754 Nguyễn Xuân Vinh, Nguyễn Minh Thạnh, Lê Hoài Quốc, Nguyễn Ngọc Lâm

VCM2012
Xác định tập hợp cấu hình đặc biệt tay máy song song
dùng lý thuyết Vít
Determination Singularity Configuration set of
Parallel Manipulator using Screw Theory
Nguyễn Xuân Vinh, Nguyễn Minh Thạnh, Lê Hoài Quốc, Nguyễn Ngọc Lâm*
Khu Công nghệ cao Thành phố Hồ Chí Minh,
*Viện Nghiên cứu Điện tử, Tin học, Tự động hóa
e-Mail: , , ,

Tóm tắt:
Bài báo trình bày kết quả nghiên cứu áp dụng lý thuyết Vít để xác định tập hợp các cấu hình đặc biệt cho
tay máy song song. Tại các cấu hình đặc biệt tồn tại trong vùng làm việc, tay máy song song sẽ mất điều khiển,
gây ảnh hưởng xấu đến các chức năng của hệ thống. Thể tích vùng làm việc và tập hợp các điểm đặc biệt phụ
thuộc vào cấu hình của tay máy song song. Các kết quả khảo sát sẽ được xem xét và đánh giá theo đa tiêu chí
(số điểm làm việc, cấu hình làm việc, cấu hình đặc biệt) của tay máy song song trong một giới hạn không gian
làm việc cho trước. Kết quả bài báo cho thấy tác giả đã thành công trong việc áp dụng lý thuyết Vít xác định
tập hợp các cấu hình đặc biệt của tay máy song song. Kết quả này có thể được sử dụng trong bài toán tối ưu đa
tiêu chí cho tay máy song song.
Abstract:
This paper describes a application of the Screw theory to determine singularity configurations set of the
parallel mechanism. In singularity configurations of the workspace, the parallel mechanism is lost control and
has adverse effects to functions of the system. The volume of workspace and the set of singularity
configurations are dependented by configurations of the parallel mechansim. The results were determined with
multi-criteria optimization (workspace, configurations, singularity configurations) in the same initial condition.
The research results show the success of the applying Screw theory to determine the singularity configurations
set for the parallel mechanism. The research result can apply in multi-criteria optimization for the parallel
mechanism.

1. Khảo sát và xác định tính phù hợp của việc
ứng dụng lý thuyết Vít để giải các bài toán
cho tay máy song song
Lý thuyết Vít được phát triển bởi Robert Stawell
Ball [2] để áp dụng trong động học và tĩnh của các
cơ cấu (cơ học vật rắn). Đó là một cách để thể hiện
chuyển vị, vận tốc, các lực và mômen xoắn trong
không gian ba chiều, kết hợp cả hai phần quay và
tịnh tiến. Lý thuyết Vít được sử dụng như một
công cụ quan trọng trong cơ học robot, thiết kế cơ
khí, hình học tính toán và động lực học đa vật thể
(multi-body).
Có nhiều định lý cơ bản bao gồm: định lý của
Poinsot [5] và định lý của Chasles [6]. Một số định
lý khác bao gồm Julius Plücker [7], WK Clifford
[3], A.T. Yang [4], FM Dimentberg [8], Kenneth
H. Hunt [9],
Trong chuyển động vật rắn, Vít là phương pháp để
mô tả một chuyển động. Vít được dùng miêu tả sự
quay quanh một trục và dịch chuyển dọc trục đó.
Bất kỳ chuyển động nào cũng có thể được mô tả
bằng một Vít. Một Vít có hai thành phần: Vận tốc
xoắn Vít và Vít lực:
Vận tốc xoắn Vít theo quá trình di chuyển từ điểm
A đến điểm B được biểu diễn như sau:
1
ˆ
.
0 1

B AB A
B
v r v
v
w w
     
 
     
 
     
     
  
 
(1)
trong đó:
A
v

: vận tốc tại điểm A
B
v

: vận tốc tại điểm B
w

: vận tốc góc của vật rắn
AB
r

: vectơ dịch chuyển từ A đến B.

Vít lực khi di chuyển từ điểm A đến điểm B thể
hiện các lực tác động lên vật thể được biểu diễn:
1 0
ˆ
.
1
B
AB
B A
F F
r
t
t t
 
   
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
   
 
 


 
(2)
với:
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 755
Mã bài: 162
A
t

: mô-men tại điểm A
B
t

: mô-men tại điểm B
F

: lực tác động lên vật rắn
AB
r

: vectơ dịch chuyển từ A đến B
Việc áp dụng lý thuyết Vít để giải các bài toán
trong lĩnh vực tay máy đã được sử dụng từ khá lâu
[5,9,13,14]. Với nhiều ứng dụng và phát triển, lý
thuyết Vít được sử dụng như một công cụ quan
trọng trong cơ học robot, thiết kế cơ khí, hình học
tính toán và động lực học đa vật thể. Tuy nhiên,
trong những năm gần đầy lý thuyết Vít mới được
áp dụng vào những bài toán cụ thể về tay máy
song song [15-25]. Lý thuyết Vít thường được áp

dụng để tìm kiếm các cấu hình đặc biệt của tay
máy song song. Tại các cấu hình đặc biệt này, tay
máy sẽ mất khả năng điều khiển. Vì vậy, việc áp
dụng lý thuyết Vít được xem là một phương pháp
hỗ trợ quan trọng khi tiến hành giải quyết một bài
toán về tay máy song song.

2. Các khái niệm cơ bản lý thuyết vít
Trong tọa độ Plücker, các vectơ không gian
thường được miêu tả dưới hai dạng:
6
M
- Vectơ động học,
6
F
- Vectơ tĩnh
học
2.1 Vận tốc trong tọa độ Plücker của lý thuyết
vít
Chọn điểm P bất kỳ trên vật rắn, quy định vectơ
vận tốc
p
v
tại điểm P và vectơ vận tốc góc

cho
toàn bộ vật rắn. Như vậy có thể xem như vật rắn
chuyển động theo
p
v

đồng thời xoay với vận tốc
góc

với gốc xoay đi qua P. Xét một tọa độ có
điểm gốc là O, ta định nghĩa vectơ vận tốc
o
v
là
vectơ vận tốc tham chiếu lên tọa độ gốc O:

H. 1 Biểu diễn vận tốc trong tọa độ Plücker
Trong đó:
o p
v v OP
w
  

theo (1)
Tọa độ Plücker của
ˆ
v
trong tọa độ Oxyz
ˆ
x y z
T
o x y z o o o
o
v v v v
v
w

w w w
 
 
 
 
 
 
 
 
(3)
2.2 Vận tốc trong tọa độ Plücker của lý thuyết
vít
Lực tác động lên vật rắn có thể được biểu diễn
bằng: Một lực f tác động vào vật rắn theo hướng đi
qua điểm P và một ngẫu lực
p
n








H. 2 Biểu diễn lực trong tọa độ Plücker
Trong đó:
o p
n n OP f
  


theo (2)
Tọa độ Plücker của
ˆ
f
trong tọa độ Oxyz
ˆ
x y z
T
o
o o o o x y z
n
f n n n f f f
f
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(4)
Tọa độ Plücker bao gồm tổng cộng 12 vectơ đơn
vị thành phần của các dạng vectơ trong không gian
(M
6
và F
6

). Các vectơ Plücker đơn vị (e
x
, e
y
,…, e
oz
)
trong F
6
được coi là đối ứng với (d
ox
, d
ox
, …, d
z
)
trong M
6
. Vì vậy, một tích vô hướng (scalar
product) giữa một vectơ chuyển động và một vectơ
lực có thể biểu diễn trong tọa độ Plücker như sau:
ˆ ˆ
ˆ ˆ
.
T
o o
v f v f

(5)
3. Ứng dụng lý thuyết Vít khảo sát cấu hình

đặc biệt của tay máy song song kiểu Stewart
Platform
Việc xác định cấu hình đặc biệt đóng vai trò quan
trọng trong việc xem xét các thông số của vùng
làm việc đối với tay máy song song. Các cấu hình
đặc biệt được xác định bằng việc áp dụng lý thuyết
Vít để xác định các tọa độ Plücker theo trục dẫn
động tuyến tính của tay máy. Từ các tọa độ
Plücker này, ta cần thiết lập các ma trận để xác
định các giá trị chuẩn số hoạt động của cơ cấu tay
máy song song. Cấu hình đặc biệt sẽ được tìm thấy
nếu tất cả các véctơ trên trục của các dẫn động là
phụ thuộc tuyến tính.
Tại các cấu hình đặc biệt, số bậc tự do của tay máy
song song sẽ giảm đi. Khi đó, quá trình điều khiển
của tay máy song song sẽ không còn phù hợp với
mô hình toán ban đầu. Khi điều khiển quá trình di
chuyển của tấm chuyển động, cần chú ý đến quỹ
đạo dịch chuyển và cấu hình làm việc tĩnh của tay
máy. Cần phải thiết lập trước các quỹ đạo dịch
chuyển và các cấu hình làm việc của tay máy song
song sao cho tay máy không rơi vào các cấu hình
đặc biệt đã được tìm thấy. Do đó, đối với bài toán
điều khiển tay máy song song, đầu tiên ta cần phải
xác định trước vùng làm việc, các giới hạn về
động học [26-29] và các cấu hình đặc biệt.
756 Nguyễn Xuân Vinh, Nguyễn Minh Thạnh, Lê Hoài Quốc, Nguyễn Ngọc Lâm

VCM2012
Xét tay máy song song kiểu Stewart Platform

[1,10-11] (H. 3) có các thông số của cơ cấu B
i
, A
i

là tọa độ của các khớp nối giữa các chân liên kết
với mặt phẳng nền và tấm chuyển động.

H. 3 Tay máy song song kiểu Stewart Platform
Các vít lực được định vị dọc trục trên các chuỗi
động tuyến tính tác động lên khâu ra được xác
định bởi các tọa độ Plücker E
i
:
E
i
=e
i
+

e
oi
, (i=1,…,6), (6)
với:

: hệ số Clifford, (

2
=0)
e

i
: tọa độ của véc tơ (e
i
e
oi
=0).
Các tọa độ của véc tơ e
i
được thể hiện thông qua
tọa độ của các điểm: (x
Bi
–x
Ai
)/L
i
, (y
Bi
–y
Ai
)/L
i
, (z
Bi
–
z
Ai
)/L
i
, với:
x

Ai
, y
Ai
, z
Ai
: tọa độ của điểm A
i

x
Bi
, y
Bi
, z
Bi
: tọa độ của điểm B
i
.
Từ các tọa độ Plücker của các vít đơn vị E
i
, ta cần
xác định ma trận T như sau:
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
6 6 6 6 6 6
. . . . . .
( )
. . . . . .
. . . . . .
o o o
x y z x y z

o o o
x y z x y z
o o o
x y z x y z
e e e
e e e e
e e e e e e
e e e
e e
T
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
(7)
Trong đó:
, ,
Ai Bi Ai Bi Ai Bi
xi yi zi
i i i
x x y y z z
e e e
L L L
  

  

(8)

;
;
o
xi Bi zi Bi yi
o
yi Bi xi Bi zi
o
zi Bi yi Bi xi
e y e z e
e z e x e
e x e y e
 
 
 
(9)

Cấu hình của cơ cấu song song là đặc biệt khi định
thức của ma trận (T) tiến đến zero, nghĩa là:
det(T) = 0
Cấu hình đặc biệt sẽ được tìm thấy nếu tất cả các
véctơ trên trục của các dẫn động là phụ thuộc
tuyến tính.
Tiến hành khảo sát vùng làm việc của tay máy
song song theo đa tiêu chí [25-29], kết hợp việc
xem xét, tìm kiếm các cấu hình đặc biệt của tay
máy song song. Để có thể xác định cấu hình làm

việc của tay máy, ta cần tiến hành khảo sát theo
hai tiêu chí: điểm làm việc và cấu hình làm việc
của tâm khâu ra khi góc hướng của tấm chuyển
động thay đổi.
Để đưa ra một kết luận chính xác, tác giả tiến hành
khảo sát tìm kiếm các cấu hình đặc biệt theo các
biến thể khác nhau của tay máy song song với
cùng một vùng không gian khảo sát. Tay máy
được khảo sát đầu tiên là tay máy có cấu hình
chuẩn kiểu Stewart Platform với các vị trí B
i
đối
xứng sẽ trình bày trong mục 4. Tay máy thứ hai
được khảo sát là một biến thể của tay máy song
song được trình bày ở mục 5.

4. Khảo sát tay máy song song cấu hình chuẩn
kiểu Stewart Platform
4.1 Vùng làm việc của tay máy song song kiểu
Stewart Platform
Cấu hình chuẩn đối xứng của tay máy song song
kiểu Stewart Platform được thể hiện ở H. 4:

H. 4 Cấu hình đối xứng của tay máy song song
Ta tiến hành khảo sát vùng làm việc của tay máy
song song kiểu Stewart-Gough Platform với cấu
hình ban đầu là cấu hình phân bố đối xứng với các
thông số:
( ); 2,4( ); 0.9( );
3

b p b p
rad r m r m
p
a a   
Vùng khảo sát của tâm khâu
( , , )
d d d
x y z
chiếu theo
hệ trục tọa độ
ˆ ˆ
ˆ
( , , )
B B B
x y z
được xác định theo các
giới hạn về chiều dài các khâu dẫn động:
1( ) 3,7( ); 1 6
i
m l m i
  
,
Giới hạn vùng khảo sát của tâm khâu ra:
1.1 1.1; 1.1 1.1;0.5 2.8( )
P d d
x y z m
       
S
ố bước quét tâm khâu:
; ; 10

dstep dstep dstep
x y z


Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 757
Mã bài: 162
Số bước quét góc hướng:
; ; 5
step step step
f q y


Tại mỗi một vị trí tâm khâu khảo sát, các góc
hướng sẽ thay đổi trong khoảng:
0,2793( ) , , 0,2793( )
d d d
rad rad
  
  
tương ứng
với các chuyển động góc (roll – pitch – yaw).
Giới hạn chuyển động của các góc khớp:
0 _ , _ ( );
i i
angle base angle top rad
p
 

Kết quả khảo sát như sau:
BẢNG I. KẾT QUẢ SAU KHI KHẢO

SÁT
Số tâm khâu khảo sát 1.331

Số tâm khâu đạt được 743

Số tâm khâu có cấu hình đặc
biệt
727

Số cấu hình khảo sát 287.496

Số cấu hình đạt được 222.301

Số cấu hình đặc biệt 4.551

Thể tích vùng làm việc của tay máy song song cấu
hình chuẩn kiểu Stewart Platform được tính theo
công thức:

( )
V A h dh


(10)
với h là một kích thước theo một chiều bất kỳ của
vật, A là diện tích phần tiết diện vuông góc với h,
được biểu diễn dưới dạng hàm số của h. Thể tích
gần đúng của vùng làm việc tay máy song song
cấu hình chuẩn kiểu Stewart-Gough có giá trị
V=7,169 (m

3
).

H. 5 Vùng làm việc của tâm khâu ra.
Kết quả khảo sát cho thấy số tâm khâu ra đạt được
có 743 điểm so với 1331 số tâm khâu khảo sát
(chiếm tỷ lệ 55.8%). Tập hợp điểm các tâm khâu
ra đạt được được xem là vùng làm việc của tay
máy song song có thể tích V= 7.169 (m
3
) (xem H.
5). Trong vùng làm việc này cần xem xét sự tồn tại
của các cấu hình đặc biệt tại mỗi điểm đạt được
của tâm khâu ra. Để đảm bảo tính ổn định cho
vùng làm việc của tay máy, mỗi điểm làm việc của
tâm khâu ra đạt được sẽ được xem là điểm đặc biệt
nếu có bất kỳ một cấu hình đặc biệt tồn tại trong
điểm làm việc này.
4.2 Áp dụng lý thuyết Vít xem xét các cấu hình
đặc biệt.
Tiến hành tìm kiếm các cấu hình đặc biệt dựa theo
các giá trị det(T) tại mỗi cấu hình được khảo sát.
Kết quả cho thấy với cấu hình đối xứng, vùng làm
việc của tay máy song song xuất hiện nhiều cấu
hình đặc biệt tại các điểm làm việc của tâm khâu
ra.
-2
-1
0
1

2
-2
-1
0
1
2
0
1
2
3
4
z
x
y

H. 6 Tập hợp điểm đặc biệt.
Theo Bảng I, kết quả khảo sát cho thấy có 727 tâm
khâu chứa 4.551 cấu hình đặc biệt. Để có một cái
nhìn rõ hơn về cấu hình đặc biệt, ta xét một cấu
hình làm việc được tìm thấy như sau:
-2
0
2
-3
-2
-1
0
1
2
3

0
0.5
1
1.5

H. 7 Cấu hình xem xét.
Cấu hình này có các thông số như sau:
Vị trí các khớp liên kết trên mặt phẳng nền (B
i
):
1.7321 1.7321 0 -1.7321 -1.7321 0
-1 1 2 1 -1 -2
0 0 0 0 0 0
i
B
 
 

 
 
 

Vị trí các khớp liên kết trên tấm chuyển động (A
i
):
2.7565 2.9399 2.1835 1.2435 1.0601 1.8165
-1.8383 -0.8608 -0.2225 -0.5617 -1.5392 -2.17
75
1.1425 1.0385 0.8960 0.8575 0.9615 1.1040
i

A
 
 

 
 
 

Chiều dài các chân liên kết (L
i
):


2.13313.00183.46823.24192.44951.7486

i
L

Ma trận của Plücker (Ma trận T):
758 Nguyễn Xuân Vinh, Nguyễn Minh Thạnh, Lê Hoài Quốc, Nguyễn Ngọc Lâm

VCM2012






















1.70321.24120.0780-1.3470-1.8089-0.2445-
00.55480.428200.7344-1.1317-
1.0351- 0.3203-0.24720.55280.42400.6534-
0.5175 0.32030.24720.27640.42400.6534
0.0832-0.1796-0.4503-0.6856-0.7597-0.4794-
0.8516 0.93010.85800.67350.49310.5859
T

Định thức của ma trận T có giá trị det(T) = 0. Kết
quả này cho thấy tại cấu hình khảo sát tất cả các
véctơ trên trục của các dẫn động là phụ thuộc
tuyến tính. Theo lý thuyết Vít, ta có thể khẳng
định, cấu hình đang được khảo sát được xem là
một cấu hình đặc biệt. Đồng thời, điểm làm việc
tại cấu hình khảo sát cũng được xem là điểm đặc
biệt.
Như vậy, có thể khẳng định rằng tác giả đã áp

dụng thành công lý thuyết Vít vào việc xác định
các cấu hình đặc biệt của tay máy song song kiểu
Stewart Platform.
Kết quả khảo sát cho thấy, điểm đặc biệt của tay
máy song song có cấu hình đối xứng chuẩn kiểu
Stewart Platform có đến 727 điểm. Số cấu hình
đặc biệt chiếm 4.551 cấu hình trong tổng số
222.301 cấu hình đạt được. Điều này cho thấy hầu
hết các cấu hình đặc biệt phân bổ trên hầu hết các
điểm làm việc đạt được của tâm khâu ra. Có thể
nhận thấy rằng, tỷ lệ điểm đặc biệt so với số tâm
khâu ra đạt được trong bài toán này là rất cao. Đây
là một yếu tố cần thiết phải xem xét đến khi thiết
kế các cấu trúc và giải các bài toán điều khiển đối
với tay máy song song.

5. Khảo sát tay máy song song với cấu hình
biến thể
5.1 Vùng làm việc của tay máy song song có
cấu hình biến thể
Ta tiến hành khảo sát vùng làm việc của tay máy
song song với tập thông số đầu vào cho trước
tương tự như trong bài toán thứ nhất (mục 4). Tuy
nhiên để có một kết quả khảo sát độc lập, ta chọn
một dạng tay máy có cấu hình biến thể (H. 8) so
với cấu hình chuẩn như mục 4.

H. 8 Cấu hình biến thể.
Tay máy biến thể có các thông số về cấu hình ban
đầu về vị trí các khớp nối trên mặt phẳng nền (B

i
)
và tấm chuyển động (A
i
) như sau:
0 0.7794 0.7794 0.7794 0.7794 0
-0.9 0.45 0.45 0.45 0.45 -0.9
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
i
A
 
 
 

 
 
 

2.0785 2.0785 0 0 2.0785 -2.0785
-1.2 -1.2 2.4 2.4 -1.2 -1.2
0 0 0 0 0 0
i
B

 
 

 
 
 


Tiến hành khảo sát với vùng làm việc và các thông
số tương tự mục 4, ta có kết quả như sau:
BẢNG II. KẾT QUẢ SAU KHI KHẢO
SÁT
Số tâm khâu khảo sát 1.331

Số tâm khâu đạt được 439

Số tâm khâu có cấu hình đặc
biệt
0

Số cấu hình khảo sát 287.496

Số cấu hình đạt được 170.674

Số cấu hình đặc biệt 0

Thể tích vùng làm việc 3,9296

Theo kết quả khảo sát, số điểm làm việc của tâm
khâu ra là 439 điểm (chiếm 32.98% số tâm khâu
khảo sát) tạo thành vùng làm việc có thể tích
V=3.9296 (m
3
) (xem H.10). Số cấu hình đạt được
là 170,674 cấu hình trên tổng số 287.496 cấu hình
của tay máy. Trong vùng làm việc này của tay máy
không xuất hiện các cấu hình đặc biệt cũng như

điểm đặc biệt. Tuy nhiên có những cấu hình có giá
trị det(T) rất nhỏ cho thấy những điểm này thuộc
vùng lân cận của những cấu hình đặc biệt.

H. 9 Vùng làm việc của tâm khâu.
5.2 Áp dụng lý thuyết Vít xem xét các cấu hình
đặc biệt.
Để đánh giá rõ hơn về ảnh hưởng của các điểm
đặc biệt cũng như các vùng lân cận của chúng, ta
tiến hành khảo sát và đánh giá các giá trị chuẩn số
của det(T) tại mỗi cấu hình khảo sát. Các giá trị
chuẩn số này sẽ giúp xác định các tập hợp các cấu
hình đặc biệt của tay máy song song.
Dựa vào kết quả ở Bảng II, ta tiến hành khảo sát
theo những giá trị chuẩn số khác nhau của det(T)
để xác định lại các tập hợp cấu hình đặc biệt khác
nhau của tay máy song song.
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 759
Mã bài: 162
Tiến hành khảo sát với các giá trị chuẩn số của
det(T) (0, 10
-i
; i=1 4) , ta thu được kết quả (Bảng
III):
BẢNG III. KẾT QUẢ SAU KHI KHẢO
SÁT
det(T) < 0

10
-

4
10
-3

10
-2
10
-1
Số điểm đặc
biệt
0

1

23

60 113
Số cấu hình
đặc biệt
0

4

42

414 4.354
-2
-1
0
1

2
-2
-1
0
1
2
0
1
2
3
4
z
x
y

H. 10 Tập hợp điểm làm việc không có cấu hình
đặc biệt với det(T)<10
-4

-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
0

1
2
3
4
z
x
y

H. 11 Lân cận điểm đặc biệt với det(T)<10
-4

-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
0
1
2
3
4
z
x
y


H. 12 Tập hợp điểm làm việc không có cấu hình
đặc biệt với det(T)<10
-3

-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
0
1
2
3
4
z
x
y

H. 13 Lân cận điểm đặc biệt với det(T)<10
-3

-2
-1
0
1

2
-2
-1
0
1
2
0
1
2
3
4
z
x
y

H. 14 Tập hợp điểm làm việc không có cấu hình
đặc biệt với det(T)<10
-2

-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
0

1
2
3
4
z
x
y

H. 15 Lân cận điểm đặc biệt với det(T)<10
-2

-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
0
1
2
3
4
z
x
y


H. 16 Tập hợp điểm làm việc không có cấu hình
đặc biệt với det(T)<10
-1

760 Nguyễn Xuân Vinh, Nguyễn Minh Thạnh, Lê Hoài Quốc, Nguyễn Ngọc Lâm

VCM2012
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
0
1
2
3
4
z
x
y

H. 17 Lân cận điểm đặc biệt với det(T)<10
-1

Quan sát kết quả đạt được, ta có thể thấy rằng, các

giới hạn của chuẩn số det(T) tại các cấu hình ảnh
hưởng đáng kể đến vùng làm việc của tay máy
song song. Điều này cho thấy, khi giá trị chuẩn số
của det(T) càng tăng, số điểm làm việc của tay
máy giảm đi. Tuy nhiên, khi đó độ ổn định của
vùng làm việc sẽ được đảm bảo hơn do tránh được
các vùng lân cận của điểm đặc biệt. Việc xác định
các giới hạn của chuẩn số det(T) giúp cho việc
điều khiển tay máy song song đảm bảo một mức
độ an toàn trong quá trình điều khiển. Việc xác
định mức độ an toàn khi điều khiển sẽ phụ thuộc
vào quá trình thiết kế, chế tạo, điều khiển của tay
máy, các sai số của tay máy như sai số chế tạo, sai
số điều khiển, sai số ngẫu nhiên,…
Qua các bài toán được khảo sát ta nhận thấy rằng,
ở bài toán thứ nhất (mục 4) - cấu hình chuẩn đối
xứng - của tay máy song song kiểu Stewart
Platform tồn tại các cấu hình đặc biệt. Các cấu
hình đặc biệt phân bổ trên hầu hết các điểm đạt
được của tâm khâu ra. Khi tiến hành khảo sát với
cấu hình biến thể ở bài toán thứ hai (mục 5), vùng
làm việc của tay máy song song xuất hiện nhiều
điểm lân cận cấu hình đặc biệt. Để có thể loại bỏ
những vùng lân cận này, tác giả đã khảo sát với
nhiều giá trị ngưỡng khác nhau của det(T). Qua kết
quả khảo sát, có thể khẳng định rằng, các giá trị
khác nhau của det(T) ảnh hưởng đến vùng làm
việc của tay máy song song.
Thể tích vùng làm việc của cấu hình chuẩn đối
xứng kiểu Stewart Platform có thể tích V=7,169

(m
3
). Trong khi đó, do có sự ràng buộc về liên kết
giữa các chân chuyển động, cấu hình biến thể có
thể tích nhỏ hơn V=3,9296 (m
3
). Tuy nhiên, xét về
bài toán điều khiển tay máy, cấu hình biến thể ưu
điểm hơn cấu hình chuẩn đối xứng kiểu Stewart do
có số điểm đặc biệt cũng như các lân cận của
chúng ít hơn. Như vậy, đối với bài toán tối ưu hóa
thiết kế [27-29] và điều khiển tay máy song song,
cần xem xét đến các ảnh hưởng từ các cấu hình
thiết kế khác nhau đến vùng làm việc của tay máy
song song.


6. Kết luận
Trong bài báo này, tác giả đã khảo sát và xác định
tính phù hợp trong việc áp dụng lý thuyết Vít để
giải các bài toán về tay máy song song. Tác giả đã
áp dụng lý thuyết Vít để thực hiện việc xác định
các cấu hình đặc biệt của tay máy song song với
hai trường hợp tay máy song song có cấu hình ban
đầu khác nhau để tìm kiếm các tập hợp cấu hình
đặc biệt.
Các kết quả thu được cho phép kết luận tồn tại các
điểm đặc biệt trong vùng làm việc của tay máy
song song. Các điểm đặc biệt này có các vùng lân
cận cần tránh khi điều khiển tay máy song song.

Khi loại bỏ các điểm đặc biệt và vùng lân cận,
vùng làm việc của tay máy sẽ bị giảm đi đáng kể.
Thể tích vùng làm việc của các tay máy phụ thuộc
vào cấu hình của tay máy, vùng khảo sát và các
ràng buộc giữa các chân liên kết. Các giá trị của
chuẩn số det(T) sẽ ảnh hưởng đến vùng làm việc
của tay máy song song. Việc xác định các giới hạn
của chuẩn số det(T) giúp xác định các lân cận của
điểm đặc biệt của tay máy song song.
Như vậy có thể thấy rằng, Lý thuyết Vít đã được
tác giả áp dụng với những kết quả đáng ghi nhận
trong việc xem xét các cấu hình đặc biệt và ảnh
hưởng của nó đối với vùng làm việc của tay máy
song song.
Cần lưu ý rằng, các bài toán được khảo sát không
mô tả hết được đặc điểm, ảnh hưởng của các dạng
tay máy, đối với các cấu hình đặc biệt của tay máy
song song. Tuy nhiên, với phương pháp được đưa
ra, tác giả đã xác định được tầm ảnh hưởng của
các cấu hình đặc biệt đối với vùng làm việc của
tay máy song song. Việc tối ưu hóa thiết kế theo
đa tiêu chí bao gồm xem xét ảnh hưởng của các
dạng cấu hình tay máy sẽ được tác giả nghiên cứu
và trình bày trong các công trình sau.

Tài liệu tham khảo
[1] Stewart D, A Platform with Six Degres of
Freedom, In: Pr. Inst. Mech. Eng. v.180, Pt.1,
15, pp. 371-386, 1965/1966.
[2] Ball, R., A Treatise on the Theory of Screws,

Cambridge at the University Press, 1900.
[3] William Kingdon Clifford (1873), Preliminary
Sketch of Biquaternions, Paper XX,
Mathematical Papers, p.381.
[4] A.T. Yang (1974) Calculus of Screws in Basic
Questions of Design Theory, William R.
Spillers, editor,Elsevier, pages 266 to 281.
[5] Roy Featherstone (1987). Robot Dynamics
Algorithms. Springer. ISBN 0898382300.
[6] -
and.ac.uk/~history/Biographies/Poinsot.html
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 761
Mã bài: 162
[7] />hasles
[8] Plücker J., On a New Geometry of Space,
Philosophical Transactions of the Royal
Society, Vol. 155, pp. 725–791, 1865.
[9] Dimentberg, F. (1965). The Screw Calculus and
its Applications in Mechanics. Nauka. (English
translation: AD680993, Clearinghouse for
Federal Technical and Scientific Information,
Virginia).
[10] Hunt, K., Structural Kinematics of In-Parallel-
Actuated Robot Arms, ASME Journal of
Mechanisms, Transmissions, and Automation
in Design, Vol. 105, No 4, 1983, pp. 705-712.
[11] J P. Merlet, Parallel Robots, Kluwer
Academic Publishers, 2006, 394p.
[12] C. Gosselin, J. Angeles, Singularity Analysis of
Closed Loop Kinematic Chains, In IEEE Trans.

on Robotics and Automation, 1990, 6(3): 281-
290.
[13] Y.N. Sarkissyan, T.F. Parikyan, Analysis of
Special Configurations of the parallel Topology
Manipulators, In: Eight CISM-IFMoMM
Symp. of Robots and Manipulators, Krakow,
Poland, 1990, pp. 156-163.
[14] D. Zlatanov, R.G. Fenton, B. Benhabib,
Identification and Classification of the Singular
Configurations of the mechanisms, Mechanism
and Machine Theory, Vol. 33, 1998, No 6, pp.
743-760.
[15] A.F. Kraynev, V.A. Glazunov, Parallel
Structure Mechanisms in Robotics, In
MERO’91, Sympos. Nation. de Roboti Industr.,
Bucuresti, Romania, 1991, 1: 104-111.
[16] V.A. Glazunov, A.S. Koliskor, A.F. Kraynev,
Spatial Parallel Structure Mechanisms,
Moscow, Nauka, 1991, 96p. (in rus.).
[17] V.A Glazunov, A.F. Kraynev, G.V. Rashoyan,
A.N. Trifonova, Singular Zones of the parallel
Structure Mechanisms, In Proceeding of the
10th World Congress on TMM, Oulu, Finland,
1999, pp. 2710-2715.
[18] V.A. Glazunov, A.F. Krainev, G.V. Rashoyan,
A.N. Trifonova, and M.G. Esina, Modeling the
zones of singular positions of the parallel-
structure manipulators, Journal of Machinery
Manufacture and Reliability, Allerton Press
Inc., 2000, No. 2, pp. 85-91.

[19] V.A. Glazunov, Twists of Movements of the
parallel Mechanisms Inside Their Singularities,
In Mechanism and Machine Theory, 2006, 41:
1185-1195.
[20] Victor Glazunov, Roman Gruntovich, Alexey
Lastochkin, Nguyen Minh Thanh,
Representations of constraints imposed by
kinematic chains of parallel mechanisms, In
Proceedings of the 12th IFToMM World
Congress in Mechanism and Machine Science,
France, June 17-21, 2007, Vol. 1, pp. 380-385.
[21] Victor Glazunov, Nguyen Minh Thanh,
Determination of the parameters and the Twists
Inside Singularity of the parallel Manipulators
with Actuators Situated on the Base,
ROMANSY 17, Robot Design, Dynamics, and
Control. In Proceedings of the Seventeenth
CISM-IFToMM Symposium, Tokyo, Japan,
2008, pp. 467-474.
[22] Nguyen Minh Thanh, Victor Glazunov, Lu
Nhat Vinh, Nguyen Cong Mau, Parametrical
optimization of parallel mechanisms while
taking into account singularities, In ICARCV
2008 Proceedings, Hanoi, Vietnam, 2008,
International Conference on Control,
Automation, Robotics and Vision, IEEE 2008,
pp. 1872-1877.
[23] Nguyen Minh Thanh, Le Hoai Quoc, Victor
Glazunov, Constraints analysis, determination
twists inside singularity and parametrical

optimization of the parallel mechanisms by
means the theory of screws, In Proceedings of
the (CEE 2009) 6th International Conference on
Electrical Engineering, Computing Science and
Automatic Control, IEEE 2009, Toluca,
Mexico, 2009, pp. 89-95.
[24] Victor Glazunov, Nguyen Ngoc Hue, Nguyen
Minh Thanh, Singular configuration analysis of
the parallel mechanisms, In Journal of
Machinery and Engineering Education, ISSN
1815-1051, No. 4, 2009, pp. 11-16.
[25] Nguyen Minh Thanh, Victor Glazunov, Lu
Nhat Vinh, Determination of Constraint
Wrenches and Design of Parallel Mechanisms.
In CCE 2010 Proceedings, Tuxtla Gutiérrez,
Mexico, 2010, International Conference on
Electrical Engineering, Computing Science and
Automatic Control, IEEE 2010, pp. 46-53.
[26] Nguyen Minh Thanh, Victor Glazunov, Tran
Cong Tuan, Nguyen Xuan Vinh, Multi-criteria
optimization of the parallel mechanism with
actuators located outside working space, The
11th International Conference on Control,
Automation, Robotics and Vision, IEEE 2010,
December 7-10, 2010, Singapore.
[27] Nguyễn Minh Thạnh, Lê Hoài Quốc, Nguyễn
Xuân Vinh, Nguyễn Ngọc Lâm, Tối ưu hóa
thiết kế tay máy song song dùng thuật toán di
truyền, Hội nghị toàn quốc lần thứ 5 về Cơ điện
tử, VCM2010, Việt Nam

[28] Nguyễn Minh Thạnh, Lê Hoài Quốc, Nguyễn
Xuân Vinh, Nguyễn Ngọc Lâm, Tối Ưu Hóa
Thiết Kế Tay Máy Song Song Dùng Thuật Toán
Di Truyền Kết Hợp Tập Hợp Tối Ưu Pareto,
Hội nghị toàn quốc về Điều khiển và Tự động
hoá - VCCA-2011, Việt Nam.
762 Nguyễn Xuân Vinh, Nguyễn Minh Thạnh, Lê Hoài Quốc, Nguyễn Ngọc Lâm

VCM2012
[29] Nguyen Minh Thanh, Le Hoai Quoc, Victor
Glazunov, Singularity Analysis, Constraint
Wrenches and Optimal Design of Parallel
Manipulators. In Book chapter of Serial and
Parallel Robot Manipulators - Kinematics,
Dynamics, Control and Optimization, ISBN:
978-953-51-0437-7, 2012, pp. 359-372.

Le Hoai Quoc received PhD
in 1982 of the Institute of
Mathematics and
Electronics Moscow –
Russia in the Controls of
Technical Systems. He is an
Associate Professor. From
2006, he is the Deputy
Director of Department of Science and
Technology, People’s Committee of HCM City;
Head of National Key Lab. of Robotics in the
Vietnam National University, HCM City; Invited
Professor of HCM University of Technology,

VNU. From 2011, he is the President of Saigon
Hi-Tech Park.
His other professional activities are the Vice
Chairman of Vietnam Association of Robotics;
Vice Chairman of HCM City Association of
Automation; Member of Board of Vietnam
National Program of Mechanical Engineering and
Automation KC.03/11-15. Besides, he is the
Member of Committee of Vietnam National
Program on Automation; Member of National
Committee of Professor’s Title on Electrics –
Electronics and Automation; Chairman of HCM
City Program of Industrial Technology and
Automation; Chairman of HCM City Program of
Industrial Robots. He co-authored two books and
published many papers on national and
international journals and conference proceedings.