LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 1


A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên tập D:y’=f’(x).
a) Tính đơn điệu của hàm số:
 Hàm số đồng biến trên D y’>0 với mọi x thuộc D
 Hàm số đồng biến trên D y’>0 với mọi x thuộc D
b) Cực đại và cực tiểu của hàm số:
 Hoành độ các cực trị của hàm số làm nghiệm của phương trình f’(x)=0
 Hàm số đạt cực đại tại x
o

'( ) 0
'( ) 0
o
o
fx
fx






 Hàm số đạt cực tiểu tại x
o

'( ) 0
''( ) 0

o
o
fx
fx






c) Đường tiệm cận của hàm số:( Chỉ có hàm phân thức mới có)
 Tiệm cận đứng:
Cho hàm số y=f(x), ta có:
Nếu
lim
lim
o
o
xx
xx
y
y












thì đường thẳng x=x
o
được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm
số.
 Tiệm cận ngang
Cho hàm số y=f(x) ta có:
Nếu
0
lim
x
yy


thì đường thẳng y=y
o
được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
 Tiệm cận xiên:
Cho hàm số y=f(x) ta có:
Nếu
lim[ ( )] 0
x
y ax b

  
thì đường thẳng y=ax+b được gọi là tiệm cận xiên của đồ
thị.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Tìm các tiệm cận của các đồ thị hàm số sau:
a)
25
1
x
y
x



b)
10 3
12
x
y
x



c)
23
2
x
y
x




d)

2
43
1
xx
y
x



e)
2
( 2)
1
x
y
x



f)
2
7 4 5
23
xx
y
x





g)
2
45
x
y
xx


h)
2
2
9
x
y
x



i)
2
2
45
1
xx
y
x






LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 2

l)
2
2
2 3 3
1
xx
y
xx



m)
3
2
1
1
xx
y
x



n)
4
3
4
1

xx
y
x




o)
2
45
x
y
xx


p)
2
2
9
x
y
x



r)
2
2
45
1

xx
y
x




s)
2
2
2 3 3
1
xx
y
xx



t)
3
2
1
1
xx
y
x



u)

4
3
4
1
xx
y
x




d) Khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc 3 và hàm bậc 4 trùng phương:
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

e)Khảo sát sự biến thiên của hàm nhất biến:
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 3

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a)
32
3 9 1y x x x   
b)
32
3 3 5y x x x   
c)
32
32y x x   

d)
2

( 1) (4 )y x x  
e)
3
2
1
33
x
yx  
f)
32
3 4 2y x x x    

g)
42
21y x x  
h)
42
41y x x  
i)
4
2
5
3
22
x
yx  

j)
22
( 1) ( 1)y x x  

k)
42
22y x x   
l)
42
2 4 8y x x   

m)
1
2
x
y
x



n)
21
1
x
y
x



o)
3
4
x
y

x




p)
12
12
x
y
x



q)
31
3
x
y
x



r)
2
21
x
y
x







B. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP:
I. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=f(x) trên tập D.
Phương pháp giải :
Xét hàm số y=f(x) trên D, ta có: y’=f’(x)
Giải y’=0 rồi so sánh nhận những nghiệm thuộc D
Tính các giá trị, giới hạn (lim) cần thiết để so sánh và kết luận.
Ví dụ:Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
4
yx
x

trên đoạn [1;3]
 Lưu ý:
- Khi biểu thức đã cho có biểu thức đạo hàm ko đẹp (như có căn,…) ta có
thể kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để có biểu thức đẹp hơn.
- Khi đổi ẩn thì khoảng cần xét cũng thay đổi.
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a)
2
4 1 12 72 [2;12]y x x x x     
b)
22
2 3 2 4y x x x x    

II. Bài toán về tính đơn điệu:

DẠNG 1: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ BẬC 3 ĐỒNG BIẾN TRÊN R
 Lý thuyết cần nắm:
Hàm số bậc 3 có đạo hàm bậc 1 là một hàm số bậc 2: y’=ax
2
+bx+c.
 Để hàm số đồng biến trên R thì
0
0a






 Để hàm số nghịch biến trên R thì
0
0
a 





Lưu ý:

LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 4

Các bài toán dạng định m để hàm số
2
ax bx c

y
dx e



đồng hay nghịch biến từng
khoảng xác định cũng có thể áp dụng phương pháp này.
 Các ví dụ minh họa:
Định m để các hàm số sau đồng biến, nghịch biến trên các khoảng xác định của
chúng:
2
32
1
/ 3 1 /
1
x mx
a y x x mx b y
x

    


DẠNG 2: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ
ax b
y
cx d



ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN

TRÊN MỘT KHOẢNG BẤT KÌ.
Phương pháp giải:
2
'
()
ad bc
y
cx d




 Hàm số đồng biến trên một khoảng bất kì ad-bc>0
 Hàm số nghịch biến trên một khoảng bất kì  ad-bc<0
 Ví dụ:Cho hàm số
xm
y
xm



, tìm m để hàm số
a) Đồng biến trên từng khoảng xác định của chúng
b) Nghịch biến trên [0;3]
DẠNG 3: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ y=f(x) ĐỒNG BIẾN HAY NGHỊCH BIẾN
TRÊN [a;b]
Phương pháp giải:y’=f’(x,m) (m là tham số)
 Hàm số đồng biến trên [a;b]  y’>0 với mọi x thuộc[a;b]
 Hàm số nghịch biến trên [a;b]  y’<0 với mọi x thuộc[a;b]
Tới đây ta đưa về những dạng sau:

 Dạng 1: g(m)<h(x) với mọi x thuộc [a;b]


[ ; ]
( ) min ( )
x a b
g m h x



 Dạng 2: g(m)>h(x) với mọi x thuộc [a;b]


[ ; ]
( ) max ( )
x a b
g m h x



 Lưu ý: trong trường hợp bài tập yêu cầu định m để hàm số đơn điệu
trên hai hay nhiều khoảng riêng biệt, ta nên xét trong từng khoảng rồi
hợp kết quả với nhay.
Ví dụ:
1/ Cho hàm số y=3x
3
+8x
2
-3mx+1. Tìm m để hàm số đồng biến trên
[0;3]

2/Cho hàm số y=2x
3
+(m-1)x
2
+2(m+2)x.Tìm m để hàm số đồng biến
trên [2;4]
DẠNG 4: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ BẬC 3 ĐỒNG BIẾN HAY NGHỊCH
BIẾN TRÊN KHOẢNG CÓ ĐỘ DÀI BẰNG K:

LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 5

Phương pháp giải:
Tính y’ rồi cho y’=0.
Để hàm số có khoảng đồng hay nghịch biến thì:






0
(1)
0
a

Khi đó hàm số đồng (hay nghich) biến trên khoảng (x
1
;x
2
) với x

1
;x
2
là
2 nghiệm của phương trình y’=0
Biến đồi
12
x x d

22
1 2 1 2
( ) 4x x x x d  
(2)
áp dụng hệ thức viet cho y’=0 rồi thay vào (2) đưa thành phương trình
theo m sau đó giải và so sánh với (1) đề nhận nghiệm.
Các ví dụ: a/ Tìm m để hàm số
32
3y x x mx m   
nghịch biến trên khoảng
có độ dài bằng 1.
b/ Tìm m để hàm số
32
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x      
đồng biến trên khoảng có độ
dài bằng 4.
MỘT SỐ DẠNG KHÁC:
Ví dụ1 :Định m để hàm số

32
1
( 1) ( 2) 7
3
y x m x m m x     
đồng biến trên [4;9].
Hướng dẫn:
22
' 2(m 1) 2
'0
2
y x x m m
xm
y
xm
    


 




Dựa vào bảng biến thiên ta có:
99
2 4 2
mm
ycbt
mm



 

  


Ví dụ 2:Cho hàm số:
22
23
2
x mx m
y
xm



. Định m để hàm số đồng biến trên
(1; )
.
Hướng dẫn:

LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 6

22
4
'
( 2 )
(2 3)
'0
(2 3)

1:(2 3) (2 3) 0
11
(2 3) 1 0
2 3 2 3
2:(2 3) (2 3) 0
1
(2 3) 1 0
23
x mx m
y
xm
xm
y
xm
TH m m m
ycbt m m m
TH m m m
ycbt m m m





 




    
       


    
      


Vậy
1
23
m 


III. Cực trị của hàm số:
a) SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ:
Số cực trị của hàm số là số nghiệm của phương trình y’=0. Khi đó
hoành độ của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y’=0
và thỏa hệ thức Viet cho đa thức.
Các ví dụ: Cho hàm số
y x x mx m
32
3 – 2   
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
a/Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
b/ Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
c/ Xác định

m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
21
, xx
sao cho
2
21
 xx
.
d/ Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho
xx
12
21
.

b) Đường thẳng đi qua 2 cực trị của hàm bậc 3:
Xét (C)y=f(x) =(cx+d)y’+ax+b ta có: y=ax+b là phương trình đường thẳng đi
qua hai cực trị của hàm số.
Trong đó:
a là hệ số góc của đường thẳng đó.
( ; 1)na
là vector pháp tuyến của đường thẳng đó.
Các ví dụ:
a/ Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị hàm số khi m=2

b/ Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau
qua đường thẳng d:
yx
1
2

.
c/ Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với
đường thẳng d:
xy4 – 5 0
một góc
0
45
.
c) CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG :

LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 7

Hàm bậc 4 trùng phương thường có một cực trị thuộc trục tung và 2 cực trị còn lại
đối xứng nhau ua trục Oy. Cách giải những bài toán này là phải liệt kê các điểm
cực trị theo tham số rồi xử lý theo yêu cầu đề bài.
Các ví dụ:
Vd1: Cho hàm số
4 2 2
( ) 2( 2) 5 5      y f x x m x m m
.
a/Tìm các giá trị của m để đồ thị
m

C()
của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam
giác vuông cân.
b/ Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các
điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Vd2: Cho hàm số
y x mx m m
4 2 2
2   
có đồ thị (C
m
).
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập
thành một tam giác có một góc bằng
0
120
.
Vd3: Cho hàm số
y x mx m
42
21   
có đồ thị (C
m
). Với những giá trị nào của m thì đồ thị
(C
m

) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường
tròn ngoại tiếp bằng
1
.
Vd4: Cho hàm số
y x mx m m
4 2 4
22   
có đồ thị (C
m
). Với những giá trị nào của m thì đồ thị
(C
m
) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4.
d) Các bài toán liên quan đến tam giác và cực trị:
Ví dụ:
Vd1: Cho hàm số
y x x m
32
3  
. Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A,
B sao cho
AOB
0
120
.
Vd2: Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m m     
(1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị

đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng
2
lần
khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.
Vd3: Cho hàm số
y x x
32
– 3 2
. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d:
yx32
sao tổng
khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất.
IV. Bài toán về sự tương giao giữa hai đồ thị:

Bài 1:Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 (m là tham số) (1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C
sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.
Bài 2:Cho hàm số
32
12
33
y x mx x m    
có đồ thị
m
C()

.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –1.
2) Tìm m để
m
C()
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn
hơn 15.
Bài 3:Cho hàm số
y x x
32
32  
có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 8

2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại
ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng
2
.
Bài 4:Cho hàm số
y x x x
32
6 9 6   
có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Định m để đường thẳng
d y mx m( ) : 2 4  
cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
Bài 5:Cho hàm số

y x x
32
– 3 1
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng ():
y m x m(2 1) – 4 –1
cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân
biệt.
Bài 6:Cho hàm số
32
32y x m x m  
có đồ thị (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.
Bài 7:Cho hàm số
y x mx m
42
1   
có đồ thị là
 
m
C

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
m 8

.
2) Định m để đồ thị
 
m
C
cắt trục trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Bài 8:Cho hàm số
 
42
2 1 2 1y x m x m    
có đồ thị là
 
m
C
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi
0m
.
2) Định
m
để đồ thị
 
m
C
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số
cộng.
Bài 9:Cho hàm số
x
y
x

21
2



có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng đường thẳng d:
y x m  
luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Bài 10:Cho hàm số
3
1
x
y
x



.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm
( 1;1)I
và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N
sao cho I là trung điểm của đoạn MN.
Bai 11:Cho hàm số
24
1
x

y
x



(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M,
N sao cho
3 10MN 
.
Bài 12:Cho hàm số
22
1
x
y
x



(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng (d):
y x m2
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
5AB
.

LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 9


Bài 13:Cho hàm số
x
y
xm
1


(1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m 1
.
2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d):
yx2
cắt đồ thị hàm số (1) tại
hai điểm A và B sao cho
AB 22
.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Câu 1. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thò của các hàm số sau:
a)
2
3
3
22
1
22
x
yx
x
y


   







b)
2
24
1
24
x
y
x
y x x






   

c)
3
43
2

y x x
yx



  


d)
42
2
1
45
y x x
yx


  




e)
32
2
5 10 5
1
y x x x
y x x



   

  


f)
2
1
31
x
y
x
yx






  


Câu 2. Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thò của các hàm số sau:
a)
y x x
y m x
3
32
( 2)


  



b)
32
2
32
1 13
2 12
xx
yx
y m x

  





  




c)
3
3
3

( 3)
x
yx
y m x


  





d)
21
2
2
x
y
x
y x m









e)

1
1
2
x
y
x
y x m







  

f)
2
63
2
xx
y
x
y x m











g)
1
3
1
3
yx
x
y mx


   





h)
2
33
2
41
xx
y
x
y mx m










i)
y x x
y m x
3
2
21
( 1)


  





Câu 3. Tìm m để đồ thò các hàm số:
a)
2
( 2) 1
;1
2
x

y y mx
x

  

cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b)
2
23
;2
1
x x m
y y x m
x

  

cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
c)
2
;2
1
mx x m
y y mx
x

  

cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
d)

2
45
;2
2
xx
y y mx
x

  

cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
e)
2
( 2)
;3
1
x
y y mx
x

  

cắt nhau tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau.
f)
2
1
mx x m
y
x




cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.

LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 10

Câu 4. Tìm m để đồ thò các hàm số:
a)
32
3 2 ; 2y x x mx m y x      
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
b)
32
3 (1 2 ) 1y mx mx m x    
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c)
22
( 1)( 3)y x x mx m    
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
d)
3 2 2
2 2 2 1; 2 2y x x x m y x x       
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
e)
3 2 2 2
2 3 ; 2 1y x x m x m y x     
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Câu 5. Tìm m để đồ thò các hàm số:
a)
42

2 1;y x x y m   
cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.
b)
4 2 3
( 1)y x m m x m   
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
c)
4 2 2
(2 3) 3y x m x m m    
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Câu 6. Tìm m để đồ thò của các hàm số:
a)
31
;2
4
x
y y x m
x

  

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB
ngắn nhất.
b)
41
;
2
x
y y x m
x


   

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB
ngắn nhất.
c)
2
24
; 2 2
2
xx
y y mx m
x

   

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tính AB
theo m.
Câu 7. Tìm m để đồ thò của các hàm số:
a)
32
3 6 8y x mx mx   
cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số
cộng.
b)
32
3 9 1; 4y x x x y x m     
cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của
đoạn AC.
c)

4 2 2
(2 4)y x m x m   
cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp số
cộng.
d)
32
( 1) ( 1) 2 1y x m x m x m      
cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành
một cấp số nhân.
e)
32
3 (2 2) 9 192y x m x mx    
cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một
cấp số nhân.

V. Biện luận nghiệm của phương trình:
 Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)

LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 11


 Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thò ta biến đổi (*) về một
trong các dạng sau:
Dạng 1: F(x, m) = 0  f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m
 d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
 Dựa vào đồ thò (C) ta biện luận số giao điểm
của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2)
Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k.
Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.
Chú ý:
 Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện:   x   thì ta chỉ vẽ đồ thò (C): y = f(x)
với   x  .
 Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.
Bài 1 :Cho hàm số
y x x
32
31   
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để phương trình
x x m m
3 2 3 2
3 3  
có ba nghiệm phân biệt.
Bài 2:Cho hàm số
42

54  y x x
có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để phương trình
42
2
| 5 4| logx x m  
có 6 nghiệm.
Bài 3:Cho hàm số
y f x x x
42
( ) 8 9 1   
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

x x m
42
8cos 9cos 0  
với
x [0; ]



Bài 4:Cho hàm số
1
.
1
x
y

x




1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
1
.
1
x
m
x




MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN:
DẠNG 1: TỪ ĐỒ THỊ HÀM SỐ (C):y=f(x) SUY RA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
(C’):y=|f(x)|
Đồ thị (C’):y=|f(x)| có dạng :
- Phần trên trục Ox của (C).
- Lấy đối xứng phần phía dưới trục Ox qua trục Ox rồi gạch bỏ.

LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 12

DẠNG 2: TỪ ĐỒ THỊ HÀM SỐ (C):y=f(x) SUY RA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
(C’):y=f(|x|)
- Phần bên phải trục Oy của (C).
- Lấy đối xứng phần bên trái trục Oy qua trục Oy rồi gạch bỏ.

VI. Tiếp tuyến:
a) ĐIỀU KIỆN CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP XÚC NHAU:
Cho hàm số (C ): y=f(x) và (C’): y=g(x), ta có: (C) và (C’) tiếp xúc nhau

( ) ( )
(1)
'( ) '( )
g x f x
g x f x






Lưu ý:Nếu (C’) có dạng đường thẳng y=ax+b , thì lúc đó, (C’) được gọi là
tiếp tuyến của (C) và số nghiệm của phương trình (1) chính là số tiếp tuyến
kẻ được của (C) thỏa yêu cầu đề bài.
b) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA (C): y=f(x) TẠI N(x
o
;y
o
).
Phương trình tiếp tuyến của (C): y=f(x) tại N(x
o
;y
o
) là
(d): y=f’(x
o

).(x-x
o
)+y
o
.
Trong đó:
 f’(x
o
) là hệ số góc của tiếp tuyến (d).

 
'( );1
o
n f x
là vector pháp tuyến của tiếp tuyến (d).
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
c) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA (C): Y=F(X) QUA(HAY XUẤT
PHÁT TỪ) N(x
o
;y
o
).
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến (d) cần tìm, ta có:
(d): y=k(x-x
o
)+y
o


(d) là tiếp tuyến của (C)
( ) ( )
'( )
oo
o
f x k x x y
k f x
  





Giải phương trình tìm được k=> phương trình (d).
Các ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y=x
3
-3x
2
+2 đi qua giao điểm
của (C) với trục tung.

d) CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC CỦA TIẾP TUYẾN (D) (CỦA HÀM SỐ
(C):y=f(x
o
) VỚI ĐƯỜNG THẲNG (D’):ax+by+c=0 BẤT KÌ:
Phương pháp giải:
Gọi M(x
o
;y

o
) là tiếp điểm của tiếp tuyến (d) cần tìm:
 (d):y=f’(x
o
)(x-x
o
)+y
o


LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 13

Vtpt của (d):
0
[ '( );1]n f x

(d’) :ax+by+c=0 => vtpt:
( ; )n a b

Ta có:
.'
cos( ; ') cos( ; ')
.'
nn
d d n n
nn


=> f’(x
o

)=> N=> (d)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với đường thẳng d một góc :
a) (C):
3
20
2 4; : 3 7; 45
3
x
y x x d y x      


b) (C):
3
20
1
2 4; : 3; 30
32
x
y x x d y x       


c)
0
43
( ) : ; : 3 ; 45
1
x
C y d y x
x


  



d)
0
37
( ) : ; : ; 60
25
x
C y d y x
x

   



e)
2
0
3
( ) : ; : 1; 60
2
xx
C y d y x
x

    





e) CÁC BÀI TỐN VỀ SỐ TIẾP TUYẾN KẺ ĐƯỢC:
Giả sử d: ax + by +c = 0. M(x
M
; y
M
)  d.
 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – x
M
) + y
M

  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( ) (1)
'( ) (2)
MM
f x k x x y
f x k

  




 Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x
M
).f (x) + y

M
(3)
 Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Tìm các điểm trên đồ thò (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
a)
32
( ) : 3 2C y x x   
b)
3
( ) : 3 1C y x x  

Bài 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
a)
1
( ) :
1
x
Cy
x



; d là trục tung b)
2
2
( ) :
1
xx
Cy

x



; d là trục hoành
c)
2
2
( ) :
1
xx
Cy
x



; d: y = 1 d)
2
33
( ) :
2
xx
Cy
x



; d: x = 1
e)
3

( ) :
1
x
Cy
x



; d: y = 2x + 1
Bài 3. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ít nhất một tiếp tuyến với (C):

LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 14

a)
2
69
( ) :
2
xx
Cy
x



; d là trục tung b)
2
33
( ) :
1
xx

Cy
x



; d là trục tung
c)
21
( ) :
2
x
Cy
x



; d: x = 3 d)
34
( ) :
43
x
Cy
x



; d: y = 2
Bài 4. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với (C):
a)
2

2
( ) :
2
xx
Cy
x



; d là trục hoành b)
2
1
( ) :
1
xx
Cy
x



; d là trục tung
c)
2
33
( ) :
2
xx
Cy
x




; d: y = –5
Bài 5. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ba tiếp tuyến với (C):
a)
32
( ) : 3 2C y x x   
; d: y = 2 b)
3
( ) : 3C y x x
; d: x = 2
c)
3
( ) : 3 2C y x x   
; d là trục hoành d)
3
( ) : 12 12C y x x  
; d: y = –4
e)
42
( ) : 2C y x x  
; d là trục tung e)
42
( ) : 2 1C y x x   
; d là trục tung
Bài 6. Từ điểm A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C):
a)
32
( ) : 9 17 2C y x x x   
; A(–2; 5) b)

32
1 4 4
( ) : 2 3 4; ;
3 9 3
C y x x x A

   



c)
32
( ) : 2 3 5; (1; 4)C y x x A   

Bài 7. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng d có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C):
a)
32
( ) : 6 9 1C y x x x   
; d: x = 2 b)
3
( ) : 3C y x x
; d: x = 2
f) Tìm những điểm mà có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vng góc với nhau:
Gọi M(x
M
; y
M
).
 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – x
M

) + y
M

  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( ) (1)
'( ) (2)
MM
f x k x x y
f x k

  




 Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x
M
).f (x) + y
M
(3)
 Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)  (3) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
 Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau  f (x
1
).f (x
2

) = –1
Từ đó tìm được M.
Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai
phía với trục hoành thì
12
(3) 2
( ). ( ) 0
có nghiệm phân biệt
f x f x





BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Chứng minh rằng từ điểm A luôn kẻ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau.
Viết phương trình các tiếp tuyến đó:

LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 15

a)
2
1
( ) : 2 3 1; 0;
4
C y x x A

   



b)
2
1
( ) : ; (1; 1)
1
xx
C y A
x




c)
2
22
( ) : ; (1;0)
1
xx
C y A
x



d)
Bài 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến với (C)
vuông góc với nhau:
a)
32
( ) : 3 2C y x x  
; d: y = –2 b)

32
( ) : 3C y x x
; d là trục hoành
c)
2
21
( ) :
1
xx
Cy
x



; d là trục tung d)
2
21
( ) :
1
xx
Cy
x



; d là trục tung
e)
2
32
( ) :

xx
Cy
x


; d: x = 1
Bài 3. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà tại đó hai tiếp tuyến với (C) vuông góc
với nhau:
a)
2
( ) :
2
x x m
Cy
xm
  


; d: y = –1 b)
2
8
( ) :
x mx
Cy
xm



; d là trục hoành
c)

2
2
( ) :
x mx m
Cy
xm



; d là trục hoành
Bài 4. Tìm m để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía
với trục hoành;

2
( ) : ; (0; )
1
x
C y A m
x




g) Các bài tốn về tiếp tuyến khác:
Bài 1: Cho hàm số
y x x
32
31  
có đồ thị (C). Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho
tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB =

42
.
Bài 2: Cho hàm số
2
2
x
y
x


(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng
cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Bài 3: Cho hàm số
x
y
x
2
23



. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp
tuyến đó cắt trục hồnh, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại
gốc tọa độ O
Bài 4: Cho hàm số y =
1
12


x

x
.Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến
này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB
Bài 5: Cho hàm số
x
y
x
23
2



có đồ thị (C).Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M
của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất

LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 16

Bài 6: Cho hàm số
x
y
x
23
2



. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các
đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm
M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Bài 7: Cho hàm số

1
12



x
x
y
có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M
thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt
giá trị nhỏ nhất
Bài 8: Cho hàm số
x
y
x
21
1



.Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm
I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng
2
.
Bài 9: Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam
giác có diện tích khơng đổi với (C):
a)
x
y
x

2
1



b)
x
y
x
24
1




VII. Các bài tốn về điểm đặc biệt:
DẠNG 1: ĐIỂM CỐ ĐỊNH MÀ HỌC CỦA (C
M
) LN ĐI QUA:
Phương pháp giải:

Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm cố đònh (nếu có) của họ (C
m
).
M(x
0

; y
0
)

(C
m
),

m

y
0
= f(x
0
, m),

m (1)


Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:


Dạng 1: (1)

Am + B = 0,

m

Dạng 2: (1)



2
0Am Bm C  
,

m



0
0
A
B





(2a)


0
0
0
A
B
C









(2b)


Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x
0
; y
0
) của điểm cố đònh.
Chú ý: Các hệ (2a), (2b) là các hệ phương trình có 2 ẩn x
0
, y
0
.
Bài 1. Tìm các điểm cố đònh của họ đồ thò (C
m
) có phương trình sau:
a)
( 1) 2 1y m x m   
b)
2
2( 2) 3 1y mx m x m    

c)
32
( 1) 2 ( 2) 2 1y m x mx m x m      

d)
2
(1 2 ) (3 1) 5 2y m x m x m     

e)
32
99y x mx x m   
f)
3
( 2) 2y m x mx   

g)
42
2 4 1y mx x m   
h)
42
5y x mx m   

i)
( 1) 2
( 1, 2)
mx
y m m
xm

    

k)
31
( 2) 4

xm
y
m x m




l)
2
5 7 2
2
3
x mx
ym
mx


  



m)
2
2 ( 2)
( 0)
2
x m x m
ym
xm
   




n)
2
2
( 1)
2 2 1
x m x m
y
x mx m
  

  
o)
2
2
2 6 4
2 (5 2) 6
x x m
y
x m x


  


LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 17

Bài 2. Chứng minh rằng họ đồ thò (C

m
) có 3 điểm cố đònh thẳng hàng. Viết phương trình
đường thẳng đi qua 3 điểm cố đònh đó:
a)
32
( 3) 3( 3) (6 1) 1y m x m x m x m       

b)
32
( 2) 3( 2) 4 2 1y m x m x x m      

c)
32
( 4) (6 24) 12 7 18y m x m x mx m      

d)
3
( 1) (2 1) 1y m x m x m     

DẠNG 2: TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH MÀ HỌ CỦA (C
M
) KHƠNG ĐI
QUA.
Phương pháp giải:

Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm mà không có đồ thò nào của họ (C

m
)
đi qua.
M(x
0
; y
0
)

(C
m
),

m

y
0
= f(x
0
, m) vô nghiệm m (1)


Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:


Dạng 1: (1)

Am + B = 0 vô nghiệm m



0
0
A
B





(2a)


Dạng 2: (1)


2
0Am Bm C  
vô nghiệm m


2
0
0
0
40
AB
C
A
B AC

















(2b)
Chú ý:

Kết quả là một tập hợp điểm.


Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố đònh của hàm hữu tỷ là những
điểm đồ thò không đi qua.
Bài 1. Tìm các điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thò nào của họ (C
m
) đi qua:
a)
2
( 2) 2y m x m m   
b)

2
22
1
11
mm
yx
m m m m


   

c) d)
2 3 2
2y x m x m   

e)
3 2 3 2
2 3 5 4y x mx m m    
f)
3 2 2 2
446y mx m x mx m    

g)
2
( 2) 2 4m x m m
y
xm
   



h)
2
(3 1)m x m m
y
xm




i)
2
8
1
x mx m
y
x
  


k)
2
22x mx m
y
xm
  



l)
2

2
24
25
x mx m
y
xx
  


m)
2
2
(3 1) 10
32
x m x
y
xx
  



Bài 2. Tìm các điểm thuộc (L) mà không có đồ thò nào của họ (C
m
) đi qua:
a) (C
m
):
3 2 2 2
446y mx m x mx m    
; (L) là trục hoành.

b) (C
m
):
32
2 3( 3) 18 6y x m x mx    
; (L):
2
14yx
.
2
2(1 ) 1 ( 0)y mx m x m m     

LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 18

c) (C
m
):
22
2
1
1
x mx m m
y
mx m m
   

  
; (L) là trục tung.
d) (C
m

):
22
( 1) 1m x m x
y
xm



; (L): x = 2.
e) (C
m
):
22
1mx
y
x


; (L): y = 1.
DẠNG 3: TÌM NHỮNG ĐIỂM TRÊN (C) CĨ TỌA ĐỘ NGUN.
Tìm các điểm trên đồ thò hàm số hữu tỉ
()
()
Px
y
Qx

có toạ độ là những số nguyên:



Phân tích
()
()
Px
y
Qx

thành dạng
()
()
a
y A x
Qx

, với A(x) là đa thức, a là số
nguyên.


Khi đó
x
y







Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trò x nguyên để
Q(x) là ước số của a.



Thử lại các giá trò tìm được và kết luận.
Bài 1. Tìm các điểm trên đồ thò (C) của hàm số có toạ độ nguyên:
a)
2
1
x
y
x



b)
10
2
x
y
x



c)
2
2
x
y
x





d)
2
1
2
xx
y
x



e)
2
2
1
xx
y
x



f)
4
1
1
yx
x
  



Bài 2. Tìm các điểm trên đồ thò (C) của hàm số có toạ độ nguyên:
a)
2
2( 1) 4y x y x y x    
b)
2
2 4( 1) 6y x y x y x    

Dạng 3: Tìm Các Cặp Điểm Trên (C) Đối Xứng Nhau Qua (d) ax+by+c=0.
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 19

……………………
Bài 1. Tìm trên đồ thò (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:
a)

3
( ) : ; : 2 0C y x x d x y   
b)
4
( ) : ; : 2 6 0
2
x
C y d x y
x

   


c)
2
( ) : ; : 1
1
x
C y d y x
x
  

d)
2
1
( ) : ; : 1
1
xx
C y d y x
x


  


Bài 2. Cho đồ thò (C) và đường thẳng d. Viết phương trình đồ thò (C) đối xứng với (C) qua
đường thẳng d:
a)
32
( ) : 3 5 10 2; : 2C y x x x d x     
b)
2
2 3 7
( ) : ; : 2
1
xx
C y d x
x




c)
2
2
( ) : ; : 2
2
xx
C y d y
x




d)
2
2 5 3
( ) : ; : 1
1
xx
C y d y
x

  


Bài 3. Tìm m để trên đồ thò (C) có một cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:
a)
3 2 2
( ) : 3 2 ; :C y mx x x m d Ox   

DẠNG 4: TÌM CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU QUA I(a;b)

Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),
có hệ số góc k có dạng:
()y k x a b  
.


Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
f(x) =
()k x a b

(1)


Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
A, B. khi đó x
A
, x
B
là 2 nghiệm của (1).


Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I

I là trung điểm của AB, ta tìm được k

x
A
, x
B
.
Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O


AB
AB
xx
yy








Bài 1. Tìm trên đồ thò (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm I:
a)
32
( ) : 4 2; (2;4)C y x x x I   
b)
2
25
( ) : ; 0;
12
xx
C y I
x




  

c)
32
( ) : 3 2 1; (0;0)C y x x x I O    
d)
4
( ) : ; (0;0)
1
x

C y I O
x




e)
34
( ) : ; (1;1)
21
x
C y I
x



e)
 
2
2 5 1
( ) : ; 2; 5
1
xx
C y I
x

  


Bài 2. Cho đồ thò (C) và điểm I. Viết phương trình đồ thò (C) đối xứng với (C) qua điểm I:

a)
32
( ) : 2 3 5 1; (1;2)C y x x x I   
b)
2
( 1)
( ) : ; (1;1)
2
x
C y I
x





LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 20

c)
2
1
( ) : ; (2;1)
1
xx
C y I
x



d)

32
2 5 1
( ) : ; (2;1)
23
x x x
C y I
x
  



Bài 3. Tìm m để trên đồ thò (C) có một cặp điểm đối xứng nhau qua điểm:
a)
3 2 2 2
( ) : 3 3( 1) 1 ; (0;0)C y x mx m x m I O      

b)
32
( ) : 7 3; (0;0)C y x mx x I O    

c)
32
( ) : 9 4; (0;0)C y x mx x I O    
d)
2 2 2
2
( ) : ; (0;0)
1
x m x m
C y I O

x




DẠNG 5: KHOẢNG CÁCH
1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB =
22
( ) ( )
B A B A
x x y y  

2) Khoảng cách từ điểm M(x
0
; y
0
) đến đường thẳng

: ax + by + c = 0:
d(M,

) =
00
22
ax by c
ab



3) Diện tích tam giác ABC:

S =
 
2
22
11
. .sin . .
22
AB AC A AB AC AB AC

Bài 1. Cho đồ thò (C) và điểm A. Tìm điểm M trên (C) sao cho AM nhỏ nhất. Chứng minh
rằng khi AM nhỏ nhất thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của (C) tại M.
a)
2
( ) : 1; (0;0)C y x A O  
b)
2
( ) : ; (3;0)C y x A

c)
2
( ) : 2 1; (9;1)C y x A

Bài 2. Cho đồ thò (C) và đường thẳng d. Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến
d là nhỏ nhất.
a)
42
( ) : 2 3 2 1; : 2 1C y x x x d y x     
b)
2
45

( ) : ; : 3 6
2
xx
C y d y x
x

   


c)
2
( ) : ; : 2( 1)C y x x d y x   
d)
1
( ) : ; : 2 3
1
x
C y d y x
x

   


Bài 3. Tìm các điểm M thuộc đồ thò (C) sao cho d(M,Ox) = k.d(M,Oy) với k cho trước.
a)
2
( ) : ; 1
2
x
C y k

x



b)
2
1
( ) : ; 1
1
xx
C y k
x




c)
2
1
( ) : ; 2
1
xx
C y k
x



d)
2
22

( ) : ; 2
1
xx
C y k
x




Bài 4. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm
cận là nhỏ nhất.
a)
2
( ) :
2
x
Hy
x



b)
21
( ) :
1
x
Hy
x




c)
49
( ) :
3
x
Hy
x




d)
2
2
( ) :
3
xx
Hy
x



e)
2
1
( ) :
2
xx
Hy

x



f)
2
33
( ) :
2
xx
Hy
x





LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 21

Bài 5. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai trục
toạ độ là nhỏ nhất.
a)
1
( ) :
1
x
Hy
x




b)
21
( ) :
2
x
Hy
x



c)
49
( ) :
3
x
Hy
x




d)
2
11
( ) :
1
xx
Hy
x




e)
2
3
( ) :
2
x
Hy
x



f)
2
6
( ) :
3
xx
Hy
x




Bài 6. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho khoảng cách từ đó đến giao điểm của hai
tiệm cận là nhỏ nhất.
a)
2

22
( ) :
1
xx
Hy
x



b)
2
1
( ) : ; 1
1
xx
H y x
x




Bài 7. Cho hypebol (H). Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (H) sao cho độ dài
AB là nhỏ nhất.
a)
1
( ) :
1
x
Hy
x




b)
23
( ) :
2
x
Hy
x



c)
49
( ) :
3
x
Hy
x




d)
1
( ) : 2 1H y x
x
  
e)

2
33
( ) :
1
xx
Hy
x



f)
2
25
( ) :
1
xx
Hy
x




Bài 8. Cho (C) và đường thẳng d. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho độ dài AB là
nhỏ nhất.
a)
2
64
( ) : ; :
1
xx

H y d y k
x



b)
1
( ) : ; : 2 0
1
x
H y d x y m
x

   


Dạng 6: Một số bài tốn khác.
Bài 1:Cho hàm số
21
1
x
y
x



(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất
Bài 2: Cho hàm số

x
y
x
34
2



(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận.
Bài 3: Cho hàm số



3
1
x
y
x
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C) hai điểm A và B sao cho AB ngắn nhất.