LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn



I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Phương trình
( )( )( )( ) ,
+ + + + =
x a x b x c x d e
với
+ = +
a b c d

Dạng 2: Phương trình quy hồi
4 3 2
0
+ + + + =
ax bx cx bx a

Dạng 3: Phương trình
4 4
( ) ( )
+ + + =
x a x b c

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a)
4 3 2
3 4 3 1 0
− + − + =

x x x x b)
4 3 2
2 21 74 105 50 0
− + − + =
x x x x
c)
4 3 2
5 10 10 4 0
− + − + =
x x x x d)
4 3 2
12 32 8 4 0
+ + − − =
x x x x
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a)
( 1)( 5)( 3)( 7) 297
− + − + =
x x x x b)
( 2)( 3)( 1)( 6) 36
+ − + + = −
x x x x
c)
2
( 4)( 6)( 2)( 12) 25
+ + − − =
x x x x x

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau
a)

2 2
2 13
6
2 5 3 2 3
+ =
− + + +
x x
x x x x
b)
4 4
( 3) ( 1) 16
+ + + =
x x

c)
4 4
( 2) ( 2) 82
− + + =
x x
c)
4 4
( 1) 97
− + =
x x

Ví dụ 4.
Gi
ả
i các ph
ươ

ng trình sau
a)
2 4 2 2 2 4
( 2 2) 20 ( 2 2) 64 0
− + − − + + =
x x x x x x
b)
2 4 2
( 3 4) 3( 3 4) 4
+ − + + − = +
x x x x x

c)
4 4 4
( 3) (4 2 ) (1 3 )
+ + − = −
x x x
c)
2
2
1
1
 
+ =
 
+
 
x
x
x


II. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CƠ BẢN
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a)
464
2
+=+− xxx
b)
xxx −=+− 242
2

c)
( )
943
22
−=−− xxx
d)
2193
2
−=+− xxx

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a)
0323
2
=−−+− xxx
b)
2193
2
−=+− xxx


c)
51333 =−− xx
d)
xx −=−− 214

Ví dụ 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
8273 −=−−+ xxx
b)
012315 =−−−−− xxx

c)
xxx 2532 −=−−+
d)
4 1 1 2
+ − − = −
x x x

Ví dụ 4.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau

01. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
a)
333
511 xxx =−++
b)
333
11265 +=+++ xxx
c) 0321
333
=+++++ xxx
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau
a)
1153853
22
=++−++ xxxx
b) 291 −+=+ xx
b)
7925623
222
++=+++++ xxxxxx
d)
279
22
=−−+ xx

Ví dụ 6. Giải các phương trình sau
a)

4 5 3 1 2 7 3
+ + + = + + +
x x x x
HD: Chuyển vế thích hợp rồi bình phương, sau đó thử lại nghiệm.
b)
2 2
2 1 1
+ + = + + −
x x x x x

HD: Bình phương hai vế ta được
2
2 2 1 0
= + − ⇒ >
x x x x

Biến đổi tiếp ta được
2 2 2 2
1 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) 0 1
 
= + − ⇔ − + + + = ⇒ =
 
x x x x x x x x
.


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
I. ĐẶT 1 ẨN PHỤ
Kiểu 1: Đặt

( )
=
t f x
hoặc
( )
= +
t k f x

Kiểu 2: Đặt
( ) ( )
= +
t f x g x
hoặc
( ) ( )
= +
t a f x b g x

Kiểu 3: Chia cả hai vế cho
n
x
rồi đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a)
xxxx 271105
22
−−=++
b) 2855)4)(1(
2
++=++ xxxx
c)

( )
732233
2
2
+−=−+− xxxx d) 2252)5(
3 2
−−+=+ xxxx
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a)
54224
22
+−=+− xxxx
b)
122)2)(4(4
2
−−=+−− xxxx

c)
122)6)(4(
2
−−=−+ xxxx
d)
7
2
1
2
2
3
3 −+=+
x

x
x
x

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau
a)
4
2
1
2
2
5
5 ++=+
x
x
x
x
b)
3
1
2
1
=
+
−
+ x
x
x
x


c)
2 2
3 3 3 6 3
− + + − + =
x x x x
d)
2
( 5)(2 ) 3 3
+ − = +
x x x x

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau
a)
0
2
12
2
2
12
2
6
4
=
−
−
−
−
− x
x
x

x
x
x
b)
2
2 3 5 2 4 6 0
− + − + − − =
x x x x
c)
2 2
3 2 1
− + − + − =
x x x x
d)
2 2
4 2 3 4
+ − = + −
x x x x

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau
a)
xxxxx 141814274926777
2
−=−++−++
b)
2
4 4 2 12 2 16
+ + − = − + −
x x x x


c)
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2
− + − = − + − +
x x x x x
d)
2
3 2 6 2 4 4 10 3
+ − − + − = −
x x x x

Ví dụ 6. Giải các phương trình sau
a)
1168143 =−−++−−+ xxxx
b)
2
3
1212
+
=−−+−+
x
xxxx

c)
21212 =−−−−+ xxxx
d)
225225232 =−−−+−++ xxxx

e)
24444 =−++−− xxxx

f)
11681815 =−−++−−+ xxxx


02. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - P1

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
I. ĐẶT 1 ẨN PHỤ
Kiểu 1: Đặt
( )
=
t f x
hoặc
( )
= +
t k f x

Kiểu 2: Đặt
( ) ( )
= +
t f x g x
hoặc
( ) ( )
= +
t a f x b g x

Kiểu 3: Chia cả hai vế cho
n

x
rồi đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1. Giải phương trình sau
( ) ( ) ( )
2
1 2 2 1
− + + =x x x x x
.
Hướng dẫn giải:
Điều kiện:
( )
1
2 *
0
x
x
x
≥


≤ −


=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 2

2
2 2 2
2
1 2 2 1 2 4 2 1 2 2 1
4 2 2 1
8 9 0
x x x x x x x x x x x
x x x x x
x x
⇔ + + − + = ⇔ − + = −
⇔ + − = −
⇔ − =

V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m x = 0,
9
8
x
=
.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
.
a)

3
1
2
1
=
+
−
+ x
x
x
x
b)
2
2
1 3
1
1
1
= −
−
−
x
x
x

c)
12
35
1
2

=
−
+
x
x
x
d)
0
2
12
2
2
12
2
6
4
=
−
−
−
−
− x
x
x
x
x
x

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau
.

a)
2
2 2
1
+ =
−
x
x
x

b)

2
1
2 3 1
+ − = +
x x x x
x

Đ
/s:
1 5
2
±
=x
c)

3
2 4 2
2 1

+ − = +
x x x x

Đ
/s:
1 5
2
±
=x
Ví dụ 4.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
4 4 4
1 2 1
+ + = +
x x x

b)

2
1
4 4 3
− + = +
x x x x
x


c)

2 24 4
4
1 1 2
+ + + − + =
x x x x x

d)

3
2 4 2
4 3 4
− + = −
x x x x

Ví dụ 5.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2 2
5 3 2 1 2 0
+ + + =
x x x


b)

2
12 8 5 3 2 0
+ − − − =
x x x
c)
453423
222
+−=+−++− xxxxxx
d)
2
)2()1( xxxxx =++−

Ví dụ 6.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
200320042002200320012002
222
+−=+−++− xxxxxx

02. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - P2

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
b)
)3()2()1( +=−+− xxxxxx

c)
2 2
2 8 6 1 2 2
+ + + − = +
x x x x

d)
7925623
222
++=+++++ xxxxxx

e)
2 2 2
4 3 3 4 1
+ + + + = + +
x x x x x x

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
II. ĐẶT 2 ẨN PHỤ
Dạng 1: Đặt hai ẩn đưa về một phương trình
+ Xét phương trình
2 2
2
( )
= +



+ + = + + + ⇒

= + +


u dx e
ax bx c k dx e mx nx p
v mx nx p

Khi đó biến đổi biểu thức
2
( ; ) ( ; )+ + = → =
ax bx c f u v f u v kuv
có dạng phương trình tích hoặc phương
trình đẳng cấp bậc hai theo u, v.
+ Xét phương trình
( ) ( )
α ( ) β ( )
+ = +
A f x B g x C f x g x

Khi đó ta đặt
2 2
( )
α β ?
( )

=


→ + = + ⇒ =

=


u f x
u
Au Bv C u v
v
v g x

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
.
a)
1
3
3
13
242
++−=+− xxxx

HD:
Phân tích
4 2 4 2 2 2 2
1 ( 2 1) 1 . 1
+ + = + + − = + − + +
x x x x x x x x x

Khi

đ
ó
đặ
t
2
2 2 2
2
1
3 1 2
1

= + −

⇒ − + = −

= + +


u x x
x x u v
v x x

b)
2 2
(4 1) 1 2 2 1
− + = + +
x x x x
Đ/s:
4
3

=
x

Ví dụ 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2 2
3 1 ( 3) 1
+ + = + +
x x x x
Đ/s:
2 2
= ±x

b)
(
)
2 3
2 3 2 3 8
− + = +
x x x
Đ/s:
3 13
= ±x
Ví dụ 3.

Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
7 4
4
2
+ +
=
+
x x
x
x
b)
2 2
2(1 ) 2 1 2 1
− + − = + −
x x x x x

c)
2 3
2 5 1 7 1
+ − = −
x x x
d)
2 3

2 4 3 4
+ + = +
x x x x

Ví dụ 4.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
(
)
638.10
23
+−=+ xxx

b)
2 2
6 10 11 3(2 3) 1 0
+ + − + − + =
x x x x x
HD:
2 2
2 3 0
+ − =
u v uv
c)
2 2

12 10 18 5(1 2 ) 2 3 0
− + − − − + =
x x x x x HD:
2 2
2 2 5 0
+ − =
u v uv
02. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - P3

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau
.
a)
2 2
6 8 (2 5) 2 2 0
+ − − + − − =
x x x x x HD:
( 2)(3 6 ) 0
− + − =
v v u
b)
2 3
3 2 2 4 1 0
− + − − =
x x x
HD:
( )( 3 ) 0
− − =

u v u v
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau
.
a)
2 2
2 1 2 1 2 3
− − + − = −
x x x x x
HD:
2
5 4 0
+ =
a ab
b)
2 2 2
3 3 2 2 1 2 1 3 13
+ + − + = + −
x x x x x
HD:
2 2
3 2 2 3 8
− = −
a b a b

c)
2 2
4 7 2 3 2 4 13
+ + + = + +
x x x x
HD:

2 2
4 2 2
+ = +
a b a b

Ví dụ 7. Giải các phương trình sau
.
a)
2 2 2
3 1 4 4 10 7 9 19
− + + + + = − −
x x x x x x
HD:
2 2
4 7 2
+ = −
a b a b

b)
2 2 2
1 4 2 1 2 4 3
− + + + + = − +
x x x x x x
HD:
2 2
4 2 2
+ = +
a b a b

c)

2 2
5 1 2 2 1 3 5 3 9
+ + + − = − +
x x x x x
HD:
2 2
5 2 3 5 4
+ = −
a b a b


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
II. ĐẶT 2 ẨN PHỤ
Dạng 1: Đặt hai ẩn đưa về một phương trình
Dạng 2: Đặt hai ẩn đưa về hệ phương trình
+ Xét phương trình
3
+ + + =
A ax b B cx d C

Khi đó ta đặt
3
3
3 2
2
( ; ) 0
; 0



= + = +
 
⇒ → =
 
= +

= + ≥



u ax b u ax b
f u v
v cx d
v cx d v

Kết hợp với pt ban đầu ta được hệ phương trình
3 2
;
( ; ) 0
+ =

⇒ →

=

Au Bv C
u v x
f u v

+ Xét phương trình

+ = −
n
n
x a b bx a

Khi đó ta đặt
− = ⇒ − =
n
n
bx a t bx a t

Ta có hệ phương trình đối xứng loại 2 theo ẩn x và t:
;

+ =

⇒ →

+ =


n
n
x a bt
x t x
t a bx

Chú ý:
Trong tr
ườ

ng h
ợ
p t
ổ
ng quát, v
ớ
i ph
ươ
ng trình
( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )
+ = −
n
n
f x g x h x h x f x g x
thì ta
đặ
t
( ) ( ) ( ). ( )
( ) ( ). ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ). ( )

+ =

= − → ⇒

+ =


n
n

n
f t g x h x f x
f t h x f x g x x t
f x g x h x f t

Ví dụ 1.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
1 1
+ + =
x x
b)
3
2 1 1
− = − −
x x

b)
3
7 1
+ − =
x x
d)
xx =+− 55


Ví dụ 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
3
3 1
+ − =
x x
b)
3
4 4 3 1
+ = +
x x

b)
3
2 3 2 3 6 5 8 0
− + − − =
x x
d)
4 4
18 1 3
− + − =
x x


Ví dụ 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
5 5
+ + =
x x
b)
33 −=+ xx

b)
3
3
3 3 2 2
− + =
x x
d)
2
4 6
+ = +
x x x

Ví dụ 4.
Gi
ả

i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
6 3 3
− + = +
x x x
HD: Đặ
t
3 3
+ = −
x t

b)
2
2 2 2 1
− = −
x x x
HD: Đặ
t
2 1 1
− = −
x t

02. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - P4

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
c)
2
3 1 4 13 5
+ = − + −
x x x
HD: Đặt
3 1 2 3
+ = − +
x t

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau
.
a)
2
4 9
7 7
28
+
+ =
x
x x
HD: Đặt
4 9 1
28 2
+
= +
x
t


b)
2
9
3 3 1
4
− − = +
x x x
HD: Đặ
t
1
3 1
2
+ = −
x t

c)
2
13
2 2 2
4
+ + = −
x x x
HD: Đặ
t
1
2 2
2
− = +
x t


Ví dụ 5.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
3
2 4
2
+
+ =
x
x x
Đ/s:
3 17 5 14
;
4 4
− ± − ±
= =x x

b)
2
4 7 1 2 2
+ + = +
x x x
Đ/s:
7 1

1; ;
4 4
= − = − =
x x x

c)
3 2
3
3 3 4 4 4 1
+ + + = +
x x x x

Ví dụ 7.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
4 7 2 2 1
+ + = +
x x x
HD: Đặ
t
2 1 2
+ = +
x t


b)
2
9 6 2 3 2
− + = −
x x x
HD: Đặ
t
3 2 3 1
− = −
x t

c)
2
2 3 3
+ − = −
x x x

HD:
Bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng
2

(2 3) (2 3)
+ − = − −
x x x x

Đặ
t
2
2 2
2
(2 3)
(2 3)
1
(2 3)

− − = =


− − = → ⇒ + = + ⇔


= − −
+ − =



x x t t x
x x t x x t t
t x
x x t


+ V
ớ
i
2 2
0 3 0 3
3
3 3 0
≤ ≤ ≤ ≤
 
= ⇔ = − ⇔ ⇔ →
 
= − + − =
 
x x
t x x x vn
x x x x

+ V
ớ
i
2 2
1 1
3 17
1 1 3
2
2 1 3 3 2 0
≤ − ≤ −
 
− −
= − − ⇔ − − = − ⇔ ⇔ ⇒ =

 
+ + = − + − =
 
x x
t x x x x
x x x x x

Ví dụ 8.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2 2
3 1 2
+ − = +
x x x x

HD:
Ta d
ễ
dàng phân tích ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng

2
( 1) ( 2) ( 1) ( 2)
+ + − = + − −
x x x x x x

Đặ
t
2
( 1) ( 2) 1 ( 1) ( 2) ( 1)
+ − − = +
⇒
+ + − = +
x x x t t x x x

Khi
đ
ó ta có h
ệ
ph
ươ
ng trình
2
2 2 2 2
2
( 1) ( 2) ( 1)
( 1) ( 1)
1
( 1) ( 2) ( 1)

+ + − = + =



⇒ + − + = − ⇔


= − −
+ + − = +



t x x x t x
t x x t
t x
x x x t

Đế
n
đ
ây, vi
ệ
c gi
ả
i các ph
ươ
ng trình thành ph
ầ
n h
ế
t s
ứ

c
đơ
n gi
ả
n, nh
ườ
ng l
ạ
i cho các em nhé!
b)
2 2
4 3 2 2 2 1
− + = − −
x x x x x

HD:
Ta d
ễ
dàng phân tích ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng
2
(2 1) ( 1) (2 1) ( 1)
− + + = − − +
x x x x x x


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Đặt
(2 1) ( 1) 2 1
− − + = −
x x x t
, từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau
.
a)
2 2
1 ( 2) 2
− + = + −
x x x x
HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng
2
( 1) ( 2) ( 1)( 1)
− + = + + − −
x x x x x x

Đặt
( 2)( 1) 1
+ − − = −
x x x t
, từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.
b)
2 2
4 5 ( 2) 2 4 3
+ = + + +
x x x x x

HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng
2
(2 1) ( 1) ( 2) ( 2)(2 1) ( 1)
+ + − = + + + − −
x x x x x x

Đặt
( 2)(2 1) ( 1) 2 1
+ + − − = +
x x x t
, từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.
c)
2 2
2 ( 2) 4 1
+ + = + + +
x x x x x

HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng
2
( 1) ( 1) ( 2) ( 2)( 1) ( 1)
+ − − = + + + + −
x x x x x x

Đặt
( 2)( 1) ( 1) 1
+ + + − = +
x x x t
, từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.
Lời kết cho một bài toán đẹp:
Việc tại sao thầy viết dễ dàng phân tích được vế trái của các ý trong các ví dụ 8 và 9 thầy tin là sẽ

làm nhiều bạn cảm thấy bứt rứt và ngạc nhiên! Các em hãy khám phá điều kỳ diệu đó để thấy hết
được vẻ đẹp sửng sốt của những bài toán này!





LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
III. ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
.
a)
2
2 3 3 3
+ + = +
x x x x HD: Đặt 3
2
=

= + ⇒

=

t x
t x
t x

b)
2

3 7 8
8
4 2
+ +
+ =
+
x x
x
x
HD: Đặt
3
8
2
=

= + ⇒

= +

t x
t x
t x

c)
2
2
3 3 2
2
3 1
+ +

+ + =
+
x x
x x
x
HD: Đặt
2
2
2
1
=

= + + ⇒

= +

t x
t x x
t x

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
.
a)
2 2 1
2
2 1
+ + +
+ =
+ +
x x x

x
x x
HD: Đặt
2
2 1
=

= + ⇒

= +

t x
t x
t x

b)
2 2
3 2 3 (3 1) 3
+ + = + +
x x x x
HD: Đặ
t
2
1
3
2
= +

= + ⇒


=

t x
t x
t x

c)
2 2
2 2 1 (4 1) 1
+ + = − +
x x x x
HD: Đặ
t
2
3
1
5 2
= −

= + ⇒

= +

t x
t x
t x

Ví dụ 3.
Gi
ả

i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
2 (3 1) 2 3 3 0
− − − − =
x x x HD: Đặt
2
2 3
1
=

= −
⇒

= −

t x
t x
t x

b)
2
3 2 2
2 4 1
1
− −
+ =

−
x x
x
x
HD: Đặt
1
4 1
1 3
= +

= +
⇒

= −

t x
t x
t x

c)
2
2
3 4
2
3 5
+ +
= +
+
x x
x

x
HD: Đặt
2
2
= +
t x

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau
.
a)
2
2 3 2 3 2
− + = −
x x x x HD: Đặt
3 2
= −
t x
b)
3 2 3
3 2 ( 2) 6
− + + =
x x x x
HD: Đặ
t
2
= +
t x
c)
2 2
1 2 2

− = −
x x x x

Ví dụ 5*.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
2 3 (1 3 ) 2 0
+ + + − + =
x x x x

HD:
Đặ
t
2 2
1
2 2 (3 1) 1 0
1
2
= −


= + ⇒ − − + − = ⇒
+


=

t x
t x t x t x
x
t

02. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - P5

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
b)
2 2
10 3 1 (1 6 ) 3
+ + = + +
x x x x
HD: Đặt
2 2 2
3 2
3 (1 6 ) (9 3 2) 0
3 1
= +

= + ⇒ − + + + − = ⇒

= −

t x
t x t x t x x

t x

c)
2 2
12 2 ( 2) 8 1
+ + = − + +
x x x x x

HD: Đặt
2 2 2
1
8 1 3 2( 2) 1 0
1
3
= −


= + + ⇒ − − − + = ⇒
− −

=

t x
t x x t x t x
x
t

Ví dụ 6*. Giải các phương trình sau
.
a)

2
2( 2) 2 5 2 4
− − = − +
x x x x

b)
2
( 2) 4 3 3 1
− − = − +
x x x x

c)
2 2
3 7 ( 2) 2 7
+ + = + + +
x x x x x

Lời kết:
Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là một phương pháp khó (khi cần tìm hệ số của
2
t
cho thích hợp), tuy nhiên lời giải của
bài toán lại rất sáng sủa và đầy tính bất ngờ!
Thầy hi vọng bài giảng và các ví dụ mang đến cho các em một cái nhìn trực quan hơn về một phương pháp giải
phương trình vô tì cũng rất hay gặp!

TAM BIỆT ẨN PHỤ, NGÀY MAI TA SẼ SỬ DỤNG LIÊN HỢP KẾ!





Khóa LTĐH 9 – 10 điểm môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng www.moon.vn
Chuyên đề 01: Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Facebook: LyHung95
PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng


Bài 1. Giải các phương trình
a)
2 2 2 2
3 5 1 2 3( 1) 3 4
x x x x x x x
− + − − = − − − − +

Đ/s: x
= 2
b)
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2
x x x x x x x
− + − − = + + + − +

Đ/s:
2
x
= −

Bài 2.
Gi
ả

i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2 2
( 1) 2 3 1
x x x x
+ − + = +

HD:
2 2
2 2
1 1
2 3 2 3 2 2 1 2
1 1
x x
PT x x x x x
x x
+ +
⇔ − + = ⇔ − + − = − → = ±
+ +

a)
2 2
(3 1) 3 3 2 3
x x x x
+ + = + +

HD:

2 2
2 2
3 2 3 3 2 3
3 3 2 2 1
(3 1) 3 1
x x x x
PT x x x x x
x x
+ + + +
⇔ + = ⇔ + − = − → = ±
+ +

Bài 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
3 1 6 3 14 8
x x x x
+ − − + − −
Đ/s:
5
x
=

b)

2
5 3 2 1 6 2 0
− + − + − − =
x x x x
Đ/s:
2
3
=
x

c)
2
3 2 7 1 5 2 14 0
+ + − + + − =
x x x x
Đ/s:
3
= −
x

Bài 4.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2 2
15 3 2 8

x x x
+ = − + +
Đ/s:
1
x
=

b)
2 2
12 5 3 5
x x x
+ + = + +
Đ/s:
2
x
=

Bài 5.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2 1 1 2
x x x
+ + = + +
Đ/s:
1

x
=

b)
3
x x x
+ − =
Đ/s:
1
x
=

Bài 6.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2 2
2 3 5 2 3 5 3
x x x x x
+ + + − + =
Đ/s:
4
x
=

b)

2 2
2 9 2 1 4
x x x x x
+ + + − + = +
Đ/s:
0; 4
x x
= = −

Bài 7. Giải các phương trình sau
.
a)
3
3 1 1
3 10
x
x
x
= + −
+
Đ/s:
0; 5
x x
= =

b)
(
)
(
)

1 1 1 3 5
x x x x
+ + + + − =
Đ/s:
0; 4
x x
= = −

Khóa LTĐH 9 – 10 điểm môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng www.moon.vn
Chuyên đề 01: Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Facebook: LyHung95
Bài 8. Giải các phương trình sau
.
a)
3
2 3
1 2
x x x
− = − −
Đ/s:
3
x
=

b)
2
3 2 7 2 9 1 11
x x x x
+ − + + = − +
Đ/s:
2

x
=

Bài 9.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
3
9 2 3 5 1 1
x x x x
− + + = − +
Đ/s:
1
x
=

b)
(
)
2 2
3 4 1 4 2
x x x x x
− − = − − −
Đ/s:
2; 5

x x
= =

Bài 10. Giải phương trình
3 2
3 3 5 2 3 10 26 0
x x x x x
+ − − − + + − =

Đ/s:
2
x
=

Bài 11. Giải các phương trình sau:
a)
( )
(
)
3
2 1 3 2 1 7
x x x x
− + + − = +

b)
(
)
(
)
3 2 2

3
1 2( 1) 2 2 7 7
x x x x x x
+ + + + − = − +

Bài 12. Giải các phương trình sau:
a)
2 2
5 3 2 5 1 3 3 0
x x x x x
+ + − − + − + =

b)
2
2 3 3 1 5 4
x x x
+ = + + +





Khóa LTĐH 9 – 10 điểm môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng www.moon.vn
Chuyên đề 01: Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Facebook: LyHung95
PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng


Bài 1. Giải các phương trình
a)

2 2 2 2
3 5 1 2 3( 1) 3 4
x x x x x x x
− + − − = − − − − +

Đ/s: x
= 2
b)
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2
x x x x x x x
− + − − = + + + − +

Đ/s:
2
x
= −

Bài 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
11642
2
+−=−+−
xxxx


b)
2
2 10 12 40
x x x x
− + − = − +

Bài 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
18853
2
+−=−+−
xxxx

b)
2
2 3 5 2 4 6
− + − = + −
x x x x

Bài 4.
Gi
ả
i các ph

ươ
ng trình sau
.
a)
2
7 5 12 38
− + − = − +
x x x x

b)
3 2
2 1 2 2
− = − +
x x x x

Bài 5.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2 2
2 1 2 1 2
− + − =
x x x x

b)
24

1 2 1
− + − =
x x x

(
Đ
/s: x = 0; 1; 2)
Bài 6.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
4 2
4
4 1 8 3 4 3 5
− + − = − +
x x x x x

b)
3 2
4
15 30 4 27( 1)
+ − + = +
x x x x

Bài 7.
Gi

ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
64
2 1 4 3 6 5 3
− + − + − =
x x x x

HD:
Theo Cosi ta có các
đ
ánh giá c
ơ
b
ả
n

6
4
2 1 4 3 6 5
1; 1; 1
− − −
≤ ≤ ≤
x x x
x x x

b)

2 1
3 2 4 3 3
−
+ − + − =
x
x x
x

HD:
Ta có

2 1
1
3 2 4 3 3 2 2 (3 2 1 1. 2 2

−
≤



− + − = − + − − ≤ + =

x
x
x x x x

Khóa LTĐH 9 – 10 điểm môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng www.moon.vn
Chuyên đề 01: Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Facebook: LyHung95
Bài 8. Giải các phương trình sau
.

)
4
3
2
8
a x x
= +

)
(
)
2
1 2
3 2 2 1
2
x
b x x
−
− + + =

2
) 2 1 2 2
c x x
− + − =

1 2 1 2
) 1 2 1 2
1 2 1 2
x x
d x x

x x
− +
− + + = +
+ −

)
2 3
3
2 2 1 14 2
e x x x x
− − + − = −

)
2 4 2 4
13 9 16
f x x x x
− + + =

)
4 3
3
16 5 6 4
h x x x
+ = +

1 1 1
) 2 1 3
x
i x x
x x x

−
+ = − + −

( )
2 2 2 2
1
) 3 1 1 7 4
2 2
k x x x x x x x
− + − − + = − +

)
13 13
2 5 2 3 5
6 2 7 3
x
l x x
x x
+
− + − =
+ + −

)
(
)
(
)
2 2 2
1 3 2 1 3 2 3 2 2 2
m x x x x x x

+ − + + + + + = − − +



Khóa LTĐH 9 – 10 điểm môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng www.moon.vn
Chuyên đề 01: Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Facebook: LyHung95
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng


Bài 1. Giải các phương trình sau
.
a)
3
2 (5 3 ) 5 3 2 5 3
+ = − − + −
x x x x x

b)
(
)
(
)
2 2
3 2 9 3 (4 2) 1 1 0
+ + + + + + + =
x x x x x

Bài 2.
Gi

ả
i các ph
ươ
ng trình sau
:
a)
2
3 1 3 8 3
+ = − +
x x x

b)
3
3 2 2
4 5 6 7 9 4
− − + = + −
x x x x x

Bài 3.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

a)
3 2
2 3 6 11 5 2 3
− + + − − =x x x x
(Đ

/s:
x
= 2)
b)

(
)
2
2 1 2 3 7 3 0
+ + − − − =
x x x x

HD:
Bi
ế
n
đổ
i v
ề
d
ạ
ng
3
( ) ( 3 ); ( ) 2
= − = +
f x f x f t t t

Bài 4.
Gi
ả

i ph
ươ
ng trình

a)
6 8
6
3 2
+ =
− −x x
(Đ
/s:
3
2
=
x )
b)

3
3
5 1 2 1 4
− + − + =
x x x

(Đ
/s: x = 1)
Bài 5.
Gi
ả
i ph

ươ
ng trình

a)
2
2 1 3 4
x x x
− + + = −
(Đ
/s:
1
x
=
)
b)

2
2 1 3 5 3 71 30
x x x x
− + − + + =
(Đ
/s: x = 5)
Bài 6.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
1 2 1 4 2 1 0

x x x x x
+ + − + + − + − + =

Bài 7.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

a)
3
4 ( 1) 2 1 0
x x x x
+ − + + =
(Đ
/s:
1 5
4
x
+
= )
b)

2
(4 1) ( 3) 5 2 0
x x x x
+ + − − =

(Đ

/s:
21 1
4
x
−
= )
Bài 8.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

a)
( 3) 1 ( 3) 1 2 0
x x x x x
+ + + − − + =
(Đ
/s:
0
x
=
)
b)

3 2
3
4 18 27 14 4 5
x x x x
+ + + = +


(Đ
/s:
7 5
1;
4
x x
− ±
= − = )
Bài 9.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

a)
3 2
3 4 2 (3 2) 3 1
x x x x x
+ + + = + +
(Đ
/s:
0; 1
x x
= =
)
Khóa LTĐH 9 – 10 điểm môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng www.moon.vn
Chuyên đề 01: Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Facebook: LyHung95
b)

3
3
3 1 6 3 1
x x x
+ − = +

Bài 10. Giải phương trình
3
3 2 2 3
2 10 17 8 2 5
x x x x x x
− + − + = −

HD: Chia hai vế cho
3
x
, xét hàm đặc trưng suy ra
17 97
12
x
±
=
Bài 11.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

3 2

3
3 2 3 4
x x x x
+ + − = +

Bài 12.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

3
3 2
3 2 6 3
x x x x
− − = −

Bài 13.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

3
3 2 6 3 2
3 4 1 2
x x x x x
+ − = + +


Bài 14.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

( )
(
)
(
)
2 2
2 4 7 1 3 1 0
x x x x x
+ + + + + + + =

Bài 15
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

33 2
8 6 1 12 2 1
x x x x
+ + = + +




LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831



I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH SƠ CẤP
Nguyên tắc giải:
+ Phân tích các biểu thức thành dạng tích của các nhân tử
+ Loại bỏ các nghiệm của của hạng tử bậc chẵn
+ Sắp xếp các nghiệm trên trục số theo thứ tự sau khi đã loại bỏ các nghiệm của hạng tử bậc chẵn
+ Lấy dấu của biểu thức trong một khoảng bất kì rồi thực hiện thao tác đan dấu
+ Kết luận về nghiệm
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a)
2
2
2 5 3 1 3 8 7
2 1
3 2
+ − + +
− ≤
+ +
+ +
x x x x
x x
x x
b)
4 2

2
9 8
0
6 8
− +
≤
− +
x x
x x
c)
2
2
2 7
4 1
1
− −
− ≤ ≤
+
x x
x

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a)
2
2
2 5 3 1 3 8 7
2 1
3 2
+ − + +
− ≤

+ +
+ +
x x x x
x x
x x
b)
4 2
2
9 8
0
6 8
− +
≤
− +
x x
x x
c)
2
2
2 7
4 1
1
− −
− ≤ ≤
+
x x
x

Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau
a)

1 2 3
.
3 2
+ ≤
+ +
x x x
b)
2
2 1 4
.
2 2 2
−
+ ≥
+ +
x x x

c)
2
2
2 3 4 15
.
1 1 1
− − + +
+ ≤
− + −
x x x x
x x x
d)
4 3 2
2

3 2
0.
30
− +
≤
− −
x x x
x x

e)
4 2
2
4 5
0.
8 15
− −
≤
− +
x x
x x
f)
( )
3 2
3 3
0.
2
− − +
≤
−
x x x

x x

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Nguyên tắc giải:
+ Phá trị tuyệt đối theo quy tắc
; 0
; 0
≥

=

− <

a a
a
a a

+ Nếu bất phương trình có nhiều trị tuyệt đối thì phải chia các trường hợp
+ Nếu bất phương trình có chứa các trị tuyệt đối lồng nhau thì phá trị tuyệt đối từ trong ra ngoài.
+ V
ới các bất phương trình đơn giản thì có thể sử dụng các công thức trực tiếp
< ⇔ − < <
>

> ⇔

< −

a b b a b
a b

a b
a b

06. BẤT PHƯƠNG TRÌNH SƠ CẤP
Th
ầy Đặng Việt H
ùng

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau
a)
2
1 2 0
− − <
x x
b)
2 5
1 0
3
−
+ >
−
x
x
c)
3 1 2
− − + <
x x


Ví dụ 2:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau
a)
2
8 3 4
− > + −
x x x
b)
2
2
3
5 6
−
≥
− +
x
x x
c)
2 2
3 2 2
− + + >
x x x x

d)

2
2
4
1
2
x x
x x
−
≤
+ +
e)
2
2
5 4
1
4
x x
x
− +
≤
−
f)
2
6
2
2
− −
≤
−
x x

x
x

Ví dụ 3:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau
a)
2
2
2 4
1
2
− +
≤
+ −
x x
x x
b)
2 3
− − > +
x x x x
c)
( )
2
1 1

2
2
− + +
=
+
x x
x x



LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831



I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ĐƠN GIẢN
Nguyên tắc giải:
Ba dạng bất phương trình vô tỷ sơ cấp thường gặp:
+ Dạng 1:
[ ]
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )

≥


≤ ⇔ ≥



≤


f x
f x g x g x
f x g x

+ Dạng 2:
[ ]
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) 0
( ) ( )

≥



≤




≥ ⇔
≥





>




≥



f x
g x
f x g x
f x
g x
f x g x

+ Dạng 3:
( ) 0; ( ) 0; ( ) 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( )
≥ ≥ ≥


+ ≥ ⇔

+ + ≥



f x g x h x
f x g x h x
f x g x f x g x h x

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a)
2
3 10 2
− − > −
x x x
b)
2
12 8
+ − < −
x x x

c)
2
4 21 3
− − + < +
x x x
d)
2 3 2 1
+ + + ≤
x x
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a)
11 1 2.
− − − ≤

x x
b)
3 7 2 8.
+ − − > −
x x x
c)
2 7 3 2 .
− > − − − −
x x x
d)
2
5 3 .
− < −
x x x

Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau:
a)
2
2( 1) 1
− ≤ +
x x

b)
2
12
− − <
x x x

c)
2

4 1
+ + <
x x x

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
2
2
2 2 2
1 1
1 1
2( 1) 0
2( 1) 1 1 0 1 1 1 3.
1 3
2( 1) ( 1) 2 3 0
 
≥ ≥
 
 
 
≤ − ≤ −

− ≥
 

 

 
− ≤ + ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≤ ≤
  
  
− ≤ ≤
− ≤ + − − ≤

 
 
 
x x
x x
x
x x x x x x
x
x x x x

// Thao tác l
ậ
p tr
ụ
c xét d
ấ
u k
ế
t h
ợ
p nghi

ệ
m ta làm ra ngoài nháp.
07. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P1
Th
ầy Đặng Việt H
ùng

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
b)
2
2
2 2
4
3
12 0
12 0 0 4.
12
12

≥



≤ −

− − ≥





− − < ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
 
 
> −
− − <




x
x
x x
x x x x x x
x
x x x

c)
2
2 2
2 2
0
4
4 0
1
0
4 1 4 1 1 0 1
6
4
6 1

4 (1 )

≥



≤ −

+ ≥



≤ <



+ + < ⇔ + < − ⇔ − ≥ ⇔ ≤ ⇔
 

 
≤ −

<

+ < −




x

x
x x
x
x x x x x x x x
x
x
x x x

Ví dụ 4. Giải các bất phương trình sau:
a)
2
2 5 6 2
+ − > −
x x x

b)
2
4 5 2 3
− + + ≥
x x x

c)
5 1 4 1 3
+ − − ≤
x x x

H
ướ
ng d
ẫ

n gi
ả
i:
a)
( )
( )
2
2
2
2 2
2 0
2 5 6 0
2 5 6 2
2 0
2 5 6 0
2 5 6 (2 )

− <



+ − ≥


+ − > − ⇔
− ≥





+ − ≥



+ − > −



x
I
x x
x x x
x
x x II
x x x



( )
2
2
5 73
2 0
2.
4
2 5 6 0
5 73
4
>




− +

− <


≥

⇔ ⇔ ⇔ >
 

+ − ≥



− −

≤




x
x
x
I x
x x
x




( )
2
2 2
2
2 2
5 73 5 73
2 0
1 2
4 4
2 5 6 0
10
5 73 5 73
2 5 6 (2 )
4 4
1
9 10 0
10



≤ ≤



 
− + − +

− ≥



≥ ≥
 

< ≤




 
⇔ + − ≥ ⇔ ⇔ ⇔
  

< −
 
− − − −

  
≤ ≤
+ − > −
 

 
 
 
>
+ − >

 




< −


x x
x
x x
x
II x x
x
x x
x x x
x
x x
x

H
ợ
p hai tr
ườ
ng h
ợ
p ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ

a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là
1
10
>


< −

x
x

b)
( )
( )
2
2 2
2
2 2
3 2 0
4 5 0
4 5 2 3 4 5 3 2
3 2 0
4 5 0
4 5 (3 2 )

− ≤




− + ≥


− + + ≥ ⇔ − + ≥ − ⇔
− >




− + ≥



− + ≥ −



x
I
x x
x x x x x x
x
x x II
x x x


( )

2
3 2 0
3
.
2
4 5 0,
− ≤

⇔ ⇔ ≥

− + ≥ ∀ ∈

x
I x
x x x R


( )
2
2
2 2
3
3 2 0
3
2 3
2
4 5 0, .
2
2
3 2

2
3 8 4 0
4 5 (3 2 )
3

− >


<

<

 
⇔ − + ≥ ∀ ∈ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ <
  
  
≤ ≤
− + ≤
− + ≥ −




x
x
x
II x x x R x
x
x x
x x x


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Hợp hai trường hợp ta được nghiệm của bất phương trình là
2
.
3
≥
x

c)
(
)
5 1 4 1 3 , *
+ − − ≤x x x

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1
5
5 1 0
1 1
4 1 0 .
4 4
0
0


≥ −

+ ≥


 
− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
 
 
≥

≥



x
x
x x x
x
x

Khi
đ
ó,
(
)
(
)
* 5 1 3 4 1 5 1 9 4 1 6 (4 1) 6 (4 1) 2 8 , **

⇔ + ≤ + − ⇔ + ≤ + − + − ⇔ − ≥ −x x x x x x x x x x x

TH1:
( )
1
** 2 8 0
4
⇔ − ≤ ⇔ ≥
x x , (th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n).
TH2:
( )
2
2
1
4
1
2 8 0
1
1
** 4
5
4

36 (4 1) (2 8 )
20 1 0
1
5

<



− >
<

  

⇔ ⇔ ⇔ ≤ −
≥
  

− ≥ −


 

− − ≥



≤ −





x
x
x
x
x
x x x
x x
x
.
T
ậ
p nghi
ệ
m này không th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n, v
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b

ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho là
1
.
4
≥
x
II. PP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN
Nguyên tắc giải:
Đưa về cùng cơ số
( ) ( )
1 ( ) ( ).
0 1 ( ) ( ).

> → >
> ⇔

< < → <


f x g x
a f x g x
a a
a f x g x

Ví dụ 1.

Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
a)
2
7 12
5 1
− +
>
x x
b)
2
4 15 13 4 3
1 1
2 2
x x x
− + −
   
<
   
   

c)
1
4
1 1

2 2
   
≥
   
   
x
d)
1
1
1
2
16
x
x−
 
>
 
 

Ví dụ 2.
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
a)
1 1
3

3 3 84
x x
+
+ >
b)
1
1
1
5
25
x
x+
 
<
 
 

c)
2
2
9 8 3
7
1
7
7
x x
x
− − +
−
 

<
 
 
d)
2
2
40
1
4 3
2
1
3
3
x
x x
−
− +
 
<
 
 

Ví dụ 3.
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:

a)
1 3 4 2
7.3 5 3 5
+ + + +
+ ≤ +
x x x x

b)
2 1 2
2 5 2 5
+ + +
+ < +
x x x x

c)
1 2 1 2
9 9 9 4 4 4
+ + + +
+ + < + +
x x x x x x
d)
2 3 4 1 2
2 2 2 5 5
+ + + + +
− − > −
x x x x x

Ví dụ 4. Giải các bất phương trình sau:
a)
6 3

2 1 1
1 1
2 2
− + −
   
<
   
   
x x x

b)
2
3
1 1
5 25
+
 
≤
 
 
x x


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
c)
2
2
5 6
1 1

3
3
+
+ −
>
x
x x
d)
2
1
2
1
3
3
x x
x x
− −
−
 
≥
 
 

Ví dụ 5. Giải các bất phương trình sau:
a)
( ) ( )
1
1
2 1 2 1
+

−
+ ≥ −
x
x
x
b)
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
− +
− +
+ < −
c)
( ) ( )
1
1
1
5 2 5 2
−
−
+
+ ≥ −
x
x
x

d)

6 5
2 5
2 25
5 4
−
+
 
<
 
 
x
x

e)
( ) ( )
6 6
1
2 1 2 1
−
−
+
+ ≤ −
x
x
x

f)
1 2
3 3 3 11
− −

+ − <
x x x

Ví dụ 6.
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
a)
3
2
log
2
5 1
x+
<
b)
−
−
≤
2
1
2
1
2
2
x

x x

c)
−
+
≥
1
1
2 1
3 1
2 2
x
x
d)
1
1 1
3 1 1 3
+
≥
− −
x x

e)
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 .2 8 12
x x x
x x x x
+
+ + > + +

f)
93.3.23.3.6
212
++<++
+
xxxx
xxx



LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831



II. PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Ví dụ 1. Giải bất phương trình sau:
a)
2 1
1
1 1
3. 12
3 3
+
   
+ >
   
   
x x


b)
2 3
4 3
1
3 35. 6 0
3
−
−
 
− + ≥
 
 
x
x

c)
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 .2 8 12
+
+ + > + +
x x x
x x x x

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả

i:
a)
( )
2 1
1
1 1
3. 12, 3 .
3 3
+
   
+ >
   
   
x x

Đ
i
ề
u ki
ệ
n: x
≠
0.
( )
1
2 1 2 1
1
1
3
3

1 1 1 1 1 1 1
3 3. . 12 12 0 1 0
3 3 3 3 3
1
4
3

 

>
 

+
 
       
⇔ + > ⇔ + − > ⇔ →− > ⇔ <

       
       

 
< − →

 
 

x
x x x x
x
o

x
x x
vn

T
ừ

đ
ó ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là
1 0.
− < <
x
b)
2 3
4 4
4 3 3 2 3 6 3
3 3
1 3 3 35
3 35. 6 0 35.3 6 0 .3 6 0 729 35.3 54.3 0
3 3 3 9

−
− −
 
− + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − + ≥
 
 
x
x x x x x
x x

6 3 3 3
3 3
25 27 27 27 1 27
35.3 54.3 729 0 3 3 3 log log
7 5 5 5 3 5
− − ≤ ⇔ − ≤ ≤ → ≤ ⇔ ≤ → ≤
x x x x
x x

c)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 1
4 .2 3.2 .2 8 12 4 2 2 8 3.2 12 0
+ +
+ + > + + ⇔ − + − + − >
x x x x x x

x x x x x x

( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2 2 2
2
2
2 2
2
2 4 0
2 3 0
4 2 2 2 4 3(2 4) 0 2 4 2 3 0
2 4 0
2 3 0


− >



− + >



⇔ − + − + − > ⇔ − − + > ⇔




− <



− + <




x
x x x x
x
I
x x
x x x x
II
x x


( )
2
2
2
2
2
2 2
2 4 0
2
2 3 0

2 3 0
2 3
1 3


>




> < −
− >
 
⇔ ⇔ ⇔ →

  
< −


− − <
− + >

< <






− < <


x
x
x x
I
x
x x
x x
x
x


( )
2
2
2
2
2 2
2
2 4 0
2 1
3
2 3 0
2 3 0
1

− < <


<

− <

 
⇔ ⇔ ⇔ →− < < −
>
  

− − >
− + <





< −


x
x
x
II x
x
x x
x x
x

H
ợ
p hai tr
ườ

ng h
ợ
p ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là
1
2
2 3

< −




≠ −




< <

x

x
x

Ví dụ 2:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
a)
1 1 1
49 35 25
− ≤
x x x

b)
2 4 4
3 8.3 9.9 0
+ + +
− − >
x x x x

c)
1 1
15.2 1 2 1 2
+ +
+ ≥ − +
x x x


H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
( )
1 1 1
49 35 25 , 1 .
− ≤
x x x

Đ
i
ề
u ki
ệ
n: x
≠
0.
07. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P2
Th
ầy Đặng Việt H
ùng