên một số tác giả còn sử dụng phương
pháp lặp để giải phương trình song điều hòa và phương pháp này cũng là
phương pháp đáng lưu ý và cần nghiên cứu.
Nội dung chính của luận văn là trình bày các kết quả về lý thuyết và
thực nghiệm tính toán của phương pháp tìm nghiệm cho một số bài toán
biên đối với phương trình song điều hòa nhờ công cụ hỗ trợ là toán tử biên
và sơ đồ lặp hai lớp của Samarski – Nikolaev.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung,phần kết luận và
tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày hệ thống các kiến thức chuẩn bị, các kết quả bổ
trợ: một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev, tổng quan ngắn về
bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng cấp hai và cấp bốn, định
tính của bài toán biên đối với phương trình elliptic cấp hai và phương trình
kiểu song điều hòa, phương pháp lặp hai lớp giải phương trình toán tử, sự
hội tụ của sơ đồ lặp, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán giải số bài
toán biên của phương trình elliptic cấp hai trên miền hình chữ nhật.
2
Chương 2: Trình bày một phương pháp tìm nghiệm giải tích giải bài
toán biên đối với phương trình song điều hòa gồm đề xuất phương pháp
và các kết quả nghiên cứu khi áp dụng phương pháp cho mô hình toán của
một bài toán Vật lý: mô tả sự uốn của bản mỏng với biên bị ngàm đàn
hồi.
Chương 3: Trình bày tóm tắt những kết quả nghiên cứu về việc giải lặp
tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán biên đối với phương trình song điều hòa
nhờ việc sủ dụng sơ đồ lặp hai lớp của Samarski – Nikolaev. Một số thực

nghiệm trên máy tính điện tử.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa hoc – Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Lê Tùng Sơn – Đại học Sư
phạm – Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và
sâu sắc về sự tận tâm và sự nhiệt tình của thầy trong suốt quá trình tôi
thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán-
Tin trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và quý thầy cô tham
gia giảng dạy lớp cao học Toán khóa 6 (2012-2014) đã quan tâm giúp đỡ
và mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong suốt thời gian học tập
tại trường.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Cao đẳng công nghệ
và kinh tế công nghiệp, các đồng nghiệp trường Cao đẳng công nghệ và
kinh tế công nghiệp đã tạo điều kiện cho tôi được học tập và hoàn thành
khóa học này.
Do thời gian có hạn nên luận văn mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập
hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ
đề đặt ra. Trong quá trình viết luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi
sai sót rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luận
văn hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 11 tháng 10 năm 2014.
Người thực hiện
Trần Thị Hải
3
Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
Các kiến thức trình bày trong chương này để sử dụng trong các chương
sau được tham khảo từ các tài liệu [2], [3], [4], [8], [14], [16].
1.1 Không gian Sobolev

1.1.1 Không gian W
1,p
Định nghĩa 1.1. Cho Ω là một miền giới nội trong R
n
, p ∈ R, 1 ≤ p ≤
+∞, ta định nghĩa
L
p
(Ω) =



f : Ω → R|f;

Ω
|f(x)|
p
dx < +∞



.
L
∞
(Ω) = {f : Ω → R|f; ∃C ∈ R
∗
+
: |f(x)| < C, ∀x ∈ Ω}.
L
p

loc
(Ω) =

f : Ω → R|f ∈ L
p
(U), ∀U : U ⊂ Ω

.
Định lý 1.2. Cho p ∈ R, 1 ≤ p ≤ +∞, L
p
(Ω) là một không gian Banach
với chuẩn
f
L
p
(Ω)
=







Ω
|f(x)|
p
dx

1

p
, p < +∞
inf{C, |f(x)| ≤ C, x ∈ Ω}, p = +∞
Với p = 2, L
2
(Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
(f, g) =

Ω
f(x)g(x)dx
.
4
Định lý 1.3. Không gian L
2
(Ω) là tách được với 1 ≤ p < +∞, lồi đều
với 1 < p < +∞.
Bất đẳng thức Holder Cho 1 ≤ p ≤ +∞, p

là số liên hợp của số p,
nghĩa là
1
p

= 1 −
1
p
, 1 < p < +∞,
p

= 1, p


= +∞,
p

= +∞, p = 1.
Khi đó

Ω
|f(x)g(x)|dx ≤ f
L
p
(Ω)
.g
L
p

(Ω)
, ∀f ∈ L
p
(Ω), g ∈ L
p

(Ω).
Với p = 2 ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwartz.
Hệ quả 1.1. Với 1 ≤ p ≤ q ≤ +∞ thì L
q
(Ω) ⊂ L
p
(Ω) và f
L

p
(Ω)
≤
Cf
L
q
(Ω)
, trong đó hằng số C phụ thuộc vào p, q.
Định lý 1.4. Cho 1 ≤ p ≤ +∞ và p

là số liên hợp với p, f ∈ [L
p
(Ω)]
∗
,
khi đó tồn tại duy nhất g ∈ L
p

(Ω) sao cho
(f, ϕ)
[L
p
(Ω)]
∗
,L
p
(Ω)
=

Ω

g(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ L
p
(Ω),
hơn nữa g
L
p

(Ω)
= f
[L
p
(Ω)]
∗
.
1.1.2 Đạo hàm suy rộng và không gian W
m,p
(Ω)
Cho Ω là một miền giới nội trong R
n
, (n = 1, 2, ), kí hiệu
D
α
=
∂
α
1
+α
2
+ +α
n

∂x
α
1
1
∂x
α
2
2
∂x
α
n
n
, α = (α
1
, α
2
, , α
n
)
là đa chỉ số với các thành phần α
i
là các số nguyên không âm, |α| =
α
1
+ α
2
+ + α
n
, p ≥ 1, f ∈ L
p

(U) với mọi tập con mở U ⊂ Ω, U ⊂ Ω
và C
∞
0
(Ω) là tập các hàm f khả vi vô hạn lần trên Ω sao cho suppf ⊂ Ω,
trong đó suppf là giá trị của hàm f .
Cho u, ω ∈ L
1
loc
(Ω) thì ω được gọi là đạo hàm suy rộng của u bậc α
nếu

Ω
uD
α
ϕdx = (−1)
|α|

Ω
ωϕdx, ϕ ∈ C
∞
(Ω).
Kí hiệu ω = D
α
u.
5
Định nghĩa 1.5. Không gian Sobolev W
m,p
(Ω), trong đó m là một số
nguyên dương, được xác định bởi

W
m,p
(Ω) = {u|u ∈ L
p
(Ω), D
α
u ∈ L
p
(Ω), ∀α, |α| ≤ m},
với m = 0, đặt W
0,p
(Ω) = L
p
(Ω), với p = 2, kí hiệu W
m,2
(Ω) = H
m
(Ω).
Định lý 1.6. Không gian W
m,p
(Ω) là không gian Banach tương ứng với
chuẩn
f
W
m,p
(Ω)
=




|α|≤m
D
α
f
p
L
p
(Ω)


1
p
, 1 ≤ p < +∞.
Không gian H
m
(Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
(f, g)
H
m
(Ω)
=

|α|≤m
(D
α
f, D
α
g)
L
2

(Ω)
, ∀f, g ∈ H
m
(Ω).
Định lý 1.7. Định lý Nhúng (The Sobolev imbedding Theorem). Cho Ω
là một miền giới nội trong R
n
có biên khả vi lớp C
1
. Khi đó
a) Nếu n ≥ 3 thì H
1
(Ω) ⊂ L
q
(Ω), q ∈

1,
2n
n−2

,
b) Nếu n = 2 thì H
1
(Ω) ⊂ L
q
(Ω), q ≥ 1,
c) H
m
(Ω) ⊂ C
[

m−
n
2
−ε
]
(Ω), ε > 0,
trong đó các toán tử nhúng trong a), b), c) là compact.
Hệ quả 2.1. Với m
1
> m > 0, ta có
H
m
1
(Ω) ⊂ H
m
(Ω) ⊂ L
2
(Ω) = H
0
(Ω).
Định lý 1.8. Định lý về tính trù mật. Cho 1 ≤ p < +∞, D (R
n
) là tập
các hàm có giá compact trong R
n
khi đó D (R
n
) trù mật trong W
1,p
(R

n
),
hơn nữa nếu ∂Ω là liên tục Lipschitz thì D(Ω) trù mật trong W
1,p
(Ω).
Định lý 1.9. Định lý về sự thác triển. Giả sử ∂Ω là liên tục Lipschitz,
khi đó tồn tại một toán tử thác triển tuyến tính liên tục P từ H
1
(Ω) vào
H
1
(R
n
) thỏa mãn
i) P
u
= u trên Ω,
ii) P
u

L
2
(R
n
)
≤ Cu
L
2
(Ω)
iii) P

u

H
1
(R
n
)
≤ Cu
H
1
(Ω)
6
1.1.3 Không gian H
s
(Ω), s ∈ R
Trong mục này, ta đưa định nghĩa các không gian H
s
(Ω) với s không
nguyên. Xét không gian
S(R
n
) =

u ∈ C
∞
(R
n
)|∀α, β > 0,



x
α
D
β
u


≤ C
α,β

,
trong đó x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, x
α
= x
α
1
1
x
α
2
2
x

α
n
n
. Trong S(R
n
) xét
chuẩn sau
u
2
S(R
n
)
=

R
n
(1 + |ξ|
2
)
s
|

u(ξ)|
2
dξ, (1.1)

u là biến đổi Fourier của u tại điểm ξ,

u(ξ) = (2π)
−

n
2

R
n
e
−i(x,ξ)
u(x)dx.
Định nghĩa 1.10. Không gian Sobolev H
s
(R
n
) với s ∈ R được xác định
bởi
H
s
(R
n
) = S(R
n
),
trong đó bao đóng được lấy theo chuẩn (1.1).
Định nghĩa 1.11. Không gian Sobolev H
s
0
(Ω), trong đó Ω là một miền
giới nội nào đó trong R
n
được xác định bởi
H

s
0
(Ω) = C
∞
0
(Ω),
trong đó C
∞
0
(Ω) là tập các hàm khả vi vô hạn lần có giá compact trên Ω
và bao đóng được lấy theo chuẩn (1.1).
Định nghĩa 1.12. Không gian Sobolev H
s
(Ω) với s không nguyên được
xác định bởi
H
s
(Ω) = {u∃

u ∈ H
s
(R
n
),

u|
Ω
= u, (

u, ϕ) = (u, ϕ), ∀ϕ ∈ C

∞
0
(Ω)},
trong đó
u
H
s
(Ω)
= inf

u|
Ω
=u


u
H
s
(R
n
)
.
7
1.1.4 Vết của hàm trên biên
Định lý 1.13. Định lý vết. Giả sử Ω là một miền mở trong R
n
có biên
∂Ω là liên tục Lipschitz, khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính
liên tục
λ : H

1
(Ω) → L
2
(∂Ω)
sao cho với bất kỳ u ∈ H
1
(Ω) ∩ C
0
(Ω) ta có γ(u) = u|
∂Ω
.
Hàm γ(u) được gọi là Vết của u trên ∂Ω.
Định lý 1.14. Giả sử ∂Ω là liên tục Lipschitz, khi đó
i) H
1
2
(∂Ω) là một không gian Banach với chuẩn
u
2
H
1
2
(∂Ω)
=

∂Ω
|u(x)|
2
ds
x

+

∂Ω

∂Ω
|u(x) − u(y)|
2
|x − y|
ds
x
ds
y
.
ii) Tồn tại một hằng số C
γ
(Ω) được gọi là hằng số của Vết.
iii) Nhúng H
1
2
(∂Ω) ⊂ L
2
(∂Ω) là compact
iv) Tập {u|
∂Ω
, u ∈ C
∞
(R
n
)} trù mật trong H
1

2
(∂Ω).
v) Tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục
g ∈ H
1
2
(∂Ω) → u
g
∈ H
1
(Ω),
với γ(u
g
) = g và tồn tại hằng số C
1
(Ω) chỉ phụ thuộc vào miền Ω sao cho
u
g

H
1
(Ω)
≤ C
1
(Ω)g
H
1
2
(∂Ω)
, ∀g ∈ H

1
2
(∂Ω).
Công thức Green. Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz, cho u, v ∈ H
1
(Ω),
khi đó:

Ω
u
∂v
∂x
i
dx = −

Ω
v
∂u
∂x
i
dx +

∂Ω
γ(u)γ(v)n
i
ds,
với 1 ≤ i ≤ N, trong đó n = (n
1
, n
2

, , n
N
) là véctơ pháp tuyến ngoài
của Ω.
Bất đẳng thức Poincare. Tồn tại một hằng số C
Ω
sao cho
u
L
2
(Ω)
≤ C(Ω)∇u
L
2
(Ω)
, ∀u ∈ H
1
0
(Ω)
trong đó , ∇u =

∂u
∂x
1
,
∂u
∂x
2
, ,
∂u

∂x
n

, C
Ω
là hằng số phụ thuộc vào đường
kính của Ω, được gọi là hằng số Poincare và
H
1
0
(Ω) = {u|u ∈ H
1
(Ω), γ(u) = 0},
8
Bất đẳng thức Poincare có nghĩa: u = ∇u
L
2
(Ω)
là một chuẩn trên
H
1
0
(Ω) tương đương với chuẩn của H
1
(Ω) đã được xác định.
1.1.5 Không gian H
−1
(Ω) và H
−
1

2
(∂Ω)
Định nghĩa 1.15. Ta kí hiệu H
−1
(Ω) là một không gian Banach được xác
định bởi H
−1
(Ω) =

H
1
0
(Ω)


với chuẩn
F 
H
−1
(Ω)
= sup
H
1
0
(Ω)\{0}



F, u
H

−1
(Ω),H
1
0
(Ω)



u
H
1
0
(Ω)
.
Định lý 1.16. Cho F ∈ H
−1
(Ω) thì tồn tại (n +1) hàm f
0
, f
1
, , f
n
trong
L
2
(Ω) sao cho
F = f
0
+
n


i=1
∂f
∂i
∂x
i
theo nghĩa phân phối và đồng thời
F 
2
H
−1
(Ω)
= inf
n

i=0
f
i

2
L
2
(Ω)
,
trong đó infimum lấy trên tất cả các véctơ (f
0
, f
1
, , f
n

) ∈

L
2
(Ω)

n+1
.
Định nghĩa 1.17. Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz, ta kí hiệu H
−
1
2
(∂Ω) là
một không gian Banach được xác định bởi
H
−
1
2
(Ω) =

H
−
1
2
(Ω)


với chuẩn tương ứng
F 
H

−
1
2
(Ω)
= sup
H
1
2
(∂Ω)\{0}




F, u
H
−
1
2
(Ω),H
1
2
0
(Ω)




u
H
1

2
(Ω)
.
9
1.2 Tổng quan ngắn về bài toán biên đối với phương
trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và cấp
bốn
Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2m của ẩn hàm u(x),
x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ Ω ⊂ R
n
, trong đó Ω là miền giới nội với biên Γ = ∂Ω
Au =

|α|≤2m
a
α
(x)D
α
u = f (x), (1.2)
trong đó α = (α
1
, , α
2
), α

j
∈ N, |α| = α
1
+ α
2
+ + α
n
, j = 1, 2, , n.
D
α
=
∂
|α|
∂
α
1
x
1
∂
α
2
x
2
∂
α
n
x
n
,
a

α
(x), f(x) là hàm cho trước, A là một toán tử vi phân tuyến tính. Với
m = 1, (1.2) là phương trình đạo hàm riêng cấp 2, với m = 2, (1.2) là
phương trình đạo hàm riêng cấp 4.
Giả thiết nghiệm của (1.2) được xét trong Ω ⊂ R
n
. Bài toán tìm nghiệm
của (1.2) sao cho trên biên Γ = ∂Ω của Ω, nghiệm u(x) thỏa mãn một số
điều kiện biên sau đây
B
j
(u)|
Γ
= g
j
, j = 0, 1, , m − 1 (1.3)
được gọi là bài toán biên (1.1), (1.2).
1.2.1 Định lý Lax-Milgram
(Xem [4]) Giả sử V là không gian Hilbert, dạng song tuyến tính a(., .) :
V × V → R liên tục và V-elliptic theo nghĩa ∃α > 0, ∀υ ∈ V, a(υ, υ) ≥
αυ
2
và f : V → R là dạng tuyến tính liên tục. Khi đó bài toán biến
phân trừu tượng: tìm u ∈ V sao cho
a(u, υ) = f(υ), ∀υ ∈ V
có nghiệm duy nhất.
10
1.2.2 Bài toán biên đối với phương trình elliptic cấp hai
A. Bài toán Dirichlet
Giả sử A(x) = (a

ij
(x))
n×n
, f ∈ H
1
(Ω) xét bài toán sau, gọi là bài toán
Dirichlet thuần nhất

−div(A(x)∇u(x)) = f(x), x ∈ Ω
u(x) = 0, x ∈ ∂Ω
(1.4)
Dạng biến phân của bài toán trên là tìm u ∈ H
1
0
(Ω) thỏa mãn
a(u, υ) = f, υ
H
1
(Ω),H
1
0
(Ω)
, ∀υ ∈ H
1
0
(Ω), (1.5)
trong đó
a(u, υ) =
n


i,j=1

Ω
a
ij
(x)
∂u
∂x
i
∂υ
∂x
j
dx =

Ω
A∇u∇υdx, ∀u, υ ∈ H
1
(Ω).
Bổ đề 2.1 Giả sử ∂Ω khả vi lớp C
1
. Cho A ∈ (C
1
(Ω))
n×n
, f ∈ C
0
(Ω) và
u ∈ C
2
(Ω). Khi đó u là nghiệm của bài toán (1.4) nếu u là nghiệm của

(1.4).
Kí hiệu M(α, β, Ω) là tập hợp các ma trận (a
ij
(x))
n×n
∈ (L
∞
(Ω))
n×n
với α, β ∈ R, 0 < α < β thỏa mãn

(A(x)λ, λ) ≥ α|λ|
2
,
|A(x)λ| ≤ β |λ|,
trong đó λ ∈ R.
Định lý 1.18. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet thuần nhất).
Giả sử ma trận A ∈ M(α, β, Ω) thì với bất kỳ f ∈ H
−1
(Ω), tồn tại duy
nhất nghiệm u ∈ H
1
0
(Ω) của bài toán (1.5). Hơn nữa
u
H
1
0
(Ω)
≤

1
α
f
H
−1
(Ω)
trong đó
u
H
1
0
(Ω)
= ∇u
L
2
(Ω)
.
thì nghiệm đó thỏa mãn ước lượng
u
H
1
0
(Ω)
≤
C
Ω
α
f
L
2

(Ω)
,
11
trong đó C
Ω
là hằng số Poincare.
Cho f ∈ H
−1
(Ω), g ∈ H
1
2
(∂Ω). Xét bài toán sau, gọi là bài toán Dirich-
let không thuần nhất

−div(A(x)∇u(x)) = f(x), x ∈ Ω
u(x) = g(x), x ∈ ∂Ω
(1.6)
Định lý 1.19. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet không thuần
nhất). Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz và ma trận A ∈ M(α, β, Ω). Cho
f ∈ H
−1
(Ω), g ∈ H
1
2
(∂Ω) thì bài toán (1.6) tồn tại duy nhất nghiệm
u ∈ H
1
(Ω). Hơn nữa
u
H

1
(Ω)
≤ C
1
f
H
−1
(Ω)
+ C
2
g
H
1
2
(∂Ω)
,
trong đó
C
1
=
1 + C
Ω
α
, C
2
=
2(1 + C
Ω
)
α

βC
1
(Ω)
là hai hằng số dương phụ thuộc vào α, β, Ω.
B. Bài toán Neumann
Cho f ∈

H
1
(Ω)


, xét bài toán sau, gọi là bài toán Neumann thuần
nhất

−div(A(x)∇u(x)) + u(x) = f (x), x ∈ Ω
∂u(x)
∂υ
A
= 0, x ∈ ∂Ω.
trong đó
∂
∂υ
A
=
n

i,j=1
a
ij

(x)n
i
∂
∂x
i
, n = (n
1
, , n
n
) là véctơ pháp tuyến ngoài
tới biên ∂Ω.
Dạng biến phân của bài toán trên là tìm u ∈ H
1
(Ω) thỏa mãn
a(u, υ) = f, υ
(H
1
(Ω))

H
1
(Ω)
, ∀υ ∈ H
1
(Ω), (1.7)
trong đó
a(u, υ) =

Ω
A∇u∇υdx +


Ω
uυdx, ∀u, υ ∈ H
1
(Ω).
Định lý 1.20. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Neumann thuần nhất).
Giả sử ma trận A ∈ M(α, β, Ω) thì với bất kỳ f ∈

H
1
(Ω)


, tồn tại duy
nhất nghiệm u ∈ H
1
(Ω) của bài toán (1.7). Hơn nữa
u
H
1
(Ω)
≤
1
α
0
f
(H
1
(Ω))


,
12
trong đó α
0
= min{1, α}. Nếu f ∈ L
2
(Ω) thì nghiệm này thỏa mãn ước
lượng
u
H
1
(Ω)
≤
1
α
0
f
L
2
(Ω)
.
Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz, cho f ∈ L
2
(Ω), g ∈ H
1
2
(∂Ω). Xét bài toán
sau, gọi là bài toán Neumann không thuần nhất

−div(A(x)∇u(x)) + u(x) = f (x), x ∈ Ω

∂u(x)
∂υ
A
= 0, x ∈ ∂Ω.
(1.8)
Dạng biến phân của bài toán trên là tìm thỏa mãn
a(u, υ) =

Ω
fυdx + g, υ
H
−
1
2
(Ω)
H
1
2
(Ω)
, ∀υ ∈ H
1
(Ω), (1.9)
Định lý 1.21. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Neumann không thuần
nhất). Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz và ma trận A ∈ M (α, β, Ω) thì với
bất kỳ f ∈ L
2
(Ω), g ∈ H
−
1
2

(∂Ω), bài toán (1.9) tồn tại duy nhất nghiệm
u ∈ H
1
(Ω) . Hơn nữa
u
H
1
(Ω)
≤
1
α
0

f
L
2
(Ω)
+ C
γ
(Ω)g
H
−
1
2
(∂Ω)

,
trong đó α
0
= min{1, α} và C

γ
(Ω) là hằng số vết.
1.3 Phương pháp lặp hai lớp giải phương trình toán
tử
1.3.1 Các sơ đồ lặp hai lớp giải phương trình toán tử
Xét phương trình toán tử
Au = f (1.10)
trong đó A là một toán tử tuyến tính, từ không gian Hilbert H vào H, giả
sử A = A
∗
> 0, f ∈ H, Các phương trình lặp nhằm xác định liên tục các
nghiệm xấp xỉ y
1
, y
2
, , y
k+1
của phương trình (1.14) với xấp xỉ ban đầu
y
0
∈ H. Mỗi xấp xỉ như vậy được xem như là giá trị lặp số lần tương ứng
13
k = 1, 2, Giá trị y
k+1
có thể được nhận thông qua các giá trị ở các bước
trước y
k−1
, y
k
Một phương pháp lặp được gọi là một lớp hay hai lớp tùy

thuộc vào việc một hoặc hai giá trị lặp ở bước trước là cần thiết cho việc
tìm ra giá trị lặp y
k+1
ở bước sau.
Một phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước tuyến tính
nếu nó có dạng
B
k
y
k+1
= C
k
y
k
+ F
k
, k = 0, 1, , (1.11)
trong đó, B
k
, C
k
là các toán tử tuyến tính từ H vào H, F
k
∈ H là một
hàm đã biết ở bước lặp thứ k, y
k
là giá trị lặp thứ k.
Giả sử tồn tại B
−1
k

, đưa vào tham số τ
k+1
> 0 thỏa mãn các đẳng thức
τ
−1
k+1
(B
k
− C
k
) = A, F
k
= τ
k+1
f, k = 0, 1, ,
khi đó dạng chuẩn của sơ đồ lặp hai lớp là
B
k
y
k+1
− y
k
τ
k+1
+ Ay
k
= f, k = 0, 1, , (1.12)
với xấp xỉ ban đầu y
0
∈ H được lựa chọn sao cho phù hợp.

Nếu B
k
= I là toán tử đơn vị thì (1.16) được gọi là sơ đồ lặp hiện, nếu
B
k
= I thì (1.16) được gọi là sơ đồ lặp ẩn.
Nếu sơ đồ lặp
B
y
k+1
− y
k
τ
+ Ay
k
= f, k = 0, 1, , (1.13)
trong đó B là toán tử hằng, τ là hằng số thì (1.17) được gọi là sơ đồ lặp
dừng.
1.3.2 Sự hội tụ của các sơ đồ lặp
Định lý 1.22. (Xem [8]) Giả sử A là một toán tử tuyến tính, dương và
hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert H, u là nghiệm của phương
trình (1.14), khi đó ta có các sơ đồ lặp sau
u
k+1
− u
k
τ
+ Au
k
= f, k = 0, 1, , (1.14)

với 0 < τ <
2
A
.
u
k+1
− u
k
τ
k+1
+ Au
k
= f, k = 0, 1, , (1.15)
14
với τ
k
thỏa mãn lim
k→∞
τ
k
= 0,
∞

k=1
τ
k
= ∞, sẽ hội tụ về nghiệm gốc của
phương trình (1.14), với mọi xấp xỉ ban đầu u
0
Nếu phương trình (1.14) được giải bởi sơ đồ lặp dừng (1.17), đặt z

k
=
y
k
− u là sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ, khi đó phương trình
của z
k
có dạng
B
z
k+1
− z
k
τ
+ Az
k
= 0, k = 0, 1, , (1.16)
trong đó z
0
= y
0
− u.
Giả sử B là tự liên hợp và tồn tại B
−1
, ta có định lý,
Định lý 1.23. Nếu A là toán tử dương, tự liên hợp (A = A
∗
> 0, f ∈ H)
thì
B >

1
2
τA, (Bx, x) >
1
2
τ(Ax, x), ∀x ∈ H, x = 0. (1.17)
là điều kiện đủ cho sự hội tụ của sơ đồ lặp (1.17) trong không gian H
A
với
tốc độ hội tụ là cấp số nhân, với đánh giá
z
k+1

A
≤ ρz
k

A
, k = 0, 1, , ρ < 1,
trong đó H
A
là không gian năng lượng, ρ =

1 −
2τδ
∗
δ
B
2


1
2
là công bội của
cấp số nhân, δ = min
k
λ
k
(A), δ
∗
= min λ
k

B
0
− τ
A
2

, B
0
=
B+B
∗
2
là phần
đối xứng của toán tử B.
Chú ý 1.24. Điều kiện (1.21) đối với B cố định có thể xem như một quy
tắc lựa chọn các giá trị của τ để sơ đồ lặp hội tụ. Nếu B = I, điều kiện
sẽ được đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng phụ thuộc vào mối quan hệ
λ

k

1 −
1
2
τA

= 1 −
1
2
τλ
k
(A) > 0 hoặc 1 −
1
2
τ A > 0. Như vậy, phép lặp
sẽ hội tụ với mỗi τ thỏa mãn 0 < τ <
2
A
.
1.3.3 Sơ đồ lặp với tập tham số Chebyshev
Trong sơ đồ lặp hiện (1.16), nếu lựa chọn tập tham số τ
1
, τ
2
, , τ
n
bởi
tập tham số tối ưu Chebyshev thì có thể việc cực tiểu hóa được tổng số
phép lặp n = n(ε).

Giả sử A = A
∗
> 0, gọi γ
1
, γ
2
lần lượt là các giá trị riêng nhỏ nhất và
lớn nhất của A, γ
1
> 0.
15
Với
t
0
= −
γ
2
+ γ
1
γ
2
− γ
1
; t
k
= cos
2k −1
n
π, k = 1, 2, , n.
Kí hiệu

ξ =
γ
1
γ
2
, ρ
0
=
1 − ξ
1 + ξ
, ρ
1
=
1 −
√
ξ
1 +
√
ξ
, τ
0
=
2
γ
1
+ γ
2
,
Khi đó, tập tham số tối ưu {τ
k

} Chebyshev được tính bởi công thức
τ
k
=
τ
0
1 + ρ
0
t
k
, k = 1, 2, , n, (1.18)
sẽ làm cực tiểu đại lượng q
n
=
1
|T
n
(t
0
)|
(việc cực tiểu tổng số phép lặp
n = n(ε) được đưa về việc cực tiểu q
n
nhờ bài toán min-max), trong đó
T
n
(t) = cos(n ar cos t), |t| ≤ 1,
T
n
(t) =

1
2

t +

t
2
− 1

n
+

t −

t
2
− 1

n

, |t| > 1.
Trong trường hợp |t| > 1 thì q
n
=
2ρ
n
1
1+ρ
2n
1

≤ ε, số n = n(ε) được chọn thoả
mãn điều kiện q
n
=
2ρ
n
1
1+ρ
2n
1
≤ ε. Bất đẳng thức trên luôn đúng nếu ρ
n
1
≤
ε
2
,
hay
n ≥
ln(2ε)
ln
1
ρ
1
. (1.19)
Ta vẫn có bất đẳng thức (1.23) trong trường hợp
n
0
(ε) =
1

2

γ
2
γ
1
ln
2
ε
,
tức là n ≥ n
0
(ε).
1.4 Phương pháp sai phân giải phương trình ellip-
tic cấp hai
Xét bài toán
−∆u(x) = f (x), x ∈ Ω, (1.20)
Bu(x) = g(x), x ∈ ∂Ω, (1.21)
16
trong đó Ω là hình chữ nhật có độ dài 2 cạnh L
1
, L
2
. Bu = u hoặc Bu =
∂u
∂n
, n là véctơ pháp tuyến ngoài của biên ∂Ω , là điều kiện biên trên các cạnh
của Ω thỏa mãn ít nhất trên một cạnh nào đó phải có điều kiện Bu = u
để đảm bảo bài toán (1.24), (1.25) có nghiệm duy nhất.
Phương pháp số được áp dụng trong phần này để giải gần đúng bài

toán (1.24), (1.25) là phương pháp sai phân nhằm rời rạc hóa bài toán ở
mức vi phân về một bài toán sai phân một lưới điểm.
Phủ Ω bởi lưới Ω
kh
=

x
ij
= (ik, jh) |i = O, M;j = O, N;

.Với k =
L
1
M
, h =
L
2
N
, khi đó: Nếu (1.24), (1.25) là bài toán Dirichlet thì nó luôn
được đưa về hệ phương trình véctơ 3 điểm dạng

−Y
j−1
+ CY
i
− Y
j+1
= F
j
; 1 ≤ j ≤ N − 1

Y
0
= F
0
, Y
N
= F
N
đối với Y
j
, Y
j
là các véctơ nghiệm nằm trên đường thẳng song song với
trục Ox. Nếu (1.24), (1.25) là bài toán Neumann thì nó được đưa về hệ
phương trình véctơ 3 điểm dạng





CY
0
− 2Y
j
= F
0
−Y
j−1
+ CY
i

+ Y
j+1
= F
j
; 1 ≤ j ≤ N − 1,
−2Y
N−1
+ CY
N
= F
N
,
trong đó C là ma trận ba đường chéo trội, véctơ F
j
được xác định từ phương
pháp cực tiểu phiếm hàm tương ứng. Các hệ trên là các hệ phương trình
đại số tuyến tính, để giải chúng, trong phần này sẽ đề cập đến phương
pháp thu gọn khối lượng tính toán đã được Samarski-Nikolaev đề xuất
trong [16] với độ phức tạp tính toán là O(MN logN ).
1.4.1 Phương pháp thu gọn đối với bài toán biên thứ nhất
Xét hệ phương trình véctơ 3 điểm

−Y
j−1
+ CY
i
− Y
j+1
= F
j

; 1 ≤ j ≤ N − 1
Y
0
= F
0
, Y
N
= F
N
(1.22)
trong đó Y
j
là các véctơ nghiệm, F
j
là các véctơ vế phải, F
0
, F
N
là các
véctơ điều kiện biên.
17
Giả sử N = 2
n
, n > 0, kí hiệu C = C
(0)
, F
j
= F
(0)
j

, j = 1, 2, , N −1,
khi đó từ (1.22) ta có

−Y
j−1
+ C
(0)
Y
i
− Y
j+1
= F
j
; 1 ≤ j ≤ N − 1
Y
0
= F
0
, Y
N
= F
N
(1.23)
Thực hiện quá trình khử với bước nhảy j theo bội 2, khi đó 3 phương trình
liên tiếp trong (1.23) có dạng






−Y
j−2
+ C
(0)
Y
j−1
− Y
j
= F
(0)
j−1
,
−Y
j−1
+ C
(0)
Y
j
− Y
j+1
= F
(0)
j
; j = 2, 4, , N − 2,
−Y
j
+ C
(0)
Y
j+1

− Y
j+2
= F
(0)
j+1
,
(1.24)
Bằng cách nhân thêm mỗi phương trình trong (1.24) với C
(0)
, ta nhận
được

−Y
j−2
+ C
(0)
Y
j
− Y
j+2
= F
(1)
j
, j = 2, 4, , N − 2,
Y
0
= F
0
, Y
N

= F
N
,
(1.25)
trong đó
C
(1)
=

C
(0)

2
− 2E, F
(1)
j
= F
(0)
j−1
+ C
(0)
F
(0)
j
+ F
(0)
j+1
, j = 2, 4, , N − 2.
Hệ (1.29) có


N
2
− 1

phương trình đối với các chỉ số chẵn của Y
j
, nếu giải
được (1.25) thì các nghiệm Y
j
với chỉ số lẻ sẽ tìm được từ các phương trình
C
(0)
Y
j
= F
(0)
j
+ Y
j−1
+ Y
j+1
; j = 3, 5, , N − 1.
Tiếp tục làm như vậy qua m bước, ta thu được hệ đối với các Y
j
ứng với
các chỉ số chia hết cho 2m.






−Y
j−2
m
+ C
(m)
Y
j
− Y
j+2
m
= F
(m)
j
,
j = 2
m
, 2.2
m
, 3.2
m
, , N − 2
m
,
Y
0
= F
0
, Y
N

= F
N
,
(1.26)
và các phương trình
C
(k−1)
Y
j
= F
(k−1)
j
+ Y
j−2
k−1
+ Y
j+2
k−1
,
j = 2
k+1
, 3.2
k+1
, 5.2
k+1
, , N − 2
k+1
(1.27)
18
với k = m, m − 1, , 1 để giải được các ẩn còn lại, trong đó

C
(k)
=

C
(k−1)

2
− 2E; F
(k)
j
= F
(k−1)
j−2
k−1
+ C
(k−1)
F
(k−1)
j
+ F
(k−1)
j+2
k−1
(1.28)
j = 2
k
, 2.2
k
, 3.2

k
, , N − 2
k
; k = 1, 2, ,
từ (1.26)-(1.28) suy ra (n − 1) phép khử sẽ dẫn đến Y
2
n−1
= Y
N
2
, các ẩn
còn lại được xác định từ các phương trình





C
(k−1)
Y
j
= F
(k)
j
+ Y
j−2
k−1
+ Y
j+2
k−1

,
j = 2
k−1
, 3.2
k−1
, 5.3
k−1
, , N − 2
k−1
,
k = n, n − 1, , 1, Y
0
= F
0
, Y
N
= F
N
.
Việc tính các véctơ F
(k)
j
được thay thế bằng việc tính các véctơ p
(k)
j
liên
kết qua công thức
F
(k)
j

=
k−1

m=0
C
(m)
p
(k)
j
,
k−1

m=0
C
(m)
= E, p
(0)
j
= F
(0)
j
.
Từ phương trình trên, qua biến đổi ta nhận được
2
k−1

m=0
C
(m)
p

(k)
j
= 2
k−1

m=0
C
(m)

p
(k−1)
j−2
k−1
+ C
(k−1)
p
(k+1)
j
+ p
(k−1)
j+2
k−1

,
hay
2C
(k−1)
p
(k−1)
j

= p
(k−1)
j−2
k−1
+ C
(k−1)
p
(k+1)
j
+ p
(k−1)
j+2
k−1
.
Kí hiệu S
(k−1)
j
= 2p
(k)
j
− p
(k−1)
j
, khi đó p
(k−1)
j
có thể tìm được từ các công
thức
C
(k−1)

S
(k−1)
j
= p
(k−1)
j−2
k−1
+ p
(k−1)
j+2
k−1
, p
(k)
j
= 0.5

p
(k−1)
j
+ S
(k−1)
j

(1.29)
j = 2
k
, 2.2
k
, 3.2
k

, , N − 2
k−1
, k = 1, 2, , n − 1, p
(0)
j
= F
j
.
Qua biến đổi, ta thu được
S
(k−1)
j
=
k−1

m=0
α
m,k
C
−1
m.k−1

p
(k−1)
j−2
k−1
+ p
(k−1)
j+2
k−1


,
p
(k)
j
= 0.5

p
(k−1)
j
+ S
(k−1)
j

,
p
(0)
j
= F
j
, j = 2
k
, 2.2
k
, 3.2
k
, , N − 2
k−1
, k = 1, 2, , n − 1,
p

(0)
j
= F
j
, (1.30)
19
và
Y
j
=
2
k−1

m=1
C
m,k−1
− 1

p
(k−1)
j
+ α
m,k−1

Y
j−2
k−1
+ Y
j+2
k−1



(1.31)
j = 2
k−1
, 2.2
k
, 3.2
k
, , N − 2
k−1
, k = n, n − 1, , 1,
trong đó
C
m,k−1
= C −2 cos
(2m − 1)
2
k
πE,
α
m,k−1
=
(−1)
m+1
2
k−1
sin
(2m − 1)π
2

k
(1.32)
Từ các công thức (1.29)-(1.32), ta biểu diễn thuật toán thu gọn khối lượng
tính toán giải bài toán biên thứ nhất qua hai quá trình sau, gọi là Thuật
toán thứ nhất.
Quá trình xuôi: Xác định các véctơ liên kết.
Bước 1. Cho trước p
(0)
j
= F
j
, j = 1, 2, , N − 1.
Bước 2. Cho trước k = 1, 2, , N − 1, j = 2
k
, 2.2
k
, , N − 2
k
,
Xác định các véctơ ϕ = p
(k−1)
j−2
k−1
+ q
(k−1)
j+2
k−1
và với m = 1, 2, , 2
k−1
Giải các phương trình C

m,k−1
υ
m
= α
m,k−1
, từ đó xác định
p
(0)
j
= 0.5

p
(k−1)
j
+ υ
1
+ υ
2
+ + υ
2
k−1

.
Quá trình ngược: Xác định các véctơ nghiệm
Bước 1. Xác định giá trị ban đầu Y
0
= F
0
, Y
N

= F
N
Bước 2. Với mỗi k = n, (n − 1), , 1, j = 2
k−1
, 3.2
k−1
, 5.2
k−1
, , N −
2
k−1
, xác định các véctơ ϕ = Y
j−2
k−1
+ Y
j+2
k−1
, ϕ = p
(k−1)
j
và với m =
1, 2, , 2
k−1
, giải các phương trình C
m,k−1
υ
m
= ψ + α
m,k−1
ϕ. Khi đó Y

j
=
υ
1
+ υ
2
+ + υ
2
k−1
.
1.4.2 Phương trình thu gọn đối với bài toán biên thứ hai
Xét phương trình véctơ ba điểm





CY
0
− 2Y
1
= F
0
,
−Y
j−1
+ CY
j
− Y
j−1

= F
j
, 1 ≤ j ≤ N − 1,
−2Y
N−1
+ CY
N
= F
N
,
(1.33)
20
trong đó Y
j
là các véctơ nghiệm, F
j
là các véctơ vế phải, F
0
, F
N
là các
véctơ điều kiện biên.
Giả sử N = 2
n
, n > 0, kí hiệu C
(0)
= C, F
(0)
j
= F

j
, j = 1, 2, , N −1 bằng
phương pháp khử liên tiếp làm tương tự như trong mục 1.4.1, sau (n −1)
phép khử sẽ dẫn đến các phương trình
C
(n)
Y
0
= 2Y
N
= F
(n)
0
, 2Y
0
+ C
(n)
Y
N
= F
(n)
N
,
C
(k−1)
Y
j
= F
(k−1)
j

+ Y
j−2
k−1
+ Y
j+2
k−1
,
j = 2
k−1
, 3.2
k−1
, 5.2
k−1
, , N − 2
k−1
, k = m, n − 1, , 1,
trong đó
F
(k)
0
= C
(k−1)
F
(k−1)
0
+ 2F
(k−1)
2
(k−1)
,

F
(k)
1
= F
(k−1)
j−2
(k−1)
+ C
(k−1)
Y
j
+ 2F
(k−1)
j+2
(k−1)
, j = 2
k
, 2.2
k
, 3.2
k
, , N − 2
k
,
F
(k)
N
= 2F
(k−1)
N−2

(k−1)
+ C
(k−1)
+ F
(k−1)
N
.C
(k)
=

C
(k−1)

2
− 2E.
Việc tính các véctơ F
(k)
j
được thay bằng việc tính các véctơ p
(k)
j
, q
(k)
j
liên
kết thông qua công thức
F
(k)
j
= C

(k)
p
(k)
j
+ q
(k)
j
, j = 2
k
, 2.2
k
, 3.2
k
, , N − 2
k
,
k = 0, 1, , n, trong đó p
(k)
j
, q
(k)
j
được tính từ các công thức
C
(k−1)
S
(k−1)
j
= q
(k−1)

j
+ p
(k−1)
j−2
(k−1)
+ p
(k−1)
j+2
(k−1)
,
p
(k)
j
= p
(k−1)
j
+ S
(k−1)
j
, q
(k)
j
= 2p
(k)
j
+ p
(k−1)
j−2
(k−1)
+ p

(k−1)
j+2
(k−1)
, (1.34)
j = 2
k
, 2.2
k
, 3.2
k
, , N − 2
k
, k = 1, 2, , n − 1, q
(0)
j
= F
j
, p
(0)
j
= 0.
Khi j = 0, N, các véctơ liên kết được xác định từ phương trình đệ quy
C
(k−1)
S
(k−1)
0
= q
(k−1)
0

+ 2p
(k−1)
2
(k−1)
p
(k)
0
= p
(k−1)
0
+ S
(k−1)
0
, q
(k)
0
= 2p
(k)
0
+ 2q
2
k−1
, k = 1, 2, , n, (1.35)
q
(0)
0
= F
0
, p
(0)

0
= 0,
C
(k−1)
S
(k−1)
0
= q
(k−1)
N
+ 2p
(k−1)
N−2
(k−1)
,
p
(k)
N
= p
(k−1)
N
+ S
(k−1)
N
, q
(k)
N
= 2p
(k)
N

+ 2q
N−2
k−1
, k = 1, 2, , n,
21
q
(0)
N
= F
N
, p
(0)
N
= 0.
Các véctơ nghiệm Y
j
, j = 1, 2, , N −1 được xác định từ các phương trình
C
(k−1)
t
(k−1)
j
= q
(k−1)
j
+ Y
j
− 2
k−1
+ Y

j
+ 2
k−1
Y
j
= p
(k−1)
j
+ t
(k−1)
j
, (1.36)
j = 2
(k−1)
, 3.2
(k−1)
, 5.2
(k−1)
, , N − 2
(k−)
, k = n, n − 1, , 1,
Y
0
, Y
N
được xác định từ các phương trình
B
(n)
t
(n)

= q
(n)
N
+ 2p
(n)
0
, (1.37)
Y
N
= p
(n)
N
+ t
(n)
, Y
0
= p
(n)
0
+ t
(n)
, B
(n)
= C
(n)
− 2E.
Trong các phương trình trên, các ma trận được xác định như sau
C
m,k−1
= C −2 cos

(2m − 1)π
2
k
E, C
(k−1)
=
2
k−1

m=1
C
m,k−1
,
C
m,k−1
= C −2 cos
mπ
2
k−1
E, B
(n)
=
n

m=1
C
m,k−1
.
Từ các công thức (1.34)-(1.37) ta biểu diễn thuật toán thứ hai thu gọn
khối lượng tính toán giải bài toán biên thứ hai qua hai quá trình sau.

Quá trình xuôi: Xác định các véctơ liên kết
Bước 1. Cho trước q
(0)
j
= F
j
, p
(0)
j
= 0, j = 0, 2, , N.
Bước 2. Với mỗi k = 1, 2, , n − 1, j = 2, 2.2
k
, , N − 2
k
, xác định
véctơ
υ
(0)
j
= q
(k−1)
j
+ p
(k−1)
j−2
(k−1)
+ p
(k−1)
j+2
(k−1)

,
và với mỗi m = 1, 2, , 2
k−1
, giải phương trình C
m,k−1
υ
(m)
j
= υ
(m−1)
j
từ
đó xác định
p
(k)
j
= p
(k−1)
j
+ υ
2
k−1
j
, q
(k)
j
= 2p
(k)
j
+ q

(k−1)
j−2
(k−1)
+ q
(k−1)
j+2
(k−1)
.
Bước 3. Xác định p
(k)
0
, p
(k)
N
. Với k = 1, 2, , n −1, xác định các véctơ
υ
(0)
0
= q
(k−1)
0
+ 2p
(k−1)
2
(k−1)
, υ
(k)
N
= 2p
(0)

j
+ q
(k−1)
N
+ 2p
(k−1)
N−2
(k−1)
,
sau đó với mỗi m = 1, 2 , 2
k−1
, giải các hệ phương trình
C
m,k−1
υ
(m)
0
= υ
(m−1)
N
, C
m,k−1
υ
(m)
N
= υ
(m−1)
N
,
22

từ đó, xác định được
p
(k)
0
= p
(k−1)
0
+ υ
(k−1)
0
, q
(k)
0
= 2p
(k)
0
+ q
(k−1)
2
(k−1)
,
p
(k)
N
= p
(k−1)
N
+ υ
(k−1)
N

, q
(k)
N
= 2p
(k)
N
+ q
(k−1)
N−2
(k−1)
.
Quá trình ngược: Xác định các véctơ nghiệm
Bước 1. Xác định Y
0
, Y
N
.
Xác định véctơ υ
(0)
N
= q
(n)
N
+ 2p
(n)
0
, sau đó, với mỗi ∗ ∗ ∗ = 1, 2, , n
giải hệ
C
m,N,υ

(m)
N
= υ
(m−1)
N
từ đó p
N
= p
(n)
N
+ υ
(n)
N
= p
(n)
0
+ υ
(n)
N
Bước 2. Xác định Y
j
, j = 1, 2, , N − 1
Với mỗi k = n, n − 1, , 1, j = 2
k−1
, 3.2
k−1
, 5.2
k−1
, , N − 2
k−1

, xác
định các véctơ
t
(0)
j
= q
(k−1)
j
+ Y
j−2
k−1
+ Y
j+2
k−1
và với mỗi m = 1, 2, , 2
k−1
, giải phương trình C
m,k−1
t
(0)
j
= t
(m−1)
j
, khi đó
Y
j
= p
(k−1)
j

+ t
(k−1)
j
.
Nhận xét. - Do tính chất của các ma trận C
m,k−1
, C
m,k−1
nên việc giải
các hệ phương trình đại số tuyến tính trong hai thuật toán nói trên đều
được thực hiện bằng thuật toán đệ quy và đưa về giải các hệ phương trình
bằng phương pháp truy đuổi ba đường chéo. Khối lượng tính toán trong
mỗi thuật toán đã được Samarski - Nikolaev chứng minh trong [16] là
O(MNlogN).
- Ở thuật toán thứ hai, khi đã biết Y
0
hoặc Y
N
thì không cần phải xác
định p
(k)
0
, q
(k)
0
hoặc p
(k)
N
, q
(k)

N
.
Nội dung chương 1 đã trình bày một số kiến thức cơ bản về một số kiến
thức cơ bản về một số lớp hàm của không gian Sobolev, tổng quan ngắn
về bài toán biên đối với phương trình đạo riêng cấp hai và cấp bốn, định
tính của bài toán biên đối với phương trình elliptic cấp hai, phương pháp
lặp 2 lớp của Samarski-Nikolaev, sự hội tụ của các sơ đồ lặp, tập tham số
tối ưu Chebyshev, áp dụng thuật toán thu gọn khối lượng tính toán của
Samarski-Nikolaev giải số bài toán biên của phương trình elliptic cấp 2
trên miền hình chữ nhật. Đó là những kiến thức, kết quả quan trọng làm
cơ sở cho việc nghiên cứu các kết quả được trình bày trong chương 2 và
chương 3 của luận văn.
23