Chương III :
TÁN SẮC VÀ HẤP THỤ
( Các hiện tượng của sự lan truyền một chiều )
I.SỰ TÁN SẮC VÀ SỰ HẤP THỤ CỦA SÓNG TRÊN MỘT SỢI DÂY :
1) Dao động của một sợi dây không lý tưởng :
Ta đã biết phương trình truyền sóng ngang dọc theo sợi dây không bị xoắn là phương
trình D’Alambert :
0
1
2
2
2
2
2






xtc

trong đó vận tốc truyền sóng là

0
T
c 
với T
0
: lực căng dây
khối lượng dài của dây (kg/m).

Nếu sợi dây còn chịu tác dụng của lực ma sát của môi trường không khí, xét trên một
đoạn dx :
yy
e
t
edx
v
fd








 Các phương trình cặp đối với F
y
và  :
x
F
t
t
x
tx
TF
y
y

























1
),(
2
2
0
0
1
2

2
2
2
2










x
c
tt



(*)
2) Các nghiệm của phương trình truyền sóng :
a. Giải tích điều hoà :
Phương trình truyền mà chúng ta vừa nhận được là tuyến tính. Một sóng vật lý có thể
phân tích thành tổ hợp các sóng OPPM. Một sóng như vậy là nghiệm của phương trình
truyền sóng, phương trình vi phân truyến tính với các hệ số là hằng số, nếu mỗi thành phân
đơn sắc là nghiệm của phương trình.
Để đơn giản hoá bài toán, ta sẽ tìm các nghiệm “sóng đơn sắc” dưới dạng biểu diễn phức.
b. Số sóng phức :
Tìm nghiệm dạng sin với biên độ phức tỉ lệ với e

jt
của phương trình :
0
x
c
t
1
t
2
2
2
2
2








 


Với x,t)=(x)e
jt
0)(
)(
2
2

2
2










 x
j
x
x
c 




y
F(x+dx,t)
-F(x,t)
 
(x,t) (x+dx,t)
O x
x x +dx
Nghiệm của phương trình có dạng:
(x) = 


e
jkx
+ 

e
jkx
với hệ số k là số sóng phức, liên hệ với tần số  bởi biểu thức quan hệ tán sắc :



j
kc 
222
k()=k
1
() – jk
2
() với
2
2
2
2
2
1
c
kk


và



2
21
2
c
kk 
c. Sự tán sắc (dispersion) :
k phức :
)xkt(jxk
0
12
ee)t,x(




ở dạng thực :
)xktcos(e)t,x(
xk
10
2



(giả sử 





Sự truyền pha của sóng trong số hạng cos(t – k
1
x).
Vận tốc truyền pha - vận tốc pha
1
k
v



phụ thuộc vào 
Các sóng với tần số khác nhau truyền với vận tốc khác nhau  hiện tượng tán sắc.
d. Sự hấp thu :
xk
e
2

: biên độ sóng thay đổi ở trong môi trường.
Đối với sợi dây rung, từ quan hệ tán sắc ta có :
0
c2
)kIm(
2
1
kk
2
2
2
21




Nếu sóng truyền theo chiều x dương ( k
1
>0)  k
2
> 0  có sự suy giảm dọc theo
chiều truyền sóng. Sóng bị mất năng lượng khi đi vào môi trường, đó là sự hấp thu.
Chiều dài xuyên sâu
)kIm(
1
k
1
2

II. SỰ TRUYỀN SÓNG ĐIỆN TỪ TRONG VẬT DẪN KIM LOẠI :
1) Chuyển động của chất lỏng hạt mang điện (điện tích) tự do :
a. Môi trường kim loại :
Sự dẫn điện của kim loại gắn liền với sự tồn tại của các điện tử chuyển động trong
vật liệu. Mật độ hạt cao (10
29
m
-3
đối với một chất dẫn điện tốt). Tương tác của các điện
tích chuyển động với mạng tinh thể kim loại làm mất năng lượng điện từ. Sự mất mát đó có
thể xem như tồn tại lực cản nhớt :

v
mf 
với  là thời gian hồi tĩnh của vật liệu (~ 10

-14
s).
Phương trình chuyển động của điện tử trong vật dẫn :

v
m)BvE(eam 
b. Sự gần đúng của môi trường liên tục :
v
: vận tốc trung bình của một tập hợp các hạt mang điện chuyển động.
Mô hình chất lỏng các hạt mang điện, trường vận tốc
)t,r(vv 
.
Gia tốc trung bình của điện tử :
)t,r(v)grad.v(
t
)t,r(v
dt
)t,r(v)dtt,dtvr(v
lim)t,r(a
0dt
















Phương trình chuyển động :

v
m)BvE(ev)grad.v(
t
v
m 











c. Gần đúng tuyến tính :
Biên độ của điện trường giả sử đủ nhỏ sao cho biên độ chuyển động của các điện tích
 nhỏ so với bước sóng của sóng điện từ .
1
kv
v
kv

t
v
v)grad.v(
2






Đối với từ trường
1
kv
E
kE
v
E
Bv






E
m
ev
t
v






d. Sóng ngang :
Điện trường của sóng điện từ phẳng dạng sin truyền trong môi trường là sóng ngang.
Ví dụ : Đối với sóng phẳng,
0Ediv 
 .
Mật độ dòng điện được sinh ra do chuyển động của điện tử :
vnej 
với n = const : mật độ điện tử đồng nhất trong môi trường.
Các phương trình Maxwell :
0Ediv 
t
B
Erot



0Bdiv 
t
E
jBrot
000


 
2) Quan hệ tán sắc của sóng ngang OPPM :
Tìm các nghiệm OPP dạng sin, tần số , vectơ sóng phức

x
ekk 
)xkt(j
0
eE)t,x(E



)xkt(j
0
eE
k
B




.
a. Độ dẫn điện của kim loại :
Vectơ vận tốc được xác định bởi phương trình chuyển động :
)xkt(j
0
eE
1
j
m
e
v







Mật độ dòng điện có dạng
Ej 
Điện dẫn phức :
tj1
)j(
0





với
m
ne
2
0

 
là điện dẫn của kim loại ở chế độ tĩnh.
b. Quan hệ tán sắc :
Đối với sóng ngang,
0Ediv 
EkE)Erot(rot
2

Mặt khác :

2
2
2
0
t
E
c
1
t
j
t
B
rot)Erot(rot
















 

0Ekj
c
Ej
2
0
2
2









 


0
2
2
2
jkc


 
c. Các trường hợp giới hạn :
k = k
1

– jk
2
tj
1
1
tj1
jkc
2
p
2
0
0
2
2
2












với
0
2

p
m
ne

 

114
s10
1




: k
1
và k
2
gần bằng nhau.

116
p
s10
1

 

: k
2
>> k
1

: số sóng thuần ảo.
 
p
, k
1
>> k
2
: số sóng thực
Sóng vô tuyến,
Microwaves
p
1


 
Hồng ngoại, ,
Tử ngoại
p
1



Tử ngoại xa, tia X



p
1
Quan hệ tán sắc
k

2
=-j
0



2
2
p
2
2
c
k
 

Số sóng (k
1
> 0)
)j1(
2
k
00


2
22
p
c
jk
 


2
2
p
2
c
k
 

d. Hiệu ứng bề mặt (Skin effect) ở tần số thấp (


1

):
Điện dẫn 

thực và dương.
Số sóng có dạng tiệm cận
2
j
0000
2
ejk




Đối với sóng truyền theo chiều dương của trục x :




j1
ek
4
j
00



với


00
2

Điện trường của sóng liên tiếp trong kim loại có dạng :
)
x
t(j
x
0
eeE)t,x(E





)
4

x
t(j
x
0
x
eeEe
2)t,x(Ek
)t,x(B









 Sóng có
E
và
B
không cùng pha.
Đối với sóng met (m) hoặc centimet (cm), sóng điện từ hầu như không được truyền
vào trong kim loại mà định xứ trên một lớp mỏng bề mặt. Độ xuyên sâu rất nhỏ, tại đó
trường điện từ gần như bằng không, gọi là bề dày của da.
e. Sự lan truyền ở tần số cao ( ):
 Hiệu ứng va chạm được bỏ qua:

v
t

v




E
m
e
t
v



v
và
E
lệch pha 90
o
. Công suất truyền cho điện tích bằng không.
 Trong vùng
p
1



: c
2
k
2
= 



p
2
, gương kim loại:
Nếu 
p
, số sóng thuần ảo. Đối với sự truyền theo x tăng :
2
22
p
2
c
jjkk
 

tj
xk
0
eeE)t,x(E
2



)
2
t(j
xk
0
x2

eeEek
)t,x(Ek
)t,x(B
2








Ta có sóng dừng với biên độ giảm theo hàm mũ exp : sóng tiêu tán.
E
và
B
lệch pha nhau 90
o
. Giá trị trung bình của vectơ Poynting và d òng năng lượng
truyền bởi sóng bằng không  sóng phản xạ.
10
14
<<  < 10
16
Hz  0.03m.
 Vùng trong suốt



p

1
:
Số sóng thực
2
2
p
2
1
c
kk
 

(quan hệ tán sắc Klein-Gordon).
Sóng truyền trong môi trường không bị suy giảm : kim loại trong suốt.
Vận tốc pha :
2
2
p
1
1
c
k
v






III. BÓ SÓNG :

Trong phần tiếp theo, ta bỏ qua sự hấp thụ, lúc đó số sóng k là số thực.
1) Sóng định xứ :
 Sự chồng chất hai sóng đơn sắc:
Khảo sát hai sóng đơn sắc có cùng biên độ, đồng pha tại x = 0 và t = 0, có tần số 

và 

với 

> 


Hàm sóng của sự chồng chất hai sóng dưới dạng thực :
(x,t) = 
0
cos(
1
t – k
1
x) + 
0
(
2
t – k
2
x)
với k
1
= k
1

(
1
) và k
2
= k
2
(
2
) là các quan hệ tán sắc.
Giả sử 

và 

rất gần nhau.
Đặt :
2
21
m




và
m
21
m
2


 



)(k
2
kk
k
m
21
m



và
2
kk
k
21


 (x,t) = [2
0
cos(t – kx)]cos(
m
t – k
m
x)
= 
m
(x,t)cos(
m

t – k
m
x).
 Hiện tượng phách : biên độ của sóng dao động với tần số không gian k
m
, bị điều biến
chậm với tần số k.
 Tín hiệu “nhanh” cos(
m
t – k
m
x) lan truyền với vận tốc pha
k
v



 Đường bao của tín hiệu lan truyền với vận tốc
dk
d
k
v
g




, gọi là vận tốc nhóm.
* Tổng của hai sóng dạng sin với các tần số gần nhau là một tín hiệu với tần số trung
bình và biên độ biến đổi chậm: Chúng ta có thể nói rằng sóng tổng hợp chủ yếu định xứ ở

lân cận của bụng của đường bao biên độ.
Bằng cách chồng chất một số lớn các sóng OPPM, ta có thể làm giảm sự trải rộng
của đường bao tính hiệu.
Đối với một bó 2N+1 sóng phẳng hình sin, có tần số 
n
lân cận 
m
:

n
= 
m
+ n (-N n  N)
Độ rộng phổ :  = (2N + 1)
thoả điều kiện : 
m
)xktcos(A)t,x(
n
N
Nn
n0




; k
n
= k(
n
).

 Độ trải rộng của bó sóng càng giảm yếu nếu số lượng sóng chồng chất cũng như
độ rộng phổ càng lớn.
Sự điều khiển biên độ có chu kỳ (theo thời gian)

2
T 
 Một bó sóng định xứ trong thời gian và không gian là sự chồng chất của các sóng
OPPM có phân bố tần số liên tục.
Biểu diễn dưới dạng phức :




0
)kxt(j
de)(A
2
1
)t,x( 



với k=k().
Biểu diễn dưới dạng thực :



0
d)kxtcos()(a)t,x( 
(giả sử A = a).

Độ rộng phổ của sóng tổng hợp  liên hệ với khoảng thời gian tồn tại của sóng t :
t 

2) Sự lan truyền sóng có (hoặc không có) tán s ắc :
Nếu tất cả các sóng OPPM của bó sóng lan truyền với cùng vận tốc pha v

= c (nếu
là nghiệm của phương trình D’Alambert): sự lan truyền không tán sắc. Bó sóng lan truyền
cũng với vận tốc c. Trạng thái của bó sóng vào hai thời điểm khác nhau t
1
và t
2
là như nhau,
với sự chuyển dịch v

(t
2
– t
1
).
Nếu các OPPM của bó sóng lan truyền với các vận tốc pha khác nhau: sự lan truyền
tán sắc. Bó sóng bị biến dạng trong quá trình lan truyền.
3) Vận tốc nhóm :
Khảo sát bó sóng với phổ liên tục :




0
)kxt(j

de)(A)t,x( 

Trường hợp  rất nhỏ so với
m
:
g
m
v
kk


với
m
dk
d
v
g
m











)xkt(i

v
x
ti
mm
g
e)(de)(A)t,x(




























 Sóng “trung bình” với tần số 
m
, biên độ bị điều biến bởi sóng hạng F lan truyền
với vận tốc v
g
:
)xkt(i
g
mm
e
v
x
tF)t,x(












Một bó sóng, với độ rộng phổ nhỏ quanh giá trị 
m

, dịch chuyển trong môi trường
có sự tán sắc yếu, với vận tốc nhóm
m
dk
d
v
g









Vận tốc nhóm
dk
d
v
g


là vận tốc truyền thông tin.
Năng lượng của sóng được định xứ trong bó sóng: bó năng lượng lan truyền với vận
tốc nhóm.
• Chúng tôi đã dịch được một số chương của
một số khóa học thuộc chương trình học
liệu mở của hai trường đại học nổi tiếng thế
giới MIT và Yale.

• Chi tiết xin xem tại:
• />• />y_sinh.html