BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Phương pháp đổi biến
A.Tóm tắt lý thuyết
Cơng thức đổi biến số
ub

b



 f u  x  u '  x  dx   f  u  du .

(1.1)

u a 

a

1. Phép đổi biến u = u(x)
b

Gỉa sử cần tính

 g  x  dx . Nếu viết được g  x 

dưới dạng f u  x   u '  x  thì theo cơng thức



a

(1.1), ta có
u b 

b

 g  x  dx 
a

 f  u  du .

u a

2. Phép biến đổi x = x(t)


Giả sử cần tính

 f  x  dx .

Đặt x  x  t  , t  K . Chọn hai số a , b  K sao cho   x  a  ,



  x  b  . Khi đó, theo cơng thức (1.1), ta có







b

f  x  dx   f  x  t   x '  t  dt .


a

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84

1


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

B. Các dạng toán hay gặp
Dạng 1. Đổi biến số bằng cách đưa một biểu thức vào trong dấu vi
phân
 Nội dung phương pháp
Trong dạng toán này, ta lưu ý đến các công thức sau đây (chúng tôi gọi là công thức đưa biểu
thức vào trong dấu vi phân):

dx 1
 1




x dx 



dx
1
1
1

d n 1 (đưa n vào trong dấu vi phân, n   , n  2 );
n
x
n 1 x
x



dx
 d ln x
x

(đưa



e x dx  de x


(đưa e x vào trong dấu vi phân);



cos xdx  d sin x

(đưa cos x vào trong dấu vi phân);



sin xdx   d cos x (đưa sin x vào trong dấu vi phân);



dx
 d tan x
cos 2 x



dx
1
  d cot x (đưa
vào trong dấu vi phân).
2
sin x
sin 2 x

(đưa x vào trong dấu vi phân,   1 );


(đưa

1
vào trong dấu vi phân);
x

1
vào trong dấu vi phân);
cos 2 x

 Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm họ ngun hàm
1) I   1  3x 3  x 2 dx ;
5

2) J   1  3x 3  x 2 dx .
Giải
1) I  

1
1
3
3
2
 1  3x  d 1  3x    18 1  3x   C .
9

2) J  

1

1
3 5
3
2 6
 1  3x  d 1  3x    54 1  3x   C .
9

Ví dụ 2. Tìm họ ngun hàm hoặc tính tích phân:

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84

2


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

x
dx ;
x 1

1) I  

2

x2
2) J   3

dx ;
x 1
2

x8  x 5

3) K  

x

0

 2

3

2

dx .
Giải

2
1 d  x  1 1
1) I  
 ln  x 2  1 .
2
2
x 1
2
3

1 d  x  1 1
3
 x3  1  3 ln  x  1  C .
3

2) J 

2

3) K  
0

x5  x3  1

x

 2

3

2

3
2 3
1 x  x  1
dx  
d  x3  2 .
3 0  x3  2 2

Đặt t  x3  2 . Ta có

x  0  t  2 , x  2  t  10 .

Do đó
10
10
1  t  2  t  1
1  3 2
1
K 
dt   1   2  dt   t
2
32
t
32 t t 
3

10

10

 3ln t
2


2

2
t

10

2

 44
 ln 5 .

 15

Ví dụ 3. Tính tích phân
3

1) I 

 x.

3

x 2  1dx ;

2
3

2) J 

6
2 4

x.

3


x 3  2dx .

3

Giải

1
1) I 
2
3

3


2

3

1 3
x 2  1  d  x 2  1    x 2  1 3 x 2  1
2 4
3

6

3


2


6

45
.
8

1
1 4
2) J   x . x  2dx   4 x 3  2d  x 3  2     x3  2  4 x 3  2
3 33
3 5
3
3
2 4

3


3

3



.

4 4 2 1

6


3

15

Ví dụ 4. Tính tích phân

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84

3


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN


2

cos xdx
;
5  2sin x
0

1) I1  


4


cos 2 x
dx .
1  2sin 2 x
0

2) I 2  


4

1  2sin 2 x
dx .
1  sin 2 x
0

3) [ĐHB03] I 3  

2

sin 2 xdx
.
1  cos x
0

4) [ĐHB05] I 4  


4

5) [ĐHA06] I 5  

0

sin 2 xdx
cos 2 x  4sin 2 x

.
Giải


2


2

d sin x
1 d  5  2sin x 
1
1) I1  
 
  ln 5  2sin x
5  2sin x
2 0 5  2sin x
2
0

4


4



2



0

ln 5  ln 3
.
2


4

cos 2 x
1 d sin 2 x
1 d 1  2sin 2 x  1
dx  
 
 ln 1  2sin 2 x
1  2sin 2 x
2 0 1  2sin 2 x 4 0 1  2sin 2 x
4
0

2) I 2  

4



4

cos 2 x
1 d 1  sin 2 x  1
dx  
 ln 1  sin 2 x 
1  sin 2 x
2 0 1  sin 2 x
2
0

3) I 3  


2


4
0




4
0



ln 3
.

4

ln 2
.
2



2
sin x cos xdx
cos xd cos x
4) I 4  2 
 2 
.
1  cos x
1  cos x
0
0

Đặt t  cos x . Khi đó
x  0  t  1, x 


 t  0.
2

Do đó

 t  1  1 dt  2 1  1  dt  2 t  ln t  1 1  2  2 ln 2 .
tdt

tdt
 2
 2

0
  t 1 
t 1
t 1
t 1

1
0
0
0
0

1

1

1

I 4  2 

5) Ta thấy cos 2 x  4sin 2 x 

1  cos 2 x
1  cos 2 x 1
 4
  5  3cos 2 x  . Do đó

2
2
2

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84

4


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

4

I5  2 
0

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

sin 2 xdx
2

2
5  3cos 2 x


4

d cos 2 x

5  3cos 2 x


0


4

2 d  5  3cos 2 x 
2

 5  3cos 2 x  3 5  3cos 2 x
6 0


4
0



10  2
.
3

Ví dụ 5. Tính tích phân
ln 5

1) [ĐHB06] I 

e


ln3
e

2) J  
1

x

dx
.
 2e  x  3

ln xdx
.
x  ln x  1 ln x  2 

Giải
ln 5

ln 5

e x dx
de x
1) Ta có I   2 x
  2x
. Đặt t  e x , ta có
x
x
e  3e  2 ln 3 e  3e  2

ln3
x  ln 3  t  3 , x  ln 5  t  5 .

Do đó

 t  1   t  2  dt
dt
dt


2
t  3t  2 3  t  1 t  2  3  t  1 t  2 
3

5

I

5

5


5

1 
t 2
 1
 


 dt  ln t  1
t  2 t 1 
3

5

 ln 3  ln 2 .
3

e

ln xd ln x
. Đặt t  ln x , ta có
ln x  1 ln x  2 
1 

2) Ta có J  

x  1  t  0 , x  e  t  1.

Do đó
tdt
1 2  t  2    t  1
 
dt
t  1 t  2  3 0  t  1 t  2 
0 
1

1


J 

1
1  2
1 
1  t  1
 

 dt  ln
3 0  t 1 t  2 
3
t 2

2 1

 ln 2 
0

ln 3
.
3

 Bài tập
Bài 1. Tìm họ nguyên hàm

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84


5


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

1)

x6
 x7  7 dx ;

2)

4 x 3  3x 2
 x 4  x3  1 dx

3)

10 x9  11x10
 x10  x11  1 dx .

4)

 x.

3

2 x 2  2dx ;

5)


x .

x 4  4dx ;

6)



PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

3

x
2

dx ;

x 1

7)

  cos x  1 sin xdx ;

8)

 1  2sin x  cos xdx ;

9)

 1  2sin x 


3

10)

  cos x  1

2

11)

 2  cos x dx ;

12)

  sin x  1

cos xdx ;
sin xdx ;

sin x

cos xdx

4

dx ;

13)


cos3 xdx
 sin x  1 ;

14)



2cos x  3 sin xdx ;

15)



1  2sin x cos xdx ;

16)



cos 2 x
dx ;
sin 2 x  1

17)



2 ln x  1
dx ;
x


18)



ln x  1
dx ;
x

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84

6


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
sin 2 x

19)

e

20)

e tan x
 cos2 x dx ;

21)


PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

cos 2 xdx ;

 e 1  2e  dx;
x

x

e x dx

22)



23)

e

ex  2
x

;

1  3e x dx .

Bài 2. Tính các tích phân
1

1)



0

x3

x

1

2)


0

2

 1

2

x5  x 3

x

2

 1

2


ĐS:

dx .

ĐS: 

3

3) [ĐHD09]

e
1

ln 2

4)


0

e2

5)


1

ln 2 1
 .

2 4

dx .

dx
.
1

x

ln 2 1
 .
2
2

ĐS: ln(e 2  e  1)  2 .

e 2 x dx
.
 e x  1 e x  2 

ĐS: 5 ln 2  3ln 3 .

ln 2 x  2ln x  1
dx .
x  ln x  1 ln x  2 

ĐS: 2 - 2 ln 3  ln 2 .



2

6) [ĐHA09]

  cos

3

x  1 cos 2 xdx .

0


2

7) [ĐHD05]

 e

sin x

 cos x  cos xdx .

0

ĐS:

8 
 .
15 4


ĐS: e  1 


.
4


2

8) [ĐHB05]

sin 2 x cos xdx
.
1  cos x
0



ĐS: 2 ln 2  1 .

x tan xdx .

3
ĐS: ln 2  .
8


3


9)

 sin

2

0

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84

7


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN


6

10)

sin 3 x  sin 3 3 x
 1  cos 3x dx .
0

ĐS:



6

tan 4 xdx
11) [ĐHA08] I  
.
cos 2 x
0

ĐS: 



ĐS:

8

76
.
105

ĐS:

 1  tan x dx .

43 2
.
4

0



4

13) [ĐHB08]

2

14)




3

2

15)




4


2

16)

sin  x    dx

4
 sin 2 x  2 1  sin x  cos x  .
0

sin x  cos x
dx .
3
sin x  cos x

ĐS:

sin x  cos x
dx .
1  sin 2 x

3 1 3
1
2
2 2


cos 2 x

3

dx .

ĐS:

3


 sin 2 x 1  sin x 
2

ĐS:



1
.
32

dx .

2
3 1  .


ln 2
.
2

ln 3
.
4

0

17)




ĐS:

  sin x  cos x  3

2



10 3 ln 2  3

.
27
2


4

12)

ln 5  ln 3
.
2

0

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84


8


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Dạng 2. Một số phép đổi biến thông dụng
 Nội dung phương pháp
Trong phần này ta quan tâm đến các phép đổi biến sau:


Phép đổi biến t 

n

f ( x) . Phép đối biến này được sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích





phân có thể đưa được về dạng Q f  x  ; n f  x  df  x  , trong đó Q là một hàm phân
thức hữu tỷ. Với phép đổi biến t 

n

f ( x) , biểu thức dưới dấu tích phân trở thành


Q  t n ; t  dt .
  
Phép đối biến f  x   a sin t ( a  0 , t    ;  ). Phép đổi biến này được sử dụng khi
 2 2



hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức

2

a 2   f  x   . Với phép đổi biến nói trên thì



2

a 2   f  x    a cos t .


  
Phép đổi biến f  x   a tan t ( a  0 , t    ;  ).Phép đổi biến này được sử dụng khi
 2 2



2

hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức a 2   f  x   . Với phép đổi biến nói trên thì



2
a2
a2   f  x  
.


cos2 t

 Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tính tích phân
1

1) I   x 3 x 2  3 dx .
0

2

xdx
.
1  x 1
1

2) [ĐHA04] J  
3

3) K 

x
0


xdx
2

 2  2 1  x2

.
Giải

1

1
1) Ta thấy I   x 2 x 2  3 d  x 2  3 .
20

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84

9


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

x2  t 2  3

Đổi biến: t  x  3  
.

2
2
d  x  3  dt  2tdt

2

Đổi cận: x  0  t  3 ; x  1  t  2 .
Do đó
2

2

1

I    t  3 t dt    t  3t  dt   t 5  t 3 
5

3
3
2

2

4

2

2



3

6 3 8
.
5

2) Đổi biến: t  x  1  x  t 2  1  dx  2tdt .
Đổi cận: x  1  t  0 ; x  2  t  1 .
Do đó
1

J 

t

2

 1  2tdt 
t 1

0

1
 t 3  1   t  1  2 dt
t3  t
 2
dt  2 
t 1
t 1
0

0
1

1

1

2 
11

1 3 1 2

 2  t 2  t  2 
 dt  2  3 t  2 t  2t  2 ln t  1   3  4 ln 2 .
t 1 

0
0
1
3) Ta có K 
2

d 1  x 2 

3

x

2


0

 2  2 1  x2

.

Đổi biến: t  1  x 2  x 2  t 2  1 , d 1  x 2   dt 2  2tdt .
Đổi cận: x  0  t  1 ; x  3  t  2 .
Do đó
2

2

2

1
2tdt
tdt
 t  1  1 dt
K   2


2
2
2 1  t  1  2t 1  t  1
1  t  1
2
 1
1 
1 

1



dt   ln t  1 
  ln 3  ln 2  .
2
t 1  1
6

1 
 t  1  t  1 

2

Ví dụ 2. Tính tích phân
8

1) [ĐHB02] I 



16  x 2 dx ;

0

1

2) J 




1
2

dx
8  2x  x2

;

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84

10


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
2

3) K 

dx



x2 1

2


PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

.
Giải

1) Đổi biến
 16  x 2  16   4 sin t  2  4 cos t  4 cos t
  

.
x  4 sin t , t    ;   
 2 2
dx  d  4 sin t   4 cos tdt


Đổi cận
x  0  4sin t  0  sin t  0  t  0 ;

x  8  4sin t  8  sin t 

2

 t .
2
4

Do đó

4



4


4


4

 1

I    4 cos t  4cos tdt   16  cos 2 tdt  8  1  cos 2t  dt  8  t  sin 2t   2  4 .
 2
0
0
0
0
2) Ta thấy

2

8  2 x  x 2  9  1  2 x  x 2  32   x  1 .

Đổi biến

  
x  1  3sin t , t    ;  
 2 2

8  2 x  x 2  32  32 sin 2 t  3 cos t  3cos t , dx  3cos tdt .


Đổi cận
x

1

 t   , x 1  t  0.
2
6

Do đó
0

J




2

3) Ta thấy K 


2

dx
1
x 1 2
x



6

3cos tdt

3cos t

0

 dt  t



6

0



6




.
6

.

Đổi biến:


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84

11


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN


cos t
 1 
dx  d  sin t    sin 2 t dt
1
1


  

 sin t , t    ;   x 
.
 
x
sin t
 2 2
 1  1  1  sin 2 x  cos x  cos x


x2

Đổi cận:

x 2  t



, x2  t .
4
6

Do đó

6

K



4





cos t
dt
6
4

4
4
2
sin t   dt  dt  sin tdt   d cos t


 sin 2 t  1  cos 2 t
1
 sin t
 sin t

cos t
4
6
6
6
sin t




4


4

6


6


1  1
1 
1 1  cos t
 

 d cos t  ln
2   cos t  1 cos t  1 
2 1  cos t

 ln



 



2  1  ln 2  3 .

Ví dụ 3. Tính tích phân
3

1) I 

dx

 1 x

2


;

3
3

1

2) J  
0

dx
.
x  x 1
2

1

3) K 

x

1

2

xdx
.
 x 1
Giải


dt
1
  
1) Đổi biến x  tan t , t    ;  suy ra dx  d tan t 
và 1  x 2  1  tan 2 t 
. Các
2
cos t
cos 2 t
 2 2

giá trị

3
và
3

3 của x lần lượt ứng với các giá trị

3



3
I   dt  t  


6


6



và
của t . Do đó
6
3


.
6

2
2

1  3 3  2 
1 



2) Ta thấy x  x  1   x        x     1 .
2  4 4  3 
2 




2


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84

12


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

Đổi biến

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

2 
1
3 dt
3 1
  
và x 2  x  1  
. Các
 x    tan t , t    ;  suy ra dx 
2
2
2 cos t
4 cos 2 t
3
 2 2

giá trị 0 và 1 của x lần lượt ứng với các giá trị




và
của t . Do đó
6
3


3

2 3
2 3   3
I
 dt  3 t 36  9 .
3 
6



1
 1 2x 1
2 x  1  1
1 
1
dx 
3) Phân tích K   2
dx    2
dx   2
.
2 1 x  x  1

2  1 x  x  1
x  x  1
  1 

  


K1
K2


1

Ta có
1

K1 



1

d  x 2  x  1
2

x  x 1

 ln  x 2  x  1

1

1

 ln 3 .

Thực hiện phép đổi biến như ở câu 2, ta có
2 3
K2 
3


3





6

dt 

2 3 
 3
t 3 
.
3 6
3

Do đó

1

 3  ln 3  3
K   ln 3 

.


2
3 
2
6


 Bài tập
Bài 1. Tính tích phân
1

1)

x

5

ĐS:

x 3
dx .
x 1  x  3

ĐS: 6 ln 3  8 .


0

3

2)

3

1
7

3)



 x  2  dx .
3

x 1

3

1  xdx .

0

ĐS:

231
.

10

ĐS:

468
.
7

9

4)

x

8
.
105

1  x 2 dx .

1

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84

13


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC


PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

1

5)

15

x

ĐS:

29
.
270

ĐS:

116
.
135

ĐS:

10 2  11
.
3

ĐS:


34
.
27

ĐS:

4 3
.
27

ĐS:


.
6

ĐS:


.
36

ĐS:

1  3 x8 dx .

 2
.
8


ĐS:

1 3
.
2

ĐS:


1 .
2

0
e

6) [ĐHB04]

1  3ln x ln xdx
.
x


1

e

7)

x


3  2 ln x

1

1  2 ln x

dx .


2

8) [ĐHA05]

sin 2 x  sin x
dx .
1  3cos x
0



Bài 1. Tính tích phân
3
2

4)

dx



3 3
2

2

5)

x
2
3
6

6)


3 2

2
2

7)


0
3

8)




1

9)


0

3
3

.

2 3

9  x 
dx

.

2

x 1
dx

.

2

x x 9


x 2 dx
1 x

2

.

dx
2 3

.

1  x 
1 x
dx .
1 x

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84

14