Bài tập và lời giái cúa các Trường Đại học
nối tiếng Hoa Kỳ
M ajor A m erican U niv ersities P h .D . Q u alify in g Q u e stio n s an d S olu tio n s
Bái Tập và Lời Giái
Vật lý Nguyên Tử, Hạt Nhân và
Các Hạt Cơ Bản
Problems and Solutions
on Atomic, Nuclear and
Particle Physics
Biên soạn:
Trườne Đại học Khoa học
và Công nghệ Trung Hoa
Chú biên:
Yung-K uo Lim
l<Ü„ ế Ả - . ằ
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
BÀI TẬP & LỜI GIẢI
VẬT LÝ NGUYÊN TỬ,
HẠT NHÂN VÀ
CÁC HẠT Cơ BẢN
N gười dịch:
PGS.TS. Dương Ngọc Huyền
PGS.TS. Nguyễn Trường Luyện
NH À XUẤ T BẢN GIÁO DỤC
Problems and Solutions on Atomic, Nuclear and Particle Physics
Compiled by
The Physics Coaching Class
University of Science and Technology o f China
I-dited by
Lim Yung-kuo
National University of Singapore

© World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
New Jersey.London.Singapore.Hong Kong
First published 2000
Reprinted 2003
411 rights reserved. This book, or parts thereof, may not be reproduced in any
rorm or by any means, electronic or mechanical, including photocopying,
•ecording or any information storage and retrieval system now known or to be
nvented, without written perm ission from the Publisher. Vietnamese translation
irranged with World Scientific Publishing Co. Pte Ltd., Singapore.
Tuon sách được xuất bàn theo hợp đồng chuyển nhượng bàn quyền giữa
'Ihà xuất bàn Giáo dục và N hà xuất bản World Scientific. Mọi hình thức sao
:hép một phần hay toàn bộ cuốn sách dưới dạng in ấn hoặc bàn điện từ mà
Lhông có sự cho phép bằng văn bản của Công ty c ổ phần Sách dịch và Từ điền -
Jhà xuất bàn Giáo dục đều là vi phạm pháp luật.
Bán quyền tiếng Việt © Công ty c ổ phần Sách dịch và Từ điển Giáo dục
34-2008/CXB/104-492/GD
Mã số: 8Z073K8
L Ờ I N H À X U Ẩ T B Ả N
Bộ sách Bài tập và lời giải vật lý gồm bày cuốn:
1. Quang học
2. Vật lý chất rắn, Thuyết tương đối & Các vấn để liên quan
3. Điện từ học
4. Cơ học
5. Vật lý Nguyên tử, Hạt nhân và Các hạt cơ bàn
6. Cơ học- Lượng tử
7. Nhiệt động lực học & Vật lý thong kẽ
Đây là tuyển tập gồm 2550 bài lập được lựa chọn kĩ lưỡng từ 3100 để
thi vào đại học và thi tuyển nghiên cứu sinh chuyên ngành vật lý cùa 7 trường
đại học nổi tiếng ở M ỹ (Đại học California ở Berkeley, Đại học Columbia, Đại
học Chicago, Viện Công nghệ Massachusetts (MIT), Đại học Bang New York ớ

Buffalo, Đại học Princeton, Đại học Wiscosin). Trong số này còn có các để thi
trong chương trình CUSPEA và các đề thi do nhà vật lý đoạt giãi Nobel người
Mỹ gốc Trung Quốc C. c Ting (CCT) soạn đê tuyên chọn sinh viên Trung
Quốc đi du học ờ Hoa Kỳ. Những để thi này được xuất bàn kèm theo lời giài
của hơn 70 nhà vật lý có uy tín cùa Trung Quốc và 20 nhà vật lý nôi tiếng kiêm
tra, hiệu đính. Tất cà các cuốn sách trên đã được tái bàn, riêng cuốn Điện từ
học đà được tái ban 7 lần.
Điếm đáng lưu ỷ về bộ sách này là nó bao quát được mọi vấn để cùa
vật lý học, từ cố điến đến hiện đại. Bén cạnh những bài tập đơn giản nhằm
khắc sâu những khái niệm cơ bản của Vật lý học, không cần những công cụ
toán học phức tạp cũng giài được, bộ sách còn có những bài tập khó và hay,
đòi hỏi phái có kiến thức và tư duy vật lý sâu sắc với các phương pháp và kĩ
thuật toán học phức tạp hơn mới giải được. Có thể nói đây là một tài liệu bổ
sung vô giá cho sách giáo khoa và giáo trình đại học ngành vật lý, phục vụ một
phạm vi đoi tượng rất rộng, từ các giáo viên vật lý phô thông, giàng viên các
trường đại học cho đến học sinh các lớp chuyên lý, sinh viên khoa vật lý và
sinh viên các lớp tài năng cùa các trường đại học khoa học tự nhiên, đặc biệt
là cho những ai muốn du học ờ Mỹ.
Nhà xuất bàn Giáo dục trân trọng giới ¡hiệu bộ sách tới độc già.
Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2008
NHÀ XUÁT BẢN GIÁO DỤC
iii
L Ờ I N Ó I Đ Ẩ U
Làm bài lập là một việc tất yếu và quan trọng trong quá trình học Vật lý
nham củng cố lý thuyết đã học và trau doi kĩ năng thực hành. Trong cuốn Vật
lý Nguyên tử, Hạt nhân và Các hạt cơ bán này có 483 bài tập được chia ra
thành bon phần: Vật lý Nguyên tư và Phân từ (142 bài), Vật lý Hạt nhãn (120
bài), Vật lý Hạt cơ bàn (90 bài), Phương pháp thực nghiệm và các chù để hỗn
hợp (131 bài). Hau hết các bài chọn đưa vào cuốn sách này đều phù hợp với
chương trình vật lý bậc đại học và sau đại học cùa các chuyên ngành Vật lý

nói trên. Ngoài ra, một so kết quà nghiên círu gần đáy cũng được đưa vào cuốn
sách nham giúp người học không chi nắm bal lý thuyết cơ bán mà còn có thê
vận dụng kiến thức cơ ban một cách sáng tạo vào việc học tập và nghiên cứu.
V
MỤC LỤC
Lời Nhà xuất bàn iii
Lời nói đầu V
Mục lục vii
Phần I: Vật lý nguvên tử và Vật IV phân tử
1. Vật lý nguyên từ (1001-1122) 3
2. Vật lý phân từ (1123-1142) 169
Phần II: Vật lý hạt nhân
1. Các tính chất hạt nhàn cơ bàn (2001-2023) 202
2. Năng lượng liên kết hạt nhàn, phán úng phân hạch và
phán ứng nhiệt hạch (2024-2047) 233
3. Đơteron và các lực hạt nhân (2048-2058) 264
4. Các mẫu hạt nhân (2059-2075) 283
5. Phân rã hạt nhân (2076-2107) 316
6 . Phàn ứng hạt nhàn (2108-2120) 374
Phần III: Vật lý hạt CO' bán
1. Các loại tươna tác và các dạna đối xúng (3001-3037) 394
2. Các tương tác điện từ và yếu, các lý thuyết
đại thống nhất (3038-3071) 450
3. Cấu trúc Hađron và mô hình Quac (3072-3090) 514
Phần IV: Phương pháp thực nghiệm và các chủ đề đa dạng
1. Động học cúa các hạt năng lượne cao (4001-4061) 552
2. Tương tác giữa bức xạ và vật chất (4062-4085) 630
3. Kỹ thuật dò hạt và phương pháp thực nghiệm (4086-4105) 648
4. Ước lượng sai số và thống kê (4106-4118) 662
5. Chùm hạt và máy gia tốc (4119-4131) 67 4

vii
PHAN I
VAT LY NGUYEN Ttf
VA VAT LY PHAN TLT
Vật lý nguyên [ủ và vật lý phân tủ
3
1. VẬT LÝ NGUYÊN TỬ (1001-1122)
1001
Giả sử rằng có một thông báo về một phương pháp tuyệt vòi có khả năng
dặt tất cả nội dung của một thư viện vào một bưu ảnh rất phang, có thê đọc
được nó nhò một hiển vi diện tử không? Hãy giải thích.
{Columbia)
Lời giải:
Giả sử có 10fi quyển sách trong thư viện, mỗi quyển 500 trang và mỗi trang
lớn bằng 2 bưu ảnh (cho mỗi bưu ảnh là có thể đọc dược). Cho một bưu ảnh
dể đọc dược, dộ phóng dại phẳng sẽ là 2 X 500 X 106 109, tương ứng với độ
phóng dại dài là 104'5. Khi độ phóng đại dài của một kính hiển vi diện tử là
800.000, dộ phóng đại phẳng của nó lỏn cỡ 10u , là dủ dể dọc được bưu ảnh.
1002
Tại IO10 K, mỗi cm3 bức xạ vật đen tuyệt dối nặng (1 tấn, 1 g, 10-6 g,
I ( r 16g)?
(Columbia)
Lời giải:
Câu trả lòi gần nhất là 1 tấn trong 1 cm3.
Mật dộ năng lượng bức xạ dược cho bỏi u = 4ơ T4/c, trong đó ơ = 5,67 X
10-8 Wm-2 K-4 là hằng số Stefan-Boltzmann. Từ hệ thức năng lượng - khối
lượng Einstein, chúng ta thu được khối lượng của bức xạ vật đen tuyệt đối
trong một đơn vị thể tích là u = 4ơT4/c3 = 4 X 5,67 X 10~8 X 104O/(3 X 108)3 R5
108 kg/m 3 = 0 ,1 tấn/cm 3.
1003

Bán kính Bohr của nguyên tử hydro khi được so sánh với bước sóng Comp
ton của electron có dộ lớn xấp xỉ là
(a) 100 lần lốn hơn.
(b) 100 0 lần lớn hon.
4
Bài cập & lời giải Vật lý nguyên củ, hạt nhán và hạc cơ bản
(c) tương tự nhau.
(CCT)
Lời giải:
Bán kính Bohr của nguyên từ hydro và bước sóng Compton của electron
dược cho tương ứng \ằa = ^ ĩ và Ac = Từ đó £ = ¿ ( ^ r ‘ = ^ = 22,
trong đó e2/hc là hằng số cấu trúc tinh tế. Do dó, câu trả lòi là (a).
1004
Hãy đánh giá diện trường cẩn thiết đê giải phóng le ra khỏi nguyên tử so
với điện trưòng cần thiết cho e chuyển dộng quanh hạt nhân.
(Columbia)
Lời giải:
Khảo sát một nguyên tử tưctng tự nguyên tử hyđro có diện tích hạt nhân
Ze. Năng lượng ion hoá (hoặc năng lượng cần thiết để tách é) là 13,6Z2 eV
Điện tử chuyên dộng trên quỹ dạo có khoảng cách trung bình từ hạt nhân la
a = ao/Z, trong dó a0 = 0. 53 X 10~8 cm là bán kính Bohr. Điện tử di chuyển
quanh hạt nhân trong diện trường E trong một nửa vòng có thể có năng lượng
eEa. Do dó, đê giải phóng electron cần phải thoả mãn
eEa > 13.6 z2 eV,
hay là
£ ~ o Ì 3 ,x ĩ o - * 2 x l 0 , Z ’ V/Cm-
1005
Khi ta di ra khỏi tâm nguyên tử, mật độ e sẽ
(a) giảm theo hàm Gauss.
(b) giảm theo hàm mũ.

(c) dao động với biên độ giảm chậm.
(CCT)
Vật lý nguyên tủ và vật lý phân tủ
5
Lòi giải:
Câu trả lòi là (c).
1006
Một chuyển dời e trong các ion của 12c dẫn den phát xạ photon vào khoảng
A = 500 nm [hu = 2,5 eV). Các ion ỏ trạng thái cân bằng nhiệt tại nhiệt độ
ion k T = 20 eỵ mật dộ Tỉ = 1024 m~3, và một từ trưòng không đồng nhất lên
tới B = 1 Tesla.
(a) Hãy thảo luận vắn tắt cơ chế mỏ rộng có thể tạo nên sự dịch chuyển
có bề rộng được quan sát AA lốn hơn độ rộng đã tìm dược cho những giá trị
rấi nhỏ của T, n và B.
(D) Cho một trong các cơ chế này, hãy tính độ rộng vạch được mỏ rộng
AA, sử dụng cõ dộ lón đê đánh giá các tham số cần thiết.
(Wisconsin)
Lòi giải:
(a) Vạch phô thường có độ rộng riêng được tạo ra do dộ bất dịnh ỏ các
mức năng lượng nguyên tử, nó xuất hiện do khoảng hữu hạn của thời gian
có liên quan tới quá trình bức xạ, theo nguyên lý bất định Heisenberg. Sự mở
rộng đã được quan sát cũng có thê do rìhững giói hạn dụng cụ như quang sai
thấu kính, nhiễu xạ Nói thêm, các nguyên nhân chính của sự mỏ rộng là:
Hiệu ứng Doppler: Các nguyên tử và phân tử chuyển động nhiệt không dổi
tại T > 0 K. Tần số dã quan sát của một vạch phổ có thể thay đổi một ít
nếu như chuyển động của các nguyên tử phát xạ có một thành phần dọc theo
hướng ngắm, do hiệu ứng Doppler, vĩ các nguyên tử hoặc phân tử có phân bố
vận tốc, một vạch được phát xạ nhò các các nguyên tử sẽ bao gồm một khoảng
tần số được phân bố xung quanh tần số gốc, dóng góp vào dộ rộng vạch quan
sát.

Các va chạm: Một hệ nguyên tử có thể bị nhiễu loạn bỏi những ảnh hưởng
bên ngoài như các diện trường và từ trưòng do các nguồn ngoài hoặc các
nguyên tử lân cận. Nhưng những ảnh hưởng dó thông thường tạo ra sự dịch
chuyển các mức năng lượng hơn là mở rộng chúng. Tuy nhiên, sự mỏ rông
cũng có thể bắt nguồn từ những va chạm nguyên tử, tạo nên những thay đổi
pha trong bức xạ và do đó tạo ra sự mỏ rộng mức năng lượng.
6
Bài tập & lởi giải Vật lý nguyên tủ, hạc nhăn và hạt cơ bản
(b) Sự mở rộng Doppler: Dịch chuyển tần số Doppler bậc nhất dược cho
bỏi Ai/ = với trục X dọc theo hướng quan sát. Định luật phân bo vận tốc
Maxwell cho
dn oc exp
M vị \
- 2kT )
dvx = exp
Me2 / Aị/ \ 2
' 2kT V V0
dvx ,
vói M là khối lượng của nguyên tử bức xạ. Sự phân bố tần số của cưòng độ
bức xạ cũng có quan hệ như thế. Tại một nửa cưòng độ cực đại
Aí/ = V0
(ln 2)2kT
M c2
Do đó, độ rộng vạch tại một nửa cường dộ cực dại là
2Ai/ =
1,6 Tc / 2 kT
Ao V Mc2
1,67 /2kT
Theo dơn vị số sóng ũ = J = - ta có
rD = 2Aĩ> = —— 1/ —— 7 .

Ao V Mc
Với k T = 20 eỵ M c2 = 12 X 938 Meỵ A0 = 5 X 10" 7 m,
1,67 I 2 X 20
r D =
5 X 10-7 V 12 X 938 X 106
Sự mở rộng do va chạm: Quãng đường tự do trung bình cho va chạm l dưọc
định nghĩa Tilnd2 = 1, vỏi d là đường kính nguyên tử hiệu dụng cho va chạm
đủ gần dể ảnh hưởng đến quá trình bức xạ. vận tốc trung bình V cùa 1 nguyên
tử có thế làm xấp xỉ nhò vận tốc căn quân phương \ Mv* = 5 kT. Tù đó
Lúc dó, thòi gian trung bình giữa các lần va chạm kế tiếp là
Vật lý nguyên tử và vật lý phãn tủ
7
Độ bất dịnh năng lượng A E do va chạm có thể dược ước lượng từ nguyên lý
bất định A E ■ t R5 h, cho ta
hay theo đơn vị số sóng,
1 ,2 / 3kT 3 X 1(T3 [2 k ĩ
c ~ 2 Ã T“ V i ? '
nếu ta lay d. ss 2ao ~ 10“ 10 m, ao là bán kính Bohr. Sự mỏ rộng này nhỏ hơn
nhiều sự mỏ rộng Doppler tại mật dộ ion đã cho.
1007
(I) Năng lượng ion hoá EI của 3 nguyên tố đầu tiên
z Nguyên tô
El
1 H
13,6 eV
2 He
24,6 eV
3 Li
5,4 eV
(a) Giải thích định lượng sự thay dổi của Ei từ H, He đến Li.

(b) Năng lượng ion hoá thứ cấp của He, tức là năng lượng cần để giải
phóng diện tử thứ 2 sau khi điện tử thứ nhất dã được giải phóng là bao nhiêu?
(c) Các mức năng lượng của trạng thái n = 3 của điện tử hoá trị của Na
(bỏ qua spin riêng) dược chỉ ra trong hình 1.1.
Tại sao các mức năng lượng phụ thuộc vào số lượng tử /?
( SUNY, Buffalo)
3d 11
= 2 )

1,5 eV
3p
(1
= 1 )

3,0
eV
3s (l = 0 )


5,1 eV
Hình 1.1
8
Bài tập & lời giải Vật lý nguyên tủ, hạt nhân và hạc cơ bản
Lời giải:
(a) Bảng chỉ ra năng lượng ion hoá của He lón hơn nhiêu năng lưọng ion
hoá của H. Nguyên nhân chính là do diện tích hạt nhân của He gảp dói diện
'tích hạt nhân của H, trong khi tất cả các electron của chúng đều ỏ lóp vỏ thứ
nhất, có nghĩa là thế năng của các electron là thâp hơn nhiêu trong trương
hợp của He. Năng lượng ion hoá rất thâp của Li là do sự che chăn diện tích
hạt nhân nhò các electron ỏ lốp vỏ bên trong. Nhờ dó mà với electron ơ lóp

vò ngoài, diện tích hạt nhân hiệu dụng trỏ nên nhỏ hơn và do đó thế năng lớn
hơn. Điều này có nghĩa là năng lượng cần thiết cho việc giải phóng electron là
nhỏ hơn.
(b) Các mức năng lượng cùa nguyên tử giống hyđro được cho bời
z 2
X 13,6 eV.
nz
Cho z = 2, n = 1 ta có
Ei = 4 X 13,6 = 54,4 eV.
(c) Cho các trạng thái 71 = 3, điện từ hoá trị có l càng nhỏ, sự lệch tâm khỏi
quỹ đạo của nó càng lỏn. Điều này có khuynh hướng làm cho các hạt nhân
nguyên tử bị phân cực nhiều hơn. Hơn nữa, l càng nhò thì hiệu ứng thẩm thấu
quỹ đạo sẽ càng lớn. Các hiệu ứng này làm cho thế năng của điện tử giảm đi
theo chiều giảm của l.
1008
Mô tả vắn tắt lần lượt các hiệu ứng sau, trong các trường hợp quy tắc, nêu
rõ quy tắc:
(a) Hiệu ứng Auger
(b) Hiệu ứng Zeeman dị thường
(c) Dịch chuyển Lamb
(d) Quy tắc khoảng Landé
(e) Các quy tắc Hund cho các mức nguyên tử.
( Wừconsin)
Lời giải:
(a) Hiệu ứng Auger: Khi một electron nằm ỏ lớp vỏ trong (lớp vỏ K ) của
Vật lý nguyên tủ và vật lý phân tử
9
một nguyên tử dược lấy ra, một electron liên kết có năng lượng nhỏ hơn (lớp
L) có thê nhảy vào lỗ trống do electron đă được lấy di, làm phát xạ một
photon. Nếu quá trình xảy ra nhưng không phát xạ photon, thay thế vào đó,

lớp vỏ có năng lượng cao hơn (lớp vỏ L) dược ion hoá do mất đi một electron.
Quá trình này được gọi là hiệu ứng Auger và electron nhảy ra dó được gọi là
electron Auger: nguyên tử dược ion hoá 2 lần và quá trình chuyển dời không
phát xạ photon.
(b) Hiệu ứng Zeeman dị thường: Hiệu ứng đã được Zeeman quan sát năm
1896, khi nguyên tử bị kích thích dặt trong từ trường ngoài. Phổ phát xạ trong
quá trình khử kích thích tách thành 3 vạch phổ cách dều nhau. Đó là hiệu
ứng Zeeman thường. Sự tách vạch dược hiểu dựa trên lý thuyết cổ điển dã
dược Lorentz phát triển. Tuy nhiên, ngưòi ta dã phát hiện ra số vạch tách của
vạch phổ khác nhiều, thường lón hơn 3- Sự tách vạch phổ như thế chưa thể
giải thích được cho đến khi xuất hiện khái niệm spin electron, dó là hiệu ứng
Zeeman dị thường.
Trong lý thuyết lượng tử hiện đại, cả 2 hiệu ứng có thể hiểu dễ dàng. Khi
một nguyên tử dặt trong từ trường yếu, do tương tác giữa momen lưõng cực
từ của cả nguyên tử với từ truòng ngoài nên cả 2 mức năng lượng ban dầu
và cuối cùng dược tách ra một vài thành phần. Những dịch chuyển quang học
giữa 2 trạng thái da bội làm tăng thêm số vạch. Hiệu ứng Zeeman thường chỉ
là trưòng hợp đặc biệt, ỏ đây, những chuyển dời giữa các trạng thái đơn bội
trong một nguyên tử vỏi số chẵn các electron quang hoạt.
(c) Dịch chuyển Lamb: Khi không có cấu trúc siêu tinh tế, các trạng thái
22Si/2 và 22P ự 2 của nguyên tử hydro sẽ bị suy biến đối với số lưcng tử quỹ
đạo l vì chúng tương ứng vòi momen động lượng toàn phần j = 1/2. Tuy
nhiên, bằng thực nghiệm Lamb dã quan sát thấy năng lượng của mức 225]/2
cao hơn năng lượng của mức Ĩ 2P\Ị2 là 0,035 c m '1. Đó là dịch chuyển Lamb.
Dịch chuyển Lamb là do tương tác giữa electron và trưòng bức xạ diện từ.
(d) Quy tắc khoảng Landé: Đối vối liên kết LS, hiệu năng lượng giữa 2
mức J liền kề, trong giới hạn LS dã cho là tỉ lệ với giá trị lốn hơn trong hai giá
trị của J .
(e) Các quy tắc Hund cho các mức nguyên tử là:
(1) Nấu cấu hình điện tử có nhiều hơn 1 kí hiệu phổ, cấu hình với spin

toàn phần cực dại 5 có năng lượng thấp nhất.
(2) Neu spin toàn phần cực đại 5 tương ứng vối một vài kí hiêu thì cấu
hình với L cực dại có năng lượng thấp nhất.
10
Bài tập & lời gidi Vật lý nguyên tủ, hạt nhân và hạt cơ bán
(3) Nếu lớp vỏ ngoài của nguyên tử nhỏ hơn một nửa dầy, ki hiệu phổ vói
momen động lượng toàn phần J cực tiểu có năng lượng thấp nhát. Nẻu số
electron của lớp vỏ này lón hơn một nửa đầy kí hiệu phổ vối J cực đại có năng
lượng thấp nhất. Quy tắc này chỉ áp dụng cho liên kết LS.
Hãy đưa ra các biểu thức cho các đại lượng sau trong các thuật ngữ
e, ft, c, k, m e và mp.
(a) Năng lượng cần thiết dê ion hoá một nguyên tử hydro.
(b ) Sự khác nhau về tần số của vạch G - Lyman trong các nguyên tử hyđro
và nguyên tử đơteri.
(c) Momen từ của electron.
(d) Sự mà rộng trong phép do của khối lượng 7r° cho rằng thòi gian sống
7r° dã cho là T.
(e) Từ trường B có dư 10“ 4 proton tự do theo 1 hưỏng spin ỏ nhiệt dộ T.
(0 Sự tách cấu trúc tinh tế ỏ trạng thái n = 2 của hydro.
eo là hằng số điện môi của không gian tự do.
(b) Sự khác nhau của tần số do sự thay đổi hằng số Rydberg vói khối lưọng
hạt nhân, số sóng của vạch Q của nguyên tử hydro là
1009
(Columbia)
Lời giải:
(a)
Vật lý nguyên tủ và vật lý phân tủ
11
ỏ đây m r là khối lượng rút gọn của electron quỹ dạo ưong hệ nguyên tử và
o = ( e2 V me

°° ^47T£o / 47rh3c
Với nguyên tủ H, m T = , và với nguyên tử D,
m r =
2771« 4“ Tĩle
m p là khối lượng nuclon, ta có
Ai/ = cAi> = ịc(ÌĨo - R h ) - 5c.Ro,
1 +
2m„
1
TTip
1 + - 1
m p )
3 m e _ 3 / e2 \ 7T2 mị
* ĩ c / ? ĩ ^ ế
(c) Momen từ gắn với spin electron là
he
Me —
47T 771,
= fJ-B .
/¿B là manheton Bohr.
(d) Sự phân tán khối lượng do dược (trong thệ đơn vị năng lượng) liên
quan đến thòi gian sống T theo nguyên lý bất định
A E - T > h ,
từ dó
A E > í .
T
(e) Giả định các proton tự do như là 1 khí lý tưởng, trong dó các spin
proton có 2 hướng được lượng tử hoá: song song vói B vói năng lượng Ep =
-ụ .vB và đối song vối B với năng lượng Ep = ịipB , ỏ đây í*p = 2Ỉfc là momen
từ của proton, vĩ mật độ số hạt n oc e xp (^ P ), ta có

exp 1
( HpB}
{ k T )
1 - exp 1
( VpB \
l kT )
1
exp 1
!'i b B \
l kT )
1 + exp 1
1
to
1
12 Bài tập & lời giải Vật lý nguyên tử, hạt nhân và hạt cơ bản
hay là
cho
tức là
exp
kT ) 1 - 10~4 ’
w 2 X 10 4 ,
kT
B = — x 10“4 .
Mp
(f) Các số lượng tử của trạng thái n = 2 là n = 2, l = 1, ji = 3/2, j 2 = 1/2
(trạng thái l = 0 không tách và không cần khảo sát ỏ dây). Từ biểu thức cho
các mức năng lượng cấu trúc tinh tế của hydro ta thu được
2-iĩRhca2 1 1 1 1 TĩRhca2
A E =


ụ i + ị + 2 >
trong đó
Aiĩỉũhc
là hằng số cấu trúc tinh tế,
2
/ '
R =
771.
47T£o / in h 3c
là hằng số Rydberg.
1010
Như đã chỉ ra trong hình 1.2 chiếu ánh sáng lên các nguyên tử natri. Hãy
tính tiết diện ngang cộng hưỏng kích thích của các nguyên tử từ ưạng thái cơ
bản đến trạng thái kích thích đầu tiên (tương ứng vỏi vạch vàng quen thuôc
của natri).
Hãy ưỏc lượng dộ rộng vạch cộng hưởng. Không cần thiết dùng những kết quả
này từ những nguyên lý ban đầu nếu như nhớ lại các suy luận gọi ý thích hợp.
( Princeton)
Lời giải:
Tiết diện ngang được định nghĩa Ơ.4 = P ^/I^, trong dó P_,cL; là năng
lượng hấp thụ do các nguyên tử trong khoảng tần số UJ tói uj + trong một
Vật lý nguyên tủ và vật lý phân tủ
13
2
Hình 1.2
đơn vị thòi gian, I^dui là năng lượng tỏi trên một dơn vị diện tích trong một
đơn vị thời gian trong cùng khoảng tần số. Theo dịnh nghĩa,
trong đó B]2 là hệ số B của Einstein cho xác suất nguyên tử ỏ trạng thái 1
hấp thụ một lượng tử hu! trong một dơn vị thòi gian và N^du là mật độ năng
lượng trong khoảng tần số UI tới UI + du>. Hệ thức Einstein

trong dó T là thòi gian sống của trạng thái kích thích 2, độ rộng vạch tự nhiên
của nó là r Kí 01,52 là độ suy biến của các trạng thái 1 và 2, sử dụng quan
hệ A i2 = 1 / t và nguyên lý bất dịnh rv í» h. vì Nu = Iui/c, c là vận tốc ánh
sáng trong không gian tự do, ta có
Đưa vào thừa số dạng g(ui) và khảo sát UJ và như những giá trị trung bình
trong dải g(u>), ta có thể viết đại lượng trên như sau
/ p“
hui3 g2
cho ta
tt2c3 £1 i _ 7r2c3 £Ịp
hjj3 <72 T h2u 3 <72
Thừa nhận g(uj) có biên dạng Lorentz
14
Bài tâp & lời giải Vật lý nguyên tử, hạt nhân và hạt cơ bản
Tại điểm cộng hưỏng,
Ẽ2 — E\ — hul ,
và
( E2 - E x\ _ 2 h
7lT
Từ đó
??< ?■ <71 2 h 2nc2 g 1
CT 4 — “ õ" ■ ■ _ 9
Aú;z Ỡ2 tt
vói ánh sáng vàng Na (vạch ơ ), gi = 2, 32 = 6, A = 5890 A, và
<7 . = ỉ • — = 1,8 4 X 1 0 “ 10 c m 2 .
A 3 2tt
Với vạch D của Na, T =s 10"8 s và độ rộng vạch tại nửa cưòng độ là
r a - = 6.6 X 10’ 8 eV .
T
Vì

r = AE = hAjj = ftA = 27r/icAi/,
độ rộng vạch theo số sóng là
r 1 ,
Ai> = _ SB —-— = 5. 3 X 10 cm .
2~ hc 2 7TCT
1011
Tiết diện ngang của kích thích do va chạm electron ờ một mức nguyên
tử nào dó .4 là (7.4 = 1.4 X 1CT20 cm2. Mức năng lượng có ửiòi gian sống
r = 2 X 10-s s, và phân rã 10% thòi gian dến mức B và 90% dến mức c
(hình 1.3).
(a) Hãy tính sô nguyên tử cân bằng trong cm3 ỏ mức A khi một chùm tia
electron 5 mA/cm2 đi qua qua hoi nguyên tử này ỏ áp suất 0 05 torr.
(b) Hay tính cưòng dộ ánh sáng phát ra trên cm3 trong dịch chuyển .4 —
B, biểu diễn bàng oat/steradian.
Vật lý nguyên tử và vật lý phân tủ
15
( Wừconsiti)
Lời giải:i giải:
(a) Theo hệ thức Einstein, số dịch chuyển B , c —> A trong một dơn vị thòi
gian (tốc dộ sinh A) là
dN Bc —A _ Ar


= "oơ/t N bC ,
và số
ố phân rã A —> B, c trong dơn vị thời gian là
dN A^BC . /1 , \ AJ
à H = ( r +noơA) N A ’
trong đó N b c và Na là số nguyên tử ở các mức năng lượng B, c và A, n0 là
số electron qua trên một đơn vị diện tích trong một dơn vị thòi gian. Khi cân

bằng,
d N sc ^A _ dNẠ^BC
dt dt
từ dó tìm dược
N a = ^ a N _ w UoơaN t t (N = N a + N b c )
- + 2n0ơA
T
do n0 = 5 X 10 3/l , 6 X 10-19 = 3,1 X 1016 cm“ 2 S_1 và như vậy ị » 2n0ơA.
Từ đó số nguyên tử trong một đơn vị thể tích ỏ mức năng lượng A ỏ cân
bằng là
Na _ TnọơẠN _ Tn0ơAp
V ~ V ~ kT
-8 o , , n16 1 , 1 n—20 0,05 X 1,333 X 103
.2X10-',3.1X 10 X 1.4x10
= 1,4 X 104 cm“3 ,
n =
16
Bài tập & lời giải Vật lý nguyên củ, hạt nhán và hạc cơ bản
ỏ đây, nhiệt độ phòng là T = 300 K.
(b) Xác suất phân rã nguyên từ từ .4 —* B là
Bước sóng của bức xạ phát ra trong dịch chuyển A —» B là Afl = 500 nm.
Cưòng độ ánh sáng I trong đơn vị thể tích, trong một đơn vị góc dặc được cho
bỏi
ịirl = nX\hc/\B ,
nghĩa là,
nhc l,4 x 104 X 6,63 X 10“27 X 3 X 1010
“ 407ttAb " 40tt X 2 X 1 0 - 8 X 500 X 10“ 7
= 2,2 X 1CT2 erg • s-1 sr-1 = 2,2 X 1CT9 w sr_1 .
1012
Trường diện từ do môi trưòng xung quanh nguyên tử trong phân tử hay

tinh thê có thê ảnh hưỏng đáng kê đến tính chất trạng thái cơ bản của nguyên
tử. Ví dụ rất đáng quan tâm là hiện tượng dập tắt momen dộng lượng của
nguyên tử sắt trong nhóm hem trong hemoglobin của máu. Tất nhiên, sắt và
hemoglobin là rất phức tạp. Giả sử một nguyên tử chứa một electron hoá trị
chuyên dộng trong trường thế xuyên tâm của nguyên tử, ỏ mức / = 1. Bỏ qua
spin, điều gì sẽ xảy ra ỏ mức này khi electron bị tác dộng bởi thế bên ngoài
xung quanh nguyên tử tăng lên. Lấy thế ngoài có dạng là
Vpert = Ar2 + By2 - (A + B)z2
(Hạt nhân nguyên tử ỏ gốc toạ độ) và khảo sát thế đến bậc thấp nhất.
(a) Bây giò mức / = 1 tách thành ba mức phân biệt. Như dã khẳng định,
môi một mức tương ứng hàm sóng dạng
'/ẼỊ ■ ầ: j ị V = (aT+Jy + -yz)f(r),
;,}trong đó0,/(/■' là hàm xuyên tâm chung và mỗi một mức có một tập họp riêng
cac hăng ¿0=1 - 1, mà cản phải xác định nó. Hãy phác họa sơ đồ mức năng
Vật lý nguyên tử và vật lý phân tủ
17
lượng, chỉ rõ những dịch chuyển tương đối A E theo các tham số A và B, nghĩa
là tính ba dịch chuyển dến thừa số chung.
(b) Quan tâm hơn, tính giá trị kì vọng vủa Lz, thành phần 2 của momen
dộng lượng cho mỗi một trong ba mức.
(Princeton)
Lời giải:
(a) Trường thế ngoài V có thể được viết dưới dạng
V = ị ( A + B )r2 - ị( A + B )z2 + ị( A - B )(x2 — y2) .
Độ suy biến của trạng thái n = 2, l = 1 là 3 khi không có nhiễu loạn với
hàm sóng
*210= ( 3w ) i «exp( " è ) c°8*’
/
1
*21±1 = T ( ẽ i ) 2 aexp (~Ễ) exp(±^)smớ’

trong đó a = h2/ịue2, Ị1 khối lượng rút gọn của electron hoá trị.
Sau khi tương tác với thế ngoài V, các hàm sóng thay đổi là
'Ị' = a i'I ,2ii + ¿22^21 — ] + ^ 3 ^ 2 1 0 ■
Lý thuyết nhiễu loạn cho các hệ suy biến dẫn dến phương trình ma trận
cho năng lượng nhiễu loạn E'
ỊC + A' - E' B'
0 \ (ai>
B' c + A' — E'
0
a2 = 0,
\
0 0
c + 2>A'
-E'j
\ “2/
trong đó
C = ( # 2ii |ị ( ^ + B )ra|* 2H>
= < * 2 i - i | ^ + B ) r 2 | * 2 i _ ,
= ( ^ 2 io lộ ( ^ + S ) r 2 |5 '2 io)
18
Bài tập & lời gidi Vật lý nguyên tử, hạt nhân và hạc cơ bản
= 15 a2(A + B ),
A' = -(<a2n \ị{ A + B )z2\'i'2n)
- - { 4 ' 2 1 - i I ^ + B ) z2 |'í'2 1 -i >
= I 'Ií21o)
= -9 a 2(-4 + B ) ,
= < » a i-ilịM -B )(x2 - y a)|*an>
= - ị a \ A - B ) .
Đặt dịnh thức của các hệ số bằng 0, chúng ta tỉm được các hiệu chinh năng
lượng

E' = c + 3A' . c + A' ± B '.
Cho E' = c + 3i4' = —\2(A + B)a2, hàm sóng là
= *210 = (d h ) «exp ( -¿ )cosớ = /(r^•
trong dó
tương ứng với Q = 3 = 0, ~I = 1.
Cho E' = c + A' + B' = 5 (5.4 + 3B ia2, hàm sóng là
* 2 = ^ ( * 21, + * 21- 1 ) = - i ( 32^ 3 ) ^ e x p ( - ^ ) sinỡsin^-
= -i f( r )y .
tương ứng vói a = -I = 0, 3 =
Vật lý nguyên tứ và vật lý phân tủ
19
Cho E' = c + A' - B' = 1(3/1 + 5B )a2, hàm sóng là
^ 3 = - *21-1) = -ỉ(r)x,
tương ứng vỏi Q = -1 , /3 = 7 = 0.
Như thế, mức năng lượng không suy biến Eỉ, khi có nhiễu loạn V, tách
thành ba mức
E2 - 12(A + B)a2 , E2+ ^{ZA + ĩ>B)a2 , E2 + 5(5/1 + ‘ÌB)a2 ,
như dã chỉ ra trong hình 1.4.
/

Ej »Tl 5A ♦ 3B ) aỉ
/,-

E2.|(3 A .5 B )a 2
E2

*;[

-


''

E j-12 ( A »Bia*
không có cónhiẻuloạnV
nhiêu loạn
Hình 1.4
(b) Hàm sóng dã được hiệu chỉnh là
= ( * 2 | i , | # 2 ) = < » 3 |ỉ , |® 3 > = 0 .
Do đó, giá trị kì vọng của thành phần 2 của momen động lượng là bằng không
cho tất cả ba mức năng lượng.
1013
Mô hình Thomas-Fermi của các nguyên tử mô tả đám mây diện tử ưong
một nguyên tử như một phân bố liên tục p(x) của điện tích. Một điện tử đơn lẻ
dược giả thiết chuyển động trong một thế được xác định bỏi hạt nhân có diên
tích Ze và của dám mây này. Hãy viết phương trình cho thế tĩnh điện theo các
bước sau:
(a) Giả thiết điện tích đám mây điều chỉnh cục bộ dến khi các điện tử tai
mặt cầu Fermi có năng luợng 0, tìm quan hệ giữa thế ộ và động lượng Fermi
PF-
20
Bài tập & lời giải Vật lý nguyên cử, hạt nhân và hạt cơ bàn
(b) Sử dụng quan hệ thu được từ (a) dể tìm hệ thức đại số giữa mật độ
điện tích p{x) và thế ậ(x).
(c) Đặt kết quả của (b) vào phương trình Poisson dể tìm phưong trình vi
phân riêng phi tuyến cho ó.
(Princeton)
Lời giải:
(a) Vói một điện tử liên kết, năng lượng của nó E = ^ - eở(x) phải thấp
hơn năng lượng liên kết của một điện tử trên bề mặt Fermi. Do đó
ệ f - * ( * ) = ủ .

trong đó pmăx — Pf, động lượng Fermi.
TÙ đó
pj = 2m e ộ (x ).
(b) Coi các điện tử như một khí Fermi, số diện tử lấp dầy các trạng thái
vối các động lượng từ 0 đến P f là
V- 3
N =
E L
'iiĩ2hì
Mật dộ diện tích là
(c) Thay p(x) vào phương trình Poisson
v 20 = 4 ~p(x)
cho ta
/ d2 d2 d2 \ 4e 3
ụ h + d ỹĩ + i h ) ° (x) = ¿ [ ^ ^ ( x ) ] ! .
với giả thiết ồ là dối xứng cầu, phương trình sẽ dược viết gọn lại
lí/2 . 4e . J
r = 3 ^ 3 [2metí>(r)]í .
1014
Trong một bức tranh thô sơ, kim loại dươc minh hƯạ như một hệ các diện
tử tự do dược giam trong một cái giếng có hiệu thế v0. Do chuyển dộng nhiẹt,