Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8



ĐỀ TÀI 8:
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG:
XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG CHO
NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH


DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 1
1) Dương Sơn Vĩnh
2) Trần Gia Minh
3) Nguyễn Thị Thu Hồng
4) Phan Thị Mộng Quỳnh

Trang 1

Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Giả sử
[,]ab

là khoảng cách ly nghiệm của phương trình
() 0fx=
( )
∗
.
Tìm nghiệm của phương trình
( )
∗

trong
[,]ab
bằng cách dùng định lý điểm bất động
và biểu diễn nghiệm dưới dạng thập phân gần đúng, dạng chuẩn tắc với sai số
.10 ( {0,1, ,9})
k
pp
−
∈
.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Phân tích ý tưởng của phương pháp dùng định lý điểm bất động
Đầu tiên, ta đưa phương trình
( )
∗
về phương trình tương đương:

(
)
xx
ϕ
=
(1)
Tiếp theo, ta chọn
∈
0
x
[a,b] làm nghiệm gần đúng ban đầu của (1)
Thay
0

xx =
vào vế phải của (1), ta nhận được nghiệm gần đúng thứ nhất:

( )
01
xx
ϕ
=
(2)
Thay
10
xx =
vào vế phải của (2), ta nhận được nghiệm gần đúng thứ hai:

( )
12
xx
ϕ
=

Lặp lại nhiều lần quá trình trên, ta nhận được các nghiệm gần đúng:
( )
23
xx
ϕ
=

( )
34
xx

ϕ
=

………
(
)
1−
=
nn
x
x
ϕ
(3)
………….
Nếu dãy các nghiệm gần đúng
{ }
3,2,1 , =nx
n
được xây dựng như trên hội tụ, nghĩa là:
*
lim xx
n
n
=
+∞→
(4)
Khi đó, từ (3) và (4), với giả thiết hàm số
( )
x
ϕ

liên tục trên [a,b], ta suy ra:
=
+∞→
n
n
xlim
( )
=
−
+∞→
1
lim
n
n
x
ϕ

( )
1
lim
−
+∞→
n
n
x
ϕ

hay
( )
∗

= xx
ϕ
*
.
Trang 2

Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8
Điều này chứng tỏ rằng
*
x
là nghiệm đúng của phương trình (1) và do đó cũng là nghiệm
đúng của phương trình
( )
∗
. Và với
n
khá lớn, chúng ta có thể xem
n
x
là xấp xỉ của nghiệm
*
x
.
2. Cơ sở toán học
2.1 Các định lý cơ sở
 Định lý 1 ( Nguyên lý ánh xạ co )
Cho hàm số
[
]
[ ]

bab
a ,,
: →
ϕ

Giả sử có
[
)
1 ,0∈q
sao cho
( ) ( )
[ ]
bayxyxqyx ,,, ∈∀−≤−
ϕϕ
. (**)
Khi đó:
i) Tồn tại duy nhất
∗
.
x
[ ]
( )
∗∗
=∈ xxba
ϕ
:,
(
∗
.
x

được gọi là điểm bất động của
ϕ
)
ii) Dãy
{ }
Nn
n
x
∈
định bởi :
( )

2 1, ,0,
1
0



==
=
+
nxx
cx
nn
ϕ
với
[ ]
bac ,∈

là dãy hội tụ về

∗.
x
.
Hơn nữa, ta có các ước lượng:
*
10
1
n
n
q
xx xx
q
−≤ −
−

hoặc
*
1
1
n nn
q
xx xx
q
−
−≤ −
−

Chứng minh
a. Chứng minh tính duy nhất của điểm bất động
∗.

x

Giả sử
∗.
x
,
∗.
y
là hai điểm bất động của
ϕ
.
Khi đó, ta có:
=−
∗∗
yx
.
( )
( )
≤−
∗∗
yx
ϕϕ
.
∗
∗
− yx
q
.
⇒
( )

0
1
.
≤−−
∗∗
y
xq

Do
1<q
nên từ bất đẳng thức trên, ta suy ra:
⇒=−
∗∗
0
.
yx

=
∗.
x
∗.
y
.

Trang 3

Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8
b. Chứng minh tính tồn tại của điểm bất động
∗.
x


Ta có,
nN∀∈
:
( ) ( )
1 1 1 10

n
n n n n nn
x x x x qx x q x x
ϕϕ
+ −−
− = − ≤ − ≤≤ −
(1)
Khi đó,
,
np N∀∈
:
112 1

np n np np np np n n
xxxx x x xx
+ + +− +− +− +
− ≤ − + − ++ −

1 12 1

np np np np n n
x x x x xx
+ +− +− +− +

≤ − + − ++ −

12
10 10 10

np np n
q xx q xx qxx
+− +−
≤ −+ −++ −

( )
12
10
= 1
n pp
qx x q q
−−
− + ++

10
1
=
1
p
n
q
qx x
q
−
−

−

Như vậy,
np n
xx
+
−≤
10
1

1
p
n
q
qx x
q
−
−
−
(2)
Do
1q <
nên (1) chứng tỏ
()
n nN
x
∈
là dãy Cauchy nên
()
n nN

x
∈
hội tụ.
Đặt
.
lim
n
xx
∗
=
. Khi đó
∗.
x
là điểm bất động của
ϕ
.
Thật vậy, ta có:

.
( ) (lim ) lim ( )
nn
xxx
ϕϕ ϕ
∗
= =
(do
ϕ
liên tục)

1

.
lim
n
xx
+
∗
= =

c. Chứng minh các ước lượng
- Từ công thức (2) ở trên, cho
p → +∞

ta được:
*
10
1
n
n
q
xx xx
q
−≤ −
−
.
- Mặt khác, ta có:
,
np N∀∈
,

112 1


np n np np np np n n
xxxx x x xx
+ + +− +− +− +
− ≤ − + − ++ −

1 12 1

np np np np n n
x x x x xx
+ +− +− +− +
≤ − + − ++ −

1
11 1
1

1
1
pp
nn nn nn
p
nn
qxx qxx qxx
q
q xx
q
−
−− −
−

≤ −+ −++−
−
≤−
−

Cho
p → +∞

ta được
*
1
1
n nn
q
xx xx
q
−
−≤ −
−

Như vậy, định lý đã hoàn toàn được chứng minh.
Trang 4

Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8
Nhận xét
Có nhiều cách để đưa phương trình
( )
0=xf
về dạng
( )

x
x
ϕ
=
, tức là có nhiều cách chọn
hàm
( )
x
ϕ
. Nhưng ta cần chọn hàm số
(
)
x
ϕ
thỏa mãn điều kiện (**) trong định lí 1 để dãy
xấp xỉ liên tiếp
{ }
Nn
n
x
∈
hội tụ, và từ đó ta mới có thể tìm được nghiệm gần đúng
n
x
bằng
các ước lượng như trong định lí 1. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán, dùng điều kiện (**) để
kiểm tra hàm
( )
x
ϕ

sẽ gặp nhiều khó khăn trong quá trình tính toán. Do vậy, từ tính chất của
ánh xạ co, ta sẽ đưa ra một “công cụ” khác để kiểm tra điều kiện của hàm
( )
x
ϕ
một cách dễ
dàng hơn. Đó chính là mệnh đề sau đây.
 Mệnh đề
Cho
:[,] [,]ab ab
ϕ
→

là hàm liên tục trên

[,]ab
và khả vi trong
( )
,ab

Khi đó
ϕ

là hàm co trên
[,]ab
khi và chỉ khi tồn tại
01q≤<

sao cho
'() , (,)x q x ab

ϕ
≤ ∀∈
.

Chứng minh
- CM chiều thuận:
ϕ
là hàm co trên [a,b]
⇒
Tồn tại
01q≤<
sao cho:
'() , (,)x q x ab
ϕ
≤ ∀∈

Lấy
0
(,)x ab∈
, do
ϕ

là hàm co trên [a,b] nên tồn tại
01q≤<

sao cho:
{ }
0
00 0
0

0
0
0
0
() ( ) , [,]\
() ( )
() ( )
lim
'( )
xx
x x qx x x ab x
xx
q
xx
xx
q
xx
xq
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
→
− ≤ − ∀∈
−
⇒≤
−
−
⇒≤
−

⇒≤

- CM chiều nghịch:
Giả sử tồn tại
01q≤<
sao cho:
'() , (,)x q x ab
ϕ
≤ ∀∈
(1)
Ta cần CM:
ϕ
là hàm co trên [a,b].
Ta có:
ϕ
liên tục trên [a,b] và khả vi trong (a,b). Khi đó, theo định lý Lagrange ta có:

, [,], (,): () () '() '().xy ab c ab x y cxy cxy qxy
ϕϕ ϕ ϕ
∀ ∈ ∃∈ − ≤ −≤ −≤ −
(do (1)).

Vậy
ϕ
là hàm co trên [a,b].

Trang 5

Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8
Ví dụ

Xét phương trình bậc 3:
3
( ) 1000 0fx x x
= +− =
.
Ta có:
(9) 0 (10)ff<<
. Do đó
()fx
có nghiệm
* [9,10]x ∈
.
Ta có thể đưa phương trình đã cho về các dạng
( )
xx
ϕ
=

như sau:
3
1
2
2
3
3
i) ( ) 1000 .
1000 1
ii) ( ) .
iii) ( ) 1000 .
xx x

xx
xx
xx x
ϕ
ϕ
ϕ
= = −
= = −
= = −

Ta lần lượt xét sự hội tụ của nghiệm trong từng trường hợp:
( )
22
11
[9,10]
22
32
[9,10]
2
3
33
3
[9,10]
i) ' ( ) 3 ; suy ra max ' ( ) 3.10 300 1
2000 1 200 1
ii) ' ( ) ; suy ra max ' ( ) 2,71 1
729 81
11
iii) ' ( ) 1000 ; suy ra max ' ( ) 0,031 1.
3

3 991
x
x
x
xx x
xx
xx
xx x
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
∈
∈
−
∈
= − = − = >>
−−
= + = +≈ >
−

= − = ≈<



Như vậy, cách đưa về hàm
( )
x
ϕ
trong hai trường hợp i) và ii) cho ta phép lặp phân kỳ, còn
trường hợp iii) thì cho ta phép lặp hội tụ nhanh.

Chú ý
Với
0
λ
≠
, ta có:

() 0 ()fx x x fx
λ
=⇔=+


()xx
ϕ
⇔=
với
() ()x x fx
ϕλ
= +
(*)

Giả sử [a,b] là khoảng cách li nghiệm (*)và
'( ) 0fx>
trên [a,b] .
Đặt
'(), '()
axb axb
M Max f x m Min f x
≤≤ ≤≤
= =


Đặt
1
, = 1
m
q
MM
λ
−
= −

Xét hàm
()x
ϕ
dạng (*) .
Ta có:
'( )
'( ) 1
fx
x
M
ϕ
= −

Vì
'( )
0 '( ) nê '( ) 1 1- 1
fx m
m fx M n x q
MM

ϕ
<≤ ≤ =− ≤ =<
,
[ ]
,x ab∀∈
.
Trang 6

Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8
Như vậy,
()x
ϕ
được xây dựng như trên thỏa mãn điều kiện thứ nhất của định lý cơ sở.

Và ta cũng có thể chứng minh được rằng với cách chọn
2
mM
λ
= −
+
thì
()x
ϕ
tạo ra dãy lặp
hội tụ nhanh nhất với số
Mm
q
Mm
−
=

+
, trong đó
| '( ) |, | '( )|
axb axb
M Max f x m Min f x
≤≤ ≤≤
= =

 Định lý 2
Giả sử
ϕ
sao cho là hàm liên tục trên
[,]ab
và khả vi trong
( )
,ab
thỏa mãn:
i)
(,), '() 1x ab x q
ϕ
∀∈ ≤ <

ii)
[,], () [,]x ab x ab
ϕ
∀∈ ∈

Khi đó:
- Tồn tại duy nhất
∗.

x
[ ]
( )
∗∗
=∈ xxba
ϕ
:,
.
- Dãy
{ }
Nn
n
x
∈
định bởi :
( )

2 1, ,0,
1
0



==
=
+
nxx
cx
nn
ϕ

với
[ ]
bac ,∈

là dãy hội tụ về
∗.
x
.
Hơn nữa, ta có các ước lượng:
*
10
1
n
n
q
xx xx
q
−≤ −
−

hoặc
*
1
1
n nn
q
xx xx
q
−
−≤ −

−


Từ định lý 1 và mệnh đề ở trên, ta suy ra được định lý 2.
2.2 Hai cách đánh giá sai số của nghiệm gần đúng
- Cách 1: sử dụng công thức
*
10
1
n
n
q
xx xx
q
−≤ −
−
làm ước lượng tiên nghiệm, nghĩa
là cho trước

ε
, sau khi biết được
1
x
(sau lần lặp thứ nhất), ta có thể xác định được số bước
lặp n sao cho sai số ở bước thứ n không vượt quá
ε
, khi đó ta sẽ nhận được nghiệm gần
đúng
n
x

đạt độ chính xác
ε
.
Thật vậy:
Trang 7

Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8
Muốn
*
n
xx
ε
−≤
, ta chỉ cần
10
1
n
q
xx
q
ε
−≤
−

hay
10
(1 )
ln
1
ln

q
xx
n
q
ε
−


−

≥+



.

Ta có thể chọn
10
(1 )
ln
1
ln
q
xx
n
q
ε
−



−

= +



.
- Cách 2: sử dụng công thức
*
1
1
n nn
q
xx xx
q
−
−≤ −
−
tiện lợi trong quá trình tính toán
vì nó cho ta ước lượng hậu nghiệm. Nếu sai số giữa hai xấp xỉ liên tiếp
1
1
nn
q
xx
q
ε
−
−
−≤

thì
*
n
xx
ε
−≤
.
2.3 Vấn đề tìm nghiệm gần đúng của phương trình và biểu diễn nghiệm dưới dạng
thập phân gần đúng, dạng chuẩn tắc với sai số
.10 ( {0,1, ,9})
k
pp
−
∈

Có hai vấn đề cần giải quyết:
Vấn đề 1
- Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
( )
=xx
ϕ
với sai số đặt ra bằng cách sử dụng định
lý điểm bất động.
Vấn đề 2
- Biểu diễn nghiệm gần đúng vừa tìm được dưới dạng thập phân gần đúng dạng chuẩn tắc
với sai số
.10 ( {0,1, ,9})
k
pp
−

∈

Giải quyết vấn đề 1
Giả sử
x
∗
là nghiệm đúng của phương trình
( )
=xx
ϕ
.
Sau khi xây dựng hàm
ϕ
thỏa mãn các điều kiện của định lý để dãy lặp hội tụ (bao gồm cả
xác định hệ số co
q
), để tìm gần đúng của phương trình
( )
=xx
ϕ
với sai số đặt ra, ta sẽ sử
dụng công thức:
*
1
1
n nn
q
xx xx
q
−

−≤ −
−

Đầu tiên, đặt
10
()xx= ϕ
thì sai số định bởi:
*
1 10
1
−≤ −
−
q
xx xx
q

Trang 8

Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8
Trong thực hành, nhiều khi ta không thể tính chính xác được giá trị
( )
10
xx= ϕ
nên ta gọi
1
x

là giá trị làm tròn của
10
()xx

= ϕ
đến
t
chữ số sau dấu phẩy
( )
≥tk
.
Và ta cần đánh giá
1
∗
−xx
thỏa mãn:
1
∗
−≤xx
ε
với
ε
là sai số do phương pháp đặt ra.
Nếu
1
x
thỏa mãn điều kiện trên thì
1
x
chính là nghiệm gần đúng của phương trình.
Còn nếu
1
x
không thỏa mãn điều kiện trên thì ta làm lại thuật toán từ đầu với

01
xx=
. Và ta
thực hiện lại quá trình trên cho tới khi tìm được
1
x
thỏa mãn điều kiện thì dừng thuật toán.
Bây giờ ta cần xác định
1
∗
−≤xx
ε

Ta xét
•
x
∗
là nghiệm đúng của phương trình.
•
1
x
là giá trị làm tròn của
10
()xx= ϕ
đến
t
chữ số sau dấu phẩy
( )
≥
tk


•
x
là giá trị làm tròn của
1
x
đến
k
chữ số sau dấu phẩy.
Khi đó, nghiệm ghi ở dạng thập phân gần đúng, dạng chuẩn tắc với sai số
.10 ( {0,1, ,9})
k
pp
−
∈
cần tìm là:
.10
k
x xp
∗−
= ±

- Trước hết, để
( )
1
x
ϕ

xác định, ta cần có
[ ]

1
,∈x ab
. Để có được điều đó, ta chỉ cần lấy
,ab
có tối đa
k
chữ số sau dấu phẩy.
- Tiếp theo, ta đánh giá sai số:
xx
∗
−

Ta có:
11 1
1
.10
2
∗ ∗− ∗
− ≤−+− ≤ +−
k
xx xx x x x x

Để
.10
k
xx p
∗−
−≤
với
{0,1, ,9}p∈

, ta chỉ cần:
1
8,5.10
∗−
−≤
k
xx
(nghĩa là sai số do
phương pháp không vượt quá
8,5.10
k−
)
Để dễ dàng hơn trong quá trình tính toán, ta chọn:
8.10
k−
ε=

Khi đó, ta cần:
1
8.10
∗−
− ≤=
k
xx
ε
.
- Tiếp theo, ta đánh giá sai số:
1
∗
−xx


Ta có:
Trang 9

Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8
1 11 1
∗∗
− ≤−+−xx xx xx
10
1
.10
21
−
≤+ −
−
t
q
xx
q


( )
11 1 0
1
.10
21
−
≤ + −+ −
−
t

q
xx x x
q

10
11
.10 . .10
2121
−−
≤+ + −
−−
tt
qq
xx
qq
( )
10
1
.10
21 1
−
≤ +−
−−
t
q
xx
qq

Suy ra:
( )

1 10
1
.10
21 1
∗−
−≤ + −
−−
t
q
xx xx
qq

Khi đó, để :
1
8.10
∗−
− ≤=
k
xx
ε
, ta chỉ cần cho
(
)
10
1
.10
21 1
−
+ −≤
−−

t
q
xx
qq
ε

Ta có thể cho:
( )
10
1
.10
21 2
12
−

≤

−



−≤

−

t
q
q
xx
q

ε
ε
( )
( )
10
log 1
1
2

≥− −



⇔

−
−≤


tq
q
xx
q
ε
ε

Kết luận vấn đề 1
- Để tìm được
1
x

thỏa mãn điều kiện đặt ra là:
1
8.10
∗−
− ≤=
k
xx
ε
, ta cần làm tròn các số
hạng của dãy đến
t
chữ số sau dấu phẩy với
t
là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa:
1
log
(1 )
≥
−
t
q
ε

- Sau đó ta tính
( )
1
2
−
∆=
q

q
ε
ε
và
10
∆= −xx

- Nếu
∆≤∆
ε
thì thì
1
x
chính là nghiệm gần đúng của phương trình.
- Còn nếu
1
x
không thỏa mãn điều kiện trên thì ta làm lại thuật toán từ đầu với
01
xx=
. Và
ta thực hiện lại quá trình trên cho tới khi tìm được
1
x
thỏa mãn điều kiện thì dừng thuật
toán.


Trang 10


Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8
Giải quyết vấn đề 2
Sau khi tìm được
1
x
là nghiệm và lấy
x
là giá trị làm tròn của
1
x
đến
k
chữ số sau dấu
phẩy, ta cần tìm
{ }
0,1, ,9p∈
:
.10
k
xx p
∗−
−≤

Ta đã có:
1
1
.10
2
∗− ∗
− ≤ +−

k
xx x x
( )
11
.10 .10
2 21 1
−−
≤ + +∆
−−
kt
q
qq
, với
10
∆= −xx

Để
.10
k
xx p
∗−
−≤
, ta chỉ cần:
( )
11
.10 .10 .10
2 21 1
−− −
+ + ∆≤
−−

kt k
q
p
qq

( )
10 .10 1
21 1 2
−+
⇔ ≥ + ∆+
−−
tk k
q
p
qq

Ta chọn
p
nhỏ nhất thỏa yêu cầu trên.
Như vậy, ta tìm được nghiệm của phương trình ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng, dạng
chuẩn tắc là:
.10
k
x xp
∗−
= ±
.
3. Thuật toán và ví dụ
3.1. Thuật toán
Tên thuật toán: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình bằng phương pháp điểm bất động.

Input:
( ), , , , 8.10
k
f x abk
ε
−
=

{
,ab
có tối đa k chữ số sau dấu phẩy}
Output:
x
∗
{Ghi dưới dạng biểu diễn thập phân gần đúng, dạng chuẩn tắc}.
Giải thuật:
Bước 1
- Xây dựng hàm
ϕ
thỏa mãn các điều kiện của định lý để dãy lặp hội tụ (bao gồm cả xác
định hệ số co
q
)
Bước 2

- Tính
1
2
q
q

ε
ε
−
∆=

- Tìm
t
là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa :
1
log
(1 )
≥
−
t
q
ε

Trang 11

Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8
- Chọn
[ ]
0
,x ab∈

Bước 3:

- Gán
0
: ()xx

ϕ
=
(với
0
()x
ϕ
là làm tròn của
0
()x
ϕ

đến
t
chữ số sau dấu phẩy).
- Gán
0
: xx∆= −

Bước 4
- Nếu
∆≤∆
ε

thì:
 Đặt
x
là giá trị làm tròn của
x
đến
k

chữ số sau dấu phẩy.
 Tìm
pN∈
nhỏ nhất thỏa mãn:

11
10 .10
2(1 ) 1 2
tk k
q
p
qq
−+
≥ + ∆+
−−

 Xuất nghiệm
*
.10
k
x xp
−
= ±
và kết thúc.
- Gán
0
:xx=

và quay lại bước 3.
Bảng thuật toán

Bước lặp thứ n
n
x

n
∆

0
[ ]
0
,x ab∈


1
10
()xx
ϕ
=

10
xx−

2
21
()xx
ϕ
=

21
xx−


…
…
…
i

1
()
ii
xx
ϕ
−
=

1ii
xx
−
−

…
…
…
n

1
()
nn
xx
ϕ
−

=

1nn
xx
−
−


3.2. Ví dụ
Ví dụ 1
Cho phương trình:
log 2xx+=
( )
∗
có nghiệm trên
[ ]
1, 2
.
Tìm nghiệm của
( )
∗
và ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng, dạng chuẩn tắc với
sai số
3
.10p
−
.
Trang 12

Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8




Giải
Ta có:
( )
∗
2 logxx⇔=−

Suy ra
( ) 2 logxx
ϕ
= −

1 11
'( ) '( ) 1, [1, 2]
.ln10 .ln10 ln10
1
ln10
xx x
xx
q
ϕϕ
⇒ =− ⇒ =− ≤ < ∀∈
⇒=

Mặt khác:
[ ]
1 2 0 log log2 1 2 log 2 2 log 2
( ) 1, 2

xx x
x
ϕ
≤≤⇒≤ ≤ ⇒≤− ≤− ≤
⇒∈

Vậy
()x
ϕ
thỏa điều kiện áp dụng định lý điểm bất động.

Chọn
[
]
0
1, 5 1, 2x
= ∈


Xét
3
10
.8
−
=
ε
. Khi đó, ta có:
( )
3
1

1 .8.10
1
ln10
0,00521
1
2
2.
ln10
q
q
ε
ε
−

−

−

∆= = =


Ta tìm
t
là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa:
3
11
log log 2,3443
1
(1 )
8.10 (1 )

ln10
−
≥= ≈
−
−
t
q
ε

3⇒=t

Như vậy, ta sẽ làm tròn các
( )
10
=
xx
ϕ
đến chữ số thứ 3 sau dấu phẩy.
Ta tính các
1
x

tới lúc
10
0,00521xx
ε
∆= − ≤∆ =
thì dừng thuật toán.
Trang 13


Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8

Ta lập bảng sau: Bảng chi tiết thể hiện việc chọn lại x
0
ban đầu:
n
n
x

n
∆

0
1,5

1
1,824
0,324
2
1,739
0,085
3
1,760
0,021
4
1,754
0,006
5
1,756
0,002 <

ε
∆








Vậy ta đã tìm được nghiệm gần đúng của
( )
∗
là 1,756.
Bây giờ, ta tìm
pN∈
nhỏ nhất thỏa mãn:


33 3
1
1 11 1
ln10
10 .10 10 .0,002.10 2,9
11
2(1 ) 1 2 2
2(1 ) 1
ln10 ln10
tk k
q

p
qq
−+ −+
≥ + ∆ += + +≈
−−
−−

Suy ra:
3p =
.
Vậy phương trình có nghiệm
*3
1,756 3.10x
−
= ±


Ví dụ 2
Cho phương trình:
3
5 20 3 0xx− +=
( )
∗
có nghiệm trên
[ ]
0,1
.
Tìm nghiệm của
( )
∗

và ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng, dạng chuẩn tắc với 4
chữ số sau dấu phẩy.

n
1
()
n
n
xx
ϕ
−
=

n
∆

0
1,5

1
1,823908741…

0
1,824
1,824 1,5 0,324−=

1
1,738975166…

0

1,739
0,085
1
1,759700418…

0
1,760
0,021
1
1,754487332…

0
1,754
0,006
1
1,755970411…

0
1,756
0,002 <
ε
∆

Trang 14

Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8

Giải
Để áp dụng thuật toán của phương pháp điểm bất động, ta đưa phương trình
( )

∗
về dạng :
()
xx
ϕ
=

với
3
53
()
20
x
x
ϕ
+
=
.
Ta kiểm tra các điều kiện của hàm
ϕ

i.
2
15 3
'( ) 1
20 4
x
xq
ϕ
= <=<

,
[ ]
0,1x∀∈

ii.
8
0 ()
20
x
ϕ
≤≤
,
[ ]
0,1x∀∈
. Nghĩa là:
[ ] [ ]
( ) 0,1 , 0,1xx
ϕ
∈ ∀∈

Như vậy,
ϕ
thỏa các điều kiện của định lý cơ sở nên dãy
{ }
Nn
n
x
∈
định bởi:
( )


2 1, ,0,
1
0



==
=
+
nxx
cx
nn
ϕ
với
[ ]
bac ,∈

là dãy hội tụ về
∗.
x
là nghiệm duy nhất của phương trình trên
[
]
0,1
.
Chọn
[ ]
0
0,5 0,1

x = ∈

Chọn
4
10.8
−
=
ε
. Khi đó, ta có:
( )
4
4
3
1 .8.10
1
4
4
.10
3
23
2.
4
q
q
ε
ε
−
−

−


−

∆= = =

Ta tìm
t
là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa:
4
11
log log log5000 3,7
3
(1 )
8.10 (1 )
4
t
q
ε
−
≥= =≈
−
−

4⇒=t

Như vậy, ta sẽ làm tròn các
( )
10
=xx
ϕ

đến chữ số thứ 4 sau dấu phẩy.
Ta tính các
1
x

tới lúc
4
10
4
.10
3
−
∆= − ≤∆ =xx
ε
thì dừng thuật toán.
Trang 15

Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8
Ta lập bảng sau: Bảng chi tiết thể hiện việc chọn lại x
0
ban đầu:
n
n
x

∆

0
0,5


1
0,1813
0,3187
2
0,1515
0,0298
3
0,1509
0,0006
4
0,1509
0 <
ε
∆






Vậy ta đã tìm được nghiệm gần đúng của
( )
∗
là: 0,1509
Bây giờ, ta tìm
pN∈
nhỏ nhất thỏa mãn:


44 4

3
1 11 1
4
10 .10 10 .0.10 2,5
33
2(1 ) 1 2 2
2(1 ) 1
44
tk k
q
p
qq
−+ −+
≥ + ∆ += + +=
−−
−−

Suy ra:
3p
=

Vậy phương trình có nghiệm
*4
0,1509 3.10x
−
= ±


Ví dụ 3
Cho phương trình:

3 cos 0xx−=
( )
∗
có nghiệm trên
0,
2
π




Tìm nghiệm của
( )
∗
và ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng, dạng chuẩn tắc với
sai số
3
.10p
−
.
n
1
()
n
n
xx
ϕ
−
=


n
∆

0
0,5

1
0,18125

0
0,1813
0,1813 – 0,5 0,3187
=

1
0,1514898187…

0
0,1515
0,0298
1
0,1508693165…

0
0,1509
0,0006
1
0,1508590288…

0

0,1509
0 <
ε
∆

Trang 16

Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8
Giải
Ta có:
( )
∗
cos
3
x
x⇔=

Suy ra:
cos
()
3
x
x
ϕ
=

Ta kiểm tra các điều kiện của hàm
cos
()
3

x
x
ϕ
=

Ta có:
sin 1
'( ) 1
33
x
xq
ϕ
=− <=<
,
0;
2
x
π

∀∈



Mặt khác:

1
0 ()
3
x
ϕ

≤≤
,
0;
2
x
π

∀∈


Nghĩa là:
( ) 0; , 0;
22
xx
ππ
ϕ
 
∈ ∀∈
 
 

Vậy
()x
ϕ
thỏa điều kiện áp dụng định lý phương pháp điểm bất động.
Chọn
0
0,5 0,
2
x

π

= ∈




Xét
3
10
.8
−
=
ε
. Khi đó, ta có:
( )
3
3
1
1 .8.10
1
3
8.10
1
2
2.
3
q
q
ε

ε
−
−

−

−

∆= = =

Ta tìm
t
là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa:
3
11
log log 2,273
1
(1 )
8.10 (1 )
3
−
≥= ≈
−
−
t
q
ε

3⇒=t


Như vậy, ta sẽ làm tròn các
( )
10
=xx
ϕ
đến chữ số thứ 3 sau dấu phẩy.
Ta tính các
1
x
tới lúc
3
10
8.10
−
∆= − ≤∆ =xx
ε
thì dừng thuật toán.
Trang 17

Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8
Ta lập bảng sau: Bảng chi tiết thể hiện việc chọn lại x
0
ban đầu:











Vậy ta đã tìm được nghiệm gần đúng của
( )
∗
là: 0,317.
Bây giờ, ta tìm
pN∈
nhỏ nhất thỏa mãn:


33 3
1
1 11 1
3
10 .10 10 .0,002.10 2,25
11
2(1 ) 1 2 2
2(1 ) 1
33
tk k
q
p
qq
−+ −+
≥ + ∆ += + +=
−−
−−


Suy ra:
3p =

Vậy phương trình có nghiệm
*3
0,317 3.10
x
−
= ±

n
1
()
n
n
xx
ϕ
−
=

n
∆

0
0,5

1
0,2925275206…

0

0,293
0,293 – 0,5 0,207=

1
0,319127236…

0
0,319
0,026
1
0,3165165033…

0
0,317
0,002 <
ε
∆

n
n
x

n
∆

0
0,5

1
0,293

0,207
2
0,319
0,026
3
0,317
0,002 <
ε
∆

Trang 18

Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8
III. NHẬN XÉT
1. Ưu điểm
- Xấp xỉ ban đầu
0
x
có thể chọn tùy ý , không nhất thiết phải thật gần nghiệm đúng
∗
x
.
- Phép lặp đơn có khả năng tự sửa sai. Nếu xấp xỉ thứ
k
xk ,
mắc sai số thì ta có thể coi như
xấp xỉ ban đầu mới.
Thật vậy:
Gọi
i

x
là số gần đúng của x
i
(làm tròn đến chữ số thứ k sau dấu phẩy). Khi đó:

**
1
1
10
1
10
21
1
10
21
k
i in n nn
n
k
q
xx xx xx xx
q
q
xx
q
δ
−
−
+
−

−≤−+−≤ + −
−
≤ + −=
−

Nếu
n
x
δε
<⇒
là giá trị gần đúng của x* thỏa yêu cầu bài toán.
Nếu
n
x
δε
≥⇒
là giá trị xuất phát mới thay cho x
0
.
- Thuật toán đơn giản, dễ lập trình cho máy tính.
- Có nhiều cách đánh giá sai số (tiên nghiệm và hậu nghiệm).
2. Nhược điểm
- Khi hệ số
q
gần 1 thì phép lặp hội tụ rất chậm.
- Việc xây dựng hàm
ϕ
thỏa mãn định lý cơ sở gặp nhiều khó khăn.

IV. MỞ RỘNG VẤN ĐỀ:

Với định lý điểm bất động, ta còn có thể xác định giá trị gần đúng của căn bậc n của một số
thực không âm và kết quả ghi dưới dạng biểu diễn thập phân. (Đề tài 13)

Trang 19

Ứng dụng định lý điểm bất động – Nhóm 1 – Đề tài 8
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Phương pháp tính – Tạ Văn Đỉnh.
[2]. Giải tích số - Phạm Kỳ Anh.
[3]. Giải tích số - Đặng Văn Liệt
[4]. Giáo trình Phương pháp tính – Lê Thái Thanh
Trang 20