Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyn đ 03. Nguyên hàm – Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1: Tìm nguyên hàm ca các hàm s sau:
a.
 
3
2
1
dx
x

b.
2
23
dx
xx


c.
2
2
1
x dx

I
x



. d.
 
3
2
1
dx
I
x




Gii
a. t : x = sint ; t
; ostdt
22
dx c


   



Suy ra :
   

 
32
33
22
ostdt ostdt
tan
cos os
1 1-sin
dx c c dt
dt
t c t
xt
   

.
Khi đó :
 
 
3 2 2
2
sin
tan tan
1 sin 1
1
dx t x
d t t C C
tx
x
     





b. Vì :
 
 
2
2
2
2 3 1 2x x x    
, nên
t :
2
1
1 2 tan ; ; 2. ;tan
2 2 os
2
dt x
x t t dx t
ct



      



Suy ra :
 
 

 
2
22
22
2
1 ostdt
.
1-sin
2 ost 2
23
2 tan 1 . os
12
dx dx dt dt c
t
c
xx
t c t
x
   





1 ostdt ostdt
.
sint-1 sint+1
22
cc


  


.
Khi đó :
2
1 ostdt ostdt 1 sin 1
ln
sint-1 sint+1 sin 1
2 2 2 2
23
dx c c t
C
t
xx


     





(*)
T :
 
2
2
22
22

1
1 sin 2
tan tan sin 1
1 sin 2 2 3
2
x
xt
t t t
t x x


      
  
. Ta tìm đc sint , thay vào (*) ta
tính đc I .
c.
2
2
1
x dx
I
x



.
Vì điu kin :
1x 
, nên ta xét hai trng hp :
BÀI 04. CÁC PHNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHN 03)

ÁP ÁN BÀI TP T LUYN
Giáo viên: LÊ BÁ TRN PHNG
Các bài tp trong tài liu này đc biên son kèm theo bài ging Bài 04. Các phng pháp tính nguyên hàm
(Phn 03) thuc khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng ti website Hocmai.vn giúp các Bn kim tra,
cng c li các kin thc đc giáo viên truyn đt trong bài ging Bài 04. Các phng pháp tính nguyên hàm
(phn 03).  s dng hiu qu, Bn cn hc trc Bài ging
sau đó làm đy đ các bài tp trong tài liu này.

Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyn đ 03. Nguyên hàm – Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


 Vi x>1
t
2
1 2cos2
; 0;
sin 2 4 sin 2
tdt
x t dx
tt


    



.
Do đó :
 
22
2
2 3 3 3
2
2
2
2 sin os
1 2cos2 2
sin 2 sin 2 8sin cos
1
1
sin 2 . 1
sin 2
t c t dt
x dx tdt dt
t t t t
x
t
t


     






=
2 2 2
1 1 1 2 1
cot . tan . .
4 sin os tan os
t t dt
t c t t c t

  



Vy :
22
1 2 1 1 1
cot . (cot ) tan . (tan ) . (tan ) cot tan 2ln tan
4 tan 4 2 2
I I t d t t d t d t t t t C
t
   
           
   
   

22
11
1 ln 1
22
x x x x C     


 Vi x<1 .  ngh hc sinh t làm .
* Chú ý : Tích phân dng này ta có th gii bng cách khác nhanh hn :
Ta có :
 
2 2 2
22
2 2 2 2 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1
x x x dx dx
x I x dx J K
x x x x x

          
    
  

Vi : J
 
2
2 2 2
2
1 1 1
1
x
x dx x x dx x x I a
x
       




Tích phân :
2 2 2
2
ln 1 1 ln 1
1
dx
K x x I x x I x x
x
          


2 2 2 2
11
2 1 ln 1 1 ln 1
22
I x x x x I x x x x C            

d. Tính tích phân:
 
3
2
1
dx
I
x





t :
2
tan ; ;
2 2 os
dt
x t t dx
ct


    



Suy ra :
   
2
33
22
1
. ostdt
os
1 1 tan
dx dt
c
ct
xt


.

Khi đó :
 
32
2
ostdt sin
1
1
dx x
I c t C C
x
x
     




Chú ý :

1. S d trong ví d trên có kt qu nh vy vì :
22
2
2
1
ost= ;sin
1+x 1
; ost>0 cos ost;sint=tant.cost=
22
1
x
ct

x
x
t c t c
x









    






Bài 2: Tính tích phân bt đnh sau
Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyn đ 03. Nguyên hàm – Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


a.

 
8
22
23I x x dx

b.
3
1
x dx
x


c.
 
2
52
3
12x x dx

d.
3
sin osxI x c dx


e.
3
2
osx.sin
1 sin
cx

I dx
x



f.
2
8
os
sin
cx
I dx
x



g.
 
2
0
dx
Ia
xa



h.
  
12
dx

I
xx




Gii
a.
 
8
22
23I x x dx


t :
   
8
2 2 2 8 8 9
2
6
21
2 3 2 3 2
2
33
3
dt xdx
t
t x x x t t t
t
x






       







.
Vy :
 
 
   
8 9 10
2 2 8 9 9 10 2 2
1 2 1 2 1
2 3 2 2 3 2 3
3 27 30 27 30
I x x dx t dt t dt t t C x x C           
  

b.
3
1
x dx

x


t : t=
 
 
 
3
2
2
2
2 4 6
12
1
1 2 1 2 3
2
1
t tdt
xt
x dx
x t t t dt
t
dx tdt
x



        





.
Vy :
 
3
2 4 6 3 5 7
4 6 2
2 4 6 2 2
3 5 7
1
x dx
t t t dt t t t t C
x
          



     
23
4 6 2
2 1 1 1 1 1 1 1
3 5 7
x x x x x x x C            

c.
 
2
52
3

12x x dx


t : t =
   
3
2 3 2 2 2
3
13
1 2 1 2 2
22
t
x t x x xdx t dt

        

Do đó :
   
3
2
5 2 2 2 7 4
3
1 3 3
1 2 .
2 4 8
t
x x dx t t dt t t dt


    




Vy :
     
2
5 2 7 4 8 5 6 3 2
3
3 3 1 1 3
1 2 5 8
8 8 8 5 320
x x dx t t dt t t t t t C

       




=
     
22
2 2 2
3
3
5 1 2 8 1 2 1 2
320
x x x C

    




d.
3
sin osxI x c dx


t : t =
2
osx osx 2tdt=-sinxdxc t c  
.
Do đó :
     
3 2 4 6 2
sin osx 1 os osx sinxdx= t 1 2 2x c dx c x c t tdt t t dt    
.
Vy :
 
3 6 2 7 3 3
2 2 2 1
sin osx 2 os osx osx osx+C
7 3 7 2
I x c dx t t dt t t C c x c c c       


e.
3
2
osx.sin
1 sin

cx
I dx
x




Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyn đ 03. Nguyên hàm – Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -


t :
2
2
sin 1
1 sin
2sin cos
xt
tx
x xdx dt


  





Suy ra :
 
32
22
1
osx.sin 1 sin .2sin . osx.dx 1 1 1
1
1 sin 2 1 sin 2 2
t dt
c x x xc
dx dt
x x t t


   



.
Vy :
 
 
3
22
2
osx.sin 1 1 1 1
1 ln 1 sin ln 1 sin
1 sin 2 2 2
cx

I dx dt t t C x x C
xt


          






f.
2
8
os
sin
cx
I dx
x



Vì :
     
2
2 2 2 2 2 2
2
8 8 8
os os sin 1 sin 1 sin sin
os

sin sin sin
c x c x x x x x
cx
x x x
   
  

t : t =
2
22
2
1
sin
cot
1
1 cot 1
sin
dt dx
x
x
xt
x







   





Suy ra :
   
2
22
2 2 2 2 2
8 6 2
os 1 1
cot cot 1 cot . 1
sin sin sin
cx
dx x dx x x dx t t dt
x x x
   
     


   

Vy :
 
2
2 4 6 3 5 7
8
os 1 2 1
2
sin 3 5 7

cx
I dx t t t dt t t t C
x

         



. Thay : t = cotx vào .
g.
 
2
0
dx
Ia
xa




t :


2
2
2 2 2 2
1
x x a dx
x tdx dt dx
t x x a dt dx

t
x a x a x a x a

         
   

Vy :
2
2
ln ln
dx dt
I t C x x a C
t
xa
       



h.
  
12
dx
I
xx




xét hai trng hp :
 Vi :

10
1.
20
x
x
x


  



t :
12t x x    

Suy ra :
     
1 1 1 1 2
22
12
1 2 1 2
tdx dt dx
dt dx
t
xx
x x x x

    



   


Vy :
  
2 2ln 2ln 1 2
12
dx dt
I t C x x C
t
xx
        



 Vi :
10
2.
20
x
x
x


  



t t =
   

12xx    

Suy ra :
         
1 1 1 1 2
22
1 2 1 2 1 2
tdx dt dx
dt dx
t
x x x x x x


       

      


Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyn đ 03. Nguyên hàm – Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -


Vy :
  
2 2ln 2ln 1 2
12

dx dt
I t C x x C
t
xx
           



Bài 3: Tính các tích phân bt đnh sau:
a.


2
2
.ln 1
1
x x x
I dx
x





Vit li :


2
2
ln 1 .

1
xdx
I x x
x
  


.
t :


2
2
22
2
2
1
ln 1
1
11
1
1
x
u x x
dx
x
du
xdx
x x x
dv

x
vx



  







  









Khi đó :




2 2 2 2
. 1ln 1 1ln 1I udv x x x dx x x x x C           



b.
 
2
ln osx
os
c
I dx
cx



Ta vit li :
 
2
ln osx .
os
dx
Ic
cx



t :
 
 
2
2
2

sinx
ln osx
tanx
cosx
. t anx.ln cosx tan
v= tanx
os
os
uc
du
I u dv xdx
dx
dx
dv
cx
cx



   


    










.
Khi đó :
   
2
1
tanx.ln cosx 1 t anx.ln cosx t anx-x+C
os
I dx
cx

    




c.
2
sinx xdx


Ta có :
 
2
1 os2x 1 1 1 1
cos2 1
2 2 2 4 2
c
I x dx xdx x xdx x J



    


  

Tính :
cos2J x xdx


t :
11
sin 2 sin 2 sin2 os2x+C
1
os2xdx
2 2 2 4
sin 2
2
du dx
ux
xx
J x xdx x c
dv c
vx






     








Thay vào (1) :
22
1 1 1 1 1
sin 2 os2x sin 2 os2x
4 2 2 4 4 2
x
I x x c x x x c C
   
      
   
   

d.
 
32
2 3 sinxI x x x dx   


Theo nhn xét trên , ta s dng phng pháp h s bt đnh
Ta có :
     

3 2 3 2 3 2
1 1 1 1 2 2 2 2
2 3 sinx osx+ sinxI x x x dx a x b x c x d c a x b x c x d          

(1)
Ly đo hàm hai v ca (1)
 
   
3 2 3 2
2 1 2 1 2 1 2
2 3 sinx= a 3 2 osxx x x x a b x b c x c d c

         


Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyn đ 03. Nguyên hàm – Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 6 -


     
32
1 2 1 2 1 2 1
- a 3 2 sinx 2x a b x b c x c d

     



ng nht thc ta đc :
2 2 1 2
1 2 2 1 1 2
1 2 2 1 1 2
1 2 2 1 1 2
0 1 1; 0
3 0 3 1 1; 3
2 0 2 2 4; 2
0 3 1; 4
a a a a
a b a b b b
b c b c c c
c d c d d d
     
  
  
      
  

  
      
  
  
        
  

Khi đó :
   
3 2 2

4 1 osx+ 3x 2 4 sinx+CI x x x c x      
.
* Có nhn xét gì khi gii bng cách ly tích phân tng phn ba ln ( Do đây là đa thc bc ba ).
t :
 
   
2
32
3 2 2
3 2 2
23
osx 2 3 3 2 2 osxdx
sinxdx
osx
du x x dx
u x x x
I c x x x x x c
dv
vc

  

   

         








(1)
Tính :J=
 
2
3 2 2 osxdxx x c


t :
 
 
   
2
1
2
1
1
1
62
3 2 2
sinx 3 2 2 6 2 sinxdx 2
osxdx
sinx
du x dx
u x x
J x x x
dv c
v
  


  

      








Tính : K=
 
6 2 sinxdxx


t :
   
22
22
6 2 6
osx 6x-2 6 osxdx= osx 6x-2 6sin
sinxdx osx
u x du dx
K c c c x
dv v c
  

      


  



Thay các kt qu tìm đc ln lt vào (2) và (1) ta tính đc I
J=
 
 
 
 
 
22
sinx 3 2 2 osx 6x-2 6sin sinx 3 2 4 6 2 osxx x c x x x x c         

I=
   
 
3 2 2
osx 2 3 sinx 3 2 4 6 2 osxc x x x x x x c

         


   
3 2 2
4 1 osx+ 3x 2 4 sinx+CI x x x c x      

- Nh vy vn đ đt ra là : Em nào thy cách nào d hiu và không b nhm ln , thì chn cách đó
, không nht thit là dài hay ngn , quan trng nht là kt qu phi chính xác .

e.
22
sin
x
I e xdx


Ta có :
 
2 2 2 2 2 2
1 os2x 1 1 1 1
sin os2xdx 1
2 2 2 4 2
x x x x x
c
I e xdx e dx e dx e c e J


     


   

Tính tích phân J=
2
os2xdx
x
ec

.

t :
 
2 2 2
2
2x
2sin 2
os2x
11
os2x+ sin 2 os2x+K 2
1
22
dv=e
2
x x x
x
du xdx
uc
J e c e xdx e c
ve
dx





   








Tính tích phân K=
2
sin2
x
e xdx

.
t :
 
1
1
2 2 2
2
2
1
1
2cos2
sin2
11
sin2 os2xdx sin2 3
1
22
2
x x x
x
x
du xdx

ux
K e x e c e x J
ve
dv e dx





     








Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyn đ 03. Nguyên hàm – Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 7 -


T (2) và (3) ta có h :
 
2
2

2
1
os2x
1
2
sin 2 os2x
1
4
sin 2x
2
x
x
x
J K e c
J e x c
J K e




  






Thay vào (1) ta đc : I=
   
2 2 2

1 1 1 1 1
. sin 2 os2x 1 sin 2 os2x
4 2 4 4 2
x x x
e e x c e x c C

     



f.
3x
I xe dx


t :
3 3 3 3
3
3
1 1 1 1
1
3 3 3 9
3
x x x x
x
x
du dx
ux
I xe e dx xe e C
ve

dv e dx





      








g.
22x
I x e dx


t :
 
2
2 2 2 2 2
2
2
2
11
.1
1

22
2
x x x
x
x
du xdx
ux
I x e xe dx x e J
ve
dv e dx





     









Tính tích phân J=
2x
xe dx

.

t :
1
1
2 2 2 2
2
2
1
1
1 1 1 1
1
2 2 2 4
2
x x x x
x
x
du dx
ux
J xe e dx xe e
ve
dv e dx





     









Thay vào (1) ta đc : I=
 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 1
2 2 4 4
x x x x
x e xe e C e x x C

      



* Chú ý
:
Qua hai ví d trên ta thy s ln ly tích phân tng phn bng vi s bc ca đa thc P(x). Ngha là : s
bc ca P(x) càng cao thì s ln ly tích phân tng phn càng nhiu .
h.
 
2
2 lnI x x xdx


t :
 
2

32
ln
2
1
3
dx
du
ux
x
dv x x dx
v x x
















Suy ra :
3 2 3 2 3 2 2
1 1 1 1

ln ln
3 3 3 3
dx
I x x x x x x x x x dx xdx
x
       
       
     

       
  

I
3 2 3 2
1 1 1
ln
3 9 2
x x x x x C

    





Giáo viên: Lê Bá Trn Phng
Ngun:
Hocmai.vn