Tài liệu ôn thi vào lớp 10
MÔN TOÁN
Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
1
PHN I: I S
A. KIN THC C BN V CC DNG TON THNG GP
CHUYấN I: BIN I BIU THC CHA CN
I. Kin thc c bn.
1. Kiến thức 6, 7, 8 quan trọng cần nhớ.
a, Tính chất về phân số (phân thức):
)0,0(
.
.
= BM
B
A
MB
MA
b, Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
+) (A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
+) (A - B)
2
= A
2
- 2AB + B
2

+) A
2
- B
2
= (A - B)(A + B)
+) (A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
+) (A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
+) A
3
+ B
3
=(A + B)(A

2
- AB + B
2
)
+) A
3
- B
3
=(A - B)(A
2
+ AB + B
2
)
2. Các kiến thức về căn bậc hai
1) Nếu a 0, x 0,
a
= x x
2
= a
2) Để
A
có nghĩa thì A 0
3)
AA
=
2
4)
BAAB .=
( với A


0 và B

0 )
5)
B
A
B
A
=
( với A

0 và B > 0 )
6)
BABA =
2
(với B

0 )
7)
BABA
2
=
( với A

0 và B

0 )

BABA
2

=
( với A < 0 và B

0 )
9)
B
AB
B
A
=
( với AB

0 và B

0 )
10)
B
BA
B
A
=
( với B > 0 )
11)
2
( )C C A B
A B
A B
=



m
( Với A

0 và A

B
2
)
12)
( )C C A B
A B
A B
=


m
( với A

0, B

0 và A

B )
II. Cỏc dng toỏn thng gp.
Biờn son: Nguyn Th Nhung
2
1. Dng toỏn rỳt gn biu thc khụng cha n
*) Phng phỏp: S dng cỏc cụng thc bin i cỏc biu thc cha du
cn v cỏc hng ng thc ó hc lp 8.
2. Dng toỏn tng hp.

( Rỳt gn biu thc cha bin v cỏc bi toỏn liờn quan )
*) Phng phỏp:
B ớc 1 : Tìm ĐKXĐ ca biu thc (Nếu bài toán cha cho)(Phân tích mu thành
nhân t, tìm điều kiện để căn có nghĩa, các nhân tử ở mẫu khác 0 và phần chia
khác 0)
B ớc 2 :Phân tích t v m u th nh nhân t (ri rút gn nu đợc).
B ớc 3: Quy ng, gm các bc:
+ Chn mu chung : là tích củc nhân t chung và riêng, mi nhân t ly s m
ln nht.
+ Tìm nhân t ph: ly mu chung chia cho tng mu c nhân t ph
tng ng.
+ Nhân nhân t ph vi t Gi nguyên mu chung.
B ớc 4: B ngoặc: bng cách nhân a thc hoc dùng hằng ng thc.
B ớc 5: Thu gn: là cng tr các hng t ng dng.
B ớc 6: Phân tích t thành nhân t (mu gi nguyên).
B ớc 7 : Rút gn.
L u ý: Bài toán rút gọn tổng hợp thờng có các bài toán phụ: tính giá trị biểu thức
khi cho giá trị của ẩn; tìm điều kiện của biến để biểu thức lớn hơn (nhỏ hơn) một
số nào đó; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ
nhất, lớn nhất của biểu thức Do vậy ta phải áp dụng các phơng pháp giải tơng
ứng, thích hợp cho từng loại toán.
* Cỏc dng toỏn ph:
+) Dng 1: Tỡm giỏ tr ca bin biu thc t giỏ tr cho trc.
*) Phng phỏp: Cho biu thc t giỏ tr cho trc ri gii phng trỡnh
tỡm giỏ tr ca n.
+) Dng 2: Cho giỏ tr ca bin. Tỡm giỏ tr ca biu thc.
*) Phng phỏp: Thay giỏ tr ca bin vo biu thc.
+) Dng 3: Tỡm giỏ tr ca bin biu thc t giỏ tr nguyờn.
*) Phng phỏp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu là ớc của phần d (một số), chú
ý điều kiện xác định.

Biờn son: Nguyn Th Nhung
3
+) Dng 4: Tỡm giỏ tr ca bin biu thc nh hn ( ln hn) giỏ tr
cho trc.
*) Phng phỏp: Chuyển vế và thu gọn đa về dạng
M
N
< 0 (hoặc
M
N
> 0) trong
đó dựa vào điều kiện ban đầu ta đã biết đợc M hoặc N dơng hay âm, từ đó dễ
dàng tìm đợc điều kiện của biến.
+) Dng 5: Tỡm GTNN GTLN ca biu thc.
*) Phng phỏp: Dựa vào điều kiện ban đầu và các bất đẳng thức.
III. Bi tp tng hp.
Bài 1: Cho biểu thức
1 1 3
A :
x 3 x 3 x 3

=
ữ
+

a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A
b) Với giá trị nào của x thì A >
1
3
c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất.

Bài 2. Cho biểu thức
3 1 1
P :
1 x
x 1 x 1

= +
ữ

+ +

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để P =
5
4
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M
x 12 1
.
P
x 1
+
=

Bài 3. Cho biểu thức:
2 x x 3x 3 2 x 2
D 1
x 9
x 3 x 3 x 3

+

= +
ữ ữ

+

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức
b) Tìm x để D < -
1
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
Bài 4. Cho biểu thức:
a 2 a a a
P 1 : 1
a 2 a 1

+
= +
ữ ữ
+

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
Biờn son: Nguyn Th Nhung
4
b) Tìm a
Z
để P nhận giá trị nguyên.
Bài 5. Cho biểu thức
( ) ( )
1 1
B

2 x 3 1 2 x 3 1
=
+ + +
a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B.
b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.
Bài 6. Cho biểu thức
( )
2
2 x 1
x x 2x x
P
x x 1 x x 1

+
= +
+ +
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để biểu thức
2 x
Q
P
=
nhận giá trị nguyên.
Bài 7. Cho biểu thức:
( )
2
1 1 x 1
P :
x x 1 x

1 x
+

= +
ữ



a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > 0
Bài 8. Cho biểu thức
1 1 a 1 a 2
P :
a 1 a a 2 a 1

+ +

=
ữ
ữ



a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P
b) Tìm giá trị của a để P > 0
Bài 9. (Đề thi tuyễn sinh vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012)
Cho
x 10 x 5
A
x 25
x 5 x 5

=

+
, vi x 0 v x 25.
1) Rỳt gn biu thc A.
2) Tỡm giỏ tr ca A khi x = 9.
3) Tỡm x A <
1
3
.
Bài 10. Cho biểu thức:
x 3 6 x 4
P
x 1
x 1 x 1

= +

+
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P.
b) Tìm x để P <
1
2
.
Biờn son: Nguyn Th Nhung
5
Bài 11. Cho biểu thức
x 1 1
A :
x 1 x x x 1


=
ữ


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
Bài 12. Cho biểu thức:
1 1 1
P 1
1 a 1 a a

= +
ữ ữ
+

với a > 0 và a

1.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Với những giá trị nào của a thì P >
1
2
.
Bài 13. Cho biu thc : A =
2
1
x x x
x x x




vi ( x > 0 v x 1)
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của biểu thức khi
3 2 2x = +
Bài 14 . Cho biểu thức P =
xx
x
x
x
x +








+
+ :
1
1
a) Rút gọn P
b) Tính GT của P khi x= 4
c) Tìm GT của x để P =
3
13
(Đề thi H N i nm 2008-2009)

Bài 15. Cho biu thc : A =
1 2
1 1
x x x x
x x
+ +
+
+
1) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A
2) Với giá trị nào của x thì A < -1
Bài 16. Cho biu thc : A =
(1 )(1 )
1 1
x x x x
x x
+
+
+
(Vi
0; 1x x
)
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = - 1
Bài 17. Cho biu thc : B =
x
x
xx

+
+



1
22
1
22
1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B.
Biờn son: Nguyn Th Nhung
6
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa B víi x = 3
c) TÝnh gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ
2
1
=A
Bµi 18. Cho biểu thức : P =
x
x
x
x
x
x
−
+
+
+
+
−
+

4
52
2
2
2
1
a) T×m TX§ råi rót gän P
b) T×m x ®Ĩ P = 2
Bµi 19. Cho biểu thức : Q = (
)
1
2
2
1
(:)
1
1
1
−
+
−
−
+
−
− a
a
a
a
aa
a) T×m TX§ råi rót gän Q.

b) T×m a ®Ĩ Q d¬ng.
c) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc khi a = 9 - 4
5
Bµi 20. Cho biểu thức : M =








−
+
−
+
−








−
112
1
2
a

aa
a
aa
a
a

a) T×m TX§ råi rót gän M
b) T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ M = - 4.
CHUN ĐỀ II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Dạng :
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =


+ =

(1)
Cách giải đã biết: Phép thế, phép cộng
2. Giải và biện luận hệ phương trình : Quy trình giải và biện luận
Bước 1: Tính các đònh thức :
+)
1221
22
11
baba
ba

ba
D −==
(gọi là đònh thức của hệ)
+)
1221
22
11
bcbc
bc
bc
D
x
−==
(gọi là đònh thức của x)
+)
1221
22
11
caca
ca
ca
D
y
−==
(gọi là đònh thức của y)
Bước 2: Biện luận
+) Nếu
0
≠
D

thì hệ có nghiệm duy nhất







=
=
D
D
y
D
D
x
y
x
+) Nếu D = 0 và
0≠
x
D
hoặc
0≠
y
D
thì hệ vô nghiệm
Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
7
+) Nếu D = D

x
= D
y
= 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm
*) Ý nghóa hình học: Giả sử (d
1
) là đường thẳng a
1
x + b
1
y = c
1

(d
2
) là đường thẳng a
2
x + b
2
y = c
2
Khi đó:
1. Hệ (I) có nghiệm duy nhất
⇔
(d
1
) và (d
2
) cắt nhau
2. Hệ (I) vô nghiệm

⇔
(d
1
) và (d
2
) song song với nhau
3. Hệ (I) có vô số nghiệm
⇔
(d
1
) và (d
2
) trùng nhau
II. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn:
1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai
ẩn:
Ví dụ : Giải các hệ:
a)



=−+
=+
522
52
22
xyyx
yx
b)
2 2

x 2y 1
x 14y 1 4xy
− =


+ − =

Cách giải: Giải bằng phép thế
2. Hệ phương trình đối xứng :
2.1. Hệ phương trình đối xứng loại I:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho
nhau thì hệ phương trình không thay đổi.
b.Cách giải:
Bước 1: Đặt x+y=S và xy=P với
2
4S P≥
ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P.
Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P . Chọn S,P thoả mãn
2
4S P≥
.
Bước 3: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình :
2
0X SX P− + =
( đònh lý Viét đảo ).
Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu (x
0
;y
0
) là nghiệm của hệ thì (y

0
;x
0
)
cũng là nghiệm của hệ
2.2. Hệ phương trình đối xứng loại II:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho
nhau thì phương trình nầy trở thành phương trình kia của hệ.
b. Cách giải:
• Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích
số.
• Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra
nghiệm của hệ .
III. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CĨ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU
KIỆN CHO TRƯỚC
Phương pháp giải:
• Giải hệ phương trình theo tham số
• Viết x, y của hệ về dạng: n +
)(mf
k
với n, k ngun
• Tìm m ngun để f(m) là ước của k
Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
8
Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:



−=+
+=+

122
12
mmyx
mymx
HD Giải:



−=+
+=+
122
12
mmyx
mymx
⇔



−=+
+=+
mmymmx
mymx
22
22
2242
⇔



−=+

+−=−−=−
122
)12)(2(232)4(
22
mmyx
mmmmym
để hệ có nghiệm duy nhất thì m
2
– 4
≠
0 hay m
≠
2±
Vậy với m
≠
2±
hệ phương trình có nghiệm duy nhất







+
−=
+
−
=
+

−=
+
+
=
−
+−
=
2
3
1
2
1
2
3
2
2
12
4
)12)(2(
2
mm
m
x
mm
m
m
mm
y
Để x, y là những số nguyên thì m + 2
∈

Ư(3) =
{ }
3;3;1;1 −−
Vậy: m + 2 =
±
1,
±
3 => m = -1; -3; 1; -5
Bài Tập:
Bài 1:
Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:



+=−
−=++
mmyxm
myxm
2
12)1(
22
Bài 2:
a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)



−=++
−=+−
323)2(
)1(2

mnyxm
nmymmx
HD:
Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n
b) Định a, b biết phương trình ax
2
-2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là
x = 1 và x = -2
HD:
thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b
c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax
2
+ bx – 3
chia hết cho 4x – 1 và x + 3
HD: f(x) = 2ax
2
+ bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên. Biết nếu f(x) chia hết
cho ax + b thì f(-
a
b
) = 0





=−
=
0)3(
0)

4
1
(
f
f

⇔





=−−
=−+
03318
03
48
ba
ba
Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11
d) Cho biểu thức f(x) = ax
2
+ bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng
f(2) = 6 , f(-1) = 0
HD:
Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
9




=−
=
0)1(
6)2(
f
f

⇔



−=−
=+
4
224
ba
ba
⇔



=
−=
3
1
b
a
Bài 3:
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)
HD:

Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương
trình



=+
=+
2
12
ba
ba
⇔



=
−=
3
1
b
a
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm
a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0)
Bài 4:
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
DH giải:
- Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là
nghiệm của hệ phương trình:




=+
=+
32
423
yx
yx
⇔



=
=
25,1
5,0
y
x
. Vậy M(0,2 ; 1,25)
Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức
là: 2.0,2- 1,25 = m
⇔
m = -0,85
Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy
Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy
a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1
b) mx + y = m
2
+ 1; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ;
(2 – m)x – 2y = -m
2

+ 2m – 2
Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức
cho trước
Cho hệ phương trình:



=+
=+
8
94
myx
ymx

Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
2x + y +
4
38
2
−m
= 3
HD Giải:
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m
±≠
2
- Giải hệ phương trình theo m



=+

=+
8
94
myx
ymx
⇔



=+
=+
mymmx
ymx
8
94
2
⇔



=+
−=−
8
98)4(
2
myx
mym
⇔








−
−
=
−
−
=
4
329
4
98
2
2
m
m
x
m
m
y
- Thay x =
4
329
2
−
−
m

m
; y =
4
98
2
−
−
m
m
vào hệ thức đã cho ta được:
2.
4
329
2
−
−
m
m
+
4
98
2
−
−
m
m
+
4
38
2

−m
= 3
=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m
2
– 12
⇔
3m
2
– 26m + 23 = 0
Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
10
⇔
m
1
= 1 ; m
2
=
3
23
(cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)
Vậy m = 1 ; m =
3
23
IV. Các hệ phương trình khác:
Ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
1. Đặt ẩn phụ:
Ví dụ : Giải các hệ phương trình :
1)




=++−+
−=+−
6
3
22
xyyxyx
yxxy
2)



=−−
=−−+
36)1()1(
12
22
yyxx
yxyx

3)
2 2
3 2 2 3
5
6
x y x y
x x y xy y

− + − =



− − + =


4)
2
2
x 1 y(y x) 4y
(x 1)(y x 2) y

+ + + =


+ + − =



2. Sử dụng phép cộng và phép thế:
Ví dụ: Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
x y 10x 0
x y 4x 2y 20 0

+ − =


+ + − − =




3. Biến đổi về tích số:
Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau:
1)





+=+
+=+
)(3
22
22
yxyx
yyxx
2)





++=+
+=+
2
77
22
33
yxyx
yyxx


3)





+=
−=−
12
11
3
xy
y
y
x
x
V. Bài tập tổng hợp.
Bài 1:
Cho hệ phương trình



=+
−=+
4
104
myx
mymx
(m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m =
2
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
c) Xác định các giá trị ngun của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho
x> 0, y > 0
d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số ngun
dương
Bài 2:
Cho hệ phương trình :



+=−
−=−−
52
13)1(
myx
mmyxm
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
b) Với giá trị ngun nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một
điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x
2
+ y
2
đạt giá trị
nhỏ nhất.
Bài 3:
Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
11

Cho hệ phương trình



=−
=+
myx
yx
2
423
a) Giải hệ phương trình khi m = 5
b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1
c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng
3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy
Bài 4:
Cho hệ phương trình:



=+
=+
8
94
myx
ymx
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm
Bài 5:
Cho hệ phương trình:




=−
=+
43
9
ymx
myx
a) Giải hệ phương trình khi m = 3
b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
d) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
x - 3y =
3
28
2
+m
- 3
Bài 6:
Cho hệ phương trình:



=+
=−
5myx3
2ymx
a) Giải hệ phương trình khi
2m

=
.
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa
mãn hệ thức
3m
m
1yx
2
2
+
−=+
.
Bài 7:
Cho hệ phương trình



=+
−=−
162
93
ymx
myx
a) Giải hệ phương trình khi m = 5
b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)
d) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một
điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy
e) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7
CHUYÊN ĐỀ III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I. Các kiến thức cần nhớ.
1. Giải và biện luận pt.
Phương trình
2
ax bx c 0(2)+ + =
-
a 0
=
: phương trình trở về phương trình bậc nhất bx + c = 0.
Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
12
-
a 0
≠
: Đặt
2
b 4ac∆ = −
+
0 :∆ <
pt(2) vô nghiệm.
+
0
∆ =
: pt(2) có nghiệm kép
b
x
2a
= −
.
+

0
∆ >
: pt(2) có 2 nghiệm phân biệt
b
x
2a
− + ∆
=
;
b
x
2a
− − ∆
=
Kết luận: liệt kê từng trường hợp của tham số ứng với nghiệm của phương
trình.
2. Các trường hợp về số nghiệm và dấu các của phương trình.
Cho phương trình
2
ax bx c 0(2)+ + =
. Đặt
1 2 1 2
b c
S x x ;P x .x
a a
= + = − = =
trong đó
1 2
x ;x
là 2 nghiệm của phương trình (2)

a/ Pt(2) vô nghiệm
a 0
b 0
c 0
a 0
0


=


=




≠
⇔




≠


∆ <



b/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm

a 0
b 0
a 0
0


=

≠


⇔


≠


∆ =



c/ Pt(2) có 2 nghiệm phân biệt
2
a 0
b 4ac 0

≠

⇔


∆ = − >


d/Pt(2) có VSN
a 0
b 0
c 0

=

⇔ =


=

e/ Pt(2) có 2 nghiệm trái dấu
1 2
x .x 0 P 0⇔ < ⇔ <
g/ Pt(2) có 2 nghiệm dương
1 2
0
0 x x P 0
S 0

∆ ≥

⇔ < ≤ ⇔ >


>


h/ Pt(2) có 2 nghiệm âm
1 2
0
x x 0 P 0
S 0

∆ ≥

⇔ ≤ < ⇔ >


<

i/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm dương
1 2
1 2
1 2
a 0
a 0; x>0
a 0
0
x 0 x
c
S 0
x 0
x x 0
b
P 0
P 0

x 0 x 0
S 0


≠

= 



=
∆ =





< <





>
⇔ ⇔ ∨
= − >






= >





=
<
= ∧ >





>



k/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm âm
1 2
1 2
1 2
a 0
a 0; x<0
a 0
0
x 0 x
c
S 0

x 0
x x 0
b
P 0
P 0
x 0 x 0
S 0


≠

=




=
∆ =





< <





<

⇔ ⇔ ∨
= − <





= <





=
<
= ∧ <





<



Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
13
l/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm dương
1 2
1 2

a 0
a 0
a 0; x>0
c
x 0
0
x 0 x
b
S 0
P 0
x x 0
P 0
S 0


=

≠



=



= − >
∆ ≥




⇔ ≤ < ⇔ ∨



>




≤
≥ >



>



>


m/Pt(2) có nghiệm kép
a 0
b
x
2a
0

≠
⇔ ∧ = −


∆ =

n/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm âm
1 2
1 2
a 0
a 0
a 0; x>0
c
x 0
0
x 0 x
b
S 0
P 0
x x 0
P 0
S 0


=

≠



=




= − >
∆ ≥



⇔ ≤ < ⇔ ∨



>




≤
≥ >



>



>


3. Hệ thức vi – ét và ứng dụng.
 Hai số
1 2

x ;x
là hai nghiệm của phương trình
2
ax bx c 0(2)+ + =
khi và chỉ
khi chúng thỏa các hệ thức:
1 2 1 2
b c
x x va` x .x
a a
+ = − =
.
 Một số ứng dụng của hệ thức Vi-ét:
- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
- Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:
2
X SX P 0− + =
( Điều kiện tồn tại hai số trên là
2
S 4P 0− ≥
)
- Phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu đa thức
2
f(x) ax bx c= + +
có hai nghiệm
1 2
x ;x
thì nó có thể phân tích thành nhân tử
1 2

f(x) a(x x )(x x )= − −
- Tính giá trị các biểu thức đối xứng của hai nghiệm của phương trình bậc
hai:
+
1 2 1 2
b c
S x x ;P x .x .
a a
= + = − = =
+
2 2 2
1 2
x x S 2P+ = −
+
3 3 3
1 2
x x S 3SP+ = −
3.1. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
3.1.1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*)  a.1
2
+ b.1 + c = 0  a + b + c = 0
Như vây phương trình có một nghiệm
1
1x =
và nghiệm còn lại là
2
c
x

a
=
b) Nếu cho x =
−
1 thì ta có (*)  a.(
−
1)
2
+ b(
−
1) + c = 0 a
−
b + c = 0
Như vậy phương trình có một nghiệm là
1
1x = −
và nghiệm còn lại là
2
c
x
a
−
=
Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1)
2
2 5 3 0x x+ + =
(1) 2)
2
3 8 11 0x x+ − =

(2)
Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
14
Ta thấy :
Phương trình (1) có dạng a
−
b + c = 0 nên có nghiệm
1
1x = −
và
2
3
2
x
−
=
Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm
1
1x =
và
2
11
3
x
−
=
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
1.
2
35 37 2 0x x− + =

2.
2
7 500 507 0x x+ − =
3.
2
49 50 0x x− − =
4.
2
4321 21 4300 0x x+ − =
3.1.2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm
nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình :
Vídụ: a) Phương trình
2
2 5 0x px− + =
. Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm
thứ hai.
b) Phương trình
2
5 0x x q+ + =
có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
c) Cho phương trình :
2
7 0x x q− + =
, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai
nghiệm của phương trình.
d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình :
2
50 0x qx− + =
, biết phương trình có 2
nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.

Bài giải:
a) Thay
1
2x =
v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc :
1
4 4 5 0
4
p p− + = ⇒ =
T ừ
1 2
5x x =
suy ra
2
1
5 5
2
x
x
= =
b) Thay
1
5x =
v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc
25 25 0 50q q+ + = ⇒ = −
T ừ
1 2
50x x = −
suy ra
2

1
50 50
10
5
x
x
− −
= = = −
c) Vì vai trò của x
1
và x
2
bình đẳng nên theo đề bài giả sử
1 2
11x x− =
và theo VI-
ÉT ta có
1 2
7x x+ =
, ta giải hệ sau:
1 2 1
1 2 2
11 9
7 2
x x x
x x x
− = =
 
⇔
 

+ = = −
 
Suy ra
1 2
18q x x= = −
d) Vì vai trò của x
1
và x
2
bình đẳng nên theo đề bài giả sử
1 2
2x x=
và theo VI-ÉT
ta có
1 2
50x x =
. Suy ra
2
2 2 2
2 2
2
5
2 50 5
5
x
x x
x
= −

= ⇔ = ⇔


=


Với
2
5x = −
th ì
1
10x = −
Với
2
5x =
th ì
1
10x =
3.2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
3.2.1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm
1 2
;x x
Ví dụ : Cho
1
3x =
;
2
2x =
lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
15
Theo hệ thức VI-ÉT ta có

1 2
1 2
5
6
S x x
P x x
= + =


= =

vậy
1 2
;x x
là nghiệm của phương trình có
dạng:
2 2
0 5 6 0x Sx P x x− + = ⇔ − + =
Bài tập áp dụng:
1. x
1
= 8 vµ x
2
= -3
2. x
1
= 3a vµ x
2
= a
3. x

1
= 36 vµ x
2
= -104
4. x
1
=
1 2+
vµ x
2
=
1 2−
3.2.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai
nghiệm của một phương trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình :
2
3 2 0x x− + =
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;x x
. Không giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn :
1 2
1
1
y x
x
= +
và
2 1

2
1
y x
x
= +
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 3 9
( ) ( ) 3
2 2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x
 
+
= + = + + + = + + + = + + = + =
 ÷
 
1 2 2 1 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 9
( )( ) 1 1 2 1 1
2 2
P y y x x x x
x x x x
= = + + = + + + = + + + =
Vậy phương trình cần lập có dạng:
2

0y Sy P− + =
hay
2 2
9 9
0 2 9 9 0
2 2
y y y y− + = ⇔ − + =
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình
2
3 5 6 0x x+ − =
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;x x
. Không giải
phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm
1 1
2
1
y x
x
= +
và
2 2
1
1
y x
x
= +
(Đáp số:

2
5 1
0
6 2
y y+ − =
hay
2
6 5 3 0y y+ − =
)
2/ Cho phương trình :
2
5 1 0x x− − =
có 2 nghiệm
1 2
;x x
. Hãy lập phương trình bậc
2 có ẩn y thoả mãn
4
1 1
y x=
và
4
2 2
y x=
(có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các
nghiệm của phương trình đã cho).(Đáp số :
2
727 1 0y y− + =
)
3/ Cho phương trình bậc hai:

2 2
2 0x x m− − =
có các nghiệm
1 2
;x x
. Hãy lập
phương trình bậc hai có các nghiệm
1 2
;y y
sao cho :
a)
1 1
3y x
= −
và
2 2
3y x= −
b)
1 1
2 1y x
= −
và
2 2
2 1y x= −
(Đáp số a)
2 2
4 3 0y y m− + − =
b)
2 2
2 (4 3) 0y y m− − − =

)
Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
16
3.3. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình :
2
0x Sx P− + =
(điều kiện để có hai số đó là S
2

−
4P ≥ 0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =
−
3 và tích P = ab =
−
4
Vì a + b =
−
3 và ab =
−
4 n ên a, b là nghiệm của phương trình :
2
3 4 0x x+ − =
giải phương trình trên ta được
1
1x =
và
2

4x = −
Vậy nếu a = 1 thì b =
−
4
nếu a =
−
4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P
1. S = 3 và P = 2
2. S =
−
3 và P = 6
3. S = 9 và P = 20
4. S = 2x và P = x
2

−
y
2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a
2
+ b
2
= 41
2. a
−
b = 5 và ab = 36
3. a
2

+ b
2
= 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ
thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b.
T ừ
( )
( )
2 2
2
2 2
81
9 81 2 81 20
2
a b
a b a b a ab b ab
− +
+ = ⇒ + = ⇔ + + = ⇔ = =
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng :
1
2
2
4
9 20 0
5
x
x x
x
=


− + = ⇔

=

Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c =
−
b ta có : a + c = 5 và a.c =
−
36
Suy ra a,c là nghiệm của phương trình :
1
2
2
4
5 36 0
9
x
x x
x
= −

− − = ⇔

=

Do đó nếu a =
−

4 thì c = 9 nên b =
−
9
nếu a = 9 thì c =
−
4 nên b = 4
Cách 2: Từ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 4 169a b a b ab a b a b ab− = + − ⇒ + = − + =
( )
2
2
13
13
13
a b
a b
a b
+ = −

⇒ + = ⇒

+ =

*) Với
13a b
+ = −
và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
1

2
2
4
13 36 0
9
x
x x
x
= −

+ + = ⇔

= −

Vậy a =
4−
thì b =
9
−
*) Với
13a b
+ =
và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
1
2
2
4
13 36 0
9
x

x x
x
=

− + = ⇔

=

Vậy a = 9 thì b = 4
Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
17
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
T ừ: a
2
+ b
2
= 61
( )
2
2 2 2
2 61 2.30 121 11a b a b ab⇒ + = + + = + = =
11
11
a b
a b
+ = −

⇒

+ =


*) Nếu
11a b+ = −
và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình:
1
2
2
5
11 30 0
6
x
x x
x
= −

+ + = ⇔

= −

Vậy nếu a =
5−
thì b =
6−
; nếu a =
6−
thì b =
5−
*) Nếu
11a b+ =
và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :

1
2
2
5
11 30 0
6
x
x x
x
=

− + = ⇔

=

Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.
3.4. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu
thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp
dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức
3.4.1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : (
1 2
x x+
) và
1 2
x x
Ví dụ 1 a)
2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
( 2 ) 2 ( ) 2x x x x x x x x x x x x+ = + + − = + −

b)
( )
( )
( ) ( )
2
3 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
3x x x x x x x x x x x x x x
 
+ = + − + = + + −
 
c)
( )
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 2 ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x x x
 
+ = + = + − = + − −
 
d)
1 2
1 2 1 2
1 1 x x
x x x x
+
+ =
Ví dụ 2
1 2
?x x− =

Ta biết
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 4x x x x x x x x x x x x− = + − ⇒ − = ± + −
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
1.
2 2
1 2
x x−
(
( ) ( )
1 2 1 2
x x x x= − +
=…….)
2.
3 3
1 2
x x−
( =
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x x x x x
 
− + + = − + −
 

=……. )
3.
4 4
1 2
x x−
( =
( ) ( )
2 2 2 2
1 2 1 2
x x x x+ −
=…… )
4.
6 6
1 2
x x+
( =
( ) ( )
2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
1 2 1 2 1 1 2 2
( ) ( )x x x x x x x x+ = + − +
= …… )
Bài tập áp dụng
5.
6 6
1 2
x x−
6.
5 5
1 2
x x+

7.
7 7
1 2
x x+
8.
1 2
1 1
1 1x x
+
− −
3.4.2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình :
2
8 15 0x x− + =
Không giải phương trình, hãy tính
1.
2 2
1 2
x x+
(34) 2.
1 2
1 1
x x
+
8
15
 
 ÷
 
3.

1 2
2 1
x x
x x
+
34
15
 
 ÷
 
4.
( )
2
1 2
x x+
(46)
Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
18
b) Cho phương trình :
2
8 72 64 0x x− + =
Không giải phương trình, hãy tính:
1.
1 2
1 1
x x
+
9
8
 

 ÷
 
2.
2 2
1 2
x x+
(65)
c) Cho phương trình :
2
14 29 0x x− + =
Không giải phương trình, hãy tính:
1.
1 2
1 1
x x
+
14
29
 
 ÷
 
2.
2 2
1 2
x x+
(138)
d) Cho phương trình :
2
2 3 1 0x x− + =
Không giải phương trình, hãy tính:

1.
1 2
1 1
x x
+
(3) 2.
1 2
1 2
1 1x x
x x
− −
+
(1)
3.
2 2
1 2
x x+
(1) 4.
1 2
2 1
1 1
x x
x x
+
+ +
5
6
 
 ÷
 

e) Cho phương trình
2
4 3 8 0x x− + =
có 2 nghiệm x
1
; x
2
, không giải phương
trình, tính
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
Q
5 5
x x x x
x x x x
+ +
=
+
HD:
( )
2 2 2
2
1 1 2 2 1 2 1 2
3 3
2
2
1 2 1 2

1 2 1 2 1 2
6 10 6 6( ) 2 6.(4 3) 2.8 17
Q
5 5 80
5.8 (4 3) 2.8
5 2
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
+ + + − −
= = = =
+
   
−
+ −
 
 
3.5. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY
ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x
1
và x
2
(thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x
1
+ x
2

v à P = x
1
x
2
theo tham số
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x
1
và x
2
. Từ đó đưa ra hệ
thức liên hệ giữa các nghiệm x
1
và x
2
.
Ví dụ 1 : Cho phương trình :
( )
2
1 2 4 0m x mx m− − + − =
có 2 nghiệm
1 2
;x x
. Lập hệ
thức liên hệ giữa
1 2
;x x
sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x
1
và x

2
th ì :
2
1
1
1 0 1
4
' 0 5 4 0
( 1)( 4) 0
5
m
m
m m
m
m
m m m
≠

≠
− ≠ ≠

 

⇔ ⇔ ⇔
   
≥ − ≥
≥
− − − ≥
 




V
Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :
Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
19
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
2 (1)
1 1
4 3
. . 1 (2)
1 1
m
x x x x
m m
m
x x x x
m m
 
+ = + = +
 
 
− −
⇔
 
−
 
= = −

 
− −
 
Rút m từ (1) ta có :
1 2
1 2
2 2
2 1
1 2
x x m
m x x
= + − ⇔ − =
− + −
(3)
Rút m từ (2) ta có :
1 2
1 2
3 3
1 1
1 1
x x m
m x x
= − ⇔ − =
− −
(4)
Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 3

2 1 3 2 3 2 8 0
2 1
x x x x x x x x
x x x x
= ⇔ − = + − ⇔ + + − =
+ − −
Ví dụ 2: Gọi
1 2
;x x
là nghiệm của phương trình :
( )
2
1 2 4 0m x mx m− − + − =
. Chứng
minh rằng biểu thức
( )
1 2 1 2
3 2 8A x x x x= + + −
không phụ thuộc giá trị của m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x
1
và x
2
th ì :
2
1
1
1 0 1
4
' 0 5 4 0

( 1)( 4) 0
5
m
m
m m
m
m
m m m
≠

≠
− ≠ ≠

 

⇔ ⇔ ⇔
   
≥ − ≥
≥
− − − ≥
 



V
Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :
1 2
1 2
2
1

4
.
1
m
x x
m
m
x x
m

+ =


−

−

=

−

thay v ào A ta c ó:
( )
1 2 1 2
2 4 6 2 8 8( 1) 0
3 2 8 3. 2. 8 0
1 1 1 1
m m m m m
A x x x x
m m m m

− + − − −
= + + − = + − = = =
− − − −
Vậy A = 0 với mọi
1m ≠
và
4
5
m ≥
. Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m
Nhận xét:
- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích
nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không
phụ thuộc vào tham số.
Bài tập áp dụng:
1. Cho phương trình :
( ) ( )
2
2 2 1 0x m x m− + + − =
có 2 nghiệm
1 2
;x x
. Hãy lập hệ
thức liên hệ giữa
1 2
;x x
sao cho
1 2
;x x

độc lập đối với m.
Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
20
Hướng dẫn: Dễ thấy
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 4 2 1 4 8 2 4 0m m m m m∆ = + − − = − + = − + >
do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2

Theo hệ thức VI- ÉT ta có
1 2
1 2
1 2
1 2
2(1)
2
1
. 2 1
(2)
2
m x x
x x m
x x
x x m
m
= + −


+ = +


⇔
 
+
= −
=




Từ (1) và (2) ta có:
( )
1 2
1 2 1 2 1 2
1
2 2 5 0
2
x x
x x x x x x
+
+ − = ⇔ + − − =
2. Cho phương trình :
( ) ( )
2
4 1 2 4 0x m x m+ + + − =
.
Tìm hệ thức liên hệ giữa

1
x
và
2
x
sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy
2 2
(4 1) 4.2( 4) 16 33 0m m m∆ = + − − = + >
do đó phương trình đã
cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2

Theo hệ thức VI- ÉT ta có
1 2 1 2
1 2 1 2
(4 1) 4 ( ) 1(1)
. 2( 4) 4 2 16(2)
x x m m x x
x x m m x x
+ = − + = − + −
 
⇔
 
= − = +
 

Từ (1) và (2) ta có:

1 2 1 2 1 2 1 2
( ) 1 2 16 2 ( ) 17 0x x x x x x x x− + − = + ⇔ + + + =
3.6. TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU
THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x
1
và x
2
(thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình
(có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Cho phương trình :
( ) ( )
2
6 1 9 3 0mx m x m− − + − =
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
1 2 1 2
.x x x x+ =
Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x
1
và x
2

l à :
Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
21
( )
( )
( )
2
2 2
0
0
0
0
' 9 2 1 9 27 0 ' 9 1 0
1
' 3 21 9( 3) 0
m
m
m
m
m m m m
m
m m m
≠
≠


≠

≠


  
⇔ ⇔ ⇔
   
∆ = − + − + ≥ ∆ = − ≥
≥ −
∆ = − − − ≥
 





 


Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1 2
1 2
6( 1)
9( 3)
m
x x
m
m
x x
m
−

+ =




−

=


và từ giả thiết:
1 2 1 2
x x x x+ =
.
Suy ra:
6( 1) 9( 3)
6( 1) 9( 3) 6 6 9 27 3 21 7
m m
m m m m m m
m m
− −
= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ =

(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
1 2 1 2
.x x x x+ =

Ví dụ 2: Cho phương trình :
( )
2 2
2 1 2 0x m x m− + + + =
.
Tìm m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x− + + =
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm
1 2
&x x
là :
2 2
' (2 1) 4( 2) 0m m∆ = + − + ≥
2 2
4 4 1 4 8 0m m m⇔ + + − − ≥

7
4 7 0
4
m m⇔ − ≥ ⇔ ≥
Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
1 2

2
1 2
2 1
2
x x m
x x m
+ = +


= +

và từ giả thiết
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x− + + =
. Suy ra
2
2
2
3( 2) 5(2 1) 7 0
3 6 10 5 7 0
2( )
3 10 8 0
4
( )
3
m m
m m
m TM
m m

m KTM
+ − + + =
⇔ + − − + =
=


⇔ − + = ⇔

=

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x− + + =
3.7. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU
THỨC NGHIỆM
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân
tích được:
A m
C
k B
+

=


−

(trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số) (*)
Thì ta thấy :
C m
≥
(v ì
0A
≥
)
min 0C m A
⇒ = ⇔ =
Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
22
C k≤
(v ì
0B ≥
)
max 0C k B⇒ = ⇔ =
Ví dụ 1: Cho phương trình :
( )
2
2 1 0x m x m+ − − =
Gọi
1
x
và
2
x

là các nghiệm của phương trình. Tìm m để :
2 2
1 2 1 2
6A x x x x= + −
có giá trị nhỏ nhất.
Bài giải: Theo VI-ÉT:
1 2
1 2
(2 1)x x m
x x m
+ = − −


= −

Theo đ ề b ài :
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
6 8A x x x x x x x x= + − = + −
( )
2
2
2
2 1 8
4 12 1
(2 3) 8 8
m m
m m

m
= − +
= − +
= − − ≥ −
Suy ra:
min 8 2 3 0A m= − ⇔ − =

hay
3
2
m =
Ví dụ 2: Cho phương trình :
2
1 0x mx m− + − =
Gọi
1
x
và
2
x
là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá
trị lớn nhất của biểu thức sau:
( )
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2 1
x x
B

x x x x
+
=
+ + +
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì :
1 2
1 2
1
x x m
x x m
+ =


= −


( )
1 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 3 2 3 2( 1) 3 2 1
2 1 ( ) 2 2 2
x x x x m m
B
x x x x x x m m
+ + − + +
⇒ = = = =
+ + + + + + +
Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:

( )
( )
2
2 2
2 2
2 2 1
1
1
2 2
m m m
m
B
m m
+ − − +
−
= = −
+ +
Vì
( )
( )
2
2
2
1
1 0 0 1
2
m
m B
m
−

− ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤
+
Vậy
max B=1
⇔
m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2 2
2
1 1 1 1
2 1 4 4 2
2
1
2 2 2 2
2 2 2
2 2
m m m m m m
m
B
m m
m
+ + − + + − +
+
= = = −
+ +

+
Vì
( )
( )
( )
2
2
2
2
1
2 0 0
2
2 2
m
m B
m
+
+ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ −
+
Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
23
Vậy
1
min 2
2
B m= − ⇔ = −
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm
điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
2
2

2 1
2 2 1 0
2
m
B Bm m B
m
+
= ⇔ − + − =
+
(Với m là ẩn, B là tham số) (**)
Ta có:
2
1 (2 1) 1 2B B B B∆ = − − = − +
Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì ∆ ≥ 0
hay
( ) ( )
2 2
2 1 0 2 1 0 2 1 1 0B B B B B B− + + ≥ ⇔ − − ≤ ⇔ + − ≤
1
2 1 0
2
1 0 1
1
1
2
2 1 0 1
2
1 0
1
B

B
B B
B
B
B
B
B


≤ −


 + ≤






− ≥ ≥

 

⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤


+ ≥
 

≥ −





− ≤





≤


Vậy:
max B=1⇔
m = 1
1
min 2
2
B m= − ⇔ = −
Bài tập áp dụng
1. Cho phương trình :
( ) ( )
2
4 1 2 4 0x m x m+ + + − =
.Tìm m để biểu thức
( )
2
1 2
A x x= −

có giá trị nhỏ nhất.
2. Cho phương trình
2
2( 1) 3 0x m x m− − − − =
. Tìm m sao cho nghiệm
1 2
;x x
thỏa
mãn điều kiện
2 2
1 2
10x x+ ≥
.
3. Cho phương trình :
2 2
2( 4) 8 0x m x m− − + − =
xác định m để phương trình có 2
nghiệm
1 2
;x x
thỏa mãn
a)
1 2 1 2
3A x x x x= + −
đạt giá trị lớn nhất
b)
2 2
1 2 1 2
B x x x x= + −
đạt giá trị nhỏ nhất

4. Cho phương trình :
2 2
( 1) 2 0x m x m m− − − + − =
. Với giá trị nào của m, biểu thức
2 2
1 2
C x x= +
dạt giá trị nhỏ nhất.
5. Cho phương trình
2
( 1) 0x m m+ + + =
. Xác định m để biểu thức
2 2
1 2
E x x= +
đạt
giá trị nhỏ nhất.
II. Bài tập tổng hợp.
1. C¸c bµi tËp trong tµi liÖu «n thi vµo líp 10.
Bµi 1. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh :
2
4 2
2
2
2
2
a / x 2 5x 4 0
b / x 29x 100 0
c / x 3x x 1 2 0
d /11x 2 8x 9 18x 6 0

1 4
e / 4x 7 8x
x x
− + =
− + =
− − − + =
+ − − + =
+ + = +
Biên soạn: Nguyễn Thị Nhung
24
Bài 2. Cho phơng trình x
2
+ px - 5 = 0 có nghiệm x
1
; x
2
.
Hãy lập phơng trình có hai nghiệm là hai số đợc cho trong mỗi trờng hợp sau
1
a / x
và
2
x
2
1
b / x
và
2
2
x

Bài 3. Cho phơng trình :
2 2
x 3y 2xy 2x 10y 4 0 (1) + + =
a/ Tìm nghiệm (x; y) của phơng trình (1) thỏa mãn x
2
+ y
2
= 10.
b/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình (1).
Bài 4. Cho phơng trình :
2
(x k 3) x 2(k 3)x 3k 9 0 (1)

+ + + + =

a/ Giải phơng trình (1) khi k = 3.
b/ Tìm các giá trị của k để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng và một nghiệm
âm.
Bài 5. Giải phơng trình :
2 2
2 2 2
a / x 2x 1 x 2x 1 2
b / 6x 15x 2x 5x 1 1
c / 8x 8x 3 12x 12x 7 2( 2x 2x 1)
+ + =
+ + + + =
+ + + = + +
Bài 6. Cho phơng trình ẩn x, tham số t :
2 2
x 2(t 1)x t 3 0 (1) + =

a/ Tìm t để phơng trình (1) có nghiệm.
b/ Tìm t để phơng trình (1) có hai nghiệm sao cho tổng hai nghiệm bằng tích hai
nghiệm.
Bài 7. Cho phơng trình ẩn x, tham số m :
2
mx 5x (m 5) 0 (1) + =
a/ Giải phơng trình (1) khi m = 5.
b/ Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c/ Trong trờng hợp phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
. Hãy tính theo
m giá trị của biểu thức
2 2
1 2 1 2
A 16x x 3(x x ).= +
Tìm m để A = 0.
Bài 8. Cho phơng trình ẩn x, tham số m :
2 2 3
(m 3)x 2(m 3m)x m 12 0 (1)+ + + + =
a/ Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b/ Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1). Tìm số nguyên m lớn nhất sao
cho
2 2
1 2

x x+
là một số nguyên.
2. Các bài tập trong đề thi vào lớp 10 của Bắc Ninh.
Bài 1. (Bắc Ninh 1997 - 1998)
Cho phơng trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
2
2( 3) 2 7 0x m x m + =
(1)
a/ Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
b/ Gọi hai nghiệm của phơng trình (1) là
1 2
;x x
. Hãy tìm m để
1 2
1 1
1 1
m
x x
+ =
+ +
Bài 2. (Bắc Ninh 1998 - 1999)
1. Cho
1 1
;
2 3 2 3
a b= =
+
a/ Hãy tính :
ab
và

a b+
.
Biờn son: Nguyn Th Nhung
25